EA611 – Circuitos II Cap´ ıtulo 3 Potˆ encia em circuitos trif´ asicos Carlos A. Castro DSE/FEEC/UNICAMP Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Cap´ ıtulo 3 1 / 94
EA611 – Circuitos II
Capıtulo 3Potencia em circuitos trifasicos
Carlos A. Castro
DSE/FEEC/UNICAMP
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 1 / 94
Conceitos
Considere duas cargas trifasicas ligadas em Y e em ∆:
aa
bb
cc
n
Za
Zb
Zc
Carga em Y
Zab
Zbc
Zca
Carga em ∆
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Conceitos
A potencia total fornecida a uma carga trifasica e igual a soma daspotencias entregues individualmente a cada impedancia da carga
Para a carga em Y:
a
b
c
n
Za
Zb
Zc
SY3φ = Sa + Sb + Sc = Van I
∗
a + Vbn I∗
b + Vcn I∗
c (1)
Para a carga em ∆:a
b
c
Zab
Zbc
Zca S∆3φ = Sab + Sbc + Sca = Vab I
∗
ab + Vbc I∗
bc + Vca I∗
ca (2)
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Conceitos
As equacoes (1) e (2) sao gerais, ou seja, sao validas para qualquercarga trifasica
Considere o caso particular de cargas equilibradas. Considere tambemque as tensoes aplicadas sobre as cargas sejam (sequencia de fasesABC):
Van = Vf ∠0 V
Vbn = Vf ∠ (−120) V
Vcn = Vf ∠120 V
Vab = Vℓ ∠30 V
Vbc = Vℓ ∠ (−90) V
Vca = Vℓ ∠150 V
em que Vℓ =√3Vf
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Conceitos
No caso de cargas equilibradas, as impedancias sao representadas por:
Z = |Z | ∠φ Ω
Para a carga em Y:
a
b
c
n
Z
Z
Z
Ia = Van/Z = Iℓ ∠ (−φ) A
Ib = Vbn/Z = Iℓ ∠ (−φ− 120) A
Ic = Vcn/Z = Iℓ ∠ (−φ+ 120) A
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Conceitos
A potencia trifasica fornecida pela fonte a carga em Y sera igual a:
a
b
c
n
Z ∠φ
Z ∠φ
Z ∠φ
+
−Vℓ
Iℓ
SY3φ = Vf ∠0
· Iℓ ∠φ+ Vf ∠ (−120) · Iℓ ∠ (φ+ 120) +
Vf ∠120 · Iℓ ∠ (φ− 120)
= 3Vf Iℓ ∠φ
= 3
(Vℓ√3
)
Iℓ ∠φ
=√3VℓIℓ ∠φ VA (3)
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Conceitos
Para a carga em ∆:
a
b
c
Z
Z
Z
Iab = Vab/Z = If ∠ (30 − φ) A
Ibc = Vbc/Z = If ∠ (−90 − φ) A
Ica = Vca/Z = If ∠ (150 − φ) A
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Conceitos
A potencia trifasica fornecida pela fonte a carga em ∆ sera igual a:
a
b
c
Z ∠φ
Z ∠φ
Z ∠φ+
−Vℓ
Iℓ
S∆3φ = Vℓ ∠30
· If ∠ (−30 + φ) +
Vℓ ∠ (−90) · If ∠ (90 + φ) +
Vℓ ∠150 · If ∠ (−150 + φ)
= 3VℓIf ∠φ
= 3Vℓ
(Iℓ√3
)
∠φ
=√3VℓIℓ ∠φ VA (4)
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Conceitos
Para cargas trifasicas equilibradas, a potencia total fornecida e igual a:
S3φ =√3VℓIℓ ∠φ VA
para conexoes em Y e em ∆
A potencia total fornecida a uma carga trifasica equilibrada dependedos valores de tensao e corrente de linha e do angulo da impedanciade carga
As potencias ativa e reativa totais valem:
P3φ = ℜS3φ =√3VℓIℓ cosφ W
Q3φ = ℑS3φ =√3VℓIℓ senφ var1
1Unidade segundo a Resolucao n.12, de 12 de outubro de 1988, do Conselho Nacional de Metrologia, Normalizacao e
Qualidade Industrial (CONMETRO).
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Conceitos
Exemplo
Uma carga indutiva trifasica equilibrada e alimentada por uma fonte detensao trifasica de 220 V de linha. A corrente de linha medida e de 5 A e apotencia ativa total fornecida e de 900 W.
+
−
B
C
N
a
b
c
5 A
900 W
AA
Fonte Carga220 V
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Conceitos
1 Obtenha as potencias aparente, complexa, reativa e o fator depotencia da carga.
2 Determine as impedancias por fase para os casos em que a carga estaconectada em Y e em ∆.
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Conceitos
As grandezas pedidas sao calculadas por:
|S3φ | =√3VℓIℓ =
√3 · 220 · 5 = 1905,3 VA
fp = cosφ = P3φ/ |S3φ |= 900/1905,3 = 0,47
φ = cos−1 (fp) = cos−1 (0,47) = 61,8
S3φ = |S3φ | ∠φ = 1905,3 ∠61,8 VA
Q3φ = |S3φ | · senφ = 1679,3 var
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Conceitos
Considerando que a carga esteja conectada em Y:
ZY =Van
Ia·(
V ∗
an
V ∗
an
)
=V 2an
S∗
a
=
(Vab/
√3)2
S∗
3φ/3
=V 2ab
S∗
3φ
=2202
1905,3 ∠ (−61,8)= 25,4 ∠61,8 Ω
Para conexao em ∆:
Z∆ =Vab
Iab·(
V ∗
ab
V ∗
ab
)
=V 2ab
S∗
ab
=V 2ab
S∗
3φ/3
=3V 2
ab
S∗
3φ
=3 · 2202
1905,3 ∠ (−61,8)= 76,2 ∠61,8 Ω = 3 · ZY
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Conceitos
Exemplo
A figura a seguir mostra um circuito em que uma fonte trifasica de13,8 kV de linha alimenta uma carga trifasica equilibrada em Y deimpedancia Zc = 200 + j 50 Ω por fase atraves de uma linha detransmissao de impedancia ZL = j 10 Ω por fase.
+
−
Fonte
A
B
C
N
a
b
c
n
ZL
ZL
ZL
Zc
Zc
Zc
Carga
Linha
de transmissao
13,8 kV
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Conceitos
Pede-se:
1 a corrente de linha.
2 a tensao na carga e a queda de tensao na linha.
3 a potencia aparente entregue a carga.
4 a potencia aparente fornecida pela fonte.
5 as potencias ativa e reativa consumidas pela linha.
6 o fator de potencia da carga e o fator de potencia visto pela fonte.
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Conceitos
Como a carga e equilibrada, pode-se calcular somente as tensoes ecorrentes para uma das fases.
As tensoes e correntes das outras fases podem ser obtidas simplesmentelevando em conta as defasagens apropriadas, ja que seus valores eficazessao os mesmos.
Assim, basta definir uma das tensoes de fase, como por exemplo:
VAN =13,8√
3∠0 kV
Corrente na fase A:
IA =VAN
Zc + ZL
=13,8 · 103/
√3 ∠0
j 10 + (200 + j 50)= 38,16 ∠ (−16,7) A
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 16 / 94
Conceitos
Tensao de fase sobre a carga:
Van = Zc IA = 7,87 ∠ (−2,66) =13,62√
3∠ (−2,66) kV
Queda de tensao na linha de transmissao:
VL = VAN − Van = ZLIA = 381,6 ∠73,3 V
Diagrama fasorial para a fase A:
VAN
Van
VL
IA
2,66
16,7
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 17 / 94
Conceitos
Potencia aparente entregue a carga:
|Sc |= 3VanIA = 900,2 kVA ≈ 0,9 MVA
Potencia aparente fornecida pela fonte:
|SF |= 3VAN IA = 912,1 kVA ≈ 0,91 MVA
Potencia complexa consumida pela linha de transmissao:
SL = 3VLI∗
A = 43,7 ∠90 kVA
ou seja:
PL = 0
QL = 43,7 kvar ≈ 0,04 Mvar
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Conceitos
Naturalmente, nao ha consumo de potencia ativa pela linha ja que ela ecomposta somente por uma reatancia.
A perda de potencia na linha corresponde a pouco mais de 4% da potenciafornecida pela fonte.
O fator de potencia da carga e igual ao cosseno do angulo de defasagementre a tensao da fase A e a corrente pela fase A:
fpc = cos[
∠
(
Van
)
−∠
(
IA
)]
= cos [(−2,66)− (−16,7)] = 0,970
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 19 / 94
Conceitos
O fator de potencia da carga tambem corresponde ao cosseno do anguloda impedancia da carga:
fpc = cos
[
tg−1
(Xc
Rc
)]
= cos
[
tg−1
(50
200
)]
= 0,970
Fator de potencia visto pela fonte:
fpF = cos[
∠
(
VAN
)
− ∠
(
IA
)]
= cos [0 − (−16,7)] = 0,958
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 20 / 94
Conceitos
O fator de potencia visto pela fonte e igual ao cosseno do angulo daimpedancia da carga em serie com a impedancia da linha.
Como a impedancia da linha e puramente indutiva, sua presenca resultaem um fator de potencia visto pela fonte menor do que o fator de potenciada carga.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 21 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 4 fios
Carga trifasica em Y com neutro (a 4 fios), para a qual deseja-semedir a potencia ativa total consumida:
A
B
C
N
a
b
c
n
Za
Zb
Zc
Fonte
Carga
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 22 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 4 fios
A potencia ativa total consumida pela carga e igual a soma daspotencias ativas consumidas em cada fase:
P3φ = PA + PB + PC
= VAN IA cosφA + VBN IB cosφB + VCN IC cosφC
em que φA, φB e φC sao os angulos das impedancias das fases
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Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 4 fios
A potencia ativa consumida por uma impedancia pode ser medidaatraves da conexao de um wattımetro:
+
−
Bobina de correnteBobina de potencial
(BC)(BP)
V
II
Z
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Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 4 fios
Voltando ao circuito trifasico, a potencia ativa consumida pelaimpedancia da fase A e obtida atraves da colocacao de umwattımetro:
+
−
A
N
a
n
Za
Fonte
Carga
VAN
IABC
BP
Wattımetro
Pela bobina de corrente BC circula a corrente de linha IA e sobre abobina de potencial BP e aplicada a tensao de fase VAN . Entao:
PA = VAN IA cosφA = ℜ
VAN I∗
A
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Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 4 fios
Se dois wattımetros adicionais forem ligados as outras fases da carga,a potencia ativa total sera dada pela soma das leituras dos treswattımetros:
A
B
C
N
a
b
c
n
Za
Zb
Zc
Fonte
Carga
W1
W2
W3
Em particular, se a carga for equilibrada, basta ligar um wattımetro,que medira um terco da potencia total, e multiplicar a leitura por trespara obter a potencia total consumida.
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Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Para cargas cujas impedancias estao conectadas em ∆ ou Y semneutro, a ligacao dos wattımetros e feita da seguinte forma:
A
B
C
N
a
b
c
n
oFonteCarga
∆ ou Y
W1
W2
W3
Nao ha conexao entre o neutro da carga e o neutro da fonte. Assim,o ponto comum dos wattımetros o permanece em um potencialarbitrario
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 27 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
As indicacoes dos tres wattımetros serao:
A
B
C
N
a
b
c
n
oFonteCarga
∆ ou Y
W1
W2
W3
P1 = ℜ
VAo I∗
A
P2 = ℜ
VBo I∗
B
P3 = ℜ
VCo I∗
C
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 28 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Fase A do circuito trifasico:
+
−
+
−
+ −
Fonte
Carga
A A
N
W1
a a
n n
o
o
Za
ZaBP
BC
VAo VAn
Von
Para a malha mostrada tem-se:
Von + VAo − VAn = 0 ⇒ VAo = VAn − Von
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 29 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Expressoes semelhantes sao obtidas para as demais fases:
VBo = VBn − Von
VCo = VCn − Von
A soma das leituras dos tres wattımetros sera:
3∑
i=1
Pi = P1 + P2 + P3 = ℜ
VAo I∗
A + VBo I∗
B + VCo I∗
C
= ℜ(
VAn − Von
)
I ∗A +(
VBn − Von
)
I ∗B +(
VCn − Von
)
I ∗C
= ℜ
VAn I∗
A + VBn I∗
B + VCn IC − Von
(
I ∗A + I ∗B + I ∗C
)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 30 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Como a soma das correntes de linha e igual a zero, chega-sefinalmente a:
3∑
i=1
Pi = ℜ
VAn I∗
A + VBn I∗
B + VCn I∗
C
= P3φ
Assim, a soma das leituras dos tres wattımetros fornece a potenciaativa total entregue a carga, independentemente do potencial doponto o
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 31 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Como o potencial do ponto o nao tem influencia no resultado final,pode-se atribuir a ele um potencial em particular. Portanto, pode-seconectar o ponto o a uma das fases, como por exemplo, a fase b.Neste caso, o wattımetro 2, que originalmente media:
P2 = ℜ
VBo I∗
B
passara a indicar potencia nula, pois nao havera diferenca depotencial aplicada em sua bobina de potencial (BP)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 32 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Portanto, o wattımetro 2 pode ser retirado do circuito:
A
B
C
N
a
b
c
n
FonteCarga
∆ ou Y
W1
W3
A soma das leituras indicadas pelos wattımetros 1 e 3 sera:
P1 + P3 = ℜ
VAB I∗
A + VCB I∗
C
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 33 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Considerando que:
VAB = VAn − VBn
VCB = VCn − VBn
tem-se:
P1 + P3 = ℜ(
VAn − VBn
)
I ∗A +(
VCn − VBn
)
I ∗C
= ℜ
VAn I∗
A − VBn
(
I ∗A + I ∗C
)
︸ ︷︷ ︸
=−I∗B
+VCn I∗
C
= ℜ
VAn I∗
A + VBn I∗
B + VCn I∗
C
= P3φ
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 34 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
E possıvel medir a potencia ativa total consumida por uma carga a 4fios utilizando 3 wattımetros. No caso de uma carga a 3 fios, apenas2 wattımetros sao suficientes
Em geral, a potencia ativa total entregue a uma carga com n fiospode ser obtida atraves da utilizacao de (n − 1) wattımetros
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 35 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Teorema de Blondel ou metodo dos (n − 1) wattımetros
Se a energia e fornecida a uma carga polifasica por n fios, a potencia total na
carga e dada pela soma algebrica das leituras de n wattımetros, ligados de tal
maneira que cada um dos n fios contenha uma bobina de corrente de um
aparelho, estando a bobina de potencial correspondente ligada entre este fio e um
ponto comum a todas as bobinas de potencial. Se este ponto estiver sobre um
dos n fios, bastam (n − 1) wattımetros.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 36 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Exemplo
A figura abaixo mostra uma fonte de tensao de 220 V de linha quealimenta uma carga trifasica desequilibrada em Y cujas impedancias dasfases valem Za = 100 Ω, Zb = 200 Ω e Zc = 100 Ω.
A
B
C
N
a
b
c
n
FonteCarga
Y
W1
W3
Calcule a potencia ativa total consumida pela carga. Obtenha tambem asleituras de cada wattımetro e a potencia ativa total medida.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 37 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Considere que as tensoes fornecidas pela fonte de tensao sejam:
VAN = 127 ∠0 V
VBN = 127 ∠ (−120) V
VCN = 127 ∠120 V
VAB = 220 ∠30 V
VBC = 220 ∠ (−90) V
VCA = 220 ∠150 V
A tensao entre os pontos neutros da carga e da fonte sera:
VnN =YaVAN + YbVBN + YcVCN
Ya + Yb + Yc
= 25,4 ∠60 V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 38 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Tensoes de fase aplicadas sobre carga:
VAn = VAN − VnN = 116,4 ∠ (−10,9) V
VBn = VBN − VnN = 152,4 ∠ (−120) V
VCn = VCN − VnN = 116,4 ∠130,9 V
Correntes de linha:
IA = VAn/Za = 1,164 ∠ (−10,9) A
IB = VBn/Zb = 0,762 ∠ (−120) A
IC = VCn/Zc = 1,164 ∠130,9 A
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 39 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Potencias por fase e a potencia total:
PA = RAI2A = 135,5 W
PB = RB I2B = 116,2 W
PC = RC I2C = 135,5 W
P3φ = PA + PB + PC = 387,2 W
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 40 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Leituras indicadas por cada wattımetro:
P1 = ℜ
VAB I∗
A
= VAB IA cos (30 + 10,9)
= 193,6 W
P3 = ℜ
VCB I∗
C
= VCB IC cos (90 − 130,9)
= 193,6 W
P3φ = P1 + P3 = 387,2 W
A
B
C
N
a
b
c
n
FonteCarga
Y
W1
W3
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 41 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Considere novamente o circuito trifasico a 3 fios mostrado a seguir.
A
B
C
N
a
b
c
n
FonteCarga
∆ ou Y
W1
W3
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 42 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
As leituras dos wattımetros 1 e 3 serao iguais a:
A
B
C
N
a
b
c
n
FonteCarga
∆ ou Y
W1
W3
P1 = ℜ
VAB I∗
A
= VAB IA cos(
∠
(
VAB
)
− ∠
(
IA
))
= VAB IA cos γ1
P3 = ℜ
VCB I∗
C
= VCB IC cos(
∠
(
VCB
)
− ∠
(
IC
))
= VCB IC cos γ3
Dependendo da caracterıstica da carga e, portanto, dos angulos dedefasagem entre as tensoes e correntes (γ1 e γ3), P1 e P3 poderaoapresentar valores positivos ou negativos
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 43 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Caso sejam utilizados wattımetros analogicos, valores negativos depotencias farao com que seus ponteiros tendam a defletir em direcaoao lado negativo da escala
Analogico Digital
0W
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 44 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Nestes casos, deve-se inverter a ligacao de uma das bobinas (decorrente ou de potencial, sendo mais comum a inversao da ultima,pois nao ha interrupcao da operacao do circuito)
Embora a leitura de potencia neste caso seja um valor positivo,sabe-se que a potencia de fato deve ser considerada como negativa
A potencia total fornecida a carga e dada pela soma algebrica dasleituras dos wattımetros
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 45 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Diagrama fasorial contendo as tensoes e correntes na fonte de tensao,para o caso particular em que a carga e equilibrada (Za = Zb = Zc):
A
B
C
N
a
b
c
n
FonteCarga
∆ ou Y
W1
W3
VAN
VBN
VCN
VAB
VBC
VCB
IA
IB
IC
φφ
φ
φ− 30
30
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 46 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Considerando que a sequencia de fases seja ABC e que a tensao dafase A seja tomada como referencia angular, as leituras doswattımetro serao:
P1 = ℜ
VAB I∗
A
= ℜVL ∠30 · [IL ∠ (−φ)]∗= ℜVLIL ∠ (φ+ 30)
P1 = VLIL cos (φ+ 30) (5)
P3 = ℜ
VCB I∗
C
= ℜVL ∠90 · [IL ∠ (120 − φ)]∗= ℜVLIL ∠ (φ− 30)
P3 = VLIL cos (φ− 30) (6)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 47 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Nota-se que os valores de potencia indicados pelos wattımetrospodem ser positivos ou negativos dependendo do angulo daimpedancia, ou seja, do fator de potencia da carga
Se φ > 60 ou φ < −60, uma das leituras sera negativa
Entao, se o fator de potencia da carga for menor que 0,5 (ou seja,cos 60), um dos wattımetros tendera a defletir para o lado negativoda escala
Assim, deve-se inverter a ligacao de uma das bobinas do mesmo paraa leitura de medida
No entanto, para a obtencao da potencia ativa total, deve-se lembrarque a leitura daquele wattımetro e negativa
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 48 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Atraves das expressoes de P1 e P3 dadas pelas equacoes (5) e (6)verifica-se que, no caso de um dos wattımetros acusar leituranegativa, deve-se inverter uma de suas bobinas e a potencia total seradada por:
(potencia total) = (maior leitura)− (menor leitura)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 49 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Exemplo
Um motor de inducao2 trifasico opera em vazio, ou seja, sem cargamecanica acoplada ao seu eixo. Ele esta conectado a uma rede eletricacuja tensao de linha e igual a 220 V:
Rede
Motor
A
B
C
N
a
b
c
n
W1
W3
Z
Z
Z
Note que o motor e modeladocomo uma carga trifasicaequilibrada em triangulo. Aimpedancia por fase do motore igual a 50 ∠80 Ω. Asequencia de fases e ABC.
Obtenha os valores das potencia lidas em cada wattımetro analogico e apotencia ativa total consumida pelo motor.
2Motor largamente empregado na pratica devido a sua robustez de operacao e baixo custo.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 50 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Corrente de linha fornecida pela rede ao motor:
IL =√3
VL
|Z | =√3 · 220
50= 4,4
√3 A
Potencias lidas em cada wattımetro:
P1 = VLIL cos (φ+ 30) = 220 · 4,4√3 · cos (80 + 30) = −573,4 W
P3 = VLIL cos (φ− 30) = 220 · 4,4√3 · cos (80 − 30) = 1077,7 W
Potencia total consumida pelo motor:
P3φ = P1 + P2 = −573,4 + 1077,7 = 504,3 W
Se os wattımetros forem analogicos, deve-se inverter a conexao de umadas bobinas de W1 para que a leitura seja feita adequadamente. Nota-seque a leitura de menor valor e aquela cujo sinal resultou negativo.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 51 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Exercıcio
Verifique que os valores de P1, P3 e P3φ para o circuito do slide 50 seraoos mesmos calculados anteriormente utilizando:
Rede
Motor
A
B
C
N
a
b
c
n
W1
W3
Z
Z
ZP1 = ℜ
VAB · I ∗A
P3 = ℜ
VCB · I ∗C
P3φ = P1 + P3
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 52 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Exemplo
Considere novamente o circuito a seguir, em que uma fonte cuja tensao delinha e 220 V alimenta uma carga trifasica conectada em estrela e que temas impedancias por fase iguais a Za = Zb = Zc = |Z | ∠φ = 100 ∠φ Ω.
A
B
C
N
a
b
c
n
FonteCarga
Y
W1
W3
A sequencia de fases e ABC. Obtenha as leituras dos dois wattımetros e apotencia trifasica total para −90 ≤ φ ≤ 90.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 53 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
O valor eficaz da corrente de linha fornecida pela fonte independe doangulo da impedancia e vale:
IL =VL√3 |Z |
=220√3 · 100
= 1,27 A
As leituras dos wattımetros e a potencia total sao dadas por:
P1 = VLIL cos (φ+ 30) = 220 · 1,27 · cos (φ+ 30) = 279,4 · cos (φ+ 30)
P3 = VLIL cos (φ− 30) = 220 · 1,27 · cos (φ− 30) = 279,4 · cos (φ− 30)
P3φ = P1 + P3 = VLIL [cos (φ+ 30) + cos (φ− 30)]
=√3VLIL cosφ = 483,9 cosφ
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 54 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Grafico das curvas de P1, P2 e P3φ em funcao de φ:
450
300
150
0
0
−150
−60 −30 30 60 90 φ
P1 P2
P3φ
483,9 W
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 55 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Tabela com leituras dos wattımetros e a potencia total para alguns valoresde φ:
φ () P1 (W) P3 (W) P3φ (W)
−90 139,70 −139,70 0,0−60 241,97 0,0 241,97−30 279,40 139,70 419,100 241,97 241,97 483,9430 139,70 279,40 419,1060 0,0 241,97 241,9790 −139,70 139,70 0,0
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 56 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Pode-se notar que:
As potencias totais para φ igual a −90 e 90 sao iguais a zero,caracterizando cargas puramente reativas (capacitiva e indutiva,respectivamente).
A leitura de um dos wattımetros e nula quando o valor absoluto de φe 60. Este e o ponto de mudanca na deflexao dos wattımetros.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 57 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
O maior consumo de potencia ativa ocorre para uma carga puramenteresistiva, ou seja, para φ = 0. Para cada fase, a potencia ativaconsumida e:
P = R · (IL)2
em que IL e a corrente de linha e R e a resistencia da respectiva fase,sendo dada por:
R =| Z | · cosφ
A corrente de linha e constante para este exemplo e R atinge seuvalor maximo para φ igual a zero.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 58 / 94
Medicao de potencia ativa em circuitos trifasicos – Circuito trifasico a 3 fios
Exercıcio
Determine as potencias lidas noswattımetros 1 e 2 e as potenciasativa e reativa totais consumidaspela carga do circuito abaixo,alimentado por uma tensao de 230 Vde linha, sequencia de fases ABC.
Carga
Resp.: −511,5152 W ; 1389,4429 W ; 877,9277 W ; 3292,5560 var
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 59 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
A potencia reativa total de uma carga trifasica e igual a soma daspotencias reativas de cada fase, e pode ser medida atraves dewattımetros convenientemente conectados ao circuito
O esquema de ligacao sera deduzido a partir do tipo mais geral decarga, que e a desequilibrada em estrela sem neutro, e sera valido paratodo tipo de carga, equilibrada ou desequilibrada, a tres ou quatro fios
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 60 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
A potencia reativa total e dada por:
Q3φ = QA + QB + QC
= VAn IA senφA + VBn IB senφB + VCn IC senφC
= ℑ
VAn I ∗A
+ ℑ
VBn I ∗B
+ ℑ
VCn I ∗C
em que se considera que existe uma diferenca de potencial entre oneutro da carga n e o neutro da fonte N (deslocamento de neutro)
Conforme mostrado anteriormente, as tensoes de fase da carga serelacionam com as tensoes de fase da fonte atraves de:
VAn = VAN − VnN VBn = VBN − VnN VCn = VCN − VnN
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 61 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
A expressao de Q3φ fica:
Q3φ = ℑ
VAn I ∗A + VBn I ∗B + VCn I ∗C
= ℑ(
VAN − VnN
)
I ∗A +(
VBN − VnN
)
I ∗B +(
VCN − VnN
)
I ∗C
= ℑ
VAN I ∗A + VBN I ∗B + VCN I ∗C − VnN
I ∗A + I ∗B + I ∗C︸ ︷︷ ︸
=0
= ℑ
VAN I ∗A + VBN I ∗B + VCN I ∗C
= ℑ
VAN I ∗A
+ ℑ
VBN I ∗B
+ ℑ
VCN I ∗C
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 62 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Considerando as tensoes da fonte como equilibradas, na sequenciaABC e com referencia angular na fase a, tem-se:
VAN = VAN∠0 = VF∠0
V
VBN = VBN∠− 120 = VF∠− 120 V
VCN = VCN∠120 = VF∠120
V
e:
VAB = VAB∠30 =
√3 VF∠30
V
VBC = VBC∠− 90 =√3 VF∠− 90 V
VCA = VCA∠150 =
√3 VF∠150
V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 63 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
A relacao entre as tensoes VAN e VBC e:
VAN
VBC
=VF∠0
√3 VF∠− 90
=1√3∠90
Da mesma forma:
VBN
VCA
=1√3∠90 e
VCN
VAB
=1√3∠90
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 64 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Substituındo as tensoes na expressao de Q3φ:
Q3φ =1√3
[
ℑ
VBC I ∗A∠90
+ ℑ
VCA I ∗B∠90
+ ℑ
VAB I ∗C∠90
]
Tomando somente um dos termos da expressao de Q3φ tem-se:
ℑ
VBC I ∗A∠90
= VBC IA sen
∠
(
VBC
)
−∠
(
IA
)
︸ ︷︷ ︸
α
+90
= VBC IA [ senα cos 90 + sen 90 cosα]
= VBC IA cosα = ℜ
VBC I ∗A
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 65 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Assim, a expressao de Q3φ fica:
Q3φ =1√3
[
ℜ
VBC I ∗A
+ ℜ
VCA I ∗B
+ ℜ
VAB I ∗C
]
=1√3
[W1 +W2 +W3]
em que W1, W2 e W3 sao as leituras de tres wattımetros ligadosconvenientemente!
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 66 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Rede Carga
A
B
C
N
a
b
c
n
W1
W2
W3
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 67 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Em particular, se a carga for equilibrada, os tres termos da expressaode Q3φ serao iguais e somente um wattımetro e necessario
Por exemplo, mantendo-se o wattımetro 1, a expressao da potenciareativa total fica:
Q3φ =1√3
[W1 +W2 +W3] =1√3
[3 ·W1] =√3 ·W1
ou seja, a potencia reativa total e√3 vezes maior que a leitura do
wattımetro
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 68 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Se o metodo dos dois wattımetros estiver sendo utilizado para amedicao de potencia ativa em cargas equilibradas, e possıvel obter apotencia reativa total utilizando a mesma conexao
Considerando o circuito da figura:
A
B
C
N
a
b
c
n
FonteCarga
∆ ou Y
W1
W3
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 69 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Realizando a operacao:
P3 − P1 = VL IL cos (φ− 30)− VL IL cos (φ+ 30)
= VL IL
(√3
2cosφ+
1
2senφ−
√3
2cosφ+
1
2senφ
)
= VL IL senφ =Q3φ√3
E possıvel entao obter o angulo da impedancia da carga:
φ = tg −1
(Q3φ
P3φ
)
= tg −1
[√3 (P3 − P1)
P1 + P3
]
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 70 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Exemplo
O metodo dos dois wattımetros foi utilizado para medir a potencia totalentregue a um motor trifasico e as leituras foram:
P1 = 1100 W e P3 = 2200 W
Se a tensao de linha e a corrente de linha medidas sao 220 V e 10 Arespectivamente, obter as potencias ativa, reativa e aparente totaisconsumidas pelo motor. Obter tambem o fator de potencia do motor.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 71 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Potencia ativa total consumida pelo motor:
P3φ = P1 + P3 = 3300 W
Potencia reativa total:
Q3φ =√3 (P3 − P1) = 1905,3 var
Angulo da impedancia do motor:
φ = tg −1
[√3 (P3 − P1)
P1 + P3
]
= 30
que corresponde a um fator de potencia 0,866 indutivo.
Potencia aparente total:
S3φ =P3φ
fp=
3300
0,866= 3810,5 VA
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 72 / 94
Medicao de potencia reativa em circuitos trifasicos
Medicao das potencias ativa e reativa em um motor trifasico [Vıdeo]
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 73 / 94
Correcao do fator de potencia
Exemplo
Considere novamente a fabrica alimentada em 380V, 60Hz (tensao delinha) com as seguintes cargas conectadas:
1 Carga 1, formada por tres impedancias de 250VA, fp 0,7 indutivo,220V
2 Carga 2, formada por tres impedancias de 550W, fp 0,8 indutivo,380V
Especifique um banco de capacitores para a correcao do fator de potenciapara 0,92, se necessario.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 74 / 94
Correcao do fator de potencia
De acordo com as especificacoes, o circuito e:
A
B
C
N
Carga 1 Carga 2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 75 / 94
Correcao do fator de potencia
Carga 1: S1 = 3 · 250∠ cos−1 0,7 = 750∠45,6 VA
Carga 2: S2 = 3 · 5500,8
∠ cos−1 0,8 = 2062,5∠36,9 VA
Carga total: ST = S1 + S2 = 2174,1 + j 1774,2 = 2806,2∠39,2 VA
PT = 2174,1 W
QT = 1774,2 var
fp = cos 39,2 = 0,77 → correcao necessaria
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 76 / 94
Correcao do fator de potencia
Fator de potencia desejado:
fp′ =PT
S ′
T
= 0,92 → S ′
T = 2363,2 VA
Potencia reativa fornecida ao circuito apos a correcao do fator de potencia:
Q ′
T =
√
S ′
T
2 − PT2 = 926,3 var
Potencia requerida pelo banco de capacitores:
QC = Q ′
T − QT = −847,9 var
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 77 / 94
Correcao do fator de potencia
Considere um banco de capacitores em Y:
A
B
C
N
Carga 1 Carga 2 Banco Y
SC = 3 · Vf I∗
f = 3 · Vf
V ∗
f
Z ∗
C
= 3 · V2f
Z ∗
C
ZC = 3 · V2f
S∗
C
= 3 · 2202
j 847,9= −j 171,2Ω
CY =1
ω · |ZC |=
1
377 · 171,2 = 15,5µF
→ Banco de capacitores de 15,5µF, 220V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 78 / 94
Correcao do fator de potencia
Considere agora um banco de capacitores em ∆:
A
B
C
N
Carga 1 Carga 2 Banco ∆
SC = 3 · Vℓ I∗
f = 3 · Vℓ
V ∗
ℓ
Z ∗
C
= 3 · V2ℓ
Z ∗
C
ZC = 3 · V2ℓ
S∗
C
= 3 · 3802
j 847,9= −j 510,9Ω
CY =1
ω · |ZC |=
1
377 · 510,9 = 5,2µF
→ Banco de capacitores de 5,2µF, 380V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 79 / 94
Correcao do fator de potencia
ℜ
ℑ
PT
STQT
QC
Q ′
TS ′
T
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 80 / 94
Demanda e curva de carga
A potencia ativa consumida por uma instalacao eletrica e variavel,sendo funcao do numero de cargas ligadas e da potencia consumidapor cada uma delas, a cada instante
Para a analise de uma instalacao emais conveniente trabalhar com oconceito de demanda (D), quecorresponde ao valor medio dapotencia ativa (P) em um intervalode tempo ∆t especificado, isto e:
D =1
∆t·∫ t+∆t
t
P · dt No Brasil e oficializado o intervalo de
tempo ∆t = 15minutos
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 81 / 94
Demanda e curva de carga
A definicao indica que a demanda e medida em unidades de potenciaativa (W, kW). Pode-se tambem definir uma demanda reativa DQ
(var, kvar) e uma demanda aparente DS (VA, kVA)
A area hachurada entre a curva P(t) e o eixo dos tempos correspondea energia consumida pela instalacao no intervalo considerado:
E = D ·∆t → D =E
∆t
Por isso e comum a referencia a demanda na forma MW·h/h,MVA·h/h
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 82 / 94
Demanda e curva de carga
Curva de carga – demanda em funcao do tempo, para um dadointervalo de tempo (T )
E constituıda por patamares, sendo, no entanto, mais comumapresenta-la como uma curva, resultando da uniao dos pontos mediosdas bases superiores do retangulo de largura ∆t
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 83 / 94
Demanda e curva de carga
Demanda maxima DM – ordenada maxima da curva no intervalo T
Energia total consumida no perıodo ET – area entre a curva e o eixohorizontal:
ET =
∫ T
0D · dt
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 84 / 94
Demanda e curva de carga
Demanda media Dm – altura de um retangulo cuja base e o intervaloT e cuja area e a energia total ET :
Dm =ET
T
Capacidade da instalacao
maior que a demanda maxima
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 85 / 94
Demanda e curva de carga
Exemplo
O grafico a seguir mostra uma curva de carga diaria tıpica de umaindustria.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 86 / 94
Demanda e curva de carga
Estime:
1 a energia eletrica consumida por dia.
2 a demanda maxima solicitada.
3 a potencia mınima do transformador de entrada.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 87 / 94
Demanda e curva de carga
A energia eletrica consumida por dia pela industria corresponde a areaabaixo da curva de carga (integral da curva de carga). Esta pode seraproximada pela soma das areas limitadas pelas retas:
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 88 / 94
Demanda e curva de carga
Logo, a energia eletrica consumida por dia pela industria pode seraproximada pela soma das areas limitadas pelas retas:
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 89 / 94
Demanda e curva de carga
A energia eletrica pode ser calculada por:
Energia = 250 · 24 + 1
2· (20 + 8) · 2750 = 44500 kWh
A demanda maxima corresponde ao valor maximo registrado na curva(pico), que vale aproximadamente 3440 kW.
A especificacao da potencia nominal do transformador de entrada dependede muitos fatores, mas, para responder exclusivamente a este exemplo, apotencia mınima do transformador de entrada pode ser estimada em3500 kW, pois assim ele suportara a demanda maxima.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 90 / 94
Medicao da energia eletrica
A medicao da energia eletrica e necessaria para possibilitar aconcessionaria o faturamento adequado da energia eletrica consumidapor cada usuario, segundo uma tarifa preestabelecida
O instrumento que possibilita esta medicao e o medidor de energiaeletrica, popularmente conhecido como relogio de luz:
Ponteiros Registrador
ciclometrico
Smart
meter
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 91 / 94
Medicao da energia eletrica
O medidor eletromecanico e constituıdo, essencialmente, pelosseguintes componentes:
Bobina de tensao (ou de potencial), com muitas espiras defio fino de cobre, ligada em paralelo com a carga
Bobina de corrente, com poucas espiras de fio grosso decobre, ligada em serie com a carga
Nucleo de material ferromagnetico (ferro-silıcio), composto
de laminas justapostas, isoladas entre si
Conjunto movel ou rotor constituıdo de disco de alumınio de alta condutividade,com liberdade para girar em torno do seu eixo de suspensao, ao qual e solidario
Parafuso com rosca-sem-fim fixado ao eixo, que aciona um sistema mecanico deengrenagens que registra, num mostrador, a energia eletrica consumida
Ima permanente para produzir um conjugado frenador no disco
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 92 / 94
Exercıcios propostos
G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de correntealternada: fundamentos e pratica, Oficina de Textos, 2012 – capıtulo7.
C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um cursointrodutorio, Unicamp, 1995 – capıtulo 4.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 93 / 94
Referencias
P. Cardieri, notas de aula de EA611, FEEC/UNICAMP.
M.C.D. Tavares, notas de aula de EA611, FEEC/UNICAMP.
C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um cursointrodutorio, Unicamp, 1995.
G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de correntealternada: fundamentos e pratica, Oficina de Textos, 2012.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Capıtulo 3 94 / 94