CAPÍTULO 3 Vetores 3-1 VETORES E SUAS COMPONENTES Objetivos do Aprendizado 3.01 Somar vetores geometricamente e aplicar as leis comutativa e associativa. 3.02 Subtrair um vetor de outro vetor. 3.03 Calcular as componentes de um vetor em um sistema de coordenadas e representá-las em um desenho. 3.04 Dadas as componentes de um vetor, desenhar o vetor e determinar seu módulo e orientação. 3.05 Converter ângulos de graus para radianos, e vice-versa. Ideias-Chave • As grandezas escalares, como a temperatura, têm apenas uma amplitude, especificada por um número e uma unidade (10 o C, por exemplo), e obedecem às regras da aritmética e da álgebra elementar. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, têm uma amplitude e uma orientação (5 m para o norte, por exemplo) e obedecem às regras da álgebra vetorial. • Dois vetores e podem ser somados geometricamente desenhando-os na mesma escala, com a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro. O vetor que liga a origem do primeiro vetor à extremidade do segundo é o vetor soma, . Para subtrair de , basta inverter o sentido de , escrevendo − , e somar − a . • As componentes (escalares) a x e a y de qualquer vetor bidimensional em relação aos eixos coordenados podem ser determinadas traçando retas perpendiculares aos eixos coordenados a partir das extremidades de . As componentes são dadas por a x = a cos θ e a y =a sen θ, em que θ é o ângulo entre o semieixo x positivo e a direção de . O sinal algébrico da componente indica o seu sentido. O módulo e a orientação de um vetor podem ser calculados a partir das componentes a x e a y usando as equações O que É Física? A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação, e precisa de uma linguagemmatemática especial, a linguagemdos vetores, para descrever essas grandezas. Essa linguagem também é usada na engenharia, em outras ciências e até mesmo nas conversas do dia a dia. Se você já explicou a alguém como chegar a um endereço usando expressões como “Siga por esta rua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda”, usou a linguagem dos vetores. Na verdade,
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CAPÍTULO 3 Vetores › gallery › prb cap 03 - vetores.pdfO Produto Escalar O produto escalar de dois vetores e é representado por · e é igual à grandeza escalar dada por em
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•Doisvetores e podemsersomadosgeometricamentedesenhando-osnamesmaescala,comaorigemdosegundovetornaextremidadedoprimeiro.Ovetorque ligaaorigemdoprimeirovetoràextremidadedosegundoéovetorsoma, .Parasubtrair de ,bastainverterosentidode ,escrevendo− ,esomar− a .• As componentes (escalares) ax e ay de qualquer vetor bidimensional em relação aos eixos coordenados podem serdeterminadas traçando retasperpendicularesaoseixos coordenadosapartir dasextremidadesde .As componentes sãodadaspor
OqueÉFísica?A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação, eprecisadeumalinguagemmatemáticaespecial,alinguagemdosvetores,paradescreveressasgrandezas.Essalinguagemtambéméusadanaengenharia,emoutrasciênciaseatémesmonasconversasdodiaadia.Sevocêjáexplicouaalguémcomochegaraumendereçousandoexpressõescomo“Sigaporestarua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda”, usou a linguagem dos vetores. Na verdade,
Ovetor éperpendiculara e ,oquepodeserdemonstradoobservandoque · =0e · =0;ouseja,quenãoexistem
componentesde emrelaçãoa e .
RevisãoeResumo
EscalareseVetoresGrandezasescalares,comotemperatura,possuemapenasumvalornumérico.Sãoespecificadasporumnúmerocomumaunidade(10°C,porexemplo)eobedecemàsregrasdaaritméticae da álgebra elementar. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um valor numérico(módulo)eumaorientação(5mparacima,porexemplo)eobedecemàsregrasdaálgebravetorial.
SomaGeométricadeVetoresDoisvetores e podemsersomadosgeometricamentedesenhando-osnamesmaescalaeposicionando-oscomaorigemdeumnaextremidadedooutro.Ovetorque ligaasextremidadeslivresdosdoisvetoreséovetorsoma, .Parasubtrair de ,invertemososentidodeparaobter– esomamos– a .Asomavetorialécomutativa
emqueθ é o ângulo entre e o semieixox positivo.O sinal algébrico de uma componente indica osentidodacomponenteemrelaçãoaoeixocorrespondente.Dadasascomponentes,podemosdeterminaromóduloeaorientaçãodeumvetor atravésdasequações
NotaçãodosVetoresUnitáriosOsvetoresunitários , e têmmódulo unitário e sentido igual aosentidopositivodoseixosx,yez,respectivamente,seosistemadecoordenadasfordextrogiro(oquepode ser verificado calculando os produtos vetoriais dos vetores unitários). Em termos dos vetoresunitários,umvetor podeserexpressonaforma
emqueax ay eaz sãoascomponentesvetoriaisde eax,ayeazsãoascomponentesescalares.
Aqui, e sãoosvetoresaseremsomadose éovetorsoma.Notequeascomponentessãosomadasseparadamenteparacadaeixo.Nofinal,asomapodeserexpressananotaçãodosvetoresunitáriosounanotaçãomódulo-ângulo.
emqueϕéomenordosângulosentreasdireçõesde e .Aorientaçãodeéperpendicularaoplanodefinidopor e eédadapelaregradamãodireita,comomostraaFig.3-19.Noteque × =–( ×),oquesignificaqueoprodutovetorialnãoobedeceàleicomutativa.
Olagoestánascoordenadas(8m,6m).Seummembrodaequipelançaabolanolago,éimediatamentetransferido para aUniversidade Estadual da Flórida, a eterna rival. Que sequência de deslocamentosdeveserusadaporummembrodaequipeparaevitarolago?
4AEq.3-2mostra que a somade dois vetores e é comutativa. Isso significa que a subtração écomutativa,ouseja,que – = – ?
5 Quais dos sistemas de eixos da Fig. 3-23 são “sistemas de coordenadas dextrogiros”? Como decostume,aletraqueidentificaoeixoestánosemieixopositivo.
11Emumjogodisputadoemumlabirintotridimensional,vocêprecisamoversuapeçadapartida,nascoordenadas (0, 0, 0), para a chegada, nas coordenadas (−2 cm, 4 cm, −4 cm). A peça pode sofrerapenas os deslocamentos (em centímetros)mostrados a seguir. Se, durante o trajeto, a peça parar nascoordenadas(−5cm,−1cm,−1cm)ou(5cm,2cm,−1cm),vocêperdeojogo.Qualéasequênciadedeslocamentoscorretaparalevarapeçaatéachegada?
12Ascomponentesxeydequatrovetores , , e sãodadasaseguir.ParaquaisdessesvetoresumacalculadoraforneceoângulocorretoquandovocêusaacalculadoraparadeterminaroânguloθdaEq.3-6?ObserveprimeiroaFig.3-12parachegaraumarespostaedepoisuseumacalculadoraparaverificarsesuarespostaestácorreta.
·2 Um vetor deslocamento no plano xy tem 15m de comprimento e faz um ângulo θ = 30° com osemieixoxpositivo,comomostraaFig.3-26.Determine(a)acomponentexe (b)acomponenteydovetor.
·8Umapessoacaminhadaseguinteforma:3,1kmparaonorte,2,4kmparaoestee5,2kmparaosul.(a)Desenhe o diagrama vetorial que representa essemovimento. (b)Que distância e (c) em que direçãovoariaumpássaroemlinharetadomesmopontodepartidaaomesmopontodechegada?
·10Determineascomponentes(a)x,(b)ye(c)zdasoma dosdeslocamentos e cujascomponentesemmetrosemrelaçãoaostrêseixossãocx=7,4,cy=-3,8,cz=-6,1,dx=4,4,dy=–2,0,dz=3,3.
·12Umcarroviaja50kmparaleste,30kmparaonortee25kmemumadireção30oalestedonorte.Desenhe o diagrama vetorial e determine (a) omódulo e (b) o ângulo do deslocamento do carro emrelaçãoaopontodepartida.
·14Vocêdeveexecutarquatrodeslocamentosnasuperfícieplananumdeserto,começandonaorigemdeum sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas (–140 m, 30 m). As componentes dosdeslocamentossão,sucessivamente,asseguintes,emmetros:(20,60),(bx,–70),(–20,cy)e(–60,–70).Determine(a)bxe(b)cy.Determine(c)omóduloe(d)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamentototal.
·15Osvetores e daFig.3-28têmomesmomódulo,10,0m,eosângulosmostradosnafigurasãoq1=30°eq2=105°.Determineascomponentes (a)xe (b)ydasomavetorialdos doisvetores, (c)omódulode e(d)oânguloque fazcomosemieixoxpositivo.
·18Nasoma + = ,ovetor temummódulode12,0mefazumângulode40,0°nosentidoanti-horáriocomo semieixoxpositivo;ovetor temummódulode 15,0m e faz umângulo de 20,0° nosentidoanti-horáriocomosemieixoxnegativo.Determine(a)omódulode e(b)oângulode comosemieixoxpositivo.
·19Emumjogodexadrezaoarlivre,noqualaspeçasocupamocentrodequadradoscom1,00mdelado, um cavalo émovido da seguinte forma: (1) dois quadrados para a frente e umquadrado para adireita;(2)doisquadradosparaaesquerdaeumquadradoparaafrente;(3)doisquadradosparaafrenteeumquadradoparaaesquerda.Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelaçãoaosentido“paraafrente”)dodeslocamentototaldocavaloapósasériedetrêsmovimentos.
··20 Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade apraticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento, ele deveria tercaminhado 5,6 km para o norte, mas, quando o tempo melhorou, percebeu que, na realidade, haviacaminhado 7,8 km em uma direção 50° ao norte do leste. (a) Que distância e (b) em que sentido oexploradordevecaminharparavoltaràbase?
··21 Uma formiga, enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano xy. Ascomponentes(x,y)dequatrocorridasconsecutivasemlinharetasãoasseguintes,todasemcentímetros:(30,0;40,0),(bx;–70,0),(–20,0;cy),(–80,0;–70,0).Odeslocamentoresultantedasquatrocorridastemcomponentes(-140;-20,0).Determine(a)bxe(b)cy.Determine(c)omóduloe(d)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamentototal.
··28Doisbesouroscorrememumdesertoplano,partindodomesmoponto.Obesouro1corre0,50mparalestee0,80memumadireção30°aonortedoleste.Obesouro2corre1,6memumadireção40°ao leste do norte e depois corre em outra direção.Quais devem ser (a) omódulo e (b) o sentido dasegundacorridadosegundobesouroparaqueeleterminenamesmaposiçãoqueoprimeirobesouro?
··29 Paraseorientarem,asformigasdejardimcostumamcriarumarededetrilhasmarcadasporferomônios.Partindodo formigueiro,cadaumadessas trilhas sebifurca repetidamenteemduas trilhasqueformamentresiumângulode60o.Quandoumaformigaperdidaencontraumatrilha,elapodesaberemquedireçãoficaoformigueiroaochegaraoprimeiropontodebifurcação.Seestiverseafastandodoformigueiro, encontrará duas trilhas que formam ângulos pequenos com a direção em que estava semovendo,30oparaaesquerdae30oparaadireita.Seestiverseaproximandodoformigueiro,encontraráapenasumatrilhacomessacaracterística,30oparaaesquerdaou30oparaadireita.AFig.3-29mostraumarededetrilhastípica,comsegmentosderetade2,0cmdecomprimentoebifurcaçõessimétricasde60o.Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamento,atéoformigueiro(encontre-onafigura),deumaformigaqueentranarededetrilhasnopontoA.Determine(c)omóduloe(d)oângulodeumaformigaqueentranarededetrilhasnopontoB.
···32NaFig.3-31,umcubo,dearestaa,temumdosvérticesposicionadonaorigemdeumsistemadecoordenadasxyz.Adiagonaldocuboéumaretaquevaideumvérticeaoutrodocubo,passandopelocentro. Na notação dos vetores unitários, qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujascoordenadassão(a)(0,0,0),(b)(a,0,0)(c)(0,a,0)e(d)(a,a,0)?(e)Determineosângulosqueasdiagonaisdocubofazemcomasarestasvizinhas.(f)Determineocomprimentodasdiagonaisdocuboemtermosdea.
·35Doisvetores, e ,estãonoplanoxy.Osmódulosdosvetoressão4,50unidadese7,30unidades,respectivamente, e eles estão orientados a 320° e 85,0°, respectivamente, no sentido anti-horário emrelaçãoaosemieixoxpositivo.Quaissãoosvaloresde(a) · e(b) × ?
··43OstrêsvetoresnaFig.3-33têmmódulosa=3,00m,b=4,00mec=10,0m;θ=30,0°.Determine(a) a componentex e (b) a componenteyde ; (c) a componentex e (d) a componentey de ; (e) acomponentexe(f)acomponenteyde .Se =p +q ,quaissãoosvaloresde(g)pe(h)q?
45Osvetores e estãonoplanoxy. temmódulo8,00eângulo130o; temcomponentesBx=–7,72eBy = –9,20. (a)Determine 5 · . Determine 4 × 3 (b) na notação dos vetores unitários e (c) nanotaçãomódulo-ângulo em coordenadas esféricas (veja a Fig.3-34). (d)Determine o ângulo entre osvetores e4 ×3 (Sugestão:Penseumpoucoantesdeiniciaroscálculos.)Determine+3,0 (e)nanotaçãodosvetoresunitáriose(f)nanotaçãomódulo-ânguloemcoordenadasesféricas.
47Osvetores e estãonoplanoxy. temmódulo8,00eângulo130o; temcomponentesBx=-7,72eBy=-9,20.Determineoânguloentreosemieixoynegativoe(a)ovetor ,(b)ovetor × e(c)ovetor×( +3,00 ).
48Doisvetores e têmcomponentes,emmetros,ax=3,2,ay=1,6,bx=0,50eby=4,5.(a)Determineoânguloentre e .Existemdoisvetoresnoplanoxyquesãoperpendicularesa etêmummódulode5,0m.Um,ovetor ,temumacomponentexpositiva;ooutro,ovetor ,temumacomponentexnegativa.Determine(b)acomponentexe(c)acomponenteyde ;(d)acomponentexe(e)acomponenteyde .
50 O vetor 1 é paralelo ao semieixo y negativo 2 e o vetor é paralelo ao semieixo x positivo.Determineaorientação(a)de 2/4e(b)de– 1/4.Determineomódulo(c)de 1· 2e(d)de 1·(2/4).Determineaorientação(e)dovetor 1× 2e(f)dovetor 2× 1.Determineomódulo(g)de 1×2e(h)de 2× 1.Determine(i)omóduloe(j)aorientaçãode 1×( 2/4).
55Umapartículasofretrêsdeslocamentossucessivosemumplano: 1,4,00mparasudoeste, 2,5,00paraleste,e 3,6,00emumadireção60,0oaonortedoleste.Useumsistemadecoordenadascomoeixoy apontando para o norte e o eixo x apontando para leste. Determine (a) a componente x e (b) acomponente y de 1. Determine (c) a componente x e (d) a componente y de 2. Determine (e) acomponente x e (f) a componente y de 3. Considere o deslocamento total da partícula após os trêsdeslocamentos.Determine (g)acomponentex, (h)acomponentey, (i)omóduloe (j) aorientaçãododeslocamentototal.Paraqueapartículavolteaopontodepartida(k)quedistânciadevepercorrere(l)emquedireçãodevesedeslocar?
59Ovetor temummódulode12,0mefazumângulode60,0onosentidoanti-horáriocomosemieixoxpositivodeumsistemadecoordenadasxy.Ovetor édadopor(12,0m) +(8,00m) nomesmosistemadecoordenadas.Osistemadecoordenadassofreumarotaçãode20,0onosentidoanti-horárioemtornoda origem para formar um sistema x'y'. Determine os vetores (a) e (b) na notação dos vetoresunitáriosdonovosistema.
60Se – =2 , + =4 e =3 +4 ,determine(a) e(b) .
61(a)Determine,nanotaçãodosvetoresunitários, = – + para =5,0 +4,0 –6,0 , =–2,0 +2,0 +3,0 e =4,0 +3,0 +2,0 .(b)Calculeoânguloentre eosemieixozpositivo.(c)Determineacomponentede emrelaçãoa .(d)Determineacomponentede emumadireçãoperpendiculara ,noplanodefinidopor e . [Sugestão:Para resolvero item(c),vejaaEq.3-20eaFig.3-18; pararesolveroitem(d),vejaaEq.3-27.]
67 Suponha que o vetor unitário aponta para leste, o vetor unitário aponta para o norte e o vetorunitário apontaparacima.Quantovalemosprodutos(a) · ,(b)(– )·(– )e(c) ·(– )?Quaissãoasorientações(como,porexemplo,paralesteouparabaixo)dosprodutos(d) × ,(e)(– )×(– )e(f)(– )×(– )?
68 Um banco no centro de Boston é assaltado (veja o mapa da Fig. 3-36). Os bandidos fogem dehelicóptero e, tentando despistar a polícia, fazem três voos em sequência, descritos pelos seguintesdeslocamentos:32km,45oaosuldoleste;53km,26oaonortedooeste;26km,18oa lestedosul.Nofinaldoterceirovoo,sãocapturados.Emquecidadeosbandidosforampresos?
Figura3-36 Problema68.
69 Uma roda com um raio de 45,0 cm rola, sem escorregar, em um piso horizontal (Fig. 3-37). Noinstante t1,opontoPpintadonabordadarodaestánopontodecontatoentrea rodaeopiso.Emuminstante posterior t2, a roda descreveu meia revolução. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (emrelaçãoaopiso)dodeslocamentodopontoP.
72 Uma formiga-de-fogo, em busca de molho picante em uma área de piquenique, executa trêsdeslocamentossucessivosnoníveldosolo: 1,de0,40mparasudoeste(ouseja,45°entresuleoeste),2,de0,50mparaleste,e 3,de0,60memumadireção60°aonortedoleste.Suponhaqueosentido
_______________1Ooutrotipopossíveldesistema,raramenteusadonaprática,échamadodesistemadecoordenadaslevogiro.Oquedistingueosdoistiposdesistemaséaposiçãorelativadoseixosx,yez.Emumsistemalevogiro,oeixoyestarianaposiçãoocupadapeloeixoznaFig.3.13, evice-versa.(N.T.)*Comoos conceitos abordadosneste tópico só serãousadosmais adiante (noCapítulo7, para o produto escalar, e noCapítulo 11, para oprodutovetorial),talvezoprofessordocursoacheconvenienteomiti-lonomomento.