Carlos Alberto Amaral Moino

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Metodologia para Projeto Inverso de Aerofólios em Grades de Turbomáquinas Via Otimização por Busca Aleatória Controlada

Autor: Carlos Alberto Amaral Moino

Orientador: Prof. Dr. Nelson Manzanares Filho Co-Orientador: Prof. Dr. Waldir de Oliveira

Itajubá, julho de 2006




Metodologia para Projeto Inverso de Aerofólios em Grades de Turbomáquinas

Via Otimização por Busca Aleatória Controlada

Autor: Carlos Alberto Amaral Moino Orientador: Prof. Dr. Nelson Manzanares Filho Co-Orientador: Prof. Dr. Waldir de Oliveira Curso: Mestrado em Engenharia Mecânica Área de Concentração: Dinâmica de Fluidos e Máquinas de Fluxo Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica como

parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Itajubá, julho de 2006 MG. – Brasil




Metodologia para Projeto Inverso de Aerofólios em Grades de Turbomáquinas

Via Otimização por Busca Aleatória Controlada

Autor: Carlos Alberto Amaral Moino Orientador: Prof. Dr. Nelson Manzanares Filho Co-Orientador: Prof. Dr. Waldir de Oliveira Composição da Banca Examinadora: Prof. Dr. Ramiro Gustavo Ramirez Camacho - ITA Prof. Dr. Denis Rinaldi Petrucci - IEM/UNIFEI Prof. Dr. Genésio José Menon - IEM/UNIFEI Prof. Dr. Waldir de Oliveira - IEM/UNIFEI Prof. Dr. Nelson Manzanares Filho, Presidente - IEM/UNIFEI

Dedicatória

Dedico este trabalho a minha querida e bela esposa Cibele e a minha adorável filha

Carolina, que são incansáveis apoiadoras e pacientes nos momentos difíceis de minhas

jornadas.

Aos meus pais José e Jadyr, que me mostraram a importância do estudo e não

mediram esforços para que eu pudesse me tornar engenheiro.

Agradecimentos

Ao meu orientador, Prof. Dr. Nelson Manzanares Filho, pela competência em

transmitir seu notório saber. Mais que um orientador, um amigo mostrando sempre a luz do

conhecimento com ética e profissionalismo.

Ao grande amigo Prof. Manoel da Silva Valente, que nos encaminhou no início desta

jornada e sempre esteve me apoiando.

Aos grandes amigos Marques e Aldo Ramos, pelo exemplo.

Aos caros companheiros Amaral, Santoro, João José, Chinen, Júlio, Renato, Galli,

Canton, Tibério, Rosário e demais companheiros de turma.

Ao Prof. Waldir de Oliveira e aos professores Ariosto Bretanha Jorge, Celso Volpe,

Eli Silva, Genésio José Menon, José Juliano de Lima Júnior, Marcelo José Pirani, Osvaldo

José Venturini, Ricardo Dias Martins de Carvalho, Rogério José da Silva e Sebastião Varela,

que refletiram a UNIFEI, mostrando seu brilho pelo trabalho sério e competente.

Ao Instituto de Engenharia Mecânica da UNIFEI por seus dedicados Professores e

Funcionários, pela oportunidade de crescimento profissional que me concedeu.

Nas pessoas dos diretores Antonio de Salles Penteado e Áureo Emanuel Pasqualeto

Figueiredo, agradeço a todos da “Família Ceciliana” pelo grande incentivo.

Ao amigo e grande “chefe” Fernando Luiz Windlin, pelo grande apoio na carreira de

engenheiro. Suas ações éticas e competentes me nortearam em 18 anos de vida acadêmica e

profissional.

De tudo ficam três coisas:

a certeza de que está sempre começando,

a certeza de que era preciso continuar e

a certeza de que seria interrompido antes de terminar.

Fazer da interrupção um caminho novo.

Fazer da queda um passo de dança,

do medo uma escada e da procura... um encontro.”

Fernando Sabino

Resumo

MOINO, C. A. Amaral (2006), Metodologia para o Projeto Inverso de Aerofólios em

Grades de Turbomáquinas via Otimização por Busca Aleatória Controlada, Itajubá,

78p. Dissertação (Mestrado em Dinâmica de Fluidos e Máquinas de Fluxo) - Instituto

de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itajubá.

Nesta dissertação, é apresentado o desenvolvimento de uma metodologia de projeto

inverso de aerofólios de grades lineares de turbomáquinas axiais, utilizando algoritmos de

otimização baseados em busca aleatória controlada (algoritmos CRS).

A geometria do aerofólio é parametrizada com curvas polinomiais de Bezier. O cálculo

do escoamento é feito através de um método de painéis baseado em distribuições constantes

de vórtices e na condição de contorno de Dirichlet (velocidade nula no interior do aerofólio).

Uma nova versão dos algoritmos CRS é apresentada, utilizando reflexões baseadas na

variabilidade da função objetivo (CRS-VBR). Essa versão procura utilizar informações sobre

a variação da função objetivo em torno do melhor ponto da população atual, de modo a

balancear automaticamente as buscas globais e locais, aumentando a eficiência geral da busca.

Três casos de teste de projeto inverso de aerofólios em grade linear são apresentados

para avaliar a eficácia da metodologia. O algoritmo CRS-VBR proposto mostra-se superior a

outras versões do CRS da literatura, tanto sob o aspecto de precisão quanto de taxa de

convergência.

Palavras-chave

Grades Lineares, Aerofólios, Projeto Inverso, Otimização, Busca Aleatória Controlada

Abstract

MOINO, C. A. Amaral (2006), Methodology for Inverse Airfoil Design of Turbomachines

Cascades Using Optimization by Controlled Random Search,, Itajubá, 78p, MSc

Dissertation - Instituto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itajubá.

This dissertation presents the development of a methodology for inverse airfoil design

of axial turbomachine cascades by applying optimization algorithms based on Controlled

Random Search (CRS algorithms).

The airfoil geometry is parameterized with Bezier polynomial curves. The flow

calculation is made by means of a panel method with constant vortex distributions and by

applying the Dirichlet boundary condition (null velocities inside the airfoil).

A new version of the CRS algorithm is presented by using Variability Based Reflections

(CRS-VBR). This version aims to use information about the objective function variation

around the best point of the current population, in order to automatically balance local and

global searches, improving in this way the general search efficiency.

Three test cases of inverse airfoil cascade design are presented for evaluating the

methodology effectiveness. The proposed CRS-VBR algorithm has outperformed other

referred CRS algorithms, both in terms of precision and convergence rate.

Keywords

Linear Cascades, Airfoils, Inverse Design, Optimization, Controlled Random Search

i

Sumário

SUMÁRIO_________________________________________________________________i

LISTA DE FIGURAS_______________________________________________________iv

LISTA DE TABELAS ______________________________________________________vi

SIMBOLOGIA ___________________________________________________________ vii

LETRAS LATINAS _______________________________________________________ vii

LETRAS GREGAS _______________________________________________________viii

SUPERESCRITOS_________________________________________________________ix

SUBSCRITOS_____________________________________________________________ x

ABREVIATURAS _________________________________________________________ x

SIGLAS __________________________________________________________________xi

CAPÍTULO 1 _____________________________________________________________ 1

INTRODUÇÃO GERAL ____________________________________________________ 1

1.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.2 Contexto e Revisão Bibliográfica -------------------------------------------------------------- 2

1.2.1 Métodos de Análise do Escoamento Potencial ao Redor de Aerofólios de Pás de

Máquinas de Fluxo ------------------------------------------------------------------------------- 4

1.2.2 Métodos de Otimização para Aerofólios de Turbomáquinas ------------------------- 7

1.3 Motivação do Presente Trabalho --------------------------------------------------------------10

1.4 Objetivos do Presente Trabalho -------------------------------------------------------------- 11

1.5 Delineamento do Presente Trabalho ----------------------------------------------------------11

CAPÍTULO 2 ____________________________________________________________ 13

ANÁLISE DO ESCOAMENTO POTENCIAL EM GRADES LINEARES – MÉTODO

DOS PAINÉS ____________________________________________________________ 13

2.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------13

2.2 Definição das Grades Lineares de Máquinas de Fluxo Axiais-----------------------------14

2.3 Fundamentos Teóricos para Cálculo do Escoamento Potencial em Grades Lineares --16

ii

2.4 Solução Numérica – Método dos Painéis-----------------------------------------------------20

2.5 Modificações na Matriz de Influência --------------------------------------------------------27

2.5.1 Modificação na Diagonal da Matriz de Influência B’kj -------------------------------27

2.5.2 Modificação na Posição dos Pontos de Controle e nos Elementos Não-Diagonais

da Matriz de Influência B’kj ---------------------------------------------------------------------28

2.6 Efeitos Viscosos – Ajuste de Gostelow-------------------------------------------------------29

2.6.1 Circulação Efetiva -------------------------------------------------------------------------31

CAPÍTULO 3 ____________________________________________________________ 34

PARAMETRIZAÇÃO GEOMÉTRICA DE AEROFÓLIOS _____________________ 34

3.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------34

3.2 Parametrização para Geração dos Perfis------------------------------------------------------35

3.3 Procedimento para Geração de Perfis Viáveis -----------------------------------------------38

CAPÍTULO 4 ____________________________________________________________ 43

ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO __________________________________________ 43

4.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------43

4.2 Algoritmos de Busca Aleatória Controlada --------------------------------------------------44

4.2.1 O CRS Básico ------------------------------------------------------------------------------45

4.2.2 Algumas Versões do CRS ----------------------------------------------------------------45

4.2.3 Um Algorítmo Usando Relfexão Baseada em Variabilidade: CRS-VBR

(Manzanares Filho et al.,2005)------------------------------------------------------------------47

4.3 Comentários sobre a Implementação e Utilização do Código Computacional ----------50

4.3.1 Dados de Entrada --------------------------------------------------------------------------50

4.3.2 Geração da População Inicial ------------------------------------------------------------51

4.3.3 Definição e Cálculo da Função Objetivo -----------------------------------------------52

4.3.4 Critério de Parada -------------------------------------------------------------------------52

CAPÍTULO 5 ____________________________________________________________ 53

APRESENTAÇÃO DOS CASOS ESTUDADOS _______________________________ 53

5.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------53

5.2 Informações Gerais -----------------------------------------------------------------------------54

5.3 1º Caso – Perfil Alvo Descrito Exatamente pela Parametrização -------------------------57

5.4 2º Caso – Exemplo da Literatura --------------------------------------------------------------62

5.5 3º Caso – Dados Experimentais para a Distribuição de Pressões do Perfil Alvo -------66

iii

CAPÍTULO 6 ____________________________________________________________ 71

CONCLUSÕES E SUGESTÕES ____________________________________________ 71

6.1 Conclusões --------------------------------------------------------------------------------------- 71

6.3 Sugestões para Trabalhos Futuros------------------------------------------------------------- 73

APÊNDICE A ____________________________________________________________ 74

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ________________________________________ 75

iv

Lista de Figuras

Figura 1.1 – Linha metodológica adotada nesta dissertação -------------------------------------- 12

Figura 2.1 – Esquema de uma bomba ou ventilador axial -----------------------------------------14

Figura 2.2 – Sistema de uma máquina axial desenvolvida em grade Linear --------------------15

Figura 2.3 – Parâmetros da grade de perfis aerodinâmicos idênticos ----------------------------16

Figura 2.4 – Sentido positivo de ds -------------------------------------------------------------------18

Figura 2.5 – Definição do ângulo α ---------------------------------------------------------------18

Figura 2.6 – Relação entre as velocidades a montante e jusante e a circulação -----------------19

Figura 2.7 – Polígono de “n” lados acompanhando o contorno do perfil-------------------------21

Figura 2.8 – Detalhe do ponto de controle do painel j ----------------------------------------------22

Figura 2.9 – Condição de Kutta -----------------------------------------------------------------------25

Figura 2.10 - Detalhe do ângulo de curvatura do perfil correspondente ao painel k -----------27

Figura 2.11 –Detalhe do deslocamento do ponto de controle zck --------------------------------28

Figura 2.12 – Efeito do deslocamento do ponto de estagnação sobre a distribuição de

pressões na região do bordo de fuga ------------------------------------------------------------------30

Figura 2.13 – Circulação efetiva ---------------------------------------------------------------------- 31

Figura 2.14 – Ajuste de Gostelow ---------------------------------------------------------------------32

Figura 3.1 – Curvas Bezier para o arqueamento do perfil -----------------------------------------36

Figura 3.2 – Curvas Bezier para a espessura do perfil ---------------------------------------------36

Figura 3.3 – Curvas de espessura (t representa a semi- espessura) -------------------------------38

Figura 3.4 – Curva de espessura soperposta à curva de arqueamento---------------------------- 38

Figura 3.5 – Perfis inviáveis (a) em função de arqueamento excessivo (b) em função do

cruzamento da linha de espessura ---------------------------------------------------------------------38

Figura 3.6 – Definição dos intervalos para a viabilização dos perfis -----------------------------39

Figura 4.1 – Parábola para obtenção da coordenada do novo ponto tentativo ----------------- 46

Figura 4.2 – (a) Perfil alvo (b) Pior perfil gerado na inicial (c) Melhor perfil gerado na

população inicial ---------------------------------------------------------------------------------------- 51

Figura 5.1 – Caso 1 – Perfil alvo, pior e melhor aerofólios da população inicial ---------------59

Figura 5.2 – Caso 1 – Evolução do processo de convergência dos algoritmos CRS ---------- 59

Figura 5.3 – Caso 1 – Comparação entre aerofólios resultantes e o perfil alvo -----------------60

Figura 5.4 – Caso 1 - Distribuições de pressões para aerofólios resultantes e o perfil alvo----61

Figura 5.5 – Caso 2 – Perfil de referência, pior e melhor aerofólios da população inicial ---- 63

v

Figura 5.6 – Caso 2 - Evolução do processo de convergência dos algoritmos CRS ------------63

Figura 5.7 – Caso 2 – Comparação entre os aerofólios resultantes -------------------------------64

Figura 5.8 – Caso 2 – Distribuições de pressões para aerofólios resultantes e o perfil alvo -- 65

Figura 5.9 – Caso 3 – Perfil NACA 1510 , pior e melhor aerofólios da população inicial

(a) escoamento puramente potencial (b) escoamento com ajuste de Gostelow ---------------- 67

Figura 5.10 – Caso 3 – Evolução do processo de convergência dos algoritmos CRS

(a) escoamento puramente potencial (b) escoamento com ajuste de Gostelow -----------------68

Figura 5.11 – Caso 3 – Comparação entre os aerofólios resultantes e o perfil NACA–1510

(a) escoamento puramente potencial (b) escoamento com ajuste de Gostelow -----------------69

Figura 5.12 – Caso 3– Distribuições de pressões aerofólios resultantes e experimental ------ 70

vi

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Avaliação da Aferição do Fator de Deslocamento dos Pontos de Controle

para Perfis Joukowsky Isolados ---------------------------------------------------------------------- 28

Tabela 3.1 – Coordenadas dos Pontos de Controle - Curvas de Bezier para Arqueamento ---36

Tabela 3.2 – Coordenadas dos Pontos de Controle - Curvas de Bezier para Espessura -------37

Tabela 3.3 – Definição da Nova Parametrização (∆i) em Função da Antiga (bj) ---------------40

Tabela 3.4 – Recuperação recursiva da Parametrização Antiga (bj) em função da Nova

Parametrização (∆i) -------------------------------------------------------------------------------------41

Tabela 5.1 – Valores bj para Geração do Perfil Alvo do 1º Caso ---------------------------------58

Tabela 5.2 – Comparação das Normas Geométricas dos Melhores Aerofólios -----------------58

vii

Simbologia

Letras Latinas

A Matriz com a população de perfis a serem verificados na otimização

Akj Matriz de contribuição no método dos painéis

bk Vetor com componentes cinemáticos

bi Pontos das curvas de Bezier – Variáveis de projeto

Bk Matriz de influência

Cs Coeficiente de sustentação aerodinâmica

Ca Coeficiente de arrasto aerodinâmico

Cp Coeficiente de pressão

CpG Coeficiente de pressão com ajuste de Gostelow

CM Coeficiente de momento

e Base dos logaritmos neperianos de valor 2,71828

f (p) Valor da função objetivo no ponto tentativo no processo de otimização

fg Valor médio entre os pontos definidos para reflexão

f Fator de deslocamento do ponto de controle no método dos painéis

f l Menor valor da função objetivo no processo de otimização

f h Maior valor da função objetivo no processo de otimização

g Centróide

gi Valor ponderado das coordenadas do centróide

i Unidade imaginária i = −( )1 1 2 .

h Pior ponto da população inicial

ℑ Parte imaginária da Equação de Fredholm

l Corda do perfil

l melhor ponto da população inicial →n Vetor normal à superfície do rotor

n Número de variáveis de projeto (17 valores de intervalos de projeto ( )n∆ )

viii

N Número de indivíduos na população

Np Número de painéis

pi Ponto tentativo

p Pressão

P População inicial

pTS Pressão no bordo de fuga pelo lado de sucção

pTP Pressão no bordo de fuga pelo lado de pressão

P(u) Pontos para definição dos painéis pelas curvas de Bezier

Q Vazão volumétrica.

r1 coordenada do ponto de menor valor da função objetivo

r2 coordenada do 1º ponto para geração da parábola que define o ponto tentativo

r3 coordenada do 2º ponto para geração da parábola que define o ponto tentativo

ℜ Parte real da equação integral de Fredholm

s Coordenada natural do perfil

t Espaçamento entre os perfis na grade

sw distribuição de velocidades

W Velocidade do escoamento

W1 Velocidade a montante da grade

W2 Velocidade a jusante da grade

w Velocidade relativa.

x , y Coordenadas cartesianas retangulares no plano z da grade linear.

z Ponto no plano complexo da grade linear, yixz += .

Z n Pontos que definem o polígono formado no método dos painéis

Z c Pontos de controle definidos no meio de cada um dos painéis

Letras Gregas

α Valor que define a variabilidade local para o processo de otimização com reflexão

α Ângulo tomado entre o sentido positivo da tangente ao perfil e o eixo x

β Distribuição de probabilidade

ix

−β Ângulo de montagem

1β Ângulo do escoamento na aproximação da grade

2β Ângulo do escoamento na saída da grade

β∆ Ângulo de deflexão

ULi,∆ Intervalos de projeto para viabilização dos perfis

s∆ Comprimento do painel

*x∆ Deslocamento do bordo de fuga para o ajuste de Gostelow

cε Erro circulatório

γ Densidade de vórtices.

Γ Circulação

Γef Circulação efetiva

Mδ Ângulo de montagem da pá.

III eλλ Núcleos das Equações de Fredholm

ζ Ponto de cálculo e posição genérica das singularidades distribuídas.

℘ Contorno do perfil

π 3,14159265...

ρ Massa específica.

φ Potencial de velocidades.

∇ Operador Nabla

Superescritos

L Limite inferior

U Limite superior

x

Subscritos

∞ Referente à distância longe da grade, ou ao número infinito de pás.

c Referente ao ponto de controle.

G Cálculo realizado com ajuste de Gostelow

i Referente às abscissas e ordenadas dos intervalos de projeto

j Referente ao ponto de controle genérico.

k Referente à grade elementar genérica, ou painel correspondente.

MÍN Referente à mínimo.

MÁX Referente à máximo.

Abreviaturas

CRS Busca aleatória controlada

CRSI Busca aleatória controlada original

CRS6-BV Busca aleatória controlada com busca local

CRS6_VBR Busca aleatória controlada com reflexão

DE Evolução Diferencial

FCNR Sub-rotina para cálculo da função objetivo

GA Algoritmo Genético

GRADLIN Programa para cálculo do escoamento pelo método dos painéis

INIT_POP Sub-rotina para geração da população inicial

ISSED_U Semente para a geração da população inicial

ISSED_B Semente para a distribuição Beta

MLOCMAX Número máximo de buscas locais por rodada

RAND_PAR Sub-rotina para viabilização dos aerofólios

xi

TOL_G Critério de parada

TRIAL_GLOBAL Sub-rotina para busca global

TRIAL_LOCAL Sub-rotina para busca local

OPT_L Variável para definir a busca local

OPT_VBR Variável para definir a reflexão

RAND_PAR Sub-rotina para geração aleatória

Siglas

IEM Instituto de Engenharia Mecânica

NACA National Advisory Commitee for Aeronautics

1

Capítulo 1

INTRODUÇÃO GERAL

1.1 – INTRODUÇÃO

O desenvolvimento das máquinas de fluxo ⎯ bombas, ventiladores, compressores e

turbinas ⎯ recebeu um grande impulso a partir dos avanços da aerodinâmica no século XX.

O projeto adequado de aerofólios para os perfis de pás de rotores e estatores tornou-se cada

vez mais um fator crucial para a melhoria da eficiência energética dessas máquinas.

Aliados a estes avanços encontram-se o crescente aumento da capacidade de cálculo dos

computadores digitais e o desenvolvimento de novas técnicas computacionais que têm

tornado possível a produção de turbomáquinas conducentes a resultados cada vez mais

próximos das especificações de projeto, reduzindo custos de experimentação em modelos e

protótipos e viabilizando projetos industriais.

Atualmente, verifica-se uma forte tendência no emprego de técnicas computacionais de

otimização e métodos inversos em projetos aerodinâmicos. Trata-se aparentemente de uma

tendência irreversível, que tem alterado drasticamente os procedimentos tradicionais de

projeto aerodinâmico, baseados unicamente em cálculos seqüenciais e na experiência

2 acumulada dos projetistas. Seguindo essa tendência, o escopo do presente trabalho refere-se

ao desenvolvimento de uma metodologia de projeto inverso de aerofólios em grades de

turbomáquinas utilizando um algoritmo de otimização especial, baseado em busca aleatória

controlada. Nos itens subseqüentes, procura-se tornar mais claro o significado dessa

metodologia.

1.2 – CONTEXTO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

No estudo do escoamento ao redor das pás de turbomáquinas destacam-se dois tipos

clássicos de problemas. No primeiro, denominado problema direto, são feitas análises das

características do escoamento, partindo-se de uma configuração geométrica dada, ou seja,

conhecida a geometria dos perfis, os parâmetros dimensionais da grade e os ângulos do

escoamento a montante e a jusante, efetua-se o cálculo do escoamento. No problema direto é

comum a utilização de famílias padronizadas de perfis que nem sempre são as melhores

soluções para o problema de projeto.

No segundo tipo de problema, denominado problema inverso, o objetivo é a

determinação de uma geometria adequada para atender a uma distribuição de pressões ou de

velocidades fornecida inicialmente. Com a solução do problema inverso elimina-se a

necessidade de utilização de famílias padronizadas de aerofólios no projeto das pás;

entretanto, a especificação da distribuição de pressões ou de velocidades depende fortemente

de um prévio conhecimento em aerodinâmica e teoria da camada limite; além disso, nem

sempre é possível determinar formatos aerodinâmicos viáveis partindo daquela distribuição.

Um formato aerodinâmico viável de um aerofólio, por exemplo, não deve apresentar

contornos abertos ou com cruzamentos.

Atualmente, os métodos de otimização apresentam-se como ferramentas versáteis e

bastante difundidas para projetos de aerodinâmica. Estas ferramentas não estão vinculadas a

um único tipo de problema ou método para o cálculo do escoamento e sua aplicação não exige

necessariamente uma dada distribuição de pressões ou de velocidades para obter um perfil.

Podem ser aplicados na determinação de parâmetros geométricos ou aerodinâmicos que

minimizem certas grandezas globais de interesse do projetista, tais como perdas e arrasto.

Os métodos de otimização também podem ser utilizados na obtenção de uma solução

aproximada do problema inverso, mesmo em situações em que não exista uma solução viável

3 exata. Com o emprego de parametrizações geométricas adequadas e a aplicação de certas

restrições, torna-se possível obter uma geometria final viável que produza uma distribuição de

pressões que melhor se aproxime da distribuição especificada.

Algumas comparações podem ser feitas entre os métodos inversos clássicos ⎯ que não

usam técnicas de otimização diretamente ⎯ e os métodos de otimização ⎯ mesmo quando

aplicados ao problema inverso. Os métodos inversos clássicos são relativamente rápidos,

podendo inclusive dispensar iterações, com um esforço computacional comparável a uma

única análise; por outro lado, os processos de otimização normalmente requerem diversas

análises para um único problema. Os métodos de otimização em geral são capazes de

determinar pelo menos uma solução viável aproximada e podem exercer um maior controle

das variáveis de projeto, reduzindo o risco de que a solução não seja aplicável; os métodos

inversos clássicos podem gerar uma geometria inviável para as condições de busca. Os

métodos de otimização comportam, com relativa facilidade, o tratamento de restrições

geométricas e do escoamento, enquanto que os métodos inversos clássicos apresentam

dificuldades no tratamento de restrições.

A título ilustrativo, apresenta-se a seguir a classificação dos métodos inversos para

projeto de aerofólios proposta por Yiu (1994):

• Métodos com correção iterativa da geometria e utilização de equações não-lineares.

• Métodos de cálculo no plano transformado - transformação conforme.

• Métodos especiais, incluindo o método dos painéis para o cálculo do escoamento

potencial e incompressível.

• Métodos de modificação iterativa - métodos de otimização

Diversos métodos híbridos podem ser concebidos pela combinação de dois ou mais dos

métodos listados acima. Por exemplo, Petrucci (2003) apresenta um método inverso híbrido

para o projeto de aerofólios combinando os métodos de transformação conforme e de painéis.

Deve-se observar que a classificação de Yiu (1994) não pretende ser exaustiva. Em

geral, não convém superestimar a importância de qualquer classificação desse tipo. Mas é

importante ressaltar que a metodologia a ser apresentada ao longo do presente trabalho

deveria ser incluída no último item da lista de Yiu, pois se baseia no emprego de técnicas de

otimização. Como será visto, a metodologia proposta utiliza um método de painéis para

determinar a distribuição de pressões em torno dos aerofólios; todavia, qualquer outro tipo de

método de cálculo do escoamento poderia ser empregado em seu lugar e, portanto, não

conviria classificar a metodologia proposta neste trabalho como híbrida. De qualquer forma,

como o método de cálculo de escoamento e o método de otimização escolhidos são

4 ingredientes importantes da metodologia e são independentes entre si, decidiu-se por

apresentar o seu contexto e a revisão bibliográfica pertinente em duas partes distintas,

enfocando cada método em separado.

1.2.1 – Métodos de Análise do Escoamento Potencial ao Redor de Aerofólios de Pás de Máquinas de Fluxo

O desenvolvimento de turbomáquinas apresenta fases importantes e seqüenciais,

podendo-se empregar técnicas unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais,

dependendo da fase em que se encontra o desenvolvimento do projeto.

Inicialmente, as análises unidimensionais do escoamento geram parâmetros

fluidodinâmicos e geométricos. Ficam definidos nesta fase, por exemplo, o tipo de máquina, o

número de estágios, dimensões principais, o número de pás, os triângulos de velocidades, os

balanços de massa, energia e quantidade de movimento.

Em uma segunda etapa, bidimensional, o estudo do escoamento em grades lineares

determina as características geométricas de pás e aletas e define os parâmetros geométricos de

grade como, por exemplo, os ângulos de montagem e os espaçamentos. Nessa etapa, os

métodos de análise de escoamento potencial concorrem com os métodos viscosos, baseados

na solução das equações de Navier-Stokes. Os métodos potenciais, obviamente, são menos

completos que os métodos viscosos, mas são muito mais fáceis de se implementar e

apresentam custo computacional bem menor. Em situações de projeto, os métodos potenciais

podem ainda ser corrigidos de maneira semi-empírica ou mediante o acoplamento dos efeitos

de camada limite e esteira, de modo a se tornarem mais realistas, sem perda substancial de sua

eficiência numérica. Dessa forma, os métodos potenciais constituem, ainda hoje, ferramentas

extremamente úteis no projeto aerodinâmico via otimização.

Dentre os métodos para análise do escoamento bidimensional, potencial, de fluido

incompressível, em regime permanente, destacam-se duas abordagens clássicas já bastante

desenvolvidas: o método da transformação conforme e o método das singularidades.

Embora não seja alvo do presente trabalho, o método da transformação conforme está

apoiado em antigas teorias de variáveis complexas e pode ser utilizado nos problemas de

projeto. Através desse método, um problema de escoamento em torno de uma geometria

complicada (no plano físico) e de difícil solução direta é relacionado matematicamente a uma

geometria mais simples (no plano transformado), para qual a solução possa ser calculada mais

5 facilmente. Ou seja, o cálculo do escoamento é feito no plano transformado com uma

geometria mais simples e mapeado de volta para a geometria desejada no plano físico.

O método das singularidades utiliza uma distribuição discreta ou contínua de fontes

(aparecimento de vazão), sumidouros (desaparecimento de vazão) e vórtices (aparecimento de

circulação) para a simulação das velocidades induzidas pela presença de um corpo. Esta

distribuição, que pode ser implantada na superfície ou no interior do corpo em estudo, deve

satisfazer certas condições de contorno e de continuidade.

Utilizado no presente trabalho, o método das singularidades foi desenvolvido

inicialmente por Birnbaum (1923) e Glauert (1924), para perfis de pequena espessura e

curvatura, tendo ainda bordo de fuga afilado. Esses trabalhos iniciais baseiam-se em uma

única distribuição contínua de vórtices para representar o campo de velocidades induzidas, na

forma de integrais. Este procedimento mostrou-se mais versátil que os métodos de

transformação conforme, e foi estendido a diversas outras situações. Por exemplo, no projeto

inverso de pás de rotores máquinas de fluxo centrífugas citam-se os trabalhos pioneiros de

Staufer (1936) e de Betz e Flügge-Lotz (1938). Um tratamento mais geral de grades de

máquinas de fluxo com perfis de formato arbitrário, utilizando distribuições de vórtices no

contorno, foi apresentado por Isay (1954). Todavia, pouca atenção foi dada à obtenção de

soluções, provavelmente devido às restrições computacionais da época.

Com o advento e disseminação dos computadores digitais, esquemas numéricos

passaram a ser usados de modo a ampliar a aplicabilidade do método de singularidades a

corpos de formato arbitrário. Uma das implementações numéricas mais utilizadas hoje em dia

é o método dos painéis, desenvolvido principalmente nas décadas de 1960 e 1970. O trabalho

de Hess e Smith (1967) apresenta uma revisão sobre o desenvolvimento inicial e diversas

aplicações do método dos painéis a corpos bi e tridimensionais, incluindo grades lineares de

máquinas de fluxo (Giesing, 1964). No método dos painéis, a superfície do corpo é

discretizada em elementos, ou painéis, sobre os quais são colocadas distribuições de

singularidades de intensidade a se determinar, porém de forma conhecida (constante, linear,

parabólica, etc.). O cálculo destas intensidades é feito impondo uma condição de contorno em

certos pontos de controle e resolvendo-se um sistema de equações algébricas lineares

resultante. A partir dessas intensidades, calculam-se diretamente o campo de velocidades e o

campo de pressões, usando o teorema de Bernoulli.

A formulação usada por Hess e Smith baseia-se em distribuições de fontes e na

condição de contorno de Neumann (impenetrabilidade). No caso de aerofólios com

sustentação, uma distribuição de vórtices uniforme em todo o contorno é introduzida, com

6 intensidade determinada pela condição de Kutta. Por outro lado, é possível utilizar apenas

distribuições de vórtices e a condição de Dirichlet (velocidade nula no interior do perfil), do

modo introduzido por Martensen (1971) para perfis isolados ou em grades de turbomáquinas.

Com esta formulação, a velocidade no contorno externo do perfil iguala-se à intensidade de

vórtices. Assim como no caso da formulação de Hess-Smith, a formulação de Martensen

conduz a uma equação integral de Fredholm de segunda espécie. Martensen (1971) apresenta

um método de solução numérica para essa equação, diferente do método de painéis.

Mavriplis (1971) utilizou a formulação de Martensen (1971) e desenvolveu um método

de painéis simples e eficaz para perfis isolados ou segmentados, objetivando o

desenvolvimento de aerofólios de alta sustentação.

Amorim (1987) estendeu o método de painéis à formulação clássica de Martensen,

visando o caso de grades lineares de máquinas de fluxo. Foram utilizados painéis retos e

distribuições de vórtices constantes. Correções de curvatura foram introduzidas para aumentar

a precisão do método. Posteriormente, Manzanares Filho (1994) propôs aprimoramentos

adicionais, introduzindo correções baseadas no deslocamento dos pontos de controle. Efeitos

viscosos também foram introduzidos através de uma técnica de ajuste proposta por Gostelow

(1975), aferida sistematicamente através de dados experimentais disponíveis para grades de

perfis da série NACA 65 (Emery et al., 1958).

Petrucci (1998) aplicou o método de Hess-Smith (modificado) ao problema inverso de

projeto de perfis isolados e em grades de turbomáquinas. Foram utilizadas distribuições

constantes de fontes como no método original. Por ou lado, ao invés de uma distribuição

uniforme de vórtices no contorno, foi empregada uma distribuição senoidal com valor nulo no

bordo de fuga e máximo na região do bordo de ataque, segundo idéia de Plotkin (1990) e

Girardi e Bizarro (1995). Foi proposto um controle iterativo da geometria do aerofólio,

através de alterações sucessivas das inclinações dos painéis, partindo do bordo de fuga,

contornando o perfil e retornando ao bordo de fuga. Essas alterações dependem de cálculos

das velocidades normais induzidas por distribuições fictícias de vórtices, dadas pela diferença

entre as velocidades tangenciais requeridas e as calculadas em cada iteração. Verificou-se

posteriormente que esse procedimento seria melhor adaptado ao uso exclusivo de

distribuições de vórtices com a condição de Neumann. Isso foi feito por Petrucci (2003),

utilizando distribuições lineares de vórtices e um tratamento especial da condição de Kutta

para o caso de bordos de fuga afilados. Com esse procedimento, foi possível obter resultados

qualitativamente melhores em relação ao método de Hess-Smith. Melhorias adicionais

7 significativas puderam ainda ser obtidas aplicando-se uma metodologia híbrida, em que o

método de painéis é combinado com o método de transformação conforme, com o aerofólio

(plano físico) sendo mapeado em um quase-círculo (plano transformado). Petrucci (2003)

verificou que é mais preciso e eficiente aplicar o método inverso ao quase-círculo do que

aplicá-lo diretamente ao aerofólio pretendido no plano físico. Desse modo, a geometria do

aerofólio pode ser obtida com um número menor de iterações e com maior suavidade ao longo

de todo o contorno, principalmente na região do bordo de ataque.

Petrucci (2003) sugere ainda a continuidade dos trabalhos em problemas inversos por

uma linha diferente, utilizando métodos de otimização e parametrizações geométricas que

possam garantir certos requisitos geométricos a priori. Seguindo essa linha, não é preciso

utilizar um método de painéis de alta ordem, pois o controle geométrico é feito pela própria

parametrização. No presente trabalho, por exemplo, busca-se atacar o problema inverso

utilizando o método de painéis desenvolvido por Amorim (1987) e Manzanares Filho (1994).

1.2.2 – Métodos de Otimização para Aerofólios de Turbomáquinas

Desde a década de 70, os métodos de otimização ganharam destaque nas mais diversas

áreas da ciência e da tecnologia. No âmbito da aerodinâmica, o uso de métodos de otimização

tem se dado em duas grandes vertentes: (i) com o objetivo de se minimizar uma variável

aerodinâmica importante tal como o arrasto; (ii) com o objetivo de se resolver o problema

inverso. No primeiro caso, em geral, uma distribuição de pressões não é fornecida e o

procedimento é conhecido como método de otimização aerodinâmica, propriamente dito. No

segundo caso, o método de otimização é utilizado para se minimizar uma medida da diferença

entre a distribuição de pressões calculada iterativamente e a distribuição de pressões requerida

para o perfil alvo. O interesse deste trabalho encontra-se neste último caso.

Uma vasta gama de métodos de otimização tem sido aplicada nas últimas décadas aos

problemas aerodinâmicos. Os trabalhos de Hicks et al. (1974) e Vanderplaats (1979) podem

ser considerados pioneiros na aplicação de métodos de otimização ao projeto de formas

aerodinâmicas. Os métodos utilizados nesses trabalhos são métodos de busca local, baseados

no cálculo dos gradientes da função objetivo e das restrições que, portanto, devem ser

diferenciáveis. Esses métodos costumam convergir para um ponto de ótimo local na

vizinhança do ponto de partida do processo de busca. Portanto, por questões de eficácia, é

fundamental que o ponto inicial esteja em uma região promissora do espaço de soluções, e

8 isso depende fortemente do conhecimento do projetista. A vantagem principal de tais métodos

está na sua rápida convergência para um ótimo local, o que pode representar um atrativo

maior para a aplicação de códigos computacionais complexos como aqueles baseados em

soluções numéricas das equações de Navier-Stokes.

Em casos onde não há confiabilidade no ponto inicial de busca, é possível ainda aplicar

os métodos locais diversas vezes, partindo de diferentes pontos. Todavia, esse procedimento

costuma ser ineficiente, se não vier acompanhado de um algoritmo de busca adequado. Surge

assim a necessidade de métodos de otimização mais robustos, que não exijam a especificação

de um único ponto de partida e possam escapar de mínimos locais.

Os métodos de otimização populacionais atendem a essa necessidade e estão hoje

bastante difundidos. Tais métodos baseiam-se na especificação de uma “população inicial” de

pontos no espaço de solução a ser aprimorada iterativamente por algum algoritmo especial.

Destacam-se aqui os Algoritmos Genéticos (GA), os algoritmos de Evolução Diferencial (DE)

e os algoritmos de Busca Aleatória Controlada (CRS), utilizados no presente trabalho (Ali e

Törn, 2004).

Os Algoritmos Genéticos (GA) talvez sejam os algoritmos populacionais mais aplicados

atualmente nas diversas áreas da engenharia. A estrutura dos Algoritmos Genéticos (GA) é

descrita em Goldberg (1989), Davis (1991) e Holst e Pullian (2003). Exemplos de aplicação

dos GA a problemas inversos em aerodinâmica podem ser encontrados no trabalho de

Obayashi e Tsukahara (1996). Em um teste de maximização do coeficiente de sustentação de

um aerofólio, Obayashi e Tsukahara (1997) verificaram a superioridade de um GA sobre um

algoritmo de busca local e outro algoritmo baseado no conceito de recozimento simulado

(simulated annealing).

Os GA baseiam-se na simulação dos mecanismos de seleção natural e de genética,

encontrados na reprodução e evolução dos seres vivos. Neste processo, características

denominadas genótipos (variáveis de projeto) produzem fenótipos (projetos) cujas

modificações são definidas por parâmetros biológicos de aptidão (por exemplo, menor valor

da função objetivo, em problemas de minimização). Partindo de uma população inicial, em

cada geração os principais mecanismos (passos do algoritmo) são: escolha dos pais (por

critérios de aptidão e aleatoriedade), recombinação de genótipos (cruzamentos que transferem

características genéticas dos pais para os filhos), mutação (alterações não-genéticas de

membros da população) e seleção de fenótipos (os mais aptos escolhidos dentre filhos gerados

e membros que sofreram mutações irão substituir os pais para formar uma nova população).

9 Em princípio, os processos de reprodução (recombinação e mutação) e seleção devem

produzir um aprimoramento evolutivo a cada geração (diminuição da função objetivo em

problemas de minimização). A cada passo, apenas uma parcela da população é trocada para

formar a nova população. Os GA costumam demandar um número elevado de chamadas da

função objetivo e nem sempre são suficientemente robustos.

O algoritmo de Evolução Diferencial (DE) foi proposto por Storn e Price (1997) como

opção robusta para a otimização de funções contínuas. Os DE trabalham com uma população

intermediária (mutante) obtida por um processo de mutação dos membros da população atual.

Cada membro i da população mutante é obtido por soma ponderada das diferenças de dois

membros j, k da população atual a um terceiro membro l, com j, k, l ≠ i. Em seguida, é

efetuado o processo de cruzamento entre os membros da população atual e da população

mutante, gerando uma população tentativa. Cada membro da população tentativa é avaliado e

comparado com o membro correspondente da população atual para saber qual deles

pertencerá à próxima geração (nova população). Note-se que, em cada geração, os algoritmos

DE realizam um número de avaliações da função objetivo igual ao número de membros da

população, podendo renovar toda ela para produzir a nova geração. Portanto, embora mais

robustos, os algoritmos DE costumam ter um custo computacional mais elevado que os

algoritmos GA.

Rogalsky et al. (1999) aplicaram o algoritmo DE ao projeto inverso de aerofólios de

grades de turbomáquinas axiais. A distribuição de pressões requerida é baseada nas propostas

de Liebeck (1973), para obtenção de perfis de alta sustentação. Além dos parâmetros

geométricos do perfil, o ângulo de montagem e o espaçamento na grade foram também

considerados variáveis de projeto. Os autores reportam números de chamadas da função

objetivo da ordem de 50.000 a 100.000 para se obter soluções suficientemente precisas,

reforçando a expectativa do alto custo computacional dos algoritmos DE.

Antes mesmo do desenvolvimento dos algoritmos evolutivos GA ou DE, outros

algoritmos, de busca aleatória simples, foram utilizados para determinação de pontos ótimos

de funções em que o cálculo de derivadas era impossível, proibitivo ou muito difícil. Price

(1977) faz uma analise crítica de alguns desses algoritmos, no contexto de otimização global,

e propõe um novo algoritmo de busca aleatória, denominado por ele mesmo de Busca

Aleatória Controlada (CRS). Trata-se também de um algoritmo populacional, em que uma

população inicial é gerada aleatoriamente e contraída iterativamente em direção a um único

ponto (que se espera ser um ponto de ótimo global). A cada iteração, um único ponto tentativo

10 é construído heuristicamente, avaliado e comparado com o pior membro da população atual.

Se for superior, o ponto tentativo é aceito e substitui o pior membro da população atual,

formando uma nova população melhorada. Esse processo de busca é repetido até que certo

critério de parada seja atingido. Note-se que o algoritmo CRS promove a substituição de um

único ponto da população atual a cada “geração”, diferentemente dos algoritmos GA e DE.

Contrariamente ao GA e igualmente ao DE, a aceitação de pontos tentativos no CRS não é

compulsória. Aliás, os algoritmos CRS, GA e DE podem ser vistos dentro de um contexto

evolutivo padrão, analisando os seus processos de seleção, reprodução (cruzamento e

mutação) e aceitação (Ali e Törn, 2004). No CRS, a reprodução se dá apenas por mutação.

Uma descrição mais detalhada do algoritmo CRS básico e de diversas de suas versões é

dada no Capítulo 4 desta dissertação.

1.3 – MOTIVAÇÃO DO PRESENTE TRABALHO

Basicamente, são duas as motivações principais para o presente trabalho.

Primeiramente, pretende-se atender à sugestão de Petrucci (2003), no sentido de se estudar a

aplicação de métodos de otimização ao projeto de pás de turbomáquinas, métodos esses que

possam ser aplicados com quaisquer modelos de escoamento e com funções objetivo e

restrições as mais gerais possíveis. A proposta desta dissertação é dar um passo preliminar

nesse sentido, considerando apenas o projeto inverso, ainda com o emprego de um modelo

potencial para cálculo do escoamento, deixando para trabalhos futuros os casos mais gerais de

otimização e os modelos de escoamento mais complexos (por exemplo, aqueles baseados na

solução numérica das equações de Navier-Stokes).

Por outro lado, como segunda motivação, verifica-se que é escassa a literatura técnica

acerca do uso dos algoritmos de busca aleatória controlada (CRS) em projeto aerodinâmico.

Trata-se, porém, de um algoritmo robusto, de fácil implementação e bastante geral no âmbito

das funções contínuas. Além disso, o CRS já se mostrou eficaz na solução de problemas reais

de otimização bastante complexos (Ali et al., 1997b). Surge, portanto, o interesse em avaliá-lo

em situações de projeto aerodinâmico.

11

1.4 – OBJETIVOS DO PRESENTE TRABALHO

Basicamente, são três os objetivos do presente trabalho:

1) Apresentar o desenvolvimento de uma metodologia de projeto inverso de aerofólios

de grades de turbomáquinas utilizando técnicas de otimização. A geometria do aerofólio é

parametrizada com arcos de Bezier conforme sugestão de Venkataraman (1995) e adaptações

de Rogalsky et al. (1999). Utilizam-se algoritmos de otimização por busca aleatória

controlada (CRS). O cálculo do escoamento é feito através de um método de painéis baseado

na formulação de Martensen (1971), conforme descrito por Amorim (1987) e Manzanares

Filho (1994).

2) Apresentar e testar uma nova versão do CRS (Manzanares Filho et al., 2005),

utilizando o conceito de reflexão baseada na variabilidade da função objetivo (CRS-VBR).

Essa versão procura utilizar informações sobre a variação da função objetivo em torno do

melhor ponto da população atual, de modo a balancear automaticamente as buscas globais e

locais, aumentando a eficiência geral da busca.

3) Avaliar a eficácia da metodologia em três casos de teste, comparando o algoritmo

CRS-VBR proposto com duas outras versões do CRS da literatura.

O presente trabalho não tem por objetivo comparar o algoritmo CRS com outros

algoritmos de otimização, como os GA e os DE em problemas aerodinâmicos. Essa

comparação é sugerida como trabalho futuro.

1.5 – DELINEAMENTO DO PRESENTE TRABALHO

O delineamento desta dissertação segue a estrutura metodológica ilustrada na Fig. 1.1.

Opções diferentes poderiam ser feitas dentro de cada quadro indicado na Fig. 1.1. Todavia,

conforme já salientado no item anterior, o presente trabalho utiliza as seguintes opções:

problema: projeto inverso de grades lineares de turbomáquinas axiais; cálculo do

escoamento com base no método dos painéis; parametrização dos perfis baseada em curvas

polinomiais de Bezier; processo de otimização utilizando busca aleatória controlada.

12 Neste Capítulo 1, além deste delineamento, estão descritos o contexto e a revisão

bibliográfica pertinente ao escopo da dissertação, bem como as motivações e os objetivos para

a sua realização.

No Capítulo 2, descreve-se o procedimento utilizado para o cálculo do escoamento ao

redor de aerofólios em grades lineares de turbomáquinas A formulação é baseada no método

das singularidades e a solução numérica no método dos painéis.

No Capítulo 3, é descrita a parametrização geométrica adotada para a representação dos

perfis, baseada em curvas polinomiais de Bezier.

No Capítulo 4, apresenta-se o algoritmo básico de busca aleatória controlada (CRS).

Discutem-se algumas das versões conhecidas do CRS, algumas delas utilizadas neste trabalho

para fins de teste da metodologia. Apresenta-se também uma versão modificada, utilizando

reflexões baseadas na variabilidade da função objetivo (CRS-VBR).

No Capítulo 5, são apresentados três casos de teste da metodologia desenvolvida na

dissertação. Em cada caso, são feitas comparações entre o algoritmo CRS-VBR proposto e

duas outras versões do CRS.

No Capítulo 6, são apresentadas conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

Figura 1.1 – Linha metodológica adotada nesta dissertação

Turbomáquinas

Cálculo do escoamento

Parametrização dos perfis

Axiais - Grades lineares

Método das singularidades

Solução pelo método dos painéis

Opção para o ajuste de Gostelow

Baseada em curvas polinomiais de

Bezier e na viabilização geométrica

Processo de otimização Busca aleatória controlada

Busca da melhor solução

Geração dos perfis

Projeto inverso

13

Capítulo 2

ANÁLISE DE ESCOAMENTO POTENCIAL EM GRADES LINEARES – MÉTODO DOS PAINÉIS


O método adotado para análise do escoamento assume um papel importante em

qualquer processo de otimização de formas aerodinâmicas. Para certa geometria definida

iterativamente pelo otimizador, os resultados de uma análise são usados no cálculo da função

objetivo e das restrições. O custo computacional de cada análise do escoamento é fator

decisivo para a viabilização do processo de otimização, pois a rotina de cálculo pode ser

chamada milhares de vezes.

Tendo em vista o desenvolvimento de um método inverso relativamente rápido para o

projeto de perfis aerodinâmicos em grade linear, optou-se nesse trabalho pela utilização de

uma rotina pré-existente para cálculo de escoamento potencial (GRADLIN), que pode ser

executada em frações de segundo em um micro-computador pessoal moderno.

O presente capítulo aborda a metodologia utilizada na implementação da rotina

GRADLIN, para o cálculo do escoamento potencial em grades lineares de máquinas de fluxo

axiais, e está baseado nos trabalho desenvolvidos por Amorim (1987) e Manzanares Filho

(1994). O capítulo foi introduzido nesta dissertação para conveniência do leitor que, caso o

julgue dispensável, poderá seguir diretamente ao Capítulo 3.

14

2.2 – DEFINIÇÃO DAS GRADES LINEARES DE MÁQUINAS DE FLUXO AXIAIS

A fig 2.1 mostra o esquema do conjunto rotor-estator de uma máquina de fluxo axial

geradora (bomba ou ventilador axial).

Figura 2.1 – Esquema de uma bomba ou ventilador axial

O desenvolvimento cilíndrico em um certo raio r dá origem às grades lineares do rotor e

do estator. A Fig. 2.2 ilustra o exemplo desse desenvovimento no caso de um rotor. As grades

são utilizadas para o dimensionamento dos perfis das pás do rotor e das aletas do estator e

também para a definição dos ângulos de montagem e espaçamentos.

1 3 2

Rotor Estator Vazão

r

15

Figura 2.2 – Sistema de uma máquina axial desenvolvida em grade linear

a b

c d

b 3

t β1

β2

a

c

d

0

1

2

-1

-2

∞−

2

→

W

1

→

W

l

∞+

β

16

2.3 – FUNDAMENTOS TEÓRIOS PARA O CÁLCULO DO ESCOAMENTO POTENCIAL EM GRADES LINEARES

Considere uma grade linear no plano complexo iyxz += cujos perfis de corda l estão

espaçados com um passo constante t e dispostos com ângulo de montagem β. A relação entre

a corda e o espaçamento entre os perfis, l/t é denominada razão de solidez.

Figura 2.3 - Parâmetros da grade com perfis aerodinâmicos idênticos

Considera-se o modelo de escoamento bidimensional, potencial, incompressível e em

regime permanente. O campo de velocidades do escoamento é representado por

jWiWyxWW yx

rrrr+== ),( . O escoamento se aproxima da grade com velocidade ),(1 yWW ∞−=

rr

a grandes distâncias à esquerda da grade. A velocidade assume o valor ),(2 yWW +∞=rr

a

grandes distâncias à direita, em decorrência da perturbação sofrida pelo escoamento ao passar

ao redor dos perfis da grade. As seguintes hipóteses são formuladas:

Escoamento incompressível

0=⋅∇ Wr

(2.1)

Escoamento potencial:

0=×∇ Wr

(2.2)

t

A B

C D

β1

H G

F E

Plano complexo:

z = x + i y

x

y β

l

→

1W

→

2W

β2

17

O campo de velocidades, portanto, é obtido da função potencial de velocidades φ :

φ∇=Wr

(2.3)

Com estas hipóteses estabelecidas, têm-se a seguinte formulação para o domínio

exterior e para as condições de contorno:

- No domínio exterior: vale a equação de Laplace para o potencial de velocidades φ :

02 =∇ φ (2.4)

- No contorno dos perfis: considerando a condição de impermeabilidade dos perfis, a

velocidade normal na superfície do perfil será nula.

0=⋅ nW rr

(2.5)

- A montante da grade: considera-se a velocidade 1Wr

de aproximação do escoamento,

suficientemente distante para que ainda não tenha sofrido perturbação pela presença da grade:

1lim WWx

rr=

−∞→ (2.6)

- A jusante da grade: considera-se a velocidade 2Wr

de afastamento do escoamento,

suficientemente distante para que não sofra mais perturbação pela presença da grade:

2lim WWx

rr=

+∞→ (2.7)

Tomando o contorno ℘ de um perfil de referência, a distribuição de velocidades )(ζsw

no contorno, compatível com as condições (2.4) a (2.7), deve satisfazer a seguinte equação

integral de Fredholm de segunda espécie, correspondente a um campo de velocidades nulo no

interior (W∞ é a velocidade complexa conjugada não-perturbada):

´´)(´),(21)(

2)( dsweWw

sIis ζζζλ

πζ α ∫℘

−∞ +ℜ= (2.8)

A condição de impermeabilidade no contorno do perfil fica expressa pela seguinte equação

integral de Fredholm de primeira espécie:

´)´(´),(21)(0 dsweW sII

i ζζζλπ

α ∫℘−

∞ +ℑ= (2.9)

18

Nas Eqs. (2.8) e (2.9), ζ representa o ponto de cálculo e ´ζ um ponto de integração. O

sentido positivo da coordenada natural s do contorno é definido de modo a deixar o interior do

perfil sempre à direita (Fig. 2.4). Partindo-se do bordo de fuga pelo intradorso, após um

percurso completo do contorno atinge-se novamente o bordo de fuga pelo extradorso.

Figura 2.4 – Sentido positivo de ds

O ângulo α é tomado entre a reta tangente ao perfil e o eixo positivo x (Fig. 2.5).

Figura 2.5 – Definição do ângulo α

Ainda em relação às Eqs. (2.8) e (2.9), foi utilizada notação complexa para as

velocidades: W = Wx + iWy, de modo que W∞ representa a velocidade média (vetorial) das

velocidades 1W e 2W :

221 WWW +

=∞ (2.10)

onde:

yx WiWW 111 += (2.11)

yx WiWW 222 += (2.12)

Verifica-se, pela equação da continuidade para as máquinas axiais, que xx WW 21 = .

Os operadores ℜ e ℑ selecionam, respectivamente, as partes real e imaginária do

operando, enquanto que os núcleos λI e λII das equações (2.8) e (2.9) são dados por:

ds

ζ ds

α x

19

)( αλλ iΙ eℑ−= (2.13)

)( αλλ iII eℜ= (2.14)

onde

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −== ´)(coth)´,,( ζζπζζλλ

tt (2.15)

A circulação Γp em torno de um perfil é definida por

∫℘=Γ dswsp (2.16)

relacionando-se com as componentes y da velocidade a montante e a jusante da grade da

seguinte forma (Teorema de Stokes):

tWW yyp )( 21 −=Γ (2.17)

Com as Eqs. (2.10), (2.17) e xx WW 21 = , resultam expressões para as velocidades

complexas a montante e a jusante da grade em termos da circulação e do passo:

tiWW p

21

Γ+= ∞ (2.18)

tiWW p

22

Γ−= ∞ (2.19)

Na Fig. 2.6 estão representadas graficamente as equações (2.17) a (2.19). Para perfis

isolados, o espaçamento t tende a infinito e não há deflexão do escoamento, produzindo-se

assim ∞== WWW 21 .

Figura 2.6 – Relação entre as velocidades a montante e jusante e a circulação

1Wr

∞Wr

2Wr

tp 2/Γ

tp 2/Γ

2β ∞β 1β

20

A circulação é um parâmetro livre na formulação apresentada acima. Uma das maneiras

clássicas de definir implicitamente um valor fisicamente aceitável para a circulação consiste

em impor a condição de Kutta, exigindo que o escoamento não contorne o bordo de fuga dos

perfis. Os procedimentos numéricos concernentes a imposição de uma circulação ou da

condição de Kutta são descritos no item subseqüente.

Para uma dada geometria de grade e uma velocidade complexa especificada, a jusante, a

montante ou média (W1 ou W2 ou W∞), a distribuição de velocidades no contorno do perfil

ws(ζ) = ws(s), calculada pelo lado exterior, é uma função incógnita nas equações integrais de

Fredholm (2.8) e (2.9). Ela corresponde à densidade linear γ(s) de uma distribuição de

vórtices colocada ao longo das coordenadas s do contorno do perfil, perturbando o campo de

velocidade uniforme W∞, sendo dada por:

∫=Γ=Γ

=s

s dsswsswdsds

0´´)()(),()(γ (2.20)

O programa computacional desenvolvido para o cálculo do escoamento baseia-se na

equação de Fredholm de segunda espécie (2.8). Ao contrário do núcleo λII na Eq. (2.9), o

núcleo λI na Eq. (2.8) é limitado para ζ → ζ ´. Além disso, a presença da incógnita ws = γ

fora da integral favorece os algoritmos de solução do sistema de equações algébricas lineares

resultantes da discretização da equação integral. A utilização da Eq. (2.8) em vez da Eq. (2.9)

foi sugerida por Martensen (1971) e adotada por Amorim (1987) e Manzanares Filho (1994)

no desenvolvimento da rotina GRADLIN, que segue a sistemática do método dos painéis.

2.4 – SOLUÇÃO NUMÉRICA - MÉTODO DOS PAINÉIS

O método dos painéis é bastante difundido no meio científico e industrial quando se

trata de obter uma solução numérica para o escoamento potencial em torno de perfis

aerodinâmicos isolados ou dispostos em grades lineares de turbomáquinas.

Conforme já discutido, o campo básico de velocidades W∞ (uniforme) sofre a

perturbação dos perfis da grade, cujo efeito pode se representado por uma distribuição de

vórtices sobre o contorno destes perfis, cuja densidade γ tem o mesmo valor da velocidade

externa no contorno dos perfis. O método dos painéis consiste em discretizar o contorno dos

perfis em segmentos (painéis) de geometria simples (p. ex., retos) e discretizar também a

21

distribuição de singularidades (no caso, vórtices), assumindo distribuições simples em cada

painel (p. ex., constantes ou lineares). Desse modo, a determinação da função γ(s) é

substituída pela determinação de um número finito de valores de γ associados a pontos

discretos do contorno do perfil (p. ex., os pontos médios ou pontos extremos dos painéis). A

determinação é feita impondo-se a condição de contorno (p. ex., velocidade interna nula) em

um número igual (ou maior) de pontos de controle (p. ex., os pontos médios dos painéis). A

equação integral é então discretizada em um sistema determinado (ou sobre-determinado) de

equações algébricas lineares.

Na rotina GRADLIN, foram empregados painéis retos com densidades de vórtices

constantes em cada painel. Os pontos de controle foram escolhidos nos pontos médios dos

painéis. Tomando-se um perfil de referência p0 da grade no plano complexo definido por

z=x+iy, a representação geométrica dos painéis, dos pontos extremos e dos pontos controle

desse perfil está ilustrada na Fig. 2.7.

Figura 2.7 – Polígono de n lados acompanhando o contorno do perfil

Nota-se que zNp+1 pontos são colocados sobre o perfil e estes são interligados por Np

segmentos de reta (painéis) formando um polígono de Np lados. O ponto inicial 1 localiza-se

no bordo de fuga, sendo que a numeração cresce de modo a manter o perfil sempre à direita.

O ponto final Np+1 também coincide com o bordo de fuga.

Plano complexo: z = x + iy

x

y Ponto de controle

Pontos extremos

z1 = zN+1 ≡ bordo de fuga Ponto de controle zC j

z1 z2 z3

p=0

z j z j+1

zNp-1 zNp zNp+1

●●● ● ●

● ●

●

● ●

● ● ●

●

● ●

● ●

●

● ●●

● ●

● ● ● ● ●●×

×

×× × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×× ××

×× ×

× ×××

22

Para cada painel genérico j, com pontos extremos representados por z j e zj+1, define-se

um ponto de controle zCj correspondente ao ponto médio do painel (Fig. 2.8).

Figura 2.8 - Detalhe do ponto de controle no painel j

Cada painel j recebe uma distribuição de vórtices de densidade uniforme γj. Manzanares

Filho (1994) utiliza uma fórmula semelhante à apresentada por Giesing (1964), para o cálculo

da velocidade induzida no ponto zC k pelo painel j, do perfil de referência, juntamente com

todos os painéis j correspondentes aos demais perfis da grade linear:

jkjkCjI AzW γ=)( (2.21)

onde kjA é o conjugado de kjA dado por

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

+

−

)(senh

)(senhln

21jkC

jkCi

kj

zzt

zzteiA

j

π

π

π

α

(2.22)

Para a condição em que k = j, a Eq. (2.22) reduz-se a

ki

kk eA α−±=21

(2.23)

sendo o sinal positivo para o lado externo do contorno do perfil e o sinal negativo para o lado

interno.

O ponto de controle do painel genérico zC k terá uma velocidade complexa induzida no

contorno externo igual ao resultado da superposição das contribuições de todos os painéis

sobre este ponto, dada por:

j

Np

jjk

Np

jkCjIkCI AzWzW γ∑∑

====

11)()( (2.24)

A velocidade complexa no ponto zCk será dada pela superposição da velocidade

calculada em (2.24) com o campo básico de velocidades W∞:

α j z j

z j+1

21++

= jjjC

zzz

×

×

●

23

)()( kCIkC zWWzW += ∞ (2.25)

Impondo-se a condição de velocidade tangencial nula no contorno interior do perfil

( 0=−sw ), resulta a Eq. (2.26), onde ακ é o ângulo representado pela figura 2.8 (trocando j por

k):

[ ] 0)()( =ℜ= −−kC

ikCs zWezw kα

(2.26)

As equações (2.24) a (2.26) produzem um sistema de equações algébricas nn × onde

serão determinadas as densidades de vórtices jγ .

nkbBn

jkjkj ...,,2,1,

1==∑

=

γ (2.27)

onde Bkj representa os elementos da matriz de influência e dependem apenas da discretização

geométrica do perfil. As componentes bk do vetor 2º membro dependem apenas da geometria

e do campo básico de velocidades W∞. Suas expressões são

( )jki

jk AeB kα−ℜ= (2.28)

( )∞−ℜ−= Web ki

kα

(2.29)

Conhecidos os valores do campo básico, torna-se possível a determinação de bk e

conseqüentemente as densidades de vórtice jγ .

A circulação sobre o perfil pode ser calculada de modo aproximado:

∑=

∆=ΓNp

jjjp s

1γ (2.30)

onde o comprimento do painel j é dado por

jjj zzs −=∆ +1 (2.31)

Conforme já discutido, a circulação é um parâmetro livre no escoamento potencial em

torno de perfis. Considerando, em princípio, um dado valor arbitrário de circulação, a inclusão

da Eq. (2.30) na Eq. (2.27) gera um sistema sobre-determinado, com Np+1 equações e N

incógnitas. Visando facilitar a solução desse sistema, é introduzido um erro circulatório

constante, εc , na velocidade tangencial interna, afetando o vetor 2º membro da Eq. (2.27):

( ) ci

ckk Webb k εε α +ℜ−=+= ∞−'

(2.32)

24

O erro circulatório εc passa a ser considerado uma nova incógnita, juntamente com γj, j =1,...,

Np. Desse modo, o sistema formado pelas Eqs. (2.27) e (2.30) fica determinado.

Outra alteração efetuada é a substituição da velocidade ∞W pela velocidade 1W (Eqs.

2.18 e 2.30), deixando o sistema de equações definido por:

NpkbBNp

jkjkj ...,,2,1

1

''' ==∑=

γ ; (2.33)

onde a nova matriz

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−ℜ= −

ts

iAeB jkj

ikj k

2' α

(2.34)

continua dependente apenas de fatores geométricos enquanto que o vetor

( ) ci

k Web k εα +ℜ−= −1

''

(2.35)

continua contendo os componentes cinemáticos do escoamento básico, agora com a

velocidade de aproximação da grade W1.

Uma combinação linear de 3 soluções básicas é utilizada, sendo a densidade γj

determinada pela combinação linear dessas soluções:

Γ++= jcjjj WW γεγβγβγ 90

110

11 sencos (2.36)

onde cada parcela do 2º membro corresponde a uma das soluções básicas assim definidas:

- primeira parcela ─ solução 0jγ correspondente a um escoamento paralelo ao eixo x

com 1β = 0, 11 =W e 0=cε

- segunda parcela ─ solução 90jγ correspondente a um escoamento perpendicular ao

eixo x com 1β = 90º, 11 =W e 0=cε

- terceira parcela ─ solução Γjγ correspondente a um escoamento puramente circulatório

com 01 =W e 1=cε

Para o caso de um perfil aerodinâmico com bordo de fuga bem definido e afilado, é

importante garantir que o escoamento resultante não contorne o bordo de fuga definido pelos

pontos z1 e zNp+1 conforme a figura 2.9. Esta imposição é conhecida como condição de Kutta.

25

Figura 2.9 – Condição de Kutta

Assim, considerando a Eq. (2.36) na condição de Kutta, γn = − γ1, obtém-se o seguinte erro

circulatório:

( ) ( )[ ]

ΓΓ ++++

−=n

nnc

Wγγ

βγγβγγε

1

19090

1100

11 sencos (2.37)

Calculadas as três soluções básicas e o erro circulatório pela Eq. (2.37), torna-se

possível o cálculo das grandezas aerodinâmicas locais (nos pontos de controle) e globais

(integradas). As densidades de vórtice γj são calculadas pela equação (2.36), enquanto que a

circulação é calculada pela Eq. (2.30). As pressões estáticas são relacionadas com as pressões

dinâmicas pela equação de Bernoulli:

22

211

2 wpwp jsj +=+ρρ (2.38)

Define-se ainda o coeficiente adimensional de pressão Cpj, por:

2

1

12W

ppC j

jpρ

−= (2.39)

As Eqs. (2.38) e (2.39) vão produzir a equação (2.40) com a velocidade sjw substituída por jγ

2

1

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

WC j

jp

γ (2.40)

A força aerodinâmica complexa que atua sobre um perfil da grade (por unidade de

largura perpendicular ao plano z), definida por, yx iFFF += pode ser calculada do seguinte

modo:

∫℘−= dzpiF (2.41)

●●

×

×

×Z1 + Zn+1 γn = - γ1

Z2

Zn ZCn

ZC1

γn

γ1

26

que na forma adimensional será representada e calculada aproximadamente por

( )∑∫=

+℘−−≅−==

n

jjjpjp zzCidzCi

lWFF

1

**1

*2

1

* 2ρ (2.42)

sendo ainda z* = z/l (coodenadas adimensionalizadas pela corda).

Para o escoamento potencial, a força deve resultar perpendicular à direção do

escoamento básico médio W∞, definida assim com uma força de sustentação. A força de

arrasto (paralela a W∞) deverá ser nula. Os coeficientes de sustentação, CS, e de arrasto, CA,

são definidos e calculados da seguinte maneira:

( )∞−ℑ== β

ρiS

S eFW

FC *

2

1

2l ( )∞−ℜ== β

ρiA

A eFW

FC *

2

1

2l (2.43a,b)

Considerando-se o teorema de Kutta-Joukowsky, a força de sustenção pode ser

calculada por:

PS WF Γ= ∞ρ (2.44)

os coeficientes de arrasto e de sustentação podem ser calculados de modo alternativo:

l2

1

2W

WC p

Sρ

∞Γ= 0=AC (2.45a,b)

Numericamente, o valor residual de arrasto calculado em (2.43b) pode ser interpretado

como uma medida de erro global do método de cálculo. Outra medida de erro é dada pela

diferença entre os valores de CS calculados em (2.43a) e (2.45a).

O coeficiente de momento anti-horário das forças aerodinâmicas será dado por:

[ ])()(2 *1

*1

*****2

1

jn

j jcjpppM zzzCdzzCdzzCWMC ∑∫∫ = +℘℘

−ℜ≅ℜ===lρ (2.46)

O ângulo de deflexão da grade será dado por:

21 βββ −=∆ (2.47)

Ainda, podemos relacionar as velocidades a montante W1 e a jusante W2 com a

circulação Γp retomando a Eq. (2.19):

ti

WW pΓ−= 12 (2.48)

27

Observa-se assim que, para o espaçamento da grade tendendo a infinito (estudo de perfis

isolados), não haverá deflexão do escoamento e a velocidade a montante W1 será igual a W2.

2.5 – MODIFICAÇÕES NA MATRIZ DE INFLUÊNCIA

A matriz de influência kjB ' em (2.33) exerce efeito primordial nos resultados obtidos

com o método de painéis descrito nas seções anteriores. Em função da discretização de 1ª

ordem, com painéis retos e densidades uniformes de vórtices sobre os painéis, a forma

original dessa matriz conduz a imprecisões significativas nos resultados de cálculo. Esses

resultados podem ser melhorados com certas modificações introduzidas na matriz de

influência, conforme descrito por Amorim (1987) e Manzanares Filho (1994), com base nos

estudos de Lewis (1991) e Mavriplis (1971).

2.5.1 – Modificação na Diagonal da Matriz de Influência B’kj

Para introduzir o efeito de curvatura do perfil na formulação de painéis retos, os

elementos da diagonal da matriz de influência B’kk recebem um acréscimo de um termo

proporcional ao ângulo de curvatura kα∆ entre os pontos extremos de cada painel,

representado no detalhe da Fig. 2.10.

Figura 2.10 - Detalhe do ângulo de curvatura do perfil correspondente ao painel k

Com a adição desse termo, os elementos B’kk da diagonal ficam na seguinte forma

πα

4'" kkkkk BB

∆±= (2.49)

zk+1

kα

kα∆

zk ×

×

28

O sinal negativo deve ser utilizado para os trechos côncavos e o sinal positivo para os

trechos convexos. O embasamento teórico para esta modificação pode ser encontrado, por

exemplo, no trabalho de Amorim (1987).

2.5.2 – Modificação na Posição dos Pontos de Controle e nos Elementos Não-Diagonais da Matriz de Influência B’

KJ

Manzanares Filho (1994) propôs uma modificação que corresponde a um deslocamento

dos pontos de controle para pontos mais próximos do contorno real do perfil. Considerando a

distância hk entre o ponto de controle zCk e o contorno real do perfil (Fig. 2.11), introduz-se

um fator f , com f = 0 correspondendo ao ponto de controle original e f = 1 ao contorno. Logo,

o ponto de controle zCk é deslocado para um novo ponto z’Ck segundo a fórmula

ki

kCkCk ehfizz α+=' (2.50)

Figura 2.11 - Detalhe do deslocamento do ponto de controle zck

O fator f foi aferido por Manzanares Filho (1994) através de testes sistemáticos

efetuados com perfis Joukowsky e com a grade de Gostelow (1975). Uma avaliação

qualitativa dos resultados dessa aferição está apresentada na tabela (2.1).

z k

z k+1

kα

zck hk

f hk

z’ck

●

×

×

29

Tabela 2.1 – Avaliação da aferição do fator de deslocamento dos pontos de controle para

perfis Joukowski isolados

Modificações na

diagonal da matriz

Deslocamento do

ponto de controle

Observação sobre

os resultados

Sem Sem deslocamento (f = 0) Insatisfatórios, com problemas

no bordo de fuga

Sem Deslocamento até o

contorno do perfil (f = 1)

Insatisfatórios, mas melhores

que o 1º caso

Com Sem deslocamento (f = 0) Melhores, especialmente no

bordo de fuga.

Com Melhores resultados com

f = 0,4 e 80 painéis

Erro máximo de 1% ocorre

com forte arqueamento.

Os testes indicaram resultados satisfatórios para os casos com modificação na diagonal

da matriz e deslocamento do ponto de controle em direção ao contorno do perfil na faixa de

40% da distância hk (f = 0,4) para uma discretização com 80 painéis, ou superior. Essa

aferição está implementada na rotina GRADLIN utilizada no presente trabalho.

2.6 – EFEITOS VISCOSOS – AJUSTE DE GOSTELOW

Para uma análise mais realista do escoamento e melhor definição dos parâmetros

geométricos de uma grade em situações efetivas de projeto, os fenômenos viscosos de

formação das camadas limites e esteiras devem ser considerados de alguma forma. Esses

fenômenos afetam diretamente a distribuição de pressões sobre os perfis da grade,

modificando grandezas importantes do escoamento, tais como o ângulo de deflexão e a força

de sustentação. Além disso, introduzem efeitos de arrasto e perdas não presentes no modelo

de escoamento potencial.

A condição de Kutta resolve o problema da escolha da circulação para o escoamento

potencial no caso de aerofólios com bordos de fuga agudos ou afilados, produzindo

velocidades finitas nesses bordos; violando-se a condição de Kutta, o escoamento potencial

apresentaria velocidades infinitas no bordo de fuga. Para bordos de fuga arredondados, a

velocidade será sempre finita, mas o posicionamento do ponto de estagnação nesta região é

30

extremamente importante, sendo que sua localização produz fortes variações na distribuição

de velocidades e, consequentemente, nas pressões (Fig. 2.12). Gostelow (1975) mostrou que,

no caso de escoamento potencial, um deslocamento do ponto de estagnação de 0,3% do

comprimento da corda pode produzir uma alteração no ângulo de deflexão de até 10º.

Todavia, as experiências indicam valores reais bem definidos de deflexão, dependendo apenas

da geometria da grade, do número de Reynolds e do ângulo do escoamento a montante do

perfil (β1). A explicação está nos efeitos viscosos na região do bordo de fuga: qualquer que

seja a geometria do bordo de fuga, haverá sempre uma esteira (descolada ou não) onde se

produz uma pressão bem menor que a pressão de estagnação − a chamada pressão de base.

Figura 2.12 – Efeito do deslocamento do ponto de estagnação sobre

a distribuição de pressões na região do bordo de fuga.

No caso de perfis com bordo de fuga agudo ou afilado, os valores de força de

sustentação e de ângulo de deflexão calculados com a hipótese de escoamento potencial e

com a condição de Kutta imposta resultam maiores que os valores experimentais. Gostelow

(1975) propôs um ajuste empírico das distribuições de pressão na região do bordo de fuga em

⊗

⊗

⊗

⊗

Cp = 1

Cp = 1

Cp = 1

⊗

Ponto de

estagnação

⊗

31

conjunto com uma redução da circulação do escoamento potencial a um valor mais

compatível com os dados experimentais. Esse valor reduzido de circulação é denominado

circulação efetiva e deve ser discutido a fim de se compreender o ajuste proposto por

Gostelow.

Figura 2.13 – Circulação efetiva

2.6.1 - Circulação Efetiva

As relações entre escoamento potencial, os efeitos viscosos, e a pressão de base ficam

melhor compreendidas com o conceito de circulação efetiva. Esta circulação deve ser

calculada em um contorno que envolve as camadas limites, as paredes do perfil e corta a

esteira exatamente no bordo de fuga (Fig. 2.13). O escoamento é considerado potencial nos

trechos externos às camadas limites e viscoso no corte da esteira. Os trechos de parede não

contribuem para a circulação efetiva em virtude da aderência. As pressões no bordo de fuga

do lado de sucçaõ e de pressão são representadas por pTS e pTP, respectivamente. A velocidade

normal ao trecho do circuito que cruza a esteira é representada por nV .

Conforme discutido no trabalho de Manzanares (1994), pode-se mostrar que a variação

temporal da circulação efetiva é dada por:

ρφ STPT - pp

tdd

Vfe +−=

Γ (2.51)

onde φ V representa o fluxo líquido de vorticidade ω para dentro da esteira determinada pela

seguinte integral

o

Camada limite

Esteira

pT S

pTP

S

P

●

Bordo de fuga

32

∫=P

SnV dsVωφ (2.52)

Para escoamentos incompressíveis, as experiências mostram que a pressão no bordo de

fuga é sempre contínua, ou seja, pTS = pTP. Pela Eq. (2.51), conclui-se que a taxa de variação

da circulação efetiva contraria o fluxo líquido de vorticidade para dentro da esteira:

Vef

dtd

φ−=Γ

(2.53)

Logo, em regime permanente, o fluxo líquido de vorticidade na esteira é nulo.

Com base nesses conceitos, Gostelow (1975) propôs um procedimento relativamente

simples para a correção do escoamento potencial de modo a levar em conta, indiretamente, os

efeitos viscosos. Esse procedimento está ilustrado na Fig. 2.14. Em princípio, é possível

reduzir arbitrariamente o valor da circulação em relação ao valor definido pela condição de

Kutta no caso de um bordo de fuga agudo ou afilado. Nesse caso, as curvas de pressão irão se

cruzar a uma distância do bordo de fuga que é tanto maior quanto menor for a circulação.

Dada uma certa distância *Gx∆ do bordo de fuga, Gostelow verificou que existe um valor bem

definido de circulação que faz com que as retas tangentes às curvas de pressão se cruzem

exatamente na abscissa do bordo de fuga, satisfazendo a continuidade de pressões naquele

local. Logo, Gostelow (1975) considera esse valor como sendo o de ciculação efetiva e sugere

um valor de *Gx∆ em torno de 0,15 para realizar o ajuste da distribuiçaõ de pressões.

Posteriormente, Manzanares Filho (1994) correlacionou a distância *Gx∆ com o fator de

difusão local de Lieblein (1959), que pode ser calculado diretamente da distribuição de

pressões do escoamento potencial. Quanto maior o fator de difusão local, maiores os efeitos

viscosos e maior a distãncia *Gx∆ para se efetuar o ajuste de Gostelow.

Figura 2.14 – Ajuste de Gostelow (1975)

lx *

Gx∆

Cp

Cpt

1

33

Na rotina GRADLIN, utilizada no presente trabalho, a distribuição de pressões do

escoamento potencial com a condição de Kutta é primeiramente calculada, resultando tembém

o fator de difusão local e o valor correspondente de *Gx∆ . As soluções básicas do escoamento

são combinadas novamente, agora sem a condição de Kutta original, mas de modo a produzir

a extrapolação de pressões desejada a partir da distância *Gx∆ . Em seguida, a parte potencial

da distribuição de pressões de comprimento *Gx∆ é eliminada (linhas tracejadas na Fig. 2.14) e

substituida pelos segmentos de reta extrapolados (linhas cheias). A distribuição de pressões

resultante é utilizada então para o cálculo das forças aerodinâmicas e do ângulo de deflexão

corrigidos.

O ajuste de Gostelow mostrou-se bastante efetivo no tratamento de grades de perfis com

bordo de fuga afilado, particularmente os perfis da série NACA 65.

34

Capítulo 3

PARAMETRIZAÇÃO GEOMÉTRICA DE AEROFÓLIOS


O objetivo principal desta dissertação consiste no desenvolvimento de uma metodologia

para projeto inverso de aerofólios em grades de turbomáquinas axiais, utilizando algoritmos

de otimização. A escolha de uma adequada parametrização geométrica de aerofólios é de

suma importância para a aplicação desses algoritmos. Uma parametrização é considerada

adequada quando o número de parâmetros introduzidos é suficiente para gerar um espaço de

soluções representativo do universo em questão, sem, contudo, ser excessivo, de modo a

manter um custo computacional aceitável para o processo de otimização.

Neste capítulo, descreve-se uma parametrização que foi considerada adequada para os

propósitos do presente trabalho e, portanto, adotada no desenvolvimento da metodologia. Essa

parametrização baseia-se no uso de polinômios de Bernstein (curvas Bezier), e foi proposta

inicialmente por Venkataraman (1995) e posteriormente adaptada por Rogalsky et al. (1999).

O presente trabalho introduz ainda um tratamento especial dos parâmetros a fim de se obter

aerofólios viáveis durante todo o processo de otimização.

35

3.2 – PARAMETRIZAÇÃO PARA A GERAÇÃO DOS PERFIS

A parametrização de aerofólios empregada neste trabalho está baseada no emprego de

polinômios desenvolvidos pelo matemático russo Sergei N. Bernstein, em 1912. Os

polinômios de Bernstein ganharam notoriedade na década 70, quando o engenheiro francês

Pierre Bezier utilizou-os para produzir curvas concordantes e suaves em programas de

desenho por computador, resolvendo problemas na indústria automobilística. Assim, as curvas

geradas pelos polinômios de Bernstein passaram ser chamadas de curvas Bezier ou curvas de

Bernstein-Bezier.

Uma curva Bezier paramétrica de grau n no plano é determinada de maneira única pelos

n+1 vértices de um polígono, chamados de pontos de controle Pi, através do seguinte

polinômio de Bernstein P(u):

∑=

−−−

=n

i

inii uu

ininu

0)1(

!)(!!)( PP (3.1)

onde u é um parâmetro real no intervalo [0, 1], tal que os pontos extremos são dados por P(0)

= P0 e P(1) = Pn. Note-se que P representa aqui um vetor no plano (x, y).

As curvas Bezier possuem muitas propriedades interessantes para um projeto

aerodinâmico. Os pontos extremos de uma curva Bezier são fixados automaticamente nos dois

vértices extremos. Em um ponto extremo, a curva é tangente ao vetor que une aquele ponto

extremo e o ponto de controle mais próximo, facilitando a união suave de duas curvas de

Bezier. A curva sempre permanece dentro da figura convexa definida pelos vértices do

polígono. Finalmente, a curva tem continuidade de ordem n em todos os pontos e jamais

oscila fortemente para longe dos seus pontos de controle definidores.

Uma curva de Bezier cúbica é definida por um polinômio de Bernstein de grau n = 3 na

Eq. (3.1), usando quatro pontos de controle P0, P1, P2 e P3, com P(0) = P0 e P(1) = P3:

33

22

21

30 )1(3)1(3)1()( uuuuuuu PPPPP +−+−+−= (3.2)

Note-se que, enquanto os pontos extremos P0 e P3 situam-se sobre a curva de Bézier, o mesmo

não ocorre, em geral, com os pontos intermediários P1, P2 .

Venkataraman (1995) introduziu a idéia de se usar quatro curvas de Bezier cúbicas para

definir um aerofólio, duas para o intradorso e duas para o extradorso. Rogalsky et al. (1999)

preferiram utilizar duas curvas cúbicas de Bezier para representar a distribuição de semi-

espessura (curvas dianteira e traseira, conectadas na abscissa de espessura máxima, Fig. 3.1) e

36

outras duas para representar a distribuição de arqueamento (curvas dianteira e traseira,

conectadas na abscissa de arqueamento máximo, Fig. 3.2). A partir daí, o aerofólio é

construído da maneira usual nos perfis NACA, superpondo as distribuições de espessura e

arqueamento perpendicularmente à curva de arqueamento.

Figura 3.1 – Curvas Bezier para o arqueamento do perfil

Figura 3.2 – Curvas Bezier para a espessura do perfil

Tabelas 3.1: Coordenadas dos pontos de controle das curvas Bezier para o arqueamento

Curva

Variáveis

Observações

(0,0) Este ponto é comum para unir as curvas de arqueamento e espessura

no início da corda

(b0, b1)

(b2, b3)

Dianteira

(b4, b3)

(b4, b3)

(b5, b3)

O ponto (b4, b3) une as curvas do arqueamento. Nota-se ainda que b3

define o alinhamento superior e sua repetição define o arqueamento

máximo do perfil.

(b6, b7)

Traseira

(1,0) Este ponto é comum para unir as curvas, definindo o bordo de fuga.

(0,0)

⊕ ⊕

⊕ ⊕ ⊕

⊕ ⊕ (b0, b1)

(b2, b3)

(b4, b3)

(b5, b3)

(b6, b7)

(1,0)

(0,0)

⊕

⊕

⊕ ⊕ ⊕

⊕ ⊕

(0, b8)

(b9, b10)

(b11,b10)

(b12,b10)

(b13,b14) (1,0)

Dianteira

Dianteira

Traseira

Traseira

37

Tabelas 3.2 – Coordenadas dos pontos de controle das curvas Bezier para a espessura

Curva

Variáveis

Observações

(0,0) Este ponto é comum para unir as curvas de arqueamento e espessura

no bordo de ataque

(0,b8) Manter a abscissa deste ponto igual à do anterior (igual a 0), produz o

arredondamento do bordo de ataque.

(b9,b10)

Dianteira

(b11,b10)

(b11,b10)

(b12,b10)

O ponto (b11, b10) une as curvas de espessura. Nota-se ainda que o

alinhamento superior produzido pela repetição de b10 define a

espessura máxima do perfil.

(b13, b14)

Traseira

(1,0) Este ponto é comum para unir as curvas, definindo o bordo de fuga.

As coordenadas dos pontos de controle das curvas Bezier utilizadas na parametrização

proposta por Rogalsky et al. (1999) estão indicadas nas Figs. 3.1, 3.2 e nas Tabelas 3.1 e 3.2.

Em princípio, com 4 curvas Bezier cúbicas no plano, sendo 4 pontos de controle para cada

uma, resultaria 16 pontos de controle e, portanto, 32 coordenadas ao todo. Todavia, na

parametrização em questão restarão apenas 15 coordenadas independentes (b0, ..., b14), devido

às seguintes propriedades: (i) os pontos iniciais das curvas dianteiras estão fixos no bordo de

ataque (0,0); (ii) os pontos finais das curvas traseiras estão fixos no bordo de fuga (1,0); (iii) o

ponto de controle final de cada curva dianteira coincide com o ponto de controle inicial da

curva traseira correspondente; (iv) o ponto de intersecção das curvas de espessura

(arqueamento) corresponde a um máximo de espessura (arqueamento); (v) a abscissa do 2º

ponto de controle da curva dianteira de espessura deve ser igual à do 1º ponto (igual a 0), de

modo a garantir que os perfis gerados tenham sempre um bordo de ataque arredondado.

No presente trabalho, a parametrização acima descrita será empregada com uma ligeira

modificação: as distribuições de espessura e arqueamento serão superpostas ao longo da

perpendicular ao eixo das abscissas. Isso é feito para evitar incongruências geométricas no

caso de perfis fortemente arqueados.

38

Figura 3.3 – Curva de espessura (t representa a semi-espessura)

Figura 3.4 – Curva de espessura superposta à curva de arqueamento

3.3 – PROCEDIMENTO PARA GERAÇÃO DE PERFIS VIÁVEIS

Normalmente, as parametrizações geométricas comumente utilizadas na literatura não

garantem que a geometria dos aerofólios gerados seja viável para um projeto aerodinâmico.

Sem controle adicional, podem ocorrer cruzamentos nas linhas que definem o intradorso e

extradorso dos perfis ou, ainda, arqueamentos e espessuras fora das faixas desejadas (Fig.

3.5).

Figura 3.5 – Perfis inviáveis: (a) em função de arqueamento excessivo (b) em função do

cruzamento da linha de espessura

A parametrização geométrica descrita no item anterior facilita o controle do

arqueamento e da espessura através dos parâmetros b3 e b10. Todavia, é necessário ainda

atender a diversas restrições de ordem para as coordenadas: 0 < b0, b0 < b2, ..., 0 < b9, b9 < b11,

t

t

Arqueamento

t

∗ ∗

Linha de arqueamento

(a) (b)

39

etc. Para que um algoritmo de otimização não perca tempo testando perfis inviáveis, torna-se

desejável um processo que garanta sempre a geração de perfis viáveis. No presente trabalho é

utilizado um algoritmo populacional, em que uma população inicialmente gerada vai sendo

aprimorada iterativamente (conforme descrito no Capítulo 4).

O processo proposto neste trabalho consiste em substituir os 15 parâmetros bi, i = 0,...,

14 por 17 novos parâmetros ∆i, i = 1,..., 17, definidos na Fig. 3.6 e na Tabela 3.6. São

estipulados limites superiores ∆iU > 0 e inferiores ∆i

L > 0 (positivos) para esses novos

parâmetros. O algoritmo de otimização gera a população inicial e testa novos aerofólios

utilizando diretamente valores de ∆i entre os limites estipulados, ∆iL ≤ ∆i ≤ ∆i

U. Na geração de

novos aerofólios, caso ∆i < ∆iL ou ∆i > ∆i

U, é feita uma viabilização forçada, fazendo ∆i = ∆iL

ou ∆i = ∆iU, respectivamente. Com isso, evita-se descartar perfis gerados com uma ou poucas

coordenadas inviáveis, ao contrário do que é feito em diversos algoritmos de otimização.

Figura 3.6 – Definição dos intervalos para a viabilização dos perfis

Arqueamento

⊕ ⊕

⊕ ⊕ ⊕

⊕ ⊕

(b0,b1)

(b2, b3) (b4, b3) (b5, b3)

(b6, b7)

(1,0)

1∆ 2∆ 3∆ 4∆ 5∆ 6∆

(0,0) 12∆

13∆ 14∆

(0,0)

⊕

⊕

⊕ ⊕ ⊕

⊕ ⊕

(0, b8)

(b9, b10) (b11, b10) (b12, b10)

(b13, b14) (1,0)

Espessura

7∆ 8∆ 9∆ 11∆10∆

15∆

16∆17∆

40

Tabela 3.3 – Definição da nova parametrização (∆ i) em função da parametrização antiga (bi)

Para as abscissas da linha de arqueamento

∆ i ∆ 1 ∆ 2 ∆ 3 ∆ 4 ∆ 5 ∆ 6

bi b0 b2 - b0 b4–b2 b5–b4 b6-b5 1 – b6

Para as abscissas da linha de espessura

∆ i ∆ 7 ∆ 8 ∆ 9 ∆ 10 ∆ 11

bi b9 b11-b9 b12–b11 b13–b12 1-b13

Para as ordenadas da linha de arqueamento

∆ i ∆ 12 ∆ 13 ∆ 14

bi b1 b3-b1 b3–b7

Para as ordenadas da linha de espessura

∆ i ∆ 15 ∆ 16 ∆ 17

bi b8 b10- b8 b10–b14

As coordenadas dos aerofólios assim gerados são renormalizadas proporcionalmente de

modo a fazer com que as cordas das linhas de arqueamento e de espessura fiquem unitárias.

Assim, todos os parâmetros ∆i da linha de arqueamento, calculados pelo algoritmo, i = 1, 2, 3,

4, 5, 6, 12, 13, 14, são divididos pela soma ∑=

∆6

1ii , enquanto que todos os parâmetros ∆i da

linha de arqueamento, i = 7, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17, são divididos pela soma ∑=

∆11

7ii .

A discretização em painéis de cada aerofólio gerado durante o processo de otimização é

feita com base na parametrização antiga (bi). Portanto, é necessário recuperá-la a partir da

nova parametrização ∆i. Isso é facilmente realizado de forma recursiva para cada grupo de

abscissas e ordenadas de interesse, conforme indicado na Tabela 3.4. Após a recuperação das

coordenadas bi e a discretização do aerofólio gerado, o programa de cálculo de escoamento

potencial (Capítulo 2) é chamado para avaliar o desempenho da grade com aquele aerofólio e

verificar se ele pode ser usado para aprimorar a população atual de aerofólios (conforme

descrito no Capítulo 4).

41

Tabela 3.4 – Recuperação recursiva da parametrização antiga (bi) em função

da nova parametrização (∆i)

Para as abscissas da linha de arqueamento

b0 = ∆ 1

b2 = b0 + ∆ 2

b4 = b2 + ∆ 3

b5 = b4 + ∆ 4

b6 = b5 + ∆ 5

Para as abscissas da linha de espessura

b9 = ∆ 7

b11 = b9 + ∆ 8

b12 = b11 + ∆ 9

b13 = b12 + ∆ 10

Para as ordenadas da linha de arqueamento

b1 = ∆ 12

b3 = b1 + ∆ 13

b7 = b3 - ∆ 14

Para as ordenadas da linha de espessura

b8 = ∆ 15

b10 = b8 + ∆ 16

b14 = b10 - ∆ 17

Alguns comentários finais merecem ser feitos. Embora seja discutível a vantagem ou

desvantagem de estipular limites para os parâmetros ∆i em vez de limites para os bi, é

inegável que a nova parametrização apresenta pelo menos três vantagens: 1) produz

automaticamente aerofólios viáveis e, portanto, não descartáveis a priori, contribuindo para

acelerar o processo de convergência dos algoritmos de otimização; 2) evita o uso de funções

42

de penalidade na função objetivo para atender às restrições de ordem das abscissas dos pontos

de controle das curvas Bezier; 3) evita o cálculo do escoamento em torno de aerofólios

inviáveis, com efeitos numéricos eventualmente descontroláveis.

43

Capítulo 4

ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO


Neste capítulo, discute-se o algoritmo de otimização utilizado para o projeto inverso de

aerofólios em grades de turbomáquinas. É importante salientar que se trata de uma abordagem

bastante diferente daquela desenvolvida anteriormente na UNIFEI, que se baseava no próprio

método dos painéis, tratava todos os pontos nodais como variáveis de projeto e não utilizava

algoritmos de otimização explícitos (Petrucci, 2003). A vantagem da abordagem apresentada

neste trabalho é que ela independe do método de cálculo do escoamento e do tipo de

parametrização empregados, e até mesmo do algoritmo de otimização. Contudo, neste

trabalho emprega-se o método dos painéis descrito no Capítulo 2, a técnica de parametrização

descrita no Capítulo 3 e um algoritmo de otimização baseado em técnicas populacionais

evolucionárias.

Mesmo com técnicas populacionais de otimização mais consagradas em aerodinâmica,

como os Algoritmos Genéticos (GA) ou de Evolução Diferencial (DE), optou-se neste

trabalho pelo algoritmo de Busca Aleatória Controlada (CRS), proposto inicialmente por

44

Price (1977) e desenvolvido em novas versões por Ali et.al. (1997a). Tal escolha justifica-se

por se tratar de um algoritmo de fácil implementação e com bom potencial de aplicabilidade,

além de poder atingir um desempenho comparável ao dos GA´s e DE´s. Outro fator

considerado é a aparente escassez de trabalhos de aplicação dos algoritmos CRS em

problemas inversos e de otimização de aerofólios ou pás de turbomáquinas. Assim, o presente

trabalho busca contribuir no sentido de avaliar as potencialidades dessa opção adicional.

Busca também contribuir com a apresentação de uma nova versão do CRS, mais eficiente

para o problema de projeto inverso de aerofólios (Manzanares Filho et al., 2005).

4.2 – ALGORITMOS DE BUSCA ALEATÓRIA CONTROLADA

Os algoritmos de busca aleatória controlada são algoritmos de otimização adequados

para a pesquisa de minimizadores globais de uma função real contínua, denominada função

objetivo, f: ℜn → ℜ, não necessariamente diferenciável, definida em uma hiper-caixa

S = {x ∈ ℜn: Ujj

Lj xxx ≤≤ , j = 1, ..., n}, onde L

jx e Ujx representam, respectivamente, limites

inferiores e superiores para as n coordenadas de x. Um ponto x* é dito um otimizador global

de f se f(x*) ≤ f(x), ∀x ∈ S. Além das restrições laterais usadas na definição de S, outros tipos

de restrição poderiam, em princípio, ser impostos por meio de esquemas de penalidade sobre

a função objetivo ou qualquer outra técnica de tratamento de restrições (Oyama et al., 2005).

Os algoritmos CRS foram propostos como um aperfeiçoamento de métodos simples de

busca aleatória em que apenas o ponto de menor valor da função objetivo fica retido em cada

iteração (Price, 1977). Assim como os GA´s e DE´s, um CRS é um algoritmo populacional

evolucionário que parte de um conjunto inicial P de N pontos distribuídos aleatoriamente

sobre S e, a partir daí, efetua um processo de contração iterativa em direção a um ponto de

mínimo global por meio de procedimentos puramente heurísticos (Ali et al., 1997a, e Ali e

Törn, 2004). Além disso, o tamanho N da população é mantido durante todo processo de

otimização. Diferentemente dos demais algoritmos evolucionários mencionados, um CRS

substitui um único ponto da população (seu ponto atual de pior valor da função objetivo, h)

por um ponto melhor, p, em cada iteração (i.e., um ponto tentativo p tal que f(p) < f(h)).

Assim, sua implementação é mais direta

45

4.2.1 – O Algoritmo CRS Básico

O algoritmo CRS básico para minimização pode ser descrito brevemente do seguinte

modo (adaptado de Ali et al., 1997a e Ali e Törn, 2004):

1. Gerar aleatoriamente uma população inicial P de N pontos em S: P = {x1, ..., xN}.

Calcular os valores da função nesses pontos de um modo indexado. Determinar o pior

ponto, h, e o melhor ponto, l, i.e., aqueles pontos em P com o maior e o menor valor

da função, fh e fl, respectivamente. Se um critério de parada já for atendido, parar (por

exemplo, parar se fh − fl < , onde é uma tolerância especificada). Se não, continuar.

2. Gerar um ponto tentativo p para substituir o pior ponto, h.

3. Se p for inviável (p ∉ S), ir ao passo 2 (ou, tornar p viável e continuar).

4. Avaliar fp = f(p). Se p for insatisfatório (fp ≥ fh), ir ao passo 2.

5. Atualizar o conjunto P substituindo o pior ponto atual pelo ponto tentativo: (P ← P ∪

{p} / {h}). Encontrar h e fh na nova população P. Se fp < fl, estabelecer p, fp como os

novos l, fl, respectivamente.

6. Se um critério de parada for atendido, parar; se não, ir ao passo 2.

As duas principais diferenças dentre as versões disponíveis do CRS estão relacionadas

(i) ao modo de geração do ponto tentativo (passo 2) e (ii) ao acesso opcional a uma fase de

busca local sempre que o melhor ponto for o mais novo na população (quando fp < fl no passo

5). Deve-se observar que todas as versões admitem que N >> n (por exemplo, Ali et al.

(1997a) sugerem empregar N = 10(n + 1) ).

4.2.2 – Algumas Versões do CRS

O CRS proposto por Price (1977) foi aparentemente o primeiro a aparecer no formato

acima. Ele não inclui uma fase local no passo 5. A geração do ponto tentativo no passo 2 é

efetuada do seguinte modo: Escolher aleatoriamente n + 1 pontos distintos da população atual

P: r1, ..., rn+1 (formando um simplex em ℜn). Determinar o centróide g dos n primeiros pontos

r1, ..., rn. Em seguida, determinar o ponto tentativo p pela reflexão do ponto remanescente

rn+1 em relação ao centróide g, segundo o procedimento de Nelder e Mead (1965):

46

12 +−= nrgp (4.1)

Neste esquema, o cálculo do ponto g é puramente geométrico: ele não leva em conta

informações a respeito do comportamento da função em torno de g. Em que pese sua

objetividade, capacidade de exploração e pequenas demandas de armazenamento, o CRS de

Price (1977) exibe uma tendência de baixa taxa de convergência – o que motivou estudos

adicionais buscando seu aprimoramento.

Ali et al. (1997a) compararam algumas versões modificadas do CRS. Os autores

enumeraram essas versões cronologicamente da seguinte maneira: o CRS1 ⎯ o algoritmo

original de Price (1977) que se acabou de descrever; o CRS2, também proposto por Price

(1983) fazendo um uso mais sofisticado do simplex na geração do ponto tentativo; o CRS3,

também devido a Price (1987), em que foi incluída uma fase de busca local; o CRS4, uma

modificação do CRS2 pela inclusão de buscas locais aleatórias em torno do melhor ponto

atual através de distribuições β de probabilidade (Ali e Storey, 1995); o CRS5, excluído das

comparações de Ali et al. (1997) por empregar uma busca local baseada em gradientes que

não se enquadrava no escopo do trabalho (Ali e Storey, 1995); finalmente, o CRS6, proposto

por Ali et al. (1997a), em que a fase de buscas locais do CRS4 (baseadas na distribuição β) é

mantida e a fase global passa a utilizar um esquema de interpolação quadrática.

No esquema de interpolação quadrática do CRS6, três pontos distintos da população P

atual são tomados: o melhor ponto, r1 = l, e dois outros pontos, aleatoriamente, r2 e r3. Os

valores respectivos da função objetivo são f1 = f(r1), f2 = f(r2) e f3 = f(r3). Variando j de 1 a n,

constroem-se interpolações quadráticas usando as correspondentes coordenadas j daqueles

três pontos, r1j = lj, r2j e r3j. A coordenada pj do ponto tentativo é igualada ao ponto extremo

da interpolação quadrática (Fig. 4.1, Eq. 4.2):

Figura 4.1 – Parábola para obtenção da coordenada j do novo ponto tentativo.

r2j r3j pj

Coordenada j

r1j

f2

f3

f1

f(p)

f

47

321213132

32

22

122

12

312

32

2

)()()()()()(

21

frrfrrfrrfrrfrrfrr

pjjjjjj

jjjjjjj −+−+−

−+−+−= , (j = 1, ..., n) (4.2)

A idéia heurística subjacente a esse esquema consiste em considerar como promissora

qualquer região em torno do melhor ponto e promover uma busca global por melhores pontos

em tais regiões por meio de interpolações parabólicas ao longo de cada coordenada.

Ali et al. (1997a) compararam o CRS6 com outras versões do CRS em 13 problemas-

teste consagrados em otimização global. Em todos os testes, o desempenho do CRS6

mostrou-se superior. Verificou-se que o esquema de interpolação quadrática foi mais

importante para a melhoria do desempenho que as buscas locais baseadas na distribuição β de

probabilidade ⎯ embora essas também tenham exercido um efeito benéfico.

4.2.3 – Um Algoritmo CRS Usando Reflexão Baseada em

Variabilidade: CRS-VBR (Manzanares Filho et al., 2005)

A facilidade de implementação e bom desempenho do CRS6 trazem uma expectativa a

respeito de sua eficácia na solução de problemas de projeto de formas aerodinâmicas. Alguns

testes preliminares foram realizados nesse sentido, concluindo-se que o CRS6 poderia, de

fato, ser aplicado nesses problemas; entretanto, alguns inconvenientes também puderam ser

verificados: para um número relativamente grande de parâmetros geométricos, como no caso

da parametrização descrita no Capítulo 3 (n =17), há tendência de redução da taxa de

convergência do CRS6 em direção a um mínimo global; as buscas locais baseadas na

distribuição β de probabilidade nem sempre são benéficas e até podem dificultar a

convergência; existem alguns parâmetros empíricos nessas buscas locais que são de difícil

calibração ⎯ o que representa uma perda de objetividade e generalidade. Assim, torna-se

desejável dispor de uma versão aprimorada do CRS capaz de eliminar ou, pelo menos,

amenizar esses inconvenientes.

Após algumas análises críticas, foi possível identificar quatro aspectos do CRS6

merecedores de atenção:

(i) primeiramente, não é possível asseverar que o extremo da interpolação quadrática

(Fig.4.1) corresponda sempre a um mínimo; situações de máximo podem ocorrer com relativa

48

freqüência; (ii) as regiões de busca cobertas pelas interpolações quadráticas em torno do

melhor ponto não possuem necessariamente a mesma potencialidade de fornecer pontos

melhores ⎯ pode-se argumentar que regiões com fortes variações da função são mais

promissoras que regiões com variações suaves; isso é especialmente importante quando a

interpolação não produz um mínimo; (iii) podem ocorrer situações em que a interpolação

torna-se mal-condicionada; (iv) finalmente, seria desejável eliminar as duvidosas buscas

locais baseadas na distribuição β de probabilidade e a corresponde calibração de parâmetros

empíricos.

Tendo em mente tais considerações, outra versão do CRS foi desenvolvida (Manzanares

et al., 2005). Essa versão ⎯ denominada CRS-VBR⎯ faz uso seletivo das interpolações

quadráticas do CRS6, leva em conta a variabilidade da função em torno do melhor ponto da

população atual e elimina as buscas locais baseadas na distribuição β de probabilidade. As

particularidades do CRS-VBR referem-se apenas à geração do ponto tentativo, i.e, ao passo 2

do CRS básico (item 4.2.1). Um valor médio da função, fg, e uma medida de variabilidade

local, α, são calculados da seguinte maneira:

( )3221 fff g += , (4.3)

lh

lg

ffff

−−

=α (4.4)

onde fh representa o valor da função do pior ponto da população atual.

O algoritmo proposto para determinar cada coordenada pi do ponto tentativo pode ser

descrito da seguinte maneira:

1. Fazer um teste de mal-condicionamento da interpolação quadrática entre r1i, r2i e r3i.

Se ela for considerada mal-condicionada, então avaliar o valor de pi aleatoriamente

no intervalo viável correspondente, Uii

Li xxx ≤≤ .

2. Se não, se a coordenada do melhor ponto estiver entre as coordenadas dos outros

dois pontos, — i.e., se (r2i − r1i) (r3i − r1i) < 0 —, então calcular pi como o mínimo

da interpolação quadrática entre r1i, r2i e r3i, assim como é feito no CRS6 (Eq. 4.2).

3. Se não, calcular uma coordenada centroidal ponderada gi do seguinte modo:

49

( ) ( )( ) ( )1312

313212

ffffrffrff

g iii −+−

−+−= (4.5)

e, em seguida, calcular a coordenada pi do ponto tentativo por meio de uma

reflexão baseada em variabilidade da coordenada centroidal gi em relação à

coordenada r1i do melhor ponto:

( ) ( ) iii grp αα −−−= 12 1 (4.6)

Observações

• A interpolação pode ser considerada mal-condicionada quando o determinante

associado ao coeficiente do termo quadrático, (r2i − r3i) f1 + (r3i − r1i) f2 + ( r1i − r2i) f3,

ficar abaixo de um pequeno valor prescrito, δC. Opcionalmente, buscando maior

generalidade, é possível usar o número de condição da matriz de interpolação, que é

independente de escala, diferentemente do determinante. Neste trabalho, optou-se por

usar δC = 10-30, adequado para dupla precisão. Além do tamanho N da população, δC

torna-se o único parâmetro empírico adicional do algoritmo proposto.

• A avaliação aleatória de pi quando a interpolação é considerada mal-condicionada

incrementa a abrangência da busca e ajuda a evitar uma contração prematura da

população em direção a um mínimo local. Mesmo uma pane eventual do processo

numérico pode ser evitada desse modo.

• Ao satisfazer a condição de aceite de uma coordenada do ponto tentativo do CRS6,

garante-se com certeza que essa coordenada corresponde ao mínimo da interpolação e,

também, que ela permanece no intervalo viável.

• O cálculo da coordenada centroidal gi (Eq. 4.5) coloca maior peso sobre a coordenada

cujo valor da função é maior, a fim de enfatizar a variabilidade local em torno da

coordenada do melhor ponto atual.

• A avaliação da coordenada do ponto tentativo (Eq. 4.6) utilizando a medida de

variabilidade local α (Eqs. 4.4 e 4.3) representa um procedimento heurístico para

balancear automaticamente buscas globais e locais. Para variabilidade baixa (α → 0), a

coordenada centroidal é refletida para longe da coordenada do melhor ponto atual, pois

o intervalo de interpolação correspondente não parece promissor nesse caso. Isso ajuda

o algoritmo a escapar de pontos de mínimo local e torna a busca “mais global”, quando

50

necessário. Para alta variabilidade (α → 1), a coordenada centroidal é refletida para

perto da coordenada do melhor ponto atual, pois agora é de se esperar melhores valores

da função por ali. Isso ajuda o algoritmo a acelerar a busca de um mínimo local, quando

necessário.

4.3 – COMENTÁRIOS SOBRE A IMPLEMENTAÇÃO E UTILIZAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL

Os algoritmos CRS-VBR e CRS6 foram implementados em linguagem Fortran para

utilizar a rotina GRADLIN descrita no Capítulo 2 como solucionador (“solver”), integrando

assim a metodologia de projeto inverso de aerofólios proposta neste trabalho. Alguns aspectos

da implementação merecem comentário: (1) dados de entrada; (2) geração da população

inicial; (3) definição e cálculo da função objetivo; (4) critérios de parada.

4.3.1 – Dados de Entrada

Para utilizar o código computacional, devem-se fornecer os seguintes dados: (i) limites

inferiores e superiores para as variáveis de projeto (∆iL e ∆i

U , i = 1, ..., n=17); (ii) tamanho da

população de aerofólios N; (iii) semente do gerador de números aleatórios; (iv) número

máximo de chamada da função objetivo; (v) tolerância para o critério de parada, ε ; (vi) opção

para usar CRS-VBR ou CRS6; (vii) no caso de se usar CRS6, opção para realizar ou não

buscas locais baseadas em distribuições β ; (viii) dados de grade linear: ângulo de montagem

β , razão de solidez l/t e ângulo do escoamento na entrada α1; (ix) número de painéis a ser

usado na discretização dos aerofólios.

Na versão atual do código, os dados referentes aos itens (i), (ii) e (ix) acima estão pré-

fixados no próprio código; os demais dados são fornecidos através da rotina INPUT_PAR.

51

4.3.2 – Geração da População Inicial

O tamanho da população atualmente pré-fixado no código computacional segue

sugestão de Ali et al. (1997a): N = 10 (n+1). Portanto, com n = 17, tem-se N = 180. Esse

valor pode ser redefinido no código e permanece constante durante o processo de otimização

(pois haverá a substituição do pior perfil por um novo a cada iteração bem sucedida).

A geração da população inicial é feita pela rotina INIT_POP. Para cada aerofólio da

população, ela chama a rotina RAND_PAR, que calcula aleatoriamente e armazena os valores

das variáveis de projeto (∆i, i = 1, ...,17), as coordenadas da parametrização de Rogalsky (bi =

0, ..., 14) e os respectivos valores da função objetivo. A transformação das variáveis ∆i nas

coordenadas bi é feita conforme explicado na Tabela 3.4 do capítulo anterior. Para a

população inicial, o valor da função objetivo é feito pela chamada da rotina FCNR de dentro

da rotina INIT_POP. Para gerar os pontos tentativos durante o processo de otimização, a

rotina RAND_PAR é chamada pelas rotinas de busca apenas para a viabilização do aerofólio e

para a transformação ∆i → bi.

Assim, gerada a população inicial e conhecidas o melhor e o pior aerofólios, inicia-se o

processo de busca aleatória controlada pela melhoria da população até que seja atingido o

critério de parada. Exemplos de um perfil alvo e do pior e melhor perfis gerados na população

inicial são mostrados na Figuras 4.2 .

(a) (b) (c)

Figura 4.2 – (a) Perfil alvo; (b) pior perfil gerado na população inicial;

(c) melhor perfil gerado na população inicial

Note-se que, enquanto o pior perfil da população inicial está bastante distante do perfil

alvo, o melhor perfil já apresenta melhor aproximação, por efeito exclusivo de uma geração

52

aleatória. O processo de busca aleatória controlada deverá fazer todos os 180 perfis da

população convergir para o perfil alvo.

4.3.3 – Definição e Cálculo da Função Objetivo

A função objetivo para o problema de projeto inverso é definida por uma norma,

baseada na diferença entre a distribuição de velocidades ou pressões, calculada em cada

iteração e aquela requerida para o aerofólio alvo (fixada). É possível introduzir ponderações

adequadas a cada problema específico. No Capítulo 5, serão apresentados três casos de

projeto inverso, cada qual com uma definição diferente dessa norma em virtude das

características peculiares de cada caso.

O cálculo da função objetivo é feito pela chamada da rotina FCNR com os parâmetros

da parametrização direta bi (Rogalsky et al., 1999) fornecidos. Essa rotina é chamada pela

rotina INIT_POP na fase de geração da população inicial. Na geração do ponto tentativo, a

rotina FCNR é chamada pelas rotinas de busca global e/ou local, TRIAL_GLOBAL e

TRIAL_LOCAL, respectivamente.

Ao ser chamada, a rotina FCNR chama primeiramente a rotina GEOM, que realiza a

discretização do aerofólio, usando os parâmetros bi correspondentes. Em seguida, é chamada

a rotina GRADLIN para calcular as distribuições de velocidades e pressões sobre o aerofólio.

Finalmente, essas distribuições são comparadas com a distribuição alvo através do cálculo da

função objetivo desejada.

4.3.4 – Critérios de Parada

O processo iterativo é interrompido quando um de dois critérios for primeiramente

atendido: (i) o número de chamadas da função objetivo ultrapassar um número máximo

especificado ou (ii) a diferença entre os valores da função objetivo do pior e do melhor

aerofólio da população corrente ficar abaixo da tolerância pré-estabelecida: fh− fl < ε.

Um fluxograma do programa apresenta-se no Apêndice A

53

Capítulo 5

APRESENTAÇÃO DOS CASOS ESTUDADOS


Com o intuito de avaliar a aplicabilidade dos algoritmos de Busca Aleatória Controlada

(CRS) no projeto inverso de grades de turbomáquinas, são apresentados neste capítulo três

casos de estudo. No primeiro caso, tem-se por objetivo testar a capacidade dos algoritmos

CRS de recuperar um perfil aerodinâmico cuja geometria é representada com exatidão pela

parametrização geométrica descrita no Capítulo 3. No segundo caso, busca-se reproduzir uma

situação de projeto inverso tratada na literatura através de outro algoritmo de otimização

(Rogalsky et al., 1999). No terceiro caso, testa-se a capacidade dos algoritmos CRS de

recuperar um perfil de uma grade real, partindo de dados experimentais da distribuição de

pressões no contorno. Nesse último caso, é feita uma comparação entre os perfis obtidos

através de cálculos com escoamento puramente potencial e com o ajuste de Gostelow

(conforme descrito no Capítulo 2).

Em todos os casos, três diferentes algoritmos CRS são comparados: (i) uma versão do

algoritmo CRS6 de Ali et al. (1997a), sem busca local baseada em distribuição β de

probabilidades, aqui denominado CRSI; (ii) o próprio algoritmo CRS6, que inclui a busca

local, aqui denominado CRS6-BV; (iii) o algoritmo CRS baseado em reflexão, proposto no

trabalho de Manzanares Filho et al. (2005), denominado CRS-VBR .

54

5.2 – INFORMAÇÕES GERAIS

Antes de apresentar os resultados dos casos de teste, é conveniente abordar alguns

aspectos e registrar o uso de alguns parâmetros, comuns a todos os casos. Aspectos e/ou

parâmetros particulares de cada caso serão abordados oportunamente.

• Geradores de números aleatórios

Dois geradores de números aleatórios são utilizados no presente trabalho. Um deles

utiliza uma distribuição uniforme de probabilidades, e é utilizado na geração da população

inicial e nas buscas globais de pontos tentativos. Para esse gerador, a definição da semente e a

geração propriamente dita são executadas, respectivamente, através das rotinas SRAND e

RAND da biblioteca PORTLIB, que acompanha o compilador Compaq Visual Fortran. O

outro gerador de números aleatórios utiliza uma distribuição β de probabilidades e é utilizado

apenas no processo de busca local exigido pelo algoritmo CRS6-BV. Para esse gerador, a

definição das sementes e a geração propriamente dita são executadas, respectivamente,

através das rotinas SETALL e GENBET da biblioteca RANLIB (Brown et al., 1994).

Os resultados obtidos com algoritmos de natureza aleatória, como os CRS, dependem

das sementes dos geradores de números aleatórios utilizados. A rigor, ao se aplicar rotinas

computacionais baseadas nesses algoritmos, torna-se necessário efetuar repetidos testes com

diferentes sementes e analisar estatisticamente os resultados. No presente trabalho, por

questões de tempo e facilidade, decidiu-se apresentar resultados de um único teste em cada

caso, utilizando as mesmas sementes em todos os casos. Assim, para cada caso e cada versão

do CRS, o código computacional é executado uma única vez, sendo a rotina SRAND chamada

com a semente igual a 123456 e a rotina SETALL chamada com as sementes iguais a 1.

Esses valores são arbitrários, mas foram considerados adequados para os casos a serem

apresentados no próximo item.

• Tamanho da população de aerofólios

Conforme descrito no item 4.3.2, a população é constituída de 180 aerofólios, sendo de

início gerada aleatoriamente.

55

• Número de painéis

O número e a distribuição de painéis no contorno do aerofólio exercem influência

significativa na qualidade dos cálculos efetuados pela rotina GRADLIN. É importante que o

número de painéis seja suficiente para descrever os detalhes geométricos do perfil alvo (i.e, o

perfil que deve melhor atender à distribuição de pressões ou velocidades requerida no projeto

inverso). Por outro lado, como a rotina GRADLIN deve ser chamada milhares de vezes

durante o processo de busca, é importante utilizar um número de painéis que não seja

excessivo, tendo em vista o custo computacional. Nos casos a serem apresentados, resultados

satisfatórios foram obtidos com uma distribuição que concentra mais painéis nas regiões dos

bordos de ataque e de fuga do perfil. O tamanho dos painéis aumenta em progressão

geométrica desde aos bordos até as regiões correspondentes ao máximo arqueamento do

perfil. Para os casos apresentados, considerou-se satisfatório utilizar 88 painéis (44 no

intradorso e 44 no extradorso) com um fator de progressão igual a 1,10.

• Intervalos das variáveis de projeto

As variáveis de projeto correspondem aos intervalos ∆i , i = 1,..., 17, entre as abscissas e

ordenadas da parametrização baseada nas quatro curvas de Bezier (duas para a linha de

arqueamento e duas para a linha de espessura), conforme discutido no Capítulo 3. Lembre-se

que as 15 coordenadas bi dos pontos de controle daquelas curvas são recuperadas

recursivamente a partir dos 17 intervalos ∆i (Tabela 3.4). Para a aplicação dos algoritmos

CRS, é necessário especificar os limites inferiores e superiores dessas variáveis de projeto,

∆iL e ∆i

U, respectivamente. A seguir, estão listados os valores desses limites, utilizados em

todos os casos de teste:

∆1 L = 0,005; ∆1

U = 0,400;

∆2 L = 0,025; ∆2

U = 0,500;

∆3 L = 0,050; ∆3

U = 0,700;

∆4 L = 0,050; ∆4

U = 0,700;

∆5 L = 0,025; ∆5

U = 0,600;

∆6 L = 0,005; ∆6

U = 0,500;

56

∆7 L = 0,005; ∆7

U = 0,400;

∆8 L = 0,005; ∆8

U = 0,500;

∆9 L = 0,005; ∆9

U = 0,700;

∆10L = 0,005; ∆10

U = 0,600;

∆11L = 0,005; ∆11

U = 0,500;

∆12L = 0,001; ∆12

U = 0,150;

∆13L = 0,001; ∆13

U = 0,100;

∆14L = 0,001; ∆14

U = 0,250;

∆15L = 0,001; ∆15

U = 0,050;

∆16L = 0,001; ∆16

U = 0,050;

∆17L = 0,001; ∆17

U = 0,050.

É importante observar que, para a busca dos intervalos ∆i das abscissas (i = 1 até 11), os

valores absolutos dos limites não são relevantes, uma vez que aqueles intervalos serão

normalizados durante o processo de busca. O que importa nesse caso é a distribuição relativa

dos limites. Já os valores individuais dos intervalos das ordenadas (i = 12 até 17) são

relevantes, pois estão relacionados aos valores máximos de arqueamento e espessura. Os

limites apresentados acima podem ser considerados satisfatórios para o projeto de uma vasta

gama de perfis aerodinâmicos com, no máximo, 25% de arqueamento ⎯ (∆12U +∆13

U = 0,25 )

⎯ e 20% de espessura ⎯ 2(∆15U +∆16

U ) = 0,20.

• Avaliação da função objetivo e chamada da rotina GRADLIN

A função objetivo a ser minimizada pelos algoritmos CRS será definida como uma

norma (medida) da diferença entre a distribuição de velocidades ou pressões requerida para o

perfil alvo e aquela calculada iterativamente durante o processo de minimização. Cada

avaliação da função objetivo, portanto, necessita de uma chamada prévia da rotina GRADLIN

para cálculo do escoamento na grade em questão. Desse modo, o número de avaliações da

função objetivo é igual ao número de chamadas da rotina GRADLIN. Note-se que o número

57

mínimo de chamadas é 180, que é o tamanho da população, obrigatoriamente avaliada por

completo no início do processo de busca.

Para cada caso a ser apresentado, será empregada uma definição diferente da função

objetivo, conforme ficará claro mais adiante.

• Critério de parada

O número máximo de chamada da função objetivo igual a 20.000 foi fixado como

critério de parada em todos os casos estudados. Do ponto de vista de aplicações reais de

projeto, é possível obter resultados satisfatórios com um número de chamadas bem inferior a

20.000 (tipicamente, de 1.000 a 5.000). Todavia, para se comparar o comportamento da

convergência dos diversos algoritmos CRS, julgou-se conveniente fixar esse número

relativamente alto nos testes.

O código computacional admite ainda outro critério de parada, já mencionado no item

4.3.4. Consiste em interromper o processo de busca quando a diferença entre os valores da

função objetivo do pior (f H) e do melhor aerofólio (f L) da população corrente ficar abaixo de

uma tolerância pré-estabelecida:

ε<− LH ff (5.1)

Nos casos a serem apresentados, esta tolerância foi fixada em 10–15, valor que jamais

pôde ser atingido com um número de chamadas da função objetivo inferior a 20.000. Desse

modo, o processo de busca sempre se prolongou o suficiente para se efetuar a comparação

entre os algoritmos CRS do ponto de vista de convergência.

5.3 – 1º CASO: PERFIL ALVO DESCRITO EXATAMENTE PELA PARAMETRIZAÇÃO

O objetivo do primeiro caso é testar a capacidade dos algoritmos CRS de recuperar um

perfil aerodinâmico cuja geometria é representada com exatidão pela parametrização

geométrica descrita no Capítulo 3. Em geral, quando se fornece uma distribuição arbitrária de

pressões ou velocidades, o perfil alvo é obviamente desconhecido e a geometria determinada

58

pelo método inverso provavelmente será aproximada, de modo que a função objetivo

raramente tenderá a zero. Além disso, o valor limite obtido para a função objetivo também é

desconhecido, sabendo-se apenas que é desejável obter o menor valor possível. Esse tipo de

imprecisão decorre das limitações de toda e qualquer parametrização com um número finito e

fixo de parâmetros de projeto.

Para efeitos de teste, contudo, sempre é possível gerar um perfil descrito com exatidão

pela parametrização adotada e utilizá-lo como alvo. Isso foi feito no presente caso, utilizando

diretamente o conjunto de parâmetros bi, i =1,..., 15, mostrado na Tabela 5.1. O perfil alvo,

nesse caso, se assemelha a um perfil NACA 65-1210 (mas não é idêntico).

Tabela 5.1 – Valores (bj) para geração do perfil alvo do 1º Caso

b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 B12 b13 b14

0,05 0,204 0,3 0,6618 0,5 0,7 0,95 0,204 0,03 0,2 0,05 0,4 0,6 0,9 0,007

Os parâmetros geométricos e cinemáticos de uma grade hipotética também foram

arbitrados nesse caso: ângulo de montagem β = 20º, razão de solidez l /t = 1 e ângulo do

escoamento a montante β1 = 45º. O perfil alvo é discretizado em painéis e a grade é

submetida à rotina GRADLIN para cálculo direto do escoamento potencial, usando os mesmos

procedimentos empregados no modo inverso. A distribuição de velocidades potencial assim

obtida é então fornecida como uma distribuição requerida para o perfil alvo a ser recuperado

pelo método inverso.

A função objetivo f escolhida para o presente caso é apresentada na equação 5.2.

( ) ( )2/1

1,

2,,

2,, ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆−∆+−= ∑

=

Pn

jjreqjcjreqpjcjreq sssnvvf (5.2)

onde vreq,j representa a velocidade requerida no ponto de controle do painel j, vc,j a velocidade

correspondente calculada para um certo perfil inicial ou tentativo, ∆sreq,j o comprimento do

painel j para o perfil alvo, ∆sc,j o comprimento do painel j do perfil tentativo; Np representa o

número de painéis (88, no caso). Note-se que a inclusão das diferenças dos comprimentos dos

painéis em (5.2) auxilia no processo de convergência dos algoritmos, mas não pode ser

empregada nos casos gerais em que obviamente o perfil alvo é desconhecido. Note-se também

59

que, por construção, o mínimo global da função (5.2) é nulo. Logo, tem-se nesse caso uma

medida absoluta da qualidade da convergência de cada algoritmo a ser testado.

Perfil Alvo

Pior aerofólio inicial

Melhor aerofólio inicial

Figura 5.1 – Caso 1: Perfil alvo, pior e melhor aerofólios da população inicial

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Log(

10) d

a fu

nção

obj

etiv

o

Número de avaliações da função em milhares

CRSICRS6-BV

CRS6-VBR

Figura 5.2 – Caso 1: Evolução do processo de convergência dos algoritmos CRS

A Fig. 5.1 mostra os formatos do perfil alvo e do pior (maior função objetivo) e melhor

(menor função objetivo) aerofólios da população inicial. Verifica-se que, de início, mesmo o

60

melhor aerofólio ainda se encontra distante do perfil alvo, o que prenuncia um trabalho

intenso a ser realizado pelos algoritmos CRS a fim de se obter um aerofólio minimamente

razoável.

A Fig. 5.2 mostra a evolução do processo de convergência dos algoritmos CRS. Após

20.000 avaliações da função objetivo, o algoritmo CRS-VBR atingiu um valor em torno de

10−8, cinco ordens de magnitude abaixo dos valores atingidos pelos outros algoritmos. Esses

últimos valores já são atingidos pelo CRS-VBR em menos de 3.500 avaliações.

A Fig 5.3 mostra o formato final dos melhores aerofólios obtidos pelos algoritmos

CRS6-BV e CRS-VBR, em comparação com o perfil alvo. A escala das ordenadas foi

ampliada sobremaneira de modo a facilitar a visualização. Observa-se que os formatos são

praticamente indistinguíveis nessa figura. Isso indica que, nesse caso, apesar do algoritmo

CRS-VBR ter se mostrado nitidamente superior, a convergência dos demais algoritmos é

satisfatória do ponto de vista aplicado. Todavia, convém salientar que os resultados desses

algoritmos podem ser obtidos pelo CRS-VBR com muito menos avaliações da função

objetivo.

AlvoCRS6-BVCRS-VBR

Figura 5.3 – Caso 1: Comparação entre aerofólios resultantes e o perfil alvo

A Fig. 5.4 mostra a distribuição de pressões final dos melhores aerofólios obtidos pelos

algoritmos CRS6-BV e CRS-VBR, em comparação com aquela do perfil alvo

(correspondente à distribuição de velocidades requerida). Verifica-se que o mesmo que foi

61

dito em relação aos formatos da Fig. 5.3 se aplica às distribuições de pressões

correspondentes.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Coe

ficie

nte

de P

ress

ão C

p1

Abscissa do Aerofólio

Melhor perfil obtido - (CRS6-BV)Melhor perfil obtido - (CRS-VBR)Perfil alvo

Figura 5.4 – Caso 1: Distribuições de pressões para aerofólios resultantes e perfil alvo

Tabela 5.2 – Caso 1: Comparação das normas geométricas dos melhores aerofólios finais

Tipo de Busca Norma Geométrica

CRS-VBR 1,7526 x 10-8

CRS6-BV 5,9688 x 10-3

CRSI 2,6763 x 10-2

A Tabela 5.2 mostra os resultados obtidos para as normas geométricas com os melhores

aerofólios após 20.000 avaliações da função objetivo. A norma geométrica foi definida como

a norma L2 da distância entre o perfil calculado e o perfil alvo (calculada com base nos

pontos extremos dos painéis). Note-se que essa norma não pode ser calculada nos casos

gerais, em que o perfil alvo é desconhecido. Observa-se um excelente resultado na

recuperação do perfil com o algoritmo CRS-VBR, amplamente superior aos dos demais

algoritmos.

62

5.4 – 2º CASO: EXEMPLO DA LITERATURA

No segundo caso, busca-se reproduzir uma situação de projeto inverso de grades

lineares tratada na literatura através de outro algoritmo de otimização conhecido como

Evolução Diferencial (Rogalsky et al., 1999). O objetivo dos autores é obter não só o formato

do perfil mas também o espaçamento de grade e o ângulo de montagem que melhor se

adaptem a uma distribuição de pressões requerida. Essa distribuição é estipulada com base no

procedimento de Liebeck (1973) para obtenção de perfis isolados de alta sustentação.

Rogalsky et al. (1999) utilizam um método de painéis semelhante ao implementado na rotina

GRADLIN e a parametrização de Venkataraman (1995). Na realidade, o trabalho de Rogalsky

et al. (1999) serviu de referência básica para o desenvolvimento desta dissertação e julgou-se

conveniente avaliar a capacidade dos algoritmos CRS em reproduzir o caso tratado por

aqueles autores. Além disso, os perfis obtidos pelas distribuições de Liebeck (1973) são bem

diferentes daqueles usualmente utilizados em ventiladores (série NACA 65, p.ex.) e seria

conveniente explorar essa diversidade.

Dados da distribuição de pressões requerida foram obtidos diretamente dos gráficos de

Rogalsky et al. (1997) através de um software de digitalização. Foram colhidos 63 pontos da

distribuição. Como o número de painéis utilizado é 88, foi aplicada uma rotina de

interpolação spline cúbica àqueles pontos, tornando possível o cálculo dos valores requeridos

do coeficiente de pressão nos pontos de controle dos painéis de cada ponto tentativo, durante

o processo de busca. Isso é necessário para se calcular a função objetivo que, nesse caso, é

definida do mesmo modo que Rogalsky et al. (1999), Eq. (5.3):

( )2/1

1

2,1,1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

=

pn

jjcpjreqp CCf (5.3)

onde Cp1req,j e Cp1c,j representam, respectivamente, os coeficientes de pressão requerido e

calculado no ponto de controle j.

No presente trabalho, os parâmetros geométricos da grade otimizada por Rogalsky et

al. (1999) foram fixados: ângulo de montagem β = 4,74º, razão de solidez l /t = 0,8453; o

ângulo do escoamento na entrada é β1 = 30º. Desse modo, apenas os parâmetros geométricos

do perfil são tratados como variáveis de projeto.

63

Perfil de Referência



Figura 5.5 – Caso 2: Perfil de referência, pior e melhor aerofólios da população inicial

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Funç

ão o

bjet

ivo


CRSICRS6-BV

CRS6-VBR


A Fig. 5.5 mostra os formatos do perfil de referência e do pior (maior função objetivo) e

melhor (menor função objetivo) aerofólios da população inicial. É importante destacar que o

perfil de referência não é o perfil alvo nesse caso, mas apenas um esboço do perfil obtido por

Rogalsky et al. (1999), traçado com pontos colhidos pelo software de digitalização. Note-se

64

que o perfil de referência se assemelha realmente aos perfis de Liebeck (1973), pouco usuais

em projetos de ventiladores e compressores. Note-se também que o melhor aerofólio inicial se

aproxima do perfil de referência mais em termos de arqueamento do que de espessura.

Convém mencionar ainda que os aerofólios da população inicial são os mesmos em todos os

casos apresentados neste trabalho. Entretanto, a definição do melhor e do pior aerofólio de

cada caso depende da distribuição de pressões requerida e do cálculo da função objetivo.

A Fig. 5.6 mostra a evolução do processo de convergência dos algoritmos CRS. Nesse

caso, novamente, o algoritmo CRS-VBR demonstrou superioridade sobre os demais

algoritmos. Após 20.000 avaliações, os valores da função objetivo atingidos pelos algoritmos

CRS6–BV, CRSI e CRS-VBR foram, respectivamente, 0,5470, 0,5358 e 0,4501. De fato, uma

convergência com três algarismos significativos já é atingida após 10.000 avaliações pelos

CRS6–BV e CRSI e após 8.000 pelo CRS-VBR. Esse último já atinge valores satisfatórios

com menos de 2.000 avaliações. Note-se que, neste caso, o algoritmo CRSI foi ligeiramente

superior ao CRS6–BV, o que mostra que o uso de buscas locais nem sempre é benéfico.

CRSICRS-VBR

Figura 5.7 – Caso 2: Comparação entre aerofólios resultantes

A Fig 5.7 mostra o formato final dos melhores aerofólios obtidos pelos algoritmos CRSI

e CRS-VBR.. O esboço do perfil de referência foi omitido a fim de manter o foco na

comparação entre os algoritmos. Nesse caso, é sensível a diferença na geometria dos

aerofólios resultantes, o que mostra que o algoritmo de busca pode ter um papel importante

nas metodologias de projeto inverso. Naturalmente, os resultados do CRS-VBR são superiores

65

e deveriam ser eleitos no caso de uma aplicação real de projeto. Essa conclusão pode ser

confirmada pela Fig. 5.8, onde se mostra que a distribuição de pressões do melhor aerofólio

obtido pelo CRS-VBR é nitidamente mais próxima da distribuição requerida para o perfil alvo

do que aquela correspondente ao CRSI.

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Coe

ficie

nte

de P

ress

ão C

p1


Melhor perfil obtido - (CRSI)Melhor perfil obtido - (CRS-VBR)Perfil alvo

Figura 5.8 – Caso 2: Distribuições de pressões para aerofólios resultantes e perfil alvo

Rogalsky et al. (1999) não apresentam a evolução da convergência de seus resultados,

mas reportam um valor de 0,62 para a função objetivo ao final do processo. Esse valor é pior

que os obtidos por todos os algoritmos CRS neste trabalho. Contudo, essa comparação deve

ser vista com ressalvas, pois existem diferenças metodológicas e de discretização entre os

trabalhos. Quanto ao número de avaliações da função objetivo, Rogalsky et al. (1999)

indicam apenas que o algoritmo de evolução diferencial requer, em geral, de 50.000 a 100.000

avaliações para obter uma população de aerofólios com ε = f h – f

l < 10−5. No presente caso,

após 20.000 avaliações da função objetivo, o algoritmo CRS-VBR obteve uma população de

aerofólios com ε = f h – f

l = 2,48×10−6.

66

5.5 – 3º CASO: DADOS EXPERIMENTAIS PARA A DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES DO PERFIL ALVO

No terceiro caso, testa-se a capacidade dos algoritmos CRS de recuperar um perfil de

uma grade real, partindo de dados experimentais da distribuição de pressões no contorno. É

feita também uma comparação entre os perfis obtidos através de cálculos com escoamento

puramente potencial e com o ajuste de Gostelow (conforme descrito no Capítulo 2).

A grade em questão é constituída de perfis NACA 65-1510, com ângulo de montagem

β = 43,5º, razão de solidez l /t = 1 e ângulo do escoamento na entrada β1 = 60º (ângulo de

ataque α1 = β1 − β = 16,5º). Dados experimentais para essa grade foram obtidos por Emery

et al. (1958) ⎯ pág. 40, Fig. 57(e). Foram colhidos 30 pontos experimentais dessa figura

usando um software de digitalização. Assim como no 2º caso, foi aplicada uma interpolação

spline cúbica a esses pontos a fim de se calcular a função objetivo com valores do coeficiente

de pressão nos pontos de controle dos painéis.

Neste 3º caso, utiliza-se uma função objetivo semelhante à do 2º caso (Eq. 5.3),

efetuando-se, porém, ponderações locais com os comprimentos dos painéis calculados para o

perfil tentativo, ∆sc,j, j = 1,..., Np:

( )2/1

,1

2,1,1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−= ∑

=jc

N

jjcpjreqp sCCf

p (5.4)

As ponderações locais produziram melhoras significativas no processo de convergência,

mostrando que a definição da função objetivo é muito importante. Em geral, a definição dada

em (5.4) é recomendável em todos os casos.

Observação: antes de se iniciar o processo de busca, especifica-se qual o conjunto de valores

calculados dos coeficientes de pressão Cp1c,j devem ser usados na Eq. (5.4) durante todo o

processo: (a) escoamento puramente potencial ou (b) escoamento com o ajuste de Gostelow

para efeitos viscosos. As duas opções foram testadas neste caso.

A Fig. 5.9 mostra os formatos do perfil NACA 65-1510 e do pior (maior função

objetivo) e melhor (menor função objetivo) aerofólios da população inicial. Observa-se que o

melhor perfil na situação puramente potencial é diferente daquele na situação com o ajuste de

Gostelow: este último já tende a ser mais arqueado que o primeiro de modo a compensar a

67

influência dos efeitos viscosos sobre a deflexão do escoamento através da grade.

Curiosamente, o pior perfil da população é o mesmo em ambas as situações.

Referência: NACA-1510



(a)

Referência: NACA-1510



(b)

Figura 5.9 – Caso 3: Perfil NACA-1510, pior e melhor aerofólios da população inicial:

(a) escoamento puramente potencial; (b) escoamento com o ajuste de Gostelow

68

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Funç

ão o

bjet

ivo


CRSICRS6-BV

CRS6-VBR

(a)

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Funç

ão o

bjet

ivo


CRSICRS6-BV

CRS6-VBR

(b)



69

A Fig. 5.10 mostra a evolução do processo de convergência dos algoritmos CRS.

Novamente, o algoritmo CRS-VBR demonstra superioridade sobre os demais. Para todos os

algoritmos, o ajuste de Gostelow permitiu obter uma redução nos valores finais da função

objetivo em relação à situação puramente potencial. Os valores finais para os algoritmos

CRSI, CRS6-BV e CRS6-VBR são, respectivamente: (a) 0,089582, 0,087818, 0,083827, para

escoamento puramente potencial; (b) 0,072339, 0,071487, 0,070184, para escoamento com o

ajuste de Gostelow.

NACA-1510CRS6-BVCRS-VBR

(a)

NACA-1510CRS6-BVCRS-VBR

(b)

Figura 5.11 – Caso 3: Comparação entre aerofólios resultantes e o perfil NACA-1510


70

A Fig 5.11 mostra o formato final dos melhores aerofólios obtidos pelos algoritmos

CRS6-BV e CRS-VBR, em comparação com o perfil NACA 65-1510. Note-se que o

escoamento com o ajuste de Gostelow produz aerofólios mais arqueados que o escoamento

potencial, confirmando a tendência anunciada já na população inicial. O escoamento potencial

subestima o arqueamento em relação ao perfil NACA 65-1510. Por outro lado, a introdução

do ajuste de Gostelow acaba por superestimar o arqueamento, o que parece indicar que os

efeitos viscosos também estariam sendo superestimados pelo ajuste, neste caso. Essa

observação não corresponde a uma tendência geral, pois o ajuste de Gostelow pode tanto

superestimar como subestimar os efeitos viscosos, dependendo do caso. O importante aqui é

mostrar que os efeitos viscosos são de extrema importância para os métodos inversos e que a

presente metodologia parece capaz de tratá-los satisfatoriamente, desde que se utilize um

método de cálculo de escoamento suficientemente representativo daqueles efeitos.

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Coe

ficie

nte

de P

ress

ão C

p1


Melhor perfil - escoamento potencialMelhor perfil - ajuste de GostelowDados experimentais

Figura 5.12 – Caso 3: Distribuições de pressões para aerofólios resultantes e experimental

A Fig. 5.12 mostra a distribuição de pressões final dos melhores aerofólios obtidos pelo

algoritmo CRS-VBR, em comparação a distribuição experimental. Observa-se que o ajuste de

Gostelow realmente produz uma distribuição de pressões mais próxima dos dados

experimentais que o escoamento puramente potencial, confirmando as expectativas.

71

Capítulo 6

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Neste capítulo final, são apresentadas conclusões e sugestões para trabalhos futuros

relacionados aos assuntos abordados nesta dissertação.

6.1 – CONCLUSÕES

No presente trabalho foi descrita uma metodologia para projeto inverso de aerofólios em

grades de turbomáquinas, utilizando algoritmos de otimização global baseados em busca

aleatória controlada (algoritmos CRS). A motivação principal no uso desses algoritmos está

na sua relativa facilidade de implementação e no uso direto dos valores da função apenas, sem

necessidade de se calcularem derivadas. Além disso, os algoritmos CRS têm sido pouco

explorados na solução de problemas inversos, em comparação com outros algoritmos

populacionais.

Uma nova versão do CRS foi apresentada neste trabalho (CRS-VBR). Essa versão é

baseada em uma busca por coordenadas e introduz uma reflexão baseada na variabilidade da

função objetivo em torno do melhor ponto em cada iteração. Trata-se de uma modificação de

72

outros algoritmos CRS disponíveis na literatura (Ali et al., 1997a), e foi feita com o intuito de

balancear automaticamente as buscas locais e globais ao longo do processo de otimização.

A aplicação do CRS-VBR em problemas de projeto inverso de aerofólios em alguns

casos de teste produziu resultados promissores em comparação com outras versões do CRS.

Apesar disso, o número necessário de iterações para uma boa convergência pode ser

considerado alto em relação aos algoritmos de busca local. Além disso, não foram feitas ainda

comparações com outros algoritmos distintos dos CRS.

A parametrização geométrica utilizada nesse trabalho coincide, a rigor, com aquela

proposta por Venkataraman (1995) e modificada por Rogalsky et al. (1999), baseada em arcos

Bezier para a descrição das linhas de arqueamento e espessura. Todavia, ao invés de se

utilizar diretamente as coordenadas paramétricas dos pontos de controle, optou-se por utilizar

os intervalos entre essas coordenadas como variáveis de projeto. Com isso, tornou-se

desnecessário a aplicação de restrições para garantir a consistência geométrica da

parametrização, garantindo-se ainda a geração de perfis viáveis durante todo o processo de

otimização. Por outro lado, fica em aberto a questão sobre a real superioridade desse

procedimento em relação ao procedimento original.

Outro aspecto importante verificado nos testes é a importância que a definição da

função objetivo tem para o processo de convergência dos algoritmos de busca. Verificou-se

que a introdução de ponderações locais com medidas de comprimento dos painéis produz

melhorias no processo de convergência ⎯ embora esse aspecto não tenha sido analisado em

profundidade nesta dissertação.

O uso de um modelo de escoamento potencial (rotina GRADLIN), com opção do ajuste

de Gostelow para os efeitos viscosos, foi feito por questões de rapidez computacional. Os

algoritmos CRS exigem milhares de chamadas da rotina de cálculo do escoamento e o modelo

potencial leva frações de segundo para um cálculo completo. Assim, uma busca completa com

20.000 chamadas da rotina GRADLIN leva em torno de apenas 10 minutos em um

computador Pentium III de 1 GHz (usando o compilador Compaq Visual Fortran 6.x, em

plataforma Windows). No 3º caso de teste apresentado no Capítulo 5, verificou-se que a

metodologia é adequada para o tratamento dos efeitos viscosos pelo ajuste de Gostelow e,

provavelmente, deverá se adaptar bem a outras rotinas de cálculo mais complexas e

representativas daqueles efeitos. Todavia, essas rotinas costumam apresentar custos

computacionais bem mais elevados, podendo levar minutos ou horas para executar um único

73

cálculo completo de escoamento. Desse modo, torna-se necessário introduzir mecanismos de

aceleração dos algoritmos CRS de modo a torná-los viáveis em aplicações mais complexas de

projeto inverso.

6.2 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Apresentam-se como sugestões para trabalhos futuros os seguintes tópicos:

1) Realizar estudos estatísticos sobre o comportamento dos algoritmos CRS em geral e

aplicados a problemas de projeto inverso de aerofólios em particular.

2) Comparar os algoritmos CRS com outros algoritmos de busca direta, como os

algoritmos genéticos e evolutivos.

3) Realizar estudos comparativos sistemáticos sobre técnicas de parametrização

geométrica de aerofólios e sobre definições de funções objetivo adequadas ao projeto

inverso de aerofólios.

4) Aplicar metodologias de projeto inverso com rotinas de cálculo de escoamentos

viscosos baseados em técnicas de interação viscosa-não viscosa ou no emprego das

equações de Navier-Stokes completas.

5) Estudar mecanismos de aceleração dos algoritmos CRS e de outros algoritmos, visando

reduzir o número de avaliações da função objetivo, principalmente tendo em vista

aplicações mais complexas com aquelas sugeridas no item 4.

6) Implementar sub-programas para realizar a paralelização e distribuição de cálculos,

visando acelerar os códigos de otimização.

75

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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APÊNDICE A - FLUXOGRAMA

Principal (MAIN )

- Controla a chamada das demais sub-rotinas. - Efetua a leitura dos dados de entrada na sub-rotina INPUT_PAR. - Define a distribuição alvo e o perfil de referência. - Define as sementes de geradores de números aleatórios (SEED / SRAND/SETALL). - Define os intervalos de projeto para a viabilização dos aerofólios.

- Determina a população inicial. - Viabiliza os aerofólios candidatos - Calcula e armazena os aerofólios - Calcula a escoamento e o valor da função, armazenando em vetores.

Chama as sub-rotinas: - GEOM - GRADLIN - RAND_PAR - FCN

- Realiza a melhoria da população na busca por mínimo global - Os perfis são sempre viabilizados. - Há opção para reflexão na versão CRS_VBR - Há opção de busca local na versão CRS6_BV com a chamada da sub-rotina TRIAL_LOCAL. - Se o ponto tentativo melhorar a população, haverá a eliminação do pior sem a contração da população. - Verifica o critério de parada a cada tentativa com sucesso.

Critério de parada ou número máximo

de iterações é atingido?

Sim

Não

População Inicial INIT_POP

Busca Global (TRIAL_GLOBAL)

Fim

Carlos Alberto Amaral Moino

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