METODOS NUMERICOS EN INGENIERIATEMA: SOLUCION DE ECUACIONES
DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)EDWIN MARTIN PINO VARGAS ESCUELA DE
INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA, UNJBG TACNA
CASO No. 01: ECUACIN DE LAPLACE PARA UNA PLACA
CALENTADAFormulacin y solucin del problemaLa ecuacin general de
LAPLACE en forma bidimensional puede ser escrita como:
2T 2T 0 x 2 y2Su aproximacin en diferencias finitas ser:
... (1)
Ti 1, j 2Ti , j Ti 1, j x 2
Ti , j 1 2Ti , j Ti , j 1 y 2
0
.... (2)
Para una malla cuadrada x = y
Ti 1, j Ti 1, j Ti , j 1 Ti , j 1 4Ti , j 0 Ti , j (Ti 1, j Ti
1, j Ti , j 1 Ti , j 1 ) / 4
..... (4) ..... (5)
En primera instancia trataremos el caso ms simple, en el cual
las temperaturas en las fronteras tienen un valor fijo. Esta es
conocida como condicin de frontera tipo Dirichlet, para este caso
ilustrado en la figura,
Para este caso presentado en la figura anterior, por ejemplo
para el nudo (1,1) se tiene la siguiente ecuacin:
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T2,1 T0,1 T1, 2 T1,0 4T1,1 0 T1,1 (T2,1 T0,1 T1, 2 T1,0 ) /
4
..... (6) ..... (7)
Sin embargo T01=75C y T10=0C, por lo tanto la ecuacin anterior
(6) se puede expresar como:
4T1,1 T1, 2 T2,1 754T1,1 T1, 2 T2,1 75
....... (8) ....... (9)
De la misma manera podemos establecer las ecuaciones para los 8
nudos restantes, quedando un sistema de ecuaciones de la siguiente
manera:4 -1 -1 4 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 4 0 0 4 -1 -1 4 -1 -1 4 0
0 4 -1 -1 4 -1 -1 4 -1 -1 -1 -1 -1 -1 T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,3
T1,3 T2,3 T3,3 = 75 0 50 75 0 50 175 100 150
Solucin Numrica usando mtodos matriciales Para la solucin
numrica, podemos emplear mtodos matriciales ya utilizados
anteriormente y resolver el sistema de ecuaciones, para lo cual
completaremos la matriz de coeficientes con valores cero, calcular
la inversa y multiplicarla por el vector de coeficientes del lado
derecho, obtenindose:
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4 -1 0 -1 0 0 0 0 0
-1 4 -1 0 -1 0 0 0 0
0 -1 4 0 0 -1 0 0 0
-1 0 0 4 -1 0 -1 0 0
0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0
0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1
0 0 0 -1 0 0 4 -1 0
0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1
0 0 0 0 0 -1 0 -1 4
T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,3 T1,3 T2,3 T3,3 =
75 0 50 75 0 50 175 100 150
La inversa y multiplicacin por el vector de coeficientes lado
derecho da como resultado:
matriz inversa 0.30 0.10 0.03 0.10 0.06 0.03 0.03 0.03 0.01 0.10
0.33 0.10 0.06 0.13 0.06 0.03 0.04 0.03 0.03 0.10 0.30 0.03 0.06
0.10 0.01 0.03 0.03 0.10 0.06 0.03 0.33 0.13 0.04 0.10 0.06 0.03
0.06 0.13 0.06 0.13 0.38 0.13 0.06 0.13 0.06 0.03 0.06 0.10 0.04
0.13 0.33 0.03 0.06 0.10 0.03 0.03 0.01 0.10 0.06 0.03 0.30 0.10
0.03 0.03 0.04 0.03 0.06 0.13 0.06 0.10 0.33 0.10 0.01 0.03 0.03
0.03 0.06 0.10 0.03 0.10 0.30
matriz respuesta T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,3 T1,3 T2,3 T3,3 =
42.86 33.26 33.93 63.17 56.25 52.46 78.57 76.12 69.64
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Solucin Numrica usando mtodos iterativos (Mtodo de Liebman) La
mayora de soluciones numricas de la ecuacin de Laplace involucran
sistemas que son mucho mas grandes, por ejemplo el mismo ejemplo se
puede resolver usando una malla mayor como de 12 x 12, lo que
resultara en un sistema de 144 ecuaciones algebraicas lineales.
Esta situacin hace que una gran cantidad de ceros deben ser
empleados y por tanto se requiere gran cantidad de memoria
computacional, en tal sentido se debe recurrir a mtodos iterativos
para resolver estas ecuaciones elpticas como es el caso del mtodo
de Gauss-Seidel, el cual cuando es aplicado a las EDPs, es tambien
conocido como el mtodo de Liebmann. Para esta tcnica la ecuacin la
expresamos como la propuesta en la ecuacin (7).
T1,1 (T2,1 T0,1 T1, 2 T1,0 ) / 4
..... (10)
La cual se resuelve de manera iterativa de j=1 a n y de i=1 a m.
Debido a que la matriz que genera es diagonalmente dominante, este
procedimiento convergir en una solucin estable. En algunos casos
debemos emplear sobre relajacin para acelerar la razn de
convergencia, aplicando la siguiente formula despus de cada
iteracin.
Ti ,nuevo Ti ,nuevo (1 )Ti ,anterior j j j
..... (11)
nuevo anterior Donde Ti , j y Ti , j , son los valores de Tij de
la iteracin presente y la previa respectivamente y
es un factor de peso que est entre 1 y 2. Usando el mtodo
convencional de Gauss-Seidel, las iteraciones continan hasta
conseguir que los valores absolutos de todos los errores relativos
porcentuales caigan dentro de los criterios preespecificados de
parada.
( a )i , j
Ti ,nuevo Ti ,anterior j j Ti ,nuevo j
..... (12)
.100%
Este procedimiento podemos desarrollarlo en forma manual,
utilizando la hoja de clculo para iteraciones paso a paso o
aplicando el proceso iterativo que brinda la hoja de clculo. Para
esto activamos opciones de Excel, formulas y habilitar calculo
iterativo donde podemos especificar el nmero mximo de iteraciones y
el valor del error o condicin de parada en el proceso de
iteracin.
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Activada esta opcin, podemos formular la ecuacin (10), sin que
se anuncien errores cclicos, y obtener los siguientes resultados
para el caso de la malla con 3 x 3.
Si utilizamos cdigo matlab podemos establecer:
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clc; clear; a=[4 -1 0 -1 -1 4 -1 0 0 -1 4 0 -1 0 0 4 0 -1 0 -1 0
0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 b=[75 0 50 75 0 50 T=[1:9]'; c=a\b;
[T,c]
0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 175
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 4 0 0 0 4 -1 0 -1 4 -1 0 -1
100 150]';
0; 0; 0; 0; 0; -1; 0; -1; 4];
Lo cual arroja como resultados: 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000
5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 42.8571 33.2589 33.9286 63.1696
56.2500 52.4554 78.5714 76.1161 69.6429
Al tratarse de un proceso bastante rpido y eficiente podemos
discretizar la malla a un nmero mayor de elementos, por ejemplo 10
x 10, de lo cual obtenemos:
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Ahora incluiremos a la hoja de clculo el factor de sobre
relajacin 1,87
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Una vez procesadas las temperaturas segn la malla que se muestra
arriba, se procede a crear un archivo de datos tipo .txt, haciendo
uso del Notepad u otra aplicacin, al cual hemos denominado
placa.txt, el cual contiene los resultados del proceso iterativo
usando la hoja electrnica de clculo.
A continuacin elaboramos una codificacin MATLAB, para interpolar
las isotermas y sus respectivas direcciones de flujo de calor:clc;
clear; A=load ('placa.txt'); % Se importa los datos de la matriz
respuesta %Calculo del gradiente usando valores por defecto dx=1,
dy=1, por tanto seran correctas las direcciones y magnitudes
relativas [px,py]=gradient(A); %Contour, usamos contour para
definir curvas de contorno o isolineas %Clabel, que agrega
etiquetas de contorno a la grafica %Quiver, toma los datos del
gradiente y los agrega a la grafica como %flechas
curvas=contour(A); clabel(curvas); hold on quiver(px,-py); hold
off
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Finalmente proponemos el siguiente cdigo computacional para la
solucin de la ecuacin de Laplace para una placa calentada en el
caso EDP Elpticas.%function ec_elip(a,b,h,tol,itermax)
a=10;b=10;h=1;tol=0.001;itermax=100; n=a/h; m=b/h; k=0; emax=tol;
u=zeros(n,m);r=zeros(n,m); u(:,1)=0; u(1,:)=75;
u(:,m)=100;u(n,:)=50; while (k=tol) for j=2:1:(m-1) for i=2:1:(n-1)
u(i,j)=u(i,j)+r(i,j);
r(i,j)=(u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)-4*u(i,j))/4; if
emax