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CAPTULO 2: LGICA SIMBLICA Lgica Proposicional. 2.1 INTRODUCCIN
En el captulo anterior se indic que el objetivo fundamental de la
lgica es diferenciar entre razonamientos vlidos y razonamientos no
vlidos, y se consider parcialmente el aporte de la lgica
aristotlica al logro de este objetivo, para el caso de los
silogismos categricos. Sin embargo, como no todo argumento es
silogstico o susceptible de ser puesto en forma silogstica
equivalente las tcnicas de la lgica aristotlica resultan
insuficientes para el anlisis de los razonamientos deductivos. En
este captulo aprenderemos que la lgica simblica moderna proporciona
criterios ms generales de validez y herramientas de uso sistemtico
para la aplicacin de tales criterios, con lo cual se ampla la
capacidad para decidir sobre validez de razonamientos
deductivos.
Antes de aplicar el criterio de validez de razonamientos
provisto por la lgica simblica, el razonamiento debe ser
representado con smbolos de un alfabeto previamente establecido.
Por esta razn, una parte de este captulo se dedica al uso de la
lgica simblica como sistema de representacin de informacin. Sin
embargo, tengamos siempre en cuenta que este uso es convencional,
es decir, que deben convenirse previamente su alcance y
limitaciones, puesto que ningn sistema simblico logra capturar con
absoluta precisin todos los matices y peculiaridades del lenguaje
natural. Por ejemplo, es un hecho que los enunciados Juan es pobre
y generoso y Juan es pobre pero generoso tienen significados
diferentes en el lenguaje cotidiano. No obstante, se representan de
igual forma en el lenguaje de la lgica proposicional. Como veremos,
estas simplificaciones no afectan el valor prctico del criterio de
decisin para validez de razonamientos deductivos.
En espaol y posiblemente esto es cierto en todos los lenguajes
naturales no siempre los enunciados tienen un significado
inequvoco. Por ejemplo, la expresin La vendedora entr colada por la
puerta del estadio tiene dos significados en nuestra regin, segn el
uso del trmino colada. Uno de estos significados es que la
vendedora entr al estadio eludiendo el pago; el otro, que la
vendedora entr ese tipo de bebida a travs de la puerta del estadio.
Anlogamente, la frase Ayer vi a un seor con un telescopio tiene dos
significados posibles, como bien puede concluir el lector. El uso
del condicional proporciona ejemplos adicionales de ambigedad. Por
ejemplo, con la expresin Juan me explica el problema si tengo
alguna duda, se est indicando que es suficiente tener alguna duda,
para contar con la ayuda de Juan, esto es, que tener alguna duda es
condicin suficiente para recibir la explicacin de Juan. En cambio,
en la afirmacin Juan me explica el problema, si tiene tiempo, el
contexto permite pensar que tener tiempo es condicin necesaria para
que Juan le explique el problema. A pesar de tener la misma
estructura, el condicional est utilizado con diferente propsito. La
lgica simblica debe eliminar esta ambigedad, y por esto es
necesario convenir cul de estos significados ser el adoptado en el
sistema de representacin.
La multiplicidad de significados y funciones gramaticales de una
misma palabra, el empleo de expresiones idiomticas, y la carga
emocional de las frases, son algunos factores que deben
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considerarse en el anlisis de los argumentos para decidir sobre
su correccin o admisibilidad. Por esto un primer paso en el
desarrollo de herramientas formales de anlisis para validez de
razonamientos deductivos es eliminar, en lo posible, las
imprecisiones y ambigedades propias del lenguaje natural. Con este
propsito se construye un lenguaje formal, lo cual requiere:
1. Especificar el alfabeto utilizado. 2. Hacer explcitas las
reglas para producir elementos del lenguaje y para decidir si una
cadena especfica es o no un elemento de ese lenguaje. 3. Asignar
significados inequvocos a los elementos del lenguaje.
La lgica simblica moderna es un lenguaje que satisface estos
requerimientos.
2.2 EL LENGUAJE DE LA LGICA PROPOSICIONAL La lgica proposicional
es un lenguaje formal que permite decidir sobre la validez o
invalidez de los razonamientos deductivos, con base en la
representacin simblica de las proposiciones que intervienen en el
razonamiento y en las conexiones entre ellas.
El alfabeto o conjunto de caracteres de la lgica proposicional,
que representaremos con P, tiene smbolos de cuatro clases:
1. Smbolos de variables proposicionales o tomos: p, q, r, s,
...,w (p1, p2, , si se requiere). Estos smbolos se utilizan para
representar proposiciones atmicas, es decir, proposiciones que no
pueden descomponerse en otras ms simples. Ejemplos: p: llueve, q:
hace fro, r: hoy es martes.
2. Smbolos de conectivos (u operadores) lgicos o
proposicionales. Son los smbolos que se presentan en la tabla 1. Se
utilizan en la representacin de proposiciones compuestas,
estableciendo una conexin entre los smbolos que representan las
proposiciones atmicas que las componen. Por ejemplo, con los
smbolos p y q como en el numeral 1, llueve y hace fro se
representara por pq. En la tercera columna de la tabla siguiente se
indica cmo se lee cada conectivo, cuando aparece en una expresin de
la lgica proposicional. Por ejemplo: p se lee como no p o como es
falso que p o p es falso. En la ltima de la derecha se da un
ejemplo para cada caso.
Tabla 1. Conectivos lgicos o proposicionales
Smbolo Nombre usual En una frmula se lee Ejemplo negacin no, es
falso que p : no p disyuncin o pq: p o q
conjuncin y pq : p y q condicional sientonces pq: si p entonces
q
bicondicional si y solo si pq: p si y solo si q
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3. Smbolos de puntuacin. Son los parntesis abierto ( y cerrado
). Se utilizan para agrupar, con fines sintcticos o de claridad,
partes de una expresin del lenguaje. Por ejemplo, (pq) r.
4. Smbolos de constantes lgicas. Son los smbolos V y F. Su
significado se presenta en la seccin 2.6.1.
Al concatenar los smbolos anteriores se obtienen expresiones
conocidas como frmulas o cadenas de la lgica proposicional. Por
ejemplo: p, p q, ((qs)q), y (r (r t)), son frmulas. Pero no todas
las frmulas hacen parte de lo que llamaremos el lenguaje de la
lgica proposicional, puesto que para hacerlo deben cumplir las
condiciones que se presentan en la siguiente seccin, en cuyo caso
las llamaremos frmulas bien formadas (fbf). Finalmente: llamaremos
Lenguaje de la lgica proposicional, y lo denotaremos con L(P), al
conjunto de todas las frmulas bien formadas: L(P) = {A A es una
frmula bien formada}.
2.3 FRMULAS BIEN FORMADAS. SINTAXIS EN LA LGICA PROPOSICIONAL El
proceso de comprensin de una oracin en lenguaje natural requiere
del anlisis sintctico. Este anlisis permite decidir si la frase est
o no construida de acuerdo con las reglas gramaticales propias del
lenguaje. Por ejemplo, el llanero solitario canta una cancin, es
una frase sintcticamente correcta, pero no lo es una el solitario
cancin llanero canta. Cada lenguaje, natural o artificial, requiere
un criterio para decidir cuando una cadena de smbolos de su
alfabeto pertenece al lenguaje, es decir, est bien construida. En
el caso particular del lenguaje de la lgica proposicional ese
criterio nos debe indicar que la cadena ((qs)q) est bien construida
y pertenece al lenguaje de la lgica proposicional L(P), pero que (r
(r t)) presenta por lo menos un error de sintaxis y por lo tanto no
pertenece a dicho lenguaje.
Definicin 2.1 Una frmula bien formada es cualquier cadena de
smbolos de P, el alfabeto de la lgica proposicional, que resulta de
aplicar estas reglas:
F1. Todo tomo es una fbf. Esta regla establece, por ejemplo, que
p, q, r, son frmulas bien formadas.
F2. Si A representa una fbf, entonces A es tambin una fbf. Segn
esto, p es una fbf pues por F1 p es fbf y entonces, por F2, p
tambin lo es. Adems, p tambin es fbf, por aplicacin de F2 a p.
F3. Si A y C son fbfs entonces (AC), (AC), (AC) y (AC), son
fbfs. Las reglas anteriores permiten concluir que (pq) es fbf.
Porque p y q son fbf y la frmula dada se obtiene haciendo A= p, C=q
y aplicando (AC) de F3.
F4. Slo son fbfs, las cadenas que resulten de aplicar los casos
anteriores.
Como ejemplo de aplicacin del criterio anterior, mostraremos que
E = (prt) no es frmula bien formada.
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El proceso consiste en hacer un emparejamiento de los smbolos en
la frmula dada con los smbolos segn F1 a F3. En primer lugar, E no
es un tomo y tampoco tiene como smbolo inicial el operador . Por
tanto, no es el resultado de aplicar F1 o F2. De acuerdo con esto,
si E es fbf, tendr que serlo por aplicacin inicial de F3, en cuyo
caso los parntesis exteriores de (prt) deben corresponderse con los
parntesis exteriores de (AB) donde es alguno de los conectivos
binarios. La cadena prt debe corresponderse entonces con AB. donde
A y B son fbf. Esto requiere que se corresponda con el operador o
con el operador . Lo primero no es posible porque implica que A = p
y B = rt, pero B no es una frmula bien formada. (Por qu?). El
segundo caso tampoco es posible porque implica que A = pr, que no
es frmula bien formada. As se prueba que E = (prt) no puede
obtenerse por aplicacin de las reglas F1, F2, F3. En consecuencia E
no es fbf, segn la regla F4. Ejercicio 2.2 Muestre que ((pq)r) es
fbf. Ejercicio 2.3 Decida si ((prt)) es o no fbf.
Observe que segn la definicin 2.1, ninguna de las cadenas pq,
rs, (p r)t es fbf y que la nica razn para no serlo es la ausencia
de parntesis exteriores. Pero...requieren estas frmulas de tales
smbolos de puntuacin? Realmente no, pues se trata de frmulas
aisladas que no son subfrmulas de otras frmulas, y por tanto no hay
lugar a ambigedad. Por esta razn se acostumbra prescindir de tales
parntesis exteriores innecesarios y considerar que las frmulas
anteriores son fbf. La misma convencin indica que (pq)r es fbf. A
veces se hace una reduccin adicional del nmero de parntesis,
mediante la adopcin de una jerarqua entre los conectivos. Haciendo
uso de tal jerarqua se puede escribir por ejemplo pqr en lugar de
p(qr). Sin embargo, en estas notas no se considera la jerarqua como
elemento para eliminacin de parntesis porque es preferible
mantenerlos, as parezcan innecesarios, que correr el riesgo de
alterar el significado de una expresin o de obtener una expresin
ambigua, por no utilizarlos.
2.4 CONTENIDO SEMNTICO DE LAS FRMULAS BIEN FORMADAS Ya hemos
atendido al aspecto sintctico de las cadenas de smbolos en el
lenguaje L(P) y hemos desarrollado un criterio para decidir cundo
una frmula es bien formada. Si este fuera el nico aspecto por
considerar, la lgica proposicional sera de poca o ninguna utilidad
para los propsitos de este curso. Sin embargo, existe una
presentacin complementaria en la cual se dota de significados a las
frmulas bien formadas. Esto permite desarrollar una aplicacin de la
lgica formal a la determinacin de la validez o no validez de los
razonamientos deductivos, que estudiaremos en esta seccin.
Los conectivos lgicos , , , , son elementos del lenguaje de la
lgica proposicional que operan sobre tomos o frmulas y producen
nuevas frmulas. Estos conectivos sern presentados aqu en una doble
perspectiva: para propsitos de representacin simblica, y
definindolos mediante sus valores de verdad. El primer caso
consiste en utilizarlos para representar determinadas expresiones
del lenguaje ordinario; en el segundo, se establece un criterio
para asignar, a las expresiones que los contienen, los valores V o
F que interpretaremos como verdadero o falso procurando que el
criterio refleje, en cada
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asignacin, el uso dado al conectivo en la representacin
simblica. En ambos casos se mantiene el acuerdo implcito en la
comunicacin ordinaria, segn el cual el enunciado de una proposicin
declarativa lleva implcita la afirmacin de que su contenido es
verdadero. Por ejemplo, decimos el oxgeno es necesario para la vida
pero el significado es es verdad que el oxgeno es necesario para la
vida. Igualmente, decimos Juan sabe ingls y alemn, con el
significado es verdad que Juan sabe ingls y tambin lo es que sabe
alemn. La situacin es similar en lgica simblica: si el tomo p
simboliza una proposicin, la notacin p debe entenderse con el
significado p es verdadera, o es verdad que p. Por ejemplo, si
utilizamos el smbolo p para representar la proposicin atmica el
oxgeno es necesario para la vida la aparicin de p en una frmula
debe entenderse como la afirmacin es verdad que el oxgeno es
necesario para la vida.
En lo que sigue se describe la funcin de los conectivos lgicos,
especficamente entre tomos. Posteriormente se generaliza su funcin
para conectar frmulas en general.
2.4.1 Negacin. Supongamos que el tomo p representa la afirmacin
p: Isabel es calculista. Entonces cualquiera de las afirmaciones
Isabel no es calculista, es falso que Isabel es calculista, es un
hecho que Isabel no es calculista, no es el caso que Isabel es
calculista formas de negar la afirmacin inicial, se representa con
la frmula p. La fbf p, que leeremos no p representa la negacin de
p. En el lenguaje natural corresponde a las expresiones que se
enuncian, a partir de la proposicin representada por p, como no p,
es falso que p, no es cierto que p, p es falsa y otras
equivalentes. Otros ejemplos: Si q representa la afirmacin a=b, q
representa la afirmacin ab; si r representa aA, r representa
aA.
2.4.2 Conjuncin. Si p y q representan proposiciones atmicas, la
cadena de smbolos pq (se lee p y q) representa la conjuncin de
tales proposiciones. Con esta frmula se representan las expresiones
que se enuncian, a partir de las proposiciones representadas por p
y q, como p y q, p pero q, p y tambin q, p y sin embargo q, y otras
equivalentes. Indica la ocurrencia simultnea de las dos
proposiciones. Por ejemplo, si con p y q se representan las
proposiciones Pedro es alto y Pedro es delgado, respectivamente,
entonces con la cadena pq se representa cualquiera de las
afirmaciones Pedro es alto y delgado, Pedro es alto pero delgado,
Pedro es alto y sin embargo es delgado, Pedro es alto aunque tambin
es delgado. El smbolo pq conlleva la afirmacin de que las dos
proposiciones, p y q, son verdaderas; tanto en el contexto de
conjuncin copulativa: Juan es pobre y generoso, como de conjuncin
adversativa: Juan es pobre pero generoso. No olvidemos que en el
proceso de representacin simblica es necesario tener siempre
presentes los significados convencionales. Por ejemplo: la
proposicin Los nmeros 2 y 7 son primos es una proposicin compuesta,
de la forma pq, pero la proposicin Los estudiantes Diego y Andrs
son primos es una proposicin atmica.
2.4.3 Disyuncin. Si p y q representan proposiciones atmicas, la
cadena de smbolos pq (se lee p o q) representa la disyuncin de
tales proposiciones. Corresponde a las expresiones del lenguaje
natural
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que se enuncian, a partir de las proposiciones representadas por
p y q, como p o q, p o q o ambas, por lo menos una, de p y q, y
otras equivalentes. Indica que por lo menos una de las dos
proposiciones es verdadera. Por ejemplo, si p y q representan las
proposiciones los funcionarios de la embajada saben ingls y los
funcionarios de la embajada saben francs respectivamente, entonces
la cadena pq representa las afirmaciones los funcionarios de la
embajada saben ingls o francs, los funcionarios de la embajada
saben por lo menos ingls o francs, los funcionarios de la embajada
saben ingls o francs o los dos.
En el lenguaje cotidiano la disyuncin tiene dos usos. Uno de
estos es conocido como o inclusivo: lo uno, o lo otro, o ambos; el
segundo es conocido como o exclusivo: lo uno, o lo otro, pero no
ambos. El primer caso se presenta, por ejemplo, cuando decimos: Si
ab = 0 entonces a = 0 o b = 0, porque en este caso una de las
opciones no elimina o excluye a la otra, ya que puede ser que
ambos, a y b, sean 0. Lleve con usted la cdula o el pasaporte, es
tambin un ejemplo de uso inclusivo de la disyuncin. En contraste,
Llegar el mircoles en la noche o el jueves en la maana y Permtame
ver su cdula o su pasaporte ilustran usos de la disyuncin en
sentido exclusivo. En el primero de estos casos es evidente que una
alternativa excluye a la otra, pero en el segundo la exclusin es
convencional, pues aun cuando no se espera que el aludido muestre
ambos documentos, la expresin no indica que no pueda hacerlo. El
doble uso de la disyuncin en el lenguaje usual, y la ambigedad que
de ello puede derivarse, son incompatibles con la unicidad de
significados deseable en un lenguaje formal como lo es la lgica
simblica. Para eliminar la ambigedad adoptamos esta convencin: La
disyuncin o ser usada siempre en el sentido inclusivo, es decir, el
smbolo p q tiene siempre el significado p, o q, o ambas. El sentido
exclusivo debe ser declarado explcitamente utilizando la forma o,
pero no ambos, como en x pertenece al conjunto A o x pertenece al
conjunto B, pero no a ambos. Algunas veces se usa la forma o, o...
para significar que la disyuncin es exclusiva, como en o x
pertenece a A, o x pertenece a B, pero esta prctica no es tan
generalizada como para considerarla segura. Es ms precisa la forma
anterior. Tampoco la notacin simblica es nica para la disyuncin
exclusiva, pero nosotros adoptaremos una de las ms utilizadas: p q
(Tenga presente que no es un conectivo proposicional; es un smbolo
creado para denotar un vnculo que, como veremos a continuacin,
puede expresarse por intermedio de los conectivos
proposicionales).
La cadena de smbolos p q indica que alguna de las dos, p o q, es
verdadera, pero que las dos no son simultneamente verdaderas. En
forma simplificada: alguna de las dos pero no las dos. Veamos cmo
utilizar los significados ya estudiados, para representar la
disyuncin exclusiva: alguna de las dos se representa como pq; las
dos, como pq; no las dos, como (pq). Finalmente, alguna de las dos,
pero no las dos, como: (pq)(pq). Por esto adoptamos la siguiente
definicin para el o exclusivo:
p q (pq) (pq).
2.4.4 Condicional. Si p y q representan proposiciones atmicas,
la frmula pq (se lee si p entonces q o, con menos frecuencia, p
implica q), representa la relacin entre p y q que se expresa en
el
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lenguaje usual en cualquiera de estas formas: si p entonces q, p
slo si q, q, si p, es necesario q para p, es suficiente p para q,
no p a menos que q, no es posible que p y no q, y las que les sean
equivalentes. Por ejemplo, supongamos que los tomos p y q
representan estas proposiciones atmicas, p: hoy es martes y q:
maana es mircoles. Entonces, la frmula p q representa las
afirmaciones:
Si hoy es martes, entonces maana es mircoles. Hoy es martes,
solo si maana es mircoles. Maana es mircoles, si hoy es martes. Es
necesario que maana sea mircoles para que hoy sea martes. Es
suficiente que hoy sea martes, para que maana sea mircoles: Hoy no
es martes, a menos que maana sea mircoles. No es posible que hoy
sea martes y maana no sea mircoles.
En un enunciado condicional, la proposicin que acompaa a si es
llamada antecedente; la otra, muchas veces precedida de entonces es
llamada consecuente. Esto significa que al escribir la proposicin
en la forma si p entonces q, si p, q, o en la forma q, si p, p es
el antecedente y q el consecuente. En la proposicin si hoy es
martes, entonces maana es mircoles, hoy es martes es el antecedente
y maana es mircoles es el consecuente.
Es necesario reiterar que el condicional nada afirma sobre la
verdad del antecedente o del consecuente por separado; solo afirma
que si el antecedente es verdadero, el consecuente tambin lo es. En
otras palabras: con el condicional pq se afirma que no es posible
que el antecedente sea verdadero y simultneamente el consecuente
sea falso. Esto se expresa mediante la siguiente definicin:
pq (pq).
Ejemplo 2.4 Supongamos que los tomos p y q representan estas
proposiciones: p: El entero n es divisible por 3 q: La suma de los
dgitos del nmero n es mltiplo de 3. Cada una de las 7 oraciones
siguientes se representa simblicamente como pq! 1. Si el entero n
es divisible por 3 entonces la suma de los dgitos de n es mltiplo
de 3. 2. El entero n es divisible por 3 slo si la suma de los
dgitos de n es mltiplo de 3. 3. La suma de los dgitos del nmero n
es mltiplo de 3 si n es divisible por 3. 4. Es necesario que la
suma de los dgitos de n sea mltiplo de 3, para n sea divisible por
3. 5. Es suficiente que el entero n sea divisible por 3 para que la
suma de sus dgitos sea mltiplo de 3. 6. Un entero no es divisible
por 3, a menos que la suma de sus dgitos sea mltiplo de 3. 7. No es
posible que un entero sea divisible por 3, y que la suma de sus
dgitos no sea mltiplo de 3. Ninguna de las oraciones anteriores
afirma que el entero n es divisible por 3 (antecedente), ni que la
suma de los dgitos de n es mltiplo de 3 (consecuente). Solo afirman
que cada vez que un entero es divisible por 3, la suma de los
dgitos del nmero es mltiplo de 3.
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Usos del condicional. En la seccin anterior mencionamos los usos
diferenciados de la disyuncin o y convinimos en atribuirle sentido
inclusivo salvo que explcitamente se dijera otra cosa para evitar
ambigedad en las aplicaciones de la lgica simblica. Tambin el
condicional se utiliza con diferentes significados, como puede
apreciarlo el lector en los casos siguientes: 1. Si ABC es un
tringulo rectngulo entonces ABC tiene un ngulo recto. 2. Si todo
asesor tributario es contador o economista, y Joaqun es asesor
tributario pero no es economista, entonces Joaqun es contador. 3.
Si una mujer da a luz una nia entonces el sexo de sta fue
determinado por el aporte de un cromosoma X de parte de su
progenitor masculino. 4. Si Adolf Hitler fue un hombre bondadoso,
entonces yo soy San Pedro Claver.
Observe que en el primer caso la relacin entre el antecedente y
el consecuente se origina en la definicin misma de tringulo
rectngulo; en el segundo, el consecuente es una consecuencia lgica
del antecedente; en el tercero, la relacin expresa un hecho de la
naturaleza. Finalmente, en el cuarto caso se tiene la intencin de
negar enfticamente la posibilidad de que el antecedente sea
verdadero. (Posteriormente demostraremos que la lgica proposicional
permite justificar el uso del condicional en este sentido). Estos
usos del condicional pq comparten el mismo carcter esencial:
afirmar que si el antecedente es verdadero, el consecuente tambin
debe serlo, es decir, que no es posible que el antecedente sea
verdadero y simultneamente el consecuente sea falso: No es posible
que ABC sea un tringulo rectngulo y no tenga un ngulo recto; no es
posible que todo asesor tributario sea contador o economista, y que
Joaqun sea asesor tributario pero no economista y sin embargo
Joaqun no sea contador; etc. Como se dijo anteriormente, este
significado se recoge en la definicin pq (pq).
Se recomienda al lector repasar en este momento la seccin 1.8.5,
que establece la relacin entre condicional, condicin necesaria, y
condicin suficiente. Una relacin anloga existe entre el
bicondicional y las condiciones que son simultneamente necesarias y
suficientes.
2.4.5 El bicondicional. Si p y q representan proposiciones, el
smbolo p q (que se lee p si y solo si q) se utiliza como expresin
abreviada de la conjuncin (pq)(qp), y por lo tanto deriva de sta su
significado: si p es verdadera entonces q es verdadera, y si q es
verdadera entonces p es verdadera. (De aqu se deduce que si una de
las dos proposiciones es falsa, la otra tambin lo es). En sntesis,
p q afirma que p y q son ambas verdaderas, o son ambas falsas.
Cuando es verdad que ambas proposiciones tienen los mismos valores
de verdad, decimos que p y q son lgicamente equivalentes y
escribimos pq. En la seccin siguiente estudiaremos el significado
del bicondicional como parte esencial de algunas definiciones y del
enunciado de algunos teoremas. 2.4.5.1 El bicondicional y las
definiciones. En esta seccin nos referimos solamente al tipo de
definiciones llamadas esenciales, en las cuales se estipulan
condiciones suficientes y necesarias para tener la propiedad
definida. Es el caso de definiciones como:
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Un entero positivo es primo si y solo si tiene exactamente dos
divisores positivos: 1 y el mismo entero.
Una cadena, palabra o frase es un palndromo si y solo si se lee
igualmente de izquierda a derecha que de derecha a izquierda
(haciendo caso omiso de los espacios en blanco, si existen) Como es
de esperar, la definicin de un concepto en trminos de condicin
suficiente y necesaria establece condiciones de inclusin y exclusin
en el conjunto de los elementos caracterizados por el concepto. As,
por ejemplo, la definicin de nmero primo incluye en esta categora a
todos los enteros que tienen exactamente dos divisores positivos,
dado que esta es condicin suficiente para ser nmero primo.
Entonces, n = 17 es primo porque tiene dos divisores positivos: 1 y
17. Anlogamente, como los nicos divisores positivos de 23 son 1 y
23, entonces 23 es nmero primo. Adicionalmente, la definicin
excluye de la categora de nmeros primos al 1 y a los enteros que
tienen ms de dos divisores, porque tener exactamente dos divisores
positivos es condicin necesaria para ser primo. Por ejemplo, 9 no
es primo porque tiene tres divisores que son 1, 3, y 9; 1 no es
primo, porque tiene solo un divisor positivo: 1. En el captulo 1
mencionamos el hecho de que si A es condicin suficiente y necesaria
para B, entonces B es tambin condicin suficiente y necesaria para
A, dado que las dos condiciones se implican mutuamente. Para el
caso de la definicin de nmero primo, esto significa que tener
exactamente dos divisores es condicin suficiente y necesaria para
que un nmero sea primo. Entonces, si un enunciado particular afirma
que un entero p es primo, de inmediato sabemos que p es diferente
de 1 y tiene slo dos divisores positivos, que son 1 y p;
igualmente, si un enunciado afirma que un nmero p distinto de 1 no
es primo, de inmediato sabemos que tiene algn divisor d, que es
distinto de 1 y de p mismo. En los ejercicios sobre tcnicas de
demostracin se pide al estudiante probar este resultado: Si p es un
nmero primo, y p no es divisor de a, entonces el mximo comn divisor
de p y a, es 1. En la demostracin se utiliza el hecho de que por
ser p un nmero primo, sus nicos divisores son 1 y p. En cuanto a la
nocin de palndromo, la condicin suficiente o de inclusin indica que
amor a Roma, 20 02 2002 (20 de febrero de 2002), A man a plan a
canal Panama, y el famoso dbale arroz a la zorra el abad, son
palndromos, porque se leen igualmente de izquierda a derecha, que
de derecha a izquierda se hace caso omiso de los espacios entre
palabras. Por otra parte, la condicin necesaria o de exclusin
indica que cadenas como 2003, espritu aventurero, no son
palndromos.
2.4.5.2 El bicondicional y los teoremas. Muchos teoremas son
resultados de la forma H si y solo T. Por ejemplo: 1. El cuadrado
de un entero es par si y solo si el entero es par. 2. El producto
ab es 0 si y solo si a es 0 o b es 0. Estos enunciados establecen
una relacin mutua de suficiencia y necesidad entre dos propiedades.
El primero asegura que es suficiente y necesario que un entero sea
par, para que el cuadrado del entero sea par y asegura tambin que
es suficiente y necesario que el cuadrado de un entero sea par para
que el entero mismo sea par. Esta relacin mutua de suficiencia y
necesidad entre H y T explica por qu cuando uno trata de demostrar
teoremas como stos, debe desarrollar un argumentacin que pruebe
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dos hechos: Uno de ellos, que H es suficiente para T (con lo
cual quedar probado que T es necesario para H); el otro, que T es
suficiente para H (con lo cual quedar probado que H es necesario
para T). Con esto quedar establecida la validez del teorema
propuesto. En la seccin destinada a tcnicas de demostracin
volveremos sobre el tema, y precisaremos las razones que justifican
el procedimiento a seguir en la demostracin de este tipo de
teoremas. En este momento nos interesa solamente que conozca la
relacin entre esta clase de teoremas y el bicondicional.
2.5 REPRESENTACIN SIMBLICA Los elementos desarrollados en la
seccin anterior permiten avanzar hacia uno de los propsitos ms
importantes de este captulo: el uso del lenguaje de la lgica
proposicional para representar simblicamente enunciados en lenguaje
natural. A continuacin se presentan algunos ejemplos.
Ejemplo 2.5 Representar, en el lenguaje de la lgica
proposicional, la frase: Si la sequa persiste no slo se secarn los
pastos sino que aumentarn los incendios forestales
Solucin: Primero se identifican las proposiciones atmicas que
intervienen en el enunciado. Son: la sequa persiste, se secarn los
pastos y aumentarn los incendios forestales. A continuacin se las
representa con tomos: p: La sequa persiste. q: Se secarn los
pastos. r: Aumentarn los incendios forestales. Escribamos el
enunciado original en una forma que permita identificar ms
fcilmente los conectivos que contiene: Si la sequa persiste
entonces se secarn los pastos y aumentarn los incendios forestales.
El contexto, y la forma del enunciado original, indican que la
representacin correspondiente es p (q r).
Ejemplo 2.6 Representar la afirmacin: Se sabe que si contina la
incertidumbre habr un aumento en las tasas de inters y se sabe
tambin que la devaluacin ser acelerada. Utilizaremos los tomos p y
q, con los significados siguientes: p: Contina la incertidumbre q:
Habr alza en la tasa de inters r: La devaluacin ser acelerada.
Entonces, la afirmacin dada se representa como (pq)r.
Ejercicio 2.7 Con base en las mismas proposiciones del ejemplo
anterior, cul debe ser el enunciado si la representacin adecuada es
p(qr)?
Ejercicio 2.8 Considere los enunciados: A: Juan regresa
temprano, y va a misa o se queda en casa. B: Juan regresa temprano
y va a misa, o se queda en casa.
-
61
Determine cul de las representaciones (pq)r, y p(qr), se
corresponde con A y cul con B. Es un hecho que los enunciados A y B
no tienen el mismo significado. Posteriormente veremos que esto se
corresponde con la no equivalencia de las frmulas que los
representan.
Ejemplo 2.9 Representar el razonamiento siguiente, en el
lenguaje de la lgica proposicional: Si es verdad que si llueve
entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian. Si los
estudiantes aprueban el examen entonces, o estudian o el examen es
trivial. Pero si el examen es trivial entonces los estudiantes son
flojos. Y es un hecho que los estudiantes aprueban el examen y no
son flojos. En consecuencia, llueve y los estudiantes no se
acuestan.
Solucin: Inicialmente se simbolizan, mediante tomos, las
proposiciones atmicas involucradas en el razonamiento. Al hacerlo
se tienen en cuenta estos aspectos: Primero: Una proposicin que es
la negacin de otra, se representa con una frmula del tipo p donde
el tomo p representa la proposicin atmica afirmativa. Por ejemplo,
si el argumento contiene el enunciado no llueve, la representacin
ser p, donde p representa la proposicin atmica llueve Segundo:
Cuando se enuncia la proposicin representada por un tomo, se
incluyen el sujeto y el predicado, si existen, aun cuando en el
texto original sean implcitos. Observe, por ejemplo, que en la
lista siguiente el tomo r representa: los estudiantes estudian, y
no simplemente: estudian. Con base en lo anterior, representaremos
las proposiciones atmicas del ejemplo 2.9 as: p: Llueve. q: Los
estudiantes se acuestan. r: Los estudiantes estudian. s: Los
estudiantes aprueban el examen. t: El examen es trivial. v: Los
estudiantes son flojos. Ahora representaremos simblicamente cada
premisa y la conclusin, utilizando los parntesis para reflejar
adecuadamente sus significados: P1. Si es verdad que si llueve
entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian: (p q) r
P2. Si los estudiantes aprueban el examen entonces, o estudian o el
examen es trivial.
s (r t) P3. Si el examen es trivial entonces los estudiantes son
flojos: t v
P4. Es un hecho que los estudiantes aprueban el examen y no son
flojos: s v
C. Llueve y los estudiantes no se acuestan: p q
-
62
Finalmente, el argumento se representa por un condicional que
tiene como antecedente la conjuncin de las premisas y como
consecuente la conclusin. Esta frmula debe incluir adecuadamente
los parntesis como signos de puntuacin, para delimitar las premisas
y la conclusin:
(((p q) r) (s (r t)) ( t v) (s v))( p q)
2.6 CONECTIVOS LGICOS Y TABLAS DE VERDAD
Supongamos que la frmula pq representa la afirmacin 2 es un
nmero primo y sin embargo es par. Esta afirmacin es verdadera,
porque 2 es un nmero primo es una proposicin verdadera y 2 es un
nmero par tambin lo es. Dado que pq es la frmula que representa tal
afirmacin, tiene sentido decir que en este caso la frmula pq es
verdadera. En forma similar, como la afirmacin Roma es la capital
de Grecia o de Noruega es falsa entonces si pq es la fbf que la
representa tiene sentido decir que pq es falsa.
2.6.1 Valores de verdad de un tomo. Suponga que p es un tomo.
Como p puede representar proposiciones verdaderas o proposiciones
falsas, decimos que p puede tener dos valores de verdad, V y F, que
denotamos como v(p)=V y v(p)=F. Los smbolos V y F, que se
interpretan como verdadero y falso respectivamente, reciben el
nombre de constantes lgicas. Como vimos en la seccin 2.2, hacen
parte del alfabeto P de la lgica proposicional.
6.1.2 Valor de verdad de una fbf. Ya hemos definido el valor de
verdad de un tomo. Ahora extenderemos la definicin, y hablaremos
del valor de verdad de una frmula bien formada E. Para esto
utilizaremos la definicin 1 de la seccin 2.3, segn la cual si una
fbf E no es un tomo entonces o es de la forma A donde A es una fbf,
o es de la forma (AB) donde A y B son fbf y un conectivo binario.
Definimos los valores de verdad de A, segn los casos
siguientes:
Caso 1. E=A v(A) = F si v(A)=V; v(A)= V, si v(A)= F. Caso 2.1
E=AB v(AB) =V, si v(A)=v(B)=V; v(AB)=F, en cualquiera otro caso.
Caso 2.2. E=AB v(AB) =F, si v(A)=v(B)=F; v(AB)=V, en cualquiera
otro caso. Caso 2.3. E=AB v(AB =F si v(A)=V y v(B)=F; v(AB)=V, en
cualquiera otro caso. Caso 2.4. E=AB v(AB) =V si y solo si
v(A)=v(B).
Estos resultados se recogen en la Tabla 2 , para el caso en el
cual A y B son tomos. Cada combinacin posible de valores de verdad
de los tomos que intervienen en la frmula se llama una
interpretacin, o una asignacin. La tabla presenta las 4
interpretaciones posibles cuando se consideran dos tomos: (V, V),
(V, F), (F, V) y (F, F). La tabla se construye escribiendo en la
casilla correspondiente el valor de v(A), para el tomo o la frmula
A en el encabezado de la columna correspondiente. Cada columna es
la tabla de verdad del conectivo que la encabeza. Por ejemplo, la
columna 3 es la tabla de verdad de la negacin; la columna 4 es la
tabla de verdad de la conjuncin, etc. Usted debe memorizar esta
tabla, para usos futuros.
-
63
p q p pq pq pq pq V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
1 2 3 4 5 6 7
Tabla 2. Las tablas de verdad de los conectivos
proposicionales
Con excepcin del condicional, los valores asignados en la tabla
anterior reflejan el uso y significado de los conectivos,
estudiados en la seccin 2.4. Por ejemplo, es natural asignar a pq
el valor V si por lo menos uno de los tomos tiene asignado el valor
V, como se observa en las tres primeras filas de la columna 5.
Esto, porque las constantes V y F se han escogido teniendo
presentes los significados de verdadero y falso respectivamente, y
sabemos que una proposicin compuesta representada por pq es
verdadera (sin comillas), si por lo menos una de las proposiciones
representadas por p o q es verdadera. De igual manera, est
plenamente justificada la asignacin de valores de verdad para p y
para pq. Sin embargo, el lector puede preguntarse: con qu criterio
se han asignado los valores V y F para el condicional, en la
columna 6? Por qu v(pq)=V cuando v(p)=F, como se ve en las dos
ltimas filas de la columna 6? En la seccin 2.7 daremos respuesta a
estas preguntas.
Ejemplo 2.10 Dada la frmula C: (pq)(qr), 1. Establecer el nmero
de interpretaciones posibles para la frmula. 2. Determinar el valor
de verdad de C, v(C), para dos de las posibles
interpretaciones.
Solucin: 1. El nmero de interpretaciones est dado por el total
de combinaciones posibles de valores V y F, para los tres tomos p,
q y r que intervienen en la frmula. Como cada tomo puede tomar dos
valores, el total de combinaciones coincide con el nmero de ternas
(_, _, _) en las cuales cada _ puede tomar uno de los valores V o
F. Este nmero es 23=8, es decir, una fbf que contiene tres tomos,
tiene 8 interpretaciones posibles. Una de estas es v(p)=V, v(q)=V y
v(r)=V, que denotamos con la terna (V, V, V). Anlogamente, la
interpretacin v(p)=V, v(q)=F y v(r)=V, se denota con la terna (V,
F, V), etc.
2. Encontraremos el valor de verdad de la frmula C = (pq)(qr),
para las interpretaciones: I1= (V, V, F) e I2= (F, V, F). Los
parntesis en C= (pq)(qr), indican que C es de la forma C=AB, con
A:(pq) y B:(qr). Entonces, v(C) depende de v(A) y v(B). Por esto,
debemos calcular los valores de verdad de pq y qr para estas
interpretaciones, segn lo establecido en la tabla 1. Para la
interpretacin v(p)=V, v(q)=V y v(r)=F, tenemos v(pq)=V. Para
establecer v(qr) procedemos as: Como v(q)=V entonces v(q)=F y,
puesto que v(r) es F, la disyuncin qr tiene valor F. Finalmente,
v((pq)(qr)) es F, para la interpretacin I1.
-
64
Anlogamente, para la interpretacin I2= (F,F,V), es decir,
v(p)=F, v(q)=F y v(q)=V, se obtiene v(pq)=V, y v(qr)=V. En
consecuencia, v(C)=V para esta interpretacin.
Observacin 2.11 Cuando interesa establecer el valor de verdad
para una interpretacin en particular se escribe, directamente
debajo de los tomos y de sus negaciones si aparecen en la frmula
sus valores de verdad, tal como se ve en la lnea 1. A continuacin,
y de acuerdo con la sintaxis de la frmula, se van determinando los
valores de verdad de las subfrmulas (lnea 2) hasta evaluar la
frmula completa (lnea 3). Para I1 =(V,V,F), tenemos: ((p q) (q r))
lnea 1. V V F F lnea 2. V F lnea 3. F Una tabla que muestra el
valor de verdad de una frmula para todas sus interpretaciones
posibles, se llama tabla de verdad de la frmula. Se construye
listando las 2n interpretaciones posibles, donde n es el nmero de
tomos en la frmula. Luego se procede a establecer los valores de
verdad de las subfrmulas, hasta obtener la evaluacin de la frmula
completa. Como ejemplo, se muestra la tabla de verdad de la frmula
A: ((p(qr))(pq))r.
p q r q qr p(qr) pqq (p(qr))(pq) ((p(qr))(pq))r
V V V F V V F F V
V V F F V V F F V
V F V V V V V V V
V F F V F F V F V
F V V F V V F F V
F V F F V V F F V
F F V V V V F F V
F F F V F V F F V
Tabla 3. Tabla de verdad de la frmula ((p(qr))(pq))r
Observe que A tiene tres tomos y por lo tanto hay 23 = 8
interpretaciones, que deben disponerse ordenadamente como se ve en
las tres primeras columnas. Adems, hay algo notorio en esta tabla:
la ltima columna de la derecha muestra que el valor de verdad de A
es V, independientemente de cul sea la interpretacin. Frmulas como
esta, que son verdaderas para todas sus interpretaciones, se
conocen con el nombre de tautologas, y constituyen el fundamento de
las aplicaciones de la lgica simblica al estudio de validez de
razonamientos, como veremos oportunamente. Esta nocin y otras
relacionadas con los valores de verdad de una frmula, se presentan
en seguida.
-
65
Se dice que una frmula A es satisfacible, si existe alguna
interpretacin que la hace verdadera. Este es el caso de la frmula
A: pq, que es verdadera para v(p)=F y v(q)=V. Una frmula es una
tautologa, si v(A)=V para todas las interpretaciones posibles de A.
La notacin - A se usa para indicar que A es una tautologa. Una fbf
A es una contradiccin, o es una frmula insatisfacible, si v(A)=F
para todas sus interpretaciones. Las contradicciones tienen la
forma AA, para cada fbf A. Finalmente, una fbf es una contingencia,
si v(A)=V para alguna interpretacin, pero v(A)=F para alguna otra,
como en el caso de p(qr). Si una frmula es satisfacible, llamaremos
modelo para la frmula a cualquier interpretacin que la haga
verdadera
2.7 FRMULAS LGICAMENTE EQUIVALENTES. Consideremos los enunciados
siguientes: A. Juan desayuna con tostadas, y caf o chocolate:
p(qr). B. Juan desayuna con tostadas y caf, o con tostadas y
chocolate: (pq)(pr). En A se establece que Juan desayuna con
tostadas, acompaadas de caf o chocolate (o exclusivo?, inclusivo?).
Por tanto, el desayuno de Juan es tostadas y caf, o tostadas y
chocolate, precisamente lo que se establece en el enunciado B. Uno
dice que A y B son enunciados equivalentes para indicar que tienen
idntico significado. Ahora bien: las tablas de verdad de las
frmulas A: p(qr) y B: (pq)(pr), que representan los enunciados A y
B respectivamente, son iguales. Esto sugiere que podemos formalizar
el concepto de equivalencia, mediante valores de verdad. Lo hacemos
en la definicin siguiente:
p q r qr p (qr) ( p q) ( p r ) ( p q) (p r ) V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F V F F F F
F F V V F F F F
F F F F F F F F
Tabla 4. Dos proposiciones lgicamente equivalentes
Definicin 2.12 Dos frmulas A y B son lgicamente equivalentes, (o
equivalentes) si y solo si tienen el mismo valor de verdad para
cada posible interpretacin comn.
El hecho de que A y B son lgicamente equivalentes se denotar en
este libro con A B o con B A. Estas expresiones se leen como A es
equivalente a B y B es equivalente a A, respectivamente. El
resultado siguiente expresa una relacin muy importante entre el
bicondicional y la equivalencia lgica:
-
66
Teorema 2.13 Dos frmulas A y B son lgicamente equivalentes, si y
solo si la frmula A B es una tautologa.
Demostracin: Como este teorema establece una condicin suficiente
y necesaria para la equivalencia de fbfs en este caso es necesario
(ver seccin 2.4.5.2) demostrar la validez de dos afirmaciones: 1.
Si A y B son lgicamente equivalentes entonces la frmula A B es una
tautologa. 2 Si la frmula A B es una tautologa entonces A y B son
lgicamente equivalentes.
Demostracin de 1: Supongamos que A y B son lgicamente
equivalentes. Mostraremos que AB es una tautologa, es decir, que
v(AB) = V para todas las interpretaciones. Supongamos que para
alguna interpretacin v(A)=V. Entonces, para esa interpretacin
v(B)=V (porque son lgicamente equivalentes) y por tanto, v(AB)=V.
Igualmente, si v(A)=F para una interpretacin, tambin v(B) = F y
v(AB)=V. Esto muestra que v(AB)=V para todas las interpretaciones
comunes de A y B. En consecuencia, la frmula A B es una tautologa,
como lo afirma el teorema.
Demostracin de 2: Supongamos ahora que la frmula AB es una
tautologa. Esto significa que, para cada interpretacin comn de las
frmulas A y B, v(AB)=V. Pero el bicondicional es V solo cuando A y
B tienen el mismo valor de verdad, en cuyo caso AB, tal como lo
asegura el teorema.
La tabla 5 muestra, en las columnas 5 y 6, la equivalencia
(pq)(qp) entre la frmula pq y su contrarrecproca o contrapositiva
qp. Esta equivalencia tiene un significado muy claro en trminos de
de suficiencia y necesidad: si p es suficiente para q, entonces q
es necesario para p; es decir, si no se da q entonces no se puede
dar p. Por ejemplo, la afirmacin: si un tringulo es equiltero
entonces tiene sus lados iguales es equivalente a su afirmacin
contrarrecproca: si un tringulo no tiene sus tres lados iguales
entonces no es equiltero. Observe, en la columna 7, que el
bicondicional (pq)(qp) es una tautologa, de conformidad con el
teorema anterior.
p q p q pq qp (pq)(qp)
V V F F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
1 2 3 4 5 6 7
Tabla 5. La equivalencia lgica (pq)(qp) Ahora el lector est en
condiciones de responder estas preguntas:
Qu se requiere para probar que dos frmulas dadas no son
lgicamente equivalentes?
Si dadas dos frmulas A y B usted encuentra que v(A)=v(B) para
alguna interpretacin, puede concluir que son lgicamente
equivalentes?
-
67
Dadas dos frmulas A y B usted encuentra que v(A) v(B) para
alguna interpretacin, qu puede concluir ?
Ejercicio 2.14 Decida si la frmula A: (pq) es equivalente con
alguna de las frmulas B: pq o C: p q . Qu conclusin obtiene
respecto a cmo negar una disyuncin? Cmo se niega entonces la
afirmacin Juan est en cine o en el estadio? Cul es la forma
correcta de negar la afirmacin Juanita es novia de Pedro o de Juan?
Ejercicio 2.15 Decida si la frmula A: (pq) es equivalente con
alguna de las frmulas B: pq o C: p q . Qu conclusin obtiene
respecto a cmo negar una conjuncin? Cal es la forma correcta de
negar la afirmacin Juana sabe ingls y francs? Puede afirmarse que
la negacin del enunciado anterior es equivalente a Juana sabe ingls
pero no francs, o Juana sabe francs pero no ingls? Recuerde que
ahora usted cuenta con definiciones y criterios formales para
responder en forma correcta preguntas como las anteriores.
Definicin 2.16 El condicional si q entonces p, se llama recproco
del condicional si p entonces q.
De acuerdo con esta definicin, el recproco de si m es divisor de
n y de s entonces m es divisor de la suma n+s, es el condicional si
m es divisor de la suma n+s, entonces m es divisor de n y de s; el
recproco de si una palabra es aguda entonces tiene acento en la
ltima slaba es si una palabra tiene acento en la ltima slaba
entonces es aguda. Estos ejemplos le indican que el recproco de un
condicional verdadero puede ser falso, como en el primer caso
(muestre un contraejemplo), o puede ser verdadero, como en el
segundo caso.
Definicin 2.17 La frmula B A es la recproca de la frmula A B
Ejercicio 2.18 Muestre que A B y su recproca B A no son
lgicamente equivalentes. Relacione este hecho con los ejemplos que
acompaan a la definicin 2.16 Ejercicio 2.19 Muestre que las frmulas
A B y AB, son lgicamente equivalentes.
Observacin 2.20 Tambin la equivalencia anterior se corresponde
con la igualdad de significados en expresiones del lenguaje
natural. La lista siguiente presenta algunos ejemplos; a la
izquierda en forma de condicional A B, y a la derecha el enunciado
equivalente en la forma AB ( o B A)) 1. Si miente entonces no podr
creerle nunca ms. No mienta, o no podr creerle nunca ms. 2. Si
llega tarde perder el cupo. No llegue tarde, o perder el cupo. 3.
Si es mdico sabe primeros auxilios. Sabe primeros auxilios, o no es
mdico. La equivalencia del ejercicio 2.19 da respuesta a las
preguntas que se formularon en la pgina 63, sobre los valores del
condicional de la columna 6 en la tabla 2: sus valores se han
escogido para que coincidan con los valores de la frmula pq. De
alguna manera, podramos decir que pq es, por definicin, equivalente
a pq.
-
68
2.8 EQUIVALENCIAS Y CLCULO PROPOSICIONAL.
Una aplicacin importante de la equivalencia lgica es la
simplificacin o manipulacin de frmulas, sin alterar su valor de
verdad. Esto, porque la aplicacin de cada equivalencia cambia la
frmula a la cual se aplica, por otra con la cual es lgicamente
equivalente. Por ejemplo, se puede mostrar, aplicando algunas
equivalencias de la tabla 6 (pgina siguiente) que ((pq) (pr)
((pq))) p, como veremos en un momento. El proceso de simplificacin
de fbfs es tan similar al de simplificacin algebraica que usted
conoce, que a veces se le llama mtodo algebraico. La simplificacin
es importante en s misma porque produce frmulas ms sencillas, pero
con igual significado. Adems es importante porque genera
habilidades en otra clase de clculos, con el consiguiente beneficio
en la capacidad para manipular smbolos no numricos.
En la tabla 6 se presentan las equivalencias ms importantes para
nuestros propsitos. Usted debe aprenderlas con su nombre y
significado. Para esto es conveniente que idee trminos propios para
enunciar cada ley en forma tan descriptiva como le sea posible. Por
ejemplo, usted puede aprender la ley del tercio excluido AA V
describindola como la expresin de que una frmula es verdadera o es
falsa y no hay una tercera alternativa, es decir, queda excluida
cualquiera otra posibilidad. Puede conceptualizar la ley de
dominacin VAV, como la expresin simblica de que cuando uno de los
miembros de una disyuncin es verdadero, la disyuncin tambin lo es
independientemente del otro, o , alternativamente verdadero o algo,
es verdadero, como a veces lo aprenden los estudiantes, etc. Por
otra parte, conviene pensar que los smbolos V y F, de mucha
utilidad en el proceso de simplificacin, son formas simplificadas
de denotar una tautologa y una contradiccin, respectivamente. Las
dos leyes conmutativas encabezan la lista de equivalencias, con el
propsito de que el lector las aplique en las equivalencias
posteriores, cuando lo requiera. Por ejemplo, la ley 2 tercio
excluido se ha expresado como AAV pero igualmente puede expresarse
como AAV.
Observe que, con pocas excepciones, las equivalencias de la
tabla 6 se han agrupado en parejas. Cada frmula de la pareja se
llama el dual de la otra. Por ejemplo, el dual de AAV es AAF. El
dual de una frmula A es la frmula que se obtiene sustituyendo en
ella cada aparicin del conectivo por el conectivo ; cada aparicin
del conectivo por el conectivo ; cada aparicin de la constante V,
por F y cada aparicin de la constante F por V. Por ejemplo, el dual
de p(q(rV)) es p(q(rF)). Este hecho debe facilitar al lector el
aprendizaje de las equivalencias, pues es suficiente aprender una y
construir su dual, para obtener la otra equivalencia.
-
69
Leyes Nombre
1. ABBA
1. ABBA
Leyes conmutativas
2. AAV
2. AAF
Ley del tercio excluido Ley de contradiccin
3. AFA
3. AVA
Leyes de identidad
4. AVV
4. AFF
Leyes de dominacin
5. AAA
5. AAA
Leyes de idempotencia
6. (A)A Ley de doble negacin 7. (AB)CA(BC) 7. (AB)CA(BC)
Leyes asociativas
8. (AB)(AC)A(BC) 8. (AB)(AC)A(BC)
Leyes distributivas
9 (AB)(BA) Ley de trasposicin 10. (AB)AB 10. (AB)AB
Leyes de De Morgan
11. A B AB Def. de condicional
Tabla 6. Algunas equivalencias importantes
Ejemplo 2.21. Muestre que la expresin (pp)q puede reducirse a q,
es decir, (pp)q q. 1. (pp)q Vq (Por la ley del tercio excluido, con
A = p, pp V). Entonces se remplaza pp por su equivalente V. 2. Vq q
(Por la ley de identidad para la conjuncin, con A = q)
Ejercicio 2.22 Establecer la equivalencia siguiente,
transformando la frmula de la izquierda en la de la derecha,
mediante el uso de equivalencias conocidas (Mtodo algebraico) ((pq)
(pr)) ((pq)) p 1. ((pq)(pr)) ((pq)) ((pq)(pr)) ((p)q) L. de De
Morgan 2 ((pq)(pr))(pq) L. doble negacin. 3 (p(qr))(pq) L.
distributiva 4 p((qr)q) L. distributiva 5 p((qq)r) L. conmutativa +
L. asociativa 6 p(Fr) L. de contradiccin. 7 pF L. de dominacin 8 p
L. de identidad.
-
70
2.9 CONSECUENCIA LGICA. Nos proponemos ahora formalizar la nocin
de consecuencia lgica, en el marco de la lgica simblica.
Naturalmente, esta formalizacin debe reflejar el uso cotidiano del
concepto, segn el cual B es consecuencia lgica de A, cuando la
ocurrencia de A ocasiona necesariamente la ocurrencia de B.
Ejemplo 2.23 Consideremos este bloque de proposiciones: Todos
los mircoles la universidad presenta un grupo de cuenteros, o un
grupo musical. Adems, no se hace una presentacin de la misma clase
de grupos en dos mircoles seguidos. Hoy es mircoles, y el pasado
mircoles se present un grupo musical.
Uno deduce como consecuencia lgica de estos hechos (premisas),
que la universidad presenta hoy un grupo de cuenteros Est de
acuerdo? Dado que en el dominio de la lgica simblica los hechos se
representan por medio de frmulas; su validez simultnea por medio de
conjunciones; y la causalidad por medio de condicionales, es
natural que la nocin formal de consecuencia lgica se d en funcin de
estos elementos.
Definicin 2.24 Supongamos que P1, P2,Pn y Q, son frmulas bien
formadas. Se dice que Q es consecuencia lgica de P1, P2,,Pn, si y
solamente si el condicional (P1P2Pn)Q es una tautologa.
Para indicar que Q es consecuencia lgica de P1, P2,, Pn se
utiliza la notacin {P1, P2,, Pn} Q. Veamos cmo se aplica esta
definicin al ejemplo 2.23: Para empezar, se representan
simblicamente las proposiciones atmicas contenidas en las premisas:
p: Es mircoles q: La universidad presenta hoy un grupo de
cuenteros. r: La universidad presenta hoy un grupo musical. s: El
mircoles pasado la universidad present un grupo de cuenteros. t: El
mircoles pasado la universidad present un grupo musical. Con base
en lo anterior, se representan las premisas en smbolos de la lgica
proposicional: P1. p qr P2. sq P3. tr
P4. pt
En el ejemplo se afirm que de este grupo de premisas se deduce
como consecuencia lgica que La universidad presenta hoy un grupo de
cuenteros. Esto, de acuerdo con la definicin 2.24, es cierto si y
solo si el condicional ((P1P2P3P4)q, es una tautologa, es decir, si
y solo si la frmula A siguiente es una tautologa:
A: ((p qr)( sq)(tr)(pt))q
-
71
Es posible establecer que A es una tautologa, sin necesidad de
hacer la tabla de verdad completa con sus 25 interpretaciones. En
efecto, es suficiente considerar solamente las interpretaciones en
las cuales cada premisa tiene valor V, porque si alguna tiene valor
F entonces el valor del antecedente es F (recuerde que es una
conjuncin) y de hecho v(A)=V en este caso. Entonces, se supone que
v(Pi) =V para cada premisa Pi y se procede a calcular el valor de
verdad del consecuente. Si ste es V, la frmula es una
tautologa.
En la primera lnea del arreglo siguiente hemos asignado el valor
V al conectivo principal de cada premisa, para indicar que ella es
verdadera. El subndice 1
indica que sta ha sido la primera asignacin de valores de
verdad; adems, usamos el mismo subndice en cada premisa, para
indicar que la asignacin ha sido simultnea. (( p q r ) ( s q ) ( t
r ) ( p t )) q V1 V1 V1 V1
A continuacin procuramos establecer qu valores deben tener las
subfrmulas de cada premisa, para que ella tenga el valor V
asignado. Recuerde que si la premisa es un condicional A B hay tres
interpretaciones posibles: (V, V), (F, V) y (F, F). Entonces,
considerar cada posibilidad, para cada condicional, hara el proceso
tal vez ms complicado que elaborar la tabla completa. Por esta razn
elegimos la conjuncin (pt) para continuar el proceso. Ya sabemos
que v(pt) = V. Esto sucede si y solo si v(p)=V y v(t)=V. Esta
inferencia se agrega al paso anterior, como se ve a continuacin. El
subndice 2 indica que esta ha sido la segunda inferencia en el
proceso.
(( p q r ) ( s q ) ( t r ) ( p t )) q V1 V1 V1 V2V1V2
A continuacin se trasladan los valores obtenidos de p y t a las
frmulas que los contienen, identificados con el subndice 3, como se
ve a continuacin:
(( p q r ) ( s q ) ( t r ) ( p t )) q V3 V1 V1 V3 V1 V2V1V2
En el primero y en el tercer condicionales, de izquierda a
derecha, se conocen el valor del condicional y el de su
antecedente. En ambos casos se tiene la situacin que podramos
describir como un condicional verdadero con antecedente verdadero,
la cual exige que el consecuente tenga el valor V. Estas
inferencias se incorporan al desarrollo, indicadas con el subndice
4. Tenga presente que en el condicional t r, es r la frmula que
tiene valor V. Por lo tanto v4 va directamente bajo el smbolo .
(( p q r ) ( s q ) ( t r ) ( p t )) q V3 V1 V4 V1 V3 V1 V4
V2V1V2
Llegados al punto anterior, tenemos dos subfrmulas con valor
conocido, para continuar el anlisis: qr y r. Como v(qr)=V origina
varias opciones, escogemos v(r)=V, de la cual se infiere, en quinto
lugar, que v(r)=F. Trasladamos este resultado a r como F6 en la
disyuncin:
(( p q r ) ( s q ) ( t r ) ( p t )) q V3 V1 V4 F6 V1 V3 V1 V4 F6
V2V1V2
-
72
Finalmente, de v(qr)=V pero v(r)=F, se concluye que v(q)=V, lo
que registramos en la estructura anterior de valores de verdad como
V7Tenemos entonces:
(( p q r ) ( s q ) ( t r ) ( p t )) q (*) V3 V1 V7 V4 F6 V1 V3
V1 V4 F5 V2V1V2 V7
Hemos llegado as a la conclusin de que las interpretaciones que
hacen verdadero el antecedente -la conjuncin de las premisas- hacen
necesariamente verdadero el consecuente q. Por lo tanto, el
condicional es una tautologa, lo cual demuestra que q es
consecuencia lgica del conjunto dado de premisas: {p qr, sq, tr,
pt} q
En la prctica, el proceso de asignacin se hace en un solo
rengln, que se ver finalmente como (*). Es indispensable indicar
con subndices el orden de las inferencias parciales para que, de
ser necesario, usted mismo, o alguien que lee su trabajo, pueda
reconstruir el proceso.
2.10 RAZONAMIENTO VLIDO.
La nocin formal de consecuencia lgica permite a su vez
formalizar el concepto de razonamiento vlido, en el sistema de la
lgica proposicional. Definicin 2.25 Sea R = ({P1, P2,, Pn}, C) un
razonamiento deductivo de premisas P1, P2,, Pn y conclusin C. Este
razonamiento R es vlido si y solo si C es consecuencia lgica de P1,
P2,, Pn. La definicin anterior puede entonces expresarse as El
razonamiento R = ({P1, P2,, Pn}, C) es vlido, si y solo si {P1,
P2,, Pn} C
De acuerdo con esta definicin, el procedimiento para decidir si
un argumento deductivo es o no vlido es el siguiente: Se representa
el argumento en el lenguaje L(P) de la lgica proposicional, en la
forma de un condicional (P1P2Pn)C, donde las frmulas P1,, Pn
representan las premisas, y C la conclusin. Si este condicional es
una tautologa, el razonamiento deductivo es vlido; si no lo es, el
razonamiento es no vlido. En este caso es necesario mostrar una
interpretacin que hace verdaderas a las premisas y falsa a la
conclusin. A tal interpretacin se le llama un contraejemplo.
Ejercicio 2.26 Muestre que el razonamiento en el ejemplo 2.9 de
la pgina 61 es vlido.
El criterio de validez para razonamientos deductivos es un
criterio correcto y completo. Esto significa que cuando el criterio
indica que un razonamiento deductivo es vlido, efectivamente lo es;
y que si un razonamiento es vlido, la aplicacin del criterio as lo
establecer. Sin embargo, es conveniente anotar que el disponer de
este criterio no significa necesariamente eliminar de la prctica
cotidiana el anlisis informal. El criterio aqu expuesto es una
herramienta til cuando se exige un mtodo formal de deduccin o
cuando la complejidad del argumento no permite mostrar
informalmente que la conclusin es consecuencia lgica de las
premisas.
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73
2.11 REGLAS DE INFERENCIA. DEDUCCIN NATURAL
Si el condicional (P1P2Pn)C que representa un razonamiento
deductivo contiene n tomos o variables proposicionales, la tabla de
verdad correspondiente tiene 2n filas una por cada interpretacin.
Aun cuando slo requerimos considerar aquellas lneas en las cuales
todas las premisas son verdaderas, en la prctica el nmero de
interpretaciones que deben considerarse puede ser todava muy alto.
Una forma alternativa de establecer la validez de un argumento es
usar el mtodo de deduccin natural, que consiste en deducir la
conclusin a partir de las premisas mediante el uso de un conjunto
de reglas llamadas reglas de inferencia. Estas reglas son esquemas
deductivos cuya validez aceptamos sin discusin, y que se
corresponden con estructuras simples de razonamiento vlido
identificadas como tales en la lgica clsica. Un ejemplo es la regla
Modus Ponens, denotada como {A, A B} B. As se simboliza en el
lenguaje L(P) una regla natural de deduccin que aplicamos
inconsciente pero permanentemente: Si es un hecho que se da A y es
un hecho que cada vez que se da A, se tiene que dar B entonces se
da B. Como puede verse, es una regla de aplicacin espontnea y
cotidiana: Si es mircoles, y si cuando es mircoles tengo clase de
lgica, entonces es natural concluir que tengo clase de lgica. Tan
naturales como la anterior, son las reglas de inferencia o deduccin
que se listan a continuacin. El lector debe aprender cada regla con
el nombre correspondiente, y estar en capacidad de identificarlas
cuando las utilice en el proceso de determinar la validez de un
razonamiento deductivo.
1. Modus Ponens (MP) : {A, AB} B 2. Modus Tollens (MT): {AB,B} A
3. Silogismo Hipottico (SH): {AB, BC} AC 4. Silogismo Disyuntivo
(SD): {AB, A} B {AB, B} A 5. Dilema Constructivo (DC): {(AB), (CD),
AC} BD 6. Simplificacin (Sim): {AB} A {AB} B 7. Conjuncin (Con):
{A, B} AB 8. Adjuncin (Adj): {A} A B {A} B A Como en el caso de la
tabla de equivalencias (Tabla 6, Pg. 69) es bueno idearse formas de
recordar el significado de las reglas, formas que pueden ser
graciosas sin que signifiquen trivializar el tema bajo estudio. En
particular, uno puede recordar la Modus Ponens como la regla del:
si...s, entonces s; la Modus Tollens como la regla del: si... no,
entonces no; el silogismo hipottico, como soar no cuesta nada,
etc.
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74
Ejemplo 2.27 Para ilustrar el uso de la deduccin natural,
estableceremos por este mtodo la validez del razonamiento
considerado en el ejemplo 2.23:
Todos los mircoles la universidad presenta un grupo de
cuenteros, o un grupo musical. Adems, no se hace una presentacin de
la misma clase de grupos en dos mircoles seguidos. Hoy es mircoles,
y el pasado mircoles se present un grupo musical. Por lo tanto, la
universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
Los smbolos que se utilizaron para representar las proposiciones
atmicas fueron: p: Es mircoles q: La universidad presenta hoy un
grupo de cuenteros. r: La universidad presenta hoy un grupo
musical. s: El mircoles pasado la universidad present un grupo de
cuenteros. t: El mircoles pasado la universidad present un grupo
musical. Con base en lo anterior, las premisas y la conclusin
quedan representadas en esta forma: P1. p qr P2. sq P3. tr
P4. pt C. q Ahora utilizaremos deduccin natural para derivar la
conclusin. Las inferencias graduales constituyen nuevas premisas y
que se identifican como tales por el smbolo . En cada lnea se citan
las premisas involucradas y la regla de inferencia que se aplic en
ese momento del proceso. Este se termina, cuando se llega a la
conclusin.
P1 p qr (Premisa) P2 sq (Premisa) P3 tr (Premisa) P4 pt
(Premisa) P5 t (Sim. 4) P6 r (MP 3,5) P7 p (Sim. 4) P8 qr (MP 1,7)
C. q (SD 6,8)
Ejemplo 2.28 Utilizar deduccin natural para establecer la
validez del razonamiento en el caso del ejemplo 2.9 de la pgina 61.
Las premisas y la conclusin del razonamiento fueron representadas
de esta forma: P1 (p q) r P2 s (r t)
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P3 t v
P4 s v
C p q Deduccin: P1 (p q) r (Premisa) P2 s (r t) (Premisa) P3 t v
(Premisa) P4 s v (Premisa) P5 s (Sim 4) P6 v (Sim 4) P7 r t (MP 2,
5) P8 t (MT 3, 6) P9 r (SD 7, 8) P10 (r) (DN 9) (DN: Doble Negacin)
P11 (pq) (MT 1,10) P12 ((pq)) (Def. Condicional) C pq (DN 12)
Ejemplo 2.29 Utilice deduccin natural para deducir que r es
consecuencia lgica de este conjunto de premisas {pq, p(rq), (sr)q,
s} Solucin: Que r sea consecuencia lgica del conjunto dado de
premisas es equivalente a afirmar que el razonamiento siguiente es
vlido: P1 pq P2 p(rq) P3 (sr)q P4 s C r Deduccin: P1 pq (Premisa)
P2 p(rq) (Premisa) P3 (sr)q (Premisa) P4 s
P5 sr (Adj, 4) P6 q (MP 3, 5) P7 p (MT 1, 6) P8 rq (MP 2, 7) C r
(MT 6, 8)
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76
Para establecer la validez de un argumento, se muestra que la
conclusin es consecuencia lgica de las premisas. Esto significa
probar que la frmula que lo representa es una tautologa, o,
alternativamente, utilizar deduccin natural para derivar la
conclusin a partir de las premisas. Naturalmente, si el
razonamiento es invlido lo anterior no ser posible. En este caso
debe mostrarse un contraejemplo, es decir, mostrar que s hay alguna
interpretacin para la cual todas las premisas son verdaderas y sin
embargo la conclusin es falsa. Si usted asegura que un razonamiento
no es vlido, debe mostrar siempre un contraejemplo; no es
suficiente argumentar que no se puede llegar a la conclusin.
Ejemplo 2.30 Decidir si el razonamiento representado a
continuacin es vlido o es invlido: P1. p (qr) P2. q (st) P3. t
u
P4. (us) C. p Razonemos de esta manera: Las tres primeras
premisas son condicionales... pero un condicional nada nos asegura
sobre la verdad del antecedente o del consecuente. Entonces no
podemos hacer ninguna inferencia a partir de ellas. Buscamos si hay
una premisa formada por la disyuncin de los antecedentes de un par
de estos condicionales (pq o pt o qt), con el fin de utilizar la
regla de Dilema Constructivo, pero no la hay. Se concluye as que no
hay un proceso deductivo que pueda iniciarse con alguna de las tres
primeras premisas, y por tanto examinamos la posibilidad de
iniciarlo con la cuarta premisa. Esta es equivalente a la conjuncin
us, de la cul s podemos hacer nuevas inferencias, aplicando la
regla de simplificacin: A continuacin se presenta el desarrollo
obtenido a partir de esta nica opcin: P1. p (qr) P2. q (st) P3. t
u
P4. (us) P5 us (Ley de De Morgan, en 4) P6 u (Simplificacin, en
5) P7 s (Simplificacin, en 5) P8 t (Modus tollens, 6 y 3) P9 st(st)
(Conjuncin 7 y 8, equivalencia ley de De Morgan) P10 q (Modus
tollens, 9 y 2) Hasta el momento se ha inferido q, pero la
conclusin del razonamiento es p. Y como p figura solamente en P1,
se concluye que tendramos que deducir (qr) para deducir
posteriormente p, por Modus Tollens. Ahora bien: (qr) qr y en P10
tenemos q. Entonces, requerimos r. Sin embargo, nada permite
deducir r porque ni aparece en las premisas, ni es una tautologa.
Por eso en este punto es razonable conjeturar que el razonamiento
es invlido. Para probarlo, debemos encontrar una
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77
interpretacin para la cual todas las premisas son verdaderas y
la conclusin falsa. Veamos: P10 establece que v(q)=F. De manera que
tomando v(r)=V, se tiene v(qr)=V. Entonces, tomando v(p) = V se
garantiza que la primera premisa es verdadera. De esto se desprende
que v(p)=F, en contra de lo que dice la conclusin, que afirma que p
es verdadera. Finalmente, para la interpretacin v(p) = v(r) =V,
v(q) = v(s) = v(t) = v(u) = F, todas las premisas son verdaderas y
la conclusin falsa. Este contraejemplo muestra que el razonamiento
no es vlido.
2.12 REGLA DE LA DEDUCCIN. En muchos casos la conclusin de un
razonamiento es un condicional. Esto sucede prcticamente en todos
los teoremas. Consideremos por ejemplo estos resultados: R1. Si a y
b son nmeros reales positivos entonces, si a
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Ejemplo 2.31 Probar que {pq, rq, stu, prs} qu
Premisas: Deduccin: P1 pq P5 q (RD) P2 rq P6 p (MT 1, 5 ) P3 stu
P7 r (MT 2, 5) P4 prs P8 pr (Con 6, 7) P9 s (MP 4, 8) P10 st (Adj
9) P11 u (MP 3, 10) P12 qu (RD: Regla de la deduccin) El proceso
anterior muestra que u es consecuencia lgica de las premisas dadas,
es decir, muestra que {pq, rq, stu, prs, q} u . Entonces, por la
Regla de la Deduccin se concluye que {pq, rq, stu, prs} qu. Ejemplo
2.32 A continuacin presentamos, a manera de ejemplo la demostracin
del resultado R1. Su comprensin slo requiere algunos elementos de
lgebra bsica: P1 a es un real positivo P2 b es un real positivo P3
a
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La desconexin simblica entre las premisas y la conclusin sugiere
la invalidez del razonamiento. En efecto, suponga que ya se tiene
una asignacin de valores que hace verdaderas a las premisas. Es
suficiente aadir v(s)=F, y esto permite concluir que el
razonamiento es invlido. La tabla siguiente presenta los valores de
las premisas, para las 8 interpretaciones posibles de la terna (p,
q, r):
p q r pq pr qr
V V V V V F
V V F V V F
V F V F V F
V F F F V V
F V V V V F
F V F V F F
F F V V V F
F F F V F V
Tabla 7 . Un conjunto inconsistente de premisas
Observe que cada interpretacin hace falsa por lo menos a una de
las premisas. En este caso decimos que las premisas son
inconsistentes y por extensin, que el argumento es inconsistente
para significar que no pueden aceptarse simultneamente como
premisas de un argumento convincente (Recuerde que un argumento
convincente es vlido y sus premisas deben ser verdaderas). Lo
extrao de los argumentos inconsistentes, desde el punto de vista de
la lgica formal, es que son vlidos. Este razonamiento es vlido,
porque v(((pq)(pr)(qr))=F para cada posible interpretacin y por lo
tanto el condicional ((pq)(pr)(qr))s es una tautologa. La conclusin
es sorprendente: sin importar qu interpretacin se d al tomo s, el
condicional es una tautologa; es decir: no importa cual sea la
conclusin del razonamiento, todo razonamiento que tenga las
premisas de este ejemplo es un razonamiento vlido. Sin embargo, no
puede ser convincente, porque para ello tiene que tener todas sus
premisas verdaderas y como vemos, esto es imposible.
Definicin 2.34 Se dice que un conjunto de premisas es
inconsistente, si es imposible que sean simultneamente verdaderas.
Si el conjunto de premisas de un razonamiento es inconsistente,
diremos que el razonamiento es inconsistente o contradictorio.
La definicin indica que para cada interpretacin posible de las
frmulas que representan a un conjunto inconsistente de premisas, el
valor de por lo menos una de ellas es F. Por lo tanto, cualquier
condicional que tenga como antecedente la conjuncin de tales
premisas ser verdadero, independientemente de qu se tome como
consecuente del condicional. En principio, esto significa que
cualquier cosa puede deducirse vlidamente de un conjunto
inconsistente de premisas y, tericamente esto despojara de valor a
cualquier conclusin que se derive de un conjunto inconsistente de
premisas De qu puede servir un
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80
conjunto de premisas que permite deducir tanto una afirmacin
como su contradictoria? Si en la aplicacin del mtodo deductivo al
anlisis de un razonamiento se deducen tanto A como su frmula
contradictoria A, se puede establecer de inmediato la validez del
razonamiento independientemente de cual sea la conclusin Q. En
efecto, supongamos que en algn punto del proceso se tiene P1 ----
P2 ---- .
.
.
Pm A .
.
.
Pn A
A partir de este momento podemos argumentar as: Por adjuncin, en
la lnea m obtenemos Pn. AQ Y por silogismo disyuntivo entre las
lneas n y n, se obtiene la conclusin Q: C: Q Con lo anterior, queda
establecido que cualquiera sea la conclusin Q, ella puede derivarse
en forma vlida como consecuencia lgica de tal conjunto
inconsistente de premisas. Apliquemos las anotaciones anteriores al
ejemplo 6 de la pgina anterior: P1. pq P2. pr P3. qr P4 q (Sim 3)
P5 r (Sim 3) P6 p (MT 1, 4) P7 (p) (MT 2, 5) P8 p (DN 7) (Aqu es
evidente la inconsistencia: P6, P8) P9 ps (Adj 8 ) C s (SD 6, 9)
Para finalizar este captulo anotemos que, independientemente del
origen de la inconsistencia, ella es un atentado contra la
credibilidad. Sin embargo, la deteccin de una inconsistencia en un
cuerpo de conocimiento no necesariamente es una catstrofe. Bien
puede constituir el punto de partida para bienvenidas revisiones
que conduzcan a los ajustes necesarios para eliminarla, con todo lo
que de positivo ello puede significar para el rea de conocimiento
en cuestin.
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81
EJERCICIOS PARA EL CAPTULO 2
1. Represente simblicamente los enunciados a-j, utilizando los
tomos p, q, r y s, con estos significados: p: 2 es nmero primo, q:
2 es nmero par, r: le entrego el libro, s: usted me entrega la
fotografa.
a. 2 es nmero primo, pero es par. b. 2 es nmero par; sin
embargo, es primo. c. 2 es nmero primo no obstante que es par d. Es
falso que 2 no es primo o no es par e. Es falso que 2 no es primo o
es falso que 2 no es par. f. Le entrego el libro si me entrega la
fotografa. g. Le entrego el libro slo si me entrega la fotografa.
h. Si no me entrega la fotografa entonces no le entrego el libro.
i. Solo si me entrega la fotografa le entrego el libro. j. No le
entrego el libro, a menos que me entregue la fotografa.
2. Con base en las definiciones de los conectivos lgicos,
establezca el valor de verdad de los enunciados a-j.
a. (Roma es la capital de Italia)(Viena no es la capital de
Suiza). b. Aun cuando es cierto que Pars es la capital de Francia,
es falso que Roma es la capital de Italia. c. Ni Viena es la
capital de Suiza ni Pars es la capital de Francia. d. ( Viena es la
capital de Suiza)( Pars es la capital de Francia) e. (Viena es la
capital de Suiza) (Pars es la capital de Italia). f. ( Viena es la
capital de Austria Pars es la capital de Italia) Roma es la capital
de Francia. g. Viena es la capital de Austria ( Roma es la capital
de Italia Pars es la capital de Francia). h. (Todo nmero impar es
primo todo nmero primo es impar) i. Todo nmero primo es impar si y
solo si todo nmero impar es primo j. (Todo nmero impar es primo)
((todo nmero primo es impar)(( todo nmero impar es
primo))). 3. Considere las proposiciones lvaro Uribe es
presidente de Colombia y lvaro Uribe es ciudadano
colombiano. Utilice los tomos p y q para representarlas, en ese
orden, y escriba por lo menos seis enunciados que se representaran
en este caso como pq.
4. Escriba un ejemplo diferente a los del texto, que ilustre
cada posible uso del condicional sientonces en el uso cotidiano.
Indique la forma de uso (definicin, consecuencia lgica, rechazo
absoluto, etc.).
5. En cada uno de los puntos a-h proceda como se le indica en la
palabra subrayada:
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82
a. Complete: La expresin Llueve pero no hace fro ni calor se
puede representar en el clculo proposicional como ___________ b.
Complete: Segn su significado, la disyuncin exclusiva entre p y q
se puede representar por la frmula (pq)(qp) y tambin por la frmula
_________________ c. Responda: Si A y B representan frmulas bien
formadas tales que A B y una interpretacin para ellas hace que
v(A)=F, qu puede decirse de v(B) para esta interpretacin? d.
Complete cada lnea desde a hasta e para obtener una expresin
verdadera: a. p(pq) ___________ (Equivalencia: ley de absorcin) b.
{ ____ , pq}
q (Silogismo Disyuntivo) c. pq _________ (frmula equivalente que
usa solamente y ) d. { }
(Dilema constructivo)
e. {pq, (rs)(pq)}
r____ (Modus Tollens) e. Califique como verdadero o falso: Toda
contingencia es una frmula satisfacible, pero no toda frmula
satisfacible es una contingencia. Escriba un ejemplo de frmula
que es una contingencia. f. Califique como verdadero o falso: Un
razonamiento que tiene como premisas las que aparecen en la
lista siguiente es inconsistente: {(pq)(rs), p, (rs)(tw),
tw}
g. Responda: Cundo y cmo se utiliza la Regla de la Deduccin? h.
Suponga que usted se propone demostrar, a partir de un conjunto de
premisas, que a=0 b=0. Qu
hara, si su plan consistiera en demostrar el resultado por mtodo
indirecto? Cul sera entonces la nueva premisa? En qu momento
considerara finalizada la demostracin?
6 Deduzca esta equivalencia: p(qr) (pq)(pr).
7 A continuacin se da un grupo de frmulas bien formadas.
Escriba, para cada una, dos enunciados que se representen
simblicamente con dicha frmula. Por ejemplo, si la frmula es p(qr),
un enunciado podra ser: Si un tringulo es equiltero entonces sus
tres lados y sus tres ngulos son iguales; un segundo enunciado de
la misma forma: Si hoy es mircoles entonces tengo clases de Lgica y
de Algoritmos. 1. p(qr) 2. (pqr)(pq)r 3. (p(qr))((pq)(pr)) 4.
((pr)(qs))((pq)(rs))
8. Represente simblicamente cada razonamiento a-j. Utilice los
tomos p, q, r... en el mismo orden en el cual aparecen las
proposiciones atmicas en el razonamiento correspondiente. No olvide
indicar explcitamente qu proposicin est representada por cada
tomo.
a Si el ratn se come el queso entonces el gato atrapa al ratn.
Pero el ratn no se come el queso. Por tanto, el gato no atrapa al
ratn.
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83
b. Si el ratn se come el queso entonces el gato atrapa al ratn.
Pero el el gato no atrapa al ratn. Por tanto, el ratn no se come el
queso.
c. Si el asalto ocurri despus de las 4 de la maana, pero antes
de las 5, entonces los guardianes se haban quedado dormidos. Si
ocurri a una hora diferente entonces los guardianes son cmplices
necesario; en tal circunstancia, hay personas externas
involucradas. Por tanto, si los guardias no se quedaron dormidos,
el asalto involucra a personas externas.
d. Si resuelvo un ejercicio sin quejarme, entonces lo puedo
entender. Yo no puedo entender ejercicios de los cuales no tengo un
ejemplo resuelto previamente. Los ejercicios que puedo entender no
me producen dolor de cabeza. Este ejercicio tiene un ejemplo
previamente resuelto. Por lo tanto, resuelvo este ejercicio sin
quejarme pero me produce dolor de cabeza.
e Mi padre me anima si estudio diariamente. O me va bien en los
cursos o no estudio diariamente. Si duermo en exceso entonces no me
va bien en los cursos. Por lo tanto, si mi padre me anima, entonces
no duermo en exceso.
f Si Dios fuera bueno, querra hacer a sus criaturas
perfectamente felices. Y si fuera omnipotente podra hacer todo lo
que quisiera. Si Dios quisiera hacer a sus criaturas perfectamente
felices y pudiera hacer todo lo que quisiera, entonces las
criaturas seran perfectamente felices. Pero las criaturas no son
perfectamente felices. En consecuencia, a Dios le falta poder, o
bondad, o ambas cosas.( Tomado del artculo Cazadores de la verdad,
de Daniel J. Boorstin. Lecturas Dominicales de El Tiempo, 22/02/98.
Se modific el texto original solamente para hacer explcita una
premisa implcita).
g Si Dios quisiera prevenir el mal pero fuera incapaz de
hacerlo, entonces no sera todopoderoso; si fuera capaz de prevenir
el mal, pero no quisiera hacerlo, sera malvolo. Existe el mal solo
si Dios es malvolo o incapaz de prevenirlo. Es un hecho que el mal
existe. Si Dios existe, entonces es todopoderoso y no es malvolo.
En consecuencia, Dios no existe.
h. La convivencia social se deteriorar sensiblemente. Las
razones son claras: no hay duda de que si hay alza general de
salarios no se podr contener el desempleo, y si hay paro general no
se alcanzarn las metas de produccin. Sin embargo, las ms recientes
intervenciones del ministro de Hacienda y de los sindicalistas
indican que habr alza general de salarios, pero insuficiente para
evitar el paro general. Pero se alcanzarn las metas de produccin.
Lamentablemente, si no puede contenerse el desempleo, o si hay alza
general de salarios, la convivencia social se deteriorar
sensiblemente.
i. Cualquiera sea la situacin del dlar con respecto al peso,
algn sector de la economa resulta perjudicado: Si el peso se
revala, se lamenta el sector exportador porque los dlares que
recibe representan menos pesos al traerlos al pas; si el peso se
devala, los importadores tienen que pagar ms caros los bienes que
importan y se reduce el consumo de los mismos. Adems, en este caso
se encarece la deuda externa del pas, lo cual nos afecta a todos
negativamente.
j. Las siguientes razones permiten afirmar que la inversin
social disminuir drsticamente: Segn los analistas, si el alza en el
salario mnimo es superior a la inflacin entonces no disminuir
el
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84
desempleo, y si hay otro paro general no se alcanzarn las metas
del sector productivo. Por otro lado, la dirigencia sindical
amenaza con otro paro general, si el alza en el salario mnimo no es
superior al nivel de inflacin. Esto se complementa con el hecho de
que si no disminuye el desempleo o no se alcanzan las metas del
sector productivo entonces habr una baja en las exportaciones. Y
una baja en las exportaciones har que la inversin social disminuya
drsticamente .
9. Clasifique cada frmula siguiente como satisfacible,
tautologa, contingencia, o insatisfacible. Recuerde que
eventualmente una frmula puede ser clasificada en diferentes
grupos: 1. (pq)(pq) 2. p((pq)q) 3. (p(qr)) (p(qr)) 4
((pq)(pr))(p(qr)) 5 ((pq)(pr))q.
10. Este ejercicio presenta un mtodo indirecto que en ocasiones
permite establecer si una frmula del tipo AB es una tautologa. Dada
la frmula A: ((pr)(qr))((pq)r), suponga que puede existir alguna
interpretacin para la cual v(A)=F, y coloque este valor bajo el
conectivo principal, as:
((pr)(qr))((pq)r) F1 A continuacin, en un proceso hacia atrs
como el ilustrado en la pgina 71, determine los valores que deben
tener las subfrmulas, bajo esta interpretacin, para que lo anterior
sea posible. Conocido el valor de una subfrmula reitere el proceso,
hasta obtener, si es posible, un valor para todos los tomos. En ese
momento los valores obtenidos constituyen una interpretacin para la
cual efectivamente v(A)=F, y por lo tanto la frmula no es una
tautologa. Si en el proceso se obtienen valores contradictorios, V
y F, para algn tomo o subfrmula, ello indica que la nica forma en
la cual v(A)=F es aceptar que un tomo o frmula pueda ser
simultneamente verdadero y falso. Como esto no es posible, v(A)
tendr que ser V, para cada interpretacin posible y por lo tanto A
es una tautologa.
11. Utilice el mtodo directo para establecer cules de las
frmulas siguientes son tautologas. En caso de no serlo, indique en
su conclusin una interpretacin para la cual la frmula es falsa: 1.
((pq)vq)p 2. ((pq)q)p 3. ((p(pq))q 4. ((pq)(pr)(qr))r 5.
(p(qr))((pq)(pr))
12. Pruebe las siguientes equivalencias. Un * indica que se
exige una prueba algebraica, como en la pgina 69. 1 (pq) (qp) 2
p(pq) p * 3 p(pq) p 4 (pq)p(qr)(ppr)(qr) pr * 5 ((p(pq))q) V * 6
(pq)(pr)((pq)) p *
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85
7 ((pq)(pr)(qr)) r V
13. En cada caso muestre, sin hacer las tablas de verdad, una
interpretacin que le permita concluir que las frmulas de cada par
no son equivalentes: 1. (pq)r y p(qr) 2. p(qr) y (pq)r 3. pq y
qp.
14. Califique cada afirmacin a -e como verdadera o como falsa.
Justifique plenamente su respuesta.
a. La notacin {p, pq}
q es ambigua.
b. Un razonamiento deductivo es vlido si y solo si la conjuncin
de las premisas y la conclusin es una tautologa.
c. La afirmacin {pq, p}
q es falsa, porque el razonamiento ((pq)p)q es una falacia. d.
Toda regla de inferencia es un razonamiento vlido, y todo
razonamiento vlido es una regla de
inferencia. e. En los razonamientos invlidos las premisas son
inconsistentes.
15. Establezca la validez de los razonamientos siguientes:
1. P1. (pq)(rs)
P2. (pr)(qs)
P3. r
C. s
2. P1. pq
P2. p(rq)
P3 (sr)q
P4 s
C. r
3 P1. (pq) r
P2. (rq)(p(st)
P3. ps
C. st
4 P1 x = 5 x< y
P2 (x>3 z
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posible anticipar las consecuencias de ellas. En consecuencia,
si usted es autosuficiente, las consecuencias de sus acciones no se
pueden anticipar.
19. Pruebe que la frmula, ((pq)r)(rp)q es una tautologa,
a. Por mtodo indirecto, suponiendo que no lo es y derivando una
contradiccin b. Algebraicamente, utilizando equivalencias para
probar que la frmula dada es lgicamente
equivalente con V.
20. Complete los pasos que faltan en la siguiente demostracin
incompleta de la ley de absorcin, p (pq) p:
p (pq) (p F) (pq) Ley de identidad ___________________ Ley
distributiva ___________________ Ley ____________________ p Ley
_______________ 21. Complete el enunciado para obtener una
afirmacin verdadera. La expresin Malo porque s y malo porque no es
una forma, en el lenguaje cotidiano, de una ley de
inferencia (dilema), que se representa as: {_______ , _______
}
___
22. Decida si esta afirmacin es falsa o si es verdadera.
Justifique su respuesta: Si la negacin de una frmula A es una
tautologa, entonces la frmula A tiene que ser lgicamente
equivalente con pp. 23. Complete cada lnea en esta demostracin
algebraica de que ((pq)p) q es una tautologa. (La
aparicin de ______ y _______indica que usted debe escribir los
nombres de dos leyes que se han aplicado simultaneamente ):
((pq)p) q ((pp) (qp)) q ______________________________ ( ___
(qp)) q ______________________________ (qp) q Ley de identidad (qp)
q definicin de (q p) q _________________ y _________________ ( q q)
p _________________ y ________________ ____________
___________________________
V ley de dominacin . 24. Escriba una prueba algebraica de que
(((pq)r)q)r es una tautologa. Escriba tambin una
prueba por el mtodo indirecto, con asignacin de valores de
verdad a los tomos.
25. A continuacin se dan las premisas de un razonamiento vlido
en el cual falta la conclusin. Obtngala, utilizando todas las
premisas:
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Si no tenemos fe en la recuperacin de Colombia y tambalea la
esperanza, no tendremos un futuro mejor. Es cierto que tambalea la
esperanza, pero tambin lo es que tendremos un mejor futuro. Por lo
tanto
26. Utilice deduccin natural para mostrar que este razonamiento
es vlido: {s q, (u p)( v t), (r s ) t, r q, q u} t v.