Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente RAPPORT
DE PROJET DE FIN DETUDES Filire Ingnieurs Diplms en
Tlcommunications Option Ingnierie des rseaux CASA : CAlculette des
paramtres des Systmes dAttente Elabor par : Jihene MHIRI Encadr par
: M. Gerard HEBUTERNE M. Mounir FRIKHA Anne universitaire :
2001/2002 Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Rsum
Dansceprojetdefindtudes,ralisdanslInstitutNationaldes
Tlcommunications(INT),nousavonsimplmentunlogicielaccessibleauxnon
spcialissquipermetdecalculerlesparamtresdunsystmedattentepouren
dduiresesperformances,traversuneinterfaceentressorties.Nouslavons
dveloppenVisualBasicpuisquecestlelangagedeprogrammationlemieux
adapt ce genre
dapplications.NousavonsconsacrunpremierchapitrelaprsentationdelINTainsi
quau dpartement Rseaux et Services des Tlcommunications . Dans un
deuxime chapitre, nous avons expliqu la thorie des files dattente,
ainsi quune modlisation mathmatique qui la gre travers les
diffrents formules et rsultats. Ce qui est utile pour lvaluation
des performances comme cest expliqu dans le chapitre daprs. Dans le
4me chapitre, nous avons expos les diffrents rsultats de la thorie
requis pour lanalyse des diffrentes files dattente utilises.En
dernire tape, il fallait mieux que nous exposons des exemples
pratiques qui expliquent le besoin dun logiciel qui calcule les
paramtres des systmes dattente dans les applications de lvaluation
des performances pour enfin proposer notre solution ce problme qui
est CASA . Abst ract
Theaimofthisproject,realizedintheINT(InternationalInstituteof
Telecommunicationinevry)istodevelopasoftwarewhichsomeparametersofa
queuing system to deduce its performances, through an
interface.WehavemadeuseofVisualBASICasprogramminglanguagebecauseitis
the more suited to this kind of
application.ThefirstchapterisdevotedtothepresentationofINTaswellastheRST
department "Networks and services of
telecommunications".Inthesecondchapter,astudyofqueuingsystemstheoryispresented.A
mathematical modeling manages it through different formulas and
results. This will be used in the measurements of systems
performances. After that, theory results of parameters for each
type of queus are exposed.
Inthethirdchapter,theimportanceofofhavingitsanalyticvaluesforthe
problem of calculating performances is shown. So than, the solution
for this problem is presented : the software CASA . Ecole suprieure
des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Remerciements Aut er medecet r availdePFE,r alislI nst it ut Nat
ionaldes Tlcommunicat ions, j e t iens r emer
ciervivementmonsieurGr ar d Hebut er ne, chef dudpar t ement RSTlI
NT,pour mavoir pr oposcesuj et et pour son assist ance,sesencour
agement scont inuset sur t out sonopt imismeet sa gent
illessesansmesur e,cequimaper mit demener t er mecet r avail.Quil t
r ouve ici le t moignage de ma pr of onde etsincr e gr at it ude.J
er emer cieaussimonsieur Mounir Fr ikha,Enseignant SUPCOMpouravoir
accept er dt r emonencadr ant Tunis,et cemalgr sesnombr euses r
esponsabilit s etoccupat ions. Unt r sgr andmer ciLiviaet Ver
onica,mescollocat r iceset beaucoup daut r esper sonnesquiont f ait
demon sj ouren Fr ance, une pr iode r ichissime r emplie de bonne
ambiance dans le plan per sonnel. J expr imemar econnaissancet
ousmescamar ades,pour leur aide j udicieuse etleursout ien t outau
long de cet t e pr iode. Enf inunplusgr andmer cipour maf
amillepour leur pat ience,leur amourdontj avais vr aimentbesoin
etpourleursout ien pendantmon pr oj et . Ecole suprieure des
communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Liste
des Figures FIGURE 1 : STRUCTURE DUN SYSTEME DE FILE DATTENTE
................................................. 16 FIGURE 2
:SCHEMA DUN SYSTEME DE FILES DATTENTE
...................................................... 17 FIGURE
3VARIABLES ALEATOIRES CARACTERISANTS LES SYSTEMES
DATTENTE................ 19 FIGURE 4: LOI DE POISSON =1 ET =5
.................................................................................
25 FIGURE 5 : LOI EXPONENTIELLE DE TAUX
=0.5..................................................................
26 FIGURE 6 : SYSTEME INFORMATIQUE
.....................................................................................
31 FIGURE 7 : MODELE MATHEMATIQUE DU SYSTEME INFORMATIQUE
.................................... 32 FIGURE 8 : MODELE
MATHEMATIQUE DUN ORDINATEUR BIPROCESSEUR
........................... 32 FIGURE 9 : FILE DATTENTE DANS UN
COMMUTATEUR DE RESEAU DE COMMUNICATION.... 38 FIGURE 10 : TAUX
DARRIVEE ET DE SORTIE DANS UNE FILE
DATTENTE............................. 39 FIGURE 11 : SYSTEME A
PLUSIEURS SERVEURS AVEC MEME TAUX DE SERVICE.................... 47
FIGURE 12 : NIVEAU DE SERVICE EN FONCTION DU COUT TOTAL DUN
SYSTEME................. 52 FIGURE 13 : SIMULATION DES ARRIVEES ET
SERVICE DANS UN SYSTEME DATTENTE.......... 54 FIGURE 14 : AIDE
UTILISATEUR..............................................................................................
55 FIGURE 15 : GUIDE DUTILISATION DE
CASA........................................................................
56 FIGURE 16 : PAGE DACCUEIL DE
CASA................................................................................
57 FIGURE 17 : FENETRE DE CALCUL POUR LA FILE
M/M/C/K.................................................. 58 FIGURE
18 : PAGE DES EQUATIONS POUR LA FILE
M/M/C/K................................................ 63 Ecole
suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Liste
des Tableaux TABLEAU 1 : VALEUR DU TRAFIC POUR LA LOI
DERLANG........................................................ 28
TABLEAU 2 : ETAT DU SYSTEME DE T A T+DT
...........................................................................
34 TABLEAU 3 : RESULTATS PRESENTES POUR DIFFERENTS SCENARIOS DUN
MEME SYSTEME....... 51 TABLEAU 4 :TEMPS DATTENTE DANS LE SYSTEME EN
FONCTION DU TAUX DUTILISATION ...... 53 TABLEAU 5 : TAUX DE SERVICE
ET COUT POUR LES 3 TYPES DE FILES
....................................... 53 TABLEAU 6 : RESULTATS
EEN TEMPS DATTENTE GLOBAL ET
GAIN........................................... 54 Ecole suprieure
des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente TABLE
DES MATIERES
INTRODUCTION.................................................................................................................................................
9 CHP I : PRESENTATION DE LETABLISSEMENT DU
STAGE...............................................................
12 1)INTRODUCTION
.............................................................................................................................................
12 2) LECOLE DE
MANAGEMENT..........................................................................................................................
12 3) INT TELECOM
...............................................................................................................................................
12 4) INT
ENTREPRISE............................................................................................................................................
13 5) INT
RECHERCHE............................................................................................................................................
13 6)
DEPARTEMENTS.............................................................................................................................................
13
7)CONCLUSION.................................................................................................................................................
14 CHP II : THEORIE DES SYSTEMES DATTENTE
.....................................................................................
16 1)INTRODUCTION
.............................................................................................................................................
16 2)CARACTERISTIQUES DUN SYSTEME DE FILE
DATTENTE............................................................................
17 2-1 Notation de KENDALL.X/Y/S/K/m/R
...............................................................................................................
18 2-2 Variables alatoires caractrisant un systme de files
dattente.
...........................................................................
19 2-3Critres de performances.
.....................................................................................................................................
20 3)PROCESSUS
STOCHASTIQUE........................................................................................................................
21 4)PROCESSUS DE NAISSANCE ET DE
MORT........................................................................................................
22 5)CARACTERISTIQUES DUNE FILE DATTENTE
..............................................................................................
22 5-1Quelques dfinitions utiles :
...........................................................................................................................
23 5-1-1 Trafic offert
.............................................................................................................................................
23 5-1-2 Trafic coul
...........................................................................................................................................
23 5-1-3Trafic
rejet..............................................................................................................................................
23 5-1-4 Blocage dans le temps
.............................................................................................................................
23 5-1-5 Blocage
dappel.......................................................................................................................................
23 5-2Loi des arrives
....................................................................................................................................................
23 5-3Loi des services
....................................................................................................................................................
26 6) MESURES DE LA PERFORMANCE DE LA LIGNE
DATTENTE............................................................................
27 7) GESTION
DATTENTE....................................................................................................................................
27 8) DISTRIBUTION
DERLANG............................................................................................................................
27
9)CONCLUSION...............................................................................................................................................
29 CHP III : CONTRIBUTION DE CETTE THEORIE AU CALCUL DES
PERFORMANCES.................. 31 1)INTRODUCTION
.............................................................................................................................................
31 2) APPLICATION A LEVALUATION DES CARACTERISTIQUES DUN SYSTEME
INFORMATIQUE : TEMPS DE REPONSE DUN ORDINATEUR
.............................................................................................................................................
31 3) LES PRINCIPALES METHODES QUANTITATIVES POUR LEVALUATION DES
PERFORMANCES: ........................... 32 3-1 La
mesure..............................................................................................................................................................
32 3-2 L'
instrumentation..................................................................................................................................................
33 3-3 La
simulation.........................................................................................................................................................
33 4)CAS D'UNE FILE D'ATTENTE A UNE
STATION..................................................................................................
34
5)CONCLUSION.................................................................................................................................................
35 CHP IV : CASA :CALCULETTE DES PARAMETRES DES SYSTEMESDATTENTE
-PARTIE
THEORIQUE......................................................................................................................................................
37 1) INTRODUCTION
............................................................................................................................................
37 2) CARACTERISTIQUES DES FILES DATTENTE CHOISIES :
.................................................................................
38 3) LA FILE DATTENTE
M/M/1..........................................................................................................................
38 4) LA FILE DATTENTE M/M/C
.........................................................................................................................
41 5)LE MODELE
M/M/INFINI..............................................................................................................................
42 6) LA FILE DATTENTE M/M/C/K
.....................................................................................................................
43 7) LE MODELE
M/D/1.........................................................................................................................................
45 Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 8)LE
MODELE M/M/N/INFINI
..........................................................................................................................
46 9)FILES DATTENTE NON-MARKOVIENNES : EXEMPLE FILES
M/G/1..............................................................
46 10)CONCLUSION :
............................................................................................................................................
48 CHP V : CASA :CALCULETTE DES PARAMETRES DES SYSTEMESDATTENTE -
PARTIE
PRATIQUE..........................................................................................................................................................
50 1)INTRODUCTION
.............................................................................................................................................
50 2)EXEMPLES DUTILITES DE LA
CALCULETTE.................................................................................................
50 2-1Exemple dutilisation de la calculette
:.................................................................................................................
51 2-2Comparaison entre des rendements de diffrents modles de files
:.....................................................................
52 3)IDEES DE PREPARATION MISES EN FAVEUR DE LUTILISATEUR:
..................................................................
54 4)GUIDE DUTILISATION DE CASA :
................................................................................................................
55 5) EXEMPLE DUTILISATION DE LA CALCULETTE:
..............................................................................................
56 6)GUIDE PROGRAMMEUR
:.............................................................................................................................
64
7)CONCLUSION.................................................................................................................................................
66
CONCLUSION....................................................................................................................................................
67
ANNEXE..............................................................................................................................................................
68
NOTATION.........................................................................................................................................................
71 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
..........................................................................................................
72 SITES
INTERNET..............................................................................................................................................
73 Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
IntroductionGnrale Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Introduction
L'optimisationconomiquedessystmesetrseauxinformatiquesactuels
ncessitelamiseenuvreetl'exploitationd'outilsperformantspourmieux
apprhenderleurcomportementetoptimiserleursperformances.Lecalculdeces
performances s'appuie largement sur la thorie des files d'attente
et la simulation. En
effet,lesphnomnesd'attentesurviennentnaturellementdanslaplupartdes
environnements rencontrs dans la vie courante et dans les systmes
informatiques.
Cesphnomnessontlabasedelacrationdediffrentsmodlesdefiles dattente,
suivant le nombre de stations ou de serveurs, suivant le type de
distribution du taux des arrives et des sorties(dterministe,
gnrale, poissonnienne)
Delestnlebesoindeprvoirlemodledefileadquatpourunecertaine
application,letauxdarrivesoudeserviceutiliserpouravoirdesmeilleurs
rsultats. Il a fallu, donc, prvoir un outil de calcul des
caractristiques dun systme dattenteselon chaque type des files,
sans quil y a ncessit de perdre trop de temps
chercherlesformulesetthormesdispersesdanslalittratureoufairelecalcul
des quations trop complexes, ou mme connatreen informatique.
Dansceprojetdefindtudes,ralisdanslInstitutNationaldes
Tlcommunications(Evry),etprcismentdansledpartementRseauxetservices
de Tlcommunication RST de lINT Tlcom, nous allons prsenter dans un
premier chapitre ltablissement du travail, ainsi que le dpartement
RST. Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Dans
une deuxime tape, nous allons introduire la thorie des files
dattente,
lexpliqueretprsenterunemodlisationmathmatiquedesloisetdesthormes
utiliss dans les calculs appropris. Nous allons aussi expliquer
certaines notions qui facilitent cette tude et permettent en plus
de caractriser les types de files dattentes
etdonclesdiffrentesconfigurationsquepeut avoir un systme. Ce qui va
avoir un
grandrlesurlvaluationdesesperformancescommecestmentionndansle3me
chapitre.
Danslesuivant,nousallonsdcrirelesdiffrentstypesdefilesdattente
utilissdansleprogrammeainsiquelescalculsanalytiquessuivispourobtenirles
valeurs des paramtres dun systme selon une configuration
choisie.Finalement, nous allons illustrer lutilit dun logiciel de
calcul des paramtres
conupardesexemplespratiquesetnousexposonsnotresolution : CASA ,qui
permet en gros:
-Decalculerlesperformancesdunsystmedattentepourchaque modle de
files (pour choisir le meilleur scnario adapt la situation), -De
fournir des informations (Help) pour bien comprendre le travail,
-Depermettreauxprochainsprogrammeursdtendresonusageen ajoutant
nimporte quel autre modle de files. Ecole suprieure des
communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Chapitre I : Prsentation deltablissement du stage Ecole suprieure
des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Prsentation de ltablissement du stage 1)Introduction
LinstitutnationaldestlcommunicationsfaitpartieduGroupedesEcolesdes
Tlcommunications, tablissement public d'enseignement suprieur et de
recherche. L'INT reprsente plus de 1 000 tudiants, 160 enseignants
- chercheurs, 20 groupes de recherche, plus de 15 plates-formes de
recherche, partenaire de 3 coles Doctorales, 5 DEA et 3 DESS
cohabilits, 66 thsards, 2 Mastres of Science, 5 Mastres Spcialiss
et plus de 100 sminaires de formation continue.
Ellerassemblesursoncampus,uneGrandeEcoledeManagement,INT
MANAGEMENT,uneGrandeEcoled'Ingnieurs,TELECOMINT,uncentredecration
d'entreprises,INTENTREPRENEURIAT,unpledeformationcontinue,INT
ENTREPRISES,etuncentrederecherche,INT-RECHERCHEcomposantduGET-RECHERCHE..
2) Lcole de management Elle offre une formation complte au
management associe un enseignement pouss en tlcommunications,
informatique et systmes d'information. Cest un tablissement public
sous la tutelle du Ministre de lconomie, des Finances et de
lindustrie. Il est un membre du Groupe des Ecoles des
Tlcommunications, membre du Chapitre des Ecoles de Management
delaConfrencedesGrandesEcoles,etaussiMembredel'EFMD(EuropeanFoundationof
Management Development).3) INT
TlcomINTTlcomoffreuneformationgnralistedansledomainedestechnologiesde
l'information et de la
communicationCestunmembredelaConfrencedesGrandesEcolesetduGroupedesEcolesdes
Tlcommunications. Il est un tablissement public sous la tutelle du
Ministre de lindustrie.C Ecole suprieure des communications de
Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 4) INT
Entreprise
INTEntreprisesestlepledeformationcontinuedel'InstitutNationaldes
Tlcommunications.INTEntreprisesbnficiedel'expertisedesdeuxcolesTELECOMINTetINT
MANAGEMENT et du centre de recherche de l'Institut National des
Tlcommunications.Cette double comptence, ainsi que les travaux de
recherche raliss par les 160
enseignants-chercheurspermanents,lesrelationstroitesetsoutenuesaveclesentreprises,permettent
INTEntreprises,deproposerunventailde"solutionsformation"rpondantaucontexte
spcifique dune
entreprise.Quelquesoitletyped'intervention,l'engagementd'INTEntreprisess'appuiesurune
dmarche de qualit de service avec
:Unresponsablepdagogique,enseignantpermanentdel'INTpourchaque
formationDes interlocuteurs identifis pour chaque action,Une
valuation formelle de chaque session ouverte la matrise
d'ouvrage,Une proposition claire et dtaille sur le contenu de la
formation5) INT Recherche
LactivitderecherchelINT,englobelestagedeDEA,lesthsesdedoctorat,les
contratsderechercheoudeconsultanceavecdegrandesentreprises,desPME-PMIetla
Communaut Europenne, des brevets dposs, 6) Dpartements L'INT compte
8 dpartements d'enseignement-recherche et 1 Unit de Projets
:1-Dpartement Systmes d'Information (SI) 2-Electronique et Physique
(EPH) 3-Sciences de Gestion (SGES) 4-Informatique (INF) 5-Langues
et Formation Humaine (LFH) 6-Logiciels-Rseaux (LOR)
7-Communications, Images et Traitement de l'Information (CITI)
8-Rseaux et Services de Tlcommunications (RST)
Crle1erJanvier1994,ledpartement"RseauxetServicesdesTlcommunications"
(RST) est l'un des huit dpartements de l'Institut National des
Tlcommunications. Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Sondomained'activitsrecouvretouslesaspectsdel'enseignementetdelarecherchedes
tlcommunications, y compris les communications avec les mobiles,
les rseaux large bande et le
RNIS.LedpartementRSTentretientdenombreuxcontactsaveclemondeindustrieldes
tlcommunicationsainsiqu'avecleCNETetleslaboratoireslesplusimportantsdansle
domaine;descontratsderechercheavecdespartenairesindustrielsetlaCommunaut
Europennecontribuentgalementaudveloppementdescomptencesdesesquipesde
recherche et de
dveloppement.LedpartementRSTgreuncertainnombredelaboratoiresoprennentplacelesactivits
d'enseignement et de recherche( laboratoire mobile, Transmission
Hertzienne et laboratoire de gestion de rseau). 7)Conclusion
LInstitutnationaldestlcommunicationsdeparisestdoncformdetroisgrandes
coles, qui sunissent tous pour le progrs de la recherche et de
lenseignement aussi bien pour les tudiants que pour les chercheurs
et enseignants.. Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Chapitre II : ModlisationMathmatique Ecole suprieure des
communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Thorie
des systmes dattente 1)Introduction
Lesfilesdattentesontdesphnomnesquelonrencontredanslaviecourante,mais
galement dans les processus informatiques ou automatiss. On
appellera clients les individus
quiconstituentlafiledattenteetstationleguichetounserveurleurprocureunservice
dtermin. Il sagit dun processus stochastique o chaque client qui
arrive, au hasard, prend la dernire place de la file. La dure de
service nest en gnral pas constante. Figure 1 : Structure dun
systme de file dattente
Lessystmesdefilesdattentemodlisentengnrallesphnomnesnaturelsrencontrs
frquemmentdanslecadredeclientsdevantunservicedeconsommation,systmes
doptimisation des systmes informatiques et rseaux de production. C
Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Par
exemple, la gestion :-des paquets ou trames informatiques tombant
sur des routeurs internet ou rseaux - -des automobiles un page
dautoroute. Ce chapitre explore le domaine des files dattente
simples, cest dire non couples en rseau. Nous donnerons des thories
et dfinitions gnrales qui permettent de traiter les files dattente
rpondants des hypothses markoviennes. Au cours de ce chapitre,
certaines dmonstrations
serontfaitespourservirdexemplesdemthodesdecalculusuellesenthoriedesfiles
dattente. 2) Caractristiques dun systme de file dattente On modlise
un systme de files dattente par :-une population de clients, limite
ou non
-unsystmedefilesolesunits,quandellessontl,attendentleservice.La
capacit daccueil de la file pouvant tre limite ou non, suivant la
nature du systme.
-unsystmedeservicesolesserveurssontdispossenparallles,unserveur
lui-mme, pouvant tre constitu de plusieurs serveurs en srie.-une
rgle de discipline afin de grer les priorits si elles existent. On
appelle systme, lassociation des files et des serveurs. Ainsi peut
tre dcrit par ce principe, nimporte quel rseau de service. Figure 2
:Schma dun systme de files dattente
N.B.Ilpeutexisterplusieursfilesdattente(parexempleunedevantchaqueserveur)etles
serveurs pouvant tre disposs dune manire quelconque (parallle,
srie) Serveur 1 Serveur i Serveur n Clientle : Limite ou non Files
dattente Units de service Systme = Files+serveurs Sortie Ecole
suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 2-1
Notation de KENDALL.X/Y/S/K/m/ROn rsume un systme de files avec la
notation suivante, appele notation de Kendall :X:loi desarrivesX :
reprsentel ' int ervalle de t emps entre deux arrives
conscutivesY:loi deserviceY : reprsentel ' int ervalle de t emps
entre deux services conscutifsS : Nombre de serveurs en parallleK :
Capacit maximale du sytme d' accueil. Nombre maximal autoris de
clientsdans le systme d' attente. Si ce nombre n' est pasprcis,
alors ce nombren' est paslimit.m: taille de la population de
clients. Si mn' est pasprcis, alors ce nombren' est paslimit.R :
Rgle de service.Dans le cas o R n' est pas prcis: Rgle FIFO (First
In First Out)' Traditionnellement, la place de X et Y, on utilise
les symboles suivants : G.I. : variable alatoire des dures inter
arrives de la loi Gnrale Indpendante. G : variable alatoire des
dures de services de la loi gnrale Hk : loi darrive ou service
hyper exponentielle : ikti ii 1f (k) e avec ki ii 11 et 0 Ek :loi
darrive ou service Erlang dordre k : 11( )( 1)! ( ) 00 0k ktk kt ek
f t pour tpour t '< M
:loidarriveouserviceExponentielleouMarkovienne.(arrivedepoissonetservice
exponentiel ngatif D :loi darrive ou service dterministe, cest dire
certaine (dure constantes) R peut indiquer une discipline de
service :-FIFO : premier arriv, premier servi. Cest le cas par
dfaut -LIFO : dernier arriv, premier servi -PS :partage de
processeur. La puissance du processeur est partage entre les
clients prsents (les temps de service sont multiplis par le mme
facteur) -Random : les clients sont choisis au hasard -SPF : plus
court temps dexcution dabord - Ecole suprieure des communications
de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 2-2
Variables alatoires caractrisant un systme de files dattente.
Figure 3Variables alatoires caractrisants les systmes dattente N:
nombre de clients dans le systme. NQ: nombre de clients dans la
file. Y: dure de service. W : temps de sjour dans le systme. WQ:
temps de sjour dans la file. N : variable alatoire tat du systme NQ
: variable alatoire tat de la file L=E(N):nombre moyen de clients
dans le systme. LQ =E(NQ) :nombre moyen de clients dans la file W
:variablealatoire,duredattente dans le systme. WQ
:variablealatoire,duredattente dans la file W=E(W) :dure moyenne de
sjour dans le systme. QW =E(WQ) :dure moyenne de sjour dans la
file. Serveur 1 Serveur i Serveur n Clientle : Limite ou non Files
dattente Units de service WQ W Y NQ N Ecole suprieure des
communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Avec :
1E(X) :taux moyen darrive par unit de temps. E(X) :intervalle moyen
entre 2 arrives successives. 1E(Y) :taux moyen de service (pour 1
serveur) par unit de temps. E(Y) :dure moyenne dun service. [ ]1/
2X 2Var(X)CE(X) ' ; :coefficient de variation de la variable
alatoire X, servant caractriser la nature de XF (t) . Par exemple :
2XC 0 arrives rgulires, X est constante. 2XC 1 arrives
markoviennes, X est exponentielle. 2X1Ck arrives auhasard, X est du
type Erlang-k 2X1Ck arrives auhasard, X est du type hyper
exponentielle dordre k..
DanslasuiteonvautiliserW(respectivementWq)aulieudeW(respectivement
Wq)pour allger lcriture. 2-3Critres de performances. -Intensit de
trafic (mesure en Erlangs)E(Y)AE(X) -Facteurdutilisation : AS (
galementmesurenErlangs)avecSestle nombre de serveurs en parallle.
Remarque :DansunintervalledetempsT,arriveenmoyenne T clients, qui
consommeront T E(Y) units de temps de service. SiA 1 il faudra plus
dun serveur. La demande moyenne de service par unit de temps est
donne par T E(Y)/T= . En gnral, le nombre de serveurs ncessaire
minimal pour faire face la demande est donn par A1S uX(t)
estindpendant desX(s)s u Cest unprocessus sans mmoire, X(u) = x ne
dpendpas de son comportement antrieur. 4)Processus de naissance et
de mort Un tel processus est une gnralisation du phnomne de file
d'attente dans le cas o et dpendent du nombre n de clients. Les
arrives (ou naissances) restent poissoniennes, les services (ou
morts) exponentiels et la politique de service est FIFO. S'il
existe S stations, le service est proportionnel au nombre de
clients tant que n est plus petit que S ; il est gal S. pour n = S.
Ainsi : n = ; n = n. (si S > n) ; n = S. (si n = S)
NoussommesdoncenprsencedunechanedeMarkovtempscontinu.Lafileest
compltementcaractriseparlenombredeclientsprsentslinstantt.Lesdeuxprocessus
quifontvoluerlenombredeclientstantmarkoviensnedpendentdaucuneautre
information.Leprocessusdarrivefaitvoluerlenombredeclientsdenn+1avecune
probabilit n dt pendant lintervalle [t, t+dt]. Le processus de
service fait diminuer ce nombre de 1 avec une probabilit ndt
pendant un intervalle de mme longueur. 5) Caractristiques dune file
dattente Une file dattente est caractrise par : -la distribution du
taux darrive (poisson ou autre) -la grandeur de la population de la
source (limite ou illimite) -le comportement des arrives : chaque
client !" rejoint la queue et attend pour tre servi !" si le systme
est trop plein, refuse de joindre la ligne !" Renonce et quitte la
ligne aprs y tre entr lorsque lattente est trop longue. !" Changer
de file!" Se voir refuser lentre si le systme est plein.
Caractristiques de la ligne dattente : -longueur de la queue(limite
ou illimite) -priorit de service (FIFO ou autre) Caractristiques du
service : -Nombre des canaux Ecole suprieure des communications de
Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente -Nombre
des phases dans le service -Distribution du temps de service
(exponentiel ngatif ou autre) 5-1Quelques dfinitions utiles : 5-1-1
Trafic offert Cest le nombre moyen dappels arrivant pendant le
temps moyen de service. On le note A et il est gal . Il est mesur
en Erlang (E). 5-1-2 Trafic coul Cest le nombre moyen de serveurs
(de circuits) occups simultanment. On le note Ae.
Oninterprteletraficcoulcommelenombremoyendeclientsadmispendantladurede
service. Il est aussi mesur en Erlang (E). 5-1-3Trafic rejet Cest
le nombre moyen de serveurs (de circuits) quil aurait fallu pour
prendre en compte tous les appels (pris et perdus). Il est not Ar
et mesur en Erlang (E). 5-1-4 Blocage dans le temps On appelle
ainsi la proportion de temps pendant laquelle tous les serveurs
sont occups.
OnlanoteBT.Danslecasdunprocessusdenaissanceetdemort,BT=P(R),P(R)tantla
probabilit doccupation totale (occupation des R serveurs). 5-1-5
Blocage dappel A linverse, le blocage dappel B dsigne la proportion
dappels rejets. 5-2Loi des arrives
Ladescriptionduphnomnedesarrivesdesappelsestunprocessusalatoire
(stochastique), not Tn : le processus darrives. T0=>date de dbut
des observations. Tn=>date darrive du n-ime appel. tn=>dure
sparant les instants dapparition des (n-1)-imes et n-imes appels tn
= Tn -Tn-1
Danslecasgnral,tndpenddetoutlepassduprocessus.Poursimplifier,onseborne
considrer le cas o les variables tn sont indpendantes, et de mme
loi : on appelle processus de renouvellement un tel processus. On
pose : A (t) = P { tn= Tn- Tn-1 1} Le processus de Poisson
constitue un exemple important de processus darrives car il joue un
rlefondamentaldansltudedesphnomnesdattenteetdetraficettlphonie,tantun
processus sans mmoire.
Voyonsmaintenantcommentilestpossibledeprouversimplementlutilisationdelaloide
poisson pour les arrives alatoires des clients : Ecole suprieure
des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Considronstoutdabordquelephnomnedarrivesdeclientsdansunefiledattenteest
stationnaire. Cela signifie que lobservation que lon fait de la
file dattente est indpendante de lorigine du temps. On ne tiendra
donc par exemple pas compte des pics ou creux darrives des clients
certains moments de la
journe.Considronsgalementquelesarrivesdechaqueclientsontindpendanteslesunesdes
autres.Lecasdarrivesintervallesrguliersdterminsoupargroupedeclientsestdonc
exclu.
Enfin,laprobabilitdarrivedunvnementpendantunintervalledetempsDtest
proportionnelleDtetgale.Dt(deplus,laprobabilitquilarrivedeuxvnements
pendantDtestdusecondordreparrapportlapremire),avecestletauxdarrivedes
clients dans le systme. On suppose quil y ait n vnements enregistrs
la date t + Dt. Ces n vnements ne peuvent provenir que des deux
situations suivantes : Date t t + Dt n-1nNombre dvnements nn Donc
la probabilit pn(t + Dt) de ralisation de n vnements pendant le
temps t + Dt est : pn(t + Dt) = pn-1(t)..Dt + pn(t)[1- .Dt]
Cetteformuleestvraiepourtoutnsaufn=0.Eneffet,danscecas,aucunvnementnat
ralis au temps t + Dt et aucun vnement navait galement t ralis au
temps t. On obtient alors : p0(t + D t) = p0(t) [1- .Dt] Cette
dernire formule scrit galement :[p0(t + Dt)- p0(t)]/ Dt= - .p0(t)
Cest--dire (quand Dt 0) : p0(t) = - .p0(t).La solution de cette
quation est p0(t)=e- t
Cettedernireformuleprovientducasn=0.Ducasnquelconque,ondduitlaformule
suivante :pn(t) = .pn-1(t) - pn(t) Nous obtenons donc : - tnnep
(t)=( t)! nCette dernire probabilit est la loi de Poisson de
paramtre (il y a arrives au systme par unit de temps). Ecole
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Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Pour le
cas dun systme stationnaire, la distribution de poisson devient :(
)!XeP XXFigure 4: Loi de Poisson =1 et =5 . Nous remarquons que la
probabilit est faible quand X est grand. Et, plus est faible plus
la probabilit est importante pour les X faibles. Cecisexpliquepar
:siletauxdarriveestfaible,alorslaprobabilitP(Xfaible)est importante
: il y aX clients ou moins seulement dans le systme ce qui est tout
fait normal. Autres lois : -Loi binomiale
UnesuitedenvariablesalatoiresdeBernoulliXjrelativesnpreuvesidentiques
indpendantes permet de former la variable alatoire
1njjY X Manifestement,Ypeutprendretoutesles valeurs entires de 0
n et prendra la valeur k si k des Xj sont gaux 1 et les autres 0.
Soitp=Pr(Xj=1)Laprobabilitd'unesuiteparticulirede0etde1contenantkfois1est
pk(1 - p)n-k . Ces diffrentes suites correspondent des vnements
mutuellement exclusifs et
laprobabilitquel'unquelconqued'entreeuxseproduise,c--dqueY=kestlasommede
leursprobabilitsindividuelles.Commeilya !!(1 )kn n knCk
pfaonsdechoisirlesk emplacements des 1 dans la suite des n rsultats
on a finalement : P(Y = k) =(1 )k k n knC p p-Loi de Pascal : La
loi binomiale rpond (au sens probabiliste) la question du nombre
doccurrences d'un vnement au cours de n preuves indpendantes
susceptibles de le produire. Ecole suprieure des communications de
Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
LaloidePascal(encoreappele"binomialengative")rpondlaquestioninversedu
nombre, soit Zk, d'preuves effectuer pour obtenir 1,2 ou k
ralisations de cet vnement . (Il est entendu qu'on s'arrte ds que
le nombre requis est atteint)
Appelons'succs'unepreuvequiproduitlvnementcherchet'chec'unepreuvequine
leproduitpas.Pourk=1larponses'obtientsimplementenobservantquesilenombre
d'preuvesncessairesestnilyaeun-1 11( ) (1 )k n kk nP Z n C p p
1'checs'suivisd'un
'succs'.AinsiP(Z1=n)=(1-p)n-1p.Pourkquelconque,lersultatserans'ilyaeuk-1
'succs'parmilesn-1premirespreuvessuivisd'unkme 'succs'lanmepreuve
exactement. On obtient donc :
11( ) (1 )k n k kk nP Z n C p p 5-3Loi des services De la mme
faon, on se limite au cas o le temps de service peut se dcrire par
une variable alatoire de loi F(x), identique pour chaque client,
les temps de services des clients successifs tant choisis
indpendants (variables i.i.d.).
Laloilaplussimpledcrireestlaloiconstanteavecdestempsdesservicesayanttousla
mme dure. On utilise aussi la loi exponentielle de tauxcaractrise
par : F (x) =1 - xe Si on considre les intervalles de temps qui
s'coulent entre les vnements successifs d'une loi de Poisson de
taux , on constate qu'ils suivent une loi de la forme
:p(q)=.exp(-.q)(olesqsontlesintervallesdetempsquisparent2vnements
conscutifs). Figure 5 : Loi exponentielle de taux =0.5 La
probabilit de servir les clients est dcroissante en fonction de X,
puisque quand le nombre des clients est grand, la probabilit pour
quils soient servis est faible. Ecole suprieure des communications
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Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 6)
Mesures de la performance de la ligne dattente
Lesmesuresdesperformancesdessystmesdattentesontgnralementprsentsselonles
grandeurs suivants: -temps moyen pass dans le systme W -temps moyen
pass dans la file Wq -longueur moyenne de la file Lq (ou nombre de
clients dans la file) -nombre moyen de clients prsents dans le
systme L - probabilit de ne trouver aucun dans le systme, P0-taux
dutilisation c , avec c nombre de serveurs. -probabilit dtat
doccupation de k serveurs, Pk0): Ecole suprieure des communications
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Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 0!( 0)!
!Nn N NnA NN N APA A Nn N N A> + La densit de la loi dErlang
est: 1( ) ( )( 1)!k ktf t k tke 1 1 1 ] o k = entier, = constante k
= 1 => distribution exponentielle => f(t) =te 10( )( ) 1!n kk
tnk tF t en (distribution dErlang-k). Cest la loi dErlang-k
-coefficient de variation = 1/ k1/2 ; moyenne = 1/ -Moyenne de la
variation :k/ Trafic dErlang Ceci va dsigner un systme capacit
limite (R serveurs), fonctionnant appels perdus, et soumis un flux
darrives obissant la loi de Poisson de taux . On suppose les temps
de services exponentiels de taux T, ce qui permet dutiliser les
modles de processus de naissance et de mort. Ltat du systme est
caractris par n, le nombre de serveurs actifs. On pose Pn, la
probabilit dtat du systme. rP probabilit doccupation totale. A
partir de ces paramtres, on peut calculer les valeurs importantes
de trafic : Tableau 1 : Valeur du trafic pour la loi dErlang Ecole
suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
9)Conclusion
Ainsinouspouvonsconstaterquelesphnomnesdattentenesontpasfacilesprvoir
ou grer, ils sont dans la plupart des cas classs selon des
catgories de files dattente.Ce qui permet de spcifier les formules
mathmatiques utiliser pour calculer les paramtres de performances
dessystmes
tudis.Lobjectifprincipaldecechapitretaitdexpliquerlathoriedesfilesdattenteetde
prsentercertainesformulesgnralespermettantsdobtenirlesrsultatsanalytiquesdes
paramtresdessystmes.Decettefaon,lutilisateurnaurapaschercheretchoisirles
formules quil doit en avoir besoin pour son application. Ecole
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Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Chapitre III : Contribution de cetteThorie au calcul des
performances Ecole suprieure des communications de Tunis
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Contribution de cette thorie au calcul des performances
1)Introduction
Lathoriedesfilesdattenteestunetechniqueparmidautrespourlecalculdes
paramtresdessystmes.Nousallonsprsentericiunexempledutilisationdecetoutildans
une application bien frquente dun systme informatique et montrer
ensuite, limportance des rsultats analytiques mentionns dans
lvaluation des performances des systmes. 2)Application lvaluation
des caractristiques dun systme informatique : temps de rponse dun
ordinateur Soit un ordinateur fonctionnant en monoprogrammation. A
cet ordinateur sont connects n terminaux conformment au schma de la
figure 6 .
Terminaux Figure 6 : Systme informatique
Lesterminauxpeuventtreloignsgographiquementettreaussibiendecransde
visualisation que des terminaux lourds.
Supposonsqueletempsdetraitementdunetachesurlunitcentraledelordinateur
soitexponentiellementdistribueetquesamoyennesoitde500ms.Lintervalledetemps
entre2requtesprovenantdunmmeterminalestsuppossuivregalementuneloi
Ordinateur C Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
exponentielledemoyennegale20s.Lemodlemathmatiquequipeuttreassocice
systme est reprsent sur la figure 7. Cest une file M/M/1 de taux de
service 2 par seconde et detauxdarrive
120*npuisquelasuperpositiondeflotspoissonniensindpendantsest
poissonnienne.
20n 2 Terminauxn Figure 7 : Modle mathmatique du systme
informatique Le temps de rponse ou le temps moyen pass par un
client dans le systme sera : 1(1 ) 40nW avec
Pourquelesystmepuisseeffectuertouteslestaches,ilfautque1 !
cestdirequele nombre des terminaux soit strictement infrieur 40.
Prenonsunexemple.Supposonsquelenombredeterminauxnsoitgal36.Letempsde
rponse W est alors de 5s.
Supposonsquelordinateur,aulieudtreunmonoprocesseursoitunbiprocesseur,chaque
processeurtantidentiqueceluidcritprcdemment.Lemodlemathmatiquedevient
celui dcrit dans la figure 8 . Cest une file M/M/2. Dans ce cas le
temps de rponse moyen, sil y a 36 terminaux, devient : W=0.28s 20n
2 Terminauxn Figure 8 : Modle mathmatique dun ordinateur
biprocesseur 3) Les principales mthodes quantitatives pour
lvaluation des performances: 3-1 La mesure
Cestunemthodercentepourvaluerlesperformances,situlafrontiredela
mesure et de la simulation et donne par l'mulation. Cette technique
est base sur le concept Ecole suprieure des communications de
Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
demachinevirtuelle:Unemachinevirtuelleestunenvironnementdeprogrammationquiest
fonctionnellement le mme que celui de la machine cible, diffrente
du systme physique sur lequel tourne l'environnement. Cette
technique est, par exemple, utilise pour la conception de
prototypes.Bienquelespropritsfonctionnellesdusystmeciblesoientmaintenueset
conserves, les proprits temps-rel et les performances ne le sont
gnralement pas. 3-2 L'
instrumentation.Linstrumentationreprsenteunmoyensimpled'outillerunsystmepour
mesurer ses performances et consiste en partie utiliser des sondes
logicielles (microcode) ou matrielles. Les sondes matrielles sont
des sondes lectriques haute impdance connectes au matriel
mesurer.Ellespeuventtreutilisespourcapturerl'tatdescomposantesmatriellesdu
systme(registres,mmoires,cheminsdedonnes).Lessignauxmesurspeuventtre
combins afin d'tudier des tats plus complexes que ceux mesurs
directement. Les moniteurs
matrielsn'ontgnralementpasaccsauxinformationslogiciellesetcumulentdifficult
d'intgrationetcotnonngligeable.
Lessondeslogiciellessontralisesparl'intermdiaired'instructionsajoutesausystme
mesur(OSouProgrammed'application)pourcollecterlesdonnesdeperformance.Elles
peuvent capturer des donnes en lisant des cases mmoires ou des
informations d'tat (status).
Lesinstructionssupplmentairesexcuter(provenantdulogicielespion)peuventmodifier
lesperformancesdusystme:Lesperformancesmesuressontalorsdiffrentesdes
performancesrelles. 3-3La modlisation analytique.
Diffrentesmthodesdemodlisationdesystmesinformatiquespeuventtreutilises,
chacuned'ellestantmieuxadaptecertainsaspectsd'analysedesperformances.
LesrseauxdePetri:Utilisspourreprsenterlecomportementlogiqued'unsystmesans
faireintervenirdeconsidrationstemporelles. Leschanede MARKOV : Une
chane de MARKOV, dcrit l'volution d'un systme partir de ses tats.
Les spcifications suivantes rgissent le modle:-La quantit
d'informations utilise pour dcrire les tats de la chane, -Le calcul
des taux de transitions entre tats.
Uneautrealternativedemodlisationestfournieparlesrseauxdefilesd'attente.C'estla
mthodelaplusutilisepourestimerlesperformancesd'unsystmeinformatique.De
nombreuxoutilspermettantlarsolutionexacteouapprocheexistent.Deplus,ilexistedes
langagesspcialisspermettantladescriptionetl'tudequantitativedemodlesayantla
structure gnrale de rseaux de files d' attente.3-4 La simulation
Onpeutdiscernerdeuxtypesdesimulation,lasimulationpartraceetlasimulation
vnement discrets:-La simulation par trace ("trace driven")
C'estlasimulationd'unmodledterministequiestdirigparunesquenceouunetrace
obtenuepartirdemesureseffectuessurunsystmeexistant.Lemodlepossderarement
Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
unestructurederseaudefilesd'attente.Unetraceapproprie(ouscript)estobtenueen
mesurant un systme.-La simulation vnement discrets ("discrete
event")
Cetteapprochereprsentetypiquementlasimulationd'unmodledefilesd'attentequiest
dirigparunesquencedenombresalatoires(ousemi-alatoires)dontladistributionest
spcifieparl'utilisateur.Cessquencesalatoiressontutilisespourobtenirlestempsde
rponse,lesprobabilitsdebranchement(routage,...),etc. 4)Cas d'une
file d'attente une station
Danscettepartie,nousallonsconsidrerlecasd'unefileuniqueolesclientsarriventselon
uneloidePoissonetsontservislastationdansuntempssuivantuneloiexponentielle.
Cette partie a pour but de mettre en vidence les principaux
rsultats qui interviennent dans les simulations ou les prvisions
relatives aux files d'attente. La probabilit qu'il y ait n clients
dans la station est : pn=( / )n.( 1 - / )= n ( ) Remarque : Cette
probabilit ne dpend pas du temps car le phnomne est stationnaire.
Dmonstration :
Sinpersonnessontdanslesystmed'attentet+Dt,celanepeutprovenirquede4
situations:Nombre de personnes t Entres pendant Dt Sortiespendant
Dt Nombre de personnes t + Dt n-110n n00n n11n n+101n Tableau 2 :
Etat du systme de t t+Dt
D'aprsleshypothses,laprobabilitqu'unepersonnequientrependantDtest.Dtalors
que.D t est la probabilit qu'une personne sorte.On obtient donc la
probabilit qu'il y ait n clients au temps t + D t: pn(t+D t) =
pn-1(t)[ . D t.(1- . D t)] + pn(t)[(1- . D t).(1- . D t)] + pn(t) .
D t. . D t + pn+1(t)[(1- . D t). . D t] On nglige tous les termes
en Dt2 pour obtenir le rsultat : p0 = - / pn = ( / )n.( 1 - / )
Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Remarque : on dit que l'on a engorgement si : / >1. Le nombre
moyen L de clients dans le systme est : L = /( - ) = /(1-) Le temps
moyen Wq qu'attends un client dans la file est :Wq = / [.( - )] =
/(1-) 5)Conclusion Dans ce chapitre, nous avons montr laction de la
thorie des files dattente sur le plan
decalculdesperformancesdessystmesdanslecadregnralpuisdanslecadredun
exemple dun systme file dattente M/M/1. Ecole suprieure des
communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente
Chapitre IV: CASA la CAlculette desparamtres des Systmes dAttente
(Partie thorique) Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente CASA
:CAlculette des paramtres des SystmesdAttente Partie thorique 1)
Introduction Onadcouvertquelamodlisation de la fiabilit des systmes
complexes se formule
bienentermedefilesdattentes.Cequiadonnlieuauxproblmesdoptimisationdesfiles
dattentespcifiques.Ilfallaitdoncconnatrelesperformancesdunsystmepourpouvoir
changerdeconfigurationssuivantleschangementsquisurgissentselonlesdemandes.Le
programmeimplmentquenousavonsappelCASA(CAlculettedesparamtresdes
SystmesdAttente)permetdecalculerlesperformancesdessystmesetdelesfourniren
sortie grce une interface dentre - sortie, simple
manipuler.Nousavonscherch,grcecelogiciel,faciliterlaccsdesrsultatssansquele
concepteur ait recourt aux formules et calculs analytiques trop
complexes en gnral, ou mme connatre un langage de programmation
pour les faire.Ainsi, il peut prendre des dcisions appropries au
cas quil traite, comme par exemple : -Ajouter ou retrancher dautres
files dattente-Changer le taux de service des serveurs -Changer de
discipline de service (utiliser des priorits par exemple) De cette
faon, il peut trouver un compromis entre cot des ressources et cot
dattente (ne pas perdre de clients). Par exemple, si nous voulons
modliser un commutateur de rseau de communication dont les
fonctions principales sont le routage et l'acheminement des paquets
qu'il reoit, nous pouvons
calculergrceCASAlenombredepaquetsacheminsetledbitutilis : C Ecole
suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente Figure
9 : File dattente dans un commutateur de rseau de communication
Pourdcrireunsystmedattente,ilsuffitdeconnatrelesvaleursdesesdiffrents
paramtres. Ceci est visualis par diffrents thormes. Le problme qui
nous est apparu, cest
quepeudedocumentsetderevuesprsententcessolutionsanalytiques.Ellessonttrop
disperses dans la littrature et il fallait les trouver et grouper
pour sen servir.2) Caractristiques des files dattente choisies :
-les clients qui arrivent les premiers sont servis les
premiers(discipline de service FIFO) -les arrives sont indpendantes
des prcdentes -les arrives suivent la distribution de poisson -le
temps deservice varie dun client un autre et ils sont indpendants,
le temps moyen est connu -les temps de service sont dcris par la
distribution exponentielle ngative -le taux de service est suprieur
au taux darrive . -Le processus est sans mmoire, ltat du systme ne
dpend pas des tats antrieurs. Pourquoi choisir les files
Markoviennes ?
LeprocessusMarkovienestunprocessussansmmoire,etdoncltatdusystmeun
instanttnedpendpasdeceuxtpasdattentedanslafile. Lquation qui le
dcrit est :
11, 2,...n nP n P n et donc 011, 2,...!nnP P nn En utilisant
01nnP on obtient Ecole suprieure des communications de Tunis
Projet de fin dtudes CASA: Calculette des files dattente 1011!nP
en 1 + 1 ] et finalement 0,1,...!nneP nn Dans ce cas spcifique, le
nombre de clients est distribu selon une loi de poisson de paramtre
, le nombre moyen dans le systme estL= ou nombre de serveurs occups
Et grce la formule de Little le temps moyen pass dans le systme
sera W=1. Lq=0 Wq=0. 6) La file dattente M/M/c/K Cest un systme
capacit finie avec c serveurs ayants des temps de service
exponentiels iid. ( 0,1,... 1)0 ( , 1, 2,...)nn Kn K K K' + + (
0,1,..., )( 1, 2,...)1nn n cc n c cc' + + < La capacit K doit
tre suprieure ou gale au nombre de serveurs c (c0.7 0.8 0.9 0) And
(m > 0) And (c > 0) And (lam