capitulo5 - Control Pro Atribut

Capítulo 5

Control de Procesos por Atributos

En el capítulo anterior se estudió la construcción de gráficos de control para

analizar la evolución de una variable cuantitativa continua que fuese el resul-

tado de una medición: longitud, peso, tiempo..., relacionada con la calidad.

Sin embargo, a veces no se desea controlar el valor de una magnitud medi-

ble sino simplemente si el producto es adecuado o no lo es o, en general, si

se posee o no se posee cierto atributo.

Este tipo de medición, a través de presencia o ausencia de atributos, tiene

ciertas ventajas sobre el control por variables del tema anterior:

• Suele ser más sencillo y rápido. Por ejemplo, es más rápido comprobar

si una pieza pasa por cierto calibre que medir su longitud exacta.

• Permite resumir las características de varias variables. Un artículo o servi-

cio puede ser defectuoso o no dependiendo de un conjunto de varia-

bles y no de una sola. No se controla una característica medible sino la

ausencia o presencia de un atributo (rechazo/no rechazo).

• Al usar la información de si el artículo es o no defectuoso, contiene simul-

táneamente la información de la capacidad del proceso (variabilidad

intrínseca al proceso productivo) y las tolerancias.

85

Sin embargo, tiene el inconveniente de que es menos preciso, pues ignora

mucha información. No es lo mismo saber que el artículo es defectuoso que

saber que su longitud es dos milímetros mayor que su límite de tolerancia.

Existen varios gráficos que permiten monitorizar la evolución de este tipo de

información. En unos se observa la evolución de la proporción de artículos

defectuosos en sucesivas muestras de tamaño n (cada elemento observado

es/no es defectuoso, o tiene/no tiene cierto atributo; por ejemplo, una lla-

mada es o no es fallida), mientras que en otros se observa la evolución del

número de defectos que aparecen en cada unidad de medida (cada uni-

dad de medida puede tener más de un defecto o más de un atributo, por

ejemplo, en cada minuto se puede recibir más de una llamada).

5.1 Gráficos P

En este gráfico se muestra la evolución de la proporción de individuos que

tienen cierto atributo. Por ejemplo, la proporción de artículos defectuosos,

la proporción de llamadas telefónicas que quedaron bloqueadas, la propor-

ción de clientes que presentan una reclamación, etc. Llamaremos p a esta

proporción.

Veamos primeramente el contexto estadístico en el que nos encontramos.

Supongamos un proceso que opera de manera estable (bajo control) y cu-

yo resultado es un artículo o un servicio. Supongamos que en ese estado la

probabilidad de que un artículo sea defectuoso sea p. Supongamos que en

un instante ti analizamos un tamaño muestral ni (número de piezas produ-

cidas o número de clientes a los que se ha prestado el servicio), el número

de artículos (o servicios) defectuosos será di, que será una variable aleato-

ria al depender de los elementos ni concretos que hayan caído en nuestras

manos en ese instante. Por tanto, la proporción de artículos defectuosos de

cada muestra, que denotaremos por pi = di/ni será una variable aleatoria.

En general se tendrá que pi 6= p. El valor p es un valor poblacional, mientras

86

que pi es sólo una estimación de p obtenida con ni observaciones. El objeti-

vo del gráfico P será comprobar si la evolución de los valores pi observados

son compatibles con un valor poblacional p, y por tanto la diferencia entre el

valor observado pi y el poblacional p se debe sólo a la variabilidad muestral.

Supongamos, además, que en esta situación de estabilidad el proceso

evoluciona de manera independiente; es decir, la probabilidad de que se

produzca un artículo o servicio defectuoso es independiente de si el anterior

artículo o servicio fue o no defectuoso. Bajo estos supuestos de estabilidad

e independencia, la probabilidad de que cada artículo sea defectuoso es

siempre la misma e igual a p. Cada artículo producido puede entonces aso-

ciarse a una variable aleatoria de Bernoulli que tome valor xi = 1 si el artículo

es defectuoso (P (xi = 1) = p) o xi = 0 si es aceptable (P (xi = 0) = 1 − p). Por

tanto, el número de unidades defectuosas di de un total de ni unidades es

una variable aleatoria Binomial con función de probabilidad

P (di = r) =( ni

r

)pr(1− p)ni−r; r = 0, 1, . . . , ni.

La media y varianza de esta variable son bien conocidas,

E(di) = nip

Var(di) = nip(1− p)

Como puede verse, ambos parámetros, media y varianza, dependen sólo

de p, por lo que para analizar la evolución del número de artículos defectuo-

sos no es necesario construir un gráfico de control para la media y otro para

la variabilidad, como ocurría en el control por variables, sino que con un

gráfico de control del parámetro p es suficiente. El gráfico se realiza toman-

do muestras de tamaño ni (no tienen por qué ser todas de igual tamaño) y

contando el número de artículos defectuosos di. Nuestro interés está en la

evolución de la proporción de artículos defectuoso, es decir,

pi =di

ni

=número de defectuosos en la muestra i-ésima

tamaño muestral de la muestra i-ésima

87

Entonces, la proporción de artículos defectuosos en un total de ni unida-

des puede escribirse como

pi =di

ni

=x1 + · · ·+ xni

ni

= x

y es, por tanto, una media muestral de variables de Bernoulli. Es fácil, enton-

ces, deducir las siguientes propiedades

E(pi) = p

Var(pi) =p(1− p)

ni

y, si ni es suficientemente grande, podremos aplicar el Teorema Central del

Límite y utilizar que, aproximadamente,

pi ≈ N

p,

√p(1− p)

ni

.

El gráfico de control P sirve para ver la evolución de este estadístico pi a

medida que se van recogiendo muestras consecutivas de tamaño ni. Como

en gráficos anteriores, el gráfico P tiene los siguientes elementos

LCS = E(pi) + 3√

Var(pi)

Línea Central(LC) = E(pi)

LCI = E(pi)− 3√

Var(pi)

(5.1)

tomándose como límite inferior el cero si resultase un valor negativo. Si la

proporción de unidades defectuosas p es conocida, el gráfico de control

será

LCS = p + 3

√p(1− p)

ni

Línea Central(LC) = p

LCI = p− 3

√p(1− p)

ni

(5.2)

Puede verse que los límites de control no son, en general, dos líneas rectas,

sino que variarán con el tamaño muestral ni. Esta variación se necesita para

88

asegurar que en cada momento existe una probabilidad del 99.7% de estar

entre los límites si el proceso está bajo control. En el caso de p conocido, los

pasos a seguir para la construcción del gráfico son:

1. Tomar muestras de tamaño muestral ni. El tamaño muestral se decide

según las características de cada caso. El tamaño muestral debe ser

elevado, tanto para que la aproximación a la normal sea buena, como

para dar oportunidad a que aparezcan piezas defectuosas. De esta

forma, el 99, 7% de los valores estarán dentro de los límites de control

cuando el proceso esté en estado de control. Las muestras suelen to-

marse a intervalos regulares de tiempo, aunque el tamaño muestral no

necesita ser el mismo.

2. Dibujar el gráfico con las especificaciones mostradas en (5.2).

3. Calcular la proporción de artículos defectuosos en cada muestra:

pi =di

ni

.

4. Representar los valores pi ordenados en el tiempo en el gráfico e inter-

pretarlo.

Ejemplo 1:

Los diodos para un circuito impreso son producidos de forma continua en

cierto proceso industrial. Un operario va tomando aleatoriamente diodos de

la cadena de producción y va comprobando si son defectuosos o acepta-

bles. Como la cadena no tiene un ritmo de producción constante (sigue un

ritmo de producción denominado just-in-time, donde el ritmo de la cadena

se va determinando según el nivel de stock final e intermedio), el ritmo de ins-

pección no es tampoco constante. El operario, por tanto, no toma siempre

89

Muestra Diodos Inspeccionados Diodos Defectuosos pi

1 126 8 0,063

2 118 10 0,085

3 122 10 0,082

4 129 9 0,070

5 124 10 0,081

6 136 10 0,074

6 136 10 0,074

7 119 9 0,076

8 127 9 0,071

9 114 20 0,175

10 127 11 0,087

11 119 12 0,101

12 115 5 0,043

13 110 11 0,100

14 103 6 0,058

15 108 10 0,093

16 116 4 0,034

17 119 7 0,059

18 118 8 0,068

19 107 10 0,093

20 113 13 0,115

Total : 2370 192

Tabla 5.1: Datos del ejemplo 1

90

20100

0,2

0,1

0,0

Sample Number

Prop

ortio

n

Gráfico P para defectos

P=0,08000

3,0SL=0,1566

-3,0SL=0,003437

Figura 5.1: gráfico P para muestras de tamaño desigual (p conocido)

la misma cantidad de diodos para realizar la inspección. La Tabla 5.1 mues-

tra el tamaño de las muestras recogidas y el número de diodos que resultaron

defectuosos.

Se sabe por la información histórica del proceso, que si sólo actúan causas

no asignables (azar), se espera que el 8% de los diodos sean defectuosos. Se

quiere construir un gráfico de control para la proporción de diodos defectuo-

sos. El gráfico se muestra en la figura 5.1. En dicho gráfico puede verse cómo

los límites de control, aunque están usando el mismo valor p = 0, 08 tienen

distinto ancho, debido a que las muestras son de distinto tamaño.

Existe un punto fuera de control que habrá que investigar. Algunas apli-

caciones informáticas permiten realizar un gráfico con límites de control que

sí son líneas rectas. Para ello utilizan como tamaño muestral en las fórmulas

(5.2) el promedio de los tamaños muestrales; es decir, usan, en lugar de ni

n =

∑ki=1 ni

k

Cuando no hay un valor de p conocido es necesario estimarlo con unas

91

muestras iniciales. Estas muestras deben estar recogidas cuando el proceso

se encuentra en estado de control. Los pasos a seguir para la construcción

del gráfico en este caso son:

1. Tomar k muestras (al menos 20) de tamaño muestral ni (i = 1, . . . , k).

2. Calcular la proporción de artículos defectuosos en cada muestra

pi =di

ni

.

3. Calcular una estimación del valor poblacional p a través de la propor-

ción total de defectuosos:

p =

∑ki=1 di∑ki=1 ni

.

Este valor de p constituirá la línea central del gráfico de control. Si duran-

te este periodo de recogida de información el proceso ha estado bajo

control, este estimador será un buen estimador de p. Este estimador es

mejor que promediar los diferentes valores de pi, es decir:

p =

∑ki=1 pi

k,

pues en este promedio no estamos teniendo en cuenta que cada mues-

tra tiene tamaño muestral distinto y, por tanto, precisión distinta.

4. Calcular los límites de control de manera que si el proceso está bajo

control, y basándonos en la normalidad, sólo 3 de cada mil muestras

estén fuera de los límites. Esto es equivalente, utilizando las propiedades

de la distribución normal, a poner los límites en tres desviaciones típicas.

Por tanto, el gráfico de control tiene las características siguientes:

LCS = p + 3

√p(1− p)

ni

Línea Central(LC) = p

LCI = p− 3

√p(1− p)

ni

(5.3)

92

5. Dibujar el gráfico con la línea central y los límites de control y colocar los

valores pi ordenados en el tiempo. Si algún valor estuviese fuera de los

límites habría que rechazar dicha muestra y repetir el proceso con las

restantes. Una vez que se tiene un gráfico con todos los valores dentro

de los límites pueden considerarse éstos válidos y puede utilizarse el valor

estimado p para posteriores muestras.

0 10 20

0,0

0,1

0,2

S l N b

Prop

ortio

n

P Chart for defectos

P=0,08101

3,0SL=0,1580

-3,0SL=0,004009

Figura 5.2: gráfico P para muestras de tamaño desigual (p desconocido)

Ejemplo 1 (continuación):

Con los datos del ejemplo 1 y sin utilizar el valor de p = 0, 08, se obtendría

un valor estimado de

p =192

2370= 0, 081 (5.4)

Los limites serán p±3√

p(1− p)/ni = 0, 081±0, 819/√

ni (se usa el limite inferior

0 si resulta un numero negativo). La figura 5.2 muestra el nuevo gráfico de

control.

93

20100

0,2

0,1

0,0

Sample Number

Prop

ortio

n

P Chart for defectos

P=0,07624

3,0SL=0,1511

-3,0SL=0,001346

Figura 5.3: gráfico P para muestras de tamaño desigual (p desconocido)

muestra 9 eliminada del cálculo de los límites de control

En este gráfico se vuelve a apreciar que hay un punto fuera de control.

Por tanto la estimación de p hecha en (5.4) no es adecuada. Si eliminamos

la muestra 9 del análisis y rehacemos el gráfico se tiene la nueva estimación:

p =192− 20

2370− 114= 0, 076

y los nuevos límites serán p ± 3√

p(1− p)/ni = 0, 076 ± 0, 795/√

ni. La figura 5.3

muestra el nuevo gráfico. En esta ocasión todos los puntos se encuentran

dentro de los limites, por lo que la estimación de p puede utilizarse para con-

trolar el proceso en posteriores muestras.

Al no ser los límites constantes se ha de tener cuidado para interpretar

tendencias y rachas en estos gráficos. Un procedimiento para simplificar la

interpretación de las gráficos P es el uso de valores estandarizados. En este

caso los valores representados en el gráfico son:

zi =pi − p√p(1− p)

ni

94

donde p se utiliza en lugar de p si este valor es desconocido. Para estos valores

transformados se tiene

E(zi) = 0

Var(zi) = 1

y por tanto el gráfico estandarizado tiene por límites de control ±3 y linea

central 0.

Como puede observarse, la construcción del gráfico se resume a la ob-

tención de una buena estimación de p. A partir de entonces, y una vez fijada

la estrategia de muestreo (tamaños muestrales, frecuencia, criterios para de-

terminar que una pieza es defectuosa), lo que hay que hacer para controlar

estadísticamente el proceso es:

1. Tomar una muestra de tamaño ni

2. Calcular los LCS y LCI con ese valor ni y colocarlos en el gráfico

3. Contar el número de piezas defectuosas di y calcular la proporción so-

bre el total de la muestra pi.

4. Colocar este valor pi en el gráfico y verificar si el proceso está bajo con-

trol

En un gráfico P, la capacidad se define como el porcentaje de piezas no

defectuosas que produce el proceso cuando está bajo control. Esta canti-

dad es (1− p), por tanto la estimación de la capacidad es

Capacidad Estimada = (1− p).

Es posible, sin embargo, encontrar algunos textos donde se utiliza p como

medida de la capacidad.

95

5.1.1 Estrategias de Agrupamiento

Los gráficos de control para la proporción de no conformes están basados en

general en la inspección de toda la producción realizada durante un deter-

minado periodo de tiempo (por ejemplo un día). Es por ello que la frecuencia

de muestreo determina el tamaño del subgrupo.

Sin embargo existen diversas estrategias a la hora de considerar el tamaño

n del subgrupo.

1. Tomar n de forma que

Pr(d ≥ 1) ≥ γ,

es decir que Pr(d = 0) < 1 − γ, donde d tiene distribución binomial de

parámetros n y p. Por lo tanto, tomar n de forma que

n > log

(1− γ

1− p

)2. Tomar n suficientemente grande de forma que el ARL(p1) sea 2, para una

variación en la proporción de p0 a p1. Esto implica, en gráficos k-sigma,

que

n =p0(1− p0)k

2

(p1 − p0)2

3. Si p es pequeño, considerar n de forma que LCI > 0. Esto se consigue si

n > k2 1− p

p

para gráficos de control k-sigma.

5.2 Gráficos NP

Se aplica al mismo tipo de procesos que en el caso anterior. La diferencia

está en que, en lugar de contabilizar proporción de artículos defectuosos en

una muestra, se considera el número de artículos defectuosos. En general, es

útil si:

96

(a) el número es más relevante que la proporción,

(b) el tamaño muestral es constante.

Aunque matemáticamente sería posible construir un gráfico NP con ta-

maño muestral variable, su interpretación sería complicada, por lo que este

tipo de gráficos se utiliza exclusivamente con muestras de tamaño constante

ni = n, i = 1, 2, . . . . Llamemos di al número de artículos defectuosos en una

muestra de tamaño n. El gráfico de control será:

LCS = E(di) + 3√

Var(di)

Línea Central(LC) = E(di)

LCI = E(di)− 3√

Var(di)

(5.5)

Sea p la proporción total de defectuosos que produce el proceso. Enton-

ces di sigue una distribución binomial de media np y varianza np(1− p). Si n es

grande, dicha distribución puede aproximarse a la normal. Por tanto, para n

elevado, aproximadamente,

di ∼ N(np,√

np(1− p)).

Por tanto el gráfico de control NP será:

LCS = np + 3√

np(1− p)

LC = np

LCI = np− 3√

np(1− p)

(5.6)

y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7% de los datos si el

proceso está bajo control. De nuevo, si el límite de control resultase negativo

se usaría al valor cero. Para construir el gráfico de control es necesario estimar

p, salvo que se conozca ya su valor. Al igual que en el caso anterior, tanto

el nivel medio como la variabilidad dependen sólo del parámetro p, por lo

que un solo gráfico será suficiente para controlar el proceso. Para construir el

gráfico se siguen los siguientes pasos:

97

1. Se toman k muestras de tamaño n. El numero de muestras k debe ser

elevado (más de 20). También el tamaño muestral n debe ser grande

(mayor de 50) y han de tomarse consecutivamente y a intervalos igua-

les.

2. Contar el número de artículos defectuosos en cada muestra di

3. Contar el número total de defectuosos d1 +d2 + · · ·+dk y hallar el número

medio de defectuosos por muestra:

p =

∑ki=1 di

nk=

1

n

∑ki=1 di

k=

d

n⇒ d = np.

Este valor d será un buen estimador de np, media del proceso, si el pro-

ceso ha estado bajo control durante esta etapa de recogida de infor-

mación. Este valor medio d = np será la linea central del gráfico de

control.

4. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típica, obteniéndo-

se:

LCS = np + 3√

np(1− p)

LC = np

LCI = np− 3√

np(1− p)

(5.7)

5. Se dibuja el gráfico trazando la línea central en np y los límites de control.

Los límites de control serán ahora constantes, al ser constante el tamaño

muestral n.

6. Colocar los valores di de forma secuencial. Si alguno se encuentra fuera

de los límites de control habrá que eliminarlo y volver a reconstruir el

gráfico con las muestras restantes.

La capacidad se sigue definiendo de la misma manera que en los gráficos

P, es decir (1− p). Por tanto la estimación de la capacidad es

Estimación de la capacidad = (1− p)

98

Muestra Número de Artículos Artículos Defectuosos pi

1 50 3 0.06

2 50 5 0.10

3 50 5 0.10

4 50 1 0.02

5 50 10 0.20

6 50 4 0.08

7 50 2 0.04

8 50 5 0.10

9 50 6 0.12

10 50 4 0.08

11 50 1 0.02

12 50 0 0.00

13 50 4 0.08

14 50 6 0.12

15 50 2 0.04

16 50 2 0.04

17 50 3 0.06

18 50 4 0.08

19 50 2 0.04

20 50 5 0.10

21 50 4 0.08

22 50 5 0.10

23 50 2 0.04

24 50 4 0.08

25 50 2 0.04

Total 1250 91

Tabla 5.2: Datos del ejemplo 2

99

2520151050

10

5

0

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

NP Chart for defectos

1

NP=3,640

3,0SL=9,151

-3,0SL=0,000

Figura 5.4: Gráfico NP para el número de defectuosos (n constante)

Ejemplo 2:

Se desea construir un gráfico de control NP para controlar un proceso que

fabrica un chip que se insertará en una tarjeta de telefonía. Se tienen 25

muestras, cada una formada por 50 chips. El número de chips defectuosos

en cada una de las muestras se muestra en la Tabla 5.2.

El gráfico de control que resulta se encuentra en la figura 5.4. En él pue-

de apreciarse que hay una observación fuera de control por lo que habrá

que eliminarla antes de considerar que la estimación de p es definitiva y pue-

da ser utilizada para analizar posteriores muestras. En este gráfico el LCI es

cero, pues el valor que se obtiene aplicando la fórmula correspondiente es

negativo: LCI = −1.87.

Tras la eliminación de la muestra 5 se obtiene el gráfico de control de la

figura 5.5, donde ya todos los puntos parecen estar bajo control.

100

0 5 10 15 20 25

0

5

10

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

NP Chart for defectos (muestra 5 omitida)1

NP=3,375

3,0SL=8,697

-3,0SL=0,000

Figura 5.5: Gráfico NP para el número de defectuosos (n constante) y límites

de control calculados sin la muestra 5

5.3 Gráfico C

A veces, el interés no reside en el número de artículos defectuosos sino en

el número de defectos en un artículo o unidad de medida o, en general, el

número de sucesos o atributos observados por unidad de medida. Por ejem-

plo, en una película fotográfica interesa controlar el número de defectos por

centímetro cuadrado. En un cable de fibra óptica interesa el número de

defectos por metro o kilómetro, o el número de averías detectadas por kiló-

metro una vez enterrado. En una centralita interesará controlar el número de

llamadas por hora o minuto. En un puesto de atención a clientes, interesa el

número de clientes que llegan por unidad de tiempo. La diferencia respecto

al caso de control del número de artículos con cierto atributo es el soporte

en el que se observan los sucesos. Mientras que antes el soporte es discre-

to: muestra de n elementos, ahora el soporte es continuo: tiempo, longitud,

superficie. Este tipo de control tiene interés cuando:

101

• Las disconformidades aparecen de forma continua (burbujas en vidrio,

defectos en una placa, arañazos en plásticos, cortes en cables, llegada

de clientes a un puesto de servicio...).

• Los defectos pueden encontrarse por simple inspección a pesar de ser

debidas a causas muy diversas.

Este tipo de control es muy frecuente cuando el proceso es un servicio.

Por ejemplo, interesa controlar el número de clientes atendido por unidad de

tiempo, número de quejas por día, número de llamadas recibidas en cierto

servicio telefónico, número de llamadas bloqueadas en un día, número de

llamadas atendidas por una centralita en una unidad de tiempo, número de

fallos diarios en un equipo de intercomunicación, número de altas diarias en

un servicio, etc.

Esta variable que se quiere controlar puede definirse como: número de

sucesos en un intervalo de longitud fija. Si el proceso es estable y los suce-

sos ocurren de forma independiente (la llegada de un cliente a un servicio

no depende de cuántos clientes han solicitado ese servicio en esa unidad

de tiempo, la rotura de un cable en un punto dado es independiente de

si el cable se ha roto en otro punto) entonces el número de sucesos en un

intervalo de longitud fija seguirá una distribución de Poisson.

Si X es una variable con distribución de Poisson de parámetro λ, el valor

medio de dicha distribución es también λ. Por ejemplo, el número medio de

defectos por cm2 en una placa metálica, o número medio de clientes por

día. La varianza de esta distribución es también λ. Una propiedad intere-

sante de la distribución de Poisson es la de aditividad; es decir, si el número

de sucesos en un intervalo es una distribución de Poisson de parámetro λ, el

número de sucesos en n intervalos es una Poisson de parámetro nλ. Si λ es ele-

vado, la distribución de Poisson se aproxima bastante a la normal. Por tanto,

si tomamos una unidad de medida suficientemente grande, podremos utili-

zar la distribución normal como referencia. Entonces, el número de defectos

102

por unidad de medida D (o no-conformidades) será, aproximadamente,

D ∼ N(λ,√

λ). (5.8)

De nuevo, conociendo un parámetro, λ, se tiene control sobre la media y

la variabilidad del proceso. Bastará, entonces, con un solo gráfico de control.

Sea Di el número de sucesos observado en un intervalo de longitud fija. Un

gráfico de control para controlar la evolución de esta variable será:

LCS = E(Di) + 3√

Var(Di)

LC = E(Di)

LCI = E(Di)− 3√

Var(Di)

(5.9)

y de acuerdo con (5.8), se tiene que

LCS = λ + 3√

λ

LC = λ

LCI = λ− 3√

λ

(5.10)

Si el LCI resultase negativo se usaría el valor cero. Si λ no fuese conocido

habría que estimarlo con un conjunto de datos preliminares, procedentes

del proceso en estado de control. En este caso, el gráfico se construiría de la

siguiente forma:

1. Seleccionar la unidad de medida, de manera que en tal unidad se de-

tecten por término medio al menos cinco ocurrencias (averías, defec-

tos, clientes,...), para que la aproximación a la normal sea buena. De

esta forma los límites de control tendrían al 99.7% de las observaciones

en estado de control.

2. Tomar k muestras (al menos 20) a intervalos regulares de tiempo y contar

el número de ocurrencias en cada muestra Di.

3. Estimar λ con el número medio de ocurrencias observadas:

λ =

∑ki=1 Di

k.

103

Hectómetro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N. de defectos 5 2 7 12 10 3 6 4 3 7 2 10

Tabla 5.3: Datos del Ejemplo 3

Si el proceso ha estado bajo control durante esta etapa, el valor λ será

un buen estimador de λ = número medio de ocurrencias. Este valor se

usará entonces como linea central del gráfico.

4. Calcular los límites de control a tres desviaciones típicas. El gráfico resul-

tante será:

LCS = λ + 3√

λ

LC = λ

LCI = λ− 3√

λ

(5.11)

Si el límite inferior es negativo se sustituye por el valor cero.

5. Dibujar el gráfico y colocar los valores Di de forma secuencial. Si alguno

está fuera de control se elimina y se recalcula el gráfico.

La capacidad del proceso se define por λ : número medio de defectos y

se estima con λ, por tanto

Estimación de la capacidad = λ

Ejemplo 3:

Un fabricante de cable de fibra óptica desea controlar la calidad del

cable mediante un gráfico de control C. Para ello toma como unidad de

medida los 100 metros e inspecciona el número de defectos que encuen-

tra: microfisuras, arañazos externos, poros, etc. La inspección está altamente

automatizada, inspeccionándose el 100% del cable. La tabla 5.3 muestra el

resultado de 12 unidades (1200 metros).

104

0 5 10

0

5

10

15

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

C Chart for número de defectos por unidad

C=5,917

3,0SL=13,21

-3,0SL=0,000

Figura 5.6: Gráfico C para el número de defectos por hectómetro

El número medio de defectos es

λ =71

12= 5, 92

que es la linea central del gráfico. El límite de control superior es

LCS = λ + 3√

λ = 13, 21

y el inferior

λ− 3√

λ = −1, 38 ⇒ LCI = 0.

La figura 5.6 muestra el gráfico de control donde están representadas las

observaciones de la Tabla 5.3.

5.4 Gráficos U

El gráfico U se utiliza cuando no es posible tener siempre la misma unidad de

medida para contar el número de defectos (o no-conformidades, o clientes,

105

etc...). Entonces, se controla el número medio de defectos por unidad de

medida. Por ejemplo:

• Los elementos a analizar pueden contener un número variable de uni-

dades: por ejemplo dos rollos de película fotográfica no tendrán exác-

tamente la misma longitud, diferentes láminas de vidrio tendrán distinta

superficie.

• Es difícil tomar mediciones a intervalos iguales de tiempo: el inspector

puede estar dedicado a varias tareas, por lo que es necesario un es-

quema más flexible.

Si llamamos ci al número de defectos (u ocurrencias de cierto suceso) en

la muestra i-ésima y ni al tamaño de dicha muestra (número de metros del

cable, número de unidades de tiempo, número de cm2 de superficie anali-

zada...). El número de defectos por unidad de medida será:

ui =ci

ni

=Número de defectos en ni unidades

Número de unidades en la muestra(5.12)

La variable ci es una variable de Poisson de parámetro:

λi = niλ

donde λ es el número medio de sucesos por unidad. Por tanto:

E(ci) = λi = niλ,

Var(ci) = λi = niλ.

Esta variable ui es, entonces, un promedio de variables tipo Poisson, don-

de los sucesos se observan en intervalos de longitud distinta. Si el valor de ni

es suficientemente grande, la variable aleatoria ui será, por el Teorema Cen-

tral del Límite, aproximadamente normal. El gráfico de control de la variable

ui será:

LCS = E(ui) + 3√

Var(ui)

LC = E(ui)

LCI = E(ui)− 3√

Var(ui)

(5.13)

106

y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7% de las obser-

vaciones. De (5.12) se obtiene que

E(ui) =E(ci)

ni

=niλ

ni

= λ.

Var(ui) =Var(ci)

n2i

=niλ

n2i

=λ

ni

El gráfico de control será, entonces,

LCS = λ + 3

√λ

ni

LC = λ

LCI = λ− 3

√λ

ni

(5.14)

Si la media λ es desconocida, se puede estimar con valores preliminares

de ui. La media de la distribución del número medio de defectos se estimará

con

u =número total de defectos

número total de unidades=

∑ki=1 ci∑ki=1 ni

.

Entonces Var(ui) =u

ni

Y el gráfico de control U con los límites estimados será

LCS = u + 3

√u

ni

LC = u

LCI = u− 3

√u

ni

(5.15)

El LCI será cero si la fórmula anterior diese un valor negativo. En resumen,

el gráfico se construirá de la siguiente manera:

1. Se toman k muestras de tamaños ni, i = 1, . . . , k y se cuenta el número de

defectos ci de cada muestra y el número medio por unidad de medida

de cada muestra ui = ci/ni.

107

2. Se calcula la media del numero medio de defectos por unidad de me-

dida u. Si el proceso ha estado bajo control, este estimador u será un

buen estimador de λ y será la linea central del gráfico.

3. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típicas de la línea

central

LCS = u + 3

√u

ni

LC = u

LCI = u− 3

√u

ni

(5.16)

Estos límites varían con el tamaño muestral. Al igual que ocurría con los

gráfico P, dado que los límites de control no son constantes, la interpretación

de rachas y tendencias se ha de hacer con cautela. Una posible opción

sería representar el gráfico normalizado; es decir, representar los valores

zi =ui − u√

u

ni

en un gráfico donde la línea central es cero y los límites LCS=3 y LCI=-3. La

capacidad del proceso se define como u, por tanto

Estimación de la capacidad = u

Ejemplo 4:

Un operario inspecciona la calidad de unos circuitos impresos (arañazos,

bandas incorrectas, grosor no uniforme, etc.). Los circuitos que inspecciona

son muy diversos. Según el tipo de circuito se apunta su superficie y el número

de defectos. Tras inspeccionar 12 placas obtiene los datos de la Tabla 5.4.

El número total de defectos es 42 y la superficie total 451. Por tanto

u =42

451= 0, 093

108

0 5 10

0,0

0,1

0,2

0,3

Sample Number

Sam

ple

Cou

ntU Chart para el número de defectos

U=0,09313

3,0SL=0,2416

-3,0SL=0,000

Figura 5.7: Gráfico U para el número medio de defectos por cm2

Superficie (cm2) 50 50 34 38 54 22 22 25 50 34 34 38

Número de defectos 4 3 4 4 4 3 5 3 4 2 2 4

Tabla 5.4: Datos del Ejemplo 4

Los límites de control dependen de cada placa, al tener superficies dis-

tintas. La figura 5.7 muestra el gráfico de control donde se representan los

valores de ui (u1 = 4/50, ..., u12 = 4/38) del número de defectos por cm2. En el

gráfico se observa que el proceso está en estado de control.

5.5 Comentarios sobre las curvas OC para gráfi-

cos de control por atributos

Curva OC para el gráfico p en el ejemplo 1.

109

En el ejemplo 1, dábamos como estimación de p del proceso bajo control

el valor p = 0, 076.

Si tomamos una muestra de tamaño n = 120, y consideramos

pi =di

n

la curva característica del gráfico de control nos representa

OC(p) = P (LCI < pi < LCS|di ∼ Bin(n, p))

es decir la probabilidad de no detectar un cambio en la fracción disconfor-

me del proceso desde su valor nominal p al valor p.

El cálculo de de esta probabilidad se puede realizar en base a la distribu-

ción binomial, ya que

OC(p) = P (nLCI < di < nLCS|di ∼ Bin(n, p))

Por ejemplo si la fracción disconforme pasa de p a p = 0, 125, esto supone

aproximadamente un incremento de ‘2σ’ en la fracción disconforme. En tal

caso nLCI = 0, 41 y nLCS = 17, 87, por lo que

OC(0.125) = P (di < 17, 87|di ∼ Bin(120, 0, 125))−P (di ≤ 0, 41|di ∼ Bin(120, 0, 125)) = 0, 761

Esta probabilidad es muy alta sobre todo si la comparamos con la pro-

babilidad de detectar una variación ‘2σ’ en un gráfico x con subgrupos de

tamaño 120.

La forma de la curva característica para este gráfico P para muestras de

diversos tamaños se puede ver en la figura 5.8.

Curva OC para el gráfico NP en el ejemplo 2

En el ejemplo 2, dábamos como valor válido de np = 3.375 con límite de

control superior, LCS=8.697. Tomamos ahora un nuevo lote de 50 chips y sea

110

OC Curve (P Chart); variable: defecControl Limits: UCL=0,149305 LCL=0,003177

Process Shift to Percent Defective

Prob

abilit

y of

Acc

epta

nce

(bet

a Er

ror)

N=39 N=99 N=119 N=139 N=179

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,60,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Figura 5.8: Curva Característica (OC) para el gráfico P del ejemplo 1 y diver-

sos tamaños de muestra n

di el número de chips defectuosos. La curva característica del gráfico de

control nos representa

OC(p) = P (LCI < di < LCS|di ∼ Bin(n, p))

es decir la probabilidad de no detectar un cambio en el número medio de

piezas no conformes del proceso cuando la proporción de piezas disconfor-

mes varía desde su valor nominal p al valor p.

Por ejemplo, si el número medio de piezas no conformes varía de 3.38 a 7,

esto supone una variación de poco más de 2σ, tenemos

OC(0.14) = P (di < 8.697|di ∼ Bin(50, 0.14)) = 0, 740

Curva OC para el gráfico C en el ejemplo 3

Curva OC para el gráfico u en el ejemplo 4

111

OC Curve (Np Chart); variable: defetuososControl Limits: UCL=8,697094 LCL=0,000000

Process Shift to Number Defective

Prob

abilit

y of

Acc

epta

nce

(bet

a Er

ror)

N=50 N=15 N=25 N=35 N=45 N=55 N=65 N=75

0 5 10 15 20 25 300,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Figura 5.9: Curva Característica (OC) para el gráfico NP del ejemplo 2

OC Curve (C Chart); variable: n.defecControl Limits: UCL=13,213926 LCL=0,000000

Process Shift to No. Defective

Prob

abilit

y of

Acc

epta

nce

(bet

a Er

ror)

Plot 15 10 15 20 25

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Figura 5.10: Curva Característica (OC) para el gráfico C del ejemplo 3

112

OC Curve (U Chart); variable: n. defecControl Limits: UCL=0,242461 LCL=0,000000

Process Shift to Rate Defective

Prob

abilit

y of

Acc

epta

nce

(bet

a Er

ror)

Plot 10,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Figura 5.11: Curva Característica (OC) para el gráfico u del ejemplo 4

113