1 KL3103 Gelombang Acak Buku teks : Goda, Yoshimi. 2010. “Random Seas and Design of Maritime Structures 3 rd Edition”. World Scientific, Singapore. Dean, R.G, Dalrymple. 1991. “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”. World Scientific Mekanika Gelombang Gelombang monokromatis = gelombang reguler. Memiliki 1 nilai H dan 1 nilai T. Merambat pada kedalaman perairan h. [perairan dangkal] [perairan dalam] [perairan transisi] Gelombang nyata memiliki bermacam nilai H dan T yang terjadi di kedalaman h. Parameter utama gelombang air: 1. H 2. T 3. h → tempat kejadian 4. L → tidak independen, bergantung pada T dan H (persamaan dispersi) T dan h → = kecepatan sudut = bilangan gelombang (wave number)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
KL3103 Gelombang Acak
Buku teks :
Goda, Yoshimi. 2010. “Random Seas and Design of Maritime Structures 3rd Edition”. World Scientific,
Singapore.
Dean, R.G, Dalrymple. 1991. “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”. World Scientific
Mekanika Gelombang
Gelombang monokromatis = gelombang reguler.
Memiliki 1 nilai H dan 1 nilai T.
Merambat pada kedalaman perairan h.
[perairan dangkal]
[perairan dalam]
[perairan transisi]
Gelombang nyata memiliki bermacam nilai H dan T yang terjadi di kedalaman h.
Parameter utama gelombang air:
1. H
2. T
3. h → tempat kejadian
4. L → tidak independen, bergantung pada T dan H (persamaan dispersi)
T dan h →
= kecepatan sudut
= bilangan gelombang (wave number)
2
Elevasi Muka Air
Persamaan elevasi muka air (selanjutnya disingkat EMA) dari mekanika gelombang:
Keterangan:
H = tinggi gelombang (m)
Fungsi harmonik yang dipilih adalah fungsi cosinus.
Nilai cosinus bervariasi terhadap ruang x dan waktu t.
Dalam profesi Teknik Kelautan, yang disebut dengan data mentah (raw data) gelombang air adalah
record η = EMA sebagai fungsi waktu t.
Periode gelombang laut berkisar dari beberapa detik sampai dengan 30-an detik. Untuk mendapatkan
record η(t) yang dapat menunjukkan variasi η dalam waktu, harus dipilih Δt (jarak antara titik dalam
waktu) yang cukup kecil. Lazimnya diterapkan Δt = 0,5 s. Sehingga sampling rate-nya adalah
= 2 Hz.
Dalam kenyataannya, gelombang laut tidak monokromatik. Gelombang laut bersifat acak dalam tinggi
dan perioda. Diilustrasikan dalam ruang x dan waktu t sebagai berikut.
3
Gelombang perlu di-parameterkan (diwakili oleh parameter fisik tertentu) untuk menunjukkan
karakternya. Untuk gelombang reguler:
1. H
2. T
3. h
4. L
Untuk gelombang acak: ada 1 nilai h dan banyak nilai H, T, dan L.
Dua pendekatan untuk masalah gelombang acak
1. Pendekatan domain waktu.
Statistik gelombang individual yang diperoleh dari seri waktu EMA = η(t).
2. Pendekatan domain frekuensi.
Transformasi Fourier atas seri waktu EMA → spektrum gelombang
Gelombang acak dipecah menjadi beberapa gelombang individual (1 puncak dan 1 lembah)
Domain Waktu
Seri waktu EMA dipilah menjadi gelombang individual (Hi, Ti)
i = indeks gelombang individual = 1, 2, 3, ..., N
N = jumlah gelombang individual dalam data seri waktu yang dibahas
Misal:
Seri waktu EMA tersedia 1 tahun.
Periode rata-rata = 5 s.
= 6.307.200 gelombang individual
Cara mengidentifikasi gelombang individual:
1. Cara zero up-crossing
2. Cara zero down-crossing
4
Dalam praktek, data gelombang tidak langsung tersedia dalam bentuk H, T. Raw data berbentuk seri
waktu (time series) EMA.
Sketsa seri waktu EMA hasil pengukuran Δt lazimnya ≤ 0,5 detik (ukur gelombang). Dalam kenyataan,
gelombang laut acak (random). Perlu cara untuk mengkarakterisasi gelombang acak.
Gelombang Reguler Gelombang Acak
Diwakili oleh parameter:
h
H
T
L
Apa parameternya?
h (sama)
pendekatan domain waktu
pendekatan domain frekuensi
5
Pengenalan awal tentang domain waktu dan domain frekuensi
Domain Waktu Domain Frekuensi
Tinjau kronologis-fisik [sketsa timeseries] Seri waktu ema (η) diurai menjadi gelombang individual:
Zero up-crossing
Zero down-crossing
Tinjauan menggunakan transformasi Fourier Seri waktu η(t) ditransformasikan menjadi koefisien Fourier → spektrum gelombang
Goda (3rd edition) (2010) halaman 23-24: 4 jenis gelombang yang merepresentasi:
1. : gelombang tertinggi
2.
: gelombang “
”
3.
: gelombang signifikan atau gelombang “
”
4. : gelombang rata-rata (mean wave)
Hmax = tinggi gelombang individu terbesar dalam himpunan yang ditinjau
Tmax = periode gelombang yang menyertai Hmax
Hi = tinggi gelombang individual
Ti = periode gelombang individual
6
N = jumlah gelombang individual dalam himpunan
i = indeks gelombang individu = 1, 2, 3, ..., N (kronologis)
Diperkenalkan ranking
Ranking (r) (besar → kecil)
H individual (m)
T individual (m)
1 2 3
N
7,27 7,14 7,12
dst.
9,03 5,33 6,26
dst.
n = angka partisi yang dipilih misal : n = 3 →
n = 10 →
n = 100 →
! AWAS: r disusun berdasarkan H, bukan T
Distribusi Gelombang Individual
Tinjau hanya tinggi gelombang individual Hi.
i = 1, 2, 3, ..., N (Goda (2010), 2.2.1, page 24)
Dibuat histogram gelombang individual.
Dalam ilustrasi ini dibuat histogram per ½ meter tinggi gelombang
7
Histogram yang dinormalkan N = jumlah gelombang individual = tinggi gelombang rata-rata ΔH = interval histogram fisik
Seri waktu η(t)
↓
Gelombang individual (Hi, Ti)
↓
Histogram Hi saja
↓
Histogram dinormalkan dengan cara seperti dijelaskan
↓ Ini dapat menjadi satu karakter laut yang ditinjau (beda laut beda distribusi) Distribusi gelombang individual
Dari populasi gelombang individual
Hi = 1, 2, 3, ..., N
disusun grafik probabilitas sebagai berikut.
Distribusi tinggi gelombang individual dapat menjadi bagian dari karakter gelombang di suatu perairan.
Pembentukan grafik distribusi mudah (straight forward) → ikuti prosedur Goda.
Namun: hanya bisa menyusun grafik distribusi jika punya data riil gelombang individual dalam jumlah
besar atau kurun waktu lama. → ini langka karena pengukuran gelombang mahal.
8
Diperkenalkan: distribusi tinggi gelombang teoritis/sintetis → distribusi Rayleigh
(2.1) Goda (2010)
x p(x)
0.0 0.000
0.2 0.304
0.4 0.554
0.6 0.710
0.8 0.760
1.0 0.716
1.2 0.608
1.4 0.472
1.6 0.337
1.8 0.222
2.0 0.136
Apa gunanya?
1. Ini xp apa?
Hp = nilai tinggi gelombang yang paling banyak terjadi dalam populasi.
2. Luas yang diarsir terletak di antara:
Luasnya = p(x)∙[x2 – x1] = probabilitas kejadian gelombang yang tingginya H1 ≤ Hi ≤ H2.
3. Luas keseluruhan = jumlah bagian = 1 = probabilitas semua kejadian gelombang.
4. Kaitan dengan tinggi gelombang signifikan
= rata-rata dari 1/3 tinggi gelombang individual terbesar.
9
5. Kaitan dengan
(mirip dengan
)
6.
10
Distribusi Tinggi Gelombang Individual
Merupakan salah satu cara menyatakan karakter (sifat) gelombang acak.
Dapat dengan mudah dibuat jika data gelombang individual dimiliki (= himpunan Hi yang diperoleh dari
seri waktu ema). → ikuti prosedur di Goda (2010) butir 2.2.1.
Secara teoritis diperkenalkan distribusi gelombang individual Rayleigh.
Distribusi Rayleigh:
;
(2.1)
Diperkenalkan: probabilitas terlampaui
Ranking
r Hi
(meter) Probabilitas Terlampaui
1 2 3
N
10,37 10,16 9,71
0,01
0,000... 0,000... 0,000...
0,999...
Di-plot
Format 1: sumbu P mendatar
Format 2: sumbu P vertikal mengikuti fig. 2.4 (Goda, 2010)
11
Selanjutnya: probabilitas terlampaui mengikuti distribusi gelombang individual Rayleigh.
Probabilitas terlampaui teoritis sesuai distribusi Rayleigh
(2.2)
= distribusi gelombang individual Rayleigh
Pertanyaan:
1. Di mana posisi
?
2. Apa makna xb?
12
Hubungan Antar Nilai Tinggi Gelombang
Tinjau kembali distribusi gelombang individual Rayleigh.
Karena bentuk kurva Rayleigh tertentu, maka posisi ,
, ,
juga tertentu.
Dapat dicari hubungan antar mereka:
(2.3) → berdasarkan distribusi gelombang individual Rayleigh
Jika distribusi diperoleh dari data gelombang riil (lapangan), angka hubungan belum tentu sama dengan
angka Rayleigh.
Gelombang Maksimum
Di mana posisi
?
Hmax = gelombang tertinggi dalam himpunan yang ditinjau.
Hmax hanya ada satu dalam populasi, tidak bisa diwakili dengan angka luas tertentu. Maka, hubungan
Hmax dengan tinggi gelombang lain tidak bisa diturunkan seperti persamaan 2.3 Goda.
Makin besar populasi gelombang individual, makin besar peluang nilai Hmax lebih tinggi.
13
Goda (2010) memberikan rumus sebagai berikut:
1. Most probable value (modus)
(2.4)
N = jumlah populasi gelombang individual yang ditinjau.
2. Nilai “rata-rata” Hmax
(2.5)
= koefisien Euler = 0,5772
3. Nilai Hmax yang memiliki probabilitas terlampaui μ
(2.6)
Contoh 2.1 di halaman 30 Goda (2010)
Hubungan antar tinggi gelombang:
Berdasarkan data gelombang riil → site specific
Berdasarkan distribusi Rayleigh → teoritis, exact
Hubungan berbasis distribusi Rayleigh
Gelombang terbesar = Hmax → hanya ada 1 nilai Hmax dalam populasi.
Persamaan 2.4 sampai dengan 2.6 memberikan rumus Hmax yang bergantung kepada N = jumlah
gelombang individual dalam populasi. Mengapa?
14
Posisi xmax bergeser mengikuti nilai N. Makin besar nilai N, nilai xmax makin bergeser ke kanan (makin
besar).
Contoh dari Goda (2010) Example 2.1
Diketahui:
1. Populasi gelombang individu = 500
2.
= 6,0 m
Hitung: nilai modus dan nilai rata-rata Hmax.
Jawab:
Buat tabel untuk N berbeda.
N
500 5 000
50 000 500 000
5 000 000
10,6 m 12,4 m 13,9 m 15,3 m 16,6 m
11,1 m 12,8 m 14,3 m 15,7 m 16,9 m
Nilai Hmax meningkat dengan N
Untuk taksiran kasar, Goda merekomendasikan
(2.7)
Bagaimana dengan perioda?
Hubungan empiris dari sejumlah data lapangan:
15
Angka rata-rata:
(2.9)
Analisis gelombang acak:
Dalam domain waktu (time domain).
Dalam domain frekuensi (frequency domain).
Domain Waktu
Gelombang dipandang sebagai seri waktu kejadian ema yang
berubah terhadap waktu ↓
Seri waktu ema dipilah (broken down) menjadi gelombang
individual dengan identitas Hi, Ti
↓ Statistik gelombang individual
merupakan pokok bahasan dalam domain waktu
Domain Frekuensi
Gelombang acak dalam domain frekuensi dipandang sebagai sinyal. Analisis sinyal mengikuti disiplin
iptek yang sudah terlebih dahulu mapan, misalnya elektro.
Tool (perkakas) utama dalam analisis sinyal adalah deret Fourier.
Fourier menyatakan bahwa (hampir) setiap fungsi f(t) dapat didekati/diwakili oleh deret Fourier sebagai
berikut.
k = indeks Fourier = 1, 2, 3, ..., N
a0, ak, bk = koefisien Fourier
Fourier memandang fungsi f(t) sebagai superposisi gerak harmonik (sinus, cosinus) dengan suku deret
tidak terbatas. Dalam praktek perhitungan, tidak ada istilah ‘tidak terbatas’. Jumlah suku dalam deret
Fourier akan dibatasi suatu angka yang besar.
16
Ilustrasi deret Fourier
Secara matematika, koefisien Fourier dihitung dengan rumus sebagai berikut.
Semua formulasi di atas ditulis dalam bentuk matematika murni (integral, tak berhingga). Dalam praktek
komputasi, perlu adaptasi numerik agar perhitungan dapat dilakukan dengan bantuan komputer.
Pernyataan diskrit deret Fourier
= seri waktu ema yang diketahui
(11.14) Goda 2010
N = jumlah titik data dalam seri waktu η(t)
k = indeks Fourier
= 1, 2, 3, ..., N
(11.15)
k = 0, 1, 2, ...,
17
(11.16)
k = 1, 2, 3, ...,
DOMAIN WAKTU
DOMAIN FREKUENSI
koefisien Fourier
k = 1, 2, 3, ...,
Hendak diapakan?
Diperkenalkan: spektrum gelombang
Tata sumbu
f = frekuensi =
T = periode gelombang
S = power spectral density (PSD)
k = indeks Fourier = 0, 1, 2, ...,
k = 0 → S0 = S(f=0) = 0
k = 1, 2, ...,
→ Sk = S(fk) =
k =
→
tmax = durasi seri waktu η(t)
fk = k∙Δf
18
DOMAIN WAKTU
= 1, 2, ..., N
DOMAIN FREKUENSI
k = 0, 1, 2, ...,
Sk dihitung dengan rumus yang sudah diperkenalkan
Pengertian spektrum gelombang dari buku Dean, Dalrymple “Water Wave Mechanics” chapter 7:
(7.22)
an = amplitudo Tn = perioda = fasa
Komponen ke-n deret Fourier
Bandingkan, sebelumnya deret Fourier ditulis:
Ingat identitas trigonometri:
a = amplitudo
= fasa
A, B = koefisien Fourier
Dengan:
Jadi, deret Fourier dapat dinyatakn lebih dari satu cara tanpa mengubah esensi permasalahannya.
A, B → diperoleh dari transformasi Fourier → amplitudo a bisa dihitung ( )
19
Spektrum gelombang hanya butuh “a”. Informasi tentang fasa φ hilang dalam proses transformasi Fourier.
Mengikuti buku DD1991, susun sebagai berikut (fig. 7.2) :
1) Spektrum amplitudo
2) Spektrum energi
3) Spektrum kerapatan energi
4) PSD = power spectral density → dibuat kontinu
PSD =
Kini: Jika diberikan η(t) = seri waktu ema → dapat menyusun spektrum gelombang.
Butuh: “tools” (perkakas, software) untuk transformasi Fourier untuk mengkonversi η(t) menjadi a.
TF : Transformasi Fourier
ITF : Invers Transformasi Fourier
ηi : i = indeks ema = 1, 2, 3, ..., k k = jumlah titik data dalam seri waktu ema
an : n = 1, 2, 3, ..., N = indeks komponen Fourier N = jumlah komponen Fourier yang diperhitungkan
20
Hubungan parameter dalam domain waktu dan domain frekuensi.
tmax = durasi data ema (s) = k∙Δt k = jumlah titik data ema Δt = interval waktu antar titik data (s)
(Hz =
)
fnyq = frekuensi Nyqwist = frekuensi terbesar yang
dihitung dalam domain frekuensi
=
Kenapa dibatasi?
f kecil → T besar → gelombang panjang
f besar → T kecil → gelombang pendek
Gelombang terpendek yang bisa terekam dalam domain waktu adalah sebagai berikut:
Spektrum Gelombang Teoritis atau Semi-Empiris
Jika data riil gelombang tersedia → spektrum gelombang dapat dibuat. Tapi data riil gelombang langka.
Diperkenalkan spektrum gelombang yang telah diformulasikan dalam literatur teknik kelautan.
21
1. Formula baku spektrum gelombang (fully developed wind wave)
(2.10)
,
= gelombang signifikan
Spektrum ditentukan dari
,
→ misalnya dari penaksiran gelombang berbasis data angin
2. Spektrum BM (Bretschneider-Mitsuyasu)
(2.11)
3. Spektrum JONSWAP
(2.12)
Parameter baru: , ,
= 1 – 7, rata-rata 3.3
TP = periode puncak spektrum
(2.13) (2.14)
4. Spektrum Wallops
(2.16) (2.17)
22
= fungsi Gamma
Untuk m=5 → spektrum Wallops = spektrum BM
(2.18)
5. Spektrum TMA (Texel, Marsen, Arsole)
= spektrum JONSWAP (2.12)
(2.19)
6. Spektrum Bretschneider (buku Reeve (2004))
= tinggi gelombang signifikan = periode gelombang rata-rata (mean)
(3.17) Reeve 2004
Persamaan empiris Bretschnetider
= periode puncak spektrum
= periodegelombang signifikan
7. Spektrum PM (Pierson-Moskowitz)
α = 8.1 x 10-3 g = percepatan gravitasi = 9.8 m/s2
(3.18) Reeve 2004
Hubungan empiris Ochi
= kecepatan angin pada ketinggian 19,5 m di atas elevesi lahan/laut
23
Profil kecepatan angin
Alat ukur angin biasanya ditempatkan pada ketinggian 10 meter.
Dari catatan data angin (misalnya dari BMKG) diperoleh U10.
Nilai U19,5 didekati dengan rumus:
Selanjutnya:
Kini, hakikat spektrum gelombang telah dipahami. Spektrum menjadi salah satu acara untuk menyatakan
karakter gelombang.
Idealnya, spektrum gelombang disusun dari data riil gelombang.
Parameter domain waktu:
... (3.20) Reeve
24
Domain frekuensi juga memiliki parameter domain frekuensi yang dihitung dari spektrum gelombang.
Diperkenalkan:
Momen spektrum orde ke-k (k = 0, 1, 2, 3, ...)
Misal:
Luas daerah di bawah kurva spektrum
Hm0 = tinggi gelombang signifikan berbasis spektrum = 4,004
Periode gelombang berbasis spektrum
25
Sudah dibahas
Prosedur transformasi dari domain waktu ke domain frekuensi sudah baku dan tidak ada variasinya.
Siapapun yang melakukan transformasi secara benar akan mendapatkan spektrum gelombang yang