Caracterización Fractal de Señales Ultrasónicas de Materiales Policristalinos P. Barat (1997) Gabriela Messineo Sistemas Dinámicos - 2009.

Caracterización Fractal de Señales Ultrasónicas de Materiales Policristalinos

P. Barat (1997)

Gabriela MessineoGabriela Messineo

Sistemas Dinámicos - 2009Sistemas Dinámicos - 2009

Resumen Se utiliza la geometría fractal para caracterizar señales temporales discretas provenientes del scattering provocado por la estructura policristalina de dos metales, aluminio y latón.

Se evalúa la dimensión fractal de estas señales mediante el box-counting y el análisis de reescalado de rango de Hurst.

La dimensión fractal de las señales es única, aún cambiando el tiempo de muestreo.

Las señales del aluminio presentan carácter de auto-similitud y naturaleza anti-persistente; las que provienen del latón tienen naturaleza auto-afín y persistente.

Las señales del latón poseen multifractalidad

Algunas definiciones previas

Multifractalidad: conjunto formado por una jerarquía de subconjuntos, cada uno de ellos de carácter fractal. Este conjunto y cada una de sus partes debe ser invariable bajo transformaciones de cambio de escala.

Auto-similitud: las partes pequeñas se parecen al todo sin importar la escala utilizada. Ej.: Conjunto de Cantor

Auto-afinidad: la similitud es aproximada o estadística. Ej.: un árbol y sus ramas

Persistencia: una serie temporal es persistente cuando tiene efectos de memoria a largo plazo. La perisistencia es medida por el coeficiente de Hurst.

Introducción

Se mide:-Atenuación: depende de la geometría, los transductores, etc.-Velocidad de propagación: no es sensible a las variaciones en la microestructura.

Técnica de pulso-eco Microestructura de materiales policristalinos

TRANSDUCTORTRANSMISOR-RECEPTOR

MATERIAL

La onda incidente se encuentra con los micro granos del material y sufre “scattering”. Entonces en el transductor, además de aparecer el eco Proveniente de la pared opuesta, aparece una señal muy irregular entre dos ecos sucesivos.Esta señal de “scattering” presenta información sobre la microestructura y su variación espacial.

IntroducciónPolicristalinidad variación espacial microscópica imposible predecir la totalmente aleatoria señal de scattering

La caracterización de la estructura de materiales policristalinos debe realizarse con algún análisis estadístico

El pulso ultrasónico recorre la misma estructura de ida y vuelta una y otra vez

La amplitud decrece como resultado de la absorción y el scattering

Este movimiento produce un cambio de escala y puede dar origen a estructuras auto similares

a la señal completa

El reconocimiento de la propiedad de auto similitud en la señal aparentemente aleatoria y desordenada puede usarse para caracterizar la estructura y su

variación espacial

Técnicas usadas para la evaluación de la dimensión fractal

Se necesitan al menos dos técnicas diferentes para realizar una evaluación fehaciente de la dimensión fractal de una serie temporal.

Box-counting

Método de reescalado de rango de Hurst

Método box-counting

Se considera la dimensión de box-counting, que en R2 se define como

Donde M es el menor número de subconjuntos que se necesita para cubrir un subconjunto acotado que pertenece a R2 y d es la longitud del lado de M.

)]d/1log(/)M[log(límD0d

BC

El procedimiento de estimación se lleva a cabo de la siguiente manera:

a) La señal discreta con N puntos de muestreo se normaliza en tiempo y amplitud, de modo de quedar en un cuadrado de 1x1.

b) Se elige un conjunto de tamaños de cubos: de manera que dm tienda a cero lentamente. En teoría la dimensión fractal es independiente de la resolución temporal por la propiedad de invariancia de escala de los fractales, es decir que dm puede ser infinitamente pequeño. Pero para señales discretas el menor dm será 1/N, tal que m sea igual a la unidad (un período de muestreo). En la práctica se busca que sea un múltiplo del período de muestreo. En este trabajo se usó m=100.

c) Se cubre el cuadrado unidad con cuadrados de lado m. Para cada dm se cuenta el número de cuadrados necesarios para cubrir la señal entera.

d) Se grafica log(M) vs log(1/d) para distintos valores de m y se estima la dimensión,DBC, como la pendiente de la recta que aproxima a los puntos mediante mínimoscuadrados.

)M,...,1m,Nd( *mm

Método box-counting

Conjunto de datos temporales de dimensión N

Media

Desviación standard

Separación acumulada de la media

Desarrollo estadístico

Análisis y caracterización de series temporales ruidosas sin periodicidad pero que mantienen la correlación a largo plazo.

Análisis de reescalado de rango de Hurst

ix

N

iixNNx

1

/1)(

2/1

1

2))((/1)(

N

ii NxxNNS

n

1ii Nn0))N(xx()N,n(X

Análisis de reescalado de rango de Hurst

El rango de separación acumulada de la media es

)},({)},({)( NnXmínNnXmáxNR El rango reescalado compara la separación acumulada con la desviación standard del conjunto de datos.

Para observar la tendencia dentro de un conjunto de datos se divide el conjunto en subconjuntos más pequeños y se hace este análisis para cada parte y luego se calcula el promedio. Primero se calcula para N/2, luego N/4, N/8 y así siguiendo. A partir de ello se hace un gráfico log-log de R/S vs. el rango de división y se estima el coeficiente de Hurst, H, a partir de la pendiente de la recta que ajusta a los puntos.

)(/)()/( NSNRSRN )(/)()/( NSNRSR N

0 1

aleatorioantipersistente persistente

0.5

Análisis de reescalado de rango de Hurst

Relación entre el coeficiente de Hurst y la dimensión fractal:D=2-H

Análisis de tendencia experimental del rango sobre la desviación standard (ROSETA):

-Se basa en el método anterior-Brinda un mayor grado de información útil: espectro de coeficientes de Hurst y dimensiones fractales

El conjunto original se subdivide en conjuntos más pequeños y éstos son tratados como un conjunto de datos completo al que se le aplica el algoritmoR/S. Se genera una dimensión fractal para cada segmento de datos y a través de ello se obtiene un espectro de dimensiones fractales.Permite analizar la desviación de los datos en cada sección de la dimensión fractal global y predecir si la señal discreta tiene carácter multifractal.

Experimento

Generador de pulsos

materialosciloscopio

PC

RS 232

Transductor: frecuencia central 5 Mhz. Cristal 12.5 mm

Período de muestreo de la señal de scattering: 10 ns (fs=100 Mhz)

Número de puntos de muestra que conforman la señal: 4500

Se utilizaron los dos métodos descriptos previamente para estimar la dimensión fractal de laseñal temporal.Para evaluar la invariancia del método se cambió la frecuencia de muestreo a la mitad y se evaluaron sólo 2700 muestras.

Señales temporales correspondientes al aluminio y al latón:

ALUMINIO LATÓN

No brindan mucha información, excepto por su aparente aleatoriedad en la zona de scattering.Dimensiones fractales estimadas para ambos materiales por medio de los dos métodos:

Resultados y discusión

Material Espesor

(mm)DBC D=2-H

Atenuación (dB/cm)

Aluminio 9.92 1.58 1.59 1.16

Latón 9.99 1.39 1.43 3.34

Resultados y discusión

La señal que proviene del aluminio presenta muchas más oscilaciones que la del latón y su dimensión fractal es mayor. La mayor oscilación se debe a un mayor scattering comparado con el proveniente del latón para un pulso de ultrasonido idéntico.

La figura muestra que el scattering es mayor en el aluminio. Sin embargo el latón tiene mayor atenuación, lo que significa que el pulso ultrasónico es absorbido en mayor medida que en el aluminio.A causa de esta mayor atenuación en el latón la amplitud de las oscilaciones disminuyen mucho, lo que hace que la dimensión fractal evaluada por métodos independientes difiera, y la señal tiene carácter auto afín. En cambio en el caso del aluminio, que no es tan atenuador y produce mayor scattering, las señales de scattering son más oscilatorias y las dimensiones fractales estudiadas son casi las mismas, por lo que su carácter es auto similar.

Resultados y discusión

Para la señal completa H(aluminio)=0.41<0.5 H(latón)=0.56>0.5

AntipersistentePersistente

ESPECTROS DE COEFICIENTES DE HURST (ROSETA)ALUMINIO LATÓN

En el caso del aluminio el coeficiente de Hurst de los primeros conjuntos es mayor que para los siguientes, es decir, decrece a medida que pasa el tiempo. En el latón se observa el fenómeno contrario. Esto quiere decir que la dimensión fractal aumenta a medida que pasa el tiempo en el caso del aluminio, y en el latón ocurre lo opuesto.

Las dimensiones fractales estimadas con fs=100 Mhz y con fs=50 MHz son idénticas por el método de box-counting.

Conclusión

La evolución temporal de las señales de scattering son muy irregulares y el análisis fractal es útil para caracterizarlas.

La microestructura que causa más scattering y menos absorción de la señal de excitación genera señales de mayor dimensión fractal y de carácter auto similar.

Este trabajo promete grandes desarrollos en la caracterización de la microestructura de materiales policristalinos.