LISIS DE RIESGO E INTRODUCCIÓN I. ANÁLISIS BAJO RIESGO 1.1 El Riesgo En Los Proyectos 1.2 Métodos Para Tratar El Riesgo 1.2.1 El Método del Criterio Subjetivo 1.2.1.1 Dependencia e independencia de los flujos de caja en el tiempo 1.2.1.2 Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR 1.2.2 El Método del ajuste a la tasa de descuento. 1.2.3 El método de la equivalencia a certidumbre. 1.2.4 El método de los valores esperados. o modelo dl árbol de decisión 1.2.5 Los métodos basados en mediciones estadísticas o Modelo de simulación de Monte Carlo II. ANÁLISIS BAJO INCERTIDUMBRE 2.1. Criterio Maximin - pesimista o conservador 2.2. Criterio Minimax - pesimista o conservador 2.3. Criterio Maximax - optimista o agresivo 2.4. Principio de Laplace LAPLACE CAPITULO IX ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBR E EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
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LISIS DE RIESGO E
INTRODUCCIÓN
I. ANÁLISIS BAJO RIESGO
1.1 El Riesgo En Los Proyectos
1.2 Métodos Para Tratar El Riesgo
1.2.1 El Método del Criterio Subjetivo
1.2.1.1 Dependencia e independencia de los flujos de caja en el tiempo
1.2.1.2 Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR
1.2.2 El Método del ajuste a la tasa de descuento. 1.2.3 El método de la equivalencia a certidumbre.
1.2.4 El método de los valores esperados. o modelo dl árbol de decisión
1.2.5 Los métodos basados en mediciones estadísticas o Modelo de
simulación de Monte Carlo
II. ANÁLISIS BAJO INCERTIDUMBRE
2.1. Criterio Maximin - pesimista o conservador
2.2. Criterio Minimax - pesimista o conservador
2.3. Criterio Maximax - optimista o agresivo
2.4. Principio de Laplace
LAPLACE
CONCLUSIONES DE ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE EN
PROYECTOS DE INVERSIÓN
RECOMENDACIONES DE ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE
EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
CAPITULO
IXANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE
EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
INTRODUCCIÓN
Al no tener certeza sobre los flujos futuros de caja que ocasionará cada inversión, se estará en
una situación de riesgo o incertidumbre. Existe riesgo cuando hay una situación en la cual una
decisión tiene más de un posible resultado y la probabilidad de cada resultado específico se
conoce o se puede estimar. Existe incertidumbre cuando esas probabilidades no se conocen o
no se pueden estimar.
El objetivo de este capítulo es analizar el problema de la medición del riesgo en los proyectos
y los distintos criterios de inclusión y análisis para su evaluación.
Existen diversos factores que dan lugar a la introducción del riesgo en los proyectos de
inversión. La situación económica del país y las medidas de política que se adopten, el
mercado, la tecnología, la legislación laboral, las tasas de interés, etc. Hacen prácticamente
imposible predecir el futuro con exactitud. En consecuencia, los ingresos, costos y vida útil
del proyecto no se conocen en total certeza.
El análisis de riesgo de un proyecto permite dar al inversor una idea de la posibilidad de
obtener los retornos a su capital. De ahí la importancia de su análisis pues permite tomar una
decisión }en relación a invertir en un proyecto. En el cado de proyectos altamente riesgosos,
deberán tenerse mucho cuidado en la asignación de recursos debido que al variar las
condiciones originales proyectadas, podrían generarse proyectos no rentables y por lo tanto
deberían descartarse o postergarse, salvo que desde el punto de vista social se justifique su
ejecución.
I. ANÁLISIS BAJO RIESGO
1.1 EL RIESGO EN LOS PROYECTOS
El riesgo de un proyecto se define como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto de
los estimados. Mientras más grande sea esta variabilidad, mayor es el riesgo del proyecto. De
esta forma, el riesgo se manifiesta en la variabilidad de los rendimientos del proyecto, puesto
que se calculan sobre la proyección de los flujos de caja.
Como ya se indicó, riesgo define una situación donde la información es de naturaleza
aleatoria, en que se asocia una estrategia a un conjunto de resultados posibles, cada uno de los
cuales tiene asignada una probabilidad. La incertidumbre caracteriza a una situación donde los
posibles resultados de una estrategia no son conocidos y, en consecuencia, sus probabilidades
de ocurrencia no son cuantificables. La incertidumbre, por lo tanto, puede ser una
característica de información incompleta. de exceso de datos, o de información inexacta,
sesgada o falsa.
La incertidumbre de un proyecto crece en el tiempo. El desarrollo del medio condicionará la
ocurrencia de los hechos estimados en su formulación. La sola mención de las variables
principales incluidas en la preparación de los flujos de caja deja de manifiesto el origen de la
incertidumbre: el precio y calidad de las materias primas; el nivel tecnológico de producción;
las escalas de remuneraciones; la evolución de los mercados: la solvencia de los proveedores;
las variaciones de la demanda, tanto en cantidad, calidad como en precio: las políticas del
gobierno respecto del comercio exterior (sustitución de importaciones, liberalización del
comercio exterior); la productividad real de la operación, etcétera.
Una diferencia menos estricta entre riesgo e incertidumbre identifica al riesgo como la
dispersión de la distribución de probabilidades del elemento en estudio o los resultados
calculados, mientras que la incertidumbre es el grado de falta de confianza respecto a que la
distribución, de probabilidades estimadas sea la correcta.
CAPITULO
IXANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE
EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
John nadá señala y analiza ocho causas del riesgo e incertidumbre en los proyectos. Entre
éstas cabe mencionar el numero insuficiente de inversiones similares que puedan proporcionar
información promediable: los prejuicios contenidos en los datos y su apreciación, que inducen
efectos optimistas o pesimistas, dependiendo de la subjetividad del analista: los cambios en el
medio económico externo que anulan la experiencia adquirida en el pasado, y la
interpretación errónea de los datos o los errores en la aplicación de ellos.
Se han hecho muchos intentos para enfrentar la falta de certeza en las predicciones. Las que
1.2. MÉTODOS PARA TRATAR EL RIESGO
Para incluir el efecto del factor riesgo en la evaluación de proyectos de inversión se han
desarrollado diversos métodos o enfoques que no siempre conducen a un idéntico resultado.
La información disponible es, una vez más, uno de los elementos determinantes en la elección
de uno u otro método.
El Criterio Subjetivo
es uno de los métodos comúnmente utilizados. Se basa en consideraciones de carácter
informal de quien toma la decisión, no incorporando específicamente el riesgo del
proyecto, salvo en su apreciación personal. Se ha intentado mejorar este método
sugiriendo que se tengan en cuenta la expectativa media y la desviación estándar del VAN,
lo cual, aunque otorga un carácter más objetivo a la inclusión del riesgo, no logra
incorporarlo en toda su magnitud. De igual forma, el análisis de fluctuaciones de los
valores optimistas, más probables y pesimistas del rendimiento del proyecto, sólo
disminuye el grado de subjetividad de la evaluación del riesgo, pero sin eliminarla.
Los métodos basados en mediciones estadísticas o
Modelo de simulación de Monte Carlo
son quizás los que logran superar en mejor forma, aunque no definitivamente, el riesgo
asociado a cada proyecto. Para ello, analizan la distribución de probabilidades de los
flujos futuros de caja para presentar a quien tome la decisión de aprobación o rechazo los
valores probables de los rendimientos y de la dispersión de su distribución de
probabilidad.
El Método del ajuste a la tasa de descuento.
Con este método, el análisis se efectúa sólo sobre la tasa pertinente de descuento, sin
entrar a ajustar o evaluar los flujos de caja del proyecto. Si bien este método presenta
senas deficiencias, en términos prácticos es un procedimiento que permite solucionar las
principales dificultades del riesgo.
El método de la equivalencia a certidumbre.
Según este criterio, quien decide está en condiciones de determinar su punto de
indiferencia entre flujos de caja por percibir con certeza y otros, obviamente mayores,
sujetos a riesgo.
El método de los valores esperados.
Este método, conocido comúnmente como análisis del árbol de decisiones, combina las
probabilidades de ocurrencia de los resultados parciales y finales para calcular el valor
esperado de su rendimiento. Aunque no incluye directamente la variabilidad de los flujos
de caja del proyecto, ajusta los flujos al riesgo en función de la asignación de
probabilidades.
El método del análisis de sensibilidad,
es una forma especial de considerar el riesgo, se analiza por la importancia práctica que
ha adquirido. La aplicación de este criterio permite definir el efecto que tendrían sobre el
resultado de la evaluación cambios en uno o más de los valores estimados en sus
parámetros.
1.2.1 METODO DEL CRITERIO SUBJETIVO
Se definió el riesgo de un proyecto como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto
de los estimados. Ahora corresponde analizar las formas de medición de esa variabilidad
como un elemento de cuantifícación del riesgo de un proyecto.
La falta de certeza de las estimaciones del comportamiento futuro se pueden asociar
normalmente a una distribución de probabilidades de los flujos de caja generados por el
proyecto.
Su representación gráfica permite visualizar la dispersión de los flujos de caja, asignando un
riesgo mayor a aquellos proyectos cuya dispersión sea mayor.
Existen, sin embargo, formas precisas de medición que manifiestan su importancia
principalmente en la comparación de proyectos o entre alternativas de un mismo proyecto. La
más común es la desviación estándar, que se calcula mediante la expresión
n σ = ∑ (FC ti – FC t )2 * Pi
i=1donde
FC ti es el flujo de caja del periodo t, si ocurriera la situación i
FC t es el promedio ponderado de los flujos de caja del periodo t
Pi es su probabilidad de ocurrencia de la situación i
n FC t = ∑ FC ti * Pi
i=1
Mientras mayor sea la dispersión esperada de los resultados de un proyecto, mayores serán su
desviación estándar y su riesgo. y Aquellos FC con menor dispersión y menor variabilidad
son menos riesgosos
A partir de estas definiciones se puede derivar el valor esperado y la desviación estándar del
VAN con el que será posible medir el Riesgo del Proyecto, entonces el valor esperado es
igual a:
n
VE (VAN) = - I0 + ∑ FC t t =1 (1 + i) 2
1.2.1.1. Dependencia E Independencia De Los Flujos De Caja En El Tiempo
La Varianza del VAN dependerá de la correlación existente entre los Flujos de caja.
Si tales flujos son independientes entre si entonces:
n V (VAN) = ∑ σ 2 sin correlacion t =1 (1 + i) 2 t
lo usual sin embargo es que exista una correlación entre los flujos de caja de periodos
sucesivos dado que se ven afectados por Factores Propios del Proyecto. En la situación
extrema de una correlación Perfecta de los flujos de caja, la Varianza será:
n 2 V (VAN) = ∑ σ t con correlacion t =1 (1 + i) t
1.2.1.2. Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR
A partir del cálculo del valor esperado y la desviación estándar del VAN es posible estimar la
probabilidad de que el VAN de un proyecto sea positivo o tome un valor determinado, dados
distintos valores para el COK. Para ello se utiliza la distribución estandarizada Z, de la forma:
Z = VANHo - E(VAN)
σ (VAN)
donde VANHo es el valor del VAN para el que se requiere determinar la probabilidad de
ocurrencia. De esta manera, será posible verificar diversas hipótesis sobre los valores que
puede tomar el VAN de un proyecto y/ó sobre los intervalos de confianza dentro de los cuales
se puede mover este indicador de rentabilidad.
Así mismo, a partir de la distribución de probabilidades del VAN es posible derivar la de la
T1R, si es que se recuerda que la probabilidad de que el VAN sea menor que cero es igual a la
probabilidad de que la T1R sea menor que el valor de la COK utilizado para estimar la
primera probabilidad. Si graficamos la probabilidad de que el VAN sea negativo para diversos
COK, será posible determinar el valor de este último que corresponde a una probabilidad
acumulada de 50%; dicho valor será la media de la T1R.
Para encontrar su desviación estándar, hay que tener en cuenta que en el caso de una
distribución normal, como la del VAN y la T1R, la probabilidad de que su verdadero valor se
encuentre en el intervalo E (VAN) ± σ (VAN), es igual a 68%; es decir, la desviación estándar
de la T1R estará dada por la distancia existente entre las tasas de interés que corresponden a
las probabilidades acumuladas 16% (50 - 68/2) y 84% (50 + 68/2) de la distribución del VAN.
EJEMPLO 1:
La inversión necesaria para ejecutar un proyecto de 3 años de duración es US$ 850,000. El
estimado de los flujos futuros se presenta en el cuadro siguiente:
La decisión será en función del valor mayor de Ri por lo cual para este caso la decisión
es "fabricar sweters" con una utilidad estimada de $250.
2.4 EL PRINCIPIO DE RAZONAMIENTO INSUFICIENTE O CRITERIO DE
LAPLACE
- Este criterio puede ser utilizado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista.
- El tomador de decisiones asume que todos los estados de la naturaleza son equi
probables.
- El procedimiento para encontrar una decisión óptima:
* Para cada decisión calcule la ganancia esperada.
* Seleccione la decisión con la mayor ganancia esperada.
El Análisis : E ( D1 ) = ( X11 + X12 + ..... + X1m ) / m
E ( D2 ) = ( X21 + X22 + ..... + X2m ) / m
.
.
E ( Dn ) = ( Xn1 + Xn2 + ..... + Xn m ) / m
LAPLACE
1.- Ejercicio
ESTADO DE LA NATURALEZA
DECISIÓN E1 E2 ....... Em
( p1 ) ( p2 ) ( pm )
D1 X11 X12 X1m
D2 X21 X22 X2m
.
.
Calcular la probabilidad de acertar los 14 signos de la quiniela:
Solución:
Se aplica la Regla de Laplace (casos favorables / casos posibles). El caso
favorable es tan sólo uno (acertar los 14 signos). Los casos posibles se calculan
como variaciones con repetición de 3 elementos (1, X y 2), tomados de 14 en 14 (los
signos que hay que rellenar).
Son variaciones y no combinaciones ya que el orden influye: no es lo mismo (1,1,X)
que (1, X, 1). Y son con repetición, ya que cualquiera de los signos (1, X y 2) se
puede repetir hasta 14 veces.
Por lo tanto, los casos posibles son:
Y la probabilidad de acertar los 14 resultados es:
No demasiado elevada....pero el que la sigue la consigue.
2.- Ejercicio
Y la probabilidad de acertar 12 signos de la quiniela:
Solución:
Aplicamos nuevamente la Regla de Laplace. En este caso los casos favorables se
calculan como combinaciones de 14 elementos tomados de 2 en 2, de esta manera
obtenemos todas las posibles alternativas de fallar 2 resultados de 14 (lo que
equivale a acertar 12 resultados). Utilizamos combinaciones y no variaciones ya que
el orden no importa (da lo mismo fallar el 3º y el 6º, que el 6º y el 3º)
Los casos posibles siguen siendo los mismos:
Por lo que la probabilidad de acertar 12 resultados es:
Por lo tanto, tenemos más probabilidades de acertar 12 resultados que 14 (¿será por
eso por lo que pagan menos?).
3.- Ejercicio
Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan
primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).
Solución:
Se aplica la Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos
que entran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de
12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles
alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el
orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar
de variaciones.
Por lo tanto, los casos posibles son:
Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:
Algo mayor que en las quinielas.... Eso sí, se paga menos.
4.- Ejercicio
Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su
entrada en meta.
Solución:
El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar,
colocados en su orden correspondiente.
Los casos posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden influye) de
12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los
12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.
Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:
Menor que en el ejemplo 3º. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer
lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada.
4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE POR SEPARACIÓN DE VARIABLES.
COORDENADAS CARTESIANAS.
El problema fundamental de la teoría del potencial es encontrar una solución de la ecuación
de Laplace que satisfaga ciertas condiciones en el contorno de la región considerada.
En ciertos sistemas de coordenadas podemos ir más allá y escribir la solución como un
producto de funciones de las coordenadas individuales, de modo que las condiciones de
contorno puedan aplicarse a factores separados de una variable.
Puede agregarse que mientras que no existe un método general de solución de ecuaciones
diferenciales a derivadas parciales, la separación reduce la ecuación de Laplace a un conjunto
de ecuaciones diferenciales ordinarias, que en principio siempre tienen solución.
La ecuación de Laplace es:
y desarrollando en dos dimensiones:
Supongamos que V(x,y)=X(x).Y(y), donde X es una función de x solamente e Y una función de Y. La ecuación de Laplace resulta:
y dividiendo por V=X.Y
Observamos que el miembro de la izquierda no contiene a y. En consecuencia no cambia
cuando y varía. Análogamente el miembro de la derecha no contiene a x, y no cambia al
variar x. Como los dos miembros son iguales, su valor común no puede cambiar cuando se
modifica alguna de las variables y en consecuencia debe ser una constante k2.
La constante k2 es llamada parámetro de separación. Reemplazando en la última igualdad
resulta el sistema de ecuaciones:
Y"+k2Y=0
X"-k2X=0
que tienen soluciones generales:
Y=A senky + B cosky
X=C ekx + D e-kx
EJERCICIO : Demuestre las soluciones obtenidas. Suponga X=epx e Y=epy.
El producto de las soluciones generales del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es
una solución general de la ecuación de Laplace bidimensional. V(x,y)= ( C ekx + D e-kx).(A
senky + B cosky). Aplicaremos este resultado a dos ejemplos.
EJEMPLO 1.
FIGURA 1
Dos placas conductoras paralelas infinitas, Figura 1, están separadas por una distancia a. Las
placas están puestas a tierra (0 V) y una tercera placa, aislada de las anteriores se encuentra a
potencial 1 V respecto de aquellas, como se muestra en la figura. El medio entre las placas es
aire. Halle la distribución de potencial.
La solución de la ecuación de Laplace para dos dimensiones fue hallada en el apartado
anterior:
V(x,y)= ( C ekx + D e-kx).(A senky + B cosky)
sujeta en este problema a las siguientes condiciones de borde:
V(x,a)=0
V(0,y)=1
V(x,0)=0
V(infinity ,y)=0
La última condición de contorno nos indica que el potencial se desvanece cuando nos
alejamos del origen. Para que ello ocurra la constante C debe ser igual a cero. Para satisfacer
V(x,0)=0 debe ser B=0. La solución se reduce a :
V(x,y)=(A.D) e-kx sen ky
Dado que V(x,a)=0 y la exponencial no se anula, debe ser senka=0 o ka=np , con
n=0,1,2,3,.........., de donde k=np /a. Reemplazando en la función potencial :
Esta función por si sola no satisface la condición V(0,y)=1. En efecto:
Sin embargo, dado que la ecuación de Laplace es lineal, la condición puede ser satisfecha por una suma de funciones de la forma anterior, tal que:
donde los Cn son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de una función impar tal que y vale 1 en el intervalo [0,a]. Sea una onda cuadrada de amplitud unitaria:
Calculemos y representemos su desarrollo en serie de Fourier hasta la décima armónica espacial:
Los coeficientes Cn de los términos en coseno son nulos por tratarse de una función impar. Para los términos en seno solamente son distintos de cero los coeficientes correspondientes a n impar. Observando sus valores se comprueba que valen:
C[n_]=4/(n Pi)
A mayor cantidad de términos se mejora la aproximación a la función original.
Considerando hasta la armónica 51 resulta:
Representamos en la Figura 2:
EJERCICIOS DE MAXIMIN Y MÍNIMAS : FASES EN EL ENFOQUE DE TEORÍA DE DECISIONES
1.- Listar todas las alternativas viables.2.- Identificar todos los eventos futuros que pueden ocurrir.
3.- Construir una tabla de beneficios.
EJEMPLO: Considere un fabricante de ropa que esta considerando varios métodos alternativos para expander su producción a fin de adecuar una demanda creciente
para sus productos. |
FASE 1.- Las alternativas que el fabricante tiene para expander su producción son:
a).- Expander la planta actual.b).- Construir una nueva planta.
c).- Subcontratar la producción a otros fabricantes.
FASE 2.- Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de naturaleza) con respecto a la demanda son:
a).- Demanda alta.b).- Demanda moderada.
c).- Poca demanda.d).- Demanda nula.
FASE 3.- La tabla de beneficios es la siguiente dando un valor estimativo para cada combinación de posibilidades:
AMBIENTES EN QUE SE TOMAN LAS DECISIONES
- Bajo condiciones de certeza.- Bajo condiciones de incertidumbre.- Bajo condiciones de riesgo.
Bajo condiciones de certeza: Solo existe un estado de la naturaleza (evento futuro). Se escoge el mayor beneficio par este estado con respecto a sus diferentes alternativas.
Bajo condiciones de incertidumbre: Existe más de un estado de la naturaleza y se conoce poco o nada acerca de ellos.
En ambientes de este tipo, son utilizados cuatro criterios diferentes para la toma de decisiones:
1.- Maximax (criterio optimista)2.- Maximin (criterio pesimista)3.- Minimax (también llamado de arrepentimiento)4.- Realismo
Bajo condiciones de riesgo: Existe mas de un estado de la naturaleza y se conoce lo suficiente para poder asignar probabilidades de ocurrencia a cada uno de los estados posibles.
En ambiente de este tipo, son utilizados tres criterios para la toma de decisiones:
1.- Valor esperado.2.- Racionalidad.3.- Máxima verosimilitud.
EJEMPLO1: TOMA DE DECISIONES BAJO CONDICIONES DE CERTEZA. Se piensa organizar una tardeada de fin de cursos y se tienen las opciones de:
1.- Contratar un sonido.2.- Contratar un grupo musical.3.- Contratar la presentación de un grupo de imitadores.
Se sabe también que para cualquiera de las tres opciones se garantiza un cupo lleno, las utilidades obtenidas para cada una de las alternativas se indican a continuación:
¿ Qué decisión tomaría?
SOLUCIÓN:
Se tomaría la alternativa de contratar un sonido, ya que es la opción que
proporciona una mayor utilidad bajo la condición de un solo estado de la
naturaleza (cupo lleno).
EJEMPLO 2: TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE
INCERTIDUMBRE
Para la próxima temporada invernal, la fábrica textil "TELAS RECOMIENDO"
desea determinar que producto sacar al mercado, con la finalidad de satisfacer
la demanda creciente de ropa invernal.
A continuación se analizan las tres fases para el problema anterior:
FASE 1: Las alternativas que el fabricante tiene para satisfacer la demanda son:
a).- Fabricar abrigos
b).- Fabricar sweters
c).- Fabricar cazadoras
FASE 2: Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de la naturaleza) con
respecto a la demanda son:
a).- Demanda alta
b).- Demanda media
c).- Demanda bajad).- Demanda nula
FASE 3: La tabla de beneficios estimados es la siguiente:
SOLUCION USANDO LOS CUATRO CRITERIOS.
Criterio maximax . Es un criterio optimista, el cual indica seleccionar el
máximo de los máximos. Para el ejemplo se selecciona el máximo de cada
alternativa (500, 700, 300) y de estos se selecciona el máximo (700) . La
decisión usando este criterio es "fabricar sweters"
Criterio maximín. Este es un criterio pesimista, el cual indica el valor máximo
de los mínimos. Para el ejemplo se seleccionan los valores mínimos de cada
alternativa (-450, -800, -100) y de estos se selecciona el máximo (-100). La
decisión usando este criterio es "fabricar cazadoras"
Criterio mínimax. Este criterio es también conocido como arrepentimiento. Es
necesario construír una nueva tabla conocida precisamente con ese nombre
"tabla de arrepentimiento". Es necesario suponer que en un momento
conocemos cuales serán los estados de la naturaleza y que podemos
arrepentirnos de la decisión ya tomada con anterioridad, así pues, si tomamos la
decisión de fabricar abrigos ganamos $500 si se presenta una demanda alta,
pero si hubieramos sabido que la demanda sería alta, hubiéramos tomado la
decisión de fabricar sweters con una utilidad de $700 en lugar de $500, por lo
cual nuestro arrepentimiento es de $200 lo cual significa que dejamos de ganar
$200 por no haber tomado económicamente la mejor decisión, o en el caso de
pérdidas significa lo que se pierde demás por no haber tomado
económicamente la mejor decisión como se muestra en la siguiente tabla:
Valor mínimo.
Una vez de terminada la tabla de arrepentimiento se selecciona el valor máximo de cada
alternativa (350, 700, 400) y se escoge el valor mínimo de éstos (350) por lo cuál la decisión
sería "fabricar abrigos".
Criterio del realismo. Sin duda el criterio más flexible ya que puede transformarse en un
criterio optimista, pesimista o intermedio de acuerdo al valor que le demos al coeficiente o
índice de optimismo (a)
Usado en la siguiente relación :
Ri = Valor del realismo para la alternativa i = a (beneficio máximo) + (1- a ) (beneficio
mínimo)
Para el ejemplo tendríamos los siguientes valores con a = 0.7
R1 = 0.7 (500) + 0.3 (-450) = $125
R2 = 0.7 (700) + 0.3 (-800) = $250
R3 = 0.7 (300) + 0.3 (-100) = $180
La decisión será en función del valor mayor de Ri por lo cual para este caso la decisión es "fabricar
sweters" con una utilidad estimada de $250.
EJEMPLO3: TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE RIESGO
Considere que un distribuidor de artículos de NAVIDAD desea determinar el número óptimo
de árboles que debe pedir para esa temporada si dispone de los siguientes datos:
- Paga $20.00 por cada árbol y lo vende en $60.00
- Entrega todos los árboles que vende y paga $5.00 de comisión por cada uno
que es entregado antes de la temporada.
- Si le sobran árboles al final de la temporada puede venderlos para leña a
$5.00 cada uno.
SOLUCIÓN:
El vendedor tiene seis alternativas a seguir.
UX,Z = Utilidad obtenida si se pierden x árboles y se tiene una demanda z
Definiendo variables:
x = cantidad ordenada
z = nivel de la demanda
Casos posibles de presentar
1.- Que la cantidad ordenada sea igual a la cantidad demandada. x = z
2.- Que la cantidad ordenada sea menor a la cantidad demandada. x < z
3.- Que la cantidad ordenada sea mayor a la cantidad demandada. x > z
Para cada caso se obtiene una relación en función de la variable X (cantidad
ordenada). Aplicando estas relaciones se calculan los siguientes resultados en
la tabla:
El valor esperado se calcula mediante la fórmula siguiente:
E (z) = Zip (z)
i = j = 1,2,…6
La cantidad recomendada a pedir será aquella donde obtenemos el mayor valor
esperado, en este caso x = 4.
Por lo tanto, según el criterio de valor esperado, se recomienda pedir 4 árboles
con una utilidad promedio de $10.75.
ANÁLISIS MARGINAL PARA LA TOMA DE DECISIONES
Cuando al número de alternativas crece, la matriz de utilidades también crece y
el número de cálculos aumenta considerablemente, haciendo difícil el
procedimiento mediante el criterio de valor esperado, en su lugar puede usarse
como método alternativo el "análisis marginal".
La simbología utilizada y su significado es la siguiente:
UM = Utilidad obtenida por vender una unidad adicional.
PM = Pérdida obtenida por almacenar una unidad que no es vendida.
p = Es la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad
adicional para justificar el almacenamiento de dicha unidad.
DEDUCCIÓN DE FÓRMULA:
La deducción se da a partir del siguiente razonamiento lógico:
1-p = Probabilidad de no vender una unidad adicional.
APLICACIÓN AL EJEMPLO 3 (ÁRBOLES DE NAVIDAD):
UM = 60 - 20 - 5 = 35
60 Lo que se obtiene de la venta de una unidad adicional.
-20 Lo que se paga por la compra de una unidad adicional.
-5 Lo que se paga de comisión por la venta de una unidad adicional.
PM = 20 - 5 = 15
20 Lo que se paga por la compra de una unidad adicional.
5 Lo que se recupera como valor de salvamento de una unidad que no es
vendida durante la temporada.
El valor de p = 0.30 es el valor de referencia para el análisis marginal en la
siguiente tabla de probabilidades acumulativas.
Se analiza el pedir 1 unidad, ésta se pide si p( z ³ i) ³ 30, lo cual ocurre para este
caso en que p( z ³ i ) = 1. Se analiza el pedir 2 unidades, lo cual ocurre ya que p(
z ³ i ) = 0.95
Se continua el análisis incrementando una unidad a la vez mientras se cumpla
la condición, lo cual ocurre hasta i = 4 donde p( z ³ i ) = 0.60 ya que en i = 5 ,
p( z ³ i) = 0.20 ya no cumple la condición, por lo cual se decide pedir 4 árboles.
EJEMPLO 4: El señor Juan Manzanero es un comerciante de frutas y verduras,
y quiere saber cuántos kilogramos de durazno debe comprar hoy para la venta
del día de mañana. Se cuenta con la información de ventas de los últimos 90
días, tal como se muestra en la siguiente tabla:
Juan compra el kilogramo de durazno a $3.00 y lo vende a $8.00, el producto no
tiene ningún valor después del primer día en que se ofrece a la venta.
El planteamiento es similar al mostrado en el ejemplo 3.
MATRIZ DE UTILIDADES CONDICIONALES
Según el criterio de valor esperado, la decisión es comprar 12 kg.
UTILIDAD ESPERADA CON INFORMACIÓN PERFECTA
(U.E.I.P.)
En este caso se considera que se conoce a la perfección la cantidad
demandada, esto es, si se sabe que la demanda será de 10, solo se pedirán 10,
si se sabe que la demanda será de 11, solo se pedirán 11 y así sucesivamente.
Observe que es el caso en que X=Z, por lo tanto la utilidad esperada será:
50(0.20)+55(0.40)+60(0.30)+65(0.10) = $56.5
La cuál se conoce como "utilidad esperada con información perfecta". Esta
utilidad es la máxima que se puede obtener con información perfecta.
El Problema del CarpinteroDurante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas
las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación. El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, , para revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente. El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una función objetivo La función objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dólares o décimas de dólares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulación de PL es la siguiente: Maximizar 5 X1 + 3 X2 Sujeta a:2 X1 + X2 40 restricción de mano de obra X1 + 2 X2 50 restricción de materiales tanto X1 como X2 son no negativas. Este es un modelo matemático para el problema del carpintero. Las variables de decisión, es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisión están elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnológicos (matriz). El período de revisión es de una semana, un período conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (fluctúen) las entradas controlables (todos los parámetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un plazo de planificación tan corto, debemos realizar el análisis what-if o de hipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el problema, es decir, actualizar la solución prescripta. Nótese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificación, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben ser números enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad también se denominan "restricciones implícitas". Nuevamente, un Programa Lineal funcionaría bien para este problema si el Carpintero continúa fabricando estos productos. Los artículos parciales simplemente se contarían como trabajos en proceso y finalmente se transformarían en productos terminados, en la siguiente semana.
Podemos intentar resolver X1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solución) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologías preferidas (más eficientes y efectivas), conocidas como las Técnicas de Soluciones de Programación Lineal están disponibles en el mercado en más de 4000 paquetes de software de todo el mundo. La solución óptima, es decir, la estrategia óptima, , es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (óptima), los ingresos netos son de US$110. Esta . Esta solución prescripta sorprendió al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el solía fabricar más mesas que sillas. ¿Contratar o no contratar a un ayudante? Supóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas? X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es: Maximizar 5 X1 + 3 X2 - 2 X3 Sujeta a:2 X1 + X2 40 + X3 restricción de la mano de obra con horas adicionales desconocidas X1 + 2 X2 50 restricción de materiales En esta nueva condición, veremos que la solución óptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos óptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debería contratar a un ayudante por 60 horas. ¿Qué pasaría si sólo lo contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo "qué pasaría si" (what-if) se estudia en la sección sobre análisis de sensibilidad en este sitio Web. Un Problema de Mezcla
El taller LUBEOIL se especializa en cambios de aceite del motor y regulacion
del sistema electrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por
regulación. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de
aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y
$8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en
insumos. LUBEOIL paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea
actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana.
Las compras de insumos alcanzan un valor de $1.750 semanales. LUBEOIL
desea maximizar el beneficio total. Formule el problema.
Esto es una pregunta de programación linear. Una porción de un
cambio del aceite o del ajuste no es factible.
X1 = Cambios del aceite, ajuste
X2 = Ajuste
Maximizar 7X1 + 15X2 Sujeta a:X1 30 Cuenta De la Flota20X1 + 60X2 4800 De trabajo tiempo 8X1 + 15X2 1750 Primas MateriasX1 0, X2 0. El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formular el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideración el coste de trabajo.
Supongamos que quiere hallar el peor de varios valores de funciones objetivos definidas con un conjunto común de restricciones en una sola corrida de computación. Como aplicación, supongamos que en el Problema del Carpintero, sin pérdida de generalidad, hay tres mercados con funciones objetivos de 5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, y 4X1 + 4X2, respectivamente. Al carpintero le interesa conocer el peor mercado. Es decir, la solución del siguiente problema: El problema del minimax: Min Max {5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, 4X1 + 4X2} Sujeta a:2 X1 + X2 40X1 + 2 X2 50Y ambos, X1, X2, son no negativos. El Problema del Minimax equivale a: Maximice y Sujeta a:y 5x1 + 3X2y 7X1 + 2X2 y 4X1 + 4X2 2X1 + X2 40X1 + 2X2 50Y todas las variables, X1, X2, y, son no negativas. Si se toman todas las variables a la izquierda de las restricciones y este problema se implementa en el paquete de computación, la solución óptima es X1 = 10, X2 = 20, y = $110. Esto significa que el primero y el segundo mercados son los peores (porque la primera y la segunda restricciones son obligatorias) aportando sólo $110 de utilidad neta.
CONCLUSIONES
Es importante diferenciar el riesgo de la incertidumbre, el primero se presenta cuando no