Matrices y Determinantes MATEMÁTICAS I 35 2. MATRICES Y DETERMINANTES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Matrices. 2.- Operaciones con Matrices. 3.- Equivalencia de Matrices. Transformaciones Elementales de Matrices. 4.- Cálculo de la Matriz Inversa. 5.- Determinantes. 6.- Desarrollo de un Determinante. 7.- Propiedades de los Determinantes. 8.- Expresión de la Matriz Inversa . PROBLEMAS RESUELTOS. BIBLIOGRAFÍA
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Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 3355
2. MATRICES Y DETERMINANTES
SUMARIO:
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS
INTRODUCCIÓN TEÓRICA
1.- Matrices.
2.- Operaciones con Matrices.
3.- Equivalencia de Matrices. Transformaciones Elementales de
Matrices.
4.- Cálculo de la Matriz Inversa.
5.- Determinantes.
6.- Desarrollo de un Determinante.
7.- Propiedades de los Determinantes.
8.- Expresión de la Matriz Inversa .
PROBLEMAS RESUELTOS.
BIBLIOGRAFÍA
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 3366
INTRODUCCIÓN
En este punto del temario surge un dilema para el profesor. Si se
persigue una rigurosidad matemática habría que comenzar este segundo
bloque definiendo la estructura de Espacio Vectorial, para a continuación y
como ejemplo, definir las Matrices, pasando posteriormente a las
aplicaciones lineales, los sistemas de ecuaciones y finalmente como ejemplo
de aplicación multilineal, dar los determinantes.
Sin embargo en un curso de Álgebra lineal dentro de la formación de
un Ingeniero Técnico, creemos que se debe ser más flexible en el orden de
los temas atendiendo fundamentalmente al criterio de que al alumno lo que
le interesa es el manejo práctico que de toda esta herramienta puede realizar.
Es por esto que, siendo fieles a la evolución del Álgebra, comenzamos el
tema incentivándolos mediante un ejemplo en el que halla que resolver un
sistema de ecuaciones y a continuación les exponemos toda la matemática
necesaria que les facilitará dicha resolución: las matrices y los determinantes,
para finalmente atacar con esta herramienta cualquier sistema de ecuaciones
que se les presente. Este orden nos permite mostrarles los espacios
vectoriales dotados de una gran cantidad de elementos matemáticos que nos
evitarán teorizar en demasía y avanzar con fluidez en los siguientes temas.
Matrices y Determinantes
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OBJETIVOS
• Realizar con soltura las distintas operaciones con matrices.
• Comprobar que las matrices cuadradas de orden n tienen una
estructura de anillo.
• Conocer las posibles operaciones elementales, e identificarlas con
el producto por la correspondiente matriz elemental.
• Comprender su significado y calcular con precisión el rango de una
matriz.
• Manejar el método de Gauss para hallar una matriz escalonada
equivalente.
• Determinar subconjuntos notables de matrices cuadradas como
diagonales, matrices de traza nula, triangulares de cada tipo,
simétricas, antisimétricas, hermíticas, antihermíticas, etc.
• Calcular, si es posible, como producto de matrices elementales, la
inversa de una matriz cuadrada.
• Comprender el sentido de las propiedades de los determinantes,
cuyo fin es calcularlos con mayor comodidad que siguiendo la
definición.
• Conocer y practicar con soltura el cálculo de un determinante por
los diferentes métodos y elegir la estrategia más adecuada en cada
caso.
• Calcular con soltura el rango de una matriz empleando
determinantes.
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 3388
• Decidir si una matriz tiene inversa, o no, a través de su propio
determinante. Cuando exista, calcular la inversa mediante
determinantes.
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 3399
INTRODUCCION TEORICA
1. MATRICES
Una matriz A de orden m n× es un conjunto de m n⋅ elementos
pertenecientes a un cuerpo K , ordenados en m filas y en n columnas.
11 112
221 22
1 2
n
ni j
n nnn
a a aa a a
A a
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= = donde 1i m= ,... , 1j n= ,..., .
Nosotros consideraremos que K es el cuerpo o .
Simbolizaremos una matriz por una letra mayúscula A o por :
1 21 2
i mi jj n
a⎛ ⎞⎜ ⎟ = , ,...,⎝ ⎠
= , ,...,,
o de forma más sencilla por i ja⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(el subíndice i nos indica la fila en la
cual se encuentra el elemento, el j la columna).
1.1. Tipos particulares de Matrices
Si 1m = la matriz A se llama matriz fila.
Si 1n = la matriz A se llama matriz columna.
Si m n≠ la matriz A se llama matriz rectangular
Si m n= la matriz A se llama matriz cuadrada y se dice de orden n .
NOTACIONES
El conjunto de matrices de orden m n× cuyos elementos toman valores
del cuerpo K se simboliza por ( )m nM K× .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 4400
Si K = , se simplifica la notación por ( )M m n, o m nM × .
El conjunto de matrices cuadradas de orden n se simboliza por ( )nM K .
Si K = , utiliza la notación nM o n nM × .
1.2. Definición de Matriz Nula
Matriz nula n n×O es aquella en que todos sus elementos son 0 , es decir,
0i ja = , 1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,..., . Cualquiera que sea el orden de las
matrices con las que se trabaje, siempre es posible definir su matriz nula.
1.3. Definición de Diagonal Principal
Si A es una matriz cuadrada de orden n la diagonal principal de A es los
elementos de la forma iia , 1 2i n∀ = , ,... .
1.4. Definición de Traza
Traza de una matriz cuadrada A es la suma de los elementos de la
diagonal principal:
11 22( ) ( ) nnTraza A Tr A a a a= = + + + .
2. OPERACIONES CON MATRICES
2.1. Igualdad
Dos matrices A y B del mismo orden m n× son iguales si y sólo los
elementos situados en las mismas posiciones en ambas matrices coinciden,
es decir, si: i j i ja b= ,
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 4411
1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,... .
2.2. Suma de matrices
Dadas dos matrices A y B del mismo orden m n× se define la matriz
suma C A B= + , como la matriz de orden m n× que resulta de sumar
entre sí los elementos que ocupan las mismas posiciones en ambas matrices,
es decir:
i j i j i jc a b= + , 1 2 1 2i m j n∀ = , ,... , ∀ = , ,..., .
2.3. Producto de una matriz por un número
Dada una matriz A de orden m n× y dado un elemento Kλ ∈ , la matriz
B = Aλ (producto de la matriz A por el elemento del cuerpo λ ) es la
matriz de orden m n× que resulta de multiplicar todos los elementos de A
por λ , esto es:
i jb = i jaλ , 1 2i m∀ = , ,..., , 1 2j n∀ = , ,..., .
2.4. Producto de matrices
Dadas dos matrices A de orden m n× y B , de orden n p× , su matriz
producto C A B= ⋅ es una matriz de orden m p× tal que:
1 1 2 21
n
i j i k k j i j i j i n n jk
c a b a b a b a b=
= = + + +∑ , 1 2i m∀ = , ,..., ,
1 2j p∀ = , ,..., .
IMPORTANTE: Para que se puedan multiplicar dos matrices, el número
de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.
El producto de matrices no es conmutativo .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 4422
2.5. Trasposición de matrices
Dada una matriz A de orden m n× se define su matriz traspuesta, que se
simboliza por tA como la matriz que resulta de intercambiar en A sus filas
por sus columnas, esto es:
( )ti ja , donde 1i m= ,... , 1j n= ,..., y con t
i j j ia a= .
El orden de la matriz traspuesta es n m× .
Las principales propiedades de la trasposición de matrices son:
( )t t tA B A B+ = +
( )t t tA B B A⋅ = ⋅ .
2.6. Tipos de Matrices Cuadradas
Una matriz A, cuadrada de orden n se dice que es:
Diagonal, si 0i ja = , si i j≠ .
Escalar, si es diagonal y i ia a= , 1 2i n∀ = , ,..., .
Identidad, si es escalar y 1i ia = , 1 2i n∀ = , ,..., . Se denota por I .
Triangular superior, si 0i ja = , i j∀ > .
Triangular inferior, si 0i ja = , i j∀ < .
Regular o invertible, si existe su inversa (trabajando con el producto de
matrices). A la matriz inversa se la denota por 1A− y verifica: 1 1A A A A− −⋅ = ⋅ = I .
Singular, si no tiene inversa.
Simétrica, si tA A= .
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 4433
Antisimétrica, si tA A= − , (también se denomina hemisimétrica).
Idempotente, si 2A A= .
Involutiva, si 2A = I .
Ortogonal, si 1tA A−= .
3. EQUIVALENCIA DE MATRICES. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
DE MATRICES
Las transformaciones elementales de fila más importantes son:
La permutación de las filas i y j , que denotaremos por i jF .
El producto de la fila i por una constante 0k ≠ , denotada por ( )iF k .
Sumar a la fila i la j multiplicada por k , denotada por ( )i jF k .
Análogamente las transformaciones elementales de columnas son i jC ,
( )iC k , y ( )i jC k .
3.1. Matriz Elemental
Matriz elemental es toda matriz que resulta de aplicar una transformación
elemental a la matriz identidad. iF denotará una matriz elemental general
de tipo fila y jC denotará una matriz elemental general de tipo columna.
Las distintas matrices elementales son:
1.- i jF y i jC que resultan de intercambiar en la matriz identidad n n×I las
filas i y j , en el caso de ijF , o las columnas i y j , en el caso de i jC . Por
lo tanto,
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICAS I 4444
si
1 0 00
11
10
0 0 1
n n×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
I
se tiene que al intercambiar las filas (o las columnas) i y j resulta:
i j
1
0 1
1 0
1
i j i j
i
F Cj
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2.- ( )iF k y ( )iC k que resultan de multiplicar en la matriz identidad n n×I
la fila i por el escalar k , en el caso de ( )iF k , o la columna i por el escalar
k , en el caso de ( )iC k .
1
1( ) ( )
1
1
i i
i
F k C k ik
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Matrices y Determinantes
MATEMÁTICAS I 4455
3.- ( )i jF k y ( )i jC k que resultan de sumar en la matriz identidad n n×I a la
fila i la j multiplicada por el escalar k , en el caso de ( )ijF k , o a la
columna i la j multiplicada por el escalar k , en el caso de i jC .
1
1( )
1
1
i j
ik
F kj
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1( )
1
1
i j
i j
C kk
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
NOTA: La matriz que se obtiene al realizar una transformación elemental
en la matriz A de orden n m× por filas (columnas) coincide con la matriz
obtenida al multiplicar por la izquerda (derecha) la matriz A por la matriz