METODOS NUMERICOS Ingeniería Civil Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil Departamento académico de ingeniería de minas y civil CATEDRA 1 4
METODOS NUMERICOS
Ingeniería Civil
Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
Departamento académico de ingeniería de minas y civil
CATEDRA 14
La integración es el proceso inverso de ladiferenciación, en donde la integración esjuntar partes en un todo, matemáticamentese representa por
que representa la integral de f(x) conrespecto a la variable x
3
COMENTARIOS
La integración numérica es utilizada para funcionesanalíticas complejas o tabulaciones dadas.
En el caso de las funciones tabulares dados se hadeterminado un polinomio de aproximación Pn (x) enun intervalo de interés, que aproxima la curva querepresenta a la función f(x), pero su diferenciación eintegración presentan discrepancias
4
COMENTARIOS
1. El proceso de integración esta dado por el áreabajo la curva de f (x)
2. La integral aproximada está dado por el áreabajo la curva Pn (x)
6
COMENTARIOS
nx
xdxxf
0
)(
3. Los errores que se cometen al integrar los diferentessegmentos, tienden a cancelarse entre si o reducirlo loque permite afirmar que el error total al integrar Pn (x)desde x0 a xn puede ser muy pequeño; aun cuando Pn(x) no sea una buena aproximación de f (x).
8
COMENTARIOS
4. Por otro lado que proporciona la pendiente de larecta tangente a Pn (x) en un punto; puede variaren magnitud respecto a en el mismo punto aunquePn (x) sea una buena aproximación
Los métodos de integración usadas puedenclasificarse en dos grupos:
Fórmulas de Newton Cotes: Los que usanvalores dados de la función f (x) en abscisasequidistantes.Fórmulas de Cuadratura Gaussiana: Los queusan valores de f (x) en abscisasdesigualmente espaciadas determinadas porciertas propiedades de familias de polinomioortogonales.
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COMENTARIOS
MÉTODO DE NEWTON – COTESSon los tipos de integración numérica mascomunes, su estrategia es remplazar a lafunción complicada o de datos tabulados porun polinomio de aproximación que es fácil deintegrar.Es decir supongamos que nos interesadeterminar ; entonces, tenemos:
10
MÉTODO DE NEWTON – COTES
b
adxxfI )(
En donde pn(x) es el polinomio aproximación,
Donde n es el grado del polinomio el método en estudiolo realiza en general en dos pasos.Observemos que cuando el polinomio de aproximaciónes lineal se trata de una línea recta como observamosen el caso (a) y cuando se trata de un polinomio desegundo orden tenemos el caso (b)
11
MÉTODO DE NEWTON – COTES
En otros términos:Primero: Dividir el intervalo [a, b] en “n” intervalos deigual magnitud en donde sus valores extremos son:
, siendo ,
Segundo: Se aproxima f (x) por un polinomio de grado“n”, Pn (x) y se integra para obtener la aproximación def(x).
22/07/2015 13
MÉTODO DE NEWTON – COTES
h h h h h . . . x0 x1 x2 x3 xi xi + 1
a b
MÉTODO TRAPEZOIDAL
1.Este método de integración numérica sefundamenta en la integración de la fórmula deinterpolación lineal.2.Que ocurre con (*) si n = 1, i.e., x0 = a , x1 = b,entonces la aproximación polinomial de f (x) esuna línea recta, i.e., P1 (x)3.La aproximación a la integral es el área deltrapezoide bajo la línea recta.
14
MÉTODO DE NEWTON – COTES
MÉTODO TRAPEZOIDAL
Área del trapecio con vértices
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MÉTODO DE NEWTON – COTES
)()()( 1
0
xdxPdxxfx
x i
b
a
)(),(,, 1010 xfxfxx
4.Para realizar la integración , se requiere usar unade las representaciones del polinomio P1 (x).5.Pero f (x) está dado para valores equidistantes de xcon distancia h, la relación lógica es una de lasfórmulas en diferencias divididas finitas (haciadelante, hacia atrás)6. Supongamos que elegimos las diferenciasdivididas finita hacia delante tendremos
16
MÉTODO DE NEWTON – COTES
En nuestro caso: , luegoTenemos la integral
(2)
La integral de lado derecho debe estar en funciónde s, i.e.,
17
MÉTODO DE NEWTON – COTES
0
03
02
000
!))1()....(3)(2)(1(
...!3
)2)(1(!2
)1()(
xfn
nsssss
xfsssxfssxfsxfshxP
n
n
)()( 1 xPxf 00011 )()( xfsxfshxPxP
1
000)(
x
x
b
adxxfsxfdxxf
hdsdxshxx
;0
18
MÉTODO DE NEWTON – COTES
)()()()()(:
2)(
)(
)(2
)(
)()()()(
01
000
00
1
0
0
2
0
1
0 00001
0
xfxfxfhxfxfPero
xfxfh
xfssxfh
dsxfsxfhdxxfsxfx
x
b
axfxfhdxxf )()(
2)( 01
Algoritmo del Método
Trapezoidal
Ejemplo: Usar el método trapezoidala) Aproximar el área A1 bajo la curva de la función
dada por la tabla siguiente, en el intervalo a =500, b = 1800
b) .c) .
19
MÉTODO DE NEWTON – COTES
Puntos 0 1 2 3 4 5
f (x) 9 13 18 23 25 27
x 500 900 1400 1800 2000 2200
6
02 )1( xA
4
2
23 )432( dxxxA
2
04
senxdxA
2
05 cos
xdxA
Solución : A) h = 1800 – 500 = 1300 ; x0 = 500 , x1 = 1800
b) h = 6 – 0 = 6 ; x0 = 0 , x1 = 6
c) h = 4 - (-2) = 6 ; x0 = -2 , x1 = 4 : f (x) = 2 + 3x + 4x2
d)
20
MÉTODO DE NEWTON – COTES
20800161300)923(2
13001 A
222 2424713)6()0(
26 uAfffA
223 270078123)4(4122)4(462
26 uA
senxxfxxhh )(,2
,0,2
02 10
244 442
04
uAsensenA
MÉTODO DE SIMPSON
Supongamos que el intervalo de integración esdividido en n subintervalos con longitudes iguales,i.e.,
Supongamos que n=2 es decir al intervalo [a,b] sele divide en dos subintervalos en toncestendremos:
21
MÉTODO DE NEWTON – COTES
Se aproxima f(x) por una parábola
Usemos la formula de Newton en diferenciasfinitas hacia delante
22
MÉTODO DE NEWTON – COTES
)(!2
1)()()()( 02
00022 xfssxfsxfshxPxP
Algoritmo del Método
Simpson
Ejemplos: usando los datos anteriores aplicar elalgoritmo de Simpsona)
b)
23
MÉTODO DE NEWTON – COTES
1800;1150650500;500;6502
5001800210
XXXh
)1800()1150(4)500(3
6501 fffA 33.2086923)08.16(49
3650
1 A
5
02 32 dxxA
5.4717)5.9(4235.2
))5(32())5.2(32(4235.2
)()(4)(35.2
5;5.25.20;0;5.22
05
2
2
2102
210
A
A
XfXfXfA
XXXh
GeneralizandoConsideremos el intervalo [a,b] dividido en nsubintervalos proporcionando n+1 puntos equidistantesen donde x0=a; xn=b, en esta oportunidad el polinomiode interpolación es de n-esimo grado, luego laaproximación de la integral:
24
MÉTODO DE NEWTON – COTES
...)(
!3)2)(1()(
!21)()()()( 0
30
2000 xfsssxfssxfsxfshxPxP nn
)(!
))1()...(2)(1(0xf
nnssss n
Entonces la aproximación de la integral estará dadopor::
Que ocurre si integramos los cinco primeros términos
22/07/2015 25
MÉTODO DE NEWTON – COTES
b
adxxf )(
dsshxPhdxxPdxxfnx
x
nnn
b
a 0 0
0 )()()(
dsxfn
nssssxfsssxfssxfsxfhn n
000
30
200 )(
!))1()...(2)(1(...)(
!3)2)(1(
!21)()(
nb
axfssssxfsssxfssxfsxsfhdxxf
00
42345
03
2340
223
02
0 )(872
1116120
)(6624
)(46
)(!2
)()(
b
axfnnnnxfnnnxfnnxfnxnfhdxxf )(
87211
16120)(
6624)(
46)(
!2)()( 0
42345
03
2340
223
02
0
Que ocurre si n = 1 Trapezoidal
Que ocurre para n = 2 Simpson 1/3
Si n = 3 ; Simpson 3/8
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MÉTODO DE NEWTON – COTES
)()(2
)( 101
0xfxfhdxxf
x
x
2
002
2
0)(
2)(
x
x
x
xdsshxPhdxxf
)()(4)(3
)( 2102
0xfxfxfhdxxf
x
x
)()(3)(3)(83)( 3210
3
0xfxfxfxfhdxxf
x
xa = X0 X1 X2 = b
f (X0)f (X1)
f (X2)
MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓNEn ocasiones el intervalo de integración tiene unalongitud grande, entonces resulta conveniente dividirlo ensubintervalos y aproximar cada una por medio de unpolinomio.
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MÉTODO DE NEWTON – COTES
XX0 x1
a b
f(x0)
f(x1)
f(X)
f(x0)
f(x1)f(X)
f(x2)f(xn-1) f(xn)
f(x)
X0 x1 x2 xn-1 xn
a b
MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓN
Donde:Pi(x): es un polinomio de primer orden, i.e., la recta quepasa por (Xi-1, f(Xi-1)), (Xi, f(Xi)).Aplicando el método del trapezoide en cadasubintervalo:
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MÉTODO DE NEWTON – COTES
dxxPdxxPdxxPdxxPdxxfbnx
nxn
x
x
x
x
b
a
x
xa)()()()()(
1
3
23
2
12
1
01
)()(2
)()(2
)()(2 1
121
1210
01nn
nn xfxfxx
xfxfxx
xfxfxx
I
Que ocurre si todos los intervalos tienen la mismalongitud h, i.e.,Xi+1 - Xi = hi; i=0, 1,2,…,(n-1).
29
MÉTODO DE NEWTON – COTES
)()(2)(2
)()(2)(2)(2)(2
1
10
1210
nn
ii
nn
xfxfxfhI
xfxfxfxfxfhI
Ejemplos1) Usar el método trapezoidal compuesto para aproximar
el área bajo la curva de la función dada por tabulaciónen x = -1 y x = 4
Solución:Observación, se aplica cinco veces el método deltrapezoide. h=1
30
MÉTODO DE NEWTON – COTES
239238)76201010(2821
A
Ejemplos2)Aplicar el método en análisis si f(x)=x4 – 2x2 + x + 10;
x0= -1 xn =4; h = 1
Solución:
31
MÉTODO DE NEWTON – COTES
239238)76201010(2821
)()(2)(21
54
10
A
xfxfxfAi
i
MÉTODO COMPUESTO DE SIMPSONRecordemos que para aplicar el método de Simpson senecesita dos subintervalos y como queremos aplicarlo n-veces entonces se debe dividir el intervalo [a, b] en unnúmero de subintervalos igual a 2n.Veamos gráficamente esto:
32
MÉTODO DE NEWTON – COTES
Observamos que cada par de subintervalossucesivos aproximamos f(x) por medio de unpolinomio de segundo orden (parábola) y seintegra usando el método de Simpson de talmanera que la suma de las áreas parcialesproporcione el área total, es decir:
22/07/2015 33
MÉTODO DE NEWTON – COTES
dxxPdxxPdxxPdxxPdxxfIbnx
nxn
x
x
x
x
b
a
x
xa)()()()()(
2
6
43
4
22
2
01
: Donde Pi; i=1,2,…; es el polinomio de grado dosque pasa por tres puntos consecutivos usando elmétodo del Trapezoide.
Si h1= h2=…= hn, entonces tenemos
34
MÉTODO DE NEWTON – COTES
)()(4)(3
)()(4)(3
)()(4)(3 12432
2210
1nnn
n xfxfxfh
xfxfxfh
xfxfxfh
I
1
1 20 )()(2)(4)(
3
n
i inii xfxfxfxfhI
)()(4)(3
)()(4)(3
)()(4)(3 12432210 nnn xfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhI
Ejemplos:1) Usando el método de Simpson compuesto,aproximar el área bajo la curva considerando losdatos anterioresAplicamos Simpson cuando i=0, 1, 2, 3, 4Aplico el método trapezoidal X4, X5
entonces
35
MÉTODO DE NEWTON – COTES
)()(2))()((4)(31
322101 xfxfxfxfxfA 666.7476)10(2)2010(4831
1572387621
2 A666.231157666.74 I
Ejemplos:Hallar la integral aproximada de entre -1 y1 Usar el método trapezoidal compuesto compareel resultado con 0.682 obtenido de tablas.Solución:Con n = 1El error relativo considerando el valor de la tabla
(determinar para n=2, 3 y 4)
36
MÉTODO DE NEWTON – COTES
2
2
21)(
x
exf
21
)1(1
h 484.0)606.0606.0(
21))()((
222
10
xfxfI
29.0682.0
682.0484.01
nE
ERRORES DE TRUNCAMIENTO EN LA APROXIMACIÓNTRAPEZOIDALEn esta oportunidad analizamos el error en unaintegración trapezoidal compuesta iniciemos por tener encuenta el i–esimo trapezoide, consideremos los puntos xi-1y xi con una distancia de h=(b-a)/n, además supongamosque F(x) es la primitiva del integrando f(x) luego entoncespodemos integrar f(x) en el intervalo [xi-1, xi ] es decir
37
ERROR DE TRUNCAMIENTO
Por otro lado la aproximación numérica de la integralusando el método del Trapezoide es:
Suponiendo que no existe errores en el cálculo entoncesse puede suponer que:Aplicamos la serie de Taylor alrededor de x= xi en f(x) detal manera que obtenemos f(xi-1).
.
38
ERROR DE TRUNCAMIENTO
Considerando que h<<1 los términos h4, h5,... puedendespreciarse de tal manera que el error de truncamientodel i-esimo trapezoide es dado por,Si además paraentonces,De donde se tiene para n trapezoide
Consecuentemente para fines de análisis el error detruncamiento en el método trapezoidal se expresa así.
41
ERROR DE TRUNCAMIENTO
INTEGRACIÓN DE ROMBERGLlamado también como técnica de extrapolación deRichardson se usa finalidad de acelerar laconvergencia de muchas técnicas de aproximación.Estas técnicas tienen su base en el análisis del errorde truncamiento. Veamos la metodología.
Supongamos una aproximación y que suerror de truncamiento sea expresado de la siguientemanera, en donde c es independientede h , r es entero positivo y es un punto desconocidodel intervalo (a,b).
42
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
Supongamos que obtenemos dos aproximacionesde I empleando h1 y h2 es decir I1 y I2, ydespreciamos los errores de redondeo podemosescribir:
Dividiendo miembro a miembro y considerando quey y son iguales entonces se tiene,
43
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
Considerando h2=h1/2 se tiene
Cuando se trata de una aproximación trapezoidal se usar=2 en consecuencia tenemos
En General se tiene el algoritmo
44
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
45
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
k Numero de
trapezoides 2k
Aproximación
trapezoidal
Primera
extrapolación
Segunda
extrapolación .......
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
:
Ejemplo. Encuentre una aproximación de la integral
Usando 1,2,4,8,16 trapezoides. Con los resultadosobtenidos usar la aproximación de Romberg para mejorarla integración compare los valores obtenidos con el valorcalculado analíticamente 0.6366197.Solución: Construir un programa para el ejemplo y obtener losvalores
46
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
k 2k
0 1 0.0
1 2 0.5
2 4 0.6035534
3 8 0.6284174
4 16 0.6345731
Obsérvese con estos tres breves cálculos se obtienenmejores aproximaciones de la integral.Si aplicamos Romberg con m=0 tenemos
47
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
Para valores de m=3, m=4
48
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
k 2k
0 1 0.00000
1 2 0.500000 0.6666667
2 4 0.6035534 0.6380712 0.6361648
3 8 0.6284174 0.6367054 0.6366143 0.6366214
4 16 0.6345713 0.6366250 0.6366196 0.6366197 0.6366197
:
Las formulas usadas hasta la actualidad para aproximarintegrales se basaban en polinomios de interpolación,considerando valores de la función igualmenteespaciados fenómeno que conducen a ciertaimprecisión.Con la finalidad de mejorar esta condición la cuadraturaGaussiana se usan puntos de evaluación, onodos que no son igualmente espaciados se eligennodos en el intervalo [a,b] y coeficientesque minimicen el error que se espera obtener en laaproximación.
49
CUADRATURA GAUSSIANA
Los coeficientes son tomados arbitrariamentecon la única restricción de que los nodos se encuentrenen [a,b]. Estos nodos nos proporciona 2n parámetrospara elegir, s se considera los coeficientes de unpolinomio como parámetros, entonces la clase depolinomios de grados menores o iguales a 2n-1también tienen 2n parámetros y esto es la clase depolinomios donde se espera que la formula sea exacta.Los siguientes gráficos muestran como se integrausando el trapezoide uniendo el punto A decoordenadas (a,f(a)) con el punto B de coordenadas(b,f(b)) con h=(b-a)
50
CUADRATURA GAUSSIANA
Método Trapezoidal Método de Gaussiana con dos puntosPues el área del trapecio es
Que se podría escribirse como
51
CUADRATURA GAUSSIANA
BA
f(x)
a b x
yY
DC
f(x)
a b x
DEDUCCIÓN DE LA TÉCNICA GAUSSIANAConsideremos la figura a seguir donde se desea encontrar laintegral de la función mostrada entre los limites -1 y 1 si loslimites fueran diferentes se hace un cambio de variable con lafinalidad de pasar a -1 y +1 , los puntos C y D se seleccionansobre la curva y se forma el trapezoide , E,F, G y H
52
CUADRATURA GAUSSIANA
F(x)
F(x2)F(x1)
GD
C
F
-1 x1 0 x2 1
E H
Supongamos que
En donde deseamos obtener c1, c2, x1, y x2, yconsideremos que la integración proporcione unresultado exacto con f(x) de menor grado es decir2(2)-1 =3 en otros términos
esto para ciertos coeficientes a0,a1,a2,a3
53
CUADRATURA GAUSSIANA
Esto es equivalente probar que la formula proporcionaresultados exactos cuando f(x) es , 1, x, x2 y x3, entoncestenemos,
De donde se obtiene
54
CUADRATURA GAUSSIANA
Pero una alternativa para nuestro problema son los“polinomios de Legendre” es un conjunto {P0(x),P1(x),...,Pn (x),... } que tienen las siguientes propiedades,•Para cada n, Pn(x) es un polinomio de grado n
Siendo los primeros polinomios de Legendre
55
CUADRATURA GAUSSIANA
Debemos decir que todos estos polinomios tienenraíces distintas y se encuentran en el intervalo [-1,1] y seubican simétricamente con respecto al origen y lo masimportante son los nodos que se utilizan para resolvernuestro problema.Debemos tener en cuenta los nodos queson necesarios para generar una formula de integraciónnumérica que sea exacta en los polinomios de gradomenor o igual a 2n-1 son las raíces del polinomio deLegendre de grado n. En donde los coeficientesapropiados para evaluar las funciones en cada nodo sondado de la siguiente manera:
56
CUADRATURA GAUSSIANA
.
Para la comodidad debemos decir que tanto las raíces de lospolinomios de Legendre como los coeficientes se encuentrantabulados
.
57
CUADRATURA GAUSSIANA
Numero de puntos rn,i Raíces Coeficientes cn,i
20.5773502692 1.0000000000-0.5773502692 1.0000000000
30.7745966692 0.55555555560.0000000000 0.8888888889-0.7745966692 0.5555555556
40.8611363116 0.34785484510.3399810436 0.6521451549-0.3399810436 0.6521451549-0.8611363116 0.3478548451
50.9061798459 0.23692688500.5384693101 0.47862867050.0000000000 0,5688888889-0.5384693101 0.4786286705-0.9061798459 0.2369268850
Si consideramos la siguiente relación lineal.
Transforma la variable x del intervalo [a, b] en lavariable t del intervalo [-1,1] esto quiere decir quepodemos usar el polinomio de LEGENDRE.
58
CUADRATURA GAUSSIANA
Ejemplos:Determinar la aproximación decuyo valor con siete decimales, es 0.1093643.SoluciónPrimero. Transformar el intervalo [1,1.5] en un intervalo[-1,1]
59
CUADRATURA GAUSSIANA
Las técnicas usadas para aproximar integrales puedenser modificadas de manera natural para usarlas enaproximaciones de integrales múltiples,Supongamos que tenemos , donde R es unaregión rectangular en el plano,
Donde a, b, c y d son constantes. Usando Simpsoncompuesto , determinamos el tamaño de pasoh =(b-a)/n; k=(d-c)/m en consecuencia se tiene
22/07/201561
INTEGRALES MÚLTIPLES
. Usamos la metodología de Simpson compuesto paradeterminar, considerando x como constante,sea yj =c+jk para j=0,1,2,...,m
62
INTEGRALES MÚLTIPLES
Aplicando Simpson Compuesto en cada intervalo conxi=a+ih para cada i=1,2,...,n y j=0,1,2,...,m.
EjemploAplicar la metodología de Simpson para aproximar,
63
INTEGRALES MÚLTIPLES
Primero, determinar h y k para ello consideramos n=4 ym=2, entonces, h=0.15, y k=0.25 .la región deintegración será:
64
INTEGRALES MÚLTIPLES
| | | | |
1.40 1.55 1.70 1.85 2.00
1.50 –
1.25 –
1.00 --
Y
X
1 4 2 4
4 16 8 16
1 4 2 41
1
4
Segundo: calculo
Ejemplo.Calcular la aproximación de
SoluciónPrimero. Calculamos el k=(3-0)/6.=0.5
Segundo. Aplicamos Simpson compuesto a la integral manteniendoconstante a la variable y
65
INTEGRALES MÚLTIPLES
Tercero. Integramos el eje y dividendo en m=8subintervalos,Cuarto. Aplicamos Simpson compuesto a la integral
66
INTEGRALES MÚLTIPLES
INTEGRALES IMPROPIASDebemos decir que las integrales impropias hacen suaparición cuando se extienden la noción de integral a unintervalo con extremo infinito o los dos. En cualquierade los casos las reglas de aproximación deben demodificarse.En primer lugar nos interesa analizar cuando elintegrando no se encuentra acotado en el extremoizquierdo del intervalo de integración como se muestraen la siguiente figura.
67
INTEGRALES IMPROPIAS
En el caso anterior se dice que f (x) tiene una singularidad enel extremo aEn otras palabras la integral impropia con una singularidadizquierda.
converge si solo si 0<p<1 en tal caso,
68
INTEGRALES IMPROPIAS,,,,,,,
a b
y=f(x)
y
x
, al rededor de a.
Si f(x) es una función que podemos escribir como, con 0<p<1, g continua en [a, b], entonces la
integral impropia, , también existe y aproximaremos laintegral usando la metodóloga de Simpson Compuesto, sig pertenece a C5[a, b], en consecuencia podemos escribirel cuarto polinomio de Taylor de g al rededor de a.
69
INTEGRALES IMPROPIAS
Podemos determinar exactamente el valor de,
Esta relación es generalmente la aproximación dominanteespecialmente cuando el polinomio de Taylor es de cuartogrado y se acerca mucho a la función g(x) en todo elintervalo [a, b].. Para determinar la aproximación de f(x)se debe de agregar el valor de aproximación,
70
INTEGRALES IMPROPIAS
Para la aproximación definimos,
EjemploUsar la metodología de Simpson Compuesto con h=0.25para aproximar el valor de la integral impropia ,SoluciónEl cuarto polinomio de Taylor de ex alrededor de x=0 es
71
INTEGRALES IMPROPIAS
Una parte de la aproximación de , viene dadapor,
Para la otra parte de aproximación de es necesarioaproximar la integralsiendo
72
INTEGRALES IMPROPIAS
Para aplicar Simpson compuesto se necesita
73
INTEGRALES IMPROPIAS
x G(x)0.00 00.25 0.00001700.50 0.00040130.75 0.00260261 0.0099485
La integral impropia con singularidad en el extremoderecho, podemos aplicar la técnica que terminamos deusar solo que debemos desarrollar la función en elextremo derecho alrededor de b, por cuestionespedagógicas hacemos el cambio de variable z=-x , dz =- dxobteniendo,
que tiene su singularidad en el extremo izquierdoobservar la figura adjunta, y aplicar la aproximación decon la metodología anterior y obtenemos la aproximacióndeseada de :
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INTEGRALES IMPROPIAS
Una integral impropia con singularidad en c tal que a<c<b,este caso se trata como la suma de dos integralesimpropias con singularidad en los extremos, es decir:
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INTEGRALES IMPROPIAS
a b
y=f(x)
y
x-b -a
y=f(-z)
y
z
Otro tipo de integrales impropias son las que consideranlimites infinitos de integración el modelo básico deintegración convergente es:
para p>1 Esta integral se convierte en una integralimpropia con una singularidad en el extremo izquierdohaciendo el siguiente cambio de variables.t=x-1, dt=-x-2dx en consecuencia dx=-x2dt=-t2dt,Entonces se tiene,
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INTEGRALES IMPROPIAS
De la misma manera el cambio anterior convierte a laintegral impropia , en una integral con singularidaden el extremo izquierdo.
Las integrales revisadas finalmente se pueden aproximarcon la metodología expuesta.EjerciciosUsar el método de Simpson compuesto para aproximar lasintegrales dobles con n=m=4
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