Capítulo 5. Análisis sísmico. Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 84 CAPÍTULO 5. ANÁLISIS SÍSMICO.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 84
CAPÍTULO 5.
ANÁLISIS SÍSMICO.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 85
5.1. MODELOS BÁSICOS.
Como se explica en el apartado 3.5., se efectúa el análisis sísmico para cada modelo,
aplicando la dirección de la aceleración del espectro primero en dirección X y luego en
dirección Y.
Se obtendrán los coeficientes de participación de los modos, así como las masas
efectivas correspondientes a los mismos. También se obtienen los desplazamientos máximos
de la estructura.
Seguidamente, se hace un análisis estático de cada modelo introduciendo una
aceleración de valor igual a la máxima aceleración del espectro y con dirección X e Y según
corresponda, con el fin de obtener los desplazamientos y reacciones para comparar los
resultados obtenidos con los que provienen del análisis sísmico.
5.1.1. Aceleración del espectro en dirección X:
En primer lugar, se obtiene la tabla de coeficientes de participación modal y la
masa efectiva para cada modelo.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.496 3.6770 309.2 95574.7
2 1.606 3.6770 9.988 99.7602
3 1.948 3.6770 -17.56 308.224
4 6.843 3.2267 1.536 2.36036
5 8.857 2.7245 1.187 1.40912
6 9.558 2.5995 9.544 91.0947
7 9.691 2.5778 42.29 1788.56
8 9.952 2.5368 1.108 1.22797
9 10.88 2.4075 -3.940 15.5251
10 11.76 2.3030 -5.524 20.4682
97903.3
Tabla 18: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo básico Abderramán I.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.671 3.6770 342.7 117452
2 1.822 3.6770 -0.6477 0.419506
3 2.060 3.6770 1.886 3.55872
4 5.465 3.6770 0.6135 0.376333
5 7.862 2.9406 1.079 1.16404
6 8.051 2.8953 59.93 3591.95
7 8.406 2.8164 -0.5427 0.294563
8 9.851 2.5524 -0.7491E-01 0.0056122
9 10.19 2.5011 0.5202 0.270580
10 10.38 2.4742 -6.260 39.1851
121089
Tabla 19: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo básico Almanzor K=2·109N/m
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 86
Tabla 21: Masas totales modelos básicos.
Se calcula que para el modelo Abderramán I, la masa efectiva del primer modo
para este caso es el 92.66% de la masa total, mientras que en el modelo Almanzor con
la constante de rigidez (K) mayor es el 93.90% y en el modelo de Almanzor con K
menor es el 93.77%.
Los resultados obtenidos son congruentes, puesto que para la primera
frecuencia natural tenemos un modo de vibración de flexión en X que a la vista de los
coeficientes de participación es el más excitado cuando introducimos la aceleración del
espectro en dirección X.
De igual manera, se observa que, después del primer modo, el coeficiente más
alto (en valor absoluto) aparece en el modo 6 para el modelo de la parte antigua y en
el modo 7 para el modelo de Almanzor. Si se mira la Tabla 6, donde se exponen los
resultados del análisis modal, se puede comprobar que en ambos caso se trata de una
flexión en X de las dos filas de soportes en el mismo sentido, cosa que es congruente
con el razonamiento anterior, puesto que al introducir la aceleración en X se están
excitando las frecuencias naturales asociadas a modos que se relacionan con esa
dirección.
Ya que en este análisis la solución obtenida se compone de una superposición
de los distintos modos de vibración según el correspondiente coeficiente de
participación, los desplazamientos máximos son propiciados por el modo dominante
que a su vez es excitado por la aceleración del espectro cuya frecuencia natural
coincide con la correspondiente.
La masa efectiva movilizada por el modo dominante alcanza o supera el 90%
de la masa total de la estructura. Para el modelo de Almanzor se ronda el 95%. Esto
deja ver la importancia y clara predominancia del modo dominante respecto al resto
de los modos.
En cuanto a la variación del valor de la constante de rigidez (K) de los apoyos
en el modelo de Almanzor, las diferencias entre los coeficientes de participación de los
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [m]
1 1.662 3.6770 342.5 117288
2 1.807 3.6770 -0.6433 0.413876
3 2.055 3.6770 1.786 3.19077
4 5.463 3.6770 0.5496 0.302086
5 7.860 2.9410 5.009 25.0904
6 7.896 2.9322 60.75 3690.06
7 8.231 2.8545 -0.5821 0.338877
8 9.612 2.5906 -0.4426E-01 0.195888E-02
9 10.05 2.5219 0.2471 0.610629E-01
10 10.36 2.4766 -6.788 46.0723
121054
Tabla 20: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo básico Almanzor K=2·108N/m
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
Masa total [kg] 103150 125080
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 87
modos y masas efectivas son realmente pequeñas. Para los modelos básicos con los
que se está tratando en este capítulo, se puede afirmar que la variación de la
constante de rigidez (K) en un orden de magnitud no tiene un efecto importante.
De esta manera y teniendo en cuenta que la frecuencia natural referida a los
tres primeros modos y más importantes (por implicar un movimiento generalizado de
la estructura) corresponde a valor máximo de aceleración en el espectro, es de esperar
que los desplazamientos máximos en este análisis sísmico sean del mismo orden a los
provocados por la aplicación estática de una aceleración de valor igual al máximo del
espectro y de dirección X en este caso.
A continuación se presenta la tabla con el resumen de los resultados referidos
al desplazamiento horizontal máximo en el análisis sísmico (espectro en X) y en el
estático, como se explicó al final del apartado 3.5.1. En este caso, para hacer el análisis
estático aplicando la carga de inercia, la aceleración que corresponde al modo
dominante (y en general a los primeros modos) en el espectro tiene un valor de 3.677
m/s2, y se introduce con dirección X. En la Figura 69 se puede apreciar la solución
nodal de los desplazamientos máximos obtenida del análisis sísmico para los distintos
casos, y la Figura 70, con los desplazamientos máximos obtenidos del análisis estático.
Tabla 22: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección X. Modelos básicos.
Modelo
Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelo Almanzor
K=2·108 N/m
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.048848 Esquina techo
0.037570 Borde techo
0.038059 Esquina techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.047113 Borde techo
0.037293 Borde techo
0.037745 Esquina techo
Figura 69: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección X. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 88
A la vista de la Tabla 22, se puede apreciar una diferencia considerable entre el
desplazamiento máximo en el modelo de Abderramán I y el modelo de Almanzor. Para
el primer caso, el desplazamiento máximo es superior, en particular, 1cm mayor. Lo
cual está de acuerdo con los resultados anteriores del análisis modal y que viene a
afirmar el efecto de la irregularidad en geometría y materiales en el modelo de
Abderramán I.
Por otro lado, de nuevo se observa que la variación de la constante de rigidez
en el modelo de Almanzor no supone gran diferencia en los resultados. Para el valor
más pequeño de K, los desplazamientos son levemente mayores, lo que concuerda con
el hecho de que la estructura pierda rigidez.
En cuanto a los resultados del análisis estático, hay que decir que el hecho de
que siempre se tengan desplazamientos máximos inferiores a los del análisis sísmico,
muestra que no se estaría por el lado de la seguridad al analizar esta estructura
dinámicamente partiendo de los resultados del análisis estático.
5.1.1.1. Comprobaciones de rotura.
Una vez realizado el análisis sísmico, se obtiene el listado de resultados
con las tensiones de cada punto. En concreto, para la aplicación del criterio de
Willam-Warnke (véase apartado 3.5.2.), se necesitan conocer las tensiones
principales en cada punto. En la Figura 71 se puede ver la distribución de las
tensiones principales tras la aplicación del espectro de aceleraciones en
dirección X.
Figura 70: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis estático, dirección X. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor
Figura 71: Distribución de tensiones principales. Modelo básico Abderramán I. Espectro en X. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 89
Si se revisan las hojas de cálculo, hay varios puntos donde se supera el
criterio de rotura. En particular, los puntos más desfavorables aparecen en la
parte inferior de las columnas de mármol tanto en el modelo Abderramán I
como en el modelo Almanzor. Otro punto desfavorable en el modelo
Abderramán I son los arcos, y más en particular las partes más cercanas a las
intersecciones. En el modelo Almanzor, este punto no presenta problemas
debido a la ligeramente mayor resistencia a compresión y a tracción del la
fábrica de caliza frente a la fábrica mixta de caliza y ladrillo.
En las pilastras y los muros superiores, las comprobaciones se cumplen
en todos los puntos en ambos modelos.
El incumplimiento del criterio puede atender a distintas razones según
se considera una u otra parte del modelo. En la base de las columnas, el
problema está en la aparición de tensiones de tracción cuando la estructura
flecta por efecto del sismo. Si se observan los resultados en la Figura 71, donde
se ve la distribución de la primera tensión principal, se puede apreciar que en
la base de las columnas aparecen altos valores de tensiones de tracción,
alcanzando hasta un máximo del orden de 53.350 MPa en el modelo
Abderramán I y 46.501 MPa en el modelo Almanzor, los cuales teóricamente
no pueden ser soportados por el mármol por su escasa resistencia a tracción.
En las columnas de granito (Resistencia a tracción: σt=15 MPa), también
aparecen algunos puntos en los que no se cumple el criterio, pero muchos
menos que en las columnas de mármol (Resistencia a tracción: σt=10 MPa). En
cualquier caso, todos los materiales que forman esta estructura funcionan muy
bien a compresión, pero son materiales frágiles y de escasa resistencia a
tracción, de modo que la aparición de tracciones siempre será algo a lo que
prestar atención.
Por otro lado, en cuanto a los arcos del modelo Abderramán I, sucede
que el estado tensional es considerablemente complejo, puesto que por una
parte trabajan a compresión en el plano de las arquerías, mientras que la
aplicación de las cargas sísmicas en dirección Y solicitan dichos arcos también
en esa dirección. Todo ello sumado a la escasa resistencia tanto a compresión
como a tracción de la fábrica mixta de caliza y ladrillo propia de la parte
Figura 72: Distribución de tensiones principales. Modelo básico Almanzor (K=2·109 N/m). Espectro en X. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 90
antigua de la Mezquita (modelo Abderramán I) explica que no se cumpla el
criterio en ciertos puntos.
En la revisión de la comprobación de rotura del techo mediante el
criterio de Hoffman (véase apartado 3.5.2.), se aprecia que todos los puntos
cumplen holgadamente dicho criterio tanto en el modelo Abderramán I como
en el modelo Almanzor. También se puede observar que en el techo se da un
estado de tensiones plano, donde no hay componente vertical de tensiones,
esto es: ��� = ��� = ��� = 0. La situación del techo se aproxima mucho al
caso de una placa delgada cargada mediante fuerzas aplicadas en el contorno y
paralelas al plano de la placa, ejemplo por definición de estado plano de
tensiones.
5.1.1.2. Comprobación de desplazamientos.
Como se apuntó previamente en el apartado 3.5.2, en una situación
accidental como sería el terremoto, y a efectos de análisis de una estructura
edificada sin consideración de diseño sísmico alguno, no sería necesario hacer
comprobación en servicio. Más aún si la comprobación en condiciones últimas
no se cumple.
Sin embargo, puesto que aquí no se están tratando el diseño y a
efectos orientativos, se procede a realizar dicha comprobación para los
desplazamientos horizontales. Sabiendo que aproximadamente la altura total
del modelo Abderramán I es 8.40 m y la del modelo Almanzor es 8.00 m, se
comprueba:
- Modelo Abderramán I: 0.04884�.≰ .��
���= 0.0168�.
- Modelo Almanzor (K=2·109 N/m): 0.037570�.≰ .��
���= 0.016�.
- Modelo Almanzor (K=2·108 N/m): 0.038059�.≰ .��
���= 0.016�.
Como se aprecia, no se cumple la condición de aptitud al servicio en
desplazamientos para ninguno de los casos. Comparativamente, el modelo
Almanzor se queda más cerca de cumplir con la condición.
5.1.2. Aceleración del espectro en dirección Y:
Se aplica el espectro de aceleraciones en dirección Y. A continuación se
muestran las tablas de coeficientes de participación y masas efectivas
correspondientes a cada modelo:
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 91
Se calcula que para el modelo Abderramán I, la masa efectiva del segundo
modo para este caso es el 89.59% de la masa total, mientras que en el modelo de
Almanzor con la constante de rigidez (K) mayor es el 95.34% y en el modelo Almanzor
con K menor es el 95.02%. Estos resultados enlazan con el hecho comentado en el
apartado 4.1 referente al análisis modal, donde se podía ver que para el segundo
modo en el modelo Abderramán I, no había un desplazamiento uniforme como sí lo
había en el modelo Almanzor.
Se aprecia que el modo dominante en esta ocasión es el segundo, que es una
flexión de toda la estructura en dirección Y. Razonando de manera análoga al caso
anterior, se confirma que este resultado encaja con el hecho de que se aplique la
aceleración del espectro en dirección Y.
También podemos ver que el segundo es el modo que moviliza más masa con
mucha diferencia. Cosa que tiene sentido, porque es un modo en el que está implicada
toda la estructura, ya que a partir del cuarto modo sólo se encuentran modos locales
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.496 3.6770 -6.122 37.4756
2 1.606 3.6770 304.0 92410.2
3 1.948 3.6770 65.08 4235.02
4 6.843 3.2267 0.3676E-01 0.135121E-02
5 8.857 2.7245 5.249 27.5570
6 9.558 2.5995 23.31 543.417
7 9.691 2.5778 -6.032 36.3829
8 9.952 2.5368 40.47 1638.10
9 10.88 2.4075 5.523 30.5090
10 11.76 2.3030 1.244 1.54846
98960.3 Tabla 23: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y.
Modelo básico Abderramán I.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.671 3.6770 0.6293 0.395999
2 1.822 3.6770 345.3 119258
3 2.060 3.6770 2.823 7.96785
4 5.465 3.6770 0.1068E-02 0.000001141
5 7.862 2.9406 -0.9190E-01 0.00844478
6 8.051 2.8953 0.8481E-01 0.00719316
7 8.406 2.8164 2.212 4.89138
8 9.851 2.5524 40.44 1635.16
9 10.19 2.5011 18.74 351.119
10 10.38 2.4742 0.8005 0.640851
121258
Tabla 24: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo básico Almanzor K=2·109N/m.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.662 3.6770 0.6272 0.393358
2 1.807 3.6770 345.1 119086
3 2.055 3.6770 2.536 6.42939
4 5.463 3.6770 -0.1008-02 0.0000101667
5 7.860 2.9410 -0.6649 0.442046
6 7.896 2.9322 0.1494 0.0223115
7 8.231 2.8545 2.517 6.33416
8 9.612 2.5906 44.64 1992.44
9 10.05 2.5219 12.04 144.993
10 10.36 2.4766 0.4926 0.242638
121237
Tabla 25: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo básico Almanzor K=2·108N/m.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 92
de los soportes. Se comprueba que tras el segundo modo, el siguiente que moviliza
más masa es el octavo modo. Cosa que también es coherente, puesto que si se miran
los resultados del análisis modal (Apartado 4.1), se ve que el octavo modo consiste en
una flexión en Y de los soportes.
Al igual que en casos anteriores, las diferencias generadas al variar la constante
de rigidez en el modelo Almanzor son mínimas.
Se procede al análisis de los desplazamientos máximos comparándolos con los
provenientes del análisis estático, donde se aplica la máxima aceleración del espectro
(3.677m/s2) esta vez en dirección Y. A continuación se presentan la Tabla 26 con el
resumen de los resultados. En las Figura 74 y Figura 73 se pueden apreciar los
desplazamientos máximos obtenidos del análisis sísmico y estático, respectivamente.
Modelo
Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelo Almanzor
K=2·108 N/m
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.045338 Esquina pared-
techo (fila 2)
0.029678 Pared junto a techo (fila 1)
0.030538 Esquina techo
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.040328 Esquina pared-
techo (fila 2)
0.029519 Pared junto a techo (fila 1)
0.030315 Esquina techo
Tabla 26: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección Y. Modelos básicos.
Figura 74: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis estático, dirección Y. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor
Figura 73: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección Y. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 93
Según la Tabla 26, la diferencia entre el desplazamiento máximo en el modelo
de Abderramán I y el modelo de Almanzor es mayor que para el caso de la aplicación
de la aceleración del espectro en X (Apartado 5.1.1). Además aquí se puede observar
algo que conecta con el análisis modal de los modelos (Apartado 4.1), donde se veía
que en el segundo modo no había uniformidad en el desplazamiento del techo en el
modelo Abderramán I. En este caso, también aparece una irregularidad en los
desplazamientos provocados por el espectro introducido en dirección Y. Los
desplazamientos en el techo son mayores conforme los puntos están más lejos de la
fila 1, cosa que nos indica la diferencia entre la rigidez entre una fila de soportes y otra.
Por otro lado, una vez más se observa que la variación de la constante de
rigidez en el modelo de Almanzor no supone gran diferencia en los resultados. Para el
valor más pequeño de K, los desplazamientos son levemente mayores, lo que
concuerda con el hecho de que la estructura pierda rigidez.
En cuanto a los resultados del análisis estático, al igual que en el caso del sub-
apartado anterior, se tienen desplazamientos máximos menores a los que se extraen
del análisis sísmico. Véase en la Figura 73, que en el modelo Abderramán I también
aparece el análisis estático esa irregularidad descrita anteriormente en cuanto a los
desplazamientos en el techo (menores mientras más cerca se está de la fila 1).
De nuevo enlazando con la interpretación que se hizo en el análisis modal, se
observa que los desplazamientos máximos cuando se aplica el espectro en dirección Y
son menores que cuando se aplica en X, esto se puede explicar por la mayor rigidez
que la estructura posee en dirección Y, gracias a los arcos dobles.
5.1.2.1. Comprobaciones de rotura.
En primer lugar se aplica el criterio de Willam-Warnke a partir de los
resultados en tensiones principales obtenidos tras realizar el análisis sísmico
aplicando el espectro en dirección Y. En las figuras siguientes se muestran las
distribuciones de tensiones principales en el modelo Abderramán I y el modelo
Almanzor respectivamente.
Figura 75: Distribución de tensiones principales. Modelo básico Abderramán I. Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 94
En esta ocasión también sucede que las comprobaciones no se
cumplen en ciertos puntos de la estructura. Al igual que cuando se aplicaba el
espectro en X, los problemas aparecen fundamentalmente en las columnas de
mármol para ambos modelos. También se puede observar otro punto
desfavorable en las intersecciones entre arcos y pilastras, concretamente, en la
intersección superior donde también se tiene el muro superior que corre por
encima de las arquerías.
En las Figura 76 yFigura 75 se pueden observar las distribuciones de
tensiones principales tras el análisis sísmico con la aplicación del espectro en
dirección Y. Las tracciones que aparecen en la base de las columnas de mármol
en esta ocasión alcanzan máximos del orden de 59.075 MPa en el modelo
Abderramán I (algo mayores que para la aplicación del espectro en X) y 46.642
MPa en el modelo Almanzor (similares a las alcanzadas para el espectro en X),
en cualquier caso, por supuesto, no son soportables para un material con las
características del mármol (recuérdese σt=10 MPa).
Por otro lado, el problema en la intersección que se ha mencionado,
proviene del hecho de que se trata de un modelo formado por líneas a las
cuales se les asignan las distintas secciones, para después mallar el mismo. Los
puntos donde coinciden varias líneas son puntos críticos, ya que alrededor de
los mismos se forman elementos con áreas muy pequeñas donde se dispara el
valor de las tensiones. Seguidamente, en la Figura 77 se muestra esta
situación, propia de los modelos de elementos finitos. Este problema es
subsanable mediante diversos métodos, entre ellos el más común es dotar la
intersección de una rigidez muy alta. Lo importante es conocer que esta
situación puede ocurrir y no dejarse llevar por los resultados “falseados” que
puede provocar la misma.
Figura 76: Distribución de tensiones principales. Modelo básico Almanzor (K=2·109N/m). Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Figura 77: Detalle intersección. Incremento de tensiones.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 95
También se hace la comprobación de rotura del techo mediante el
criterio de Hoffman (véase apartado 3.5.2.). Del mismo modo que en el
apartado anterior, se aprecia que todos los puntos cumplen dicho criterio en
ambos modelos. Se tiene un estado plano de tensiones.
5.1.2.2. Comprobación de desplazamientos.
Como se ha explicado, se comprueba la aptitud al servicio a nivel
orientativo. Esta comprobación sólo se hará para los modelos básicos y para el
modelo general, por carecer de relevancia por las razones expuestas en el
apartado 3.5.1.
- Modelo Abderramán I: 0.045338�.≰ .��
���= 0.0168�.
- Modelo Almanzor (K=2·109 N/m): 0.029678�.≰ .��
���= 0.016�.
- Modelo Almanzor (K=2·108 N/m): 0.030538�.≰ .��
���= 0.016�.
La condición de aptitud al servicio en desplazamientos no se cumple
para ninguno de los casos. En el modelo Almanzor los desplazamientos se
reducen, para la aplicación del espectro en Y, considerablemente respecto a
los que provienen del análisis sísmico en dirección X. Aún así, todavía está lejos
de cumplir la condición propuesta por la norma.
5.2. MODELOS DE CUATRO MÓDULOS.
Se efectúa el análisis sísmico para cada modelo, aplicando la dirección de la
aceleración del espectro primero en dirección X y luego en dirección Y. En este caso, para los
modelos de cuatro módulos, se obtendrán los coeficientes de participación de los modos, así
como las masas efectivas correspondientes a los mismos. Se recuerda que en esta ocasión se
toman las primeras 15 frecuencias naturales.
También se obtienen los desplazamientos horizontales máximos de la estructura, y se
compararan con los obtenidos del análisis estático, que se realiza introduciendo una
aceleración de valor igual a la máxima aceleración del espectro y con dirección X e Y según
corresponda.
Por último se realizan las comprobaciones de rotura (condiciones últimas) de los
materiales según el criterio de Hoffman [22] para el techo, y el criterio de Willam-Warnke [18]
para el resto.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 96
5.2.1. Aceleración del espectro en dirección X:
Se obtienen los coeficientes de participación y las masas efectivas
correspondientes a cada modo, para el modelo Abderramán y el modelo Almanzor, con
dos valores de rigidez distintos para los apoyos de plomo.
Nº modo Frecuencia (Hz) Aceleración (m/s2) Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.386 3.6770 543.3 295122
2 1.487 3.6770 -19.67 387.089
3 1.593 3.6770 -0.3826 0.146416
4 6.996 3.6764 -24.35 593.093
5 7.285 3.5147 0.6000 0.359970
6 7.820 3.3019 0.1682 0.0282761
7 7.955 3.2439 0.1586 0.00251385
8 8.743 2.9293 -0.2101 0.0441596
9 8.836 2.8478 -1.032 1.06598
10 8.941 2.8335 -4.714 22.2211
11 8.957 2.7981 -0.1469 0.0215661
12 9.629 2.7366 -21.57 465.408
13 9.717 2.7035 59.08 3490.34
14 9.875 2.5653 -0.7085 0.501974
15 10.10 2.5514 -1.912 3.65760
300086 Tabla 27: Resultados análisis sísmico. Espectro en X.
Modelo cuatro módulos Abderramán I.
Nº modo Frecuencia (Hz) Aceleración (m/s2) Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.543 3.6770 604.9 365906
2 1.664 3.6770 -1.428 2.03823
3 1.799 3.6770 0.007522 0.00005658
4 5.683 3.6764 -42.45 1801.85
5 6.055 3.5147 0.2499 0.0624522
6 6.616 3.3019 -0.01224 0.00014986
7 6.790 3.2439 0.007630 0.0000582
8 7.908 2.9293 0.00239 0.0000057
9 8.262 2.8478 17.76 314.548
10 8.327 2.8335 -8.642 74.6889
11 8.492 2.7981 78.76 6203.21
12 8.794 2.7366 1.645 2.70458
13 8.969 2.7035 -0.05589 0.003123
14 9.770 2.5653 -0.06391 0.004084
15 9.858 2.5514 0.03942 0.0015538
374306 Tabla 28: Resultados análisis sísmico. Espectro en X.
Modelo cuatro módulos Almanzor K=2·109N/m
Nº modo Frecuencia (Hz) Aceleración (m/s2) Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.540 3.6770 604.8 365743
2 1.657 3.6770 -1.440 2.07432
3 1.796 3.6770 0.009823 0.0000965
4 5.682 3.6770 -42.08 1770.87
5 5.922 3.5704 0.2647 0.0700454
6 6.615 3.3023 -0.01166 0.000136
7 6.722 3.2662 0.006663 0.0000444
8 7.802 2.9554 0.003901 0.00000152
9 8.249 2.8507 12.46 155.136
10 8.300 2.8393 -7.720 59.5937
11 8.341 2.8303 78.63 6183.35
12 8.750 2.7451 -13.12 172.140
13 8.800 2.7353 0.01506 0.00022666
14 9.132 2.6734 -0.7392 0.54645
15 9.471 2.6139 -12.84 164.819
354252 Tabla 29: Resultados análisis sísmico. Espectro en X.
Modelo cuatro módulos Almanzor K=2·108N/m
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 97
Tabla 30: Masas totales modelos cuatro módulos.
Se calcula que para el modelo Abderramán I, la masa efectiva del primer modo
para este caso es el 94.44% de la masa total, mientras que en el modelo Almanzor con
la constante de rigidez (K) mayor es el 95.23% y en el modelo de Almanzor con K
menor es el 95.19%. Se tiene al igual que para los modelos básicos, un modo
claramente dominante, incluso aquí con un mayor porcentaje de masa efectiva
respecto al total.
De manera similar al caso de los modelos básicos, los resultados obtenidos son
congruentes, puesto que para la primera frecuencia natural tenemos un modo de
vibración de flexión en X que a la vista de los coeficientes de participación es el más
excitado cuando introducimos la aceleración del espectro en dirección X.
Los coeficientes de participación más altos (en valor absoluto), aparte del
correspondiente al primer modo, aparecen para el modelo Abderramán I en el modo 4
y en el modo 13 y para el modelo Almanzor en el modo 4 y en modo 11. Si se acude a
la Tabla 7, puede comprobarse que estos modos son de flexión de los soportes en
dirección X.
Procediendo de manera análoga al como se hacía en el capítulo anterior para
los modelos básicos, se obtienen los desplazamientos horizontales máximos de este
análisis para compararlos con los provenientes del análisis estático efectuado al
modelo aplicando la máxima aceleración del espectro (3.677m/s2) en dirección X.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
Masa total [kg] 312480 384220
Tabla 31: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección X. Modelos cuatro módulos.
Modelo
Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelo Almanzor
K=2·108 N/m
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.051911 Borde techo
0.042798 Borde techo
0.043033 Borde techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.052910 Borde techo
0.042635 Borde techo
0.042866 Borde techo
Figura 78: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección X. Modelos cuatro módulos. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 98
Lo primero que se desprende de analizar los resultados de la Tabla 31 es que,
aunque con un margen pequeño, los desplazamientos máximos obtenidos del análisis
estático son superiores a los obtenidos del análisis sísmico. Esta es una circunstancia
que no sucedía para los modelos básicos.
Como se puede apreciar en las Figura 78 yFigura 79, las diferencias entre los
distintos casos son muy pequeñas. Los desplazamientos máximos se dan siempre en el
mismo punto. Mientras que las diferencias en las frecuencias naturales sí que son
considerables, las diferencias en cuanto a desplazamientos máximos son muy
pequeñas (3-5mm) con respecto a los resultados obtenidos para la aplicación del
espectro en dirección X en los modelos básicos.
Acorde con el descenso del valor de las primeras frecuencias naturales, se
observa un aumento en el valor de los desplazamientos máximos respecto a los
resultados de los modelos básicos, cosa que viene explicada por el aumento de
magnitud de los modelos, el cual conlleva en este caso que la relación rigidez/masa
disminuya.
Las diferencias entre los desplazamientos máximos en el modelo Abderramán I
y el modelo Almanzor se mantienen a pesar del aumento de magnitud de los modelos.
Sin embargo, en cuanto a los resultados del análisis estático, se tienen valores muy
cercanos a los del análisis sísmico en esta ocasión, pero aún por encima de estos
últimos.
5.2.1.1. Comprobaciones de rotura.
En primer lugar, se aplica el criterio de rotura (ver apartado 3.5.2.).
Para ello se extraen las tensiones principales del análisis sísmico cuando se
aplica el espectro de aceleraciones en dirección X.
En las Figura 80 yFigura 81 se aprecia la distribución de tensiones
principales en uno y otro modelo.
Figura 79: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis estático, dirección X. Modelos cuatro módulos De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 99
En este caso, para los modelos de cuatro módulos, se observa un
comportamiento muy similar al que se veía para los modelos básicos. Las
tensiones de tracción en las columnas son la limitación más clara al
cumplimiento del criterio de Willam-Warnke. En este caso, las máximas
tensiones de tracción alcanzadas en la base de las columnas de mármol toman
un valor de 64.796 MPa en el modelo Abderramán I y de 64.348 MPa en el
modelo Almanzor, estos valores son mayores a los obtenidos para la aplicación
del espectro en X en el apartado anterior, y por supuesto, no pueden ser
soportados por las columnas de mármol, de modo que el criterio no se cumple.
Se observa que los valores de las tensiones máximas de tracción
alcanzadas son muy próximos para uno y otro modelo, esto enlaza con lo que
se comentaba en el análisis modal de los modelos de cuatro módulos
(Apartado 4.2), el aumento de magnitud de modelos provoca que las
diferencias entre la parte antigua y moderna se acorten y se tienda a la
regularización del comportamiento.
De igual manera, también bajo los arcos (superiores, principalmente)
aparece la situación, descrita en el apartado 5.1.1.1, por la que en el modelo
Abderramán I, donde el material de los arcos es menos resistente, no se
cumple el criterio de rotura. De nuevo, los resultados en tensiones principales
referidos al techo del modelo revelan que se tiene un estado plano de
tensiones, donde no hay componente vertical de tensiones. El criterio de
rotura se cumple.
Figura 81: Distribución de tensiones principales. Modelo básico Almanzor (K=2·109 N/m). Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Figura 80: Distribución de tensiones principales. Modelo cuatro módulos Abderramán I. Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 100
5.2.2. Aceleración del espectro en dirección Y:
En primer lugar, se obtiene la tabla de coeficientes de participación modal y la
masa efectiva para cada modelo.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.386 3.5905 -19.69 387.597
2 1.487 3.6770 544.6 296592
3 1.593 3.6770 6.150 37.8278
4 6.996 3.1878 0.2962 0.087745
5 7.285 3.0921 0.00738 0.0000545
6 7.820 2.9511 0.4121 0.169785
7 7.955 2.9178 1.977 3.90820
8 8.743 2.7465 1.410 1.98902
9 8.836 2.7285 -0.02107 0.000444
10 8.941 2.7086 -0.7140 0.509834
11 8.957 2.7057 -0.2527 0.0638344
12 9.629 2.5878 69.43 4820.45
13 9.717 2.5737 25.63 656.777
14 9.875 2.5487 3.370 11.3567
15 10.10 2.5144 -0.4053 0.164295
302513 Tabla 32: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y.
Modelo cuatro módulos Abderramán I.
Nº modo Frecuencia (Hz) Aceleración (m/s2) Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.543 3.6770 1.421 2.01940
2 1.664 3.6770 608.4 370162
3 1.799 3.6770 9.324 86.9295
4 5.683 3.6764 -0.06595 0.0043489
5 6.055 3.5147 -0.001159 0.0000013
6 6.616 3.3019 -0.06877 0.0047297
7 6.790 3.2439 -0.05338 0.0028497
8 7.908 2.9293 -0.1859 0.0345403
9 8.262 2.8478 0.03519 0.00123857
10 8.327 2.8335 -0.01089 0.00011867
11 8.492 2.7981 0.1839 0.0338112
12 8.794 2.7366 0.03608 0.00130202
13 8.969 2.7035 10.92 119.187
14 9.770 2.5653 0.04951 0.0024516
15 9.858 2.5514 -2.349 5.51954
370375
Tabla 33: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo cuatro módulos Almanzor K=2·109 N/m
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración (m/s2) Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.540 3.6770 1.434 2.05547
2 1.657 3.6770 608.2 369944
3 1.796 3.6770 8.858 78.4716
4 5.682 3.6770 -0.06535 0.0042708
5 5.922 3.5704 -0.001961 0.0000038436
6 6.615 3.3023 -0.02214 0.000490169
7 6.722 3.2662 0.7645 0.584447
8 7.802 2.9554 -0.1104 0.0121952
9 8.249 2.8507 0.02205 0.00048616
10 8.300 2.8393 -0.009546 0.000091135
11 8.341 2.8303 0.1881 0.0353747
12 8.750 2.7451 0.02631 0.00069222
13 8.800 2.7353 10.44 108.906
14 9.132 2.6734 0.1091 0.0119015
15 9.471 2.6139 0.2452 0.060115
370134
Tabla 34: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo cuatro módulos Almanzor K=2·108 N/m
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 101
Se calcula que para el modelo de Abderramán I, la masa efectiva del segundo
modo para este caso es el 94.91% de la masa total, mientras que en el modelo de
Almanzor con la constante de rigidez (K) mayor es el 96.34% y en el modelo de
Almanzor con K menor es el 96.28%.
El aumento en los porcentajes de masa movilizada del modo dominante
respecto a la masa total, refleja que con el aumento de magnitud de los modelos, los
modos dominantes tienen aún más importancia en el análisis. Como se ha dicho, el
modo dominante en esta ocasión es el segundo, que es una flexión de toda la
estructura en dirección Y. Razonando de manera análoga al caso anterior, se confirma
que este resultado encaja con el hecho de que se aplique la aceleración del espectro
en dirección Y.
Se comprueba que tras el segundo modo, el siguiente que moviliza más masa
es el décimo tercer modo. Cosa que también es coherente, puesto que si se miran los
resultados del análisis modal, se ve que el décimo tercer modo consiste en una flexión
en Y de los soportes.
Al igual que en casos anteriores, las diferencias generadas al variar la constante
de rigidez en el modelo Almanzor son mínimas.
Se procede al análisis de los desplazamientos máximos comparándolos con los
provenientes del análisis estático, donde se aplica la máxima aceleración del espectro
(3.677m/s2) esta vez en dirección Y. A continuación se presentan la tabla con el
resumen de los resultados. En la Figura 82 se puede apreciar la solución nodal de los
desplazamientos máximos obtenida del análisis sísmico para los distintos casos, y la
Figura 83, con los desplazamientos máximos obtenidos del análisis estático.
Modelo
Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelo Almanzor
K=2·108 N/m
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.045304 Esquina techo – fila 3, soporte 1
0.035772 Borde techo –
Fila 1, soporte 3
0.036148 Borde techo –
Fila 1, soporte 1
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.044614 Borde techo –
Fila 3, soporte 3
0.035241 Borde techo –
Fila 1, soporte 3
0.035628 Borde techo –
Fila 1, soporte 1
Tabla 35: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección Y. Modelos cuatro módulos
Figura 82: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección Y. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 102
Para la aplicación del espectro en Y, los desplazamientos máximos del análisis
estático vuelven a ser inferiores a los desplazamientos del análisis sísmico, aunque por
una mínima diferencia. En la línea de lo que se viene comentando en este capítulo, el
aumento de magnitud del modelo, provoca que las diferencias en el comportamiento
del modelo Abderramán I y el modelo Almanzor sean menores, y que en general los
desplazamientos máximos aumenten respecto a lo que se encontraba en los modelos
básicos.
Si se comparan estos resultados con los obtenidos en el apartado análogo del
capítulo anterior concerniente a los módulos básicos, se observa que mientras que en
general los desplazamientos máximos en este capítulo son mayores, para la aplicación
del espectro en dirección Y, en el modelo Abderramán I de cuatro módulos el
desplazamiento máximo es prácticamente igual (0.045338 m – Modelo básico, frente a
0.045304 m - Modelo 4 módulos). Esta circunstancia se puede explicar por el hecho de
que la ampliación del modelo ha corregido en parte las irregularidades del modelo
básico y el modelo de cuatro módulos en su conjunto tiene un comportamiento más
uniforme. Estas irregularidades tenía especial incidencia en cuanto a la dirección Y, por
ello aparece esta circunstancia cuando la aceleración del espectro se aplica en esta
dirección.
Por otro lado, una vez más se observa que la variación de la constante de
rigidez en el modelo de Almanzor no supone gran diferencia en los resultados. Para el
valor más pequeño de K, los desplazamientos son levemente mayores, lo que
concuerda con el hecho de que la estructura pierda rigidez. En general, se observan
ciertas diferencias, entre los resultados obtenidos del análisis de los modelos básicos y
de los modelos de cuatro módulos, suficientemente significativas, como para que la
aproximación de unos por los otros sean aún arriesgada. Po lo tanto, se seguirá
ampliando los modelos con el fin de encontrar resultados más concluyentes.
5.2.2.1. Comprobaciones de rotura.
En las Figura 84 yFigura 85 se representa la distribución de tensiones
principales tras la aplicación del espectro en dirección Y.
Figura 83: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis estático, dirección Y. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 103
De nuevo, como para los modelos básicos, los lugares más
desfavorables en cuanto al cumplimiento del criterio de rotura están en la base
de las columnas de mármol, así como en la zona cercana a las intersecciones
entre los arcos superiores y las pilastras.
En esta ocasión se alcanzan tensiones de tracción de hasta 60.052 MPa
en el modelo Abderramán I, y 56.456 MPa en el modelo Almanzor, valores
lejanos a lo que puede a llegar a soportar un material tipo piedra en tracción
(Mármol σt=10MPa; Granito σt=15MPa)
De igual manera que en los modelos básicos, cuando se aplica el
espectro en dirección Y, en la zona próxima a la intersección entre arcos
superiores y pilastras, se produce una situación particular, donde las tensiones
toman valores muy altos en elementos de área muy pequeña. Esto conlleva
que no se cumpla el criterio de rotura, como se relató en el caso de los
modelos básicos.
En la línea de los apartados anteriores, el criterio de Hoffman para el
techo de madera se cumple holgadamente.
Figura 84: Distribución de tensiones principales. Modelo cuatro módulos Abderramán I. Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Figura 85: Distribución de tensiones principales. Modelo cuatro módulos Almanzor (K=2·109 N/m). Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 104
5.3. MODELOS DE NUEVE MÓDULOS.
De manera análoga a los apartados anteriores se procede al análisis sísmico de los
modelos de nueve módulos aplicando el espectro de aceleraciones en ANSYS en dirección X y
en dirección Y. Se toman los veinte primeros modos, se obtienen los coeficientes de
participación y las masas efectivas. Posteriormente se obtienen también los desplazamientos
horizontales máximos provenientes del análisis sísmico para compararlos con los del análisis
estático. Por último se realizan las comprobaciones de rotura, aplicando el criterio de Willam-
Warnke y el de Hoffman.
5.3.1. Aceleración del espectro en dirección X:
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.375 3.563 775.5 601400
2 1.466 3.677 7.537 56.8084
3 1.559 3.677 -29.52 871.272
4 6.89 3.2118 4.735 22.4231
5 7.221 3.1106 31.97 1022.37
6 7.373 3.0677 -0.9531 0.908407
7 7.588 3.0101 0.7567 0.572605
8 7.902 2.9308 -6.66 44.3521
9 8.205 2.8604 3.38 11.427
10 8.209 2.8595 6.168 38.0419
11 8.434 2.8103 -2.447 5.9858
12 8.615 2.7724 -1.031 1.06353
13 8.715 2.7521 1.042 1.08515
14 8.821 2.7314 3.302 10.9002
15 8.833 2.7291 2.475 6.12405
16 8.897 2.7168 -0.6844 0.468356
17 9.124 2.675 2.91 8.46625
18 9.281 2.6468 8.008 64.1221
19 9.304 2.6428 -2.606 6.78967
20 9.375 2.6305 -2.255 5.08417
603578
Tabla 36: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo nueve módulos Abderramán I.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.503 3.677 864.2 746862
2 1.603 3.677 -6.044 36.5261
3 1.692 3.677 -4.437 19.6835
4 5.647 3.677 -4.39E-02 1.93E-03
5 5.972 3.5494 52.57 2764.03
6 6.152 3.4752 0.2332 5.44E-02
7 6.339 3.4021 -0.2537 6.44E-02
8 6.81 3.2373 -0.6419 0.412051
9 7.089 3.1499 -0.1192 1.42E-02
10 7.181 3.1222 2.531 6.40432
11 7.217 3.1117 13.17 173.478
12 7.829 2.9486 -0.1504 2.26E-02
13 7.843 2.9453 2.379 5.66158
14 8.138 2.8754 28.49 811.799
15 8.305 2.8381 5.32E-02 2.82E-03
16 8.366 2.825 -6.34E-02 4.02E-03
17 8.666 2.762 100.3 10055
18 8.812 2.7331 -2.516 6.33108
19 8.966 2.7039 1.47 2.1602
20 8.988 2.6999 -3.055 9.33379
760753
Tabla 37: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo nueve módulos Almanzor K=2·109N/m
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 105
Se calcula que para el modelo Abderramán I, la masa efectiva del primer modo
para este caso es el 94.75% de la masa total, mientras que en el modelo Almanzor con
la constante de rigidez (K) mayor es el 95.83% y en el modelo de Almanzor con K
menor es el 95.78%. Siguiendo la misma línea que con los modelos más pequeños, se
observa que hay un modo claramente dominante respecto al resto. El porcentaje de
masa movilizada por el mismo es mayor que en casos anteriores.
Se aprecia que la tendencia que existe al ampliar los modelos es que el modo
dominante alcanza cada vez más importancia, esto es, al aplicar el espectro de
aceleraciones, en este caso, en X, se excita principalmente el primer modo que
consiste en una flexión en X de toda la estructura al completo, de ahí que movilice un
gran porcentaje de la masa total (mayor coeficiente de participación).
Los coeficientes de participación más altos (en valor absoluto), aparte del
correspondiente al primer modo, aparecen para el modelo Abderramán I en el modo 3
y en el modo 5 y para el modelo Almanzor en el modo 5 y en modo 17. Si se acude a la
Tabla 9, puede comprobarse que en estos modos aparece flexión de los soportes en
dirección X. Sin embargo, hay que notar que el valor de estos coeficientes de
participación es un orden inferior al del modo dominante.
Por otro lado, las diferencias entre el comportamiento de Almanzor con mayor
y menor rigidez en los apoyos de plomo son incluso menos significativas conforme se
amplían los modelos.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.5 3.677 864 746502
2 1.598 3.677 -5.999 35.9874
3 1.689 3.677 -4.381 19.196
4 5.637 3.677 0.6816 0.464587
5 5.866 3.5949 53.82 2896.57
6 6.14 3.4801 0.1281 1.64E-02
7 6.266 3.43 -4.81E-02 2.31E-03
8 6.661 3.2865 -0.694 0.481584
9 6.986 3.1816 -0.1361 1.85E-02
10 7.161 3.1281 5.56 30.9162
11 7.178 3.1233 12.61 159.006
12 7.742 2.9704 0.3385 0.114578
13 7.784 2.9599 2.009 4.03436
14 8.101 2.8837 23.39 547.191
15 8.281 2.8434 0.3065 9.40E-02
16 8.346 2.8293 1.50E-03 2.24E-06
17 8.529 2.7904 97.82 9568.58
18 8.795 2.7363 -0.9921 0.98423
19 8.845 2.7267 1.724 2.97274
20 8.876 2.7208 -3.507 12.3014
759781
Tabla 38: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo nueve módulos Almanzor K=2·108N/m.
Tabla 39: Masas totales modelos nueve módulos.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
Masa total [kg] 634680 779360
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 106
En la Tabla 40 se observa la comparación de los desplazamientos horizontales
máximos obtenidos del análisis sísmico, respecto de los obtenidos del análisis estático,
introduciendo una aceleración , en dirección X en este caso, de valor igual a la máxima
aceleración del espectro, que es la que excita la frecuencia del modo dominante, el
primer en este caso. Se muestran también los resultados para los modelos más
pequeños.
Modelo Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelo Almanzor
K=2·108 N/m
Modelos básicos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.048848 Esquina techo
0.037570 Borde techo
0.038059 Esquina techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.047113 Borde techo
0.037293 Borde techo
0.037745 Esquina techo
Modelos cuatro módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.051911 Borde techo
0.042798 Borde techo
0.043033 Borde techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.052910 Borde techo
0.042635 Borde techo
0.042866 Borde techo
Modelos nueve módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.053903 Borde techo
0.044850 Borde techo
0.045069 Borde techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.053817 Borde techo
0.044522 Borde techo
0.044739 Borde techo
Tabla 40: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección X. Modelos básicos, cuatro módulos y nueve módulos.
Figura 86: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección X. Modelos nueve módulos. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Figura 87: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección X. Modelos nueve módulos De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 107
A la vista de la Tabla 40 anterior, para el modelo Abderramán I los
desplazamientos máximos en el análisis sísmico (dirección X) van aumentando casi
exactamente 2 mm según se aumenta el modelo, mientras que para el modelo
Almanzor el salto es mayor (5mm) del modelo básico al de cuatro, que del modelo de
cuatro al de nueve (2mm).
En cuanto a los desplazamientos máximos obtenidos del análisis estático, se
observa que conforme se van ampliando los modelos, toman valores muy similares a
los valores del análisis sísmico. Podrían servir como aproximación a estos últimos a
efectos de conocer el orden de magnitud, pero nunca a efectos de cálculo, pues en la
mayoría de las ocasiones no están por el lado de la seguridad. En las figuras anteriores
se muestra la solución nodal en desplazamientos tras el análisis sísmico (Figura 86) y
tras el análisis estático (Figura 87). Como se puede apreciar, la distribución de
desplazamientos es muy uniforme tanto en un análisis como en otro, y para todos los
modelos.
5.3.1.1. Comprobaciones de rotura.
Se obtienen las distribuciones de tensiones principales en los modelos
con el fin de aplicar el criterio de rotura. En las Figura 88 yFigura 89 la se
aprecia la distribución de tensiones principales en uno y otro modelo.
Figura 88: Distribución de tensiones principales. Modelo nueve módulos Abderramán I. Espectro en X. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal
Figura 89: Distribución de tensiones principales. Modelo cuatro módulos Almanzor (K=2·109 N/m). Espectro en X. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 108
El criterio de rotura vuelve a incumplirse en la base de las columnas de
mármol y en los arcos superiores del modelo Abderramán I.
En esta ocasión las máximas tensiones de tracción alcanzadas en las
columnas toman valores de 66.414 MPa en el modelo Abderramán I, y de
65.768 MPa. Como se aprecia, los valores continúan aumentando conforme se
amplían los modelos. Así mismo, las diferencias son menores entre el modelo
correspondiente a la parte más antigua (Abderramán I) y el de la parte
moderna (Almanzor), cosa que se puede explicar por la corrección de las
irregularidades y defectos particulares al aumentar la magnitud de los
modelos.
En cuanto al incumplimiento del criterio en los arcos superiores, hay
que decir que las situaciones más desfavorables, se dan en los arcos extremos
de las filas centrales y en concreto en la zona del arco cercana a la intersección
con la pilastra. Como se comentó anteriormente, el incumplimiento del criterio
en estos puntos, se puede deber al particular estado de tensiones que provoca
la excitación en dirección perpendicular al plano de trabajo del arco, junto con
las pobres propiedades mecánicas de la fábrica mixta de caliza y ladrillo.
El criterio de rotura en todos los puntos del techo se cumple al igual
que en apartados anteriores.
5.3.2. Aceleración del espectro en dirección Y:
En primer lugar, se obtiene la tabla de coeficientes de participación modal y la
masa efectiva para cada modelo.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.375 3.563 -2.444 5.97235
2 1.466 3.677 766.4 587403
3 1.559 3.677 131.4 17275.3
4 6.89 3.2118 -3.16E-02 9.97E-04
5 7.221 3.1106 5.06E-02 2.56E-03
6 7.373 3.0677 0.5232 0.273717
7 7.588 3.0101 0.6364 0.404954
8 7.902 2.9308 4.43E-02 1.96E-03
9 8.205 2.8604 1.001 1.00172
10 8.209 2.8595 2.196 4.82052
11 8.434 2.8103 -0.1003 1.01E-02
12 8.615 2.7724 2.484 6.17185
13 8.715 2.7521 12.95 167.806
14 8.821 2.7314 6.445 41.5406
15 8.833 2.7291 -12.02 144.421
16 8.897 2.7168 -1.039 1.07865
17 9.124 2.675 0.1773 3.14E-02
18 9.281 2.6468 2.599 6.75419
19 9.304 2.6428 0.2459 6.05E-02
20 9.375 2.6305 -2.315 5.35766
605064
Tabla 41: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo nueve módulos Abderramán I.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 109
Se calcula que en el modelo de Abderramán I, la masa efectiva del segundo
modo para este caso es el 92.55% de la masa total, mientras que en el modelo de
Almanzor con la constante de rigidez (K) mayor es el 96.63% y en el modelo de
Almanzor con K menor es el 96.60%. En esta ocasión, el porcentaje de masa movilizada
por el modo dominante (el segundo) ha descendido ligeramente en el modelo de
Abderramán I (aunque se mantiene por encima del 90%). Este descenso se asocia con
el aumento porcentual de la importancia del tercer modo (torsión de la estructura), lo
cual enlaza con el comportamiento que se observaba en el análisis modal (Apartado
4.3), donde la distribución de desplazamientos no era regular en el tercer modo. Como
se dice anteriormente, la interpretación de esta situación, puede estar en que para
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.503 3.677 6.098 37.1821
2 1.603 3.677 867.9 753173
3 1.692 3.677 15.02 225.522
4 5.647 3.677 -0.2153 4.64E-02
5 5.972 3.5494 0.2689 7.23E-02
6 6.152 3.4752 0.3078 9.47E-02
7 6.339 3.4021 -0.3319 0.110145
8 6.810 3.2373 -0.6665 0.444161
9 7.089 3.1499 0.6682 0.446472
10 7.181 3.1222 0.2596 6.74E-02
11 7.217 3.1117 0.1413 2.00E-02
12 7.829 2.9486 1.165 1.35736
13 7.843 2.9453 -0.7168 0.513783
14 8.138 2.8754 0.2458 6.04E-02
15 8.305 2.8381 -0.2648 7.01E-02
16 8.366 2.825 0.309 9.55E-02
17 8.666 2.762 0.5372 0.288558
18 8.812 2.7331 7.33E-02 5.37E-03
19 8.966 2.7039 6.675 44.5563
20 8.988 2.6999 1.625 2.64162
753486
Tabla 42: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo nueve módulos Almanzor K=2·108 N/m
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.5 3.677 6.051 36.6171
2 1.598 3.677 867.7 752872
3 1.689 3.677 14.72 216.759
4 5.637 3.677 -0.2202 4.85E-02
5 5.866 3.5949 0.2633 6.93E-02
6 6.14 3.4801 -0.1968 3.87E-02
7 6.266 3.43 -0.3561 0.126822
8 6.661 3.2865 -0.6202 0.384622
9 6.986 3.1816 0.3632 0.131942
10 7.161 3.1281 0.3479 0.121033
11 7.178 3.1233 6.37E-02 4.06E-03
12 7.742 2.9704 -1.322 1.74719
13 7.784 2.9599 -0.5383 0.289772
14 8.101 2.8837 0.2167 4.70E-02
15 8.281 2.8434 0.4422 0.195583
16 8.346 2.8293 0.3089 9.54E-02
17 8.529 2.7904 0.5361 0.287421
18 8.795 2.7363 0.2866 8.22E-02
19 8.845 2.7267 6.136 37.6468
20 8.876 2.7208 0.5606 0.314256
753167
Tabla 43: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo nueve módulos Almanzor K=2·109 N/m
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 110
expandir el modelo lo que se hace es repetir el patrón (módulo) básico, donde se
aprecia que la fila 2 (y por extensión las filas pares) tiene menor rigidez en dirección Y,
y cuando no está arriostrada a las filas impares por ambos lados, presenta mayores
desplazamientos y consecuentemente propicia el comportamiento no uniforme del
conjunto.
Al igual que en casos anteriores, las diferencias generadas al variar la
constante de rigidez en el modelo Almanzor son mínimas. Se procede al análisis de los
desplazamientos máximos comparándolos con los provenientes del análisis estático.. A
continuación se presentan la tabla con el resumen de los resultados. En la Figura 91 se
puede apreciar la solución nodal de los desplazamientos máximos obtenida del análisis
sísmico para los distintos casos, y la Figura 90, con los desplazamientos máximos
obtenidos del análisis estático.
Modelo Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelo Almanzor
K=2·108 N/m
Modelos básicos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.045338 Esquina pared-
techo (fila 2)
0.029678 Pared junto a techo (fila 1)
0.030538 Esquina techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.040328 Esquina pared-
techo (fila 2)
0.029519 Pared junto a techo (fila 1)
0.030315 Esquina techo
Modelos cuatro módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.045304 Esquina techo – fila 3, soporte 1
0.035772 Borde techo –
Fila 1, soporte 3
0.036148 Borde techo –
Fila 1, soporte 1
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.044614 Borde techo –
Fila 3, soporte 3
0.035241 Borde techo –
Fila 1, soporte 3
0.035628 Borde techo –
Fila 1, soporte 1
Modelos nueve módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.054553 Esquina techo – fila 4, soporte 1
0.038534 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
0.038839 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.046491 Borde techo –
Fila 4, soporte 5
0.037832 Borde techo –
Fila 1, soporte 2
0.038128 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
Tabla 44: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección Y. Modelos básicos, cuatro módulos y nueve módulos
Figura 90: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección X. Modelos nueve módulos. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 111
Como se había visto hasta ahora, los desplazamientos máximos cuando se
aplica el espectro en dirección Y son claramente menores a los obtenidos de la
aplicación del espectro en X. La evolución de los desplazamientos máximos obtenidos
del análisis sísmico en Y revela que para el modelo de Almanzor se sigue una línea
regular de aumento de los mismos a la vez que se amplían los modelos, sin embargo,
para el modelo Abderramán I aparece una particularidad.
Dicha particularidad consiste en que los desplazamientos horizontales
máximos en el modelo Abderramán I sufren un incremento mayor del que cabía
esperar. La explicación de este hecho, como se ha comentado antes, se deriva de que
la fila 2 y, por ampliación del modelo, las filas pares en el modelo Abderramán I poseen
una rigidez menor, y cuando no están arriostradas a ambos lados por el resto de la
estructura, sucede que los desplazamientos son mayores en dicha fila y por ende el
comportamiento en conjunto de la estructura sea menos regular.
Como norma general, se puede determinar que los modelos de cuatro y los de
nueve módulos tienen un comportamiento más parecido que los modelos de cuatro
módulos y los básicos, específicamente en cuanto al modelo Almanzor, y al modelo
Abderramán I cuando el espectro se aplica en X. No obstante, en este apartado se ha
visto claramente que cuando el espectro se aplica en Y, el modelo Abderramán I
presenta una singularidad que provoca que su funcionamiento estructural varíe
ligeramente en función de la ampliación que se considere, de ahí la importancia de las
arquerías (filas de soportes) extremas.
5.3.2.1. Comprobaciones de rotura.
Para continuar con la misma estructura, en la Figura 92 y Figura 93 se
representa la distribución de tensiones principales tras la aplicación del
espectro en dirección Y.
Figura 91: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis estático, dirección Y. Modelos nueve módulos. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 112
De nuevo, como para los modelos anteriores, los lugares más
desfavorables en cuanto al cumplimiento del criterio de rotura de Willam-
Warnke están en la base de las columnas de mármol, así como en la zona
cercana a las intersecciones entre los arcos superiores y las pilastras.
En esta ocasión se alcanzan tensiones de tracción de hasta 71.830 MPa
en el modelo Abderramán I, y 61.243 MPa en el modelo Almanzor, valores muy
superiores a la resistencia a tracción estimada de los materiales en cuestión,
recuérdese que la resistencia a tracción considerada del mármol es σt=10 MPa,
y la del granito σt=15 MPa. Se observa que el valor alcanzado para el modelo
Abderramán I experimenta un considerable aumento que se desmarca de la
tendencia de aumento seguida por el modelo Almanzor y por el propio modelo
Abderramán I en el caso de la aplicación del espectro en X. Este hecho encaja
con la situación explicada anteriormente en cuanto a la irregularidad del
modelo Abderramán I de nueve módulos.
De igual manera, en la zona próxima a la intersección entre arcos
superiores y pilastras, las tensiones toman valores muy altos en elementos de
área muy pequeña. El criterio de rotura no se cumple.
Figura 93: Distribución de tensiones principales. Modelo cuatro módulos Almanzor (K=2·109 N/m). Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Figura 92: Distribución de tensiones principales. Modelo nueve módulos Abderramán I. Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 113
En la línea de los apartados anteriores, el criterio de Hoffman para el
techo de madera se cumple holgadamente.
5.4. MODELOS DE DIECISÉIS MÓDULOS.
Se realiza el análisis sísmico de los modelos más grandes que se van a considerar antes
de introducir el muro exterior, esto es, los modelos de dieciséis módulos. Se procederá de
manera análoga a los apartados precedentes. Así mismo, se va a hacer una revisión de los
resultados obtenidos en las sucesivas ampliaciones de los modelos, con el fin de comprobar la
evolución de los mismos.
En esta ocasión, se toman en consideración los veinticinco primeros modos.
5.4.1. Aceleración del espectro en dirección X:
En primer lugar, se obtiene la tabla de coeficientes de participación modal y la
masa efectiva para cada modelo.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.352 3.5034 1007 1013270
2 1.434 3.677 -3.15 9.92424
3 1.478 3.677 -10.89 118.505
4 6.962 3.189 28.42 807.642
5 6.981 3.183 2.95 8.70259
6 7.234 3.1068 0.3889 0.151216
7 7.257 3.100 0.3498 0.122376
8 7.707 2.9795 -19.94 397.769
9 7.785 2.9598 12.13 147.251
10 7.801 2.9556 0.9463 0.895487
11 7.887 2.9345 -1.022 1.04426
12 8.072 2.8905 0.227 5.15E-02
13 8.243 2.8519 0.2585 6.68E-02
14 8.332 2.8323 -2.17 4.70793
15 8.488 2.799 -0.1553 2.41E-02
16 8.491 2.7983 6.43E-02 4.14E-03
17 8.549 2.7862 -5.71E-02 3.25E-03
18 8.597 2.7761 -0.1365 1.86E-02
19 8.699 2.7553 -0.7859 0.617592
20 8.756 2.7438 -2.012 4.04971
21 8.772 2.7408 -0.8668 0.751383
22 8.799 2.7356 -2.339 5.47175
23 8.964 2.7043 0.4943 0.244339
24 8.982 2.7009 -3.132 9.80957
25 8.987 2.700 -1.481 2.19474
1014790
Tabla 45: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo dieciséis módulos Abderramán I.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 114
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.481 3.677 1123 1261670
2 1.572 3.677 -8.646 74.7475
3 1.634 3.677 -10.11 102.229
4 5.736 3.6526 50.98 2599.13
5 5.765 3.6393 9.666 93.4337
6 6.008 3.534 0.5396 0.291145
7 6.038 3.5216 0.9089 0.826144
8 6.591 3.3103 -31.17 971.41
9 6.643 3.2927 11.62 135.13
10 6.673 3.2828 -1.792 3.21211
11 6.771 3.2502 -1.669 2.78581
12 7.096 3.1479 0.524 0.274527
13 7.215 3.1123 0.9107 0.829423
14 7.27 3.0963 7.585 57.5289
15 7.522 3.0275 1.35E-02 1.82E-04
16 7.56 3.0176 0.2037 4.15E-02
17 7.614 3.0033 -0.58 0.336355
18 7.821 2.9507 3.214 10.3289
19 7.865 2.9398 24.88 619.039
20 8.042 2.8973 0.2217 4.91E-02
21 8.216 2.8578 4.88E-02 2.38E-03
22 8.421 2.8132 7.12E-02 5.07E-03
23 8.426 2.8121 9.201 84.6606
24 8.481 2.8005 -8.676 75.2647
25 8.74 2.7471 126.5 16004.3
1282500
Tabla 46: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo dieciséis módulos Almanzor K=2·108 N/m
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.479 3.677 1123 1261230
2 1.568 3.677 -8.698 75.6538
3 1.632 3.677 -10.13 102.535
4 5.69 3.6734 10.53 110.927
5 5.721 3.6592 53.28 2838.4
6 5.977 3.5473 1.056 1.11513
7 5.989 3.542 -0.1033 1.07E-02
8 6.437 3.3653 -29.76 885.926
9 6.615 3.3022 12.52 156.778
10 6.629 3.2973 6.258 39.1654
11 6.651 3.29 -1.091 1.19006
12 6.957 3.1907 -0.2556 6.53E-02
13 7.097 3.1474 0.5841 0.341227
14 7.198 3.1172 -7.15 51.129
15 7.493 3.0352 6.37E-02 4.06E-03
16 7.523 3.0274 0.4121 0.169814
17 7.531 3.0251 -5.44E-02 2.96E-03
18 7.753 2.9677 1.615 2.6074
19 7.828 2.949 23.27 541.279
20 8.007 2.9053 7.12E-02 5.07E-03
21 8.159 2.8706 -0.1639 2.69E-02
22 8.39 2.8199 0.1991 3.96E-02
23 8.406 2.8163 9.073 82.316
24 8.462 2.8043 -7.278 52.9714
25 8.635 2.7684 120.2 14458.2
1280630
Tabla 47: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo dieciséis módulos Almanzor K=2·108 N/m
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
Masa total [kg] 1063500 1312400 Tabla 48: Masas totales modelos dieciséis módulos.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 115
Se calcula que para el modelo Abderramán I, la masa efectiva del primer modo
para este caso es el 95.28% de la masa total, mientras que en el modelo Almanzor con
la constante de rigidez (K) mayor es el 96.13% y en el modelo de Almanzor con K
menor es el 96.10%.
Al aplicar el espectro en X, de nuevo aparece un modo claramente dominante
respecto al resto, el primero. En esta ocasión el porcentaje de masa movilizada por el
primer modo es el mayor porcentaje registrado hasta ahora en los casos análogos,
como se puede ver en la Tabla 49.
Exceptuando el salto del modelo básico al modelo de cuatro módulos, donde la
diferencia es algo mayor, se mantiene un aumento uniforme del porcentaje de masa
movilizada por el primer modo según se amplían los modelos. Es evidente que
conforme más grande es el modelo, más importancia toma el primer modo en este
caso en el análisis sísmico.
Como se pude ver en la Tabla 49 las diferencias en el comportamiento del
modelo Almanzor cuando se varía la rigidez de los apoyos de plomo son insignificantes
(hecho que se acentúa más según se amplían los modelos).
En la Tabla 50 se observa la evolución de los desplazamientos horizontales
máximos obtenidos del análisis sísmico, respecto de los obtenidos del análisis estático,
según se han ido ampliando los modelos.
Se recuerda que, como se explicó anteriormente, el análisis estático se realiza
introduciendo una carga de inercia, en dirección X en este caso, tomando un valor de
la aceleración igual a la máxima aceleración del espectro, que es la que excita la
frecuencia del modo dominante, el primero en este caso.
A continuación se muestra la solución nodal en desplazamientos máximos para
los distintos modelos tras el análisis sísmico (Figura 94) y el análisis estático (Figura 95).
Modelo Abderramán I
Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelo Almanzor K=2·108 N/m
Modelos básicos 92.66% 93.90% 93.77%.
Modelos cuatro módulos 94.44% 95.23% 95.19%.
Modelos nueve módulos 94.75% 95.83% 95.78%.
Modelos dieciséis módulos 95.28% 96.13% 96.10%. Tabla 49: Porcentaje de masa movilizada por el modo dominante (primero). Espectro en X.
Desde modelos básicos hasta modelos de dieciséis módulos.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 116
Modelo Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelo Almanzor
K=2·108 N/m
Modelos básicos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.048848 Esquina techo
0.037570 Borde techo
0.038059 Esquina techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.047113 Borde techo
0.037293 Borde techo
0.037745 Esquina techo
Modelos cuatro módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.051911 Borde techo
0.042798 Borde techo
0.043033 Borde techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.052910 Borde techo
0.042635 Borde techo
0.042866 Borde techo
Modelos nueve módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.053903 Borde techo
0.044850 Borde techo
0.045069 Borde techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.053817 Borde techo
0.044522 Borde techo
0.044739 Borde techo
Modelos dieciséis módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.053541 Borde techo
0.046139 Borde techo
0.046315 Borde techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.055069 Borde techo
0.045644 Borde techo
0.045815 Borde techo
Tabla 50: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección X. Desde modelos básicos hasta modelos de dieciséis módulos
Figura 95: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección X. Modelos dieciséis módulos De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Figura 94 : Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis estático, dirección X. Modelos dieciséis módulos. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 117
En la Tabla 50 se observa que los valores de los desplazamientos máximos van
aumentando según se amplían los modelos, pero el incremento se va haciendo cada
vez menor.
En el caso particular de los modelos de dieciséis módulos, la distribución de
desplazamientos es muy regular. Los desplazamientos máximos obtenidos en el
análisis sísmico toman valores muy cercanos a los obtenidos para los modelos de
nueve módulos. En concreto para el modelo de Abderramán I, el máximo
desplazamiento es incluso 0.5 mm menor aproximadamente, para el modelo Almanzor
es 1mm mayor aproximadamente.
También se puede observar que las distancias entre el modelo de la parte
antigua y el de la parte moderna se acortan considerablemente en esta ocasión por
efecto del aumento de magnitud de los modelos, que facilita que se corrijan las
irregularidades particulares de los modelos.
5.4.1.1. Comprobaciones de rotura.
Se obtienen las distribuciones de tensiones principales en los modelos
con el fin de aplicar el criterio de rotura de Willam-Warnke. En las Figura 97 y
Figura 96 y la se aprecia la distribución de tensiones principales en uno y otro
modelo.
Figura 96: Distribución de tensiones principales. Modelo dieciséis módulos Almanzor (K=2·109 N/m). Espectro en X. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal
Figura 97: Distribución de tensiones principales. Modelo dieciséis módulos Abderramán I. Espectro en X. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 118
El criterio de rotura vuelve a incumplirse en la base de las columnas de
mármol y en los arcos superiores del modelo Abderramán I.
En esta ocasión las máximas tensiones de tracción alcanzadas en las
columnas toman valores de 65.773 MPa en el modelo Abderramán I, y de
67.292 MPa. Para el modelo Abderramán I la máxima tensión alcanzada es
menor que en el modelo de nueve módulos. A continuación en la Tabla 51 se
muestra la evolución de los valores máximos de tensiones de tracción cuando
se aplica el espectro en X:
En la tabla precedente, se puede ver que los valores máximos de
tensiones de tracción se estabilizan a partir de los modelos de cuatro módulos
en adelante, aunque la tendencia es aumentar ligeramente al ampliar los
modelos. En cualquier caso las tracciones toman valores claramente
superiores a los que pueden soportar los materiales pétreos (granito: σt= 15
MPa; mármol: σt= 10 MPa).
De modo que se puede afirmar que la estructura tal y como se ha
modelado aquí y con los materiales utilizados, no cumpliría nunca el criterio de
Willam-Warnke por muchas ampliaciones que se hicieran de los modelos hasta
llegar a las dimensiones reales, a menos que se produjera una modificación en
el modelo como podría ser la introducción del muro exterior.
En cuanto al incumplimiento del criterio en los arcos superiores, de la
misma manera que en modelos más pequeños, las situaciones más
desfavorables, se dan en los arcos extremos de las filas centrales y en concreto
en la zona del arco cercana a la intersección con la pilastra. En particular, hay
más puntos que no cumplen el criterio en el modelo Abderramán I que en el
modelo Almanzor, ya que la fábrica de caliza (arcos parte moderna) tiene
mejores propiedades mecánicas que la fábrica mixta de ladrillo y caliza (arcos
de la parte antigua).
El criterio de rotura en todos los puntos del techo se cumple al igual
que en apartados anteriores.
Máxima tensión de tracción en las columnas [MPa] Aplicación del espectro en X.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 53.350 46.501
Modelos cuatro módulos 64.796 64.348
Modelos nueve módulos 66.414 65.768
Modelos dieciséis módulos 65.773 67.292
Tabla 51: Tensiones de tracción máximas. Espectro en dirección X. Desde modelos básicos hasta modelos de dieciséis módulos
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 119
5.4.2. Aceleración del espectro en dirección Y:
En primer lugar, se obtiene la tabla de coeficientes de participación modal y la
masa efectiva para cada modelo.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.352 3.5034 3.352 11.2328
2 1.434 3.677 1008 1016050
3 1.478 3.677 18.19 330.928
4 6.962 3.189 5.35E-02 2.86E-03
5 6.981 3.183 -0.1184 1.40E-02
6 7.234 3.1068 0.4281 0.183231
7 7.257 3.100 -0.7271 0.528747
8 7.707 2.9795 -0.2673 7.15E-02
9 7.785 2.9598 -1.337 1.78717
10 7.801 2.9556 -1.166 1.36011
11 7.887 2.9345 -0.3102 9.62E-02
12 8.072 2.8905 0.6488 0.420894
13 8.243 2.8519 0.9451 0.893268
14 8.332 2.8323 -1.166 1.36036
15 8.488 2.799 0.3934 0.154736
16 8.491 2.7983 1.267 1.60552
17 8.549 2.7862 2.086 4.3515
18 8.597 2.7761 0.597 0.356456
19 8.699 2.7553 -0.4553 0.207341
20 8.756 2.7438 -3.127 9.77517
21 8.772 2.7408 1.629 2.65255
22 8.799 2.7356 4.723 22.3109
23 8.964 2.7043 -1.037 1.07515
24 8.982 2.7009 -0.13 1.69E-02
25 8.987 2.700 -3.23E-02 1.04E-03
1016440
Tabla 52: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo dieciséis módulos Abderramán I.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.481 3.677 8.824 77.8611
2 1.572 3.677 1127 1270650
3 1.634 3.677 22.87 523.17
4 5.736 3.6526 0.2737 7.49E-02
5 5.765 3.6393 0.4826 0.232941
6 6.008 3.534 -0.4118 0.16957
7 6.038 3.5216 0.2719 7.39E-02
8 6.591 3.3103 0.1447 2.09E-02
9 6.643 3.2927 0.1812 3.28E-02
10 6.673 3.2828 -0.3658 0.133781
11 6.771 3.2502 0.4759 0.226522
12 7.096 3.1479 0.7175 0.514766
13 7.215 3.1123 0.2244 5.04E-02
14 7.27 3.0963 9.55E-02 9.13E-03
15 7.522 3.0275 0.1476 2.18E-02
16 7.56 3.0176 -0.1633 2.67E-02
17 7.614 3.0033 3.27E-02 1.07E-03
18 7.821 2.9507 2.33E-03 5.43E-06
19 7.865 2.9398 -8.48E-02 7.18E-03
20 8.042 2.8973 -5.47E-02 2.99E-03
21 8.216 2.8578 0.4139 0.171332
22 8.421 2.8132 0.3152 9.93E-02
23 8.426 2.8121 1.15E-02 1.33E-04
24 8.481 2.8005 -0.1011 1.02E-02
25 8.74 2.7471 0.951 0.904416
1271250
Tabla 53: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo dieciséis módulos Almanzor K=2·108 N/m
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 120
Se calcula que para el modelo Abderramán I, la masa efectiva del segundo para
este caso es el 95.53% de la masa total, mientras que en el modelo Almanzor con la
constante de rigidez (K) mayor es el 96.82% y en el modelo de Almanzor con K menor
es el 96.79%. De nuevo, el segundo modo es claramente dominante cuando se aplica el
espectro en dirección Y, los porcentajes de masa movilizada alcanzados para los
modelos de dieciséis módulos son los mayores registrados. La tendencia es evidente,
conforme sea amplían los modelos, mayor importancia toma el modo dominante (en
este caso, el segundo) en el análisis sísmico. En la Tabla 55 se presenta la evolución de
los valores de masa movilizada por el modo dominante.
Para el modelo Almanzor a partir del modelo de cuatro módulos se produce
una estabilización de los valores de los porcentajes, con incrementos muy pequeños.
Por otro lado, para el modelo Abderramán I, después de obtener un porcentaje más
bajo de lo normal para el modelo de nueve módulos, se vuelve a la tendencia de
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.479 3.677 8.87 78.6724
2 1.568 3.677 1127 1270270
3 1.632 3.677 22.01 484.438
4 5.69 3.6734 -0.3465 0.120028
5 5.721 3.6592 0.4088 0.16708
6 5.977 3.5473 0.5712 0.326301
7 5.989 3.542 0.634 0.401932
8 6.437 3.3653 0.1908 3.64E-02
9 6.615 3.3022 5.78E-02 3.34E-03
10 6.629 3.2973 0.4236 0.179409
11 6.651 3.290 0.4672 0.218257
12 6.957 3.1907 -0.7283 0.530491
13 7.097 3.1474 0.1549 2.40E-02
14 7.198 3.1172 -7.31E-02 5.35E-03
15 7.493 3.0352 0.4584 0.210145
16 7.523 3.0274 3.23E-02 1.04E-03
17 7.531 3.0251 -0.173 2.99E-02
18 7.753 2.9677 -7.89E-02 6.23E-03
19 7.828 2.949 -7.97E-02 6.35E-03
20 8.007 2.9053 -5.50E-03 3.02E-05
21 8.159 2.8706 0.7304 0.533465
22 8.39 2.8199 0.2831 8.02E-02
23 8.406 2.8163 -9.34E-03 8.73E-05
24 8.462 2.8043 -0.1831 3.35E-02
25 8.635 2.7684 0.798 0.636766
1270840
Tabla 54 : Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo dieciséis módulos Almanzor K=2·108 N/m
Modelo Abderramán I
Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelo Almanzor K=2·108 N/m
Modelos básicos 89.59% 95.34% 95.02%.
Modelos cuatro módulos 94.91% 96.34% 96.28%.
Modelos nueve módulos 92.55% 96.63% 96.60%.
Modelos dieciséis módulos 95.53% 96.82% 96.79%.
Tabla 55: Porcentaje de masa movilizada por el modo dominante (segundo). Espectro en Y. Desde modelos básicos hasta modelos de dieciséis módulos.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 121
progresivo aumento del porcentaje para el modelo de dieciséis módulos. Esto se debe
a lo que se explicó en el apartado 5.3, la irregularidad de las arquerías pares queda
corregida al ser arriostrada a ambos lados (como en los modelos de cuatro y de
dieciséis módulos), y el modelo tiene un funcionamiento estructural en conjunto más
regular.
En la Tabla 56 se observa la evolución de los desplazamientos horizontales
máximos obtenidos del análisis sísmico y del análisis estático conforme se han ido
ampliando los modelos.
A continuación se muestra la solución nodal en desplazamientos máximos para
los distintos modelos tras el análisis sísmico (Figura 98) y el análisis estático (Figura 99).
Modelo Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelo Almanzor
K=2·108 N/m
Modelos básicos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.045338 Esquina pared-
techo (fila 2)
0.029678 Pared junto a techo (fila 1)
0.030538 Esquina techo
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.040328 Esquina pared-
techo (fila 2)
0.029519 Pared junto a techo (fila 1)
0.030315 Esquina techo
Modelos cuatro módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.045304 Esquina techo – fila 3, soporte 1
0.035772 Borde techo –
Fila 1, soporte 3
0.036148 Borde techo –
Fila 1, soporte 1
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.044614 Borde techo –
Fila 3, soporte 3
0.035241 Borde techo –
Fila 1, soporte 3
0.035628 Borde techo –
Fila 1, soporte 1
Modelos nueve módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.054553 Esquina techo – fila 4, soporte 1
0.038534 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
0.038839 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.046491 Borde techo –
Fila 4, soporte 5
0.037832 Borde techo –
Fila 1, soporte 2
0.038128 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
Modelos dieciséis módulos
Desplazamiento máximo – Análisis sísmico [m]
0.049704 Esquina techo – fila 1, soporte 1
0.040152 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
0.040392 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
Desplazamiento máximo – Análisis estático [m]
0.047712 Techo- Fila 2.
0.039256 Borde techo –
Fila 1, soporte 5
0.039500 Esquina techo – Fila 1, soporte 1
Tabla 56: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección Y. Desde modelos básicos hasta modelos de dieciséis módulos
Figura 98: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección Y. Modelos dieciséis módulos. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 122
Como era de esperar, el aumento de magnitud del modelo, añadiendo al
modelo de nueve módulos, otros siete más, ha propiciado la corrección de la anomalía
por la cual los desplazamientos máximos en el análisis sísmico en el nombrado modelo
de nuevo módulos eran mayores de los esperados. Por lo demás, en el modelo
Almanzor el incremento de los valores de desplazamientos máximos se va acortando
conforme se amplían los modelos. Los desplazamientos máximos resultantes del
análisis sísmico en dirección X son mayores que cuando se aplica el espectro en Y. La
causa de este hecho, como comentó ya en el apartado 5.2.2, está en la mayor rigidez
del conjunto en dirección Y por efecto de los dobles arcos.
En definitiva, a la hora de extrapolar el comportamiento del modelo
Abderramán I cuando el espectro se aplica en Y, es fundamental tener en cuenta si se
consideran un número par o impar de arquerías. Por el contrario, el modelo Almanzor
tiene un comportamiento muy regular, incluso los valores máximos de
desplazamientos se localizan siempre en el mismo punto. Por otro lado, la variación
del valor de la constante de rigidez de los apoyos, no produce un efecto muy
significante. En cuanto a los desplazamientos resultantes del análisis estático, se puede
afirmar que aunque toman valores similares a los del análisis sísmico, no son una
buena aproximación a estos últimos en el proceso de diseño, ya que en la mayoría de
las ocasiones no se sitúan por el lado de la seguridad (son menores).
5.4.2.1. Comprobaciones de rotura.
En las Figura 100 yFigura 101 se representa la distribución de tensiones
principales tras la aplicación del espectro en dirección Y.
Figura 99: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis estático, dirección Y. Modelos dieciséis módulos. De izquierda a derecha: Modelo Abderramán I, Modelo Almanzor K mayor, Modelo Almanzor K menor.
Figura 100: Distribución de tensiones principales. Modelo dieciséis módulos Abderramán I. Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 123
La base de las columnas de mármol (σt=10MPa) continúa siendo uno
de los puntos donde se incumple el criterio de rotura a causa de las tracciones
que aparecen y que no pueden ser resistidas por el mármol. En esta ocasión se
alcanzan tensiones de tracción de hasta 66.175 MPa en el modelo Abderramán
I, y 63.871 MPa en el modelo Almanzor.
Como se aprecia en la Tabla 57, para el modelo Almanzor se produce
un aumento del valor de la tensión máxima de tracción conforme se van
ampliando el modelo, si bien es cierto, que los incrementos van haciéndose
más pequeños conforme los modelos son más grandes (estabilización del
comportamiento).
En cuanto al modelo Abderramán I, siguiendo la línea de lo que se ha
comentado anteriormente, el distinto comportamiento de los modelos, según
tengan un número de arquerías (filas de soportes) par o impar, provoca que la
evolución de los valores de las tensiones de tracción no sea regular. En el
modelo Abderramán I de dieciséis módulos se registra un valor de tensión
máxima de tracción más cercano esta vez al valor del modelo Almanzor, menor
que el correspondiente al modelo de nueve módulos (corrección anomalía
arquerías pares).
Máxima tensión de tracción en las columnas [MPa] Aplicación del espectro en Y.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 59.075 46.642
Modelos cuatro módulos 60.052 56.456
Modelos nueve módulos 71.830 61.243
Modelos dieciséis módulos 66.175 63.871
Tabla 57: Tensiones de tracción máximas. Espectro en dirección Y. Desde modelos básicos hasta modelos de dieciséis módulos
Figura 101: Distribución de tensiones principales. Modelo dieciséis módulos Almanzor (K=2·109 N/m). Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 124
El criterio rotura tampoco se cumple, como en otras situaciones
análogas, en las proximidades de la intersección entre arcos superiores y
pilastras, las tensiones toman valores muy altos en elementos de área muy
pequeña.
En la línea de los apartados anteriores, el criterio de Hoffman para el
techo de madera, aquí también se cumple holgadamente. Se recuerda que el
techo presenta un estado de tensiones plano.
5.5. MODELOS DE NUEVE MÓDULOS CON MURO EXTERIOR.
Se analizan los modelos compuestos por nueve módulos, en esta ocasión, como se vio
en el análisis modal (apartado 4.5), se introduce el muro según la disposición correspondiente
al modelo Abderramán I y al modelo Almanzor, así como el murete de conexión entre las
arquerías y el muro perpendicular a éstas.
Se ha abordado en primer lugar el análisis sísmico de los modelos sin muro exterior,
para posteriormente, analizar los modelos con muro, porque el comportamiento estructural
varía considerablemente. Además, la manera lógica de proceder es siempre desde lo más
simple hacia lo más cercano a la realidad.
De igual manera que para los modelos sin muro exterior, se toman 20 frecuencias
naturales para los modelos de nueve módulos.
De manera análoga a los apartados anteriores se procede al análisis sísmico de los
modelos de nueve módulos con muro exterior aplicando el espectro de aceleraciones en
ANSYS en dirección X y en dirección Y.
Se obtendrán los coeficientes de participación de los modos de vibración y las masas
efectivas. Posteriormente se obtienen también los desplazamientos horizontales máximos
provenientes del análisis sísmico. Para los modelos con muro, no se van a comparar los
desplazamientos del análisis sísmico con los del análisis estático, porque, como se verá a
continuación, ahora no aparecerá un modo tan claramente dominante como en ocasiones
anteriores. Por último se realizan las comprobaciones de rotura, aplicando el criterio de
Willam-Warnke y el de Hoffman.
5.5.1. Aceleración del espectro en dirección X:
Siguiendo la estructura de anteriores apartados, se muestran las tablas con los
coeficientes de participación y las masas efectivas de los modos.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 125
Como se aprecia en las tablas anteriores, la situación ha cambiado
considerablemente respecto a los resultados que se obtenían para los modelos sin
muro. Ya no aparece un modo claramente dominante que movilizaba un gran
porcentaje de masa en los modelos sin muro.
Tanto para el modelo Abderramán I, como para el modelo Almanzor, se
observa que los dos primeros modos son los que tienen los coeficientes de
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 2.161 3.677 606.1 367391
2 5.118 3.677 714.7 510730
3 5.949 3.5588 -120 14398.8
4 6.696 3.2749 -51.92 2695.9
5 6.733 3.2627 -28.48 810.98
6 7.403 3.0595 -13.91 193.44
7 7.636 2.9977 -228.2 52052.9
8 7.842 2.9454 20.83 433.709
9 8.061 2.8929 -88.69 7865.53
10 8.408 2.8159 18.14 329.176
11 8.579 2.7799 198.9 39559.3
12 8.77 2.7412 -207 42842.8
13 9.04 2.6902 -20.05 402.182
14 9.188 2.6634 -19.52 381.033
15 9.467 2.6146 -73.31 5374.59
16 9.558 2.5995 -70.18 4924.67
17 9.577 2.5962 -121.5 14761.9
18 9.768 2.5655 201.8 40711.5
19 10.05 2.5225 -50.73 2573.22
20 10.09 2.5151 28.84 831.925
1109260
Tabla 58: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo nueve módulos Abderramán I con muro exterior.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 2.000 3.677 518.2 268548
2 5.082 3.677 728.2 530282
3 7.158 3.1291 -37.14 1379.59
4 7.764 2.9651 155.4 24140
5 7.843 2.9451 -38.94 1516.55
6 8.087 2.8869 280.6 78757.5
7 8.208 2.8596 -153.1 23431.8
8 8.434 2.8105 111.1 12345.2
9 8.777 2.7399 116.4 13552.2
10 8.816 2.7323 -68.5 4691.65
11 8.880 2.7202 -6.567 43.1279
12 9.119 2.6758 -45.88 2105.32
13 9.221 2.6575 -113.8 12959.2
14 9.306 2.6425 35.88 1287.67
15 9.398 2.6264 -31.14 969.753
16 9.774 2.5646 82.52 6808.97
17 10.01 2.5286 17.25 297.444
18 10.22 2.4968 -57.77 3337.73
19 10.25 2.4918 22.4 501.63
20 10.35 2.4774 43.96 1932.63
988887
Tabla 59: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo nueve módulos Almanzor K=2·109N/m con muro
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
Masa total (kg) 1315300 1431900
Tabla 60: Masas totales modelos nueve módulos con muro exterior.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 126
participación más altos, y por lo tanto movilizan mayor porcentaje de masa.
Concretamente, para el modelo Abderramán I, respecto de la masa total, la masa
efectiva del primer modo supone un 20.42% y la del segundo, un 40.32%. Para el
modelo Almanzor, el primer modo moviliza el 25.66% de la masa total, y el segundo, el
35.66%.
Como se veía en el apartado 4.5, los dos primeros modos para uno y otro
modelo son los únicos en los que se produce la vibración general de la estructura, de
ahí que sea lógico que sean los que tienen mayor masa efectiva. En cualquier caso,
sólo alcanzan entre los dos en un caso el 60% y en el otro el 70% de la masa total, de
manera que para los modelos con muro, los modos correspondientes a frecuencias
naturales más altas tienen más relevancia que en los modelos sin muro.
A efectos de la respuesta sísmica, la situación es más compleja que en los
modelos sin muro exterior, ya que al introducirlo sólo por dos lados, se pierde la
simetría. A continuación, en la Figura 102 , se muestra la solución nodal en
desplazamientos tras el análisis sísmico de los modelos cuando el espectro se aplica en
dirección X.
Como se ha comentado, en esta ocasión no se realiza el análisis estático, en
primer lugar, porque mediante la comparación con los resultados del análisis sísmico
de los modelos sin muro, se obtiene que no son una aproximación por el lado de la
seguridad, y en segundo lugar, porque la respuesta sísmica de la estructura en este
caso es mucho más compleja y no aparece un modo dominante como antes, lo que
hace que la aproximación que nos pueda dar el análisis estático se aún peor.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Desplazamiento máximo –
Análisis sísmico [m]
0.025477 Esquina techo
0.023320 Esquina techo
Tabla 61: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección X. Modelos nueve módulos con muro exterior.
Figura 102: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección X. Modelos de nueve módulos con muro. Izquierda: Modelo Abderramán I, derecha: Modelo Almanzor K=2·109N/m.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 127
Como es de esperar, los máximos desplazamientos se dan en los puntos más
alejados de los muros y de los empotramientos de las columnas, esto es en la esquina
libre del techo.
Tanto en el valor del máximo desplazamiento, como en la distribución de
desplazamientos, en esta ocasión los dos modelos se asemejan bastante.
La introducción del muro ha propiciado un clarísimo descenso del valor de los
desplazamientos máximos, para los modelos de nueve módulos sin muro, los valores
eran 0.053903 m (Abderramán I) y 0.044850 (Almanzor). Por tanto el descenso es de la
mitad aproximadamente.
La importancia y la influencia de los muros en la estructura son indiscutibles, el
comportamiento dinámico cambia considerablemente, ya que éstos aportan una gran
rigidez al conjunto.
5.5.1.1. Comprobaciones de rotura.
Se obtienen las distribuciones de tensiones principales. En las Figura
103 y Figura 104 se aprecia la distribución de tensiones principales en uno y
otro modelo.
Figura 103: Distribución de tensiones principales. Modelo Abderramán I nueve módulos con muro. Espectro en X. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal
Figura 104: Distribución de tensiones principales. Modelo Almanzor (K=2·109 N/m) nueve módulos con muro. Espectro en X De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 128
La introducción de los muros afecta también claramente a la
distribución de tensiones tras la aplicación del espectro. El criterio de rotura
sigue sin cumplirse en algunos puntos de la base de las columnas, sin embargo,
son muchos menos que para los modelos sin muro, así como en los arcos del
modelo Abderramán.
En particular, las máximas tensiones de tracción alcanzadas en la base
de las columnas de mármol, son de 27.777 MPa en el modelo Abderramán I, y
de 32.211 MPa en el modelo Almanzor. Estos valores aún están lejos del rango
de de tensiones de tracción que puede soportar un material tipo roca como el
mármol (σt=10MPa), pero en comparación con los valores obtenidos para los
modelos sin muro, se ha producido una reducción en más de la mitad. Véase la
Tabla 62 , donde se muestra el salto de los valores máximos de tensión de
tracción al pasar de modelos sin muro a modelos con él.
Aunque la comprobación no llega a cumplirse en todos los puntos, el
cambio de rumbo es notable, al introducir el muro la estructura ha ganado
rigidez y las tracciones que se sufren las columnas son menores. La línea de
trabajo será ir ampliar los modelos y aproximarlos a la realidad. En cuanto a los
arcos superiores, para el modelo Almanzor sí se cumple el criterio Willam-
Warnke puesto que las tensiones registradas en los mismos (que descienden
respecto a las registradas en los modelos sin muro, por efecto de la
introducción de éste) son soportables por la fábrica de caliza, sin embargo, en
el modelo Abderramán aparecen varios puntos en los que no se cumple. Ya se
explicó, que los arcos se produce una estado tensional complejo cuando el
espectro se aplica en X, justo perpendicularmente al plano en el que trabaja el
propio arco a compresión.
Por otro lado, los muros que corren por encima de los arcos y los
muros exteriores tienen un estado plano de tensiones, y cumplen
Máxima tensión de tracción en las columnas [MPa]
Aplicación del espectro en X.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 53.350 46.501
Modelos cuatro módulos 64.796 64.348
Modelos nueve módulos 66.414 65.768
Modelos dieciséis módulos 65.773 67.292
Modelos nueve módulos
con muro exterior 27.777 32.211
Tabla 62: Tensiones de tracción máximas. Espectro en dirección X. Modelos sin muro, modelo nueve módulos con muro.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 129
holgadamente el criterio de rotura. De la misma manera que en modelos sin
muro, el criterio de Hoffman se cumple en todos los puntos del techo de
madera.
5.5.2. Aceleración del espectro en dirección Y:
En esta ocasión, al aplicar el espectro en Y, también aparecen los coeficientes
de participación más altos en los dos primeros modos de vibración (los de vibración
general de la estructura). La introducción del muro hace que la respuesta de la
estructura sea más parecida cuando el espectro se aplica en dirección X y en dirección
Y.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 2.000 3.677 581.5 338087
2 5.082 3.677 -686.4 471154
3 7.158 3.1291 37.92 1437.76
4 7.764 2.9651 176.3 31072.8
5 7.843 2.9451 -3.239 10.4925
6 8.087 2.8869 303.6 92187.1
7 8.208 2.8596 9.257 85.6918
8 8.434 2.8105 140.9 19843.7
9 8.777 2.7399 94.74 8975.14
10 8.816 2.7323 -59.36 3523.07
11 8.88 2.7202 -53.24 2834
12 9.119 2.6758 -17.53 307.135
13 9.221 2.6575 -77.35 5982.79
14 9.306 2.6425 -53.61 2873.98
15 9.398 2.6264 -17.68 312.623
16 9.774 2.5646 161.4 26052.1
17 10.01 2.5286 -1.982 3.92736
18 10.22 2.4968 -20.79 432.182
19 10.25 2.4918 20.08 403.063
20 10.35 2.4774 77.27 5970.93
1011549.48
Tabla 63: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo nueve módulos Abderramán I con muro exterior.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 2.161 3.677 -576.7 332604
2 5.118 3.677 745.4 555645
3 5.949 3.5588 -132.8 17647.7
4 6.696 3.2749 86.02 7399.63
5 6.733 3.2627 17.15 294.227
6 7.403 3.0595 15.79 249.381
7 7.636 2.9977 189.8 36026.8
8 7.842 2.9454 14.24 202.807
9 8.061 2.8929 -190.1 36155.1
10 8.408 2.8159 -12.86 165.284
11 8.579 2.7799 -164.5 27068.4
12 8.77 2.7412 145.2 21086.4
13 9.04 2.6902 3.095 9.57722
14 9.188 2.6634 -21.38 457.104
15 9.467 2.6146 61.62 3797.12
16 9.558 2.5995 -17.74 314.66
17 9.577 2.5962 140.9 19858.4
18 9.768 2.5655 -164.2 26976.2
19 10.05 2.5225 7.237 52.3755
20 10.09 2.5151 -57.54 3310.43
1089320
Tabla 64: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo nueve módulos Abderramán I con muro exterior.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 130
El porcentaje de masa movilizada respecto del total en el caso del modelo
Abderramán I por el primer modo es del 25.70% y por el segundo, del 35.82%. En el
caso del modelo Almanzor, el primer modo moviliza el 23.23% de la masa total, y el
segundo, el 38.80%. En uno y otro modelo, entre los dos primeros modos se moviliza
alrededor del 60% de la masa. Por ahora, esta es la ocasión en la están más repartidos
los porcentajes de masa movilizada por los modos, esto implica que en los modelos
con muro hay que vigilar frecuencias naturales más altas, no sólo las más pequeñas
que en los modelos sin muro eran claramente dominantes en el análisis sísmico.
Como se comentaba anteriormente, el hecho de que los modelos pierdan la
simetría provoca una situación compleja en cuanto a la respuesta sísmica, donde
claramente (como se puede apreciar en la Figura 105) el punto con mayores
desplazamientos se encontrará en el techo, en la esquina que no está unida a los
muros.
La introducción del muro ha propiciado un clarísimo descenso del valor de los
desplazamientos máximos, para los modelos de nueve módulos sin muro, los valores
en el apartado análogo a éste (5.3.2) eran 0.054553 m (Abderramán I) y 0.038534m
(Almanzor), de manera que el descenso es muy acusado.
De nuevo, al igual que en la aplicación del espectro en X, la distribución de
desplazamientos de los modelos resultante se asemeja a la del primer modo de
vibración, según se veía en el apartado 4.5, sin embargo, el modo con mayor
porcentaje de masa movilizada en los modelos con muro exterior es siempre el
segundo.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Desplazamiento máximo –
Análisis sísmico [m]
0.028529 Esquina techo
0.02222 Esquina techo
Tabla 65: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección Y. Modelos nueve módulos con muro exterior.
Figura 105: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico, dirección Y. Modelos de nueve módulos con muro. Izquierda: Modelo Abderramán I, derecha: Modelo Almanzor K=2·109N/m.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 131
Una vez comprobada la importante influencia de los muros exteriores en el
comportamiento dinámico del modelo, se trata de seguir ampliando el modelo y
buscar aproximarse a la realidad.
5.5.2.1. Comprobaciones de rotura.
En las figuras siguientes, se obtienen las distribuciones de tensiones
principales en uno y otro modelo.
En esta ocasión también aparecen algunos puntos en los que no se
cumple el criterio de rotura, aunque los valores de las tensiones de tracción
han descendido respecto a los registrados para los modelos sin muro, en la
zona de la base de las columnas todavía se alcanzan valores que no pueden ser
soportados por el mármol por su baja resistencia a tracción. Así mismo, en los
arcos superiores del modelo Abderramán también se incumple el criterio.
En particular, las máximas tensiones de tracción alcanzadas en la base
de las columnas de mármol, son de 30.709 MPa en el modelo Abderramán I, y
de 31.114 MPa en el modelo Almanzor. Como se ha dicho, estos valores aún
están lejos del rango de de tensiones de tracción que puede soportar un
material tipo roca como el mármol, pero se ha producido una considerable
reducción respecto de los valores alcanzados en los modelos sin muro. De
nuevo se tiene una muestra de que el comportamiento de los modelos cuando
Figura 106: Distribución de tensiones principales. Modelo Abderramán I nueve módulos con muro. Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal
Figura 107: Distribución de tensiones principales. Modelo Almanzor (K=2·109 N/m) nueve módulos con muro. Espectro en Y De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 132
el espectro se introduce en distintas direcciones se acerca mucho una vez
introducen los muros exteriores.
Véase la Tabla 66 , donde se muestra el salto de los valores máximos
de tensión de tracción al pasar de modelos sin muro a modelos con él.
Está clara la influencia de los muros exteriores en el descenso de los
máximos valores de las tensiones de tracción. La comprobación sigue sin
cumplirse en ciertos puntos, pero la línea de aproximación de los modelos a la
realidad tiene una tendencia positiva en cuanto al cumplimiento de las
comprobaciones.
El otro punto crítico, donde nos se cumple el criterio es en los arcos
superiores del modelo Abderramán I. Anteriormente, en los modelos sin muro,
cuando se aplica el espectro en Y, sucedía que existían ciertos puntos cercanos
a las intersecciones entre arcos superiores y pilastras, en los que se disparaba
el valor de las tensiones por causa del pequeño valor del área de los
elementos; en esta ocasión los valores obtenidos en esas zonas no llegan a ser
tan altos, en cambio, en los arcos superiores aparecen puntos en los que no se
cumple el criterio, ya que al aplicar el espectro en Y, ahora no hay un modo
predominante que vibra en una dirección, si no que se excitan los dos primeros
modos, cosa que provoca en los arcos un estado complejo de tensiones; de ahí
que no se cumpla el criterio en el modelo Abderramán I, donde los arcos son
de fábrica de caliza y ladrillo, la cual posee una resistencia muy baja tanto en
compresión como en tracción.
De la misma manera que en modelos sin muro, el criterio de Hoffman
se cumple en todos los puntos del techo de madera.
Máxima tensión de tracción en las columnas [MPa]
Aplicación del espectro en Y.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 59.075 46.642
Modelos cuatro módulos 60.052 56.456
Modelos nueve módulos 71.830 61.243
Modelos dieciséis módulos 66.175 63.871
Modelos nueve módulos
con muro exterior 31.138 30.709
Tabla 66: Tensiones de tracción máximas. Espectro en dirección Y. Modelos sin muro, modelo nueve módulos con muro.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 133
5.6. MODELOS DE DIECISÉIS MÓDULOS CON MURO EXTERIOR.
Se analizan los modelos compuestos por dieciséis módulos, en continuación al
apartado anterior donde se muestran los resultados del análisis sísmico para los modelos de
nueve módulos ya con el muro, se pretende observar la evolución de dichos resultados al
ampliar el modelo. Hay que destacar que aquí se tendrán los modelos más grandes que se van
a considerar de la parte antigua (Abderramán I) y la parte moderna (Almanzor) de la Mezquita
individualmente, y por tanto los modelos que más fielmente pueden caracterizar a las dos
partes del edificio consideradas.
De igual manera que para los modelos sin muro exterior, se toman 25 frecuencias
naturales para los modelos de dieciséis módulos. De manera análoga a los apartados
anteriores se procede al análisis sísmico de los modelos de dieciséis módulos con muro
exterior aplicando el espectro de aceleraciones en dirección X y en dirección Y.
Además, se hará una comparación con los resultados de los aparatados anteriores,
para comprobar la evolución de los mismos y establecer cuál es el modelo más pequeño por el
que se puede aproximar de una manera suficientemente fiel el comportamiento de cada parte
de la Mezquita.
5.6.1. Aceleración del espectro en dirección X:
En primer lugar, se obtiene la tabla de coeficientes de participación modal y la
masa efectiva para cada modelo.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.868 3.677 637.9 406972
2 4.92 3.677 912.4 832508
3 7.041 3.1646 -29.22 853.913
4 7.401 3.0601 185.6 34438.9
5 7.536 3.0239 -91.21 8318.36
6 7.825 2.9498 385.3 148490
7 7.978 2.9124 -43.18 1864.8
8 7.999 2.9072 -169.7 28803
9 8.145 2.8737 -37.33 1393.86
10 8.274 2.8451 -153.7 23610.5
11 8.325 2.8338 -51.33 2635.05
12 8.609 2.7736 -38.36 1471.23
13 8.652 2.7648 85.55 7318.53
14 8.797 2.7359 -18.13 328.695
15 8.814 2.7328 69.91 4887.33
16 8.838 2.728 -55.69 3101.74
17 8.877 2.7206 19.39 375.849
18 8.888 2.7187 63.52 4034.37
19 8.97 2.7032 -36.86 1358.69
20 9.132 2.6735 28.3 800.838
21 9.264 2.6498 -15.79 249.218
22 9.346 2.6355 14.66 214.821
23 9.372 2.631 69.96 4894.19
24 9.467 2.6146 69.88 4882.7
25 9.628 2.5879 34.04 1158.47
1524960
Tabla 67: Resultados análisis sísmico. Espectro en X. Modelo dieciséis módulos Abderramán I con muro.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 134
En esta ocasión se sigue la línea marcada por el apartado anterior donde ya se
había introducido el muro. Los dos primeros modos son los que tienen los mayores
coeficientes de participación en la solución del análisis sísmico.
El porcentaje de masa movilizada respecto del total en el modelo Abderramán
I por el primer modo es del 20.73%, y por el segundo es del 42.40%; en el modelo
Almanzor el primer modo moviliza el 27.05% y el segundo el 38.05% de la masa total
del modelo. A continuación en la Tabla 70 se muestra la comparación con los
resultados de los modelos de nueve módulos cuando se aplica el espectro en X. Como
se puede apreciar, los resultados son realmente similares, sólo se aprecia un ligero
aumento del porcentaje de masa movilizada en los modelos de dieciséis módulos.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 2.023 3.677 767.4 588975
2 4.769 3.677 910.2 828425
3 5.837 3.6076 -72.07 5194.6
4 6.302 3.4162 -61.05 3727.27
5 6.506 3.34 65.56 4297.51
6 6.902 3.2079 83.81 7023.71
7 7.040 3.1649 -17.44 303.995
8 7.149 3.1318 -72.37 5237.13
9 7.344 3.0757 157.6 24837.2
10 7.395 3.0617 -266.4 70966.7
11 7.675 2.9876 -10.65 113.324
12 7.929 2.9243 -15.76 248.375
13 8.093 2.8855 115 13224.3
14 8.134 2.8762 -105.9 11212.9
15 8.162 2.8699 48.66 2368.03
16 8.507 2.7948 -195.1 38058
17 8.59 2.7776 -264.5 69959.7
18 8.642 2.7669 -69.82 4874.32
19 8.86 2.724 -116.7 13607.5
20 9.074 2.684 -61.48 3780
21 9.082 2.6826 -20.32 412.8
22 9.202 2.661 80.74 6519.51
23 9.379 2.6298 39.37 1550.24
24 9.411 2.6243 14.43 208.124
25 9.469 2.6142 84.39 7122.12
1712250 Tabla 68: Resultados análisis sísmico. Espectro en X.
Modelo dieciséis módulos Almanzor K=2·109N/m con muro exterior.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
Masa total [kg] 1963400 2177300
Tabla 69: Masas totales modelos nueve módulos con muro exterior.
Modelo Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelos nueve
módulos con muro
Primer modo 20.42% 25.66%
Segundo modo 40.32%. 35.66%.
Modelos dieciséis
módulos con muro
Primer modo 20.73%, 27.05%
Segundo modo 42.40%; 38.05%
Tabla 70: Porcentaje de masa movilizada por los dos primeros modos Espectro en X. Modelos con muro exterior, nueve y dieciséis módulos.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 135
Seguidamente se procede a mostrar la solución en desplazamientos obtenida,
representando la distribución de los mismos, y escogiendo los desplazamientos
máximos del análisis sísmico en dirección X de los modelos de dieciséis módulos, para
que sean comparados con los resultados del apartado análogo de los modelos de
nueve módulos (véase Tabla 71)De nuevo, los máximos desplazamientos se dan en la
esquina libre del techo como se puede apreciar en la Figura 108.
La distribución de desplazamientos es muy parecida a la que se encontraba en
los modelos de nueve módulos, sin embargo los desplazamientos máximos aumentan
ligeramente (alrededor de 3mm), cosa que se puede relacionar con el ligero aumento
del porcentaje de masa movilizada por los dos primeros modos, ya que éstos son los
principales responsables de los desplazamientos producidos.
La tendencia que también se apreciaba en los modelos sin muro de que
conforme se amplían los modelos, aumentan los desplazamientos, se mantiene
también en los modelos con muro. Como se comentó anteriormente, la ampliación de
los modelos, y más aún con la introducción al muro, propicia que el modelo
Abderramán I y el modelo Almanzor tengan un comportamiento cada vez más similar.
Este hecho se produce por la compensación de los defectos o irregularidades
particulares de cada modelo, que se corrigen al aumentar la magnitud.
Desplazamiento máximo [m]
Análisis sísmico, espectro en X.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos nueve
módulos con muro
0.025477 Esquina techo
0.023320 Esquina techo
Modelos dieciséis
módulos con muro
0.028308 Esquina techo
0.026441 Esquina techo
Tabla 71: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección X. Modelos nueve módulos con muro exterior.
Figura 108: Solución nodal, desplazamientos máximos [m]. Análisis sísmico, dirección X. Modelos de nueve módulos con muro. Izquierda: Modelo Abderramán I, derecha: Modelo Almanzor K=2·109N/m.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 136
5.6.1.1. Comprobaciones de rotura.
A continuación se muestran las distribuciones de tensiones principales
en los modelos Abderramán I y Almanzor cuando el espectro se aplica en X.
El criterio de rotura no se cumple en todos los puntos de los modelos.
Las tracciones que aparecen en la base de las columnas, de nuevo, son
Máxima tensión de tracción en las columnas [MPa]
Aplicación del espectro en X.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor (K=2·109 N/m)
Modelos básicos 53.350 46.501
Modelos cuatro módulos 64.796 64.348
Modelos nueve módulos 66.414 65.768
Modelos dieciséis módulos 65.773 67.292
Modelos nueve módulos
con muro exterior 27.777 32.211
Modelos dieciséis módulos
con muro exterior 34.245 36.597
Tabla 72: Tensiones de tracción máximas. Espectro en dirección X. Modelos sin muro, módulos con muro.
Figura 109: Distribución de tensiones principales. Modelo Abderramán I dieciséis módulos con muro. Espectro en X. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal
Figura 110: Distribución de tensiones principales. Modelo Almanzor (K=2·109 N/m) dieciséis módulos con muro. Espectro en X De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 137
superiores a los valores que pueden soportar el mármol (σt= 10MPa). De igual
modo que en anteriores ocasiones, tampoco se cumple el criterio en algunos
puntos de los arcos superiores del modelo Abderramán I.
En particular, las máximas tensiones de tracción alcanzadas en la base
de las columnas de mármol, son de 34.245 MPa en el modelo Abderramán I, y
de 36.597 MPa en el modelo Almanzor. Estos valores han crecido respecto a
los obtenidos en los modelo de nueve módulos, como se puede apreciar en la
Tabla 72, aunque es cierto que siguen siendo considerablemente más
pequeños que los obtenidos para los modelos sin muro. De igual manera, en
los arcos superiores del modelo Abderramán I sigue sin cumplirse el criterio.
Los muros que corren por encima de los arcos y los muros exteriores tienen un
estado plano de tensiones, y cumplen holgadamente el criterio de rotura. De la
misma manera que en modelos sin muro, el criterio de Hoffman se cumple en
todos los puntos del techo de madera.
Llegados a este punto, tratándose de los modelos más grandes, se
puede confirmar que los modelos de las dos partes de la Antigua Mezquita
consideradas, no pueden llegar a cumplir individualmente la comprobación de
rotura en condiciones últimas. Aunque el muro ha provocado que las tensiones
de tracción en la base de las columnas desciendan, este descenso no es
suficiente y el criterio de rotura no se cumple.
5.6.2. Aceleración del espectro en dirección Y:
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 2.023 3.677 -736.1 541900
2 4.769 3.677 939.4 882397
3 5.837 3.6076 -97.97 9598.48
4 6.302 3.4162 98.58 9718.2
5 6.506 3.34 46.51 2163.21
6 6.902 3.2079 -99.34 9869.1
7 7.04 3.1649 -1.721 2.96201
8 7.149 3.1318 65.24 4255.73
9 7.344 3.0757 -151.9 23081.7
10 7.395 3.0617 275.4 75858.5
11 7.675 2.9876 2.904 8.4356
12 7.929 2.9243 11.99 143.767
13 8.093 2.8855 -43.1 1857.28
14 8.134 2.8762 -76.35 5830.05
15 8.162 2.8699 -239.7 57433.4
16 8.507 2.7948 128.7 16553.8
17 8.59 2.7776 171 29229.5
18 8.642 2.7669 43.77 1916.24
19 8.86 2.724 53.74 2888.42
20 9.074 2.684 22.68 514.511
21 9.082 2.6826 5.743 32.9766
22 9.202 2.661 -81.42 6629.75
23 9.379 2.6298 -28.43 808.029
24 9.411 2.6243 -9.341 87.2493
25 9.469 2.6142 -110.1 12129.3
1694910
Tabla 73: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo dieciséis módulos Abderramán I con muro exterior.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 138
En esta ocasión, el porcentaje de masa movilizada respecto del total en el
modelo Abderramán I por el primer modo es del 28.50%, y por el segundo es del
36.73%; en el modelo Almanzor el primer modo moviliza el 24.89% y el segundo el
40.53% de la masa total del modelo. De nuevo se puede apreciar, que el hecho de
introducir los muros exteriores provoca que los resultados del análisis sísmico del
modelo Abderramán I se parezcan a los del modelo Almanzor, así como los
provenientes de la aplicación del espectro en X, se parezcan más a los provenientes de
la aplicación del espectro en Y.
En la Tabla 75 se puede ver que el porcentaje de masa movilizada en general
aumenta ligeramente respecto a los resultados obtenidos para los modelos de nueve
módulos, aunque apenas se llega al 65% de la masa movilizada total entre los dos
modos. Como se venía apuntando, tras la introducción del muro, aparecen modos
correspondientes a frecuencias naturales con masas efectivas que alcanzan
porcentajes a tener en cuenta como es el caso del sexto modo en el modelo
Abderramán con un 7.25% de la masa total, o el modo décimo en el modelo Almanzor
que moviliza el 3.48% de la masa total.
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 1.868 3.677 748 559569
2 4.92 3.677 -849.3 721326
3 7.041 3.1646 51.28 2630.11
4 7.401 3.0601 184.7 34120.9
5 7.536 3.0239 14.95 223.649
6 7.825 2.9498 377.7 142635
7 7.978 2.9124 6.717 45.1237
8 7.999 2.9072 -151 22798.9
9 8.145 2.8737 -36.85 1358.26
10 8.274 2.8451 -25.52 651.473
11 8.325 2.8338 44.87 2013.32
12 8.609 2.7736 -24.38 594.214
13 8.652 2.7648 78.81 6210.33
14 8.797 2.7359 -13.59 184.612
15 8.814 2.7328 30.9 954.529
16 8.838 2.728 -33.17 1100.53
17 8.877 2.7206 5.907 34.89
18 8.888 2.7187 3.801 14.4457
19 8.97 2.7032 -14.02 196.498
20 9.132 2.6735 -71.79 5153.61
21 9.264 2.6498 -14.78 218.327
22 9.346 2.6355 22.84 521.718
23 9.372 2.631 90.27 8148.41
24 9.467 2.6146 110.9 12296.3
25 9.628 2.5879 31.99 1023.13
1524020 Tabla 74: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y.
Modelo dieciséis módulos Almanzor K=2·109N/m con muro exterior.
Modelo Abderramán I
Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelos nueve
módulos con muro
Primer modo 25.70% 23.23%
Segundo modo 35.82%. 38.80%
Modelos dieciséis
módulos con muro
Primer modo 28.50% 24.89%
Segundo modo 36.73% 40.53% Tabla 75: Porcentaje de masa movilizada por los dos primeros modos Espectro en Y.
Modelos con muro exterior, nueve y dieciséis módulos.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 139
A continuación se muestra la Tabla 76 con la comparación de los resultados de
desplazamientos máximos obtenidos en los modelos de nueve módulos y en los
modelos de dieciséis módulos, cuando el espectro se aplica en Y. Como es lógico, los
máximos desplazamientos se vuelven a dar en la esquina libre del techo (véase Figura
111 ).
Aunque las diferencias son pequeñas, hay que resaltar que en los modelos
Abderramán I con muro, los desplazamientos máximos provenientes de la aplicación
del espectro en Y son mayores que los que resultan de la aplicación del espectro en X,
mientras que en los modelos sin muro sucedía al contrario. Esto se explica porque el
porcentaje de masa movilizada por los dos primeros modos, que definitiva son los
principales responsables de los máximos desplazamientos, es mayor para la aplicación
del espectro en Y que en X. En última instancia, esta circunstancia tiene relación con el
hecho de que el refuerzo de la rigidez del modelo es mucho más apreciable en X, ya
que antes de introducir los muros, las arquerías en dirección X sólo estaban
arriostradas por el techo.
Desplazamiento máximo [m]
Análisis sísmico, espectro en Y.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos nueve
módulos con muro
0.028529 Esquina techo
0.02222 Esquina techo
Modelos dieciséis
módulos con muro
0.033115 Esquina techo
0.025391 Esquina techo
Tabla 76: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección Y. Modelos nueve módulos con muro exterior.
Figura 111: Solución nodal, desplazamientos máximos. Análisis sísmico dirección Y. Modelos de dieciséis módulos con muro. Izquierda: Modelo Abderramán I, derecha: Modelo Almanzor K=2·109N/m.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 140
5.6.2.1. Comprobaciones de rotura.
Se obtienen las distribuciones de tensiones principales en los modelos.
En las Figura 112 y Figura 113 se aprecia la distribución de tensiones
principales en uno y otro modelo.
Las tracciones en la base de las columnas provocan que no se cumpla
el criterio de rotura. Los valores máximos alcanzados en esta ocasión son de
40.099 MPa en el modelo Abderramán I, y de 35.206 MPa en el modelo
Almanzor. Al ampliar los modelos, las tensiones máximas de tracción han
aumentado, como se puede ver en la Tabla 77 , donde se ve la evolución de los
resultados obtenidos cuando el espectro se aplica en dirección Y.
La tendencia es la misma que se viene observando, al ampliar los
modelos, aumenta la masa movilizada por los primeros modos, aumentan las
tensiones máximas de tracción en las columnas y los desplazamientos
máximos.
Figura 112: Distribución de tensiones principales. Modelo Abderramán I dieciséis módulos con muro. Espectro en Y. De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal
Figura 113: Distribución de tensiones principales. Modelo Almanzor (K=2·109 N/m) dieciséis módulos con muro. Espectro en Y De izquierda a derecha: Primera, segunda y tercera tensión principal.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 141
De igual manera que en el caso de los modelos de nueve módulos,
tampoco se cumple el criterio de rotura en los arcos superiores del modelo
Abderramán I.
Para el caso de la aplicación del espectro en Y, también se puede decir
que los modelos Abderramán I y Almanzor, individualmente, no pueden a
llegar a cumplir la comprobación en condiciones últimas, porque siguen
apareciendo puntos en los que el criterio de Willam-Warnke no se satisface.
5.7. MODELO GENERAL.
Para terminar y completar el análisis sísmico de la estructura que se está tratando, se
procede a obtener los resultados del estudio del modelo General, compuesto por la unión de
los modelos de dieciséis módulos de las dos partes consideradas de la Mezquita (Abderramán
I y Almanzor).
Éste será el modelo más próximo a la realidad, y viene a ser el colofón a la evolución
que han venido experimentando los modelos desde el modelo básico formado por un módulo
de seis columnas. En este apartado, por tanto, también se comentarán los resultados
obtenidos anteriormente y su transformación al ir ampliando los modelos hasta llegar al
modelo General.
Hasta ahora se habían estudiado individualmente las dos partes de la Mezquita,
considerando las particularidades de las mismas en los modelos correspondientes, sin
embargo ahora se aborda el estudio de la estructura en conjunto, donde se analizará el efecto
de dichas particularidades y se comprobará la influencia de una parte respecto de la otra en el
comportamiento global.
Máxima tensión de tracción en las columnas [MPa]
Aplicación del espectro en Y.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 59.075 46.642
Modelos cuatro módulos 60.052 56.456
Modelos nueve módulos 71.830 61.243
Modelos dieciséis módulos 66.175 63.871
Modelos nueve módulos
con muro exterior 31.138 30.709
Modelos dieciséis módulos
con muro exterior 40.099 35.206
Tabla 77: Tensiones de tracción máximas. Espectro en dirección Y. Modelos sin muro, módulos con muro.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 142
Se tomarán las 30 primeras frecuencias naturales, y se procederá al análisis de la
misma manera que en apartados anteriores.
5.7.1. Aceleración del espectro en dirección X:
En este análisis se observa que el segundo modo es el más importante en la
respuesta símica, con un porcentaje de masa movilizada del 54.44% respecto del total.
El primer modo es el siguiente con mayor masa efectiva, con un 8.05%, y tras éste, el
décimo con un 5.24%, en cualquier caso el salto ya es considerable. El porcentaje de
masa movilizada por los demás modos individualmente, queda lejos de estos valores.
Como se vio en el análisis modal del modelo General (apartado 4.7), los dos
primeros modos son los únicos que implican una vibración general de la estructura, de
manera que es de esperar que sean los que más masa movilizan. Hay que recordar que
uno de los principales resultados que se extraía del análisis modal es que a pesar de
formar un conjunto, a excepción del caso del segundo modo, la parte correspondiente
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 4.275 3.677 623.3 388482
2 5.313 3.677 1621 2627320
3 6.474 3.3515 2.75 7.56032
4 6.851 3.2241 -100.9 10184.5
5 7.013 3.173 3.663 13.4161
6 7.289 3.091 -79.2 6271.92
7 7.309 3.0854 -44.27 1959.39
8 7.62 3.0019 22.61 511.322
9 7.659 2.9918 39.72 1577.72
10 7.701 2.981 -502.8 252848
11 7.821 2.9506 -64.86 4206.24
12 7.85 2.9435 -15.67 245.455
13 8.028 2.9004 -22 484.04
14 8.097 2.8847 236.3 55834.7
15 8.18 2.8658 295 87023.2
16 8.24 2.8526 103.7 10750.1
17 8.254 2.8493 -32.74 1072.14
18 8.438 2.8094 -22.29 496.697
19 8.503 2.7958 117.2 13736.6
20 8.555 2.7849 -7.171 51.4204
21 8.758 2.7435 0.3911 0.152937
22 8.846 2.7266 9.267 85.8794
23 8.882 2.7197 -8.71E-02 7.59E-03
24 8.98 2.7013 -183.9 33831.3
25 8.991 2.6994 -224.6 50459.1
26 9.065 2.6858 -5.67 32.1441
27 9.096 2.6801 -27.03 730.504
28 9.127 2.6744 -27.41 751.036
29 9.145 2.6711 91.39 8352.67
30 9.238 2.6545 16.64 276.973
3557600 Tabla 78: Resultados análisis sísmico. Espectro en X.
Modelo General.
Modelo General
Masa total [kg] 4826100
Tabla 79: Masa total del modelo General..
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 143
al modelo Abderramán I y la parte del modelo Almanzor tienen comportamientos
diferenciados. De manera que es razonable, que el segundo modo que supone una
flexión en X generalizada, sea el modo más excitado al aplicar el espectro en X.
En el modelo General continúa la tendencia que se venía observando en los
modelos individuales con muro, donde el segundo modo era el que tenía mayor masa
efectiva (véase Tabla 80), de hecho, la segunda frecuencia natural de los modelos
individuales con muro y la del modelo General toman valores muy cercanos. En
cualquier caso, la unión de los modelos individuales en el modelo general supone un
aumento considerable del porcentaje de masa efectiva del segundo modo respecto del
total.
Se muestra la solución en desplazamientos obtenida en la Figura 114. En la
Tabla 81 se refleja la evolución de los valores de los desplazamientos máximos
obtenidos para modelos previos
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelos nueve
módulos con muro
Primer modo 20.42% (f=2.0003 Hz) 25.66% (f=2.1609Hz)
Segundo modo 40.32% (f=5.0820Hz) 35.66% (f=5.1179Hz)
Modelos dieciséis
módulos con muro
Primer modo 20.73% (f=1.8670Hz) 27.05% (f=2.0230Hz)
Segundo modo 42.40% (f=4.9204Hz) 38.05% (f=4.7687Hz)
Modelo General Primer modo 8.05% (f=4.2748Hz)
Segundo modo 54.44% (f=5.3133 Hz)
Tabla 80: Porcentaje de masa movilizada por los dos primeros modos (frecuencias naturales correspondientes) Espectro en X. Modelos con muro exterior y modelo General.
Desplazamiento máximo [m]
Análisis sísmico, espectro en X.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 0.048848
Esquina techo
0.037570 Borde techo
Modelos cuatro módulos 0.051911 Borde techo
0.042798 Borde techo
Modelos nueve módulos 0.053903 Borde techo
0.044850 Borde techo
Modelos dieciséis
módulos
0.053541 Borde techo
0.046139 Borde techo
Modelos nueve módulos
con muro
0.025477 Esquina techo
0.023320 Esquina techo
Modelos dieciséis
módulos con muro
0.028308 Esquina techo
0.026441 Esquina techo
Modelo General 0.0069141
Arco superior parte Almanzor
Tabla 81: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección X.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 144
Por primera vez, el máximo desplazamiento no se produce en el techo de la
estructura, sino en el arco superior entre las columnas 8 y 9 (último arco) de la fila 2.
En la Figura 114 se aprecia el detalle.
La unión de los dos modelos individuales para conformar el modelo general ha
aumentado mucho la rigidez del conjunto como ya se vio en el análisis modal, y como
se desprende de los resultados de desplazamientos que han descendido
considerablemente respecto a los de apartados anteriores, y que además muestran
que los valores más altos no se encuentran como hasta ahora en el techo, sino en los
arcos de la parte de Almanzor. Esto se explica porque en el segundo modo, que es el
más excitado al aplicar el espectro en X, los mayores desplazamientos se daban
precisamente ahí (véase el aparatado 4.7, análisis modal del modelo General).
Figura 114: Detalle máximo desplazamiento en arco parte Almanzor. Modelo General. Espectro en X
Figura 115: Solución nodal, desplazamientos máximos (m). Análisis sísmico, dirección X. Modelo General
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 145
Por otro lado, la regularidad en la distribución de desplazamientos que se
observaba en los modelos individuales con muro, en el modelo General se pierde. Las
diferencias en cuanto a materiales y a geometría de la parte de Abderramán respecto a
la parte de Almanzor provocan que el comportamiento del conjunto no sea uniforme,
si no que la respuesta de una y otra parte, a pesar de estar unidas, sea distinta, como
se ve en la Figura 114.
5.7.1.1. Comprobaciones de rotura.
Se obtienen las distribuciones de tensiones principales, con el fin de
introducir los resultados en una hoja de cálculo que permita aplicar el criterio
de rotura a cada punto.
En esta ocasión no se ha mostrado el modelo con la perspectiva
habitual, para facilitar la apreciación de la distribución de tensiones en la parte
inferior de la estructura.
Figura 116: Distribución de tensiones principales. Modelo General. Espectro en X. Arriba izquierda: Primera tensión principal, arriba derecha: Segunda tensión principal. Abajo: Tercera tensión principal
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 146
De nuevo aparecen los máximos valores de tracción en la base de las
columnas, en particular, en la zona de Almanzor. La novedad es que las
tensiones máximas han disminuido enormemente, en esta ocasión el máximo
valor obtenido es de 16.244 MPa. La unión de los dos modelos individuales en
el modelo General ha producido que mejore la respuesta del conjunto ante las
cargas sísmicas.
El criterio de Willam-Warnke sigue sin cumplirse en algunos puntos,
esta vez, muy pocos. Se recuerda que se considera que el mármol tiene una
resistencia a tracción característica de 10MPa, por tanto, el valor obtenido está
ya muy cerca de llegar a satisfacer la comprobación.
La introducción de los muros y la composición del modelo General
como unión de los modelos previos, se erige de capital importancia en el
análisis sísmico de la estructura. Las tensiones máximas de tracción en la base
de las columnas han sido el principal indicativo de la respuesta sísmica y la
limitación a la hora del cumplimiento del criterio de rotura. En la Tabla 82, se
observa la evolución de los valores de dichas tensiones en el proceso de
aproximación al comportamiento sísmico del edificio partiendo desde los
modelos básicos hasta el modelo General.
En los arcos superiores del modelo Abderramán I siguen apareciendo
varios puntos donde el criterio de Willam-Warnke no se cumple. Como se ha
mencionado en anteriores modelos, el material del que están formados los
arcos en esta zona (fábrica mixta: caliza+ladrillo) soporta adecuadamente las
compresiones, pero a tracción y a cortante tiene una resistencia característica
muy baja, la cual, para colmo, es minorada para ser introducida en el criterio. A
ello se le une el hecho de que al excitar la estructura en dirección X,
Tabla 82: Tensiones de tracción máximas. Espectro en dirección X. Desde modelos básicos a modelo General.
Máxima tensión de tracción en las columnas [MPa]
Aplicación del espectro en X.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 53.350 46.501
Modelos cuatro módulos 64.796 64.348
Modelos nueve módulos 66.414 65.768
Modelos dieciséis módulos 65.773 67.292
Modelos nueve módulos
con muro exterior 27.777 32.211
Modelos dieciséis módulos
con muro exterior 34.245 36.597
Modelo General 16.244
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 147
perpendicularmente al plano de trabajo en compresión del arco, el estado de
tensiones es complejo, y por tanto
El resto de la estructura cumple con holgura los criterios de rotura en
condiciones últimas. Los arcos de la zona Almanzor, las pilastras, los muros que
corren por encima de los arcos y los muros exteriores satisfacen el criterio de
Willam-Warnke. En particular, los muros presentan un estado de tensión
plana, como cabía esperar. Por otro lado, se aplica el criterio de Hoffman al
techo, el cual cumple también con holgura. El techo también está en un estado
plano de tensiones.
5.7.1.2. Comprobación de desplazamientos.
Como se apuntó en el apartado 3.5.2, al igual que se hizo en los
modelos básicos, también se comprueba la aptitud al servicio en el modelo
General. En esta comprobación, se considera el desplazamiento máximo
horizontal en el techo. En todos los modelos previos al General, el
desplazamiento máximo tras aplicar el análisis sísmico resultaba estar en el
techo, pero en esta ocasión se sitúa en los arcos. Por tanto, hay que obtener el
desplazamiento máximo en el techo.
En la Figura 117 se muestra la distribución de desplazamientos en el
techo, donde se obtiene que el desplazamiento máximo es de 4.4 mm. Otra
cuestión importante a considerar para hacer la comprobación es que según se
considere la parte Abderramán I o la parte Almanzor, la distancia entre
cimientos y techo, esto es, las alturas son distintas. En este caso, el máximo
desplazamiento en el techo se da en la zona Almanzor.
- Modelo General 0.004413�.≤ .��
���= 0.016�.
Figura 117: Distribución desplazamientos techo. Espectro en X. Modelo General.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 148
Se cumple la condición de aptitud al servicio en desplazamientos.
Como se veía anteriormente en este apartado, los desplazamientos sufren un
acusado descenso en el análisis sísmico del modelo General respecto a los que
resultaban de los modelos individuales. Tanto es así, que se pasa de unos
valores de 26-28 mm en el techo de los modelos de dieciséis módulos con
muro a 4.4 mm.
Se resalta también, que en todos los modelos anteriores, siempre se
encontraban los mayores desplazamientos en el modelo Abderramán I, sin
embargo, en el modelo General éstos aparecen en la zona correspondiente a
Almanzor.
5.7.2. Aceleración del espectro en dirección Y:
Al aplicar el espectro en dirección Y, la situación cambia, se observa que el
primer modo es el más importante en la respuesta símica, con un porcentaje de masa
movilizada del 58.06% respecto del total. El segundo modo es el siguiente con mayor
masa efectiva, con un 9.62%. El porcentaje de masa movilizada por los demás modos
individualmente, queda lejos de estos valores. Como se vio en el apartado 4.7, los dos
Nº modo Frecuencia [Hz] Aceleración [m/s2] Coeficiente de participación Masa efectiva [kg]
1 4.275 3.677 1674 2802030
2 5.313 3.677 -681.3 464168
3 6.474 3.3515 -3.977 15.8162
4 6.851 3.2241 30.57 934.706
5 7.013 3.173 -5.539 30.6787
6 7.289 3.091 10.39 107.929
7 7.309 3.0854 38.93 1515.46
8 7.62 3.0019 -25.63 656.794
9 7.659 2.9918 -25.22 636.067
10 7.701 2.981 72.09 5197.1
11 7.821 2.9506 162 26250.5
12 7.850 2.9435 20.98 440.038
13 8.028 2.9004 -3.718 13.8223
14 8.097 2.8847 65.2 4251.48
15 8.18 2.8658 -62.26 3875.91
16 8.24 2.8526 10.96 120.02
17 8.254 2.8493 0.6721 0.451713
18 8.438 2.8094 -23.41 548.097
19 8.503 2.7958 56.41 3181.86
20 8.555 2.7849 -21.5 462.221
21 8.758 2.7435 -7.441 55.3718
22 8.846 2.7266 -3.533 12.4802
23 8.882 2.7197 21.5 462.292
24 8.98 2.7013 -122.8 15068.2
25 8.991 2.6994 -115.7 13385.5
26 9.065 2.6858 -149.8 22439.5
27 9.096 2.6801 25.17 633.431
28 9.127 2.6744 25.97 674.62
29 9.145 2.6711 -135.8 18429.8
30 9.238 2.6545 50.83 2584.01
3388180
Tabla 83: Resultados análisis sísmico. Espectro en Y. Modelo General.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 149
primeros modos son los únicos que implican una vibración general de la estructura, y
en esta ocasión suman una masa efectiva de casi el 70% de la masa total movilizada.
El primer modo del modelo General se describía en el capítulo del análisis
modal como una flexión general de la estructura en dirección Y, aunque también
aparecía componente de flexión en dirección X en la zona de Abderramán I. Siendo así,
es coherente que al aplicar el espectro en Y, el modo más excitado sea el primero, el
cual será el responsable de los mayores desplazamientos.
La situación respecto a los resultados de los modelos individuales Abderramán
I y Almanzor cuando se aplica el espectro en Y, ha cambiado considerablemente.
Aunque las zonas correspondientes a los modelos previos sigan manteniendo ciertas
diferencias de comportamiento, la influencia de una parte de la estructura en la otra, y
viceversa, es clara. En la Tabla 84 se muestra la evolución de los porcentajes de masa
efectiva de los dos primeros modos respecto de la total, desde los modelos de nuevo
módulos hasta el modelo General, cuando el espectro es aplicado en dirección Y.
Aunque en el modelo General sí que se tiene un modo predominante en el
análisis sísmico, el porcentaje de masa efectiva respecto de la total, queda lejos de los
porcentajes obtenidos en los modelos sin muro donde el modo dominante superaba
en la mayoría de las ocasiones el 90%.
En el modelo General, el hecho de que sea una composición de dos modelos
claramente diferenciados hace que no haya uniformidad en los desplazamientos
obtenidos tras el análisis sísmico, como tampoco la había en los modos.
En la Tabla 85 se muestran los máximos valores de desplazamientos obtenidos
cuando el espectro se aplica en Y, desde los modelos básicos hasta el modelo General.
Se aprecia claramente que el valor del desplazamiento máximo cae acusadamente,
pasa de 33 mm en el modelo Abderramán I de dieciséis módulos con muro y 25 mm en
el Almanzor, a ser de casi 7 mm en los arcos del modelo General (en el techo es incluso
menor, se verá más adelante). También, en la Figura 118 se puede observar la
distribución de desplazamientos en el modelo General.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor
K=2·109 N/m
Modelos nueve
módulos con muro
Primer modo 25.70% (f=2.0003 Hz) 23.23% (f=2.1609Hz)
Segundo modo 35.82% (f=5.0820Hz) 38.80% (f=5.1179Hz)
Modelos dieciséis
módulos con muro
Primer modo 28.50% (f=1.8670Hz) 24.89% (f=2.0230Hz)
Segundo modo 36.73% (f=4.9204Hz) 40.53% (f=4.7687Hz)
Modelo General Primer modo 58.06% (f=4.2748Hz)
Segundo modo 9.62% (f=5.3133 Hz)
Tabla 84: Porcentaje de masa movilizada por los dos primeros modos (frecuencias naturales correspondientes) Espectro en Y. Modelos con muro exterior y modelo General.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 150
Como sucede en la aplicación del espectro en X, el máximo desplazamiento no
se produce en el techo de la estructura, sino en un arco. En particular, en el arco
superior entre las columnas 8 y 9 (último arco) de la fila 6 (según la numeración del
apartado 3.2), esto es, si se avanza por la parte de Abderramán desde la pared lateral,
en la última arquería antes de llegar a la zona de Almanzor. Véase la Figura 119.
Desplazamiento máximo [m]
Análisis sísmico, espectro en Y.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 0.045338
Esquina pared- techo (fila 2)
0.029678 Pared junto a techo (fila 1)
Modelos cuatro
módulos
0.040328 Esquina pared- techo (fila 2)
0.029519 Pared junto a techo (fila 1)
Modelos nueve módulos 0.045304
Esquina techo – fila 3, soporte 1
0.035772 Borde techo – Fila 1, soporte 3
Modelos dieciséis
módulos
0.044614 Borde techo –Fila 3, soporte 3
0.035241 Borde techo – Fila 1, soporte 3
Modelos nueve módulos
con muro
0.028529 Esquina techo
0.02222 Esquina techo
Modelos dieciséis
módulos con muro
0.033115 Esquina techo
0.025391 Esquina techo
Modelo General 0.0068296
Arco superior parte Abderramán I.
Tabla 85: Desplazamientos máximos. Espectro en dirección Y.
Figura 118: Solución nodal, desplazamientos máximos (m). Análisis sísmico, dirección Y. Modelo General.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 151
Aunque los desplazamientos son del mismo orden, el comportamiento del
modelo General cuando se aplica el espectro en X dista considerablemente de cuando
se aplica en Y. En los modelos individuales con muro correspondientes a la parte de
Abderramán I y de Almanzor, se observaba que se aplicara el espectro en una dirección
o en otra, los resultados eran similares, en cuanto a masas efectivas, desplazamientos,
y tensiones. En cambio, en el modelo General existe un notado comportamiento
direccional.
Así mismo, como ya se ha destacado, la complejidad geométrica y de
materiales de la estructura, unida al hecho de estar compuesta por dos partes
claramente diferenciadas, propician que el campo de desplazamientos no sea
uniforme, ni tan siquiera regular.
5.7.2.1. Comprobaciones de rotura.
Por última vez, se obtienen las distribuciones de tensiones principales
tras el análisis sísmico aplicando el espectro en Y (véase la Figura 120). Se
extraen los listados de tensiones para cada material, y se introducen en una
hoja de cálculo con el fin de aplicar el criterio Willam-Warnke, o en caso de la
madera del techo, el criterio Hoffman.
En esta ocasión no se ha mostrado el modelo con la perspectiva
habitual, para facilitar la apreciación de la distribución de tensiones en la parte
inferior de la estructura.
Figura 119: Detalle máximo desplazamiento en arco parte Abderramán I. Modelo General. Espectro en Y.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 152
De nuevo hay que prestar atención a las tracciones que aparecen en la
base de las columnas, ya que son los elementos más desfavorables de cara a la
comprobación. En esta ocasión, vuelven a aparecer ciertos puntos en la base
de las columnas de la zona Almanzor, donde no se cumple el criterio Willam-
Warnke, si bien es verdad, que el valor máximo de tensión de tracción es el
menor registrado hasta ahora en todo el capítulo del análisis sísmico.
Para la aplicación del espectro en Y (también ocurría con el espectro en
X) sobre el modelo General, se produce un descenso muy importante de las
máximas tensiones de tracción registradas en la base de las columnas de
mármol, se reduce a la mitad respecto a los modelos de dieciséis módulos.
Las exigencias de tracción a un material pétreo como el mármol (en
este caso se considera σt=10 MPa) son siempre focos críticos y deben ser
estudiadas minuciosamente.
A continuación, en la Tabla 86, se muestra la evolución de los máximos
valores de tensiones de tracción registrados en la base de las columnas de
mármol desde los modelos básicos hasta, finalmente, el modelo General.
Figura 120: Distribución de tensiones principales. Modelo General. Espectro en Y. Arriba izquierda: Primera tensión principal, arriba derecha: Segunda tensión principal., abajo: Tercera tensión principal
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 153
Es indiscutible el efecto positivo que tienen los muros exteriores en el
comportamiento sísmico de la estructura. A estas alturas se pueden considerar
de vital importancia por la reducción, además de los desplazamientos, de las
tensiones de tracción, que en definitiva son la mayor limitación de una
estructura formada por materiales pétreos sometida a un sismo.
En esta ocasión, los arcos superiores de la parte Abderramán I sí que
cumplen en todos sus puntos. El resto de la estructura cumple el criterio de
rotura de Willam-Warnke. Al aplicar el espectro en dirección Y, la estructura
demuestra que tiene mejor respuesta, los desplazamientos son menores y las
tensiones de tracción registradas también.
Como en ocasiones anteriores, el muro exterior presenta un estado de
tensión plana, al igual que el techo. Este último satisface el criterio de Hoffman
con holgura.
5.7.2.2. Comprobación de desplazamientos.
Al igual que en la aplicación del espectro en X, aquí el máximo
desplazamiento del modelo General no se encuentra en el techo sino en uno
de los arcos superiores.
Para realizar la comprobación de aptitud al servicio en
desplazamientos, al igual que se ha hecho en los modelos de apartados
anteriores, se obtiene el máximo desplazamiento en el techo que vale 6.37
mm. (Véase distribución de desplazamientos en el techo).
Máxima tensión de tracción en las columnas [MPa]
Aplicación del espectro en Y.
Modelo Abderramán I Modelo Almanzor K=2·109 N/m
Modelos básicos 59.075 46.642
Modelos cuatro módulos 60.052 56.456
Modelos nueve módulos 71.830 61.243
Modelos dieciséis módulos 66.175 63.871
Modelos nueve módulos
con muro exterior 31.138 30.709
Modelos dieciséis módulos
con muro exterior 40.099 35.206
Modelo General 15.741
Tabla 86: Tensiones de tracción máximas. Espectro en dirección Y. Desde modelos básicos a modelo General.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 154
En esta ocasión el punto de máximo desplazamiento resulta estar
situado en la nave central, la nave de transición entre la zona Abderramán y la
zona Almanzor. Puesto que en esa nave, el terreno está en pendiente
(transición), tomamos la altura más desfavorable para la comprobación, esto
es, la que hace el criterio más restrictivo.
- Modelo General 0.00637�.≤ .��
���= 0.016�.
La condición de aptitud al servicio en desplazamientos se cumple con
holgura a consecuencia del acusado descenso de los valores máximos de
desplazamientos al analizar el modelo General respecto a los resultados de
anteriores modelos.
5.8. RESUMEN DEL ANÁLISIS SÍSMICO.
Al igual que se hizo en el capítulo correspondiente al análisis modal, este apartado se
presenta como sumario de los resultados más destacados del presente capítulo, y exposición
de las conclusiones preliminares, las conclusiones generales se abordarán y desarrollarán en el
siguiente capítulo.
Se diferencia entre modelos sin muro exterior, modelos con el mismo y por último, el
modelo General.
Modelos sin muro exterior:
• En todos los modelos aparece un modo de vibración claramente dominante, con
más del 90% de masa efectiva respecto de la masa total movilizada. Este modo
dominante es el primero cuando el espectro se aplica en dirección X, y el segundo
Figura 121: Distribución desplazamientos techo. Espectro en Y. Modelo General.
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 155
modo cuando el espectro se aplica en Y. Conforme se amplían los modelos, mayor
el porcentaje de masa efectiva del modo dominante respecto del total.
• En general, la variación del valor de la rigidez en los apoyos de plomo para el
modelo de Almanzor no produce un efecto importante en el comportamiento
sísmico.
• Los desplazamientos máximos ocurren en el techo, y aumentan conforme los
modelos se amplían.
• Al expandir los modelos, sucede que la fila 2, y por ende, las filas tienen menor
rigidez en dirección Y, y cuando no están arriostrada a las filas impares por ambos
lados, presenta mayores desplazamientos y consecuentemente propicia el
comportamiento no uniforme del conjunto. Esta situación es apreciable en los
modelos básicos y en los modelos de nueve módulos. De manera que, teniendo en
cuenta lo anterior, aunque las frecuencias naturales no varíen demasiado,
considerar el modelo de nueve módulos como aproximación del de dieciséis
módulos no sería acertado.
• Los desplazamientos obtenidos del análisis estático, aunque toman valores
cercanos a los del análisis sísmico, no son una buena aproximación de estos
últimos porque no se sitúan por el lado de la seguridad.
• Los desplazamientos debidos a la aplicación en los modelo del espectro en X, son
siempre mayores que los obtenidos de la aplicación del mismo en Y.
• El criterio de Willam-Warnke no se satisface en todos los puntos de los modelos sin
muro. La situación más desfavorable siempre aparece en la base de las columnas
de mármol, donde se dan tensiones de tracción que la piedra no puede soportar,
además, dichas tensiones van en aumento conforme se amplían los modelos. Otro
punto crítico está en los arcos del modelo Abderramán I cuando el espectro se
aplica en dirección X. Se recuerda que este estudio no es un proceso de diseño,
que se están utilizando métodos aproximados para hacer comprobaciones en las
que se manejan incertidumbres grandes en cuanto a las propiedades reales de los
materiales en cuestión, por tanto, el hecho de que no se satisfagan el criterio de
rotura no significa que colapse el edificio.
• El techo presenta un estado plano de tensiones siempre, el criterio de Hoffman se
satisface en todo momento.
Modelos con muro exterior:
• Aparecen dos modos con un porcentaje superior al resto de masa efectiva
respecto de la total. Entre los dos suman alrededor del 60-62%, siendo el segundo
modo siempre más importante (35-40% según casos). Desaparece la dominancia
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 156
clara de un solo modo con el 90% de masa efectiva respecto a la total, que
aparecía en los modelos sin muro.
• Las diferencias entre el modelo Abderramán I y el modelo Almanzor se acortan, así
como las diferencias entre los resultados al aplicar el espectro en X y en Y. Las
diferencias entre los modelos de nueve módulos y los de dieciséis módulos
también son pequeñas, sin embargo, es conflictivo hablar de aproximación del
modelo mayor por el más pequeño, porque los desplazamientos y las tensiones
son mayores al ampliar los modelos, y nos situaríamos por el lado de la
inseguridad.
• En general, el muro sirve de compensación de defectos e irregularidades y aporta
más uniformidad al comportamiento de los modelos. El muro presenta un estado
tensional plano siempre.
• Los máximos desplazamientos se reducen enormemente respecto a los modelos
sin muro (los valores desciende a la mitad aproximadamente), así como los valores
máximos de tensiones de tracción en la base de las columnas (también sufren una
reducción a la mitad aproximadamente), esto indica la gran influencia de los muros
en la respuesta sísmica de la estructura.
• A pesar del descenso de los valores de tensiones, sigue sin cumplirse el criterio de
Willam-Warnke en algunos puntos de la base de las columnas, y en los arcos
superiores del modelo Abderramán I.
Modelo General:
• El modelo General es el mayor, y el más próximo a la realidad. A pesar de formar
un conjunto, el comportamiento del mismo está marcado por las diferencias entre
las dos zonas, cuya respuesta es distinta.
• Aparece un modo dominante, en caso de la aplicación del espectro en X es el
segundo (54% masa movilizada), y en caso de la aplicación del espectro en Y es el
primero (58%)
• La distribución de los desplazamientos tras el análisis sísmico (tanto en X como en
Y) es considerablemente irregular, hecho debido a las diferencias entre las zonas.
Los desplazamientos máximos aparecen en los arcos superiores de las arquerías
centrales del modelo. Los desplazamientos del techo, son menores a éstos.
• La composición del modelo como unión de los modelos individuales Abderramán I
y Almanzor, suponen un importante aumento de la rigidez del conjunto,
mejorando la respuesta sísmica, ya que disminuyen las máximas tensiones de
Capítulo 5.
Análisis sísmico.
Estudio del comportamiento dinámico de la Catedral de Córdoba. 157
tracción registradas (a menos de la mitad), y los desplazamientos máximos (a
menos de la tercera parte).
• A pesar de la reducción de las tensiones, las tracciones que aparecen en la base de
las columnas hacen que no se satisfaga por muy poca diferencia el criterio Willam-
Warnke en algunos puntos. En el resto de la estructura sí que se cumple esta
condición, así como el criterio Hoffman en el techo.
• La comprobación de servicio en desplazamientos máximos que se realiza a modo
de dato orientativo, se cumple holgadamente.