Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47. 36 CAPÍTULO 2 2.8 - Exercícios pág. 45 - 47 1. A posição de uma partícula no plano xy no tempo t é dada por t e t x , t e t t y a) Escrever a função vetorial t f que descreve o movimento desta partícula. b) Onde se encontrará a partícula em 0 t e em 2 t ? a) j te i e t f t t b) i j e i e f 0 0 0 0 e 2 2 2 2 f ei ej . 2. O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser expresso pela função vetorial. j m sent t t i m t t r 2 cos 1 , onde m é a massa do besouro. Determinar a posição do besouro no instante 0 t e t . Temos: . 0 0 0 0 0 0 . 2 0 cos 1 0 j i j m sen i m r e . 2 2 . 2 cos 1 j m i m j m sen i m r 3. Esboçar a trajetória de uma articula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
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Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
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CAPÍTULO 2
2.8 - Exercícios
pág. 45 - 47
1. A posição de uma partícula no plano xy no tempo t é dada por tetx , tetty
a) Escrever a função vetorial tf que descreve o movimento desta partícula.
b) Onde se encontrará a partícula em 0t e em 2t ?
a) jteietf tt
b) ijeief 00 00 e 2 22 2f e i e j .
2. O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser
expresso pela função vetorial.
jm
senttti
m
ttr
2
cos1, onde m é a massa do besouro. Determinar a
posição do besouro no instante 0t e t .
Temos:
.000
000.2
0cos10
ji
jm
seni
mr
e
.22
.2cos1
jm
im
jm
seni
mr
3. Esboçar a trajetória de uma articula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
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múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
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a) jtittf 12 2
12 2tty
ttx
ou
12 2 xy
-2 2
-2
2
4
6
8
x
y
b) jt
it
tg1
32
, 0t
Temos:
x
tt
tx22
e
1
3
tty ou
x
x
x
x
x
y
2
3
2
3
12
3, 0x
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múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
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1 2 3
1
2
x
y
c) ktjitth 24
Temos:
ttx
1ty
24ttz
Assim, 24xz , 1y
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x y
z
(0,1,0)
d) ktjittv ln , 0t
Temos:
ttx ln
tty
1tz
Assim, yx ln , 1z
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múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 45 – 47.
40
x
y
z
(1,e,1)
1
e
e) ktsenjtsenittw 393cos3 ; 2,0t
Temos:
ttx cos3
tsenty 3
senttz 39
ou seja
yz
yx
9
922
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41
xy
z
9
f) 29r t t i t j t k , 0t
Temos:
ttx
tty 9
2ttz
Assim, xy 9 , 2xz
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42
x
y
z
(3,6,9)
(0,9,0)
g) 2l t t i sen t j k
ttx
tsenty
2tz
ou
xseny , 2z
x
y
z
2
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h) ktsenjtitsentr 4cos248
tsentx 48
tty cos2
tsentz 4
ou
zx
zy
8
1164
22
xy
z
(8,-2,0)
(8,2,0)
(4,0,4)
(12,0,4)
4. Sejam 2f t at b t
e ktjtsenittg cos , com jia e jib 2 ;
20 t .
Calcular:
a) tgtf
.2
2
2
22
22
2
jttitt
jtitjtit
tjitjitf
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2 2
2 2
2 2
2 cos
2 2 cos
2 cos
f t g t t t i t t j ti sen t j t k
t t i t t sen t j tk
t t i t t sen t j t k
com 20 t .
b)
2 2
2 2
2 3 2
. 2 0 . cos
2 . . 0 . cos
2
f t g t t t i t t j k ti sen t j tk
t t t t t sen t t
t t t t sen t
com 20 t .
c) tgtf = ktjtsenitjttitttgtf cos2 22 =
ttsent
tttt
kji
cos
02 22 =
ktsenttsentttjtttittt
tttsenttsentkttttjtttti
223
32222
221cos1cos
2cos2coscoscos
com 20 t .
d) tgbtfa ..
senttt
tsenttttt
ktjtsenitjijttittji
4
22
cos.22.
2
22
22
com 20 t .
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e) 11 tgtf =
2 2
2 2
2 2
1 2 1 1 1 1 1 cos 1
1 2 2 1 1 1 2 1 1 cos 1
2 2 2 3 2 1 cos 1
t t i t t j t i sen t j t k
t t t t i t t t sen t j t k
t t i t t sen t j t k
com 20 t .
5. Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado
por kjt
ittr
2
1.
a) Determinar a posição da partícula no instante 0t e 1t
b) Esboçar a trajetória da partícula.
c) Quando t se aproxima de 2 , o que ocorre com a posição da partícula?
a) kjkjir 2
1
2
100
010, ,1
2P
1r i j k
1 1, 1,1P
b)
1
2
1
tz
tty
ttx
ou
2
1
xy , z=1.
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