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Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
1
SUMRIO 1. Introduo
................................................................................................................................
5
1.1 Definies
........................................................................................................................
5 1.2 Generalidades sobre Cartas.
............................................................................................
5 1.3 Caractersticas das Cartas
................................................................................................
8 1.4 Classificao
....................................................................................................................
8
1.4.1 Quanto finalidade (ABNT*)
.....................................................................................
8 1.4.2 Classificao segundo a Diretoria do Servio Geogrfico do
Exrcito (DSG) ........... 9
2. Processo Cartogrfico
...........................................................................................................
10 2.1 Aquisio de Mapas
......................................................................................................
10
3. Superfcies de referncia usadas em cartografia.
..................................................................
14 3.1 Superfcie de referncia geoidal
....................................................................................
14 3.2 Superfcie de referncia esfrica
...................................................................................
15 3.3 Superfcie de referncia elipsoidal
................................................................................
15 3.4 O relacionamento entre as superfcies fsica, geoidal e
elipsoidal. ............................... 16
4. Sistemas de Referncia
..........................................................................................................
17 4.1 Sistemas de Coordenadas Geogrficas e Geodsicas
.................................................... 17 4.2
Latitudes Geocntrica e Reduzida.
................................................................................
18 4.3 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais.
............................................... 19 4.4 Transformao
de Coordenadas Cartesianas em Geogrficas.
..................................... 20 4.5 Transformao de
Coordenadas Geogrficas em Cartesianas
...................................... 21
5. Datum.
...................................................................................................................................
21 5.1 Datum Horizontal
..........................................................................................................
21 5.2 Mudana de Datum.
......................................................................................................
24
5.2.1 Transformao de Coordenadas Geodsicas para Cartesianas
Tridimensionais ...... 24 5.2.2 Transformao de Cartesianas
Tridimensionais para Coordenadas Geodsicas ...... 25
5.3 Datum vertical.
..............................................................................................................
26 6. Projees Cartogrficas
.........................................................................................................
26
6.1 Introduo
......................................................................................................................
26 6.2 Superfcies de projeo
.................................................................................................
27 6.3 Introduo ao conceito de distoro
..............................................................................
28
6.3.1 Escala principal.
........................................................................................................
30 6.3.2 Escalas particulares
...................................................................................................
30 6.3.3 Fator de deformao ao longo dos meridianos (h).
................................................... 32 6.3.4 Fator
de deformao ao longo dos paralelos (k).
...................................................... 33
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2
6.3.5 Elipse das distores ou Indicatriz de Tissot
............................................................ 34
6.3.6 Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)
........................................................ 36 6.3.7
Fator de deformao de rea (p).
...............................................................................
37 6.3.8 Fator de deformao angular mximo ().
............................................................... 37
6.3.9 Propriedades especiais das projees
........................................................................
39
6.4 Projees Azimutais
......................................................................................................
41 6.5 Projees cnicas
..........................................................................................................
41 6.6 Projees Cilindricas
.....................................................................................................
42
7. Anlise de uma projeo sob a tica da teoria das distores.
.............................................. 46 8. Sistemas de
Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado)
.............................................. 57 9. A Projeo
Universal Transversa de Mercator (UTM)
......................................................... 58
9.1 As projees TM
...........................................................................................................
58 9.2 Transformao de coordenadas Geogrficas para TM
.................................................. 59 9.3
Transformao de coordenadas TM para Geogrficas
.................................................. 61 9.4 Modificao
das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM
.......................................... 63 9.5 O Sistema UTM (
Universal Transversa de Mercator)
................................................. 64
10. Utilizao de Cartas Topogrficas
....................................................................................
65 10.1 Articulao das folhas
...................................................................................................
65 10.2 Extrao de informaes quantitativas das cartas topogrficas.
................................... 68
ndice de Figuras
Figura 1 Representao esquemtica da finalidade das cartas.
.................................................... 5 Figura 2
Modelo de comunicao cartogrfica proposto por Kolacny .
...................................... 6 FIGURA 3 - Adquirindo
mapas digitais pela Internet Passo 1
..................................................... 11 Figura 4 -
Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 2
...................................................... 12 Figura 5
- Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 3
...................................................... 13 Figura 6
- Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 4
...................................................... 13 Figura 7
- Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 5
...................................................... 14 Figura 8
Superfcie de referncia esfrica.
.................................................................................
15 Figura 9 Superfcie de referncia elipsoidal.
..............................................................................
15 Figura 10 Relacionamento entre as superfcies fsica (topogrfica),
elipsoidal e geoidal. ........ 16 Figura 11 Sistema de coordenadas
geogrficas.
.........................................................................
17 Figura 12 Sistema de coordenadas geodsicas.
..........................................................................
18
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3
Figura 13 Latitude geocntrica.
..................................................................................................
19 Figura 14 Latitude reduzida.
......................................................................................................
19 Figura 15 Sistema cartesiano tridimensional.
............................................................................
20 Figura 16 Estudo de sinal para a longitude.
...............................................................................
20 Figura 17 Representao grfica da definio de projeo cartogrfica.
................................... 26 Figura 18 Superfcies de
projeo em funo da forma, aspecto e classe.
................................ 27 Figura 19 Representao
cartogrfica descontnua.
...................................................................
28 Figura 20 Representao cartogrfica contnua.
........................................................................
29 Figura 21 Quadriltero infinitesimal na superfcie de referncia
(esfera) e na superfcie de projeo.
........................................................................................................................................
31 Figura 22 Significados das deformaes na transformao da superfcie
referncia de projeo para a de projeo.
.........................................................................................................................
31 Figura 23 Raio do paralelo em funo da latitude.
....................................................................
33 Figura 24 Indicatriz de Tissot (elipse das distores)
................................................................ 34
Figura 25 Quadriltero infinitesimal na superfcie de projeo.
................................................ 34 Figura 26
Pontos e Linhas de distoro Zero.
............................................................................
38 Figura 27 Propriedades especiais das projees cartogrficas.
.................................................. 39 Figura 28
Deformaes sofridas pela Projeo Sinusoidal ou Projeo de
Sansom-Flamsteed.
.......................................................................................................................................................
40 Figura 29 Projeo Azimutal no aspecto normal.
......................................................................
43 Figura 30 Projeo Cnica no aspecto normal.
..........................................................................
44 Figura 31 Projeo Cilndrica no aspecto normal.
.....................................................................
45 Figura 32 Projeo Cilndrica de Plate Carre. Atribuda a
Anaximander (550 a.C.) ............... 51 Figura 33 Projeo Azimutal
Estereogrfica. Atribuda a Hiparcus (160 - 125 a.C.) ...............
52 Figura 34 Projeo Azimutal Gnomnica. Atribuda a Thales (636 - 546
a.C.) ........................ 52 Figura 35 Projeo Azimutal
Ortogrfica. Atribuda a Apolnio (240 a.C.)
............................. 53 Figura 36 Projeo Azimutal de
Postel. Conhecida desde 1426.
............................................... 53 Figura 37 Projeo
Azimutal de Lambert. Descrita em 1772.
................................................... 54 Figura 38
Projeo Cnica Conforme de Lambert. Descrita em 1772.
..................................... 54 Figura 39 Projeo Cnica
Equivalente de Lambert. Descrita em 1772.
.................................. 55 Figura 40 Projeo Cilndrica de
Mercator. Utilizada por Mercator (1569).
............................. 55 Figura 41 Projeo Pseudo Cilndrica.
Descrita em 1890.
......................................................... 56 Figura
42 Diferenas entre reticulado e quadriculado.
.............................................................. 57
Figura 43 - Reticulado de um hemisfrio na projeo Transversa de
Mercator. Observa-se que somente a zona central do mapa esta
relativamente livre de exageros em termos de distoro. .. 58 Figura
44 Latitude aproximada 1.
.............................................................................................
61
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Figura 45 Articulao das folhas do mapeamento sistemtico
brasileiro. ................................. 67 Figura 46 Mapa do
Brasil com a articulao na escala 1 : 1 000 000.
....................................... 68 Figura 47 Exemplo de
escala grfica.
........................................................................................
69
ndice de Tabelas
Tabela 1 - Situao do mapeamento do territrio brasileiro (2003)
............................................. 10 Tabela 2 Estaes do
SIRGAS 2000
..........................................................................................
23 Tabela 3 Parmetro de transformao dos Datum brasileiros.
................................................... 25 Tabela 4
Tabela de deformao da Projeo Cilndrica de Mercator (aspecto normal)
............ 48 Tabela 5 Tabela de deformao da Projeo Conforme
Azimutal Estereogrfica (aspecto normal)
..........................................................................................................................................
49 Tabela 6 Tabela de deformao da Projeo Afiltica Azimutal Gnomnica
(aspecto normal) 49 Tabela 7 Tabela de deformao da Projeo
Equidistante nos Meridianos Azimutal de Poste (aspecto normal)
............................................................................................................................
50 Tabela 8 Tabela de deformao da Projeo Equivalente Azimutal de
Lambert (aspecto normal)
..........................................................................................................................................
50 Tabela 9 Tabela de deformao da Projeo Cilndrica de Plate Carre -
Eqidistante ao longo dos meridianos.
..............................................................................................................................
51 Tabela 10 Variaes mais usuais da projeo TM
...................................................................
63
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CARTOGRAFIA 1. Introduo
1.1 Definies Cartografia :
Arte de levantamento, construo e edio de cartas de qualquer
natureza, e a cincia na qual repousa. ou
Produto do conhecimento obtido no estudo de mapas geogrficos,
dos mtodos para sua produo e reproduo, e de seu uso. Nestas
definies aparecem duas palavras que tem o mesmo significado: Carta
e Mapa. A palavra carta vem do latim charta que significa papel e a
palavra mapa vem de mappa que significa pano. Observa-se ento que a
diferena vem da origem do material com que eram produzidos. No
Brasil costuma-se diferenciar mapa de carta em funo ou da escala ou
da fidedignidade das informaes. No tocante a escala costuma-se
chamar de carta quando o documento confeccionado em escalas grandes
ou mdias e de mapa quando a escala pequena. O problema desse
enfoque estabelecer qual o limiar entre escala mdia e pequena. Com
respeito confiabilidade das informaes, costuma-se chamar de carta
os produtos elaborados com rigor geomtrico de modo a se poder tomar
medidas confiveis sobre eles e de mapa, aqueles que funcionam
apenas como ilustrao.
1.2 Generalidades sobre Cartas. Carta (mapa):
Representao visual, codificada, geralmente bidimensional, total
ou parcial, da superfcie da Terra ou de outro objeto. A finalidade
bsica de uma carta transmitir informaes especficas a respeito de
uma rea cartografada para o usurio (Figura 1).
Figura 1 Representao esquemtica da finalidade das cartas.
INFORMAO MAPA USURIO
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Um mapa ou carta um produto de comunicao e, portanto, os
conceitos de semiologia grfica esto presentes na sua construo.
Define-se semiologia grfica ao estudo dos smbolos grficos, suas
propriedades e suas relaes com os elementos da informao que eles
revelam (Oliveira, 1980). Vrios autores tm apresentado suas idias e
teorias sobre a comunicao cartogrfica. Um desses autores o
cartgrafo Tcheco Salachtchev Kolcny, que destaca:
a confeco e utilizao de mapas deve ser encarada como um
todo.
cartgrafos devem se preocupar com o uso tanto quanto com a sua
construo.
Esse cartgrafo apresenta em 1969 um modelo de comunicao
cartogrfico (Figura 2) onde os elementos envolvidos na construo de
mapas esto descritos.
Figura 2 Modelo de comunicao cartogrfica proposto por Kolacny
.
C O N T E D OD A M E N T E
D OC A R T G R A F O
LIN G U AG E M
CARTOGRFICA
T R A N S F O R M A E S IN T E L E C T U A IS
MAPA
C O N T E D OD A M E N T E
D OU S U R IO
LIN G U AG E M
C AR TO G R FIC A
E F E IT O D A I . C . C O M P R E E N D ID ACONC R ETIZ A O D A
I . C .
REALIDA
DE
DO
CA
RTGRAFO REAL IDADE
DO
USURIO
R EA L I D A D E
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OB
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RV
A
O
SE
LE
CIO
NA
DA
VI S
AN
DO
A
CR
IA
O
DA
I.
C.
3
45
12 3
4 5
21
1 - Tarefa objeto; 1 - Necessidades, interesses e
2 - Conhecimento e experincia; objetivos.
3 - Habilidades e propriedades;
4 - Processos psicolgicos;
5 - Condies externas.
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Com respeito s informaes cartografadas, essas podem ser
qualitativas ou quantitativas.
natureza Qualitativas: forma feies distribuio
posies geogrficas altitudes Quantitativas: distncias direes
reas, volumes
As feies representadas podem ser :
da superfcie terrestre
naturais
visveis : mares, rios, lagos, montanhas, desertos, florestas
invisveis :
climas, correntes, campos (magntico, gravitacional, etc.)
artificiais cidades, estradas, ferrovias, canais, plantaes,
aeroportos, barragens, portos
de outros objetos
esfera celeste : estrelas e planetas
Lua : crateras, mares...
corpos celestes Sol : manchas solares ...
Planetas : montanhas, formao de nuvens
rgos do corpo humano
prdios histricos ...
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1.3 Caractersticas das Cartas
Permitem a coleta das informaes em gabinete; Apresentam
informaes no visveis no terreno: toponmia, fronteiras
fisicamente
indefinidas; Codificam informaes atravs de smbolos; Exigem uma
atualizao permanente certas feies variam em funo do tempo;
Representam um modo de armazenamento de informaes conveniente ao
manuseio; So necessrias visualizao e compreenso de fenmenos
espaciais e de sua
distribuio e relacionamento; Constituem um dos elementos bsicos
do planejamento das atividades scio-econmicas
das comunidades humanas.
1.4 Classificao 1.4.1 Quanto finalidade (ABNT*)
Geogrficas: Topogrficas Planimtricas
Cadastrais, plantas
Aeronuticas Navegao Nuticas
Especiais : geolgicas, geomorfolgicas, meteorolgicas, de solos,
de vegetao, de uso da terra, geofsicas, globos.
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1.4.2 Classificao segundo a Diretoria do Servio Geogrfico do
Exrcito (DSG)
quanto a preciso topogrficas - satisfazem as normas tcnicas em
vigor; - obtidas por mtodos de levantamentos regulares.
preliminares - obtidas por mtodos de levantamento menos precisos
que os regulares
quanto ao carter informativo
gerais : - com informaes genricas, de uso particularizado.
especiais: - com informaes especficas, destinadas em particular
a uma nica classe de usurios.
temticas: - com uma ou mais assuntos especficos, servindo apenas
para situar o tema.
Outros documentos cartogrficos
Cartas de compilao
- obtidas pela reduo de folhas em escalas maiores; - obtidas
pela reunio e consolidao de diversos
documentos cartogrficos.
mosaicos
no-controlados : fotos montadas sem apoio em pontos de
coordenadas conhecidas
Semi-controlados : fotos montadas com apoio em pontos de
coordenadas conhecidas
Controlados : fotos retificadas montadas com apoio em pontos de
coordenadas conhecidas
Fotocartas : mosaico (controlado ou no) com quadriculado,
moldura, nomenclatura
Ortofoto imagem formada por vrias fotografias areas justapostas
de uma regio onde a perspectiva central trocada por uma
ortogonal
foto-ndice :
mapa ndice realizado atravs da montagem das fotografias areas
individuais reduzidas em escala, numeras e colocadas nas suas
posies relativas de modo a permitir saber quais as fotografias que
abrangem determinada regio fotografada.
folha-modelo: Representam o aspecto de uma folha (nomenclatura,
Quadriculado, legendas, etc)
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2. Processo Cartogrfico Entende-se por mapeamento a aplicao do
processo cartogrfico sobre uma coleo de
dados ou informaes, com vistas obteno de uma representao grfica
da realidade perceptvel, comunicada a partir da associao de smbolos
e outros recursos grficos que caracterizam a linguagem
cartogrfica.
O planejamento de qualquer atividade que de alguma forma se
relaciona com o espao fsico que habitamos requer, inicialmente, o
conhecimento deste espao. Neste contexto, passa a ser necessria
alguma forma de visualizao da regio da superfcie fsica do planeta,
onde desejamos desenvolver nossa atividade. Para alcanar este
objetivo, lanamos mo do processo cartogrfico.
Pode-se dividir, no processo cartogrfico em trs fases distintas:
a concepo, a produo e a interpretao ou utilizao. As trs fases
admitem uma s origem, os levantamentos dos dados necessrios descrio
de uma realidade a ser comunicada atravs da representao
cartogrfica.
No caso do mapa compilado a documentao coletada ter vital
importncia na atualizao da base cartogrfica compilada.
2.1 Aquisio de Mapas O Brasil, pas de dimenses continentais, tem
o seu territrio recoberto pelo mapeamento
sistemtico brasileiro que adota a mesma articulao da Carta do
Mundo ao Milionsimo, a qual divide a Terra em fusos de 6 de
amplitude em longitude e em faixas 4 de amplitude em latitude Por
outro lado, sabe-se que 90% da cartografia nacional foi produzida
entre as dcadas de 60 e 80. A partir de ento, o governo brasileiro
no investiu recursos nessa rea, provocando uma defasagem nas
informaes contidas nos mapas. A Tabela 1 mostra o nmero de folhas
do mapeamento sistemtico existente, em funo da escala. Esta tabela
foi adaptada incluindo-se a rea de abrangncia das folhas em relao
amplitude em latitude e longitude. Observa-se que grande parte do
territrio nacional coberto por cartas na escala 1:100.000 e
menores.
Tabela 1 - Situao do mapeamento do territrio brasileiro
(2003)
Escalas rea Coberta (Latitude x longitude) Total de Folhas
Porcentagem do
Mapeamento (%) 1:1.000.000 4 x 6 46 100,00
1:500.000 2 x 3 68 36,90
1:250.000 1 x 130 444 80,72
1:100.000 30 x 30 2.289 75,39
1:50.000 15 x 15 1.647 13,90
1:25.000 730 x 730 492 1,01
fonte:
http://www.moderna.com.br/geografia/projensinogeo/geobrasil/0028
(adaptado)
Atualmente com o uso de imagens orbitais com resoluo mdia (2,5
m) o problema da atualizao cartogrfica est gradativamente sendo
resolvido. No entanto, para muitos trabalhos, o acesso as cartas a
soluo.
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11
Para se adquirir mapas em papel (formato analgico), basta
visitar alguma loja do IBGE e adquirir uma cpia do mapa. Se a
utilizao do documento for diretamente sobre o papel, o problema do
usurio est resolvido. Porm, se o usurio desejar utilizar o mapa em
ambiente computacional, ser necessrio digitaliz-lo. Isto pode ser
feito utilizando-se scanners ou mesas digitalizadoras, que um
processo geralmente lento e oneroso devido as etapas de vetorizao e
edio. Para resolver este problema, atualmente o IBGE vem
disponibilizando mapas em formato digital gratuitamente na
Internet.
Para adquirir gratuitamente os mapas digitais disponibilizados
pelo IBGE, o usurio deve acessar o site do IBGE atravs do seguinte
endereo http://www.ibge.gov.br/home/, em seguida necessrio clicar
em Geocincias/Cartografia (FIGURA 3)
FIGURA 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 1
Aps isso, o usurio deve acessar o link Produtos sob a opo
Mapeamento Topogrfico, conforme se pode observar na Figura 4:
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Figura 4 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 2
O passo seguinte acessar o cone de download, na forma de um
disquete, localizado logo a frente de Cartas Topogrficas Vetoriais
do Mapeamento Sistemtico (Figura 5). Ao clicar sobre o disquete,
aberta outra tela para que o usurio fornea seu e-mail (Figura 6),
caso o usurio no esteja cadastrado no site do IBGE, este dever
fazer seu cadastro, para ento conseguir acessar os mapas (Figura
7). Para preencher o cadastro o usurio dever possuir um endereo de
e-mail e ento preencher pelo menos todos os campos assinalados com
um asterisco vermelho. Depois de cumprida esta etapa, o usurio pode
realizar a aquisio gratuita de qualquer mapa, nas escalas 1:25.000,
at 1:250.000. Cada carta acessada pelo nome da regio mapeada e ento
um arquivo compactado (ZIP) acessado para aquisio. Aps isso, o
usurio deve descompactar o arquivo e ento utilizar os arquivos da
carta em um programa de computao grfica, tal como ArcView, Spring,
Microstation, Geomedia, Bentley View, etc.
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Figura 5 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 3
Figura 6 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 4
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Figura 7 - Adquirindo mapas digitais pela Internet Passo 5
3. Superfcies de referncia usadas em cartografia. Para se mapear
a superfcie da Terra, antes necessrio conhecer a sua forma e
dimenses. Sabe-se que a Terra um corpo esfrico irregular e que no
possui uma descrio geomtrica. Ento necessria a utilizao de modelos
adequados para sua descrio de acordo com os objetivos pretendidos
nos levantamentos e mapeamentos.
3.1 Superfcie de referncia geoidal O geide definido como uma
superfcie equipotencial (potencial gravitacional constante)
materializada pelo nvel mdio dos mares. A fora da gravidade que
gera essa superfcie equipotencial resultante de uma interao entre
massas. Sabe-se que existe uma relao direta entre a massa e a
densidade de um corpo, e que existe uma grande variao na constituio
densimtrica dos materiais que constituem a parte interna do globo
terrestre. Deste modo, essa superfcie equipotencial no apresenta
uma forma regular. H ainda que se considerar, a questo dos corpos
celestes que interagem com o campo gravitacional, provocando
variaes constantes nesta superfcie. Alguns autores definem como
sendo a forma do geide a que corresponde a forma da Terra real.
Contudo, como essa superfcie no tem uma definio geomtrica, este
postulado no tem muito sentido, quando o objetivo, esta na busca de
um modelo para o mapeamento. No obstante, esta superfcie
extremamente importante no estabelecimento das altitudes.
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3.2 Superfcie de referncia esfrica Se a rea a ser mapeada for
extensa mostrando continentes ou a superfcie total da Terra,
adota-se o modelo esfrico para a superfcie da Terra (Figura 8).
Figura 8 Superfcie de referncia esfrica.
Esta modelo implica em: Levantamento : Geodsia Clculos:
Trigonometria esfrica Uso: mapas de formato pequeno mostrando
grandes pores da superfcie terrestre Escala : escalas pequenas no
maiores que 1:5.000.000 Mapas: Utilizao de projees cartogrficas
3.3 Superfcie de referncia elipsoidal Se a rea a ser levantada e
mapeada no for pequena e nem muito extensa, o modelo que melhor
representa a superfcie da Terra o elipside de revoluo, que possui
uma formulao matemtica razoavelmente simples (Figura 9). Neste
modelamento leva-se em conta o achatamento dos plos. O elipside de
revoluo definido pelos seus semi-eixos maior (a) e menor (b) ou
pelo semi-eixo maior e o achatamento (f).
Figura 9 Superfcie de referncia elipsoidal.
Por exemplo : a = 6.378 km
b = 6.356 km
f = 1/298,25 onde : a
baf =
Monte Evereste
Fossa das Marianas
nvel mdiodos mares
Terra esfrica Modelo reduzido
9 Km
11 Km
6 cm
0,2 mm
6.378
km
aa
b
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16
Este modelo implica em: Levantamento : Geodsia Clculos:
Geodsicos Medidas: Reduzidas ao elipside de revoluo Uso: cartas
topogrficas (mapeamento sistemtico), nuticas, aeronuticas. Escala :
mdias (1:1.000.000 a 1:5.000) Mapas: Utilizao de projees
cartogrficas
Independentemente do modelo adotado, tanto o esfrico como o
elipsidico possuem vrias propostas para os seus parmetros
definidores (raio e semi-eixos maior e menor).
3.4 O relacionamento entre as superfcies fsica, geoidal e
elipsoidal.
Embora se utilizem modelos geomtricos para descrever a superfcie
fsica da Terra na tarefa de mapeamento, as medies so executadas na
superfcie topogrfica, ou simplesmente fsica. importante ento,
definir-se alguns elementos deste relacionamento (Figura 10).
Figura 10 Relacionamento entre as superfcies fsica (topogrfica),
elipsoidal e geoidal.
Na figura aparecem as superfcies fsica (SF), elipsoidal (SE) e
geoidal (SG). A separao entre as superfcies elipsoidal e geoidal
recebe o nome de ondulao do geide e representado pela letra N. Um
ponto P, na superfcie fsica, sendo projetado segundo a direo da
vertical (linha de prumo) e da direo da normal (reta ortogonal a
superfcie do elipside) geram os pontos P e P. Ao segmento 'PP
corresponde a altitude ortomtrica (H), e ao segmento "PP
corresponde a altitude geomtrica ou elipsoidal (h). O ngulo formado
entre a vertical e a normal definido como desvio da vertical (i).
Este ngulo da ordem do segundo de arco e deste modo possvel se
fazer uma relao entre as superfcies sem incorrer em erro
significativo.
NHh +=
S.F.
S.E.
S.G.
vn
Hh
iP
P
PN
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
17
4. Sistemas de Referncia
A posio de um ponto na superfcie da Terra determinada a partir
de um sistema de coordenadas ou de referncia. Estes sistemas esto
associados a uma superfcie de referncia que se aproxima do formato
da Terra. o caso, por exemplo, do elipside de revoluo. Existem dois
tipos de sistemas de referenciamento. O sistema de coordenadas
esfricas e o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais. No
primeiro tipo se enquadram s coordenadas geogrficas e
geodsicas.
4.1 Sistemas de Coordenadas Geogrficas e Geodsicas
O sistema de coordenadas geogrficas divide o mundo nos
hemisfrios norte e sul, que utiliza o equador como plano de diviso,
e em oriente e ocidente que adota o meridiano de Greenwich como
fronteira (Figura 11). Neste sistema um ponto na superfcie
terrestre fica determinado pela sua latitude e longitude. Figura 11
Sistema de coordenadas geogrficas.
Latitude () define-se latitude de um lugar como sendo o ngulo
formado entre a vertical do lugar e o plano do equador, ou a
distncia angular contada sobre o meridiano deste, desde o equador
at ele. A latitude varia de 0 a 90 sendo considerada negativa no
hemisfrio sul.
Longitude (L) define-se longitude de um lugar como sendo o ngulo
diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano
meridiano do lugar, ou a distncia angular contada sobre o equador
desde o meridiano origem (Greenwich) at o meridiano deste. A
longitude varia de 0 a 180 sendo considerada negativa a oeste de
Greenwich (hemisfrio ocidental).
Meridiano de
Greenwich
L
P
Equador
Meridiano de PParalelo de P
PN
PS
Vertical
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
18
Pode-se estabelecer um sistema de coordenadas similar
utilizando-se como modelo para a Terra o elipside de revoluo
(Figura 12). Este sistema de coordenadas conhecido como Sistema de
Coordenadas Geodsicas
Figura 12 Sistema de coordenadas geodsicas.
Latitude () define-se latitude geodsica de um lugar como sendo o
ngulo formado entre a normal do lugar e o plano do equador. A
latitude varia de 0 a 90 sendo considerada negativa no hemisfrio
sul.
Longitude () define-se longitude de um lugar como sendo o ngulo
diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano
meridiano do lugar, ou a distncia angular contada sobre o equador
desde o meridiano origem (Greenwich) at o meridiano deste. A
longitude varia de 0 a 180 sendo considerada negativa a oeste de
Greenwich (hemisfrio ocidental).
Neste sistema pode-se associar a altitude geomtrica ou
elipsoidal (distncia sobre a normal desde o elipside at o ponto na
superfcie topogrfica). Nesta situao o ponto fica assim referenciado
(, , h).
4.2 Latitudes Geocntrica e Reduzida.
Nos problemas prticos de Geodsia somente o conhecimento da
latitude geodsica no suficiente, comum se necessitar determinar as
latitudes geocntricas (Figura 13) e a reduzida (Figura 14).
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
19
Define-se latitude geocntrica de um ponto P na superfcie do
elipside ao ngulo que o raio vetor CP deste ponto, forma com a sua
projeo no plano do equador. Figura 13 Latitude geocntrica.
A relao entre a latitude geodsica e a geocntrica estabelecida
pela seguinte frmula:
tgetg = )1( 2
No caso da latitude reduzida, necessrio observar a ilustrao
antes de se poder definir. Na Figura 13, aparece um dos crculos
principais da elipse que contm P, o circulo cujo raio igual ao
semi-eixo maior (a). Ento, a partir de P se constri uma reta
paralela ao eixo de rotao. Esta reta cruza a circunferncia em P.
Define-se como latitude reduzida, ao ngulo formado pelo raio vetor
'CP e sua projeo no plano do equador.
Figura 14 Latitude reduzida.
A relao entre a latitude geodsica e a reduzida estabelecida pela
seguinte frmula:
tgetgu = )1( 2
4.3 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. Este
sistema de coordenadas caracterizado por um conjunto de trs eixos
(X, Y e Z), ortogonais entre si (Figura 15). A origem do sistema
pode coincidir com o centro de massa da Terra, e neste caso,
denominado de geocntrico. As caractersticas deste sistema so as
seguintes:
o eixo X definido pela interseco do plano meridiano de Greenwich
com o plano do equador, sendo orientado positivamente no sentido do
centro para o exterior.
o eixo Y definido pela interseco do plano meridiano de longitude
90 Leste com o plano equatorial.
o eixo Z paralelo ao eixo de rotao da Terra e orientado
positivamente na direo do Plo Norte.
P
PN
PS
Equador
Normal
o
c
P
PN
PS
Equador
o
uc
P
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
20
Figura 15 Sistema cartesiano tridimensional.
Obs: Este um sistema dextrgiro.
4.4 Transformao de Coordenadas Cartesianas em Geogrficas. No
sistema de coordenadas geogrficas o modelo que utilizado para
representar a Terra
o modelo esfrico. Assim, a transformao de coordenadas dada pelas
seguintes equaes:
222 zyxR ++= ;
22 yxz
arctg+
= ;
x
yarctgL =
onde: R - Raio da esfera que representa a Terra real;
- Latitude geogrfica;
L - Longitude geogrfica.
A latitude um ngulo que varia de 0 a 90 e o sinal da equao
indica se o ponto est no hemisfrio norte ou sul. Entretanto, a
longitude um ngulo que tem uma variabilidade maior (0 a 180) e
neste caso, deve-se proceder a um estudo de sinal indicado no
quadro da Figura 16.
Figura 16 Estudo de sinal para a longitude.
x y longitude hemisfrio
+ + L Leste - + L + 180 + - L Oeste - -
L - 180
Meridiano de Greenwich
Equador
= 90 EPN Z
X Y
PS
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
21
4.5 Transformao de Coordenadas Geogrficas em Cartesianas A
transformao das coordenadas geogrficas em cartesianas conseguida
pela aplicao
das seguintes equaes:
sen
;sencos;coscos
=
=
=
RzLRyLRx
5. Datum.
Datum o conjunto de parmetros que definem o sistema
geodsico/cartogrfico de um Pas. (Nazareno).
Por parmetros, se subentende a figura geomtrica adotada para
representar a Terra, as especificaes relativas ao ponto origem, a
orientao do sistema de coordenadas, e a posio da superfcie
elipsoidal em relao fsica e a geoidal, entre outros parmetros.
5.1 Datum Horizontal
De 1950 at meados da dcada de 70, o Brasil adotava o Datum de
Crrego Alegre. Este Datum utiliza como superfcie de referncia, o
Elipside de Hayford (1924) que teve a sua origem (centro) deslocada
do centro de massa da Terra, de modo a melhor ajust-lo superfcie
topogrfica. Este procedimento tornou o sistema topocntrico. Por
questes de simplificao adotou-se ondulao nula (N=0 distncia medida
sobre a vertical do local entre o elipside e o geide). A seguir so
listados os parmetros definidores deste sistema.
Ponto origem: Vrtice Crrego Alegre
Coordenadas: = -19 50 14,91 = -48 57 41,98
h = 683,81m
Superfcie de referncia: Elipside internacional de Hayford 1924.
Parmetros: a = 6.378.388,000 m
b = 6.356.911,946 m
f = 1/297 Ondulao Geoidal: N = 0 Valor adotado
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
22
Posteriormente, por um breve perodo o Brasil conviveu com o
Datum Astro-geodsico de Chu, que mudou o ponto origem do vrtice de
Crrego Alegre para o vrtice de Chu. Este Datum foi um ensaio para a
adoo do Datum SAD-69.
O Datum SAD-69 (South American Data) um sistema regional, que
teve a sua recomendao indicada em 1969 na XI Reunio pan-americana
de Consulta sobre Cartografia. Nem todos os pases do continente
seguiram a recomendao e oficialmente somente em 1979, o Brasil o
adotou.
Os dados que caracterizam este Datum esto discriminados a
seguir.
Ponto origem: Vrtice Chu Coordenadas: = -19 45 41,6527 = -48 06
04,0639 H = 763,28 m altitude ortomtrica Superfcie de referncia:
Elipside internacional de Referncia
1967. Parmetros: a = 6.378.160,000 m b = 6.356.774,719 m f =
1/298,25 Ondulao Geoidal: N = 0 determinada Azimute geodsico: Az =
2713004,05 (Chu-Uberaba)
Esta concepo de Datum, referenciando o sistema a um ponto
origem, considerada uma soluo clssica. Modernamente, principalmente
pela tecnologia GNSS, a idia passou a ser a adoo de uma rede de
pontos de coordenadas conhecidas que do suporte ao mapeamento.
Sob esse novo enfoque desde 25/02/2005, atravs da resoluo IBGE n
1/2005 o presidente daquela instituio, resolveu alterar a
caracterizao do referencial geodsico brasileiro, que passou a ser o
SIRGAS 2000 (Sistema de Referncia Geocntrico para as Amricas) poca
2000,4.
O projeto SIRGAS foi criado na Conferncia Internacional para
Definio de um Sistema Referencial Geocntrico para a Amrica do Sul,
realizada em Assuno-Paraguai em 1993. Os primeiros resultados foram
apresentados na reunio cientfica da International Association of
Geodesy (IAG) no Rio de Janeiro em 1997, que se traduziram em uma
das redes de referncia
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
23
continentais mais precisas do mundo. O SIRGAS proposto composto
por 58 estaes distribudas pelo continente, com coordenadas
determinadas por GPS e referidas a rede de referncia internacional
mais precisa daquela poca (ITRF94 poca 1995.4). Destas 58 estaes,
11 esto no territrio brasileiro e 9 coincidem com estaes da Rede
Brasileira de Monitoramento Contnuo do Sistema GPS (RBMC).
Atualmente a figura geomtrica adotada o elipside de revoluo
geocntrico usado pelo Geodetic Reference System 1980 (GRS 80) cujos
parmetros so os seguintes:
a = 6.378.137,0000000000 m
b = 6.356.752,3141403558 m
f = 1/298,257222101
Este sistema est materializado por 21 estaes geodsicas
distribudas no territrio nacional, cujos valores esto na Tabela
2.
Tabela 2 Estaes do SIRGAS 2000
Estao
Coordenadas Geodsicas Coordenadas Cartesianas
Altitude
elipsoidal (m)
X (m) Y (m) Z(m)
BRAZ 15 56 50,9112 S 47 52 40,3283 W 1.106,020 4.115.014,085
-4.550.641,549 -1.741.444,019 BOMJ 13 15 20,0103 S 43 25 18,2468 W
419,401 4.510.195,835 -4.268.322,325 -1.453.035,300 CAC1 22 41
14,5337 S 44 59 08,8606 W 615,983 4.164.559,941 -4.162.495,407
-2.445.051,218 CANA 25 01 12,8597 S 47 55 29,8847 W 3,688
3.875.253,589 -4.292.587,088 -2.681.107,718 CORU 19 00 01,0131 S 57
37 46,6130 W 156,591 3.229.969,943 -5.095.437,766 -2.063.429,898
CRAT 07 14 16,8673 S 39 24 56,1798 W 436,051 4.888.826,036
-4.017.957,454 -798.309,017 CUIB 15 33 18,9468 S 56 04 11,5196 W
237,444 3.430.711,406 -5.099.641,565 -1.699.432,931 FOR1 03 43
34,3800 S 38 28 28,6040 W 48,419 4.982.893,151 -3.959.968,539
-411.742,293 FORT 03 52 38,8046 S 38 25 32,2051 W 19,451
4.985.386,605 -3.954.998,594 -428.426,440 IMBI 28 14 11,8080 S 48
39 21,8825 W 11,850 3.714.672,427 -4.221.791,488 -2.999.637,883
IMPZ 05 29 30,3584 S 47 29 50,0445 W 105,008 4.289.656,441
-4.680.884,944 -606.347,331 MANA 03 06 58,1415 S 60 03 21,7105 W
40,160 3.179.009,359 -5.518.662,100 -344.401,823 MCAE 22 22 10,3989
S 41 47 04,2080 W 0,056 4.400.142,600 -3.932.040,418 -2.412.305,322
PARA 25 26 54,1269 S 49 13 51,4373 W 925,765 3.763.751,652
-4.365.113,803 -2.724.404,694 POAL 30 04 26,5528 S 51 07 11,1532 W
76,745 3.467.519,402 -4.300.378,535 -3.177.517,730 PSAN 00 03
26,4338 S 51 10 50,3285 W -15,506 3.998.232,011 -4.969.359,526
-6.340,615 RECF 08 03 03,4697 S 34 57 05,4591 W 20,180 5.176588,653
-3.618.162,163 -887.363,920 RIOD 22 49 04,2399 S 43 18 22,5958 W
8,630 4.280.294,879 -4.034.431,225 -2.458.141,380 SALV 13 00
31,2116 S 38 30 44,4928 W 35,756 4.863.495,731 -3.870.312,351
-1.426.347,813 UEPP 22 07 11,6571 S 51 24 30,7223 W 430,950
3.687.624,315 -4.620.818,606 -2.386.880,343 VICO 20 45 41,4020 S 42
52 11,9622 W 665,955 4.373.283,313 -4.059.639,049 -2.246.959,728
SMAR 29 43 08,1260 S 53 42 59,7353 W 113,107 3.280.748,410
-4.468.909,741 -3.143.408,684 Fonte: Resoluo n 1 de fevereiro de
2005 (IBGE) adaptada.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
24
Est includa nesta Tabela 2 a estao SMAR, pertencente a Rede
Brasileira de Monitoramento Continuo do Sistema GPS (RBMC) e cujas
coordenadas foram determinadas pelo IBGE posteriormente campanha
GPS/SIRGAS 2000.
5.2 Mudana de Datum. Considerando que todo o sistema de
mapeamento tem uma ligao ntima com o Datum adotado, a utilizao de
um parmetro diverso ao estabelecido, implica numa inconsistncia de
dados. Deve-se ento, tomar o cuidado de verificar em qual Datum est
referenciado o mapeamento e fazer as adequaes necessrias
compatibilizao. Com a difuso da utilizao da tecnologia GPS (Global
Positioning System), este cuidado deve ser redobrado, uma vez que o
sistema utiliza os parmetros do sistema WGS-84. O IBGE atravs da
Resoluo n 23, de 21 de fevereiro de 1989, estabeleceu os critrios
oficiais para transformaes de sistemas geodsicos (mudana de Datum).
A Resoluo n 1/2005 complementa no que concerne mudana para o SIRGAS
2000. A resoluo recomenda que se utilize a transformao das
coordenadas geodsicas em tridimensionais, aplique-se nestas os
fatores de transformao e posteriormente se retorne ao sistema
geodsico. At essa Resoluo aplicavam-se as frmulas simplificadas de
Molodeski.
5.2.1 Transformao de Coordenadas Geodsicas para Cartesianas
Tridimensionais
( ) ;sen)1(;sencos)(;coscos)(
112111
11111
11111
heNZhNYhNX
+=
+=
+=
onde : 1 = Latitude geodsica do ponto
1 = Longitude geodsica do ponto
N1 = raio de curvatura da seo 1 vertical (grande normal)
h1 = altitude geomtrica ou elipsoidal
Transformao de sistema Considerando que o Datum de Crrego
Alegre, SAD 69, SIRGAS 2000 e WGS 84 so paralelos entre si,
transformao neste caso, envolve apenas translao de eixos.
X2 = X1 + X12 Y2 = Y1 + Y12
Z2 = Z1 + Z12
onde: X, Y e Z so parmetros de transformao, definidos na resoluo
e esto listados na Tabela 3.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
25
5.2.2 Transformao de Cartesianas Tridimensionais para
Coordenadas Geodsicas
22
22
22
2
2
22
32
22
22
22
32
222
2
cos
cos
sen'
NYXh
XY
arctg
uaeYXubeZ
arctg
+=
=
+
+=
onde:
utgtgu
u21
sen+
= ; utg
u21
1cos
+= ;
2
22
222
2
ba
YXZ
tgu +
=
Os parmetros de transformao encontram-se na Tabela 3 . Tabela 3
Parmetro de transformao dos Datum brasileiros.
Parmetros de Transformao
Crr. Alegre -
SAD 69
SAD 69 -
Crr. Alegre
SAD 69 -
SIRGAS 2000
SIRGAS 2000
SAD 69
SAD 69
WGS 84
WGS 84
SAD 69
X -138,70 m 138,70 m - 67,35 m 67,35 m - 66,87 m 0,43m 66,87 m
0,43m
Y 164,40 m - 164,40 m 3,88 m - 3,88 m 4,37 m 0,44m - 4,37 m
0,44m
Z 34,40 m -34,40 m -38,22 m 38,22 m -38,52 m 0,40m 38,52 m
0,40m
obs: Dados obtidos do Boletim de Servio N 1602 (suplemento) e
nas resoluo N 23/89 e N 1/2005 IBGE.
Os parmetros que definem o elipside utilizado pelo sistema WGS
84 so os seguintes:
a = 6.378.137,000 m
WGS 84 b = 6.356.752,314 m
f = 1/298,257223563
Em decorrncia da evoluo tecnolgica, o WGS84 j passou por trs
atualizaes: WGS84(G730); WGS84(G873) e WGS84(G1150). Desta forma,
os parmetros de transformao da Tabela 3 entre SAD 69 e WGS84, devem
ser usados para levantamentos GPS antes de 1994. Aps esta data os
parmetros indicados so os da transformao entre SAD 69 e SIRGAS 2000
uma vez que os dois sistemas (WGS84 e SIRGAS 2000) so compatveis ao
nvel do centmetro. No site do IBGE possvel ter acesso a dois
programas de transformao de Datum, O TCGeo e o PROGRID. O TCGeo
utiliza a formulao apresentada na resoluo n 23 de 21 de
fevereiro1989 e os parmetros de transformao da resoluo n 1 de 25 de
fevereiro de 2005.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
26
Este programa faz a transformao e no leva em considerao a
distoro da rede geodsica, originada pelo transporte de coordenadas
feitas atravs da triangulao geodsica. O PROGRID um programa mais
abrangente que utiliza um grid de referncia que procura modelar as
distores da rede ao mesmo tempo em que proporciona a mudana de
Datum. Nenhum desses programas melhora a qualidade do dado original
quanto a preciso.
5.3 Datum vertical.
O referencial altimtrico brasileiro coincide com a superfcie
equipotencial do campo da gravidade da terrestre que contm o nvel
mdio do mar (Geide) definido pelas observaes maregrficas tomadas na
baa de Imbituba, no litoral do estado de Santa Catarina de 1949 a
1957.
6. Projees Cartogrficas 6.1 Introduo
Define-se projeo cartogrfica como sendo qualquer arranjo
sistemtico de meridianos e paralelos descrevendo a superfcie curva
da esfera ou elipside em um plano. Em outras palavras a representao
da superfcie fsica da Terra no plano do papel (Figura 17). Essa
relao entre a superfcie fsica e a do papel se d atravs de funes
matemticas de tal modo que cada projeo possui equaes nicas.
x = f1(,) = f3(,) ou
y = f2(,) = f4(,) Estas equaes tanto servem para definir a
projeo como para constru-la.
Figura 17 Representao grfica da definio de projeo
cartogrfica.
TERRA MAPA
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
27
6.2 Superfcies de projeo A Terra um corpo plstico que sofre
deformaes percebidas pela mar terrestre. Sua forma aproximadamente
esfrica, mas no tem uma forma geomtrica definida. Por essa razo, so
utilizados modelos para represent-la (esfrico e elipsidico). A
partir desse modelamento que se estabelecem as relaes matemticas,
contudo, a correspondncia entre os pontos da superfcie e do mapa no
exata. Em primeiro lugar existe um fator de escala que deve ser
considerado e em segundo lugar impossvel transformar uma superfcie
curva em uma plana sem provocar deformaes (estiramentos,
descontinuidades). O que se procura fazer eleger alguma rea da
superfcie e ento minimizar os efeitos da distoro nesta regio.
dentro dessa lgica que foram imaginadas trs superfcies de projeo
para tentar contornar o problema: a superfcie plana, a cnica e a
cilndrica. Estas trs superfcies tambm servem como um dos parmetros
classificatrios das projees, ou seja:
Projees azimutais plana Projees cnicas superfcie cnica Projees
Cilndricas cilndrica
Qualquer uma destas superfcies pode estar na posio normal,
transversa ou oblqua, dependendo da necessidade (Figura 18).
Figura 18 Superfcies de projeo em funo da forma, aspecto e
classe.
N O R M A L T R A N S V E R S O OBLQUO
S U
P E
R F
C
I E
S
D E
P
R O
J E
O
C I
L N
D R
I C
AC
N
I C
AP
L A
N A
C L
A S
S E
S
D A
S
P
R O
J E
E S
C I
L N
D R
I C
AC
N
I C
AA
Z I
M U
T A
L
A S P E C T O D A S P R O J E E S
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
28
6.3 Introduo ao conceito de distoro A representao de um trecho
ou totalidade da superfcie fsica da Terra remete a idia de escala.
O conceito de escala indica quantas vezes um objeto foi reduzido ou
ampliado para poder ser representado no papel. Contudo, este valor
deve ser entendido como sendo um valor mdio porque diferentes
pontos do mapa sofrem diferentes deformaes. Este fato causado pela
transformao da superfcie curva da Terra para a superfcie plana do
mapa e varia seu valor em funo da projeo cartogrfica que se est
utilizando. Em cartografia pode-se pensar em representar a
superfcie da Terra de duas maneiras:
a) Cortando a superfcie do globo ao longo de certos paralelos e
meridianos. Este procedimento minimiza as distores, contudo
apresenta o inconveniente de se representar o mesmo paralelo e
meridiano duas vezes, alm de haver descontinuidade no mapa (Figura
19).
Figura 19 Representao cartogrfica descontnua.
Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections.
Pergamon Press Inc. New York. 1992.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
29
b) Estirando a superfcie em alguma direo. Na Figura 20, por
exemplo, a Projeo Policnica Hassler 1820 (Eqidistante segundo os
paralelos) existe um estiramento na direo dos meridianos.
Observa-se que a deformao vai aumentando na medida em que se
aproxima do limite do mapa; a distncia entre dois paralelos cresce
a partir do centro; a separao entre dois meridianos quaisquer
permanece praticamente constante; no h descontinuidade.
Figura 20 Representao cartogrfica contnua.
Em qualquer um dos casos tm-se vantagens e desvantagens e,
dependendo da finalidade, aplica-se uma soluo ou outra. Em termos
prticos pode-se, para o segundo caso, restringir-se a amplitude da
rea a ser mapeado, caso da projeo UTM que est contida em fusos de 6
de amplitude. Este valor foi adotado porque alm desse limite a
deformao passa a ter um valor significativo. Entende-se por
significativo aquele valor que pode ser mensurado com um escalmetro
num mapa, ou seja, qualquer deformao maior que o erro grfico (0,2
mm).
Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections.
Pergamon Press Inc. New York. 1992.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
30
6.3.1 Escala principal. Escala definida como a razo entre um
comprimento no mapa e o seu valor real no terreno. Normalmente
utiliza-se a relao:
1E
dD=
onde : d - distncia no mapa;
D - distncia real.
Todavia pode-se usar outra formulao mais adequada para
cartografia. Essa nova equao tem relao direta com o conceito de
esfera modelo ou globo gerador.
Define-se esfera modelo como o modelo reduzido da Terra Real.
Essa entidade matemtica tem raio unitrio.
Ento a partir dessa conceituao pode-se definir escala principal
de um mapa como a relao entre o raio da esfera modelo com o da
Terra real.
TRR
E=
1
onde : R - raio da esfera modelo;
D - raio da Terra real.
Normalmente as escalas em cartografia so representadas na forma
de frao onde o numerador unitrio, assim:
1 =
1
6.3.2 Escalas particulares Observando-se ainda o mapa da Figura
20, pode-se intuir que dependendo da direo tomada tm-se valores
diferentes para a deformao. Este fato real implica no conceito de
escalas particulares que definido como sendo uma taxa de variao da
escala principal ao longo de uma direo infinitamente curta. Esta
taxa de variao varia conforme a direo escolhida.
Supondo um quadriltero infinitesimal ABCD sobre a superfcie de
referencia esfrica (esfera modelo) construdo a partir do ponto A de
coordenadas e (Figura 21).
Esse quadriltero ao ser transportado para a superfcie de projeo
sofre distores fazendo com que os pontos B, C, e D sejam
deslocados, gerando o quadriltero ABCD. Esta situao pode ser
visualizada na Figura 21.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
31
Figura 21 Quadriltero infinitesimal na superfcie de referncia
(esfera) e na superfcie de projeo.
Superfciede
Referncia
Superfciede
Projeods
A
B
C
D
P
R
S
Q
dx
dy
X
Y
A
B C
D
ds
+ d
+ d
Quadrilteroinfinitesimal
A
R
d
rpd
Estes deslocamentos tm significado geomtrico e podem ser
representados simbolicamente por uma notao de derivadas parciais,
que esto explicitados No quadro da Figura 22. Figura 22
Significados das deformaes na transformao da superfcie referncia de
projeo para a de projeo.
Deslocamento Significado Smbolo
AP Incremento na direo de Y ocasionado por uma variao
infinitesimal da latitude (d) d
y
PB Incremento na direo de X ocasionado por uma variao
infinitesimal da latitude (d) d
x
AS Incremento na direo de X ocasionado por uma variao
infinitesimal da longitude (d) d
x
SD Incremento na direo de Y ocasionado por uma variao
infinitesimal da longitude (d) d
y
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
32
O incremento calculado por uma derivada parcial da funo que
representa a transformao da superfcie de referncia (esfrica ou
elipsidica) para a superfcie de projeo (plana, cnica ou cilndrica)
em relao a latitude e longitude. Escala uma relao entre o
comprimento real e o representado, assim as escalas particulares
podem ser calculadas como sendo as relaes entre os comprimentos dos
segmentos na esfera e os seus correspondentes no plano de projeo.
Esta variao pode ser entendida como um fator de deformao que varia
ao longo de toda superfcie de projeo. Ento se pode determinar o
fator de deformao ao longo dos paralelos, ao longo dos meridianos,
em uma direo qualquer, segundo um azimute e assim por diante.
6.3.3 Fator de deformao ao longo dos meridianos (h). O fator de
deformao ao longo dos meridianos representado pela letra h.
definido pela relao:
h = AB
BA '';
Analisando o quadriltero infinitesimal da Figura 21 tem-se que
AB a hipotenusa de um tringulo retngulo, ou seja:
22'''''' BPPABA +=
substitudo os segmentos pelos seus significados (Tabela 3)
22
22
''
dxdyBA
+
= => 2
22
''
dxyBA
+
=
Chamando a quantidade
+ = vem =
AB o comprimento de um arco de meridiano de raio R e amplitude
d, ou seja:
AB = R.d considerando uma esfera de raio unitrio AB = d
Finalmente
h =
ddE
h = E ;
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
33
6.3.4 Fator de deformao ao longo dos paralelos (k). O fator de
deformao ao longo dos paralelos representado pela letra k. definido
pela relao:
k = AD
DA '';
Analisando novamente o quadriltero infinitesimal da Figura 21
tem-se que AD a hipotenusa de um tringulo retngulo, ou seja:
22'''''' DSSADA +=
substitudo os segmentos pelos seus significados (Tabela 3)
22
22
'' dydxDA
+
= => 222
'' dyxBA
+
=
Chamando a quantidade +
= vem =
AD o comprimento de um arco de paralelo de raio rp e amplitude d
(Figura 23):
Figura 23 Raio do paralelo em funo da latitude.
R
rp
dA D
R
rp=cos R.
A
AD = R.cos.d considerando uma esfera de raio unitrio AD = cos.d
Finalmente
k = d
dGcos
k = secG ;
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
34
6.3.5 Elipse das distores ou Indicatriz de Tissot Uma
circunferncia na superfcie da esfera, infinitamente pequena,
quando
transformada para o plano da projeo, ao sofrer deformao assume a
forma elptica. Esta elipse recebe o nome de elipse das distores ou
Indicatriz da Tissot e est representada na Figura 24. Figura 24
Indicatriz de Tissot (elipse das distores)
Teorema de Tissot: Sobre qualquer ponto de uma projeo existem
duas direes perpendiculares entre si,
que ao serem transformadas, embora existindo deformao angular,
permanecem perpendiculares entre si. As direes I e II so conhecidas
como direes principais e sobre elas que ocorrem as deformaes mxima
e mnima (a e b). Na esfera os paralelos se cruzam segundo um ngulo
de 90, porm esse valor alterado pela distoro sendo representado por
(Figura 25). Figura 25 Quadriltero infinitesimal na superfcie de
projeo.
ds
A
B
C
D
P
R
S
Q
dx
dy
X
Y
a a
aa
ds ds
C Cy y
x x
I I I I
I I
A A
na projeona esfera
a
b
Mer
idia
no
Paralelo
kh
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
35
Do quadriltero infinitesimal transformado representado na Figura
25, vem:
+ + = 180 = 180
Extraindo o cosseno das duas igualdades:
cos = cos180 mas
cos180 = cos 180 cos )*+180 )*+ = cos
Aplicando a lei dos cossenos no tringulo plano ABC(Figura
25):
) = + , 2 , ./)
Isolando a funo cosseno:
012 3 = 4567896:678:6;67796:6:6;6 (Equao 1)
) =
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
36
Chamando de L = J +
K e lembrando que:
= +
* = +
) = + 2 L +
Os valores resultantes dos clculos para E, F e G so conhecidos
como quantidades fundamentais de Gauss.
Das dedues anteriores = e , = =
Substituindo na equao 1.
cos = + 2 L +
2 = L
h = E; k = G sec
Finalmente:
./) = L S ./)
Onde o ngulo reto deformado.
6.3.6 Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)
As seguintes relaes podem ser deduzidas a partir do conceito de
elipse das distores. h2 = a2.cos2+b2.sen2 k2 = a2.sen2+b2.cos2
associando as duas equaes: h2 + k2 = a2 + b2 (Equao 2)
Esta expresso representa o 1 Teorema de Apolnio, que mostra que
a soma ao quadrado de dois dimetros conjugados na elipse uma
constante.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
37
O 2 Teorema de Apolnio mostra que a rea formada por dois
semi-dimetros conjugados na elipse igual a rea do retngulo formado
pelos semi-eixos da elipse, ou seja:
h.k.sen= a.b (Equao 3)
A h2 + k2 = a2 + b2 (Equao 2 e h.k.sen= a.b (Equao 3 permitem
avaliar a evoluo das distores mxima e mnima para qualquer projeo a
partir dos valores conhecidos h, k e . Multiplicando a h.k.sen= a.b
(Equao 3 por 2 e somando e subtraindo da h2 + k2 = a
2 + b2 (Equao 2 resulta:
h2 + k2 2.h.k.sen = a2 + b2 2.a.b
finalmente
(a b)2 = h2 + k2 2.h.k.sen
A resoluo deste sistema de equaes permite determinar os valores
dos fatores de deformao mximo e mnimo.
6.3.7 Fator de deformao de rea (p). Considerando que o
quadriltero ABCD representado na Figura 25 muito pequeno, pode-se
definir que o fator de deformao da rea :
)*+
Ento:
p = h.k.sen ou p = a.b
6.3.8 Fator de deformao angular mximo (). A equao que permite o
clculo do fator de deformao angular mximo a seguinte:
baba
+
=
2sen
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
38
Dependendo da funo de projeo que se utilize, tm-se valores
diferentes para as deformaes, que so do tipo linear, angular e de
rea. Em resumo, as escalas particulares ou fatores de deformao
assumem valores mximos e mnimos e podem ocorrer:
ao longo dos meridianos = h
ao longo dos paralelos = k
ao longo das direes principais (mxima) = a
ao longo das direes principais (mnima) = b
de rea = p
Angular mxima =
No obstante os mapas possurem deformao, existem certos pontos ou
linhas onde essas deformaes no ocorrem ou o fator de deformao igual
a 1. Esses locais so conhecidos como pontos ou linhas de distoro
zero (pdz ou ldz ). A Figura 26 mostra essas situaes.
Figura 26 Pontos e Linhas de distoro Zero.
ldz pdz
ldz ldz
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
39
6.3.9 Propriedades especiais das projees
Apesar da escala principal s ser preservada ao logo de certos
pontos ou linhas (pdz ou ldz) e as escalas particulares variarem
tanto em posio como em direo num mapa, possvel criar certas
combinaes especiais de escalas particulares que podem ser mantidas
em toda a extenso de um sistema de projeo, com exceo aos pontos
singulares. Pontos singulares so aqueles onde o Teorema de Tissot
no se aplica. Por exemplo, em algumas projees os plos aparecem como
sendo linhas ao invs de pontos.
Estas propriedades classificam as projees em conformes,
equivalentes, eqidistantes e afilticas. O quadro da Figura 27
resume as caractersticas de cada uma das propriedades.
Figura 27 Propriedades especiais das projees cartogrficas.
Propriedade Escala particular Efeito Aplicao
Conformidade a =b no h deformao angular; a forma dos objetos
mantida.
Mapas onde a medida de ngulos importante. Ex.: Cartas
Topogrficas, Cartas de Navegao e Cartas Militares.
Equivalncia a.b = 1 os ngulos so deformados, porm no h deformao
de rea.
Mapas onde a medida das reas importante. Ex.: Mapas de uso da
terra, vegetao, populacionais.
Eqidistncia h = 1 no h deformao
segundo os meridianos. Mapas onde a conformidade ou a
equivalncia no sejam primordiais. Atlas, mapas de planejamento
estratgico.
k = 1 no h deformao segundo os paralelos.
Afilticas no apresentam nenhuma propriedade
As projees equidistantes apresentam uma caracterstica
importante, elas deformam menos os ngulos que as equivalentes e
menos as reas que as conformes, sendo ento til quando as outras
duas propriedades no so necessrias.
A Figura 28 mostra as deformaes sofridas pela Projeo Sinusoidal
ou Projeo de Sansom-Flamsteed. Esta projeo classificada como
equivalente pertence s pseudo-cilndricas. Observa-se que ao longo
do equador e do meridiano de Greenwich as Indicatrizes de Tissot so
circunferncias de mesmo tamanho, o que indica que as deformaes:
mxima e mnima; ao longo dos meridianos e ao longo dos paralelos, so
iguais. Por ser uma projeo equivalente a deformao mxima igual ao
inverso da mnima, ou seja: T = 1 UV
Deste modo percebe-se que o meridiano de Greenwich e o equador
so linhas de distoro zero. Fora delas observa-se um estiramento na
medida em que se aproxima do Polo Norte.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
40
Figura 28 Deformaes sofridas pela Projeo Sinusoidal ou Projeo de
Sansom-Flamsteed.
Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections.
Pergamon Press Inc. New York. 1992
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
41
6.4 Projees Azimutais As projees azimutais so aquelas que
utilizam o plano como superfcie de projeo. Como j mostrado na
Figura 18, dependendo da posio que o plano ocupa, ela pode ser
classificada quanto ao aspecto como normal, oblqua ou transversa,
alm de poder ser tangente ou secante ao modelo de referncia. As
frmulas gerais para as projees azimutais, no caso normal e
tangente, so as seguintes.
r = f(); x = r.sen = ; y = r.cos
onde : r - raio do paralelo no plano de projeo - co-latitude do
paralelo ( = 90 - ) - Longitude. - ngulo correspondente a longitude
no plano de projeo.
As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so
definidas por :
ddr
ddrh ==
e cossenrrk ==
A Figura 29 mostra os elementos envolvidos numa projeo azimutal
normal.
6.5 Projees cnicas As projees cnicas so aquelas que utilizam o
cone como superfcie de projeo. Como j mostrado na Figura 18,
dependendo da posio que o cone ocupa, ela pode ser classificada
quanto ao aspecto como normal, oblqua ou transversa, alm de poder
ser tangente ou secante ao modelo de referncia. As frmulas gerais
para as projees cnicas, no caso normal e tangente, so as
seguintes.
r = f(); x = r.sen = ; y = C r.cos
onde : r - raio do paralelo no plano de projeo - co-latitude do
paralelo ( = 90 - ) - Longitude. - fator de reduo ou constante do
cone C - corresponde ao raio do paralelo-padro no plano de projeo -
ngulo correspondente a longitude no plano de projeo.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
42
As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so
definidas por :
ddr
ddrh ==
e
cossen
rrk ==
A Figura 30 mostra os elementos envolvidos numa projeo cnica
normal.
6.6 Projees Cilindricas
As projees cilindricas so aquelas que utilizam o cilindro como
superfcie de projeo. Como j mostrado na Figura 18, dependendo da
posio que o cilindro ocupa, ela pode ser classificada quanto ao
aspecto como normal, oblqua ou transversa, alm de poder ser
tangente ou secante ao modelo de referncia. As frmulas gerais para
as projees cilindricas, no caso normal e tangente, so as
seguintes.
x = y = f()
As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so
definidas por :
ddyh =
e sec=k
Existem ainda a classes das projees pseudo-cnicas,
pseudo-cilndricas e policnicas.
A Figura 31 mostra os elementos envolvidos numa projeo cilndrica
normal.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
43
Figura 29 Projeo Azimutal no aspecto normal.
R
P
P`
PN r
PS
Lei de projeo : r = f( ) = F ( ) =
rcosk =
h -= rr=
=r
senSuperfcie de projeo
P`
r
(Esfera modelo - R=1)Superfcie de referncia
Projees AzimutaisSuperfcie de projeo
-
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Aplicada
44
Figura 30 Projeo Cnica no aspecto normal.
P`PN
V
Lei de projeo : r = f( ) = F ( ) = = constante do cone
rcosk =h -=
r
P`
r
V
Superfcie de projeo
P
R
0
Projees Cnicas
Superfcie de projeo
(Esfera modelo - R=1)Superfcie de referncia
PS
r
(Cone - tangente)Paralelo-padro (L.d.z.)
C
-
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Aplicada
45
Figura 31 Projeo Cilndrica no aspecto normal.
PN
PS
P P`
R
Projees CilindricasSuperfcie de projeo
(Esfera modelo - R=1)Superfcie de referncia
(Cilindro - tangente)Equador
Paralelo-padro (L.d.z.)
Equador
Mer
idia
no
de G
reen
wic
h
180
E
180
W
Superfcie de projeo
0
90 S
90 N
Lei de projeo :
y = f( ) = F ( ) x =
cosk =h =y
cos0
-
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Aplicada
46
7. Anlise de uma projeo sob a tica da teoria das distores. Todas
as projees cartogrficas, indistintamente, provocam deformaes nas
feies
cartografadas no processo de transferncia da superfcie fsica
para a de projeo. Deste modo, ao se adotar uma ou outra formulao,
deve-se levar em considerao qual das caractersticas que se quer
preservar, ou seja, que propriedade interessa.
As projees so classificadas quanto s propriedades em conformes,
eqidistantes, equivalentes e afilticas. Dependendo da formulao (lei
da projeo) mesmo a propriedade sendo igual, no se tem o mesmo
resultado. necessrio se fazer um estudo sob a luz da teoria das
distores antes de se optar por esta ou aquela projeo.
A Projeo Cilndrica Conforme de Mercator uma das mais conhecidas
e como forma de exemplificao ser aplicada a teoria das distores
nela. Ronan (1983) apud Maling(1993) em sua obra The Cambribge
Ilustrated History of the Worlds Science, afirma que esta projeo
foi utilizada por Chien Lo-Chih num primitivo mapa de estrelas
(Tunhuang 940). Na Europa, a sua utilizao datada de 1511 por
Etzlaud e 1569 por Mercator. A navegao passou a adot-la a partir de
1.599.
A formulao desta projeo (lei de projeo) a seguinte:
x =
y =
+
24ln pitg
a) Clculo das derivadas parciais
;0=x
;1=x
;0=y
;
24cos
242
121
242cos
1
24(
24cos
21
242sec
24
1
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
pipipipi
pipi
pi sensentg
y
( ) ( ) ;)cos(11
21
224 pipi=
+=
+=
sensen
y );sec(
=
y
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
47
b) Clculo das quantidades fundamentais de Gauss
( ) ( )
( ) ( ) ;101)()(;00)sec(10
);(2sec2)sec(20)()(
2222
22
=+=+=
=+=+=
=+=+=
yx
yyxx
yx
G
F
E
c) Clculo das escalas particulares c.1) Fator de deformao ao
longo dos meridianos
Eh = h = sec()
c.2) Fator de deformao ao longo dos paralelos
)sec(= Gk k = sec()
c.3) Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)
0)cos(0
)cos()'cos( === khkhF
=> = 90
( ) ( ) khbakhkhkhkhkhba ====+=+= 222222 2)'sen(2
c.4) Fator de deformao de rea
p = a.b p=sec2()
c.5) Deformao angular mxima.
00sen como ;2
sen ===+
= b a
baba
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
48
d) Tabela de deformaes Tabela 4 Tabela de deformao da Projeo
Cilndrica de Mercator (aspecto normal)
h k a b p
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00
15 1,04 1,04 1,04 1,04 1,07 0,00
30 1,15 1,15 1,15 1,15 1,33 0,00
45 1,41 1,41 1,41 1,41 2,00 0,00
60 2,00 2,00 2,00 2,00 4,00 0,00
75 3,86 3,86 3,86 3,86 14,93 0,00
90 No definida
Observa-se na Tabela 4 que as deformaes crescem na direo dos
Plos, tendendo para o infinito. Isso acontece porque esta projeo no
definida para latitude de 90. A deformao angular mxima igual a
Zero, o que era de se esperar, uma vez que a projeo conforme e os
ngulos, neste caso, so preservados. Nota-se ainda, que uma rea
localizada na latitude de 75, sofre uma ampliao na rea da ordem de
14,93 vezes.
Se por projeto for estabelecida uma tolerncia de 4% em termos de
deformao linear, s a regio compreendida entre os meridianos de 15 N
e 15 S ter a sua rea mapeada por esta projeo.
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
49
Na tabelas de Tabela 1 a Tabela 8, so apresentados os fatores de
deformao de algumas projees azimutais.
Tabela 5 Tabela de deformao da Projeo Conforme Azimutal
Estereogrfica (aspecto normal)
h k a b p
0 2,00 2,00 2,00 2,00 4,00 0,0
15 1,59 1,59 1,59 1,59 2,52 0,0
30 1,33 1,33 1,33 1,33 1,78 0,0
45 1,17 1,17 1,17 1,17 1,37 0,0
60 1,07 1,07 1,07 1,07 1,15 0,0
75 1,02 1,02 1,02 1,02 1,03 0,0
90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0
Tabela 6 Tabela de deformao da Projeo Afiltica Azimutal Gnomnica
(aspecto normal)
h k a b p
0 No definida
15 14,93 3,86 14,93 3,86 57,68 72,1
30 4,00 2,00 4,00 2,00 8,00 38,9
45 2,00 1,41 2,00 1,41 2,83 19,8
60 1,33 1,15 1,33 1,15 1,54 8,2
75 1,07 1,04 1,07 1,04 1,11 2.0
90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
50
Tabela 7 Tabela de deformao da Projeo Equidistante nos
Meridianos Azimutal de Poste (aspecto normal)
h k a b p
0 1,00 1,57 1,57 1,00 1,57 25,7
15 1,00 1,36 1,36 1,00 1,36 17,3
30 1,00 1,21 1,21 1,00 1,21 10,9
45 1,00 1,11 1,11 1,00 1,11 6,0
60 1,00 1,05 1,05 1,00 1,05 2,8
75 1,00 1,01 1,01 1,00 1,01 0,7
90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0
Tabela 8 Tabela de deformao da Projeo Equivalente Azimutal de
Lambert (aspecto normal)
h k a b p
0 0,71 1,41 1,41 0,71 1,00 38,9
15 0,79 1,26 1,26 0,79 1,00 26,3
30 0,87 1,15 1,15 0,87 1,00 16,4
45 0,92 1,08 1,08 0,92 1,00 9,2
60 0,97 1,04 1,04 0,97 1,00 4,0
75 0,99 1,01 1,01 0,99 1,00 1,1
90 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0
A partir destas tabelas possvel se fazer o estudo de que projeo
mais adequada para o projeto cartogrfico que se pretende. Este tipo
de anlise deve ser aplicado sempre que se pretende utilizar uma
projeo diferente das tradicionais.
-
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Aplicada
51
Para efeito de ilustrao, criou-se na Projeo Cilndrica de Carre,
onde na Tabela 9 esto as escalas particulares, uma feio humana
(rosto) para obteno das coordenadas geogrficas dos seus traos
definidores (Figura 32). A partir destas, gerou-se em diversas
projees o reticulado e o rosto, para demonstrar as diferenas que os
contornos de uma rea cartografada, podem sofrer (Figura 33 a Figura
41).
Tabela 9 Tabela de deformao da Projeo Cilndrica de Plate Carre -
Eqidistante ao longo dos meridianos.
h k a b p
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0
15 1,00 1,04 1,04 1,00 1,04 2,0
30 1,00 1,15 1,15 1,00 1,15 8,2
45 1,00 1,41 1,41 1,00 1,41 19,8
60 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 38,9
75 1,00 3,86 3,86 1,00 3,86 72,1
90 1,00 1,00
Figura 32 Projeo Cilndrica de Plate Carre. Atribuda a
Anaximander (550 a.C.)
-
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52
Figura 33 Projeo Azimutal Estereogrfica. Atribuda a Hiparcus
(160 - 125 a.C.)
Figura 34 Projeo Azimutal Gnomnica. Atribuda a Thales (636 - 546
a.C.)
-
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53
Figura 35 Projeo Azimutal Ortogrfica. Atribuda a Apolnio (240
a.C.)
Figura 36 Projeo Azimutal de Postel. Conhecida desde 1426.
-
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54
Figura 37 Projeo Azimutal de Lambert. Descrita em 1772.
Figura 38 Projeo Cnica Conforme de Lambert. Descrita em
1772.
-
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55
Figura 39 Projeo Cnica Equivalente de Lambert. Descrita em
1772.
Figura 40 Projeo Cilndrica de Mercator. Utilizada por Mercator
(1569).
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56
Figura 41 Projeo Pseudo Cilndrica. Descrita em 1890.
-
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57
8. Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e
reticulado)
Nos mapas as diversas feies representadas podem ser
referenciadas a dois tipos de coordenadas planas: o quadriculado e
o reticulado (Figura 1Figura 42).
Figura 42 Diferenas entre reticulado e quadriculado.
43 W44 W45 W46 W47 W29 S
30 S
31 S
1
2
3y4
y5
y3
y2
y1
600 km500 km
500 km
400 km
400 km
300 km
300 km
200 km
200 km
100 km
100 kmx6x5x4x3x2x1
Quadriculado
Reticulado
Define-se como quadriculado ao conjunto de duas famlias de retas
paralelas aos eixos coordenados. Uma famlia aproximadamente na
direo leste (y constante) e outra famlia perpendicular a primeira e
na direo norte (x constante).
Define-se como reticulado ao conjunto de duas famlias de linhas
transformadas de paralelos e meridianos. Uma famlia na direo
leste-oeste ( constante paralelos) e a outra na direo norte-sul (
constante meridianos).
No quadriculado as linhas so paralelas e eqidistantes entre si,
o que no ocorre com o reticulado.
-
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58
9. A Projeo Universal Transversa de Mercator (UTM) 9.1 As
projees TM
A projeo de Mercador uma projeo conforme, cilndrica tangente a
esfera modelo no equador, que nesta situao representado em
verdadeira grandeza. A projeo Transversa de Mercator tambm
conhecida como projeo Conforme de Lambert-Gauss uma variante da
primeira onde a tangncia se d num meridiano qualquer. Segundo
Brunetti (1993), Gauss, planejando o levantamento do territrio de
Hannover, estabeleceu um sistema de projeo conforme utilizando como
modelo para a Terra, o elipside de revoluo. Esta projeo denominada
Gauss Hannoversche Projeksion, possu o cilindro tangente ao
meridiano central, sendo a sua seo, elptica. Krger, a partir dos
estudos de Gauss, estabeleceu a projeo em sistemas parciais,
composto por fusos com 3 de amplitude. Posteriormente, Tardi,
concebeu um sistema semelhante, s que secante ao elipside e com
fusos de 6 em amplitude.
A partir do estudo destes geodesistas chegou-se ao UTM, que
segundo Brunetti (1993), a denominao inglesa da Projeo de Gauss,
com 60 fusos de 6 de amplitude e secante ao elipside de revoluo. Na
Figura 43 se observa o aspecto geral do reticulado da projeo.
Figura 43 - Reticulado de um hemisfrio na projeo Transversa de
Mercator. Observa-se que somente a zona
central do mapa esta relativamente livre de exageros em termos
de distoro.
Fonte : BLACHUT, T.J. et. al. Urban Surveying and Mapping.
Springer-Verlag New York Inc. New York. 1979.
-
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59
9.2 Transformao de coordenadas Geogrficas para TM As expresses
gerais que transformam as coordenadas geogrficas em TM so, segundo
BLACHUT (1979) dadas por: x = B + a2l 2 + a4l 4 + a6l 6 + ...
(Equao 4)
y = a1l +a3l 3 + a5l 5 + ... (Equao 5)
onde : B - arco de meridiano entre o equador e o ponto de
latitude ; l = 0 - longitude do ponto 0 - longitude do meridiano
central a1, a2, a3, a4, a5 coeficientes.
O valor de B calculado por um desenvolvimento em srie:
B = A0c A1csencos(1 + A2sen2 + A4sen4 + A6sen6 + A8sen8 )
A e e e e e0 2 2 2 2 2134 1
1516 1
3536 1
6364 1
99100=
' ' ' ' ' ;
A e e e e e1 2 2 2 2 234 1
2516 1
7760 1
837704 1
21231860=
' ' ' '
.
.
' ;
A e e e e2 2 2 2 258 1
139144 1
10871112 1
513 427521760=
' '
.
.
'
.
.
' ;
A e e e4 4 2 23572 1
12564 1
221069150 000=
' '
.
.
' ;
A e e6 6 2105256 1
1179400=
'
.
' ;
A e8 8231640= ' .
onde : ba
c2
=
( raio polar de curvatura );
2
222'
bba
e
=
( segunda excentricidade );
a e b (semi-eixo maior e menor respectivamente).
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
Aplicada
60
e os coeficientes so calculados por :
21
22
1 'cos
1
+
= eca ;
sen1212 aa = ;
( ) 421613 coscos21 ++= aa ; ( ) 6442221214 cos'4cos'9cos61 eeaa
+++= ; ( )[ ]K+++= 62422112015 cos'72cos'5824cos201 eeaa ;
( )M
K ;cos120cos601 42236016 ++= aa
A expresso que calcula o fator de deformao da projeo ou fator de
escala, dada por :
k = 1 + a8l 2 + a10l 4 + (Equao 6)
onde : ( ) 222218 cos'1cos ea += ;
( )[ ]M
L+++= 4222224110 cos'42cos'2894cos eea.
e a convergncia meridiana plana, que o ngulo formado entre o
norte verdadeiro e o de quadrcula calculado pela expresso:
= a7 l + a9 l 3 + a11l 5 ... (Equao 7)
onde : sen7 =a ; ( ) 44222319 cos'2cos'31cossen eea ++= ;
[ ]M
L++= 2215111 cos31cossena
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
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61
9.3 Transformao de coordenadas TM para Geogrficas As expresses
gerais que transformam as coordenadas TM em geogrficas so, segundo
BLACHUT (1979) dadas por:
= 1 + b2 y 2 + b4 y 4 + b6 y 6 + ... (Equao 8) = 0 + b1y + b3y 3
+ b5y 5 + ... (Equao 9) onde: 0 - longitude do meridiano central; 1
- latitude correspondente ao comprimento do arco de meridiano B
(latitude aproximada -Figura 1Figura 44); b1, b2, b3, b4, b5 e b6
coeficientes.
21
22
1
11 '
cos
1
+
=
ecb ;
( )1221121212 cos'1cossen ebb += ; ( )1421231613 cos'cos2 ebb +=
;
( )[ ]1641421222211214 cos'4cos'10cos'923 eeebbb ++= ; ( )[
]L+++= 162122125112015 cos'2cos'81cos2024 eebb ;
( )M
L ;cos1645 1424
13601
6 ++= bbb
Figura 44 Latitude aproximada 1.
P
X 1 =F(X)
N=X
E=Y
M.C.
-
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62
O clculo de 1 iterativo e dado por :
( ) ( ) ( ) 1 10
1i ii
+ = +X BA c
quando |X - B(n) | 0 se para a iterao.
na primeira iterao 10
=
XA c
O clculo do fator de deformao em coordenadas planas (de projeo)
feito pela equao :
L+++= 4102
81 ybybk (Equao 10)
onde : ( )212222121218 cos'1 ecRb +== ;
( )L++= 1224124110 cos'41 eRb . e a convergncia meridiana plana
() em coordenadas planas (de projeo) obtido pela equao :
= b7y + b9y3 + b11y5 + ... (Equao 11)
( )( )
51
12
111
31
164
142
19
1
17
15...cos3sen
3cos'2cos'1sen
sen
Pb
Peeb
Pb
+=
=
=
P1 = N1cos 1 = ( )c
e
cos
' cos
1
2 21
121+
-
Curso de Georreferenciamento de Imveis Rurais Cartografia Geral
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63
9.4 Modificao das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM
Para se obter as variaes da projeo TM em UTM (Universal
Transverso de Mercator), LTM (Local Transverso de Mercator) e RTM
(Regional Transverso de Mercator), basta multiplicar as expresses
da x = B + a2l 2 + a4l 4 + a6l 6 + ... (Equao 4 e y = a1l +a3l 3 +
a5l 5 + ... (Equao 5 por uma constante K0 adequada, alm das
constantes de translao em
relao aos eixos x (N) e y (E).
Desta forma podem-se escrever novas expresses com o seguinte
aspecto:
N = N + k0x
E = E + k0y
k = k0(1 + a8l 2 + a10l 4 + ...)
onde k0, N e E assumem valores diferentes conforme a modificao
que se pretende, como pode ser constatado na Tabela 10.
Tabela 10 Variaes mais usuais da projeo TM
Projeo UTM LTM RTM
k0 0,999600 0,999995 0,999995
N - hn hs
0 10.000.000
0 5.000.000
0 5.000.000
E 500.000 200.000 400.000
Fuso 6 1 2
Meridiano Central
mltiplos de 6 contados a partir do antemeridiano de Greenwich no
sentido oeste para leste
a cada 30 nas longitudes de grau impar
obs.: hn - hemisfrio norte (Dados extrados de BRUNETTI (1993) )
hs - hemisfrio sul
-
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Aplicada
64
9.5 O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator)
As cartas do mapeamento sistemtico brasileiro, que abrangem as
escalas de 1:1.000.000 a 1:25.000, adotam como projeo cartogrfica a
UTM.
Esta projeo, desenvolvida por Gauss-Tardi, adota como modelo
geomtrico para a Terr