Capitulo4 libroinvestigacion

No todo Grupo de Lie es Grupo Ma-tricialSe empieza por presentar la definicion de grupo de Lie en seguida sedemuestra que la funcion exp es localmente un difeomorfismo. Luego sedemuestra que todo subgrupo matricial de GLn(K) es un subgrupo de Lie.Finalmente presentamos: No Todo Grupo de Lie es un SubgrupoMatricial de GLn(K), usando el grupo Heisenberg de tamano 3 comocontraejemplo y herramientas de la teorıa de grupos.

4.1. Grupos de Lie4.1 Definicion. Un grupo de Lie es una variedad suave G que tambien es

un grupo topologico en la cual las operaciones de multiplicacion e inverso

mult : G×G −→ G(x, y) 7−→ xy

yinv : G −→ G

x 7−→ x−1

son suaves en variedades.Aquı se entiende que G × G es la variedad producto, G es un espaciotopologico Hausdorff separable y la extension de mult e inv son funcionesinfinitamente diferenciables.

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Newton Huamanı castro Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg

4.2 Definicion. Sea G un grupo de Lie. Un subgrupo cerrado H de G quetambien es una subvariedad de G es llamado subgrupo de Lie de G.

Algunos ejemplos de grupos de Lie, no descritos en este trabajo, son lossiguientes:

1. (Rn,+) es un grupo de Lie, ya que es una variedad suave debido a quees un espacio topologico Hausdorff separable con atlas la identidad, esun grupo topologico aditivo y las operaciones de adicion y cambio designo son suaves.

2. UTn(R) y SUTn(R) son grupos de Lie, ya que son subgrupos cerradosde (GLn(R),mult) Generalizando, todo grupo matricial es un grupo delie como veremos mas adelante.

4.2. El GLn(K) y SLn(K) como Ejemplos de Grupos deLieComo es costumbre sea K = R o C. En esta seccion se demostrara que losconjuntos representativos

GLn(K) := {A ∈Mn(K) : det(A) 6= 0} y SLn(K) := {A ∈Mn(K) : detA = 1}

localmente tienen una estructura de espacio euclidiano.

4.1 Ejemplo. El GLn(K) es un grupo de Lie, con la multiplicacionde matrices.Demostracion. Por definicion de grupo de Lie.

1. Veamos que GLn(K) es variedad suave.El Mn(K) es variedad suave puesto que es espacio topologico Hausdorffseparable con la topologıa dada en capıtulo 1 y tomando como cartala coord se forma el atlas A = {coord : Mn(K) −→ Kn2} . La coord esun homeomorfismo (carta) entre Mn(K) y Kn2

por lo que dimension deMn(K) es n2.El GLn(K) es subconjunto abierto de la variedad suave Mn(K), proposi-cion 1.18, lo que permite formar el atlas restringida,A|GLn(K) = {coord :

GLn(K) −→ Kn2}. Ademas es un espacio topologico Hausdorff separa-ble con la topologıa relativa heredada de Mn(K). Por tanto GLn(K) esuna variedad suave.

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2. Por la proposicion(1.17) GLn(K) es grupo bajo la mul-tiplicacion de matrices. Por otro lado mult|GLn(K) yinv|GLn(K) son continuas, ver proposicion (1.19). Porconsiguiente GLn(K) es grupo topologico.

3. Ademas, la multiplicacion e inversa son suaves por ser funcionespolinomicas por coordenadas y funcion racional por coordenadas re-spectivamente,

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

b11 · · · b1n

.... . .

...bn1 · · · bnn

−→

n∑k=1

a1kbk1 · · ·n∑k=1

a1kbkn

.... . .

...n∑k=1

ankbk1 · · ·n∑k=1

ankbkn

a11 · · · a1n

.... . .

...an1 · · · ann

−→ A−1 = transpuesta de la matriz

[(−1)i+jdetAij

detA

].

Por tanto GLn(K) es un grupo de Lie. �

4.2 Ejemplo. El conjunto de matrices cuya determinante es uno,

SLn(K) = {A ∈Mn(K) : detA = 1},

es un subgrupo de Lie de GLn(K).Demostracion. Por definicion de subgrupo de Lie.

1. Como SLn(K) es subgrupo matricial de GLn(K). Entonces SLn(K) essubgrupo cerrado de GLn(K).

2. Veamos que SLn(K) es subvariedad de GLn(K).La funcion determinante, det : GLn(K) −→ K, es una funcion suaveentre variedades.Ası, para A en SLn(K) = det−1{1} tenemos que

d(det)A : TAGLn(K) = Mn(K) −→ T1K = K

Si γ : (a, b) −→ GLn(K) es una curva suave con γ(0) = A. Entonces

d(det)A(γ′(0)) = (det ◦ γ)′(0).

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Sea γ0 : (a, b) −→ GLn(K); γ0(t) := A−1γ(t). Tenemos que γ0(0) = I ypor lema 2.14

(det ◦ γ0)′(0) = trγ′0(0).

Por lo tanto

(det ◦ γ)′(0) = (det ◦ Aγ0)′(0) = (detA)(det ◦ γ0)

′(0) = trγ′0(0),

d(det)A(γ′(0)) = trγ′0(0) con, γ0(t) = A−1γ(t)

Entonces d(det)A(X) = tr(A−1X) para γ′(0) = X ∈ Mn(K). Co-mo tr es sobreyectiva entonces la transformacion lineal es d(det)A :Mn(K) −→ K es sobreyectiva para cada A ∈ det−1{1} = SLn(K). Deeste modo por el teorema de la funcion implicita det−1{1} = SLn(K)es una subvariedad de GLn(K).

Por consiguiente SLn(K) es subgrupo de Lie de GLn(K). �

Notese que la dimension de SLn(K) es dimMn(K) − dimR = n2 − 1cuando K = R y su espacio tangente en A ∈ SLn(K) esta dado por

TASLn(K) = ker d(det)A = {AX ∈Mn(K)/tr(X) = 0}.

Dada un grupo de Lie G y un elemento g ∈ G entonces existe el espaciotangente de G en g, TgG. Viendo a G como una variedad usaremos lanotacion usual TIG := g para el espacio tangente de G en la identidad deG. Por tanto, se dice el algebra de Lie correspondiente al grupo de Lieal espacio vectorial tangente a la variedad suave en la identidad, que tienela misma dimension que la variedad y la misma notacion.

Para G un grupo de Lie y g ∈ G, las tres siguientes funciones sonparticularmente importantes, ya que permiten demostrar teoremas.

Lg : G −→ G; Lg(x) := gx (multiplicacion a izquierda)

Rg : G −→ G; Rg(x) := xg (multiplicacion a derecha)

χg : G −→ G; χg(x) := gxg−1 (Conjugacion)

Apostilla. Para M y N variedad suave, respectivamente. Las funciones

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Ilustracion 3: El algebra de Lie de un grupo de Lie.

proyecciones p1 : M×N −→M y p2 : M×N −→ N dadas por p1(m,n) = my p2(m,n) = n son suaves.

4.3 Proposicion. Para cada g ∈ Glas funciones Lg, Rg, χg son difeomorfismocon inversas

L−1g = Lg−1 , R−1

g = Rg−1 , χ−1g = χg−1 .

Demostracion.

1. Sean g, x enG y p2 : G×G −→ G la funcion proyeccion usual. Entonces,

mult(g, x) = Lg ◦ p2(g, x).

Sean φ : U −→ V , φ : U −→ V y θ : W −→ W cartas en g, x y gxrespectivamente (suponiendo a mult(U × U) y Lg(U) subconjuntos deW ).Entonces, por ser G un grupo de Lie tenemos que

θ ◦mult ◦ (φ× φ)−1 = θ ◦mult ◦(φ−1 × φ−1

)es suave.

Por lo tanto

θ ◦mult ◦ (φ−1 × φ−1) = θ ◦ Lg ◦ p2 ◦(φ−1 × φ−1

)= θ ◦ Lg ◦ φ−1

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es suave. Esto para cartas cualesquiera φ y θ de x ∈ G y gx ∈ G.Ası, Lg : G −→ G es una funcion suave entre variedades.

Por otro lado tenemos Lg ◦ Lg−1 = Id = Lg−1 ◦ Lg para la fun-cion Lg−1 = G −→ G dada por Lg−1x = g−1x. Por consiguienteLg : G −→ G es biyectiva y su inversa es Lg−1 : G −→ G, que tambienes suave por la forma Lg−1 : G −→ G.

2. Con argumentos similares se prueba que Rg es suave para cada g ∈ G.

3. Ademas, note que

χ = Lg ◦Rg−1 = Rg−1 ◦ Lg.

y la composicion de funciones suaves es suave. �

4.3. Todo Subgrupo de Matricial de GLn(K) es Grupode LieEn esta seccion se demuestra que la funcion exponencial aplica localmenteel algebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo.

Para esto se empieza definiendo el conjunto

g := {A ∈Mn(R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G}

donde G es un subgrupo matricial de GLn(R).

4.6 Teorema. g es una subalgebra de Lie real de Mn(R).Demostracion. Por definicion, si a es algebra de Lie sobre K con corchete deLie [, ] entonces un subespacio vectorial b de a es una subalgebra de Liede a sobre K si es cerrada bajo corchete de Lie, es decir, si x, y ∈ b implica[x, y] ∈ b.

1. Veamos que g es subespacio vectorial de Mn(R).Por definicion g ⊆ Mn(R). La matriz 0n ∈ g ya que exp(t0) = I ∈ Gpara todo t ∈ R. Por definicion g es cerrado bajo la multiplicacion porun escalar.

Sea A,B ∈ g. Para r ≥ 1 se tiene que los siguientes elementosestan en G:(exp

((1

r

)A

))(exp

((1

r

)B

)),

(exp

((1

r

)A

)exp

((1

r

)B

))r.

80


Por formula del producto Trotter, teorema 2.17, para t ∈ R tenemosque

exp(tA+ tB) = lımr−→∞

(exp

((1

r

)tA

)exp

((1

r

)tB

))r.

Como G es un subgrupo cerrado de GLn(R) entonces el lımite se en-cuentra en G. Es decir (A+B) ∈ g.

2. Veamos que g es cerrado bajo el corchete de Lie.Si A,B ∈ g y r ≥ 1 se tiene que el siguiente elemento esta en G:(exp

((1

r

)A

)exp

((1

r

)B

)exp

((−1

r

)A

)exp

((−1

r

)B

))r2.

Por formula del conmutador, teorema 2.17, para t ∈ R tenemos que

exp(t[A,B]) = exp([tA,B])

= lımr−→∞

{exp

((1

r

)tA

)exp

((1

r

)B

)exp

((−1

r

)tA

)exp

((−1

r

)B

)}r2.

Como G es un conjunto cerrado en GLn(R) entonces el lımite se en-cuentra en G. Es decir, [A,B] ∈ g para A,B ∈ g.

Por consiguiente g es una subalgebra de Lie real de Mn(R). �

Sea G un subgrupo matricial de GLn(K).

g := TIG = {γ′(0) : γ es una curva diferenciable con γ(0) = I}.

4.7 Proposicion. Para un grupo matricial inversible, G, g es una subalgebrade Lie real de g

Demostracion. Veamos que g es subespacio vectorial de g y es cerrada bajoel corchete de Lie.Afirmemos g ⊆ g. En efecto, sea A ∈ g entonces la curvaγ : R −→ G; γ(t) = exp(tA), satisface que γ(0) = I y γ′(0) = A,por lo tanto A ∈ g. Por otro lado g es subespacio de Mn(R) por laproposicion 4.6, mientras por la proposicion 3.8 g subespacio de Mn(R). Por

81


consiguiente, g es subespacio vectorial g.Por la proposicion 4.6 g es cerrado bajo el corchete de Lie. �

Antes de enunciar el teorema que sigue se requiere de un resultadotecnico.4.8 Lema. Sea {An ∈ exp−1G}n≥1 tal que ‖An‖ → 0 y {sn ∈ R}n≥1.Si snAn −→ A ∈Mn(R) cuando n −→∞ entonces A ∈ g.Es decir, dada {An} una sucesion de matrices cuadradas de orden n × n y{sn} sucesion de numeros reales tales que la sucesion {expAn} esta contenidaen el grupo matricial inversible G y el lımite de la sucesion de normas{‖An‖} de las matrices dadas es cero. Entonces, el limite de {snAn} esta eng.Demostracion. Sea x ∈ R y n un numero entero inmediato inferior de x. Sedefine

[x] = n para n ≤ x < n+ 1.

Sea t ∈ R arbitrario. Para cada n ∈ N, escojamos un entero mn = [snt] ∈ Zla que verifica que |tsn −mn| ≤ 1. Entonces

‖mnAn − tA‖ ≤ ‖mnAn − Antsn‖+ ‖Antsn − tA‖= |mn − tsn|‖An‖+ |t|‖Ansn − A‖≤ ‖An‖+ |t|‖Ansn − A‖.

Haciendo n −→ ∞ se obtiene mnAn −→ tA ya que ‖An‖ −→ 0 y ‖snAn −A‖ −→ 0.Por otro, lado tenemos

exp(mnAn) = exp(An)mn ∈ G,

y como G es cerrado en GLn(R) ya que G es grupo matricial inversible, luegose tiene

exp(tA) = lımn→∞

exp(mnAn) ∈ G.

Por lo tanto exp(tA) ∈ G para cada t ∈ R, esto es, A ∈ g. �

La funcion exponencial a menudo ayuda a determinar algebras de Lie;por lo que la funcion exponencial es relevante.4.9 Teorema Sea G un subgrupo matricial de GLn(K).La funcion exponencial exp : g −→ G dada por exp(A) =

∑n≥0

1n!An, es

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localmente difeomorfismo en la matriz 0, aplica una bola abierta de la matriz0 sobre una bola abierta de I en G.Demostracion. Escogemos V un subespacio real complementario de g, esto

Ilustracion 4: La exponencial aplica una vecindad de 0 en g en una vecindadde I en G.

es, un subespacio real de Mn(R) tal que g ⊕ V = Mn(R). Entonces cadaelemento X ∈ Mn(K) tiene una unica expresion de la forma X = A + B,donde A ∈ g y B ∈ V .Consideremos la funcion

Φ : g⊕ V = Mn(R) −→ GLn(R)

(A+B) 7−→ exp(A)exp(B), (A ∈ g, B ∈ V ).

La Φ es funcion suave que aplica la ma-triz nula 0 ∈ Mn(R) en la matriz identidadI ∈ GLn(R),

exp(0 + 0) = exp(0)exp(0) = (I + 0 +1

202 + ...)(I + 0 +

1

202 + ...) = I.

Notese que el factor exp(A) esta en G.Consideremos la derivada en 0,

DΦ(0) : Mn(R) −→ TIGLn(R) = Mn(R).

83


Para determinarDΦ(0)(A+B), la derivada de Φ en 0 evaluada en un punto deA + B ∈ Mn(R) = g⊕ V donde A ∈ g y B ∈ V , hallamos la derivada de lacurva t −→ Φ(t(A+B)) en t = 0, es decir,

DΦ(0)(A+B) = lımt−→0

Φ(0 + t(A+B))− Φ(0)

t

=d

dtΦ(t(A+B))|t=0. (4.1)

Tomemos A,B y t ∈ R pequenos, con norma menor que 1/2, por la igualdad(4.1) de la pagina 48 tenemos que

Φ(t(A+B)) = exp(tA)exp(tB) = exp(C(t)) (4.2)

para una unica C(t) (que depende de t) matriz en Mn(R) tal que C(0) = 0y por la proposicion 2.16 se tiene

‖C(t)− t(A+B)− t2

2[A,B]‖ ≤ 65|t|3(‖A‖+ ‖B‖)3

‖C(t)− t(A+B)‖ ≤ t2

2‖[A,B]‖+ 65|t|3(‖A‖+ ‖B‖)3

o

‖C(t)− t(A+B)‖ ≤ t2

2(‖[A,B]‖+ 130|t|(‖A‖+ ‖B‖)3)

Haciendo |t| −→ 0, tenemos

lımt−→0

‖C(t)− C(0)− t(A+B)‖|t|

= lımt−→0

‖C(t)− t(A+B)‖|t|

= 0.

Ası pues, ddtC(t)|t=0 = A+B. Por lo tanto de (4.1) y (4.2)

d

dtΦ(t(A+B))|t=0 =

d

dtexp(C(t))|t=0 = exp(C(0)).

d

dtC(t)|t=0 = A+B.

Entonces DΦ(0) es la funcion identidad en una vecindad pequena de la matriz0 ∈ Mn(K). Puesto que, para cualquier A en Mn(R) existen {Ai}1≤i≤m con

norma menor que 1/2 tal que A =m∑i=1

Ai. Entonces se puede asegurar por la

linealidad de DΦ(0) que DΦ(0) es la funcion identidad en todo Mn(R). Enconsecuencia aplicando el teorema de funcion inversa, ver proposicion 3.30,

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Φ es un difeomorfismo para alguna vecindad U de la matriz 0 en Mn(R),llevando esto a terminos de bolas abiertas, existe bola abierta NMn(K)(0; δ)para algun δ > 0 tal que la restriccion de Φ a

Φ|NMn(K)(0;δ) : NMn(K)(0; δ) −→ Φ(NMn(K)(0; δ))

es un difeomorfismo.Ahora tenemos que demostrar que

exp|NMn(K)(0;δ)∩g = Φ|NMn(K)(0;δ)∩g : NMn(K)(0; δ)∩g −→ Φ|NMn(K)(0;δ)∩g(NMn(K)(0; δ)∩g)

aplica una bola abierta de NMn(K)(0; δ) ∩ g sobre una bola abierta de I enG. Supongamos lo contrario, esto es, existe una sucesion en G, {Un}, talque Un −→ I pero Un 6∈ Φ(g) para toda n ∈ N. Para un n grande sabemosque Un ∈ Φ(NMn(K)(0; δ)) ya que Φ en NMn(K)(0; δ) es un difeomorfismo.Entonces existen An ∈ g y Bn ∈ V − {0} tal que Φ(An + Bn) = Un. Por serΦ en NMn(K)(0; δ) un difeomorfismo tenemos que si

Un −→ I =⇒ Φ−1(Un) = An +Bn → Φ−1(I) = 0

y esto implica que An → 0 y Bn → 0. Por definicion de Φ tenemos que

Φ(An +Bn) = exp(An)exp(Bn) = Un ∈ G

oexp(Bn) = (exp(An))−1Un ∈ G,

entonces Bn ∈ exp−1(G). Consideremos a Bn := 1‖Bn‖Bn que esta en la esfera

unitaria de Mn(R), la cual es compacta, entonces existe una subsucesionconvergente de {Bn}. Renombrando, si es necesario, tomamos Bn → B con Ben la esfera unitaria de Mn(R), ‖B‖ = 1. Por el lema 4.8 para {Bn ∈ exp−1G}y { 1

‖Bn‖ ∈ R} se obtiene que

1

‖Bn‖Bn = Bn → B ∈ g

Pero cada Bn y por lo tanto cada Bn esta en V . Por ser V cerrado en Mn(R)tenemos que B ∈ V . Por lo tanto B ∈ g ∩ V = {0}, pero esto genera unacontradiccion siempre que ‖B‖ = 1.Por consiguiente exp es un difeomorfismo de una bola abierta de 0,

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NMn(K)(0; δ1) ∩ g ⊆ g, en una bola abierta de I, NMn(K)(I; δ2) :=exp(NMn(K)(0; δ1) ∩ g) ⊆ G. �

Como vemos la funcion exponencial aplica difeomorficamente el alge-bra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo localmente. Por lo queel algebra de Lie captura muchas de las propiedades del grupo matricialinversible, y como se trata de un algebra su manejo es mas sencillo.

4.10 Teorema. Todo subgrupo matricial de GLn(R) es un subgrupode Lie de GLn(R).Demostracion. Por definicion de subgrupo de Lie.Sea G un subgrupo matricial de GLn(K) cualquiera. Entonces G es subgrupocerrado en GLn(K).Veamos que G es una subvariedad de GLn(R). En efecto, G es un espaciotopologico Hausdorff separable pues su topologıa relativa es la heredada deGLn(K) dada por TG = {U ⊆ G : U = F ∩G para algun abierto F en GLn(K)}.

Por el teorema 4.9 tenemos que para algun abierto V ⊆ g tal que0 ∈ V y un abierto U ⊆ G tal que I ∈ G

exp|V : V ⊆ g −→ U ⊆ G

es un difeomorfismo. Como g ⊆ Mn(R) es un subespacio normado real dedimension finita entonces g es una variedad suave y sus cartas vienen dadaspor restricciones abiertas del homeomorfismo entre g y RdimRg. Para el home-omorfismo coord entre g y RdimRg tenemos que

φg := coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 : Lg(U) ⊆ G −→ V ⊆ RdimRg

es una carta de dimension dimRg en g ∈ G y donde V = coord ◦ exp−1U .Sea φg1 y φg2 cartas arbitrarias tal que Lg1(U1) ∩ Lg2(U2) 6= φ.

φg2 ◦ φ−1g1

= coord ◦ exp−1 ◦ Lg−12◦(coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1

1

)−1

= coord ◦ exp−1 ◦ Lg−12◦ Lg1 ◦ exp ◦ coord−1,

entonces φg2 ◦ φ−1g1

es un difeomorfismo en

abiertos de RdimRg . Entonces φg1 y φg2

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estan relacionados. Por lo tanto A := {φg/g ∈ G} es un atlas de dimensiondimRg para G. �

Version simple del algebra de Lie de un subgrupomatricial de GLn(K)Sea G un subgrupo matricial de GLn(K), entonces

g = g.

Donde los espacios vectoriales son definidas por g := {A ∈Mn(R)/∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G} y g := TIG = {α′(0) ∈ Mn(K) :α es una curva diferenciable con α(0) = I}.

En efecto:Sea G es un subgrupo matricial de GLn(K). La dimension de G, comovariedad, es la dimension de sus cartas dimRg, la cual es igual a la dimensionde su algebra de Lie, segun la definicion 3.7, que es dimRg. Por lo tanto,dimRg = dimRg y dado que g ⊆ g se tiene que g = g.

4.4. Grupo Heisenberg de Tamano 3Los siguientes parrafos extraıdo de Esther GALINA en [11] describe al grupoHeisenberg, haciendo uso de las series de Fourier y teorıa de representaciones,de la forma siguiente:“ ... El grupo Heisenberg Hn es un grupo de Lie conexo, simplemente conexo,dos pasos nilpotente, un grupo no conmutativo y no compacto. Su nombrey su significado en la mecanica cuantica proviene del hecho que su algebrade Lie sobre R esta definida por las relaciones canonicas de conmutacionde Heisenberg. EL grupo de Heisenberg tiene aplicaciones en diversas areasde la matematica, la fısica teorica, la teorıa de codigos y senales digitales,como ası tambien en la ingenierıa electrica ...”

Aunque es posible definir el grupo Heisn para n arbitrario. Aquı de-scribimos el grupo de Heisenberg de tamano 3, Heis3, obteniendo de unaforma sencilla como el cociente de dos grupos matriciales inversibles, dondeuna ellos es un subgrupo normal del otro.Construccion del grupo Heisenberg. Sea SUT3(R) el conjunto dematrices triangulares superiores tal que a11 = a22 = a33 = 1, esto es,

SUT3(R) =

1 a b

0 1 c0 0 1

: a, b, c ∈ R

.

87


SUT3(R) es un subgrupo matricial de GL3(R), ya que del ejemplo 2.3 esgrupo bajo multiplicacion de matrices y es cerrado en GLn(K).La regla practica de multiplicacion de dos matrices en SUT3(R) viene dadopor 1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

1 y1 y2

0 1 y3

0 0 1

=

1 x1 + y1 x2 + x1y3 + y2

0 1 x3 + y3

0 0 1

y la regla practica para obtener la inversa de una matriz en SUT3(R) vienedado por 1 a b

0 1 c0 0 1

−1

=

1 −a ac− b0 1 −c0 0 1

.

Se precisa aquı, si G es grupo y N es subgrupo de G. Se dice que N esnormal en G si y solo si gng−1 ∈ N , para cualesquier n ∈ N y g ∈ G.Acontinuacion se define el conjunto

Z3 :=

1 0 z

0 1 00 0 1

: z ∈ Z

.

Luego se deduce que Z3 es un subgrupo normal de SUT3(R).En efecto, dado cualquier A ∈ SUT3(R) y z ∈ Z3, entonces para cualquiera, b, c ∈ R y s ∈ Z se tiene que

AzA−1 =

1 a b0 1 c0 0 1

1 0 z0 1 00 0 1

1 −a ac− b0 1 −c0 0 1

=

1 0 s0 1 00 0 1

= z ∈ Z3.

4.12 Definicion. El grupo Heisenberg de tamano 3, se define como el co-ciente de dos grupos

Heis3 := SUT3(R)/Z3 = {AZ3 : A ∈ SUT3(R)}.

Notese, Heis3 es el conjunto de todas las clases laterales de Z3 en SUT3(R)donde las clases laterales o bien son ajenas o bien iguales. Como Z3 es sub-grupo normal de SUT3(R) entonces AZ3 = Z3A y (AZ3)(BZ3) = (AB)Z3

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para cualesquier A,B ∈ SUT3(R). En consecuencia es posible darle a Heis3

una estructura de grupo con la siguiente operacion binaria

mult : Heis3 ×Heis3 −→ Heis3

(AZ3, BZ3) 7−→ mult(AZ3, BZ3) = (AZ3)(BZ3) = ABZ3.

Lo cual cumple los axiomas de grupo con I3Z3 como elemento identidad(donde I3 es la matriz identidad de SUT3(R)) y A−1Z3 como inverso de AZ3.

Ademas, la proyeccion canonica o natural q : SUT3(R) −→ SUT3(R)Z3

= Heis3

dada por q(A) = AZ3 es un homomorfismo sobreyectivo cuyo nucleo es Z3,es decir Ker q = Z3.

4.13 Proposicion. El grupo Heisenberg de tamano 3, Heis3, es ungrupo de Lie.Demostracion.(i) Veamos que Heis3 es una variedad suave.

Sea q : SUT3(R) −→ Heis3 = SUT3(R)Z3

dada por

q

1 a b0 1 c0 0 1

=

1 a b0 1 c0 0 1

Z3 =

1 a b+ z

0 1 c0 0 1

: z ∈ Z

la proyeccion natural entonces q es ho-momorfismo sobreyectivo. Aprovechando estodaremos al grupo Heisenberg, Heis3, una estructura topologica comosigue:

U ⊆ Heis3 es abierto si y solo si q−1(U) ⊆ SUT3(R) es abierto.

El grupo Heisenberg, Heis3, con esta topologıa es Hausdorff separable. Enefecto, como q−1(φ) = φ y q−1(Heis3) = SUT3(R) son abiertos en SUT3(R)entonces φ y Heis3 son abiertos en Heis3. Sea {Uλ} una familia cualquierade abiertos en Heis3 entonces q−1(Uλ) es abierto en SUT3(R) para cadaλ luego

⋃q−1(Uλ) = q−1(

⋃Uλ) es abierto en SUT3(R) por lo que

⋃Uλ

es un abierto en Heis3. Tambien es⋂Uλ es abierto en Heis3 dado que

q−1(⋂Uλ) =

⋂q−1(Uλ) y {Uλ} es familia finita de abiertos en Heis3.

Esta topologıa, hace de q una aplicacion abierta. Para U ⊆ SUT3(R) se tieneq−1(qU) =

⋃s∈Z3

sU donde Us = {us ∈ SUT3(R) : u ∈ U}. Si U ⊆ SUT3(R)

es abierto, entonces cada Us (s ∈ Z3) es abierto. Por lo tanto q(U) es abierto

89


en Heis3.Esta topologıa, hace de q una aplicacion continua. Sea U ⊆ Heis3 un abiertoentonces por definicion de q, q−1(U) es abierto en SUT3(R).

El Heis3 = SUT3(R)Z3

es separable. En efecto, Como SUT3(R) es separableentonces existe una base contable de abiertos SUT3(R) =

⋃i∈N

Ui. Luego

aplicando tenemos Heis3 =⋃i∈N

q(Ui) que es una base contable de abiertos.

Finalmente Heis3 es Hausdorff. Sea AZ3, BZ3 ∈ Heis3 con AZ3 6= BZ3

entonces AZ3 ∩ BZ3 = φ luego aplicando q−1(AZ3) ∩ q−1(BZ3) = φ o seaque A 6= B son puntos distintos en SUT3(R). Como SUT3(R) es un espaciotopologico Hausdorff separable entonces para A y B existen abiertos U 3 Ay V 3 B en SUT3(R) tal que U ∩ V = φ. Como q es sobreyectiva entoncesexisten conjuntos U = q−1(U ′) con AZ3 ∈ U ′ y V = q−1(V ′) con BZ3 ∈ V ′.Como φ = U ∩ V = q−1(U ′) ∩ q−1(V ′) entonces U ′ ∩ V ′ = φ.

Se define Ux1,x2,x3 como bola abierta de radio 1/2 y centro 1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

∈ SUT3(R) con x1, x2, x3 ∈ Q en SUT3(R), esto es,

Ux1,x2,x3 =

1 y1 y2

0 1 y3

0 0 1

:

∥∥∥∥∥∥ 1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

− 1 y1 y2

0 1 y3

0 0 1

∥∥∥∥∥∥max

< 1/2

.

Entonces la coleccion U := {Ux1,x2,x3 : xi ∈ Q} es un cubrimiento contablede SUT3(R).La aplicacion (restringida de la proyeccion natural) definida por

φa,b,c : Ua,b,c −→ φa,b,c(Ua,b,c) ⊆ Heis3 1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

7−→

1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

Z3

es un homeomorfismo entre Ua,b,c y φa,b,c(Ua,b,c). En efecto, la aplicacion φa,b,cessobreyectiva.

Veamos que φa,b,c es inyectiva. Sean

1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

,

1 y1 y2

0 1 y3

0 0 1

en

90


Ua,b,c entonces |x2 − b| < 12

y |y2 − b| < 12.

Si 1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

Z3 =

1 x1 x2 + z

0 1 x3

0 0 1

: z ∈ Z

es igual a 1 y1 y2

0 1 y3

0 0 1

Z3 =

1 y1 y2 + z

0 1 y3

0 0 1

: z ∈ Z

entonces 1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

=

1 y1 y2

0 1 y3

0 0 1

1 0 z0 1 00 0 1

para algun z ∈ Z

1 x1 x2

0 1 x3

0 0 1

=

1 y1 y2 + z0 1 y3

0 0 1

por igualdad de matrices se sigue x1 = y1, x3 = y3 y x2 − y2 = z ∈ Z.Por otro lado |x2 − y2| ≤ |x2 − b| + |y2 − b| < 1

2+ 1

2< 1. Como x2 − y2 ∈ Z

entonces x2 = y2. Entonces φa,b,c : Ua,b,c ⊆ SUT3(R) −→ φa,b,c(Ua,b,c) dadapor φa,b,c(A) = AZ3 es biyectiva con inversa φ−1

a,b,c : φa,b,c(Ua,b,c) −→ Ua,b,cdada por φ−1

a,b,c(AZ3) = A.

Las funciones φa,b,c y φ−1a,b,c son continuas. Supongamos U ⊆ Heis3 abierto en

Heis3 entonces por definicion de topologıa φ−1(U) es abierto en SUT3(R).Supongamos U ⊆ SUT3(R) es abierto en SUT3(R). Como la funcion φ−1

a,b,c es

sobreyectiva entonces existe un conjunto V ′ ⊆ Heis3 tal que U = φ−1a,b,c(V

′)

luego por definicion de topologıa V ′ es abierto en Heis3. Como φ−1a,b,c es

biyectiva entonces (φ−1a,b,c)

−1(U) = φa,b,c(U) = φa,b,c(φ−1a,b,c(V

′)) = V ′ esabierto en Heis3. Por consiguiente φa,b,c es homeomorfismo.

La aplicacion, ψ : SUT3(R) −→ R3 dada por

1 a b0 1 c0 0 1

7−→ (a, b, c) es un

difeomorfismo de manera natural. Entonces la compuesta

ψ ◦ φ−1a,b,c : φa,b,c(Ua,b,c) ⊆ Heis3 −→ ψ(Ua,b,c) ⊆ R3

91


es homeomorfismo de un abierto de Heis3 en un abierto de R3. En conse-cuencia ψ ◦ φ−1

a,b,c es una carta de Heis3 de dimension 3.

Sean dos cartas, ψ ◦ φ−1a,b,c y ψ ◦ φ−1

a′,b′,c′ , tal que Ua,b,c ∩ Ua′,b′,c′ 6= φ

entonces (ψ ◦ φ−1a,b,c) ◦ (ψ ◦ φ−1

a′,b′,c′)−1 = (ψ ◦ φ−1

a,b,c) ◦ (φa′,b′,c′ ◦ ψ−1) lacomposicion es difeomorfismo, por lo tanto las cartas estan relacionadas.Por otro lado, como SUT3(R) =

⋃{Ua,b,c : a, b, c ∈ Q} luego aplicando φa,b,c

tenemos Heis3 = q(SUT3(R)) =⋃{φa,b,c(Ua,b,c) : a, b, c ∈ Q}. Por tanto

A :={ψ ◦ φ−1

a,b,c : a, b, c ∈ Q}

es un atlas de dimension 3 para Heis3.

Por consiguiente, Heis3 es una variedad suave de dimension 3.

(ii) Veamos que Heis3 es grupo topologico. El Heis3 es grupo con laoperacion (AZ3)(BZ3) = ABZ3, donde AZ3, BZ3 ∈ Heis3,. La operacionbinaria mult = LAZ3 ◦ P2, donde AZ3 ∈ Heis3, es continua porque LAZ3

y P2 son continuas. La operacion unaria inv = LA−1Z3◦ CTEIZ3 , donde

CTEIZ3 : Heis3 −→ {IZ3} dada por CTEIZ3(AZ3) = IZ3, es continuaporque LA−1Z3

y CTEIZ3 son continuas.

(iii) Puesto que LAZ3 , P2, LA−1Z3y CTEIZ3 son suaves. Entonces

mult : Heis3 ×Heis3 −→ Heis3

(xZ3, yZ3) 7−→ xyZ3y

inv : Heis3 −→ Heis3

xZ3 7−→ x−1Z3

son funciones suaves.Por lo tanto de (i), (ii) y (iii) se concluye que el grupo Heisenberg, Heis3,es un grupo de Lie de dimension 3.4.14 Definicion.Los centros de SUT3(R) y Heis3 estan definidos por

1. C(SUT3(R)) :=

1 0 b

0 1 00 0 1

: b ∈ R

.

2. C(Heis3) :=

1 0 b

0 1 00 0 1

Z3 : b ∈ R

.

Luego C(SUT3(R)) es subgrupo normal de SUT3(R) y C(Heis3) essubgrupo normal abeliano de Heis3.Notacion de cociente del grupo Heisenberg.

92


Notemos que C(Heis3) = C(SUT3(R))/Z3.El grupo circular

S1 := {z ∈ C : |z| = 1}

es ismomorfo al centro de Heis3, es decir C(Heis3) ∼= S1 con el isomorfismonatural dada por 1 0 t

0 1 00 0 1

Z3 ←→ e2πit. (4,2)

De ahora en adelante denotaremos un cociente 1 x t0 1 y0 0 1

Z3 ∈ Heis3

como [x, y, e2πit].Entonces un elemento de Heis3 tendra la forma [x, y, z] para x, y ∈ R yz ∈ S1. El elemento unidad de Heis3 es [0, 0, 1] = IZ3.La multiplicacion, inversos y conmutadores en Heis3 estan dadospor

[x1, x2, x3][y1, y2, y3] = [x1 + y1, x2 + y2, x3y3e2πx1y2 ],

[x, y, z]−1 = [−x,−y, z−1e2πixy],

[x1, x2, x3] [y1, y2, y3] [x1, x2, x3]−1 [y1, y2, y3]

−1 = [0, 0, e2πi(x1y2−x2y1)].

Para x1, x2, y1, y2 ∈ R y x3, y3 ∈ S1.

4.5. No Todo Grupo de Lie Tiene RepresentacionMatricialEl siguiente teorema nos muestra que el grupo de Heisenberg de tamano 3,Heis3, no puede ser considerado como un subgrupo matricial de GLn(K) enun sentido mas amplio y tecnico podemos decir que entre Heis3 y GLn(C)no existe un isomorfismo continuo de grupos con lo que se da por finalizadoeste trabajo de pregrado de la que se desprende una pregunta y es: ¿Cuandoun grupo de Lie es un subgrupo matricial de GLn(K)?, segun lo expuestopor Andrew Baker en su libro Matrix Groups[5]; todo grupo de Lie compactopuede ser representado por un subgrupo matricial de GLn(K).

93


4.15 TeoremaNo existen homomorfismo continuos de grupos ϕ : Heis3 −→ GLn(C) conkernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]} = {I3Z3}, para cualquier n ∈ N. Es decir, elgrupo de Heisenberg de tamano 3, Heis3, no tiene representacion medianteun subgrupo matricial de GLn(K).Demostracion por absurdo.Supongamos que ϕ : Heis3 −→ GLn(C) es un homomorfismo continuo conkernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]} = {I3Z3}, y sea n el mınimo para el cualesto sucede.

Por cada g ∈ Heis3, la matriz ϕ(g), actua sobre Cn del siguientemodo

Heis3 × Cn → Cn

(g, v) 7→ ϕ(g)v.

Identificamos a C(Heis3) con S1 por medio del isomorfismo dado en laecuacion 4.2.

Sean z0 ∈ C(Heis3) ∼= S1 y λ un valor propio de la matriz ϕ(z0) convector propio v, entonces det(ϕ(z0)− λIn) = 0, ϕ(z0)v = λv y ademas

ϕ(zk0 )v = ϕ(z0)kv = ϕ(z0)

k−1λv = λkv.

Notese que el autovalor λ 6= 0 pues si λ = 0 entonces det(ϕ(z0)) = 0 lo cualcontradice al det(ϕ(z0)) 6= 0 ya que ϕ(z0) ∈ GLn(C).Tomemos a |λ| ≥ 1 (reemplazando, si es necesario, z0 por z−1

0 )Si |λ| > 1 se obtiene que

‖ϕ(zk0 )‖ := max

{|ϕ(z0)

kx||x|

: x ∈ Cn − {0}}≥ |λ|k;

por lo tanto ‖ϕ(zk0 )‖ → ∞ cuando k → ∞, lo cual implica que{ϕ(zk0 ) : k ∈ N} no esta acotada por el criterio de comparacion.Por otro lado {zk0 : k ∈ N} ⊆ C(Heis3) ∼= S1 y S1 es compacto entoncespor la continuidad de ϕ la imagen ϕ(S1) es compacto. En consecuencia{ϕ(zk0 ) : k ∈ N} es acotada. Lo cual es una contradiccion. Ası, necesaria-mente |λ| = 1.

94


Sea g un elemento cualquiera de Heis3, entonces

ϕ(z0)ϕ(g)v = ϕ(z0g)v = ϕ(gz0)v = ϕ(g)ϕ(z0)v = λϕ(g)v,

lo cual muestra que ϕ(g)v ∈ Cn es un vector propio de ϕ(z0) para el valorpropio λ.Sean

V kλ := {v ∈ Cn/∃k ≥ 1 tal que (ϕ(z0)− λIn)kv = 0} y Vλ :=

⋃k

V kλ .

Se deduce que

V 1λ ⊆ V 2

λ ⊆ · · · ⊆ V kλ ⊆ · · ·

EL conjunto Vλ es un subespacio vectorial de Cn, el cual es cerrado bajo laaccion de las matrices ϕ(g) con g ∈ Heis3, es decir, si v esta en Vλ, entoncesϕ(g)v esta en Vλ. Esto es verdad ya que si v esta en Vλ existe un k > 0 parael cual (ϕ(z0)− λIn)kv = 0, ası

(ϕ(z0)− λIn)kϕ(g)v = (ϕ(z0)− λIn)k−1(ϕ(z0)ϕ(g)− λϕ(g))v

= (ϕ(z0)− λIn)k−1(ϕ(z0g)− λϕ(g))v

= (ϕ(z0)− λIn)k−1(ϕ(gz0)− λϕ(g))v

= (ϕ(z0)− λIn)k−1ϕ(g)(ϕ(z0)− λIn)v

= ϕ(g)(ϕ(z0)− λIn)kv

= 0,

Por lo tanto ϕ(g)v ∈ V λ.Escojamos k0 ≥ 1 el mayor numero natural para la cual exista v0 ∈ Vλ quesatisfaga

(ϕ(z0)− λIn)k0v0 = 0, pero (ϕ(z0)− λIn)k0−1v0 6= 0.

Si k0 > 1,

0 = (ϕ(z0)− λIn)(ϕ(z0)− λIn)(ϕ(z0)− λIn)k0−2v0,

Sean v := (ϕ(z0) − λIn)(ϕ(z0) − λIn)k0−2v0 y u := (ϕ(z0) − λIn)k0−2v0

vectores que porsupuesto son no nulos en Vλ tales que

95


ϕ(z0)u = λu+ v, ϕ(z0)v = λv.Dado que v 6= 0 y para cualquier k ∈ N,

ϕ(zk0 )u = ϕ(z0)ku

= ϕ(z0)k−1(λu+ v)

= λϕ(z0)k−1u+ ϕ(z0)

k−1v

= λϕ(z0)k−1u+ λk−1v

= λϕ(z0)k−2(λu+ v) + λk−1v

= λ2ϕ(z0)k−2u+ λk−1v + λk−1v

= λ2ϕ(z0)k−3(λu+ v) + λk−1v + λk−1v

= λ3ϕ(z0)k−3u+ λk−1v + λk−1v + λk−1v

...

= λku+ kλk−1v,

puesto que |λ| = 1 se obtiene

‖ϕ(zk0 )‖ = ‖ϕ(z0)k‖ ≥ |λ|k−1|λu+ kv| = |λu+ kv| → ∞

cuando k →∞. Esta afirmacion esta en contradiccion con el hecho que ϕ(S1)es acotada, entonces k0 = 1. Por consiguiente Vλ es el espacio vectorial de losvectores propios de ϕ(z0) para el valor propio λ, es decir,

Vλ := {v : (ϕ(z0)− λIn)v = 0}.

Ası pues, la siguiente accion del Heis3 sobre Vλ

ϕ : Heis3 × Vλ → Vλ

(g, v) 7→ ϕ(g)v

es la representacion de Heis3 sobre el espacio vectorial Vλ, por lo tanto laaplicacion (la cual podemos tomar ϕ sin perder la generalidad)

ϕ : Heis3 −→ GLdimVλ(C)

es un homomorfismo continuo con kernel trivial tal que ϕ(z0) = λI(dimVλ) ypor la condicion mınima de n se debe tener que dimVλ = n. Es mas, por lacontinuidad de ϕ tenemos que para todo z en C(Heis3), ϕ(z) = (escalar)In.

96


Dado que todo z ∈ C(Heis3) es un conmutador; z = ghg−1h−1 parag, h ∈ Heis3, y det como ϕ son homomorfismos, tenemos que

detϕ(z) = detϕ(ghg−1h−1) = 1 (∀z ∈ C(Heis3)).

Entonces, existe una funcion continua µ : C(Heis3) −→ C× = C − {0} talque para todo z en C(Heis3),

ϕ(z) = µ(z)In y µ(z)n = detϕ(z) = 1.

Como C(Heis3) ∼= S1 es un subconjunto conexo de C y ϕ(I3Z3) = In dondeI3Z3 ∈ C(Heis3), se tiene que µ(z) = 1 para toda z en S1 ∼= C(Heis3). Ası,ϕ(z) = In para todo z en C(Heis3), por lo tanto C(Heis3) esta contenido enKerϕ, es decir C(Heis3) ⊆ Kerϕ. Lo cual es contradictorio con la suposicionde que el kernel de ϕ es trivial, es decir kerϕ = {IZ3}.

Por tanto, no existe homomorfismos continuo entre Heis3 y GLn(C),ϕ : Heis3 −→ GLn(C), con kernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]}. Es decir, elgrupo de Heisenberg de tamano 3, Heis3, no tiene representacion medianteun subgrupo matricial de GLn(K). �

97


La funcion exponencial aplica el algebra de Lie de un subgrupomatricial de GLn(K) en el grupo mismo.

98

Bibliografıa

[1] EMILIO LLUIS PUEBLA. Teorıa degrupos : Publicacion de la SociedadMatematica Mexicana, 2006.

[2] E. LAGES LIMA. Introducao as variedades diferenciaveis : EditorialMeridional, 1960.

[3] E. LAGES LIMA. Algebra linear : Publicacion de IMPA, septima edi-cion, 2004.

[4] GUILLERMO MORENO & MIGUEL ANGEL TORRES. Grupos deLie que no son Grupos de Matrices: Departamento de MatematicasCINVESTAV-MEXICO, Publicado en 1991.

[5] ANDREW BAKER. Matrix Groups:An introduction to Lie group theory :Editorial Springer-Verlag-Inglaterra, 2002.

[6] R. CARTER, G. SEGAL & I. MACDONALD. Lectures on Lie Groupsand Lie Algebras: Impreso en Cambridge University, 2004.

[7] MICHAEL SPIVAK. Calculo en Variedades: Editorial Reverte, 1988.

[8] ANDREW BAKER. An introduction to matrix groups and their ap-plications: Departamento de matematicas de University of Glasgow-Inglaterra, 2000.

[9] E. LAGES LIMA. Analise no espaco Rn. Editorial Universidad deBrasılia-San Paulo-Brasil, 1970.

99

[10] MORRIS W. HIRSCH & STEPHEN SMALE. Differential Equations,Dynamical Systems, and Linear Algebra-1974: Version en espanol porCarlos Fernandez Perez, editorial Alianza-Madrid-Espana, 1983.

[11] ESTHER GALINA. Representaciones del grupo de Heisenberg: Notasdel curso de Analisis Armonico en el Grupo Heisenberg en la Univer-sidad Nacional de Cordova-Espana, dictadas en el primer semestre de2008.

[12] SERGE LANG. Algebra: Editorial Addison-Wesley, segunda edicion1984.

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Capitulo4 libroinvestigacion

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