Carl B. Boyer_Topicos.de.historia.da.matematica.Calculo

5/10/2018 Carl B. Boyer_Topicos.de.historia.da.matematica.Calculo

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CARL B. BOYER

Este livro integra a serieT6picos deHISTORIA DA MA TEMA TICApara uso em sala de aula

"Topicos deHISTORIA DA MATEMATICA

para uso em sala de aulaVOLUMES PUBLICADOS:Nurneros e numeraisCornputacaoGeometriaAlgebraTrigonometriaCalculo

CALCULO

Traducao de Hygino H. Domingues


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N a ti on al C o un ci l o f T e ac he rs o f M a th em a ti cs 119691IObra publ i cada em 1 v o lu m e , T i tu lo or igina l :H i st or ic al T o pi cs f or the Ma t he m at ic s C l as s ro om l

CojlJr ight Jes t . tdif;w:AruAL EOITORA LTDA., S ao P au lo . 1993.T odes cs di re iros re s e rvados .

D ad os d e C al a[ o~ ao n a P ub 6c lM ;~ o I nt er na ci on al (CiP)( Ca ma ra B ra si le ira d o U ,'r o, S P. B ra si Ii

B oy er. C ar l B en ja mi n. 1 90 6C al c u lo I C a rl B. B oy er: t ra d, H y g i no H . D om in -

g ues. - S iio Paulo : A t ual, 1992. - (T opieos de his-to ria da m atern a t iea pa ra u sa e m sala de a ula : v , 6 1

Bibliogra f ia .I S BN 8 5 -7 0 56 47 5 -91. C al cu lo . H is to ria 2 . M ate ma tica (2 ~ g rau j

1 M a t ern at ica - H i sto ria [. Ti to 10 . I I . S e ri e ,

922430 CDD510.9nd ices para catilogo sis tematico:":J:.-~""-''''''. M a te rn at ic a : H i st 6r ia 5 1 0. 9

serie: T6p~ d eH I Sl Or ia d a M a te m >u ic ap ara u so e m s ala de aula

CALCULO

Eduor : B a rb ar a F er re ir a A re naCoordenadoro editorio/: S an dr a L uc ia A b ra noAssistente ediloria/: M ar ia d e L ou rd es C ha ve s F err ei raC h ef e d e p re pa ra ~t lo d e t ex to e f ev is 4o ; Not G. RibeiroC h ef e d e a rt e: Zildo BrazGereme de produQ:. An to n io C a be l lo Q. FilhoColabomdores: H y gi no H . D o mi ng u es I tr ad ul ;i oj

MORicI Stabe l (rev isllo da t r ad uc a o lCapo : S yl vi a d e U lh &; C in tr a F il hoC o m p os i~ i io e " f ie -f i na l : K.L.N.Fotolao: BinhoslF otosetATUAL EDiTORA LTDA.R ua J ose A n l 6n i o C o e lh o , 78 5

04{) I 1 - {) 6 2 - s a o Pau lo - SPTel: (OIl) 575-1544ISBN 8P05&475-9

Apresentacao

Nos ultimos anos, vern senotando nos meios matematicos preocupa-dos com 0 ensino urn certo empenho em valorizar a hist6ria da matemati-ca como recurso didatico. ru manifestacoes nesse sentido sao diversas,culminando com a inclusao de uma disciplina especifica sobre 0 assuntonos curriculos de varies cursos de licenciatura em maternatica,Essa tendencia nos parece sobremaneira auspiciosa, sendo de lamen-~ apenas nao ter ocorrido bern antes. A matematica desde os seus pri-m6rdios entrelaca-se tao intimamente com a hist6ria da civilizacao, sendomesmo uma das alavancas principals do progresso humano, que sua hist6-ria e nao s6 aItamente motivadora em termos de ensino como tambemmuito rica em aspectos culturais.Sendo, indubitavelmente, a limitacao bibliografica urn dos fatores aobstarem um aproveitamento maior da hist6ria da matematica no ensino,acreditamos que a publicacao do presente texto, pelas suas virtudes e espe-cificidades, vern em boa hora.Trata-se do capitulo sobre 0 calculo, do livro Historical Topics forthe Mathematics Classroom, do respeitavel National Council of Teachersof Mathematics (NCTC) dos Estados Unidos, escrito para "auxiliar 0ensi-no de matematica a partir de uma perspectiva hist6rica". Ou seja, a histo-ria da matematica nessa obra nao se constitui apenas em informacao auerudicao, mas tambem emmaterial didatico a ser usado, direta ou indireta-mente, na sala de aula, Outras proposicoes que nortearam 0NCTM quan-to a essa obra foram: a) a nao-exigencia de pre-requisi tes especif icos porparte do leitor; b) a possibilidade de servir de motivacao para professorese alunos com vistas a estudos correlatos; c) servir de referencia para cur-sos superiores relativos a historia ou ao ensino da matematica; d) atendera todos os niveis escolares.o texto consta de duas partes. A primeira e uma visdo geral cujo ob-jetivo e dar ao leitor um quadro tao amplo quanto possivel do desenvolvi-mento historico do calculo; a segunda e formada de capsulas que poemem relevo detalhes e epis6dios importantes da hist6ria do calculo. Embo-ra possam ser lidas independentemente, essas capsulas servem de comple-mentacao a visao geral que as precede.Da mesma obra da NCTM, a Atual Editora ja publicou cinco fascicu-los abrangendo os cinco capitulos da matematica elementar. 0 presentevolume e , de uma certa forma, uma coroacao do empreendimento ante-rior, pois 0calculo, embora entre n6s nao figure habitualmente no curricu-

LOLUENNOS PEDIDOS TEU~GRAFiCOS BASTA C1TAR a C6DIGO ADRM5216F


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10 de matematica do segundo grau, e (em parte talvez por isso mesmo) agrande enfase da primeira serie dos cursos universi tarios da area de cien-cias exatas. Isso sem falar que as questoes de que surgiu se inserem nosprim6rdios da historia da matematica e se apresentam freqiientemente nosniveiselementares de ensino desde muito cedo (areas e volumes, por exemplo).Voltando as consideracoes iniciais, acreditamos que 0 presente texto,na sintese agradavel de sua visao geral enos detalhes envolventes de suascapsulas, aliando leveza de linguagem a rigor, podera contribuir significa-\tivamente, corn os volumes anteriormente publicados, para consolidar 0papel didatico-cultural da hist6ria da matematica no ensino.

o tradutor Sumarioln troducao: um a visao geral .. ICapsula I - A antecipaeao de A rq uim edes ao caleu lo 28Capsu la 2 - S im on S tevin 31Capsula 3 - J oh an n K ep le r 33CApsula \4 - Bo na ve n tu ra C a va li er i 35CApsula 5 - P ierre de Pennat 36CApsula 6 - John Wallis 39capsula 7 - I sa ac B a rr ow 42capsula 8 - Leibniz 44CApsula 9 - N otacao de New ton v e r s u s notacao de Leibniz 48capsula 10 - V ol um e s d e b ar ri s 51capsula 11 - D iferencas finitas 55CApsula 12 - A rq uim ede s e 0 "me todo de exaustao " 57C apsula 13 - Convergencia 59Capsula 14 - A o rig em da re gra d e L 'H os pita l 62Capsula 15 - Caku lo de variaeoes .. 67capsu la 16 - Uma selva de equacoes diferenciais 69Capsula 17 - M ac la urin , T ay lo r e suas se r ie s d i f er enc ia i s 71capsu la 18 - D e n! a funO io gam a 75capsula 19 - Derivadas parciais 77capsula 20 - lntegrais rnultiplas e j a co b ia n o s 79CApsula 21 - Calcu lo no Japao 81capsula 2 2 - In fin ite sim os n a i nd ia 83capsula 23 - A i nt eg ra l d ef in id a 86Bibl iografia citada no texto 89Indice rem issivo 91


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His t6 ria do calculolntroducao: uma visao geral

CARL B. BOYER

Os infinitivos "calcular" e "computar" tern significados semelhan-tes, relacionados com a realizaeao de processos numericos. 0 ultimoesta associado, tanto etimologicamente como no sentido corrente, comprocesses mentais. 0 primeiro, por outro lado, traz desde sua origemuma coaotacao de manipulacao nao deliberada, pois "calcular" nopassado significou "fazer contas por meio de seixos". A palavra "calcu-10 " e 0 diminutivo de ca lx , que em Jatim significa "pedra". Em medi-cina, 0 significado literal ainda se preserva, na expressao "calculos re-nais", usads-para pedras nos rins.E uma das ironias da hist6ria, entao, que 0 termo "calculo" te-nha vindo a se ligar firmemente a urn ramo da matematica que exi-ge 0mais alto grau de sutileza e sofisticacao de pensamento. A inade-quacao do termo fica clara pelo fato de que 0dominic do calculo seriaimpossivel para alguem que precisasse recorrer a seixos para proposi-tos computacionais,

Concepcoes na antigOidadeNo. sentido mais formal 0 calculo foi moldado no seculo XVII denossa era; mas as questoes das quais surgiu ja tinham sido colocadas

mais de dezessete seculos antes do comeco de nossa era. Papiros egip-cios e tabulas cuneiformes babilonicas incJuem problemas de mensura-I;io retilinea e curvilinea que perteneem ao dominio do calculo; masao tratamento pre-belenico desses problemas faltou amadurecimentomatematico em dois aspectos series: (I) nao havia distincao definidaentre resultados exatos e aqueles apenas aproxirnados, e (2) as rela-

o c O e s com a logica dedutiva nao estavam explicitamente reveladas. 0papiro Rhind, copiado pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) por volta de1650 a.c., mostra que os egipcios acharam corretarnente 0 volume1


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de um a piramide q uadra da co mo 1 /3 do vo lu me do prism a re ta ngu la rde m esm a base e m esm a altura . N ao era dada nenhum a dem onstra-c io do acerto dessa re lacao , e no nosso secu lo m ostrou -se que e im -p os siv el p ro va -la r ig oro sa m en te s em c on sid er ac oe s in fin ite sim ais - is -to e , sem 0 calculo, Se a c om pa ra ea o de c onfig ura co es retilin ea s sim -ple s req ue r ta l so fistic ac ao, n ao se de ve ria e spe ra r de ma is da m en su ra-c ao de fig ura s cu rvilin ea s no pe riodo pre-helenico, A hm es, po r e xe m-plo , considerou a area de urn clrcu lo com o sendo igual a de urn qua-dra do c ujo la do e 8/ 9 do diam etro do circu lo . E ssa aprox imacao na oe rn a, p ois e qu iv ale a a ss um ir 0 valo r 3,1 6 para n, N ao obstante , em -b or a c on ta r 0 n um ero de a lg arism os c orre to s n um a aprox imacao deci-m al de n se ja um born esporte , nao representa um a m edida confiaveldo nivel m atem atico de um a civilizacao. U rn feito m uito m aio r teriasido os eg ipcios consegu irem m ostrar que sua f6 nnu la para a area docirculo n3.o era exata , ao passo que a do vo lum e da piram ide era exata .o n ivel da m atem atica do V ale M esopo tam ico era superio r aoda m atem atica ao longo do N ilo ; a lem disso , os bab ilon ios estavamde o lhos aberto s para as duas criticas observadas ac im a com relacaoa o s e g ip c io s. 13 . no secu lo XV II a.c . o s babilon ios aplicaram sua 3 lgc -bra adm iravelm en te flex ivel a um a am pla gam a de p ro bl em a s p ra ti -c os , in clu in do m e nsu ra ca o d e fig ur as . C on he ce nd o 0 te or em a d e Pitago-,ras, acharam corre tam en te a diagonal de u rn quadrado , a te 0 equiva-len te a m eia duz ia de casas decim ais. Tom avam a area do circu lo ge-r alm en te c om o 0 triplo da area do quadrado sobre 0 ra io , m as em pe -10 m enos um a ocasiao usaram para n um a aproxim aeao m elhor, 3 118 .N em m esm o os b ab ilo nios, c on tu do , tin ha m crite rio s para de ten nin ars e e sta y am lid an do c om r es ulta do s e xa to s o u a pe na s c om a pr ox im ae oe s.T alve z a ab orda ge m do s ba bilo nios m ais prox im a do c alc ulo e ste -ja num algoritm o itera tivo que descobriram para achar a ra iz qua-drada de qualquer m im ero (rac ional), S ej a a 0 m im ero c uja ra iz q ua -drada se dese ja, e se ja a l um a prim eira aprox imaeao po r fa lta de ssar ai z. E n ta o alai (= b l) sera um a aprox imacao por excesso. A lem dom ais , s e a2 e b2 s ao a s m e dia s a ritm etic a e h ar mo nic a, r es pe ctiv am en te ,de-a l e b. ; entao a 2 e h 2 serao aproxim acoes por excesso e por fa ltam elh or es q ue hi e 01' Continuando esse processo , em que a, e hi sa oa s m e dia s a ritm etic a e h ar mo nic a, r es pe ctiv am en te , d e a.: Ie b.: I,ern-seu rn pro ce sso in fin ito q ue le va ra a a prox im ac oe s ta o pro xim as q ua ntose dese je da ra iz quadrada pre tendida . T ivessem os babilon ios qual-quer m eio de conhecer ou m ostrar que 0 p ro ce ss o n ao t en ni na va , de-v er ia m a go ra s er a cla ma do s c om o o s in ve nto re s d o c apitu lo d as se qu en -c ias in fin ita s, u ma da s pa rte s ba sic as do c alc ulo rn ode rn o. T oda via , ahab ilidade dos bab ilon ios em algeb ra nao tinha parale lo em preocu-2

pacoes 16g icas. D ai por que 0 credito pelos prem incios do calcu -10 cabe ao povo an tigo para 0 q ua l a a bo rd ag em lo gic a c on stitu ia -s e) n um a verda de ira paixao,

Os primeiros rnaternatlcosA dm ite -se u nive rsa lm en te q ue o s g re gos fora m os prim eiros m a-tem aticos - prim eiros no sentido de que fo ram eles que encetaramo desenvo lvim ento da m atem atica a partir de princ ipios basicos. H i-pias (c _ 42 5 a.C ), ou algum outro por vo lta de sua epoca , m ostrou que,em tennos de num eros in te iro s, nao era possive l nenhum a com para-c a o num erica exata da diagonal com 0 lado para u rn quadrado , urnpentagono regu lar, u rn cuho ou um hexagono regu lar - na verdade,para m uitas figu ras geom etricas conhecidas, Fo i um choque para acom unidade m atem atica g rega tom ar conhecim en to de que M coisascom o segm en tos de re ta incom ensuraveis e que a ocorrencia dessa si-tuacao e ejPaD tosam en te com um - isto e , q ue c on ce ito s a fin s a o cal-c ulo a pa re ce m n as m ais e lem en ta re s situ ac oe s. Os dia lo go s d e P la ta om ostra m q ue o s m ate ma tic os da e po ca fic aram pro fu ndam en te pe rtu r-b ad os c om e ss a d es co be rta .A de sc obe rta da in co me nsu ra bilida de c on fro ntou o s m atem ati-cos dire tam en te com um processo in fm ito -fS em pre que 0 algoritmoe uc lidia no p ar a a ch ar 0m ax im o diviso r co mu m de do is in teiro s e apli-cado em aritm etica , 0 processo acaba num num ero fin ito de passos,pois 0 c on jun to dos in te iros po sitivo s te rn u rn m in im o, 0 num ero 1.S e, po r ou tro lado , 0 esquem a analogo e a plic ado co m ro upa gem g eo -m etrica para achar a m aior m edida com um a dois segm en tos de re taincomensuraveis , 0 p ro c es so p ro s se g ui ra i nd e fi ni dam e nt e. _ Nao M al-g o c om o 0menor segm en to de reta - pelo m enos nao segundo a vi -sao grega ortodoxa, nem segundo os conceito s m odem os convencio -n ais . A p er spe ctiv a d e u rn p ro ce sso in fin ito p er tu rb ou o s m ate m atie os

a ntig os , p ois s e v ia m d ia nte de u ma c rise . E ra m in ca pa ze s de re plic ara os s ut is p ar ad ox os de Zenao de E leia propostos por vo lta da m esm ae po ca e m q ue se de u a de va sta do ra de sc ob erta do s in com en su ra ve is.A ris t6 te le s e o utro s fi1 6s ofo s g re go s p ro cu ra ra m r es po nd er a e ss es pa-radoxos, m as 0 fiz eram de m aneira tao pouco convincen te , que osm ate ma tic os da epoca c on clu ira m qu e e ra m elh or evita r to ta lm en teo s p ro c es so s i nf in it os .E ssa visao poderia parecer u rn im pedim en to a qualquer equ iva-lente g rego do calculo, Eud6xio , nso o bsta nte , su geriu u ma ab orda -3


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gem que aos m atem aticos pareeeu irrefutavel e que servia essencia l-m en te aos m esm os prop6 sito s de urn processo infinito. El e comeeoucom urn axiom a, m uitas vez es conhecido com o " lem a de Arqu im e-des" , q ue a pa re ce c om o Definicao 4 n o L iv ro V do s Elementos de Euclides.

Consideradas d ua s g ra nd ez as d es ig ua is , s e d a maio r subtraimosum a grandez a m aior que sua m etade, e d a qu e re sta um a g ran dez am aio r q ue s ua m eta de , e se e s te p roce ss o e repetido con t inuamen te , res-t a r a um a g r an de z a q u e s e ra m e n or q u e a m en or das grandezas consideradas,

o calcuio de E uc lid es ( de riv ad o, pr esu miv eim en te , de E ud 6x io )pode te r side m enos efetivo que 0 de N ewton e Leibniz do is milenios) m ais tarde; m as, em term os de i de i as b a s ic a s , nao e sta va m uito lo ng edo coneeito de lim ite usado rudem en te por N ewton e aprim orado nos ec ulo X IX _ 0 a lu no p rin cip ia nte q ue d ese mb ar ac ada me nte p ap ag ue iaq ue a in te gr al de x3 e x4/4 + C pode te r m ais fa cilida de n as te cn ic asdo calculo do que Euclides jam ais a lcancou , m as e b er n p os siv el q uesu a formulacao d o c o nc e it o de l im i te f iq u e aquem dos padr6es de ri-go r logico o bse rva do s pe lo a uto r de Elementos. 0 p ro p6 sito d e Eucli-des no " lem a de exaustao" (L ivro X , 1) e ra preparar 0 te rreno para am ais a ntig a co rnpara ca o verdadeira me nte rig oro sa de fig ura s cu rvili-neas e re tilineas que chegou ate n6s - a prova no L ivro XII, 2 , deque as areas dos circu los tern a m esm a re lacao proporcional que ternas areas dos quadrados sobre seus diametros.Ate aqu i destacam os a sem elhanca en tre 0 an tigo m etodo deexaustao e a formulacao m ode rna rig orosa do calculo, m as ha diferen-C a s essenciais .o an tigo e 0 moderno estao em nitido contraste com respeitoa s c ausasrO m eto do de e xa ustao fo rne ee u u ma de mo nstrac ao im pec a-vel de u rn teo rem a a cuja verdade se ch eg ara n o m axim o info rm al-m en te . A essencia de Elementos, Livro X II, 2 , por exem plo, tinha si-do ado tada pelas c ivilizacoes pre-he len icas nos vales dos rio s N ilo eT ig re-Eufra tes, bern m ais de urn m ilen io an tes da epoca de E uclides.o valo r do calculo mo de rn o, c on tu do , e sta n ao tan to em seu poderd e de senvo lve r demonstracoes rigo rosa s c om o na sua m ara vilho sa e fi-cacia p ar a r ea li za r n ov as d es co be rt as q ua nt it at iv as .

D iz -se qu e g ra nde za s te rn u rn a razao, urna para a ou tra , se,pa r multiplicacao, u ma fo r c apa z de e xc ede r a Dutra .E ud6xio com eertez a utiliz ou essa " defin icao" , que realm ente eum a suposicao, d e m a ne ir a m u it o s em e lh an te a em pr eg ad a p or E uc li de sn o L ivro X, 1 ( e a in da p os te r io rm e n te por A rq uim ed es ) pa ra p ro va ro p ro c ed im e n to basico no "metodo de exaustao", 0 equivalente gre-g o d o c alc ulo :

Essa afirmacao p od e s er g e ne r al iz a da substituindo-se " ma ior qu esua m etade" por "m aior que ou igual a sua m etade (ou seu terco ouq ua lq ue r o utr a fr ac ao p ro pria ]" .A qu i, num a fo rm a geom etrica desaje itada , esta u rn dos m ais an -tig os te or em as so bre lim ite s, pois 0 fulcro da questao e que se A e amaio r das d ua s g ra nd ez as d ad as ( po si tiv as ) a e A, e se u; = A12 n, entao

lim u; = 0 < o. o metoda de ArquimedesDeve-se no tar que, enquan to a notacao m ode rna rec orreu a o sim-b olo de in fin ito , a lin gu ag em a ntig a c uida do sa me nte e vita va q ua lq ue rre fere nc ia a berta a u rn pro ce sso infinito. A s du as fo rm ula co es, no e n-

tanto, n ao e st ao dista nte s qu an to a se u sig nifica do. P ara m ostra r q uelim u; = 0,

O s g re gos an tigo s tinh am ou tra a bo rda ge m para a inte gra ca o, q uese rvia c om o u rn e fe tivo in stru me nto pa ra a in ve nc ao , E sse in stru me ntofo i desc rito por A rqu im ede s, n um a ca rta a E rat6 ste ne s, s irnplesmen-te com o "urn certo m etoda .pelo qual lhe sera possivel dar os passosin ic ia is q ue I he p erm itir ao in ve stig ar a lg un s do s pr ob le ma s d e m ate rn a-tic a p or m eio d a m ec an ic a" , 0" certo m eto do ", q ue A rq uim edes visu a-liz ou c or re ta me nte e q ue h ab ilita ria s eu s c on te rn po ra ne os e s uc ess ore sa fazer novas descobertas, consistia num esquem a para equ ilibrar en-tre si o s "e lem en tos" de figuras geom etricas. [U rn segm en to de reta ,por exem plo, deve ser considerado com o form ado de pontos; um aa re a de s up erfic ie p la na e im ag inada com o sendo constituida de um aquantidade indefin idam en te g ran de de seg me nto s de reta pa ra le!os; e

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deve-se dem onstrar que , dado urn nume ro positivo s, m esm o quepequeno (0 e quivale nte da gra ndez a m en or a na proposicao d e E uc 1i -de s), p od e- se a eh ar u rn in te ir o N (0 equivalente da fr ase de E uc lide s" se e st e p ro ce ss o e re petido co ntin ua me nte ") tal q ue pa ra n > N va -le a re la ca o u; < .4


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u ma fig ura s 6lida e considerada c om o um a to ta lidade de e lem en tosp la no s p ar al el os . S em s ub sc re ve r n ec es sa ri am e nt e a v al id ad e d e um a ta lv is ao em m a tem at ic a, A rq ui m ed es a ch ou e ss a a bo rd ag em h eu ri st ic am e nt em uito fru tife ra . 0 pr im eiro te ore ma q ue e le de sc ob riu m edia nte a o pe -racao de e qu ilib ra r e le me nto s fo i 0 celeb re resu ltado de que a a r e ade urn seg men to de parabo la e 4/3 da area do triangu lo que tern am esm a b asee a ltu ra igual. E le ch egou a isso equ ilib rando en tre si o ss eg m en to s q ue fo rm a m 0 triangu lo com os segm en tos que fo rm am 0se gm en to pa ra b6 lic o (ve r [1 2]* pa ra a pro va ).A aplicab ilidade do m etoda sera ilu strada aqu i com a segundaproposieao do Metoda , segundo a qual a vo lu me c ia e sj er a e 4 vezeso vo lum e de um co ne com base igua l 00 ctr cu io m aio r d o e sjer a ea lt ur a i gu a i 00 ra io. ( An te ri or me nte D e m 6c rito tin ha c on he cim e ntode que 0 vo lum e de urn cone e 1 13 d o vo lum e do cilindro de m esm aaltu ra e 0 m esm o ra io .) A rq uim ede s de sc ob riu e sse te ore ma a tra ve sde urn a engenhosa condieao de equ ilib rio en tre as s e c c o e s circularesde urn a esfera e u rn cone, de u rn lado , e os e lem en tos c ircu lares deurn cilindro , de ou tro , com o m ostra a F igu ra 1.

L EFIGURA[!]

o cilindro segundo c ircu los C ], C 2 e C3, r es pe ct iv am e n te . S e jamY, = XP, Y 2 = XQ e Y 3 = XR o s r aio s d es se s tr es c ir cu lo s. A rq ui-m e de s d es co br iu q ue , im a gin an do -s e o s c ir cu lo s c om p es os p ro po rc io -nais a s s ua s a re as , c olo ca nd o- se e m H o s c ir c ul os C, e C2 , estes equili-brarao exatam en te C 3 na-posieao que ocupa no diag ram a - isto e ,com cen tro em X. (ls to po de s er ve rific ado fa cilm en te a tra ve s da g oo -m etria analitica .) D ai que, se a esfera e 0 c on e fo ss em p en du ra do sem H, equilibrariam 0 c ilin dro se e ste fo sse pe ndu ra do e m M, pontomedic d e AC. Portan to a esfera e 0 cone jun tos sao iguais a- 1/2 doc ilin dro ; o u, visto q ue 0 c ilindro e 3 vez es 0 cone, a esfe ra e igual a112do c on e AEF ou 4 vez es 0 cone ABD - is to e , e m n ossa lin gu a-g em , 0 volJ ,!!De d a esfera e 4nr 3 /3 . A esta a ltu ra , tender-se-ia a con-c lu ir q ue 0 te ore ma ja e stive sse pro va do ; c on tu do , A rq uim ede s c on si-de ro u e sse re su lta do ta o-so me nte c om o u ma c on clu sa o pla usive l a se rv er ific ad a a o fin al p el o r ig or os o m e to do d e exaus tao ,o Metodo de A rq uim edes teria u rn sign ificado m aio r no desen -vo lvim en to do calcu lo se a im prensa fosse um a invencao dos t emposan tigos e nao do R en asc im en to . E viden tem en te , nunca fo ram m uitasa s c6p ia s .-dOMetoda , e du ra nte q ua se do is m ile nio s 0 t ra ba lh o p en na -n ec eu e ss en ci al m en te d es co n he ci do . E bern provave l que nenhum de-senvo lv imen to d a hist6ria da m atem atica em nosso secu lo se igualee m r om a nc e a r ed es co be rta d o Metoda de A rq uim ede s [1 2].E im portan te no tar que M dois aspectos nas an tigas o rigens doc alc ulo in te gra l. U rn de le s, de riva do de Eudoxio, e re pre se nta do pe lorigo roso m etodo de exaustao (ilu strado na prova do teo rem a 2 , L ivroX II, do s Elementos) ; 0 o u tr o , p ro v en ie n te da 000 atomistica a s s o c i a -d a a D em ecrito , esta re lac ionado com 0 m etodo de A rqu im edes. 0prim eiro , nao m uito distan te dos conceito s do secu lo X IX , era u rnm eto do im pe ca ve l pa ra e sta be le ce r a va lida .de de u rn te ore ma . 0 u lti-m o, se ja fa ze ndo u so de in divisive is o u do s e le me nto s de dim en sio na -lida de m en or de A rq uim ede s (a sse me lh an do -se m ais a o e sta gio do c al-cu lo no secu lo X VII), fo i u rn instrum en to que le vou a d es co be rta d ec on clu so es pla usive is .. Ar qu im ede s e xplo ro u o s do is a spe cto s c om su -c esso . S eu " me to do " m ec an ic o le vo u a te ore ma s so bre a re as, vo lu me se cen tros de gravidade que tinham escapade a todos os seus predeces-so re s; m as n ao pa ro u po r a i. A v an co u m ais, de mo nstra ndo e sse s te ore -m as da m an eira tra dic io na lm en te rig oro sa pe lo m eto do de e xa usta o,'N in guem no m undo an tigo igua lou -se a A rqu im edes, quan to ain ve ne ao e a de mo nstra ca o, a o lida r c om pro ble ma s re la cio na do s aoc alc ulo . N o e nta nto , 0 teo rem a gera l m ais an tigo em calcu lo ns o sede ve a A rq uim ede s, m as a m ate ma tic os g re go s q ue v ive ra m, pro va ve l-m en te , m eia duz ia de secu les m ais tarde .

Cons ideremos HC como 0brace de um a b alanca da Qual 0pon-to m edic A e o fu lcro . S eja ABeD urn circu lo m aio r da esfera e se-ja m AEF e LEFG s e c c o e s de , urn cone circu lar re te e de urn cilindroc ir cu la r r eto , r es pe ctiv am e nte , a m bo s t en do AC com o eixo e EF c0-mo d iam e tr o da b ase . E nta o, c on side ra ndo -se u rn pla no po r u rn po n-to qualquer X, sob re AC, e st e p la no i nt er ce pt ar a 0 cone, a esfera e 0 numero destacado entre colchetes indica a capsula que trata do assunto. (N.T.)6 7


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Contribulcoes medievais

U rn do s lid ere s de ss e m ov im en to fo i N i co le O re sm e (c. 1323-1382 ) ,bispo de L isie ux. E stu dan do , por e xe mplo , a dista nc ia pe rc orrida P O Turn o bjeto e m m ovirn en to c om ve lo cida de va ria ve l, Oresme associa-va os instantes de tem po dentro do intervalo aos pon tos de urn seg -m en to de re ta ho riz onta l (cham ado " linha de long itudes"), e para ca-da urn desses pontos erguia (nu rn plano) u rn segm en to de re ta verti-ca l ( "la titu de ") , c ujo c om pr im en to re pr es en ta va a v elo cid ad e d o o bje -to no tem po correspondente . Ao conectar as extrem idades dessaspe rpe ndic ula re s o u la titu de s, ob tin ha u ma repre sen ta ca o da va riac aofuncional da veloc idade com relacao ao tem po - num .dos m ais an ti-gos exem plos na h istoria da m atem atica do que ho je seria cham ado" grafico de um a funcao" , Para Oresm e, era c laro entao que a area.sob e ste g rafic o repre sen ta ria a dista nc ia pe rc orrida, po is e a som ad e to do s o s in cr em en to s d e d is ta nc ia s c or re sp on de nte s a s velocidadesin stan ta ne as. N esse po nto, o bvia me nte , va i-se de e nc on tro a to da s a sdific utd ad es lo gic as e filo s6 fic as q ue le va ra m a os p ar ado xo s d e Z en aoe fiz era m c om q ue o s c au te lo sos m ate matic os g re go s evita sse m 0 estu-do de variacoes com o tal.O re Sl if e c la ss if ic av a s eu s t ip os d e variaeao c on fo rm e fo ss em u ni-f orm es ( is to e , c on sta nte s) o u difo rm es (n ao c on sta ntes), e dividia 0!U ltim o tipo em va riac oe s u nifo rm em ente diform es e difo rm em en te di-fo rm es. S6 era capaz de levar a efe ito a integ racao decorrente des ca-50S de taxa de variaeao un ifo rm e e un iform em en te difo rm e; para e leera um a questao facil achar a area de urn retangulo, u rn t ri an g ul oou urn trapezio, Por exem plo, afirm ava que se u rn co rpo se movec om velo cida de u nifo rm em en te difo rm e (isto e , co m tax a de varia caode ve lo cidade un iform e), a partir do re pou so e m A na Figura 2 , entaoo grafico sera um a linha reta fo rm ando urn triangu lo retangulo co ma b ase AB (a lin ha de lo ngitu des) e a o rde nada (o u la titude ) fina l Be.E, com o a area do triangulo e a ba se m ultiplic ada po r 1/ 2 d a a lt ur a,O resm e c on cluiu co rre ta me nte q ue a dista ncia perc orrida pe lo o bietoneste caso e a m esm a que percorreria u rn ou tro co rpo que se m oves-se pelo m esm o espaco de tem po com velocidade unifo rm e igual a DE,velo cida de do prim eiro o bje to n o pon to m edic do in te rva lo de te mpo .

N a Coleoio Matematica, de P apu s (c. 32 0 d.Cj, encon t ramosum a proposicao e xp re ss a d e m od o d es aje ita do , m as q ue e qu iv ale Iiaf ir-macae de que 0 v olu me g er ad o p ela r ota c: iio d e u ma fig ur a p la na e mtorno de um eixo que nao a i n te r cep ta e ig ua l a o p ro du to d a area dofig ur a p la na p eia d istiin cia q ue se u ce ntr o d e g ra vid ad e d esc re ve d u-rante 0 movimento . P apu s s ab ia p er fe ita me nte d a im po rta nc ia d e s s ete ore rn a ge ra l e de seu a na log o, re fere nte a su pe rficie s de re vo iu ca o.o resu ltado inc lui, com o P apus no tou , " os teo rem as de todos os tiposs ob re c ur va s, s up er fic ie s e solidos, todos e les provados por um a un i-ca demonstracao", In fe lizm ente , P apus nao nos infonnou como seprova 0 teo rem a, e assim nao sabem os se fo i apenas descoberto outam bem provado por ele proprio,

P apus fo i 0 u ltim o m atem atico im porta nte da a ntigiiida de ; de -p o is d el e, 0 n ive l da m ate ma tic a n o m un do o cide ntal de caiu siste ma ti-c am en te po r qu ase u rn m ile nio. A c iviliz aca o ro man a fo i e m g era l in os-pita para com a m atem atica . N os secu los XII e X III a Europa la tinat or n ou -s e r ec e pt iv a Ii c ultu ra cla ssica , tra nsm itida a tra ve s do g re go ,arabe , heb reu , sirio e ou tras linguas, m as 0 nivel da m atem atica naEuropa m edieval perm aneceu m uito abaixo daquele do m undo gregoantigo.T oda via , u ma c erta o rig in alida de e ng en ho sa re sulto u n urn a van -C o, n o se culo X IV , n um a dire cao q ue h avia sido e vitada n a a ntig uida -de . A m ate rn atica arq uim edian a, b ern c om o a fisic a a rqu im edia na , fo-r a e ss en ci al m en te e st at ic a; 0 estu do da s m uda nc as dina mic as e ra c on -sid er ad o m a is a de qu ad o a discussao filo s6fica qualita tiva do que aum a f o rmu lacao c ie ntlfic a q ua ntita tiv a. M a s a a rg um en ta ca o e se ola s-tica nas un iversidades de Oxford e de Padua, no secu lo X IV , provo-cou urn desvio na visao aristote lica de m udanca e variacao , C om eca-r am a se r le va nta da s p ela in te le ctu alid ade q ue sto es c om o: S e u rn o bj e-to se m ove com velocidade variavel, ate que pon to se movera numd ad o t em p o? S e a tem pera tu ra de urn co rpo varia de um a parte paraou tra , quanto ca lor h~ em todo 0 c or p o? R ec on he ce m- se a qu i p re cis a-m ente as quest6 es com que 0 c alcu lo lida; m as o s inte le ctu ais do pe -riodo m edieval nao tin h am herdado da antigu idade nenhum a analisede va ria ve is m ate ma tica , D ai resu ltou q ue os sa ce rdo tes das u nive rsi-dades inglesas, francesas e ita lianas desenvo lveram por si pr6 priosu rn c a lc u lo ' in te g ra l p rim it iv o .S

A D, FIGURA [2]B

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S eu a rg um en to e ra q ue a re pre se nta ca o d e u rn o bje to e m m ovi-m e n to d ur an te 0 t empo AB c om v ei oc id ad e DE sera 0 re tangu loFGBA, e a distancia p er co rr id a n e ss e c as o s er a d ad a pela a re a d es ser et a ng u lo , qu e e ig ua l a a re a d o t ri an gu lo ABC. 0 que O resm e e sta-v a q ue re nd o d iz er e qu iv aie , o bv ia m en te , a a fi rm a r q ueT

S = f K t dt = K Po 2

nuscritas das r ep re se nt ac oe s g ra fi ca s d e O re sm e con tem fortes indi-c ios do triangulo d if ere nc ia l. D e ve te r s id o 6 bv io n a la ti tu de d e for-m as q ue a re pre se nta ca o de u ma q ua ntida de q ue c re sc ia ra pid arn en -te e xig ia q ue a s la tit ud es c re sc es se m r ap id am e nte c om re la ca o a s lo n-gitudes; po rem n en hu m m eto do s is tem a ti co o u t erm in ol og ia p ar a li-d ar co m tais c on ce it os f oi d es en vo lv id o n a antiguidade ou no perio-do med ie v al .o novo papel dos indivisfveisu rn re su lta do e xp re ss o i ne qu iv oc am e nte ( ma s c om b as e n o m e sm o ti -po de racioclnio) p or G a li le u G a li le i, d oi s s ec ulo s e m e io m a is tarde,T an to O re sm e c om o G alile u e sta va m fa ze ndo u so da a ntig a n o-ca o de e lemen to s geomet r icos , is to e, im a gin av am a s a re as d o t riangu-10e do retangulo f ormado s d e s e gmen to s d e r et a v e rt ic a is em qu ant id adei n de fm id ament e g r an d e. T r at a -s e d e uma visao semelhante aquel a u t il iz a -d a po r A rq uim ed es e m se u Metodo; e , e m bo ra e sse tra ta do n a~ f os sed is po n iv e l a q ue l a e J X l C 3 , a ideia de que um a area podia ser form adap or u m a q ua nt id ad e in fin ita d e l in ha s geomet r icas e r a compar ti lh adape los in te l ectua is medievais c om e sc ri to re s a nt ig o s e mo de rn os .

Q ua nto a o o utro a sp ec to d o c alc ulo in te gra l a ntig o, 0 rigorosometodo de exaustao, t ev e p ou ca aceitacao n o p er io do m e di ev al . M e s -m o d ur an te 0 R en asc im en to , e ra m po uc os o s q ue e mu la va m a p re ci-sa o lo gic a d a a ntig uid ade e m m ate ma tic a. 0 q ue o s g eo me tra s d o in i-do da era m odem a buscavam era m enos urn argum en to do que urnmetod o - nao u rn a rg um e nto p ara e sta be le ce r, a ci ma d e q ua lq ue rd uv id a, c on cl us oe s q ue p are ce ss em p la us iv ei s, m a s u rn m e to do q uep ud es se l ev ar a n ov os r es ul ta do s.E i m po rt an te n o ta r, em re laeao a o s e st ud os m e di ev ai s d e l at it u-d es d e f or ma s, q ue na o h av ia n en hu m c on ce ito e qu iv ale nt e a o d e d if e-renciacao. 0p ri nc ip ia nt e em c al cu lo , h o je em d ia , o b se rv an do a r ep re -sentacao d e O re sm e , d e i ni ci o p ro va ve lm e nt e imaginara a d e cl iv id a -de d a c urva da ve lo cida de -te mp o c om o u ma m ed ida da aceleracao, ata xa de var iacao d a v elo cid ad e e m re lacao ao t empo , So ma i s t ar de ,pro va ve lm en te , ira p en sa r n a a re a so b 0 grafico co mo um a m edidade distancia, Ho je e m d ia , n os c urs os d e c al cu lo , g era lm e nte 0 concei-t o d e d er iv ad a e apresentado primeiro, v in do d ep ois a nocao d e i nt e-gral. Os t ex to s q ue in ve rte m o s papeis e poem a in te gra l a nte s da de -riv ad a t ern , n um c ert o s en ti do , a h ist or ia a s eu la do , p or qu an to a i nte -g ra ca o p re ce de a d if ere nc ia ca o e m c erc a d e d ois m il en io s. M a s e v er -d ad e q ue a lg un s d os tr ab alh os d e A rq uim e de s r ela cio na do s c om a t an -gente a e sp ir al a pr ox im am -s e d o c al cu lo d if er en ci al , e q ue c 6 pi as m a -

o r ea as cim en to em ma tem at ie a c o ns is ti u n um a i nt er ac ao i nt ri n-cada das tradicoes med iev ai s c om ideias m ais n ov as e m ais a ntig as.E m pa rtic ula r a re to ma da de u rn in te re sse a mp lo pelas o bra s d e A r-quimedes levou, no seculo XVII , a b u sc a d e a ta lh o s q u e p ud es sem s im-plificar 0 calculo integral. A es sa a l tu r a , 0 s ed ut or c o nc ei to d e indivi-sivel e m g eo m etr ia t ev e u rn papel impor tante .G ali le u tin ha t id o c on ta to c om e ss e c on ce ito a tra ve s d as c on tri -buicoeS" lnedievais a d in am ic a, e J oh an n K ep le r (1571-1630) , em seuc on he cid o tra ta do so bre m edida de b arris d e vin ho [ 10J , a do to u o sm e to do s m a is e fl ca z es d e A rq u im e de s. P o rem , a s i nt eg ra co es d e G a li -le u e K ep le r f or am e cl ip sa da s p or u rn tr ata do e sc rito e m 1635 po r Bo-n aven tu r a C ava li e ri , d is c ip u lo do prjmeiro, intitulado Geo m et ri a i nd i-v is ib il ib us c on ti nu or um n ov a q ua da m r at io n e p ro m ot a. Ne ss e l iv ro o sindivisiveis, o u i nf in it es im a is f ix os , e ram a pl ic ad os c or n t an to exito ap ro ble m as d e m e ns ura ca o d e a re as e v olu m es , q ue 0 po st ul a do f u nd a -m e n ta l; q ue g e ra lm e n te r ec eb e 0 n om e de " te ore ma d e Caval ie r i " , per-m a ne ce in ta cto n os t ex to s e le m en ta re s a te o s d ia s d e h oj e: Se dois 56 -lid os (o u r eg io es p la na s) te m a ltu ra s ig ua is, e se se ce 6e s p ar ale la s a sbases e a d is td n ci as i gu ai s d el as e st ii o s em p re n um a d a da r az ao , e nt ti oos vo lum es (o u ar ea s) d os so lid os (o u r eg i6 es) ta mbem e stao ne ssam e sm a r az ao . E ste p ri nc ip io p er mit ia a C av ali eri p as sa r d e u m a e st ri -t a c o rr es po nd en ci a d e i nd iv is iv ei s n um a dada razao a c o nc lu sa o d equ e todos esses indivisiveis (isto e , a s fi gu ra s d e dimensao ma ior ) t am -b er n e s ta va m e ntr e s i n es sa m e sm a razao, A ideia q ue e sta va p or tr oisdisso n ao e ra re aJ m en te n ova e m 1 6 35, p oi s estava essencialmente re -Iacionada ao me todo me c an ic o de A r qu imede s e a s integracoes graf i-ca s d e O resm e e G alileu . K epler tinha u sado a ideia ao ach ar qu e aa r e a da e li ps e ,

x2 y2- + - = 1 ,, a 2 b210 11


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T .I ktn d t = kTn+fo n + 1E m bo ra e ste u ltim o re su lta do ja f os se c on he ci do i nd ep en de n te -m en te po r o utro s m ate ma tic os c om o G ille s P erso ne d e R o be rva l e E va n-g elista T orric elli (a le m d e F er ma t), pa re ce q ue C av alie ri fo i 0 primei -ro a pu blic a-lo . E m o utra s pa la vra s, 0 m e to do d os in div is iv eis n ao e rapropr iedade de Cavalie ri. Estava sendo am plam en te usado por ho -m ens que estavam a par dos pensam en tos m atem atic os da epo ca .C om o se us c on te mpo ra ne os, C ava lie ri c on side ra va se u m eto docom o um a parte da geom etria , m as, enqua nto e le estava escreven do ,a Europa era varrida por um a revo lucao analitica . '

a lgeb ra e g eom etria , v isando fa zer com q ue a m atern atica vie sse a teros m elhores aspectos de cada urn de sses ram os, A con teceu , po rem ,q ue a g eo me tria a ca bo u pe rde ndo po pu la rida de c om a pa rc eria ', A geom etria pura fo i tao ec lipsada, que pouco progresso fe z no secu lo em e io s eg u in te , d ur an te 0 q ua l a a na lise in fin ite sim al e ntro u n um pro -c esso de a ritm etiz ac ao q ue q ua se re su lto u n um a re vo lu ca o,Pode-se n o tar pron ta e c1aram en te essa m udanca de visao naA r it hmet ic a i nf in it o rum de J ohn W allis , pub licada em 1655 , cercade vin te anos depo is do classico de C avalie ri. N esse tra tado m uito li-do 0 a uto r in clu iu su a pro pria a bo rda ge m c ara cte rist ic a da in te gra l dekx~, u ma pro va su ge rid a pe la g eo me tria d os in divisive is de C ava lie rim as levada a efe ito por um a aritm etiz acao n itida do ca lcu lo . Param o st ra r, I X> re xem pl o, q ue

e nab. C om o as ordenadas dessa e lipse estao , para as o rde nadas co r-r es po n de nt es d o c ir cu lo X2 + y2 = a2 , n a ra za o bfa, en tao a area dae lip se d ev e e sta r p ar a no 2 (a re a do c irc ulo ) n a ra za o bla.C ava lie ri a plic ou e ng en ho sa me nte a id eia do s in divisiv eis a u mavarieda de am pla de novos prob lem as. A s " pa rabo las de ordem supe-r io r" d e P ie rr e d e F er ma t, an- 1 y = xn, fo ra m in tr od uz id as e m m a te rn a-tic a e xa ta me nte IX >rvo lta da e po ca e m q ue C ava lie ri e sta va de se nvo l-ve nda su a g eo me tria do s in divis ive is. E m se us tra ba lh os po ste rio re s,C avalie ri esten deu a in teg racao de O resm e de kt de m odo a inc lu ir ai nt eg ra l d e ki, enunciando 0 e qu iv ale nte d a c on he cid a fo rm u la

Descartes, Wallis e Fermat

IJ x2dx =_103'W allis fO Wlava a ra zao en tre as som as dos quadrados de orden adasig ua lm en ie e spa c;a da s so b a c urva y = X2 e a som a dos quadradosda s o rde na da s c orte sp on de nte s so b y = I. C on side ra ndo -se so a s o r-de na da s e m x = 0 e x = I, a ra z ao e0 2 + J 2 = _1 = _I + _1 .p+p 2 3 6Subdividindo-se 0 i nt er va le e nt re x = 0 e x = I em duas partesiguais e im ag inando -se c ada parte com o urn in tervalo un ita rio , a ra-z ao e ntre as som as dos qu adrados to rna-se

0 2 + 12 + 2 2 5 I 1---:------=-=- = _ = - + -.22 + 22 + 22 12 3 12A s se me nte s da re vo lu ca o tin ha m side la nc ada s n o R en as cim en -to q ua ndo R eg io mo nta nu s (J oh an n M iille r), F ra nc ois V ie te (ta rn be mc on he cido IX >rF ra nc is o u F ra nc is cu s V ie ta ) e o ut~ os vira m q ue a a lg e-b ra cada vez m ais sim bo lica de seus dias - denvada, cunosam en te ,da a lgeb ra re to rica dos arabes - p re s ta v a e fi ci e nt es services a goo-m etria . A c on se qu en cia 1 6g ie a de ssa s ide ia s fo i a g eo me tria a na litie ade Ferm at e Rene D escartes. La geometr ie , d e D e sc ar te s, p ub lic ad aem 16 37 som en te do is ano s ap6 s a pub licacao da Geome t r ia ind i vi s i-bilus de Cava li e ri , mudou i n evi tav e lmen t e 0c u rs o d a analise inf initesimal.'0tra ba lh o de D es ca rte s (e 0 de F erm at) fo i im po rtan te nao tan -to pelo uso de coordenadas; coorde nadas ja tin~ s id o u sa da s ,c omefica cia na an tigu idade, e specia1 men te na geom etna de A po lon io , edepo is, de um a m aneira m ais prim itiva , n a la titude de fo rm as de O res-m e. D escartes viu com o o bje tivo de seu traba lho a c ooperacao en tre12

Dividindo-se 0 in te rv alo d e x = 0 a x = 1 e m tr es su bin te rva lo sig ua is e c on side ra ndo -se c ada u rn de le s c om o u rn se gm en to u nita rio ,a ra zao en tre as som as dos quadrados e0 2 + )2 + 22 + 32 _ 7 _ 1 I-_--+-.32+32+32+32 18 3 18

P ara W allis to rn ou -s e e vide nte , a tra ve s de in du ca o, q ue02 + 1 2 + 2 2 + 32 + ... + n2 = _1 + _1_n2 + n2 + n2 ~ n2 + ,.. + n2 3 6n

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TI r-xr dx =--1o n +

o traba lho de F erm at, in fe liz men te nao pubJ icado na epoca , le -yOU ao apogeu os m etodos de in tegracao in ic iados por Eud6xio ,do is m ile nio s a nte s.M a s F e rm a t, 0m aio r do s a ma do re s da m ate ma tic a, fo i 0responsa-v el p or u rn a c on tr ib ui ca o a in da m a is s ig ni fi ca tiv a p ar a 0desenvolvimentodo calculo, L ite ra lm en te , fo i e le 0 in ve nto r do proc esso h oje c ha ma -do " dife re ncia ca o" , J usta me nte du ran te o s a nos em q ue e le e D esca rte se sta va m in ve nta nd o a g eo me tr ia a na litic a, F er ma t d es co br iu u rn m e to dosu rpreenden tem en te sim ples de achar m axim os e m in im os de curvaspo lin om iais. E m te rm os da n ota ca o c arte sia na (a q ual, to da via, F erm atre jeitou em favor da no tacao de V iete , m ais an tiga), 0m etodo eo se-gu in te . Seja a o rdenada da curva dada por 2 x3 - 5x2 + 4x - 7 , po re xe m pl~ . E nta o, D u m p on to v iz in ho , d e a bs cis sa x + E, a o rd en ada s er a2 (x + ) 3 - 5 (x + E) 2 + 4( x + E) - 7 . A go ra , a rg um en ta va F er ma t,num ponto de m axim o ou de m in im o a variacao da ordenada e virtual-m en te de spre zivel, de sde q ue a va ria ca o E n a a bs cis sa s eja p eq ue na ;d a i im pu nha q ue o s do is va lo re s da s o rden ada s viz in has fo sse m ig uaisen tre si. 0 resu ltado , ap6 s a transposicao dos term os, e

(6 x 2 - lO x + 4 )E + (6x - 5)2 + 2 3 = O../A p6 s d iv id ir p or E e fa ze r E ig ua l a 0 n os term os resta ntes (visto q ue

o valo r de E deve ser indefin idam ente pequeno para que a reg ra sea pliq ue l, o bte m- se a e qu ac ao 6x 2 - lO x + 4 = O . A re so luc ao de s-sa equacao leva aos valores 1 e 2 /3 c om o a bs cis sa s d os p on to s c ritic osd a c ur va . Esse procedim en to de F erm at e , em essencia, 0 que se usahoje no calcu lo quando se acha a derivada e impoe-se q ue sc ia ig ua la O .C e r tam e nt e 0 uso de Ax ou h o nd e F erm a t e sc re via E e irrelevan-te ; e em bora se adm ita que Ferm at na~ explicava prec isam en te porq ue fa zia E igual a 0 , tam pouco seus sucesso res 0 fiz eram po r do isseculos, Ha plena razao para se reconhecer, po rtan to , com o P ierre S i-m on Laplace , que Ferm at fo i 0 in ve nto r d o c alc ulo d ife re nc ia l, a ss imcom o E ud6 xio costum a ser reconhecido com o 0 in ve nto r do c alc ulointegral.Teria F erm at, que conhecia bern as reg ras de diferenciacao e in -teg ra cso, pe re eb ido a re la ca o e ntre e 1a s? A pare nte me nte sa bia m uitob er n q ue n o p rim eir o c as o m u ltiplic av a- se 0 c oe fi ci en te p el o e xp oe n-te e dim inu ia-se este u ltim o de um a unidade, ao passo que no segun-d o c as o a um e nt av a- se 0 ex po ente de u ma u nidade e dividia -se 0 coef i-c ien te pelo novo expoen te . Estranham ente , parece que Ferm at naov iu n ad a d e s ig nific ativ o n es ta n ota ve l r ela ca o r ec ip ro ca , m a s tampou-co 0vira m se us c on te mpora ne os, c om o E va nge lista T orric elli, J am esG regory ou Isaac Barrow . '

e q ue , c on fo rm e n c re sc e in de fin id am en te , e sta r az ao a pr ox im a- se c a-rla vez m ais de 1 1 3 , de m odo que para n = 00 a razao sera 113 .F erm at afirm ou , acertadam en te , que 0 m etodo de inducao deW allis e ra lo gic am en te in ade qu ado ; n ao ob sta nte , a s te nde nc ia s a rit-m etizan tes de W allis fo ram passos na direcao certa . 0 pr6prio Fer-m at cam inhava na m esm a direcao , tan to em sua invencao da geom e-tria analitica quan to em suas cont r ibuicoes a o c a lc u lo .S eu m etodo de in teg ra r xn er a 0 m ais refin ado e ntre o s e xiste n-tes na epoca, e esta m ais proxim o da in teg ral de Riem ann do que qual-Tquer outro an terio r ao secu lo XIX . P ara achar Jx2dxo

. . . t ;~ t u t -F IG URA [ 3]po r e xem plo , F erm at e rg uia o rde na das a curva y = x 2 n os p on to sda F ig ura 3 c uja s a bs cis sa s e ra m, r es pe ctiv am en te , T, ET, E2T, E3T,e tc ., o nd e E < I. Com essas coordenadas com o altu ras, fo rm avaum a sequencia de retangulos aproxim ando a area sob a curva, com ose ve. A som a das a re a s d es se s r et an g ul os e d ada p ela p ro gr es sa o g eo -m e t ri ca i nf in it a

T J O - E) (1 + E3 + E6 + E9 + ... == P (I - E) ( 1 ) = T3 .1 - E3 I + E + E2

A o fa ze r Ese aproxim ar cada vez m ais de 1 , as Iarguras do s retangulostendem a 0 , e a som a das areas dos retangu los tende a are a sob a c urva- T3 /3 . P or u rn rac ioc in io sem elhan te F erm at m ostrou que, para to-do s os va lo re s ra cio na is de n, e xc eto p ar a n = - I,

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B arrow , que fo i pro fesso r de Isaac N ew ton , pub licou um a reg rade tangen te s m uito parec ida c om 0 m etodo de m axim os e m in im osde Ferm at, na qual a inter-relacao e ntr e c oe fic ie nte s e e xp oe nte s,m ais um a vez , era c lara . D ada um a curva com o

trigonom etria para seu estudo ; m as a nova as tronom ia de K eple r, naqual 0 m ovim en to dos planetas em 6 rb itas e lipticas nao e un i fo rme,exig ia um a m atem atica superio r. P erto do fina l do segundo te rco dos ec ulo X V II ja se con tava com todas as reg ras necessarias para li-da r c om pro ble ma s de a re as e ta xa s de variacao, d e m a x im o s e t an g en te s.A epo ca agora estava m adura para se constitu ir, a partir da ana-l i se in f in i tes imal , 0 que ho je conhecem os com o ca lcu lo. N enhum a in -vencao n ov a e sp ec ific a e ra n ec es sa ria , a s te cn ic as e sta va m a m ao. 0q ue fa lta va e ra u rn se nsa de u nive rsa lida de da s re gra s.

3x2 y - 5xy3 - 7x + 6y = 0,Barrow prim eiro sub tra ia os m em bro s desta equacao dos m em brosc orre sp on de nte s da e qu ac ao o btid a su bstitu in do c ada x po r x + ee su bstitu in do c ada y po r y + a. N a equacao resu ltan te e le en taode spre za va to do s o s te rm os de g ra u su pe rio r a Im a e em e. D a e qu a-cao assim o btida fo rm ava a raz ao

a _ - 6xy + 5y 3 + 7-- ,e 3x2 - 15xy2 + 6q ue e le sa bia se r a in clin ac ao da ta ng en te a c urva n o po nto (x, y). Nes -ta a ltu ra reconhece-se fac ilm en te a reg ra fam ilia r ho je expressa pordyldx = -ifjfy). Em sua L ec ti on es O p ti ca e e t G e o me tr ic ae (1670),B arrow pub licou nao a penas a reg ra de tangen tes ac im a (que aparen -tem en te havia discu tido corn N ew ton) , m as tam bem regras para a re-du ca o in ve rsa de pro ble ma s de ta ng en te (a ntide riva da s) a q ua dra tu -ra s (areas) .o m etodo de Ferm at para m axim os e m in im os e a reg ra de tan -gen tes de Barrow nao fo ram de m aneira nenhum a os un icos instru -m en tos e fo rm ulas inven tado s com referencia a esses top icos. R enede S luse e Jo hann H udde, en tre ou tros, perceberam 0 p ap el d e c oe fi-de nte s e e xpo en te s n a determinacao d e ta ng en te s e e xt re m os d e p olin o-m io s, e po de se r q ue T orric elli e G re go ry te nh am tido c on he cim en to danatu rez a rec iproca dos prob lem as de tangen tes e qu adra tu ras. E ssesresu ltado s encon travam aplicacoe s na ciencia daquele tem po - noprinc ipio de F erm at do tem po m in im o na refracao da luz e na d ina-m ic a de C hris tia an H uy ge ns.o e on ce ito d e aceleracao, e mb ora fo sse do c on he cim en to de O re s-m e , s o no secu lo XV II veio a ter u rn papel sign ifica tivo em dinam i-c a. E nq ua nto o s m ate ma tic os g re go s c la ssic os tin ha m sido e ss en cia l-m en te esta tico s em sua linguagem e eonceito s, o s m atem aticos da" Idade dos G en ios" procu raram orien tar-se rna is no sen tido de um aa n al is e d e v a ri ab il id a de . O s lo ga ritm os de J oh n N apie r (1550-1617) fo -ram defin idos m edian te do is segm en tos de re ta variaveis, sendo queurn deles cresc ia aritm eticam en te em rela cao ao tem po , ao passo queo ou tro decresc ia geom etricam en te . A astron om ia de N ico lau C ape r-n ico , baseada no m ovim en to circ ular un ifo rm e, prec isava apenas da16

Newton e Leibniz\Q uem prim eiro percebeu isso fo i N ew ton ; em 1665-66, e d ep oi s,in de pe nde nte me nte , G ottfrie d W ilh elm vo n L eib niz , e m 1673-76.A os pre de ce sso re s de sse s do is g ig an te s in te le ctu ais a s va ria s re -g ra s pa re ce ra m e xpe die nte s a rg uto s de u tilida de lim ita da . A m aio riada s re gra s, po r e xe mplo , so se aplicava a prob lem as que envo lviampo lin om io s o u a qu ele s q ue , po r a lg um a t ransforrnacao 6 b vi a, p od iamse r tra nspo sto s 'P ara a 'fo rm a po lin om ia l. E m 1637 D e sc ar te s d es ej a-ra lirn ita r a g eo me tria a o e stu do d as c urva s a lg eb ric as, M as, n o fin aldo se cu lo X VII, 0 in te re sse e xplo sivo pe la c ic lo id e, pe la c ate na ria epo r o utra s c urva s e xpre ssa s po r fu nc oe s trig on om etric as e lo ga ritm i-cas eonferia respeitab ilidade a um a gam a de prob lem as m uito m aisam pla . A s reg ras de C avalie ri, F erm at, W allis e B arrow envo lvendoaum en to ou dim inu icao de expoen te nao parec iam aplicaveis a fun -c 5e s tr an sc en de nte s. O s m a te m atic os d o d ec en io 1666-1676 necessita-yam im ensam en te de urn algo ritm o gera l aplicavel indistin tam en te ato da s a s fu nc oe s, r ac io na is o u ir ra cio na is , a lg eb ri ca s o u tr an sc en de n-tes. A resposta , fo rn ec ida por N ew ton , fo i um a nova e ge ra l analiseinf initesimal.A c ha ve da n ova a na lise e sta va n a de sc ob erta , re aliz ada po r N ew -ton e L eibn iz , da g rande u tilidade das expa nsoes em series in fin itas.N ew to n e on side ra va ta o im po rta nte e sse a spe cto de se u tra ba lh o, q ueins istia em que fosse um a parte essen cia l da nova analise ; po r essa ra-z ao 0 te ore ma do b in om io e ta o fre qu en te me nte a trib uid o a e le .o teo rem a era conhecido havia m uito tem po para po tencias in -te iras, inc lu indo ate a reg ra de sucessao para os term os da expansao,M as N ew ton fo i 0 p ri me ir o a a plic a- la p ar a 0 c aso de e xp oe nte s fra -c io na rio s, e m q ue a e xp an sa o e in te rm im ive l. A tra ve s de u ma e xpa n-sa o b in om ia l in fin ita , N ew to n te ve c on dic oe s de c he ga r a q ua dra tu ra sque seus predecesso res nao tinham consegu ido e ncon trar - po r exem -17


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plo, a integracao de (x - X2)1I2, que W allis procu rara em vao . 0 meto -do tambem p od ia s er aplicado pa ra ac ha r in teg ra is (N ew to n a s c ha ma -va de " flu ente s" ) de fu nc oe s tran sc ende ntes. S ab ia-se h avia m uito te m-po . q ue a area sob .a hiperbole, y = l/(l + x), tin ha a c on he cida pro-prieda de do s log aritm os de q ue , c on form e a s a bsc issas c re sce m g eom e-tncam en te , a area sob a curva decresce aritm eticam en te . N ew ton per-c ebe u q ue e ra po ssive l e sc re ve r In (1 + x) na fo rm a de um a serie in fi-n it a. E x pa nd e- se s im p le sm e nt e 1 1 ( 1 + x) comoI-x + Xl - Xl + ...

usando-se 0 algo ritm o da divisao ou a expansao de (1 + x) - I. Entaoa cada term o da serie a pl ic a -s e a c o nh e ci da regra d as q ua dr atu ra s: a u:men tar 0 expoen te de um a un idade e dividir pe lo novo expoen te . 0resultado e a serieIn (I + x) = x _ Xl + x3 _ x4 +2 3 4 ... ,

ge ra lm en te c on he cida c om o serie de M erc ato r, por te r sido pu blic adapela pn me ira ve z em 1668, por N icolau M ercato r em bora N ewtonja a conhecesse a n tes. 'Tambem L eib niz lo go p erc eb eu a importancia d as s er ie s i nf in it ase a igualdade 'T r-l 1+1 14- -3 s-T+'"

e gera lm en te conhecida com o serie de Leibniz . M as esta e apenasur n caso e sp ec ia l d a serie

se . Pois os raciocinios nele nao sao menos certos que na outra, nemas equacoes menos exatas... Para concluir, podemos com [usteza consi-dera-lo como uma parte da Analytic Art com a ajuda da qual areas ecomprimentos, etc. de curvas podem ser determinados exata e geome-tricamente.Em resum o, N ew ton aqui esta a rg um en ta ndo q ue o s a lg or itm osm atem aticos que lidam com processos infin itos sao tao respeitaveisquanto aqueles que se aplicam a a lg eb ra o rd in ar ia ; s e fo ss e p re cis o,

nesse sen tido , apon tar urn unico ou prim eiro inven to r do calculo , aesco lha reca iria em N ew ton . S ua contribu icao nan e tan to um a le i pa-ra a diferenciacao ou para a integ racao , ou m esm o a revelacao destas~mo O~!~s inversas en tre si; fo i ? reconhecim en to de que tudoISSO constitu i parte de um a nova analise - a aplicacao de processosin finito s ao estu do g era l de funcoes de qu alq ue r tipo .

Tambem c om L eib niz , 0 elem en to essencial em sua invencaodo calculo, po ste rio r m as in de pe nde nte, fo i 0 re con he cim en to, e m1676 , de que estava construindo um a analise nova e un iversa l. N osprim eiro s a rtig os q ue pub lic ou n a Acta eruditorum de 1684 a 1686L eibn iz expos que seu novo m etodo nao apresentava im pedim entospara funcoes i rr a ci on a is o u t ra n sc e nd e nt es .

Xl X5 7arctgx = x - - + - - _!_ +3 5 7 ...,formulada por J am e s G re go ry , 0 prim eiro a publica-la em 1668. Aoqu e tu do in dica N ew ton , po r vo lta de ssa m esrna e po ca , ja de se nvo lviafu nc ee s tr ig on om etr ic as e m series.o prim eiro livro de N ew to n a desc re ve r se u c alcu lo , De analysiper aequationes numero terminorum infinitas, fo i escrito em 1669-m as s6 veio a ser pub licado em 1 711 , devido a aversao do au to r a con :troversias, N e le N ew to n d es cr ev e a e xte ns ao do u so d a p al av ra " a na lis e" :

Portanto, visto que os algebristas anteriormente adotavam tetrasou numeros genericos para indicar quantidades procuradas, em tais pro-blemas transcendentais adotei equaeoes genericas ou indefinidas [istoe , expansoes em series infinitas) para as linhas [funcoes] procuradas ...e dessa maneira 0 calculo analitico se estende aquelas linhas que ateaqui tinham sido excluidas tao-somente porque se acreditava que fos-sem inadequadas a ele.

E seja 0que for que a analise comum realize por meio de equa-c o e s co~ urn numero finito de termos.. . este novo metoda pode sem-prerealizar 0 mesmo por intermedio de equacoes infinitas; de modoque nao tive nenhuma duvida em dar tambem a este 0nome de Anal i -

D a m esm a fo rm a com o D escartes percebera q ue s ua g eo rn etr iaassinalava um a nova etapa no desenvo lvim ento da m ateria, N ew tone Leibn iz estavam cien tes de que suas descobertas tin h am forjadoum a nova analise , que ia m uito alem da alg eb ra o rdina ria . A o lo ng ode to do 0 seculo XVIII , a distincao que N ew ton e Leibniz en fa tiz a-yam fixou-se em frases com o " analise superio r" e " analise sub lim e"p ar a d is ti ng ui r o s p ro ce ss os i nfl ni to s da s regras d a a lg e br a o r di na r ia .E sta nd ar te s dis tin tiv os r ep re se nta m u rn a ux ilia r e fe tiv o d os c ru -zados. L eibn iz , em particu lar, deu m uita a tencao a questao da s no -ta co es apro pria da s. A m edida de se u su ce sso n esta m ate ria e a s ob re -vivencia are nossos dias de sua linguagem e de seus sim bolos. Quan-to a isso , N ew ton foi m ais hesitante em suas pub licacoes (em bora fi-zesse am plas experiencias em seus m anuscritos), e pouco restou da

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fo rm ulacao new ton iana . U rn m anuscrito de N ewton de ou tub ro de1 66 6 da u ma de scric ao co mpleta de se u m eto do " para reso lver pro ble -m as por m ovim en to" , is to e , achar co isas com o areas, tangen tes e cen -tro s de gravidade de " linhas cu rvas" , considerando a m aneira co -m o as coordenadas variam com 0 te mp o /N EWTO N : 15-64/. AquiN ew ton usou p e q c om o sim bo lo s da s ta xa s de va ria ca o (" ve lo cida -d es ") d e x e y, r es pe ctiv am e nte , m a s m ais ta rde s ub stitu iu p e q pelas" le tr a s p o nt ea d as " i e y , e a palavra "veloc idade" por " fluxo" . Poressa ra zao su a a na lise to rn ou-se co nh ec ida c om o " meto do do s flu xe s" .Em sua versao de 1666 para 0 c alc ulo , N ew ton e nc on tro u a in clina -va o da c urva x3 - abx + 03 - cyy = 0d a s eg uin te m a ne ir a: S ub stitu iu x po r x + po e y po r y + qo. D ae qu ac ao a ssim o btida su btraiu a equacao o ri gi na l, d iv id iu p or 0, e d es -prez ou todos os tennos que ainda continham 0 (visto q ue e ste s e ra m"inf initamente pequenos " ] , 0 r es ult ad o e

3pxx - abp - 2cqy = 0,do q ua l fa cilm en te se o btem q ue a ra za o ql p ( qu e a go ra c ha m am o s " in cli-n av ao ") e ig ua l a 2cyf(3xx - ab).Em sua De quadratura, e sc rita e m 1 67 6(mas so pu blic ada em 1 70 4), N ew to n e vitava a fra se " in fin ita me ntep eq ue no ". P rim e ir o d ete rm in av a a r az ao qlp d os flu xo s ( ou yli) e e nt aofaz ia com que 0 de sa pa re ce ss e, o u fo ss e " ev an es ce nte ", p ar a d ete rm i-n ar a ss im 0 q ue c ha ma va " prim eira e u ltim a ra zo es" (0q ue c ham ar ia -m os " lim ite da raz ao") dos fluxos. Essa ab orda ge m e sta va pro xim ado pon to de vista m oderno; m as a fo rm a do c.ilcu lo que N ew ton pu-b lic ou n os Principia, e m 1 68 7, re ve rtia a s p rim e ira s r ud es ide ia s d e in -crem en tos " in fin itam en te pequenos" ou "m om en tos" . N essa fo rm aseu calcu lo era tao sem elhan te ao de Leibn iz , que se pode perdoarse us c onte mpo ra neo s po r c on fu ndirem o s do is po nto s de vista ..N ew to n e sc re ve u va ria s d es cr ic oe s s ub sta nc ia is d e s eu s m eto do sdo c alc ulo e pub lic ou -a s b ern m ais ta rde. L eib niz , a o c on tra rio , e sc re -ve u pou co m as pub lic ou cedo, L im ito u-s e a a lg un s p eq ue no s a rtig os ,p ub lic ad os n a A c ta e r ud i to r um logo apos a fundacao desse jom al. S euprim eiro a rtig o fo i pu blica do e m 1 68 4, tres a no s a nt es d a b re v e i nd ic a -c A D (duas pag inasl de N ew ton nos Principia. N o prim eiro artigo deL eib niz ju stific am -se a s re gra s sim ple s de difere ncia ea o, de m an eiraru de e n um a lin gu ag em q ue lem bra a s q uan tida de s in fin ita me nte pe -quenas de N ew ton . Para achar a diferencial de xy, Le ibn i z s u b st it u iux po r x + dx e y po r y + dy (onde dx e dy sa o a s dife re nc ia is, o udiferencas in fin ita me nte p eq ue na s, d e x e y). A d if er e nc a20

(x + dx) . fy + dy) - xyrepresenta en tao a diferenca in fin itam en te pequena no produ to , co r-respondente a s d ife re nc as in fin ita me nte p eq ue na s e m x e y. Como 0t e rmo dx . dy era co nsidera do in fin ita me nte pe que no e m pro porc aoaos ou tros term os da diferenca, Leibniz desprezou-o e e s cr ev e u:

d(xy) = xdy + ydx.D esta form ula da difere nc ia l do pro du to L eib niz dedu ziu fa cilm en tea dife re nc ia l de po te nc ia s in teira s de u ma varia vel c om o x a t r av es d eum a inducao com ecando com x . x, e form ula s an alo ga s para in ver-s os e q uo cie nte s d ec or re ra m im e dia ta me nte . S e na fo rm ula do produ-to de ~bn iz os dais m em bros fossem divididos por dx, 0 resultadoseria a fo rm ula m oderna para a derivada, em relacao a x, d o p ro du -to xy, onde y e funcao de x; m as L eibn iz nao racioc inava em term osde variaveis dependentes e independentes ou da derivada de um a emrelacao a ou tra . Consequen tem ente , ha um a fa lta de prec isao nesser ac io ci ni o, q ue seus c on te mp or an eo s c ritic ar am , e m bo ra a dm ir as se mo poder do novo m etoda.

Linguagem, loqica, simbolismoN ew ton e L eibniz nao fo ram os prim eiros a usar m etodos equ iva-lentes a d if er en ci ac ao o u a in teg racao ou a perceher a relacao inver-sa en tre e las, nem foram os prim eiros a usar series infin itas. A contri-buicao de am bos, C om o ja dis se mo s a nte s, c on sistiu e m r eu nir dis po si-tiv os de a plic ab ilid ad e lim ita da e d ese nv olv er , a p artir d ele s, m e to do sd e a lc an ce u ni ve rs al .A co mpre en sao do sig nifica do de ssa situ ac ao le vo u ca da u rn de -les a desenvo lver um a linguagem , um a log iea e urn sim bolism o paraa nova m ateria . N enhum dos dois estava em condicoes de apresen tarum a fu nda men ta cao lo gic a c on vin ce nte , em bo ra N ew ton c ertam en te

tenha chegado m ais perto disso . A m elhor ten ta tiva de N ew ton figu -rou em Principia, onde ele descreveu sua ideia de " prirne ira e u ltim ara zoe s" . U sa ndo , de m odo u rn tan to an ac ron ic o, n ota co es m odern as,po de mo s pa rafra sea r a form ulac ao de N ew to n de sc re ven do Y com o aramo da s q u an ti da d es " e va n es c en te s " Ay e At . C om respeito a isso,N ew ton adverte : " Por raz ao u ltim a das quan tidades evanescen tes de-ve-se en te nde r a ra za o da s q ua ntida de s, n ao an te s de de sa pa re cere m,nem depo is, m as com as quais e las desaparecem ", E le chegou , aqu i,ex trao rdinariam en te perto do conceito de lim ite ; m as N ew ton nao at -21


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c an eo u p le na me nte e sse c on ce ito , p ois c on tin uo u in sis tin do e m d es cr e-v .e r c om o . u m a r az ao e ntr ~ v elo cid a~ s 0 que vem os agora que e ur ns im p le s ~ ur ne ro r ea l. P re ci sa r 0 c on ce ito de n um ero re al fo i c on tu doum a rea lizacao do f ina l do s ecu lo X IX . ". .0 ca lcu lo de Leibniz .e ra, do pon to de vista l6g ico , n itidam entem fenor ao ~ N ewton, ~1S nunea ~ ranscendeu a visao de dy ldx co -m o urn qu oc ien te ~ e va nae oe s ou difere nca s in fin ita men te pe que na sem y e ~ . ~em L eibn iz nem seus disc ipulos jam ais deixaram claro 0que quena d~r, e~a~ente , variacao in fin itam en te pequena; tam bemn ao c on se gu ir am ju stific ar 0 d es ca rte d e q ua ntid ad es in fin ita me ntepe9 ue.nas ~m relacao a ou tras. D o ponto de vista 1 6g ico , 0 c alc ulo d eL ei bn iz f oi u rn fr ac as so , m a s h eu ri st ic am e nt e f oi u rn s uc es so r et um b an te .. Parte desse sucesso resu ltou de um a visao da integ ral tao im pre-cisa q uan to ado s q uo cie nte s d e d ife re ne ia is . O s flu en te s d e N e wto na na lo go s da !U ~m a " in teg ra l inde fin ida ", e ra m 0 q ue h oje c ham ar ia :m os de antiderivadas em relacao ao tem po . Inic iaIm en te N ew tonU S ? U urn pequeno quadrado com o seu sim bo lo de in tegraeao [presu -m l~elm en te porque percebia que a in tegra l de term inava um a area);m ats tarde usou urn pequeno trace vertical sob re um a le tra para indi-ca r 0 f lu en te d a q ua nt id ad e, e sc re ve nd o y o n de u s ar iam o s [ydt. Leib -n iz e n fa ti z ou 0 aspe cto so mat6 rio da " in teg ra l" , e ta mbe m c olab oroupa ra fa ze r c om q ue a pro pria pa la vra tive sse aceitacao, P o rem , e nq ua n-to n6 s pensam os em term os de urn lim ite de um a som a earac teristicade g ran de za s fin ita s, l.eib niz c on side ra va u ma som a de fa to de q ua nti-d ad es in fin ita me nte pe qu en as o u in fin ite sir na s. ls so e xplic a 0 fato deLeibn iz usar com o sim bo lo de in tegracao (agora tarnbem usado pornos) um a fo rm a aJongada em tipo an tigo da letra S , in icia l de s umma("soma' ' ).A lg un s a no s a nte s d e L eib niz c he ga r a s ua s p ro pr ia s fo rm ula eo esN ew ton ja fiz era varias descricoes de seus m etodos. N ao obstante ~m aio ria de se us c onte mpo ra ne os a pren de u 0 c alc ulo a tra ve s de dire -renciais, e nao de fluxos. Em 1672 , quando N ewton ja tinha condi-c ; O e s d e p ub li ea r D e analys t , c on tr ov er sia s s ob re s ua s d es co be rta s e mo ptic a le va ra m- no a p ro te la r e ss a in ic ia tiv a. A ss im m es mo a in dic ae aoe~ duas pag inas de seus m etodos analiticos em Principia, em 1687 ,fO I a nte cipada pe lo s do is a rtig os de L eib niz na Ac ta e r ud i to r um em1684 e 1686 . 0 prim eiro deles, em meia duz ia de paginas dava a co -nhecer 0 c alc ulo d ife re nc ia l, c om r eg ra s ( se m p ro va s) e a 'p lic ac oe s' 0s eg u nd o d es c re vi a 0 c alc ulo in te gr al. E m bo ra e ss es a rtig os te nh am 's i-do preju dica do s po r e rro s de im pre ssa o e e xpo sic ao insa tisfa to ria , su agrande im portancia fo i eviden te para os m atem aticos su icos J akobB ern ou lli e se u irm ao J oha nn .22

Os i rm a~ s B e rn o ul li u ambem conhecidos com o Jacques e Jean )to ma ra m-se disc ipu lo s fe rvo roso s de L eib niz , e 0 m a is n ov o e sc re ve ute xto s de c alc ulo dife re nc ia i e in te gra l. E ntre o s se gu idore s de J oh an nestava 0 rico m arques de L 'H ospita i, e presum e-se que tenha sido porcon ta de urn aco rdo fm anceiro en tre 0 m arques e seu jovem tuto rque se tenha deixado de lado a publicaeao dos textos de Johann Ber-no ulli pa ra a brir ca minh o a do prim eiro texto au ten tico de calcu loem 1 69 6 - A n al ys e d e s i nf in im e nt p et it s d e L 'Ho s pi ta i [14]. D ai e~d ia nte a d is se m in ac ao d os m e to do s le ib niz ia no s fo i r ea lm e nte ra pid a,o su ce sso do ca lc ulo dife ren cia l no c on tin en te de ve ser a trib ui-do em grande parte Ii c ap ac id ade d e L eib niz p ara in sp ir ar dis cipu lo savidos, \ao passo que a indiferenca de N ewton obstava a fo rm acaode u ma ,sc ola de se guido res. A lem disso , 0 tr ab alh o d e L eib niz a iu sta -v a- se m a is Ii a ritm etiz ac ao da an alise , a o pa sso q ue 0 de N ewton m ui-ta s ve ze s se e xpre ssa va n a lin gua ge m da g eom etria sintetica, Ademaisa s c on ee pc oes Ieib niz ia nas de c alc ulo, em bo ra m ais distan te s de u m~10 00ca frrm e.do q~e as.de N ew t~n , sugeriam m elhor os cam inhos emque os ~n tm os ~ cal~ulo podiam ser aplicados a prob lem as geom e-t ri co s. e flsicos, A h is t~ a. f f i 1 : m at~ ma tic a pa rec e m ostra r a qui, c om oa nten orm en ~e, qu e .u ma . m S!ste nC ia pre ma tu ra n a prec isa o 1 6g ic a, ac us ta d o r ac io ci ni o imagmatrvo e p la us iv el , p od e s er c on tr ap ro du ce n-te para 0 desenvolvim en to da m ateria. Isto sera m ostrado num a dis-c ussa o po sterio r sob re a po le mic a do Analyst .~ N ew ton tivesse levado adiante sua in tencao de pub licar Deo.nalysl por vo lta de 1672 , nao teria havido prob lem as quan to a prio -n da de , po is a qu ela e po ca L eibn iz a in da n ao desc obrira a n ova a na lise'm as 0 receio da s c ritic as levo u N ew to n a pro te lar a pub lic ac ao . O re :su ltado foi um a po lem ics sobre a prio ridade, talvez m ais am arga doque qualquer ou tra que 0 c am po d a m ate ma tic a ja co nh ec eu . A a cri-m ania da dispu ta fo i causada nao tan to por an im osidade pessoal co-m o !.'D r ?rgu lho nacio~ , po is em torno de 1700 o s pa rtida rios da sfaccoes tm ~am pereeb ido que estava em jogo 0 credito por u rn ram onovo e um versa l da m atem atica , e nao sim plesm en te urn m etodo detangen tes novo ou urn algo ritm o novo . N ew ton e Leibniz tinham per-c eb ido q ue se rie s c om o

e

x3 x5 x7x-TT-T .. ,X2 x3 X4x-TT-T ..X2 x3 X4x-TT-g ..

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A busca do rigor

n em q ua n ti da de s f in it as , n em q u an ti da de s i nf in it am e n te ~ u en as , n e mn ad a, N ao po de ria m os c ha m a-lo s d e f an ta sm a s d e q ua ntid ad es q ue s eforam?O s arg um en to s no Analys t fo ram be~ esco l~ id~ ,. m as 0 desem-penh o do s m atem atico s b ritan ico s fo i i~ eh z .. A m ~bllidade do s opo-n en te s de B er ke le y p ar a d a r r es po st as s at Is fa t6 n as e vi de nt em e n te a m or -teceu 0 a rdor bri tanieo pela no va ana lise , e 0 nivel do s re su lta do s de

pesquisas to rn ou -se inferior ao do co ntinente. . A Em parte 0 n ivel m ais b aix o da am i l ise b ritan ic a po de ser at~ -buido tam bem a um a pers istencia da enf~ na sin tese ~ na geom etnae a desva ntag em , m uita s vez es su pere sh mada, en vo lvida n a a do ca oda s no ta~ fluxiom irias em lugar dos s im bolos nportunos d? ~~cu-1 0 d if er en c ta l e i nt eg r al . De q ua lq ue r m a ne ira , e ~q ua nto o s b ;,lta m co sse afIig iam n a bu sca do sig nificado da pa lavra evan escente , E ~le r,em p ar tic ula r, fa zia d a n ova a na lise 0 a ssu nto q ue c on he ce mo s h Oje -o estudo dos p rocesses infin itos . ,., . .'T am bem no con tinen te m atem anco s tive ram ~rn.o de ~ IO ~U le -tar co m re lac ao a validade dos m etodos do ~ lcu lo ~ l~e ren cJ al e inte-g ra l. B e rn ar d N ie uw e nt ij t fazia obje~ . a s d if er en c! al S d e .o rd em s u-pe rio r, e M ic he l R olle s us pe ito u, n o .I OI ClO ,q !l~ 0 c alc ulo h da va c ol?paraio gism os. M as, c on fo rm e a s crincas b n~ lcas . to rnavam -se m al.sve em e nte s, a s do c on tin en te iam a os po uc os s ile nc ia ndo . O s pr _o ce dt-m entos a lgo ritm ico s pro du ziam tan tos resu ltado s n o~ ~ n as m aos deJ oh an n B erno ulli e L eo nh ard E uler, que os m atem attcos relu tavamem questiona-Ios . , .Em 1772 , po rem , J ose ph L ou is L ag ran ge , u rn do s m atem atI.c osm ais a rg oto s do secu lo , experim en to u u ma explanacao alt~ rn ~tJ va ,que de u rn ce rto m odo re to rn ava a ~ I'!f as e d e !- ,e wt~ n e L eib niz e ms e ri e s i n fi n it a s. A m aio ria do s m ate ma ttc os se nu a-se a vo ntade e xpan -d in do ( po r divisao o u de algu m o utro m odo ) expressoes com o po r exem-plo 1 1 ( 1 + x) num a serie infin ita - no caso a sene

1 - x + x2 - x3 + X 4 - L ag ra ng e su geriu qu e 0 c oe fi cie nt e d o (n + l)-es im o term o n~a ex-pansao, q ua ndo div id ido po r nt , deveria ser to~do com o a d~vadaenesima d a f un ci o em x = O . (Pa ra va lores dlfere.n~ de .x - 0 ,. aexpansao g eral de T ay lo r se rve pa ra 0mesmo proposito.) V IO te e C IO -co an os mais tarde (1 79 7) L ag ra ng e fe z dessa ide ia 0 fundamente des eu t ra ta do c la ss ie o Thear i e des fonc t ions ana l yt i qu es , d o q ua l pr ov em ,e m g ran de parte, a teo ria m ode rn a da s fun co es de v.an avel real. ~a bo rda ge m d e L ag ra ng e teve pouca repercussao e ~ ats t< 1;r ~,f OI VIS-ta com o inadequada , m as de seu uso da frase fonction denvee resul-

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p od ia m s er u sa da s pa ra f un co es tr an sc en de nte s e xa ta me nte ta nto q ua n-to para funcoes algebricas - para tg x .e 1n(1 + x ), assim com o paraa ~ u nCao r ac io n al algebrica 2x/ (2 + x), E n atu ra l, po rta nto , qu e 0 con-c eito de fu nc ao vie sse a ser atrib uido g eralm en te a u rn do s in ven to resdo calculo, e essa dis tin cao coube a Le ibn iz . N ew ton estava a parda ideia geral, e de fa to 0 calculo de N ew to n destacava m ais clara -m ente qu e 0 de L eib niz a distin cao en tre variavel depen de nte e in de -pendente; rna 's Le ibniz fo i a inspiracao do s ec ul o XV II I devido a qua-lid ad e p eda go gic a de se u tr ab alh o, ta o dis tin ta de s ua q ua Iid ad e lo gic a.Entao, a vid am e nte e s em e sp ir ito c ritic o, matematieos da E uro -pa C on tin en ta l pu se ra m -se a e xp lo ra r a s p os sib ilida de s in er en te s a s s e -r ie s d e potencies i nf in i ta s. E s se movimen t o c en tr ou -se n o matemat i -co su ico L eo nh ard E uler, de sce nden te in telec tu al de L eib niz a tra ve sdo s e nsin am en to s de J oh an n B ern ou lli. A pro pria da rn en te, E ule r veioa ser cham ado "a encarnacao da a na lise" , devido a se u trab alh o liga-do ao estudo de processos infin itos . N as paginas de abertu ra de suaI n tr o d uc ti o i n a na ly s is i n fi n it o ru m (1748), E uler de fin iu u ma funcaode um a varia vel co mo " qu al que r expr e ss ao a na litic a f orm a da d e a lg o-m a m ane ira po r essa quantidade variavel e n tim e ro s o u q ua ntida de sc on sta ntes" , E ule r n ao deix a cla ro de in ic io 0que vern a ser um a " ex-p re ss ao a na lit ic a" ; m a s p os te ri or m en te , c om r el ac ao a v ar ia ve l z , a fi rm aq ue " na o Mduvida de qu e to da fu ncao dessa variavet pode ser tran s-fo rm ada n um a expressao infini ta da forma Aza + Bzl} + Czr + DZ6,e tc ." . N esse po nto E uler na o c he go u e xa ta m en te a visao m odem a deque um a serie c omo essa de fin e u m a funcao, m as seu tra tado de ix ouclaro 0 papel-chave que as series in fin ita s desem penh am n o estu dod a s f u nc o es .

Enquanto E uler e os m atem atico s do co ntinente eu ro peu avida-m ente acum ulavam desco berta s no cam po da no va an alise , co m pou -ca preo cu pa ca o qu an to a os fu nda me nto s lo gico s, in tele ctu ais britani-co s empenh avam- s e (c om po uco su ce sso ) em defe nder 0 metodo do sfluxos da s c ritic as de va sta do ra s do f il6 s0 fo e teologo Ge o rg e B e rk e le y ,p ub lic ad as e m 1734 no Analys t . D efen so res do s flu xo s m uitas ve ze sa rg um e nta ra m q ue o s in cre m en to s n a o de sa pa rec ia m m as eram " eva-n escentes" e fo i com respeito a isso que B er ke le y e sc re ve u e sta s c ele -b res lin has IS TR UIK (c): 338/:

Eo que s a o e s se s f l uxe s ? As v e lo c i dad e s d e i n c remen t o s ev anes -c e n te s. E o qu e s ao e ss es m e sm o s i nc re m en to s e va ne sc en te s? N i io s ao24


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tou a palavra m oderna " derivada" , e essencia lm en te e su a notacaoq ue u sa mo s a o e sc re ve r f' (x ) ou[n (r).A E sc ola Politecnica, onde L agrange ensinou , revelou os m aio -re s matemat icos f ra nc es es d o s e cu lo X IX. D entre e les nenhum foi taoin fluente ou pro lifico quan to A ugustin L ou is C auchy , a quem se de-ve princ ipa lm en te a apresen tacao m oderna dos conceito s do calcu loe m nive l u nive rsita rio . N o se u Cours d ' anai y se de l 'Eco l e Po l y te chn i-que , de 1821 , i ntr od uz iu u m a def inicao aper fe icoada d e l im i te : " Q ua n-d o o s va lo re s s uc es sivo s a tr ib uid os a u rn a v ar ia ve l a pr ox im a m- se in de -finida me nte de u rn va lo r fix o, c he ga ndo a dife rir de le ta o IX >U COu an -to se dese je, este u ltim o e cham ado lim ite de todos os outros" .A lu z da m atem atica con tem poranea, essa definicao e sta lo ng ede ser ace itavel, po is nao deixa claros os papeis d if er en te s d as v ar ia -ve is de pe nden te e in de pen de nte ; m as e ra ade qu ada pa ra o s co nte mpo -ra ne es de C au ch y. 0 au to r prossegu iu defin indo a derivada de um afuncao [(x) como 0 lim ite da ra mo

fly [(x + Ax ) - [(x)- -..:_____--,-----Ax Axconfo rme Ax tende a z ero . Enquan to a diferencial era a n o c a o basicano trabalho de Leibn iz , ago ra a derivada passou a ser fundam en ta l- se ndo a difere nc ial dy s implesmen te 0 produto f' (x)Ax. Ademais ,enqcanto n o tra ba lh o de L eib niz e ,afortiori, no de N ew ton a integ ra l de[(x) era considerada em grande parte com o urna an tiderivada - istoe , o ut ra funcao da q ual [(x) e a derivada -, Cauchy enfa tizava quea in teg ral de [(x) e d efin id a, in de pe nd en te m en te d a d er iva da , c om o 0lim ite de urna som a carac teristica . Foi do pon to de vista de Cauchyq ue se de se nvo lvera m a s a mpla s g en eraliz ac oes m odern as da in te gra l,N ao seria exato deixar a im pressao de que Cauchy era 0 unicoa desenvo lver a fundam en tacao do calcu lo no in icio do secu lo X IX .N a e I X > C 3 vivia n a B oe mia B ern ha rd B alz ano , u rn sa ce rdo te , fil6 s0 foe m atem atico que procurava aritm etiz ar a analise ; e sua definicao dederivada era a m esm a de Cauchy. A lern disso , B alz ano e C auchy che-g a r am , i n dependen temen t e, a d efin ic ao d e fu nc ao contlnua, Segundoe le s, u ma fu nc ao [(x) e con tinua num in tervalo se para todo valo rd e x n es se in te rv alo a d ife re nc a fix + Ax) - [(x) t or na -s e e p erm an ec em e no r q ue q ua lq ue r q ua ntid ad e d ad a, p ar a Ax s u fi ci en tem e nt e p eq u en o .As nocoes do calcu lo confo rm e foram apresen tadas por C auchye B alz ano aproxim am -se bastante da fo rm a com o s a o m o str ad as h o-je n um prim eiro c urso , m as, e m su a e xposic ao , c ertas expressoes care-c iam de precisao, 0 q ue s ao e xa ta m en te " va lo re s s uc es siv os "? 0qu es ig ni fi ca " a pr ox im a r- se i nd ef in id am e nt e" o u " to rn ar -s e e p erm an ec er "?

Eo que e u m a q ua ntid ad e " su fic ie nte rn en te pe qu en a''? C om a c re sc en -te a ritm etiz ac ao da matemat ica, a m edida q ue 0 se cu lo X IX ava nc ava , essas f ra se s d er am lugar, na s prelecoes d e K a rl W e ie rs tr as s, a ele-g an cia e a pre cisa o da de fin ka o de lim ite via " epsilo n-delta ", e a ide iava ga de " apro xim ac ao " fo i su bstitu ida IX >r um a lin gu age m pu ra me n-te n um er ic a, D iz -s e qu e L e ur n lim ite d a funeao [(x) para 0 valorx = a se , da do q ua lq ue r n um ero po sitivo E ., e xis te u rn n um e ro positi-vo d tal qu eI[(x) - L I< E.

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para qualquer x q ue ve rifiq ue 0 < Ix - a I< d.D eve -se n ota r q ue e a funeao que tern u rn lim ite, e nao algo va-g o c h an ia do "variavel", A ideia gera l de um a quan tidade que depen-de de (o u va ria c om ) o utra q ua ntida de pode se r e nc on tra da n o tra ba -lho de O resm e, no secu lo XN; e L eibn iz usara a palavra " funcao" ,de certo m odo , no sen tido m oderno . Por tras do trabalho de N ew tonesta va , de m an eira b ern de fin ida , a n oc ao de q ua ntida de va ria ve l c omo tem po e, dai, d e d ep en de ne ia m utu a. A in flu en te In t roduct io de E u-le r e nfa tiz ara u ma " expre ssa o a na litica " n a definicao d e fu nc ao , e m bo -ra em ou tra associacao tivesse sugerido que qualquer cu rva desenha-da a m ao livre determ inava um a relacao funcional.C om a te nde nc ia a a ri tm e ti za ca o d ur an te 0 secu lo X IX , a nocaode correspondencia tom ou-se dom inante em analise; assim , P. G . Le -jeu ne D iric hle t diz ia q ue y e um a funcao de x se para cada valo r dex co rresponde urn ou m ais valo res de y. (Ho j e, co nven c io n a lmen t e ,om item -se as palavras "ou m ais" na defin icao .l A aritm etiz acao daf un ca o e st ab el ec eu -s e f ir m em e nt e c om 0que, a s v ez e s, s e c ham a " te or iaesta tica w eierstrassiana da variavel" . Em outras palavras, um a va-riavel independen te x nao "varia" no sen tido usual do term o; e sim -plesm en te u rn conjun to de num eros - m uitas vez es, em analise, 0con jun to dos rnim eros rea is -, ho je cham ado " dom in io" . U m a funcao[(x) da va ria vel inde pe nden te x e s im ple sm en te , e nta o, o utr o c on ju n-to de num eros, ago ra conhecido com o " Im agem ", de m odo que a to -do valo r de x corresponde exatam en te urn un ico valor de [(x).O s ultim os anos do secu lo X IX assistiram ao desenvo lvim entoda teo ria dos con jun tos por Georg Canto r, e sua abordagem dos fun-dam en tos da analise to rnou-se desde en tao caracteristica do secu loXX . C onsequen tem en te , ho je a ide ia d e funcao e g er al m en te d ef in i-da na linguagem rigo rosam en te nao am bigua de conjun tos: "D adosd ois c on ju nto s d e e le m en to s, respectivamente d en ota do s I X> rA e B,d iz em o s q ue B e funcao de A - ou que A e a plic ad o e m B, A -B - quando para todo elem en to de A M u rn e le m en to c orr es po nde n-

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CApSULA 1

ramos da fisica (estAtica e hidrodinamica). Tornou-se famoso por suasmvencees mecanicas, algumas delas utilizadas na defesa de Siracusacontra 0 ataque das tropas romanas comandadas por Marcelo. Segun-do a lenda, Arquimedes foi morto por urn soldado romano durante atomada da cidade enquanto estuclava urn diagrama geometrieo na areia.Em seu trabalho sobre areas e volumes, desenvolveu tambem 0metodo d e exaustao, pelo qual aproxima-se a quantidade desejada pe-la s somas parciais de uma serie ou pelos termos de uma sequencia.Obteve aproximacoes da area de urn circulo comparando-a com asareas de poligonos regulares inscritos e circunscri tos. Usando poligo-nos de noventa e seis lados, mostrou que a area de urn cireulo man-tern para com 0 quadrado de seu raio uma ramo que se situa entre3 10171 e 3 10170, numa estimativa de n notavelmente boa. Achouque a area de uma superficie esferica e 0 quadruple da a r e a de seucirculo maior - resultado que Ihe possibilitou comparar esferas e ci -lindros. Este resulta~ foi comemorado em seu tumulo com a orna-mentacao gravada de uma esfera inscrita num cilindro. Achou tam-bern volumes de esferas e de segmentos determinados pela interseceaode pianos com varias superficies quadricas,o segredo das descobertas de Arquimedes veio parcia1mente aluz em 1906, com a redescoberta de urn tratado de sua autoria. Nes-se trabalho, enviado a seu amigo Erat6stenes, ele explicava como ti-nha chegado a alguns de seus resultados (na verdade, quase efetuan-do integracoes em muitos casos importantes), para os quais depoisbuscava provas. Isto esta bern ilustrado no problema da quadraturada parabola, conforme mostra a Figura (1]-1.

u

te em Be quando nADha dois elementos distintos em B que corres-pondam ao mesmo elemento de A".Para tornar 0 conceito ainda mais preciso, freqOentemente deft-ne-se a relacac funcional entre A e B como "0conjunto dos pares or-denados (a, b), onde a e urn elemento de A e b e urn elemento de B,de sorte que se (r, p) = (r, q), entao p = q.Com os aprimoramentos da nocao d e funeao, 0calculo estava fa-dado a sofrer ~lteracOes. A nocao de integral, por exemplo, modificou-

se t_anto, que ja nao se fala em "a" integral. Ha muitos tipos de inte-grais, formulados para cobrir os tipos cada vez mais amplos de fun-c o e s que foram sendo considerados.Se Eud6xio ressurgisse no seculo XX, certamente teria dificulda-de em reconhecer esses descendentes do metodo de exaustao; mas ele. . 'se sentma completamente a vontade com respeito pelo menos a umaspecto da matematica de hoje. 0 empenho pela precisao de pensa-mento do qual surgiu 0 antigo caleulo integral encontra hoje urn cor-respondente na insistencia comparavel quanto ao rigor em analise.Eud6xio compartilharia 0 sentimento d e orgulho sugerido pelo usoconstante da expressao "0 calculo", que distingue essa materia doscalculos comuns, muitas vezes erroneamente considerados pelos leigoscomo seodo a preocupacao dos matematicos.

RODNEY T. HOOD

o

A antecipacao de Arquimedesao calculo

Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C} e considerado consensual-mente 0 maior matematico da antiguidade. Superou todos os outrospel~ quantidade e dificuldade dos problemas de que tratou, pela origi-nalidade de seus metodos e pelo rigor de suas demonstracoes, Interes-sava-se tanto pela matematica pura quanto pela aplicada e criou dois28

"""'-_--- '- _ _ ---'- - ---==:!!Io ., AB 0F IG URA [ 1]- 1

M

Seja s a regiao limitada por uma parabola p e uma corda ABd e ponto medic M. Seja t a tangente a p em A. D os pontos B e M29


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tra cam -se reta s pa rale la s a o eix o, a s q ua is in te rce pta m t em DeE,r es pe ctiv am e nte ; s up on ha m os q ue ME intercepte p em C , pon to estecham ado de ven ice de s. P or u rn teorem a an terio r conhecido , C eoponto medic de ME. Seja fa re ta que contem AC e in diq ue mo s po rF su a interseceao co m BD.N esta altu ra A rq uim ede s co mpa ra 0 s eg me nto p ar ab olic o s co rno t ri an g ul o ABD. Seja 0 urn pon to qualquer de AB. Suponhamosque a re ta por 0para le la ao eixo de p intercepte p, t e t n os p on to sP, Q e R, re spe ctiva me nte. D evido a o utro te ore ma co nh ec idoOP: OQ = OB_:AB = RF: AF.

Neste pon to ele da urn passo e n ge n ho s o: c o ns id er a t com o um a ala-vanca , com fu lcro em F, e tom a 0 ponto T em t de m aneira que F se -ja 0 pon to m edic de A T. Em T e le " pe nd ur a" u rn s eg me nto UV, con-gru en te a OP. Entao, da equacao acima:UV: OQ = RF: AF = RF: TF, ou UV TF = OQ . RF.

Assim 0 segmen to UV, suspenso pelo seu pon to m edic T, esta eme qu il ib ri o c om 0 segmen to OQ, suspenso pelo seu pon to m edic R.A rq uim e de s im a gin a a go ra 0 triangulo ABD como a un iao de todoso s se gm e nto s c om o OQ, para le lo s a o e ix o. C ada u rn dele s te rn urn se g-rn en to c or re sp on de nte O Pc on gr ue nte a u rn s eg m en to UV, q ue se " pe n-dura" em T. D esta fo rm a e le c on ceb e 0 tria ng ulo e m e qu ilib rio co mJ) s eg m en to p ar ab ol ic o s, que se im ag ina suspenso em T. Alem dom ais, c om o se sa bia pre viam en te , po de -se c on side ra r 0 t ri an gu lo s us -penso pelo seu baricen tro , que e 0 pon to G de t ta l q ue FG = 113FA = 1/3 FT. Portanto, S e o tria ng ulo ABD te rn areas cu ja raz aoe 1 :3 . F ina lm en te , a area do triangu lo ABD e 0 quadruple da aread o t ri an g ul o ABC, e tem os a descoberta de A rqu im edes: a area dos egm en to p a ra b ol ic o e 4/3 da area do triangu lo com a m esm a base eo m e sm o v ertic e,P ara de mo nstra r e sse resu lta do . q ue de pen de ta nto de u ma in tu i-ca o b rilh an te, A rq uim edes u sa 0m eto do de e xa usta o [12 ] . Inscreveno segm en to urn triangu lo de m esm a base e rnesm o vertice, A s eg ui r,e m c ad a u rn d os s eg me nto s p ar ab olic os r es ulta nte s, in sc re ve ig ua lm e n-te u rn tria ng ulo, e c on tin ua a in sc reve r tria ng ulo s n os se gm en to s pa ra -b olic os resu lta nte s em c ada e ta pa . P ro va en ta o q ue pa ra c ada tria ng u-1 0 os do is triangu los constru idos sobre seus lados tern um a area to talqu e e 1 1 4 da area do triangu lo dado . D essa fo rm a ele " exaure" 0 seg -m e nto p ar ab olic o, r em ov en do s uc es siv am en te e ss es tr ia ng ulo s in sc ri-to s. A a r e a to ta l p od e s er a pr ox im ad a por um a som a de areas que,ag rupadas adequadam en te , levam a um a progressao geom etrica em30

qu e carla te rm o, s alv o 0 primeiro, e 1 1 4 d o a n te r io r . A som a de talprogressao geometrica e 4/3 d o p ri m ei ro t er m o. C u id ad os am e nt e, Ar-quimedes rnostra que a area do segm en to parab61 ico na o pode exce-d er 4/3 da area do prim eiro triangu lo inscrito e , da m esrna fo rm a, quenso pode ser m enor que esse valo r. Assim ele chega a conclusao dese-jada e , evitando a arm adilha dos infinitesimos e das operacoes co m I i-mites, a tin ge u rn nivel de rig or in su pera do a te 0 s ec u lo XV II I.

Leituras suplementares,ARQUIMEDESBOYER (a): 48 -60H EA rn : 2 77-34 2

M E S CHKOWSKI : 1 3- 23D . E . S M I TH (a) : II. 679 84

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CApSULA 2

Simon StevinRALPH C. HUFFER

H ouve urna lacuna de dez oito secu los en tre A rqu im edes eo pro -xim om atem atico a dar c on tr ib uic oe s de m o nta Iih id ro sta tic a e li e sta -tic a d os s 6lid os : S im on S te vin ( 15 48 -1 62 0) . S te vin d ese n v olv ia o s pr in -c ipio s d a e sta tic a e nq ua nto G alile u G alile i ( 15 64 -1 64 2) tr ab alh av a c omdin am ic a. S te vin e G alile u la nc ara m o s fu nda me nt o s da m e ca ni ca a pl i-cada . U rn do s pro ble mas Q ue da ria m fa ma a S te vin (le van do -o a in ve n-tar um m etodo encon trado ainda ho je em textos de calcu lo l foi 0 deachar a fo rca to ta l da agua sobre u rn dique . A te por vo lta de 1586 aun ica m aneira de enfren tar esse problem a era 0 m eto do d e e xa us ta ode Eudoxio - u rn processo tedioso e dific il. N um esfo rco para acharu m a s olo ca o r na is s im ple s, S te vin u tiliz ou 0 f at o, e nt ao r ec en tem en tede sc ob erto , de a pre s sa o se r in de pe nden te da dire ca o, so b a su pe rfic ied e u rn liq uid o.

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5/10/2018 Carl B. Boyer_Topic

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