Capitulo iv. fisica ii. tensión superficial y capilaridad

295

Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García

CAPITULO IVTENSIÓN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD

4.1 TENSION SUPERFICIAL.

295


Si depositamos con cuidado sobre el agua una aguja de coser de acero engrasada, o cuando depositamos un clip sobre el agua éstos objetos puede flotar, formando en la superficie del agua una pequeña depresión y permanecen sin hundirse, aunque la densidad de la aguja y del clip puede llegar a ser hasta ocho veces mayor que la densidad del agua. Esta experiencia se muestra en la figura 4.1a y 4.1b.

Figura 4.1. Esfera de acero flotando en la superficie de agua.

Las fuerzas que soportan la aguja y el clip en dicha posición no son las fuerzas de flotación sino más bien son las fuerzas debidas a la tensión superficial (Fst).

Por otro lado cuando un tubo de vidrio limpio y de pequeño diámetro, se sumerge en agua, el agua ascenderá en el interior del tubo tal como se muestra en la figura 4.2a, pero si el tubo se le sumerge en mercurio, el mercurio desciende en el tubo como se muestra en la figura 4.2b. El ascenso o descenso se deben a la tensión superficial.

Figura 4.2. (a) Tubo de vidrio sumergido en agua; (b) Tubo de vidrio limpio sumergido en mercurio.

El fenómeno de tensión superficial también ha sido observado en la formación de gotas de agua en las hojas de una planta como se muestra en la figura 4.3a, así mismo gracias a éste fenómeno los insectos acuáticos pueden caminar sobre la superficie libre del agua como lo muestra la figura 4.3b

Figura 4.3. (a) Gotas de agua formadas sobre una planta; (b) insecto caminando sobre la superficie del agua.

295


Todos estos fenómenos y otros de naturaleza análoga muestran la existencia de una superficie límite entre un líquido y otra sustancia. Es decir la superficie de un líquido puede suponerse en un estado de tensión tal que si se considera cualquier línea situada sobre ella o limitándolo, la sustancia que se encuentra a un lado de dicha línea ejerce una tracción sobre la otra situada al otro lado. Esta tracción está en el plano de la superficie y es perpendicular a la línea. Este efecto puede demostrarse utilizando la teoría molecular (ver figura 4.4) es decir una molécula en el interior de un fluido está sometida a las fuerzas de atracción en todas las direcciones dando lugar a una resultante nula tal como puede verse en la molécula A; la molécula B que tiene más moléculas de líquido en la parte inferior de su esfera de acción experimenta una fuerza resultante hacia abajo. La molécula C soporta la acción de una fuerza resultante dirigida hacia el interior del líquido, esta situación repetida a lo largo de toda la superficie del líquido produce la contracción de la superficie total del líquido como si se tratase de una membrana elástica. Esta tendencia contráctil produce el fenómeno de tensión superficial.

Figura 4.4 Descripción molecular de la tensión superficial.

ALGUNOS EXPERIMENTTOS QUE MUESTRAN EL FENÓMENO DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL.

Una forma experimental como puede mostrarse los fenómenos de la tensión superficial es considerar un anillo de alambre de algunos milímetros de diámetro en el cual se ha instalado un bucle de hilo tal como se muestra en la figura 4.5 a. Cuando el anillo y el bucle se colocan en una disolución jabonosa, al sacarlo de ella se forma una película delgada de líquido en la cual el bucle de hilo flota. Por otro lado si se pincha el interior del bucle de hilo, este toma una forma circular como se muestra en la figura 4.5b, como si las superficies del líquido tirasen radialmente hacia afuera en el sentido de las flechas.

Figura 4.5 (a) Anillo metálico con un bucle de hilo extraído de una solución jabonosa; (b) Anillo de alambre en el que se pincho el centro del bucle.

Debe observarse que antes de pinchar la lámina líquida a ambos lados del hilo actúan las mismas fuerzas de las manera que la resultante de las fuerzas es nula.

Otro equipo sencillo que muestra la existencia de la tensión superficial es el mostrado en la figura 4.6, consiste en un trozo de alambre doblado en forma de U y se utiliza un segundo alambre como deslizador. Cuando el sistema se introduce en una disolución jabonosa y posteriormente se saca de ella, el alambre, el alambre de longitud L, se desplaza

295


rápidamente hacia arriba siempre que su peso W1, no sea demasiado grande, y para mantenerlo en equilibrio es necesario aplicar una segunda fuerza W2. Aunque parezca extraño la fuerza total F = W1 + W2, mantendrá el alambre en reposo, independientemente del área de la lámina líquida, siempre que la temperatura se mantenga constante.

Figura 4.6. Alambre en forma de U con un alambre móvil AB en equilibrio bajo la acción de la tensión superficial.

Aunque una película de agua jabonosa es muy delgada, su espesor es muy grande comparado con el diámetro molecular. Por lo tanto puede considerarse formada por un volumen de líquido limitado por dos capas superficiales cuyo espesor es de algunas moléculas. Cuando se tira hacia debajo de la varilla móvil y se aumenta el área de las láminas, hay moléculas situadas en el interior que se desplazan hacia las capas superficiales.

COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL.

Otro dispositivo muy adecuado para poner de manifiesto los fenómenos interfasiales y para comenzar un estudio cuantitativo es el que se muestra en la figura 4.7, el cual consta de un alambre delgado en forma de U y sobre el cual puede deslizar sin rozamiento un alambre ligero móvil de longitud L, extraídos de una disolución jabonosa

Figura 4.7 Trabajo necesario para incrementar el área de la película jabonosa.

Para mantener el alambre móvil en equilibrio o para ampliar el área de la lámina es necesario aplicar una fuerza exterior Fex es decir para ampliar el área a temperatura constante es necesario realizar un trabajo, trabajo que resulta ser proporcional al incremento de área, siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de tensión superficial, γ.

Entonces, el trabajo ΔU, necesario para aumentar el área de la superficie líquida en una cantidad ΔA, será

295


(4.1)

Donde, γs es el coeficiente de tensión superficial. ΔA es el incremento de área superficial. De acuerdo con esta definición el coeficiente de tensión superficial tiene como unidades al joule por metro cuadrado (J/m2) en el SI y al ergio por centímetro cuadrado (erg/cm2) en el c.g.s El trabajo que hay que desarrollar para incrementar el área de la película superficial también se expresa en la forma.

ΔU=F⃗ . Δ r⃗ =F i⃗ . Δx i⃗

(4.2)

Por otro lado el incremento de área superficial debido la aplicación de la fuerza exterior F, esta dado por

(4.3)

Remplazando las ecuaciones (4.2) y (4.3) en (4.1), tenemos

(4.4)

La ecuación (4.4), expresa que, el coeficiente de tensión superficial γ se define como la razón entre la fuerza superficial y la longitud perpendicular a la fuerza a lo largo de la cual actúa. En el sistema internacional el coeficiente de la tensión superficial se expresa en Newton por metro (N/m) y el sistema CGS absoluto, se expresa en dinas/cm. La equivalencia entre ambas unidades

El valor del coeficiente de tensión superficial de una sustancia líquida pura en contacto con su propio vapor depende de la naturaleza de la sustancia. Si el gas circundante es inerte e insoluble en el líquido y no son intensos los fenómenos de absorción, el coeficiente de tensión superficial depende poco de la naturaleza del gas y su valor respecto al vacío se puede confundir con el valor de γst con relación al gas.

La experiencia demuestra que el coeficiente de tensión superficial de los líquidos disminuye con el incremento de la temperatura y que dicha disminución es, generalmente, función lineal de la temperatura anulándose cuando la temperatura del líquido se aproxima a la crítica Tk,. En la figura 4.8 se muestra la relación coeficiente de tensión superficial en función de la temperatura para el agua.

295


Figura 4.8 Relación tensión superficial – temperatura para el agua

En la Tabla 4.1, se dan los valores de la tensión superficial correspondientes a algunos líquidos.

TABLA 4.1. Valores del coeficiente de tensión superficial para algunos líquidos a la temperatura de 20ºC

LIQUIDOTENSION SUPERFICIAL(N/m)Agua0,073Mercurio0,50Glicerina0,064Aceite de ricino0,035Benzol0,03Keroseno0,03Alcohol0,02

SOBREPRESIÓN Y DEPRESIÓN DEBIDA A LA CURVATURA DE LA SUPERFICIE LIBRE DE UN LÍQUIDO.

295


Es sabido que la superficie de los líquidos se comporta como una membrana elástica estirada. Si la película está limitada por un contorno plano, ella misma tiende a adoptar la forma plana. Por lo tanto, si la película es convexa, al tendera ponerse plana presionará sobre las capas líquidas que se encuentran debajo de ella, mientras que si la película es cóncava, tirará de ella, tal como se muestra en la figura 4.9. Es decir,

“Toda película superficial curva ejerce sobre el líquido una presión complementaria, en comparación con aquella que experimenta dicho líquido cuando la película superficial es plana; si la superficie es convexa, la presión complementaria es positiva (sobrepresión); si es convexa, la presión complementaria es negativa (depresión)”.

Figura 4.9 Acción de la curvatura de una superficie: (a) Sobrepresión; (b) Depresión.

4.4.1. Presión complementaria para una superficie del líquido de forma esférica.

Consideremos que el radio de la esfera es R y aislemos en la superficie un casquete esférico de área ΔA como se muestra en la Fig. 4.10. Las fuerzas de tensión superficial aplicadas al contorno del casquete son tangentes a la superficie esférica. La fuerza ΔF, aplicada al elemento diferencial ΔL de dicho contorno está dado por

ΔF=γ s ΔL (4.5)

Debido a que esta fuerza es tangente a la superficie esférica, forma cierto ángulo con el radio OC. Por lo tanto, la componente de la fuerza paralela al radio OC, no será igual a cero. Es decir existirá una sobrepresión.Del gráfico se observa que φ

ΔF1=ΔF . sen ϕ (4.6)Al sustituir la ec. (4.5) en (4.6), se obtiene

ΔF1=γ S ΔL . sen ϕ (4.7)

295


Figura 4.10. Casquete esférico de área ΔA, tomado de una esfera de radio R para determinar la sobrepresión.

Debido a que alrededor del casquete existe un conjunto de fuerzas análogas a ΔF1, la fuerza resultante paralela al radio OC, es

F1=∑ F1=γ S senϕ∑ ΔL . (4.8)

La suma ΣΔL, es la longitud del contorno que limita al casquete esférico. Este contorno en una circunferencia de radio r, por lo tanto, ΣΔL = 2πr, y la ecuación (4.8) se escribe

F1=γ S (2 π . r ) sen ϕ (4.9)

Del gráfico se observa además

senϕ= rR (4.10)

Remplazando el valor de la ec.(4.10) en (4.9), se tiene

F1=2π . r2 γ S

R (4.11)

Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones entre el interior y exterior del casquete (p – p0), viene expresado por

ΔF p=( p− p0 ) ΔA(4.12)

Esta fuerza es perpendicular a la superficie tal como muestra la figura 4.11. La componente de esta fuerza en dirección vertical seráΔF p=( p−p0 ) ΔA 'cosϕ

(4.13)

Pero ΔAcosφ, es el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje Y, es decir la fuerza en dirección vertical será

295


ΔF p=( p−p0 ) ΔA proy . (4.14)La fuerza total en la dirección vertical se expresa

F p=∑ ΔF p=( p− p0 ) A proy . (4.15)

Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr2, entonces la ecuación (4.15) se escribe

F p=( p−p0) π . r2(4.16)

En la dirección Y, las fuerzas debido a la diferencia de presiones y la debida a la tensión superficial se compensan, por tanto se tiene

∑ F y=0

( p−p0 )π . r2=2 π . r2 γ S

R

Δp=2 γ S

R (4.17)

Figura 4.11 Fuerza debida a la diferencia de presión para una gota

La ecuación (4.17) indica que si el coeficiente de tensión superficial permanece constante (temperatura constante), el exceso de presión en el interior de la gota es tanto mayor cuanto menor sea su radio. Por consiguiente si dos gotitas de diferentes tamaños, de un mismo líquido, se ponen en contacto, la mayor engullirá a la menor. Este fenómeno, llamado coalescencia, se presenta cuando en un recinto isotermo se encuentran presentes gotitas de diferentes tamaños de un mismo líquido. El fenómeno puede explicarse también desde el punto de vista energético, ya que el sistema tenderá adoptar como configuración de equilibrio estable aquélla que corresponda a un mínimo de energía potencial, es decir, aquella a la que corresponda un mínimo de extensión superficial para un mismo volumen total.

La tensión superficial es uno de los factores más importantes de entre los que determinan el tamaño de las gotitas líquidas que forman los humus y las nieblas (aerosoles). Cuando un líquido está en contacto con su propio vapor a través de una interfase plana, la presión de la fase gaseosa recibe el nombre de presión de vapor. La presión de vapor de unas sustancia dad aumenta con la temperatura; así, las presiones de vapor del agua a 20°C y a 100°C son 17,533 y 760 Torr, respectivamente. El equilibrio al que nos referimos es un equilibrio dinámico, esto es, durante un intervalo de tiempo dado, el número de moléculas que pasan de la fase líquida a la de vapor a través de la superficie interfasial, es igual al que pasa de la fase gaseosa a la líquida. En el caso de una superficie curvada el

295


equilibrio interfasial se establece cuando la presión capilar, es decir la diferencia de presiones p – p0, es igual a la presión de vapor . Esta condición determina el tamaño de la gotas más pequeñas que pueden permanecer sin evaporarse en una atmósfera de vapor saturante.

4.4.2. Presión complementaria para una lámina de líquido de forma esférica. Pompas

Consideremos una lámina esférica (pompa de jabón) muy delgada de tal manera que los radios interior y exterior sean iguales a R. Para determinar la fuerza debido a la tensión superficial aislemos un casquete esférico de radio r, tal como se muestra en la figura 4.11.

Figura 4.11 Casquete esférico aislado para determinar las fuerzas debido a la tensión superficial.

La componente de la fuerza ΔF, paralela al eje X, en este caso es

ΔF1=ΔF . sen ϕ (4.18)

Teniendo en cuenta que ΔF = γSΔL, la ec. (18), se escribe en la forma

ΔF1=γ S ΔL . sen ϕ (4.19)

La fuerza resultante total en dirección horizontal es

F1=∑ F1=γ S senϕ∑ ΔL . (4.20)Del gráfico se observa que

∑ ΔL=2 (2 π . r ) (4.21)

En donde se considera el doble de la longitud de la circunferencia de radio r, por el hecho de existir dos superficies, una exterior y la otra interior, entonces al remplazar la ecuación (4.21), en la ecuación (4.20), se tiene

F1=γ S (4 π . r ) sen ϕ (4.22)

Teniendo en cuenta que senφ = r/R, la ecuación (4.22) se escribe

295


F1=4 π . r2 γ S

R (4.23)

Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones que actúa sobre el elemento de área ΔA’, está dado por

ΔF p=( p−p0 ) ΔA '(4.24)

En donde p, es la presión del aire en el interior de la burbuja y p0 es la presión atmosférica.Esta fuerza es perpendicular a la superficie y actúa tal como se muestra en la figura 4.13, entonces la componente horizontal esΔF p=( p−p0 ) ΔA 'cosϕ

(4.25)

Puesto que ΔA’ cos φ, es el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al eje X, la ec. Anterior se escribeΔF p=( p−p0 ) ΔA proy . (4.26)

La fuerza resultante en la dirección horizontal se expresa

F p ,x=∑ ΔF p=( p−p0 ) A proy . (4.27)

Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr2, entonces la ec. (4.27) se escribe

F p , x= ( p−p0 ) π . r2(4.28)

Debido a que en la dirección horizontal existe equilibrio, la resultante de todas las fuerzas en esta dirección es nula, es decir

(4.29)

La ecuación (4.29) indica que la para un coeficiente de tensión superficial constante la presión complementaria, es directamente proporcional al radio R, de la superficie esférica, es decir la diferencia de presión es mucho mayor cuando el radio es menor, esto es, si se soplan dos burbujas en los extremos de un tubo, la más pequeña obligará al aire a entrar en la grande. En otras palabras la más pequeña se hará aún más pequeña y la grande incrementará su volumen.

Figura4.13. Fuerza debido a la diferencia de presiones en una burbuja.

295


La diferencia de presiones puede ponerse de manifiesto mediante el sencillo dispositivo mostrado en la figura 4.14a, que incluso nos permite determinar el coeficiente de tensión superficial γs de la disolución jabonosa empleada para producir la pompa. Para ello basta medir el radio R de la pompa y deducir el valor de Δp a partir del desnivel h que se observa en el tubo manométrico acoplado.

La ecuación (4.29) pone de manifiesto que cuando mayor es la pompa menor es la presión interior en la misma. Este efecto puede demostrarse fácilmente soplando dos pompas de jabón en los extremos del tubo de la figura 4.14b. Cuando se cierra la llave A y se abren las llaves B y C, el aire pasará de la pompa más pequeña hacia la mayo, de modo que la pompa más pequeña se hará aún menor y la más grande crecerá. Por otro lado si las pomas tienen el mismo tamaño existirá un equilibrio inestable.

Figura 4.14 (a) dispositivo para medir la tensión superficial de una burbuja, (b) dispositivo que muestra el efecto del radio de curvatura en la tensión superficial de una pompa

4.4.3. Presión bajo la superficie curva de un líquido de forma cualquiera.

Para determinar la diferencia de presión bajo una superficie de forma arbitraria, en primer lugar, existe la necesidad de conocer lo que es curvatura de una superficie en general θ

En la figura 4.15, se muestra una superficie cualquiera, en donde se ha trazado una perpendicular a la superficie que pasa por O. Al trazar un plano P1 por la normal, la intersección de este plano con la superficie se genera una sección normal.

Figura 4.15 Esquema para mostrar la curvatura de una superficie.

Para el caso de una esfera, cualquier sección normal es un arco de circunferencia A1B1, cuyo radio coincide con el de la esfera. La magnitud C = 1/R, se le conoce con el nombre de curvatura de la esfera.

295


Para el caso de una superficie de forma arbitraria, el trazado de diferentes secciones normales por el punto O dará diferentes curvas geométricas y por tanto diferentes curvaturas. En la Fig. 4.14, se muestran dos secciones normales diferentes trazadas por el mismo punto O. Una de estas secciones de la curva da el arco A1B1 y la otra el arco A2B2, siendo sus radios de curvatura R1 y R2, respectivamente.

La curvatura media de la superficie en el punto O, se expresa como

C= 1R1

+ 1R2 (4.30)

Consideremos ahora una superficie del líquido de forma arbitraria y por el punto O tracemos dos secciones normales A1B1 y A2B2, tal como se muestra en la figura 4.16, los radios de curvatura de las secciones normales so R1 y R2.

Figura 4.16 Fuerza debido a la tensión superficial para una superficie de forma arbitraria

Teniendo en cuenta que la figura es un cuadrilátero curvilíneo, entonces ΔL1 será la longitud de DE y ΔL2 la longitud de DG y EF, entonces el área del cuadrilátero será

ΔA=(ΔL1) (ΔL2) . (4.31)

La fuerza debido a la tensión superficial en el borde DE, será

ΔF1=γ S ΔL1 (4.32)

La componente de ΔF1 en dirección del radio OC1 es diferente de cero, por tanto

ΔF1 '=ΔF 1sen ϕ (4.33)

De la figura se obtiene la relación trigonométrica

senϕ1≃O A1

A1C1=

( ΔL2

2 )R1

senϕ1=ΔL2

2 R1 (4.34)

295


Al sustituir la ec (4.34) en (4.33) se obtiene

ΔF1' =

γ S ΔL1 ΔL2

2 R1

ΔF1' =

γ S ΔA2 R1 (4.35)

En el borde GF actuará una fuerza semejante a la dada por la ecuación anterior.

ΔF1' =

γ S ΔA2 R1 (4.36)

Siguiendo el mismo procedimiento se determina la fuerza de tensión superficial en el borde DG, obteniéndose

ΔF2' =

γ S ΔA2 R2 (4.37)

Y el borde EF habrá una fuerza análoga a la dada por la ecuación (4.37)

ΔF2' =

γ S ΔA2 R2 (4.38)

La fuerza neta sobre el cuadrilátero debido a la tensión superficial será

ΔF?=2( γ S ΔA2 R1

)+2( γ S ΔA2 R2

)(4.39)

Las fuerzas debidas a la diferencia de presiones se expresan en la forma

ΔF p=( p−p0 ) ΔA(4.40)

Como las fuerzas debido a la diferencia de presiones se ven equilibradas por las fuerzas debido a la tensión superficial, resulta ΔF p=ΔF '

( p−p0) ΔA=γS ΔA (1R1+1

R2 )( p−p0)=γ S( 1

R1+

1R2 ) (4.41)

A la ecuación (4.41) se le denomina fórmula de Laplace, esta debida a la superficie de un líquido de forma arbitraria. Así por ejemplo si la superficie es de forma esférica, los radios de curvatura son iguales, entonces la ec. (4.41) se escribe

295


Por otro lado si la superficie es un cilindro de revolución, uno de los radios de curvatura es infinito y el otro es igual al radio del cilindro R, por lo tanto, se tiene

( p−p0)=γ S( 1∞ + 1

R )p−p0=

γS

R (4.42)

ANGULOS DE CONTACTO

Las secciones anteriores se limitaron al estudio de los fenómenos de tensión superficial en láminas que separan un líquido de un gas. Sin embargo, existen otros límites en los cuales se observa la presencia de láminas superficiales. Uno de estos límites aparece entre la pared sólida y un líquido, y otra entre la pared sólida y un fluido gaseoso. Estos límites se muestran en la figura 4.17, conjuntamente con sus láminas. Debe notarse además que las láminas solo tienen espesores de algunas moléculas y a cada lámina se encuentra asociada una determinada tensión superficial. Así por ejemplo:

FSL = Tensión superficial de la lámina sólido-líquidoFSV = Tensión superficial de la lámina sólido-vaporFLV =Tensión superficial de la lámina líquido-vapor

Figura 4.17. Láminas que delimitan los límites: sólido – líquido –vapor.

La curvatura de la superficie líquida en la cercanía de la pared sólida depende de la diferencia entre la tensión superficial sólido-vapor (FSV) y la tensión superficial sólido-líquido (FSL). Para determinar la relación entre estas tensiones superficiales, se traza el DCL de una porción de láminas en la intersección como se muestra en la figura 4.18, y se aplica las ecuaciones de equilibrio

(a) (b) (c)

295


Figura 4.18. (a) Diagrama de cuerpo libre de las láminas sólido-líquido-vapor para el Ioduro de metileno en contacto con vidrio, (b) menisco cóncavo y (c) Interacción molecular entre moléculas del sólido (vidrio) y el líquido (agua).

Las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas proporcionan.

∑ F x=0

A=FLV senθ (4.43)

∑ F y=0FSV −FSL=F LV cosθ . (4.44)

Donde A, es la fuerza de atracción entre la posición aislada y la pared, y se denomina fuerza de adhesión. La ecuación (4.43) nos permite determinar la fuerza de adhesión conocida la tensión superficial líquido-vapor y el ángulo de contacto θ, mientras que la ecuación (4.44) muestra que el ángulo de contacto, el cual es una medida de la curvatura de la superficie del líquido-vapor adyacente a la pared, depende de la diferencia entre la fuerza de tensión superficial sólido-vapor y de la tensión superficial sólido-líquido.

En la figura 4.18, se observa que FSV es mayor FSL, entonces cosθ es positivo y el ángulo de contacto está comprendido entre 0º y 90º, en estas condiciones se dice que el líquido moja a la pared sólida.

FSV > FSL → 0 < θ < 90º (4.45)

En esta situación se observa que la fuerza de adhesión es mayor que la fuerza de cohesión entre las moléculas del líquido como se muestra en la figura 4.19a.

Figura 4.19 (a) Fuerzas de adhesión y cohesión en la interfase vidrio-agua, (b) fuerzas de cohesión y adhesión en la interfase vidrio-mercurio

Por otro lado, cuando interactúa un fluido como el mercurio con una pared sólida como el vidrio, la curvatura de la superficie es convexa como lo muestra la figura 4.20.

295


(a) (b) (c)

Figura 4.20 (a) DCL de las láminas sólido-líquido-vapor para el mercurio y el vidrio, (b) menisco convexo y (c) interacción entre las moléculas del vidrio y las de mercurio

Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la porción de láminas en la intersección de la pared sólida i líquida, se obtiene

∑ F x=0

A=FLV sen (180º−θ ) (4.46)

∑ F y=0

FSV −FSL=−F LV cos (180 º−θ ) (4.47)

En este caso el ángulo de contacto es mayor que 90º y menor que 180º, por tanto la fuerza de tensión superficial sólido-vapor es menor que la fuerza de tensión superficial sólido-líquido. En estas condiciones se dice que el fluido no moja al vidrio.

FSV < FSL → 90º < θ < 180º (4.48)

Para esta situación se observa que la fuerza adhesiva es menor que la fuerza cohesiva.

Finalmente, si se pone en contacto una superficie de plata con un fluido líquido como el agua, como se muestra en figura 4.21, se observa que el ángulo de contacto es aproximadamente 90º. En estas condiciones las ecuaciones de equilibrio nos dan

∑ F x=0A=FLV (4.49)

∑ F y=0FSV =FSL (4.50)

295


Figura 4.21 DCL de la intersección de láminas: sólido-líquido-vapor para el agua en contacto con una pared de plata.

Debe aclararse además que un mismo líquido puede mojar unos sólidos y no mojara a otros, así por ejemplo, el agua moja perfectamente la pared de vidrio limpio pero no moja a una pared de parafina; en forma análoga el mercurio no moja el vidrio pero si a una pared de hierro.

Cuando un fluido líquido moja a un sólido en forma de tubo de diámetro pequeño, su superficie libre es cóncava, mientras que si el fluido no moja al tubo la superficie es convexa. A estas superficies curvas se le llaman meniscos. Por otro lado el agregado de impurezas a los líquidos modifica considerablemente el ángulo de contacto como se muestra en la figura 4.22.

Figura 4.22 Efecto del añadido de impurezas a los líquidos sobre la tensión superficial: (a) agua con detergente, el líquido moja la superficie (θ < 90°); (b) agua con keroseno el líquido no moja la superficie (θ > 90°)

CAPILARIDAD.

Uno de los efectos más importantes de la tensión superficial es la elevación de un fluido líquido en un tubo abierto de radio muy pequeño. Este fenómeno es conocido como capilaridad y a los tubos donde se presenta este efecto se les llama capilares (análogo a cabello).

En el caso donde el fluido líquido moja a la pared, el ángulo de contacto es menor que 90º, en esta situación el fluido se eleva una altura h hasta alcanzar el equilibrio tal como se muestra en la figura 4.23.

295


Figura 4.23 Ascenso de un fluido en un capilar.

Para determinar la altura h en primer lugar se traza el DCL de la masa líquida ABBCD que ascendió, como se muestra en la figura 4.24, sobre ella se observa que actúan las fuerzas: la tensión superficial (FS), el peso de la masa líquida (W), la fuerza debido a la presión atmosférica sobre CD y la fuerza debido a la presión sobre la superficie AB.

Figura 4.24 DCL del fluido que ascendió en el capilar.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

∑ F y=0

FS=W (451)

Si el radio interior del tubo es r, el fluido líquido estará en contacto con la pared del capilar a lo largo de una longitud (2πr), entonces la fuerza debido a la tensión superficial en la dirección vertical será

FS=γ LV (2π . r ) cosθ (4.52)

Además el peso del líquido que se extiende desde la concavidad hasta la línea AB, será

W =ρ gV =ρg (π . r2 h ) (4.53)

295


Remplazando la ecuación (4.52) y (453) en la ec. (4.51), resulta

h=2 γ LV cosθ

ρ gr (4.54)

La ecuación anterior muestra que la altura a la que se eleva un fluido líquido será tanto mayor cuanto menor es el radio r del capilar como se muestra en la figura 4.25a. Por esta razón se vuelve notorio el ascenso del líquido en tubos de radios muy pequeños. Por otro lado la elevación será mucho mayor, cuanto más grande sea el coeficiente de tensión superficial. Además si el líquido moja perfectamente (θ = 0º), la ecuación (4.54) puede escribirse

h=

2 γ LV

ρ gr (4.55)

Cuando el líquido no moja la pared del tubo, el menisco es convexo, en este caso la presión complementaria es positiva y el nivel del líquido en dicho tubo es inferior al de la superficie libre en la vasija, esta situación se muestra en la figura 424b, la altura h que desciende el fluido en el capilar se determina también con la ecuación (4.54).

Figura 4.25 (a) La elevación del fluido en el capilar depende del radio del tubo, (b) Descenso de un fluido líquido en un capilar.

Debe recalcarse que los fenómenos capilares son de gran interés en la vida cotidiana, un ejemplo lo constituye la infiltración del agua en un determinado suelo, otro ejemplo lo constituye el funcionamiento de las mechas, la absorción del agua por el algodón hidrófilo, etc.

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1.

Un anillo de 25 mm de diámetro interior y 26 mm de diámetro exterior está colgado de un resorte, cuyo coeficiente de deformación es igual a 0,98 N/m, y se encuentra en contacto con al superficie de un líquido.

295


Al descender la superficie del líquido el anillo se desprendió de ella en el momento en que el resorte se había alargado 5,3 mm. Hallar el coeficiente de tensión superficial del líquido.

Solución

Datos e incógnitas.

d1=25 mm ; .. d2=26 mm ; .. K=0 , 98 N /m; ..Δx=5,3 mm ; ..γ S=?? .

En la figura se muestra el DCL del anillo, sobre el actúan las fuerzas: la fuerza elástica (Fe), el peso del anillo (W) y la fuerza debido a la tensión superficial (FS).

El valor de la fuerza de tensión superficial es

FS=γS (longitud )¿ γ S (2 π . r1+2 π . r2 )FS=πγ S ( d1+d2) . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .(1)


∑ F y=0Fe=FS+W . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(2 )

Debido a que el peso del anillo es despreciable, la ecuación anterior se escribe en la forma

Problema 2.

Sobre un bastidor vertical ABCD mostrado en la figura, provisto de un travesaño móvil MN, hay extendida una película de agua jabonosa. (a) ¿Qué diámetro deberá tener el travesaño de cobre MN para poder estar en equilibrio?. (b) ¿Qué longitud tiene este travesaño si sabemos que para desplazarlo 1 cm hay que realizar un trabajo igual a 4,5.10-5 J?. Para el agua jabonosa γS = 0,045N/m.

Solución

Parte (a).

Datos e incógnitas

γS=0 ,045 N /m ; .. ρCu=8600kg /m3 ; ..d=?? .

En la figura se muestra el DCL del travesaño en la posición de equilibrio, sobre el actúan las fuerzas: la fuerza de tensión superficial (FS) y el peso (W).

La fuerza debido a la tensión superficial es

FS=γS (longitud )¿ γ S (2 L )FS=2 γ S . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(1)

El peso del travesaño es

295


W =mg=ρ gV

W =ρg(πd2 L4 ) . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ..(2 )


∑ F y=0FS=W . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(3 )

Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta

2 γ S L=πd2 Lρg4

d=√8 γ S

πρ g =√8( 0 ,045 )π (8600 )(9,8)

d=1,17 mm .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .Rta .

Parte (b)

Datos e incógnitas

L=??; .. Δy=1cm; .. γS=0 ,045 N /m; .. ΔU=45μJ

Se sabe que el trabajo para incrementar el área de la película jabonosa es proporcional al área, siendo la constante de proporcionalidad el coeficiente de tensión superficial, entonces se tiene

ΔU=γ S ΔAΔU=γ S(2 LΔy )por tan to

L=ΔU2 γ S Δy

=45 .10−6

2 (0 ,045 ) (10−2)

L=5 cm .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .Rta .

Problema 3.

El alcohol que hay en un recipiente aislado sale a través de un tubo vertical que tiene 2 mm de diámetro interior. Considerando que cada gota se desprende 1 segundo después que la anterior, hallar cuánto tiempo tardará en salir 10 gramos de alcohol. El diámetro del cuello de la gota en el momento en que ésta se desprende tómese igual al diámetro interior del tubo.

Solución

Datos e incógnitas

d=2mm ; . .t=1 s ; .. tT=??;. .malcohol=10 gr ;γal .=0 , 02N /m

En la figura se muestra el DCL de la gota un instante antes de desprenderse del tubo, sobre ella actúan: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión superficial (FS).


∑ F y=0⇒FS=Wγ S (longitud )=mgγ S (2 π . r )=mg

γ S(2 π .d2 )=mg

m=πγ S dg

=π (0 , 02 ) (2 . 10−3)9,8

m=0 ,0128 kg

Para determinar el número de gotas (N), que hay en 10 gramos de alcohol se usa una regla de tres simple, esto es

1 gota−−−−−−−−−−0 , 0128 kgN−−−−−−−−−−−−10 .10−3 kgentonces

N=780 gotas

Finalmente se determina el tiempo que demora e salir 10 gramos de alcohol

tT=N . t= (780 gotas ) (1 seg)=780 seg

tT=13 minutos . .. .. . .. .. .. . .. .. . Rta .

Problema 4.

295


De un tubo vertical cuyo radio interior es 1 mm gotea agua. Hallar el radio de las gotas en el momento de desprenderse. Considerar que las gotas son esféricas. El diámetro del cuello de la gota en el momento de desprenderse tómese igual al diámetro interior del tubo.

Solución


γS=0 , 073 N /m ; .. r=1mm; . . R=??:

En la figura se muestra el DCL de la gota en un instante antes de desprenderse del tubo, las fuerzas que obran son: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión superficial (FS).


∑ F y=0⇒FS=Wγ S (longitud )=mg

γ S (2 π . r )= ρ (43 πR3) g

R=3√3 γ Sr

2 ρg=

3√3 (0 , 073 ) . 10−3

2 (1000 ) (9,8 )R=2 ,23 mm . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .Rta .

Problema 5.

¿Cuánto se calentará una gota de mercurio que resulta de la unión de dos gotas que tienen 1 mm de radio cada una?.

Solución

Datos e incógnitas

ΔT =??;.. ρhg=13600 kg/m3 ; . .r=1 mm ;. . R=−−

En la figura se muestra las gotas en estado inicial y final.

En primer lugar se determina el área total de las gotas pequeñas

A=2 ( 4 π .r 2)=8π . r2 .. . .. .. .. . .. .. . .(1)

En forma análoga se determina el área de la gota formada después de la unión de las gotas pequeñas

A=(4 πR2) .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(2 )

La energía liberada al disminuir la superficie, como consecuencia de la unión de las gotas será

ΔE=ΔU i→ ff=( A−A0 )γHg

¿ (8 π .r 2−4 πR2) γ Hg

ΔE=4 π (2r 2−R2) γ Hg . .. . .. .. . .. .. . .. .(3)

Como no se conoce el valor de R se determina teniendo en cuenta que la masa del fluido antes de la unión de las gotas es igual a la masa del fluido después de la unión, es decir

m1+m2=M2 m=M2 ρV r=ρV R

2( 43 π .r 3)=4

3 πR3

R=r 3√2 .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ..( 4 )

Remplazando la ec.(4) en (3), resulta

ΔE=4 π [2 r2−(r . 3√2 )2] ( γHg )

¿4 π . r2 [2−223 ] γHg

=4 π (10−3 ) [2−223 ] (0,5 )

ΔE=2 , 57 .10−6 J . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(5 )La energía de 2,57.10-6 J, se utiliza para el calentamiento de la gota de mercurio formada. Según la calorimetría se tiene

295


Problema 6.

¿Qué trabajo hay que realizar contra las fuerzas de tensión superficial para aumentar al doble el volumen de una pompa de jabón que tiene 1 cm de radio? El coeficiente de la tensión superficial del agua jabonosa tómese igual 0,043 N/m.

Solución

Datos e incógnitas

r1=1cm; . . γ S=0 ,043 N /m; . . ΔU=??.

En primer lugar se determina el nuevo radio de la pompa debido al aumento de volumen

V 2=2 V 143 π . r2

3=2( 43 π .r 1

3)r2=r1

3√2

r2=10−2 (213 ) .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. (1 )

Se procede ahora a determinar el área total de la superficie de la pompa,

A1=2 (4 π . r12) .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .(2)

A1=2 (4 π . r22) .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..(3 )

El trabajo se procede a determinar mediante la ecuación

ΔU i→ff=( A2−A1) γ S

¿8 πγHg (r22−r1

2 )

¿8 π (0 ,043 ) [(213 .10−2)2

−(10−2)2 ]ΔU i→ ff =64 μJ . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. Rta .

Problema 7

Determinar la presión del aire (en mm de Hg) que hay dentro de una burbuja de diámetro d = 0,01 mm que se encuentra a la profundidad de h = 20 cm bajo la superficie libre del agua. la presión atmosférica exterior es p0 =765 mmHg.

Solución

Datos e incógnitas

pa=??;. . d=0 ,01 mm; ..h=20 cm; . . p0=765 mmHg

En la figura se muestra la burbuja ubicada en el interior del agua.

Siendo la presión interior del aire pa y la presión p en un punto inmediatamente fuera de la burbuja, la diferencia de presiones se expresa como

pa−p=2 γ

S

R

pa−p=4 γ

S

d.. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..(1 )

Utilizando la hidrostática se obtiene la presión p

p=p0+ρ gh. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .(2)

Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene

pa= p0+ρ gh+4 γ

S

d

=p0+9800( 0,2)+4 (0 ,073 )0 , 01. 10−3

pa= p0+31160 N /m2 .. . .. .. . .. .. .(3 )

En seguida se procede a convertir la presión de 31160 N/m2 a mmHg

1 mmHg−−−−−−−133 ,3 N /m2

X−−−−−−−−−−31160 N /m2

X=233 ,76 mmHg .. .. . .. .. .. . ..( 4 )Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta

pa=765mmHg+233 , 75 mmHg

pa=998 , 76 mmHg. .. .. . .. .. . .. .. . Rta .

Problema 8.

295


La presión atmosférica que hay dentro de una pompa de jabón es de 1 mmHg mayor que la atmosférica. ¿Qué diámetro tiene esta pompa?. El coeficiente de la tensión superficial de la solución jabonosa tómese igual a 0,043 N/m.

Solución


p−p0=1 mmHg ; .. d=??; .. γ S=0 ,073 N /m

En la figura se muestra la situación descrita en el enunciado

La diferencia de presión para una pompa de jabón viene expresada por la relación

Entonces el diámetro será

Problema 9.

En un recipiente con agua se introduce un tubo capilar abierto cuyo diámetro interior es d =1 mm. La diferencia entre los niveles de agua en el recipiente y en el tubo capilar es Δh = 2,8 cm. (a) ¿Qué radio de curvatura tendrá el menisco en el tubo capilar?.(b) ¿Cuál es la diferencia entre los niveles del agua en el recipiente y en el tubo capilar si este líquido mojara perfectamente?.

Solución

Parte (a)

Datos e incógnitas

d=1mm ; . . Δh=2,8 cm; . . R=??;.. ΔH '=?? .

En la figura se muestra el DCL del agua ubicada dentro del capilar


∑ F y=0F AB+FS=W +FCD .. . .. .. . .. .(1)

Debido a que las fuerzas FAB y FCD son debidas a la presión atmosférica y actúan en la misma área, entonces se cancelan y la ec. (1) se escribe

FS=WγS LC cos θ=mgγS (2 π . r )cos θ=ρ gV

γS (2 π . r )cos θ=ρg ( π .r 2) Δh . .. . .. .. .. .(2 )

Despejando θ se obtiene

De la geometría del menisco se obtiene

cosθ=0 ,939726=rR

R=0,50 , 939726

R=0 ,532 mm .. .. . .. .. . .. .. Rta .

295


Parte (b)

Cuando el fluido moja perfectamente la superficie el ángulo de contacto es θ =0º, entonces cosθ =1, y la altura en este caso será

Δh'=2 γ S cos0 ºρ . g . r

¿2 (0 ,073 )9800 (0,5 .10−3)

Δh'=2 , 98 cm. .. . .. .. . .. .. . .. .. . Rta .

Problema 10

¿Hasta qué altura se elevará el benzol en un tubo capilar cuyo diámetro interior es 1 mm?. Considere que el benzol moja perfectamente.

Solución

Datos e incógnitas

Δh=??;. . r=0,5 mm ; . . γS=0 ,03 N /m2

En la figura se muestra el DCL del benzol dentro del capilar

Del problema anterior se tiene que

Δh=2 γ S cosθρ .g . r

Δh=2 (0 ,03 ) (cos0 º )880 (9,8 ) ( 0,5. 10−3 )

Δh=13 ,9 mm .. .. . .. .. . .. .. .. . .. ..Rta .

Problema 11

Hallar la diferencia de alturas a la que se encuentra el mercurio que hay en dos tubos capilares comunicantes cuyos diámetros respectivos son d1 =1 mm y d2 =2 mm. Considere que el mercurio no moja en absoluto.

Solución

Datos e incógnitas

r1=0,2 mm; .. r2=1 mm; .. θ=180 º;γ S=0,5 N /mΔh=?? .

En la figura se muestra la ubicación del mercurio en los capilares comunicantes

La sobrepresión p1, producida por la superficie convexa del mercurio en la rama más delgada del tubo, se equilibra con la debida a la diferencia entre los nivele de Hg, en ambas ramas y con la sobrepresión p2 en la rama ancha, esto es

p1=p2+ρ . g . Δh . . .. .. .. . .. .. .(1)

Como el mercurio no moja en absoluto, entonces se tiene que θ =180º, y las presiones complementarias será

p1=2 γ S

r1. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(2)

p2=2 γ S

r2. . .. .. . .. .. .. . .. .(3)

Remplazando la ec.(2) y (39 en (1), resulta

295


2 γ S

r1=

2 γ S

r 2+ρ . g . Δh

Δh=2 γ S (r2−r1 )ρ . g . r1 . r2

Δh=2 (0,5 ) (1. 10−3−0,5 . 10−3 )13600 (9,8 ) (0,5 ) (1 ) . 10−6

Δh=7,5 mm .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..Rta .

Problema 12

¿Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la mecha de una hornilla de petróleo par que este último suba desde el fondo del depósito hasta el mechero de la hornilla (esta altura es h = 10 cm)?. Considerar que los poros son tubos cilíndricos y que el petróleo moja perfectamente.

Solución

Datos e incógnitas

d=??;.. h=10 cm; . .θ=0 º; . . ρP=800kg/m3

γS=0 , 03 N /m .

En la figura se muestra el DCL del petróleo en capilar formado en la mecha.

La altura del petróleo en el capilar se determina a partir de la ecuación.

Δh=2 γ S cosθρ . g . r

¿4 γ S ( cos0 º )ρ . g .d

¿4 (0 ,03 )800 (9,8 ) (10 .10−3)

Δh=0 , 15 mm .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ..Rta .

Problema 13

Un tubo capilar de 2 mm de radio interior se introduce en un líquido. Hallar el coeficiente de tensión superficial del líquido sabiendo que la cantidad de éste que se eleva por el tubo capilar pesa 88.10-2 N.

Solución

Datos e incógnitas

r=2 mm; . . γ S=??;. .W L=88 .2 .10−2 N

En la figura se muestra el DCL del fluido en el capilar y las fuerzas que actúan sobre el fluido

Del equilibrio de fuerzas se tiene

∑ F y=0γ S LC cos θ=Wγ S (2π . r ) cosθ=W . . .. .. . .. .. .(1)

Asumiendo que el fluido moja perfectamente el capilar cosθ = 1, entonces la ec. (1) se escribe

γS (2 π . r )=W

γS=W2π .r

=88 , 2.10−2

2π (2 . 10−3)γS=7 ,02.10−2 N /m . . .. .. . .. Rta .

295


Problema 14.

Un tubo capilar cuyo radio es r =0,16 mm está introducido verticalmente en un recipiente con agua. ¿Qué presión deberá ejercer el aire sobre el líquido que hay dentro del tubo capilar para que éste se encuentre al mismo nivel que el agua que hay en el recipiente ancho?. La presión exterior es p0=760 mmHg. Considere que el agua moja perfectamente.

Solución

Datos e incógnitas

r=0 ,16 mm; . . γ S=0 , 073 N /m; . . p=??p0=760 mmHg=101308 N /m2

Para que el fluido se ubique al mismo nivel que el agua en el depósito se debe insuflar aire como se muestra en la figura.

Analizando el menisco que forma el fluido se tiene

Problema 15.

Un tubo capilar está introducido verticalmente en un recipiente con agua. El extremo de este tubo está soldado. Para que el nivel del agua fuera igual dentro del tubo que en el recipiente ancho hubo que sumergir el tubo en el líquido hasta el 15% de su longitud. ¿Qué radio interior tendrá el tubo?. La presión exterior es igual a 750 mmHg. Considerar que el agua moja perfectamente.

Solución

Datos e incógnitas

γS=0 ,073 N /m ; .. R=??; .. p0=750 mmHg .

En las figuras se muestran al tubo capilar antes y después de sumergirlo

(a) antes de sumergir (b) después de sumergir.

Antes de sumergir el tubo, la presión y el volumen del aire atrapado dentro del tubo son

p0 y V0 .. . .. .. . .. .. . .(1)

Después de sumergir el tubo en el fluido, la presión y el volumen del aire atrapado serán

Según la ley de Boyle, debe cumplirse que

pV=p0V 0 .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(3)

En la figura se muestra la posición del tubo en el fluido

La presión se calcula a partir del menisco formado por el fluido dentro del tubo

p−p0=2 γ S

R

p=p0+2 γS

R.. .. . .. .. . .. .. .. (4 )

295


Remplazando la ec. (4) en (3) y teniendo en cuenta que V0 = A0h0, se tiene

( p0+2 γS

R ) (h0−h1) A0= p0 A0h0

( p0+2 γS

R )= p0h0

(h0−h1)2 γS

R=

p0 h0

(h0−h1)−p0

2 γS

R=

p0 h1

(h0−h1). .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(5 )

Teniendo en cuenta que h1 =(1.5/100)h0, la ecuación (5) se escribe

R=2 γ S [h0−

1,5100

h0]p0(1,5

100h0)

¿2 (0 , 073 ) (100−1,5 )1,5 (750 ) (133 , 3 )

R=0 , 096 mm . .. . .. .. . .. .. . Rta .

Problema 16

El tubo barométrico A de la figura está lleno de mercurio y tiene un diámetro interior d igual a: (a) 5 mm y (b) 1,5 cm. ¿Se puede determinar directamente la presión atmosférica por la columna de mercurio de este tubo?. Hallar la altura de la columna en cada uno de los casos antes mencionados, si la presión atmosférica es p0

= 758 mmHg. Considerar que el mercurio no moja en absoluto.

Solución

Datos e incógnitas

d1=5mm; .. d2=1,5 cm; . . ρHg=13600 kg/m3

γS=0,5 N /m; . .h=??;. . p0=758mmHg .

De la hidrostática se tiene

pA=p0=pB= ρ . g .h . .. .. . .. .. . .(1)

Teniendo en cuenta la curvatura del menisco, se tiene

Remplazando la ec. (2) en (1), resulta

p0=pV , Hg+4 γ S

d+ρ . g . h .. .. . .. .. .. . .. .. (3 )

Debido a que la presión del vapor de mercurio es muy

pequeña pV , Hg .≈0 , la ec. Anterior se escribe

p0=4 γ S

d+ρ . g .h .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(3)

Caso (a), Remplazando los valores dados resulta

758(133 ,3)=4 ( 0,5 )5.10−3 +13600 (9,8 ) (h )

h=755 mm . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..Rta .

Caso (b). Remplazando el valor de d =1,5 cm, se tiene

758(133 ,3)=4 ( 0,5 )1,5.10−2 +13600 (9,8 ) (h' )

h '=757 mm . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. ..Rta .

Problema 17.

El diámetro de un tubo barométrico es igual a 0,75 cm. ¿Qué corrección habrá que introducir al medir la presión atmosférica por la altura de la columna de mercurio de este tubo?. Considerar que el mercurio no moja en absoluto.

Solución

Datos e incógnitasd=0 ,75 cm ; .. ρHg=13600 kg /m3 ;γ S=0,5 N /mcorrección=?? .

En la figura se muestra el tubo barométrico sin considerar la tensión superficial

295


Aplicando la ley de la hidrostática se tiene

pA=p0=pB+ρ .g .hp0=pV , Hg+ρHg g . h1

p0=0+13600 (9,8 ) (h1)

h1=p0

133280.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .(1)

En la figura se muestra el tubo barométrico teniendo en cuenta los efectos de tensión superficial

Del gráfico se observa que tomando los puntos de igual presión, resulta

pA=po=pB' +ρ . g .h2

p0=( pB−pV , Hg)+ ρ . g . h2

p0=4 γ S

d+ρ . g .h2

p0

ρ .g=

4 γ S

ρ gd+h2 . .. .. . .. .. . .. .. . ..(2 )

Remplazando la ec.(1) en (2), se tiene

h1=h2+4 (0,5 )

13600 (9,8 ) (7,5. 10−3 )

A la altura del menisco hay que añadirle 2 mm

h1=h2+2mm. . .. .. . .. .. . .. .. . .. Rta .

Problema 18.

¿Qué error relativo cometemos al calcular la presión atmosférica, igual a 760 mmHg, por la altura de la columna de mercurio de un tubo barométrico cuyo diámetro interior es iguala: (a) 5 mm y (b) 10 mm? Considerar que el mercurio no moja en absoluto.

Solución

Datos e incógnitas

eR=?? .. p0=760 mmHg; . .d1=5 mm; . . d2=10 mm; .. ρHg=13600 kg /m3; . . γ S=0,5 N /m ;. . pV ,Hg=0

Del problema anterior se tiene que cuando no se tiene en cuenta la tensión superficial, resulta

p0=ρ . g . H

H=p0

ρ . g.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .(1)

Y cuando se tiene en cuenta la tensión superficial, se obtiene

pA=po=pB' +ρ . g . h

p0=( pB−pV , Hg)+ ρ . g .h

p0=4 γS

d+ρ . g . h

p0

ρ . g−

4 γ S

ρ gd=h . .. .. . .. .. . .. .. . ..(2 )


H−4 γ S

ρ . g .d=h .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. (3 )

El error relativo viene expresado por

295


Caso (a) el error relativo cuando d =5 mm, será

eR=4 (0,5 )760 (133 .3 ) (5 .10−3 )−4 (0,5 )

eR=0 ,396 %. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .Rta .

Caso (b). El error relativo para d =10 mm, será

eR=4 (0,5 )760 (133 . 3 ) (10 .10−3 )−4 (0,5 )

eR=0 ,197 %.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . . Rta .

Problema 19.

Sobre la superficie del agua se depositó cuidadosamente una aguja de acero grasienta (suponiendo que el agua no moja en absoluto). ¿Qué diámetro máximo podrá tener esta aguja para mantenerse a flote?.

Solución

Datos e incógnitas

ρac=7700 kg /m3; ρw=1000 kg /m3 ; .. d=??;γS , w=0 ,073 N /m

En la figura se muestra el DCL de la aguja flotando en el agua por acción de la tensión superficial, las fuerzas que actúan son: el peso (W) y la fuerza de tensión superficial que tiene una dirección vertical porque el agua no moja en absoluto


∑ F y=0FS=W . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(1)

La fuerza debido a la tensión superficial se expresa

FS=γS (longitud )FS=γS (2L ) . .. .. . .. .. .. . .. .. . ..(2 )

El peso de la aguja será

W =ρac .V . g=ρac ( π . r2 L ) (g )

W =π . ρac .d2 . L. g4

.. .. . .. .. . .(3)

Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta

2 γ S L=π . ρac . d2 . L . g4

d=√8 γ S

π . ρac g=√8 ( 0 ,073 )

π . (7700 ) (9,8 )

d=1, 57 mm .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. Rta .

Problema 20.

¿Flotará en la superficie del agua un alambre grasiento de platino de 1 mm de diámetro?. Suponga que el agua no moja en absoluto.

Solución

Datos e incógnitas

d=1mm ; . . γ S=0 . 073 N /m; .. . ρpt=21400 kg /m3

Para verificar si flota o no el alambre de platino, se calculan las fuerzas de tensión superficial y el peso del alambre y se aplican las ecuaciones de equilibrio al DCL mostrado en la figura

La fuerza debido a la tensión superficial se expresa

FS=γS (longitud )FS=γS (2 L ). .. .. . .. .. .. . .. .. . ..(1 )

El peso de la aguja será

295


W =mg=ρ pt .V . g=ρpt (π . r2 L ) ( g )

W =π . ρpt . d2 . L .g4

. .. . .. .. .. .(2 )

Para que exista equilibrio debe cumplirse que

De la ec. (3) se concluye que, el alambre no flota puesto que no existe equilibrio ya que el peso es mayor que la fuerza de tensión superficial.

Problema 21.

En el fondo de un depósito que contiene mercurio hay un orificio. ¿Qué diámetro máximo puede tener este orificio para que cuando la altura de la columna de mercurio sea de 3 cm éste último no pueda salir de él?.

Solución

Datos e incógnitas

dmax=??;..h=3 cm; . . γ S=0,5 N /m; .ρHg=13600 kg/m3

En la figura se muestra la situación planteada en el problema

Del menisco debe observarse que la diferencia de presiones está dado por

p−p0=4 γ S

d. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(1)

Aplicando la ecuación de la hidrostática se tiene

p− p0=ρHg . g.h . .. .. . .. .. . .. .. . .(2)

Comparando las ec. (1) y (2) resulta

d=4 γ S

ρHg . g .h=

4 (0,5 )13600 (9,8 ) (3 .10−2)

d=0,5 mm . .. . .. .. . .. .. . .. . . .. . .. .. . .. .. . .. .. .Rta .

Problema 22.

Del fondo de una laguna se separó una pompa de gas de diámetro d. Durante su ascenso a la superficie su diámetro aumentó, η veces. Si la presión atmosférica es normal p0 y la densidad del agua es ρ, y considerando que el proceso de expansión del gas es isotermo.

(a) Calcular la profundidad de la laguna en dicho lugar en función de d, η, γS; p0 y ρ.

(b) ¿Cuál es el valor de la profundidad si d= 4 μm; η =1,1; ρ =1000kg/m3; γS =0,073 N7m y p0

=101300 N/m2?.

Solución

El la figura se muestra a la burbuja en el fondo del lago

La diferencia de presiones debido a la tensión superficial es

pa−p=4 γ S

d

pa=p+4 γ S

d.. .. . .. .. . .. .(1)

Aplicando la hidrostática se determina la presión p

p=po+ρ .g . h .. . .. .. . .. .. . .. .(2)


pa=p0+ρ .g . h+4 γS

d. . .. .. . ..(3 )

En la figura se muestra el diagrama de la burbuja cuando está llegando a la superficie del lago

295


La diferencia de presiones en esta posición será

pa' − p0=

4 γ S

d '

pa' = p0+

4 γ S

ηd. .. . .. .. . .. ..( 4 )

Como el proceso es isotérmico, la ley de Boyle nos da

pa V a=pa' V a

'

pa (43 π (d2 )

3)=pa' [4

3 π ( ηd )3

8 ]pa

' =pa

η3 .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(5 )

Al remplazar la ec. (5) en (4), resulta

pa=η3 ( p0+4 γS

ηd ) . .. .. . .. .. . .(6)

Comparando las ec. (3) y (6), se obtiene

p0+ ρ . g .h+4 γ

S

d=p0η3 +

4 γ S η2

d

Despejando el valor de h, se tiene

h=[ p0 (η3−1 )+

4 γ S

d(η2−1 )]

ρ . g.. . .. Rta .

Remplazando los valores del enunciado del problema resulta

h=[101300 (1,13−1 )+4 (0 ,073)

4 .10−6(1,12−1 )]

1000 (9,8 )

h=5 m . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .Rta .

Problema 23.

Un capilar de longitud L, que tiene el extremo superior soldado, se puso en contacto con la superficie de un líquido, después de lo cual éste ascendió por el capilar hasta alcanzar una altura h. La densidad del líquido es ρ; el diámetro de la sección interna del canal del capilar es d; el ángulo de contacto es φ, y la presión atmosférica es po. Hallar el coeficiente de tensión superficial del líquido.

Solución

Datos e incógnitas

L; h; ρ; d; φ; p0; γS =??

En la figura se muestran los diagramas del tubo antes y después de colocarlo en contacto con el fluido

(a) Estado inicial (b) Estado final

Como el proceso es isotérmico la ley de Boyle establece

Para evaluar la presión del aire atrapado en el tubo cuando éste se coloca en contacto con el agua, se traza el DCL del fluido que ascendió, como se muestra en la figura.

295


Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene

∑ F y=0FS cosϕ+ p0 A= pA+W

π .d . γ S cosϕ+ p0(π . d2

4 )=p (π .d2

4 )+π .ρ . g .h .d2

4

Despejando la presión, p, se tiene

p=4 γ S cosϕ

d+ p0− ρ . g .d .h. . .. .. .(2)


p0 L=(4 γ S cos ϕ

d+ p0−ρ . g .d . h )( L−h ) .. .. . ..(3 )

Despejando el coeficiente de tensión superficial, resulta

γS=[ ρ . g. h+

p0 h(l−h ) ] (d )

4 cosϕ. . .. .. . . Rta .

Problema 24.

En un capilar de vidrio cuyo canal interno tiene un diámetro d2 =2 mm se colocó concéntricamente, una barra de vidrio de diámetro d1 = 1,5 mm. Luego el sistema se estableció verticalmente y se puso, en contacto con la superficie del agua. ¿A qué altura ascenderá el agua en este capilar?.

Solución


d1=1,5 mm; .. d2=2 mm; . . γ S=0 , 073 N /mρw=1000 kg/m3 ; ..h=?? .

En la fig.(a), se muestra la disposición de los tubos colocados en el agua y en la fig (b), se muestra el DCL del fluido que ascendió en el capilar formado.

(a) Disposición de tubos (b) DCL del fluido

Debido a que el fluido que ascendió en el capilar está en equilibrio, se tiene

∑ F y=0p0 A+FS= p0 A+WFS=mf g .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(1)

La fuerza de tensión superficial es

FS=γS ( Longitud )FS=γS (πd1+πd2) .. . .. .. . .. .. .. . .(2)

El peso del fluido que asciende por el capilar es

W =ρ . g( πd22

4 −πd1

2

4 )( h ) . .. . .. .. . .(3)

Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta

γS (πd1+πd2 )= ρ . g( πd22

4 −πd1

2

4 ) (h ) . .. .. . .. ..( 4 )

Despejando h resulta

h=4 γ S

ρ . g( d2−d1).. .. . .. .. . .. .. . .(5)

Remplazando valores del enunciado, se tiene

h=4 (0 ,073 )1000 (9,8 ) (2. 10−3−1,5 .10−3)

h=5 , 96 cm . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. Rta .

Problema 25.

Entre dos láminas de vidrio horizontales se encuentra una gota de mercurio en forma de torta cuyo radio es R y el grosor h. Considerando que h << R, calcular la masa de la carga que debe ponerse sobre la lámina superior para que la distancia entre las láminas disminuya η veces. El ángulo de contacto es φ. Calcular m si R= 2 cm; h = 0,38 mm; η =2; φ =135º.

Solución

Datos e incógnitas

R=2 cm; ..h=0 ,38mm; . .η=2 ; . .ϕ=135ºγS=0,5 N /m; . . ρHg=13600 N /m3 ; . .m=?? .

295


En la figura se muestra a la gota de mercurio entre las placas paralelas

De la figura puede observarse que las fuerzas debido a la tensión superficial se equilibran con las fuerzas debido a la diferencia de presiones, es decir

∑ F x=0FS cosϕ=( p−p0 ) A proy

2 γ S (2 πR )‖cos ϕ‖=( p−p0 ) (2 π Rh )

p−p0=2 γ S

h‖cosϕ‖. .. . .. .. . .. .. .. (1 )

Para determinar la masa de la placa superior se traza el DCL de la placa superior tal como se muestra en la figura

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene∑ F y=0

( p− p0 ) A=mP g .. . .. .. . .. .. . ..(2 )


2 γ S

h‖cos ϕ‖. ( πR2 ).=mP g

mP=2 γ S ( πR2 )‖cos ϕ‖g .h . . .. .. . ..(3 )

En la figura se muestra la disposición cuando se coloca un bloque de masa m, sobre la placa

En la dirección horizontal se equilibran las fuerzas debido a la diferencia de presiones y el debido a la tensión superficial

∑ F x=0FS cosϕ=( p−p0 ) A proy

'

2 γ S (2π . r )‖cosϕ‖=( p−p0) (2 π . r . h' )

p−p0=2 γ S

h' ‖cosϕ‖. .. . .. .. . .. ..( 4 )

Por condición del problema

h'=h

η .............................(5)

Entonces la ec. (4) se escribe

p−p0=2 η . γ S

h‖cos ϕ‖. . .. .. . .. .. . .(6)

En la figura se muestra el DCL de la placa superior más el bloque de masa desconocida

Aplicando las ecuaciones de equilibrio obtenemos

∑ F y=0

( p−p0 ) (π . r2 )=( mP+m)g . .. . .. .. . .(7)

Remplazando la ec. (6) en (7) nos da

2η . γ S

h‖cosϕ‖. (π . r2)=(mP+m )g . .. .. . .(8)

Debido a que la masa del mercurio no varía, se tienemi=mf

ρHg ( πR2 h )=ρHg( π . r2h' )

R2h=r2 (hη )r2=ηR2. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(9 )


295


m=2 πγ S R2

g . h‖cosϕ‖(η2−1 ) . .. .. . ..(10 )

Teniendo en cuenta los valores del enunciado, se tiene

m=2 π (0,5 ) ( 2. 10−2)2

9,8 ( 0 ,38 . 10−3 )‖cos135 º‖( 22−1 )

m=0,7 kg . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .Rta .

Problema 26.

Dos discos de vidrio de radio R = 5 cm se mojaron con agua y se colocaron juntos de modo que el grosor de la capa de agua entre estos es h = 1,9 µm. Considerando que la humectación es total, determinar la fuerza adicional que debe aplicarse perpendicularmente al plano de los discos, para separarlos.

Solución


R=5cm; . .h=1,9 μm ;γ S=0 ,073 N /m ;. .θ=0º;ρ=1000 kg/m3 ; . .F=??:

En la figura se muestra el DCL de las placas con el agua en su interior.

Debido a que la humectación es total, entonces la fuerza debido a la tensión superficial actúan sobre el borde de las láminas y paralelas a su área, estas equilibran a las fuerzas debido a la diferencia de presiones, es decir

∑ F x=0FS=( p− p0 ) A proy

γ S (2 πR+2 πR )=( p−p0) (2 π Rh )

( p− p0 )=2 γS

h.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(1)

Para determinar la fuerza necesaria para separar los discos se traza el DCL del disco superior, en él se observa aplicado las fuerzas: fuerza (pA) debido al fluido líquido entre las placas y la fuerza (p0A) debido a la presión del aire.


∑ F y=0FR=( p0−p ) A .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..(2 )


FR=2 γS

h( πR2 )

FR=2πγ S R2

h. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..(3 )

Sustituyendo los valores del enunciado del problema, resulta

FR=2 π (0 ,073 N /m) (25 .10−4 m2 )1 . 9 .10−6 m

FR=6 ,035 . 102 . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .Rta .

Problema 27.

Un cubo de hierro cuya densidad es 7900 kg/m3, engrasado con parafina, flota en el agua de manera que su cara superior se encuentra a nivel del agua, como se ve en la figura. El agua no moja en absoluto a la parafina. Hallara la longitud de la arista del cubo si la tensión superficial del agua es 0,073 N/m.

Solución

Datos e incógnitas

ρacero=7900 kg /m3 ; . . ρw=1000 kg /m3 ;γS=0 , 073N /m ; ..a=?? .

En la figura se muestra el DCL del cubo, las fuerzas que actúan son: el peso del cubo (W); la fuerza de tensión superficial (FS) y el empuje hidrostático debido al agua.

295


Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta

Remplazando los valores consignados en el problema, resulta.

a=√4 ( 0 ,073 N /m )9,8 m /s2 (7900−1000 ) kg /m3

a=2 ,08 mm . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..Rta .

Problema 28

Un tubo de sección transversal circular y radio exterior R está cerrado por su extremo. Este extremo está lastrado y el tubo flota verticalmente en un fluido de densidad ρ y coeficiente de tensión superficial γS con el extremo pesado hacia abajo como se muestra en la figura. La masa total del tubo y el lastre es m. Si el ángulo de contacto es θ. ¿A qué distancia se encuentra el fondo del tubo de la superficie libre del fluido.

Solución


R ; .. ρ ; .. γ S ; .. m; . . g; . . h=?? .

En la figura se muestra el DCL del tubo lastrado en la posición de equilibrio.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio. Resulta

Problema 28.

Sobre cuatro bolas de mercurio, yacentes en el plano horizontal, se pone con cuidado una placa cuadrada de la manera expuesta en la figura. El radio de las bolas es R =1 mm, la masa de la placa es m = 80 g y el coeficiente de tensión superficial es γS = 0,045N/m. Asumiendo que el mercurio no moja en absoluto. ¿Cuánto distará del plano horizontal a la superficie inferior de la placa?.

Solución

Datos e incógnitas

R=1mm; . . mP=80 gr ;. . γ S=0 ,465 N /m ; .. H=?? .

En la figura se muestra el DCL de una de las gotas, las fuerzas que actúan son la tensión superficial (FS) y la fuerza debido a la diferencia de presiones

295



La fuerza que ejercerá la gota de mercurio sobre la placa superior será

F1=( p− p0 ) A=2 γ S

H( π . r2 )

F1=2 π . r2 γ S

H. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .(2)

Debido a que en el sistema hay cuatro gotas la fuerza neta será

FN=4 F1=8 π .r 2 γ S

H.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..(3 )

El radio se determina a partir del principio de conservación de la masa

(mi )gota=(mf )gota

ρHg( 43

πR3 )=ρHg (π . r2 H )

r2=4 R3

3 H. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . ..( 4 )

Remplazando la ec. (4) en la ec. (3), resulta

FN=8πγ S

H (4 R3

3 H )FN=

32 πγ S R3

3H 2.. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .(5)

En la figura se muestra el DCL de la placa en donde se observa que actúan el peos de la misma y la fuerza neta resultante debido a la diferencia de presiones

Esta fuerza es la que equilibra al peso de la placa, es decir

FN=mP g=32 πγS R ·

3 H2

H=√32 πγ S R3

3 mP g

Remplazando los valores consignados en el problema, resulta.

H=√32 π (0 ,0465 ) (1 .10−3)3

3 (80 . 10−3 ) ( 9,8 )

H=0 ,14 mm . Rta .Problema 29.

Un capilar vertical de radio interno r se puso en contacto con la superficie del agua. ¿Qué cantidad de calor se desprenderá durante el ascenso del agua por el capilar?. Considere que la humectación es total, el coeficiente de tensión γS y la densidad del agua es ρw.

Solución

Datos e incógnitas

r ; .. . γ S ; . . . ρw ; .. . Q=?? .

En la figura se muestra el DCL de la masa de agua que ascendió en el capilar, las fuerzas que actúan son: La fuerza de tensión superficial (FS) y el peso del fluido (W).

295



FS=WγS (2π . r )=m . g=ρ .V . g

2π . r . γ S=ρ . g ( π . r2 h)

h=2 γ S

ρ . g . r. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .(1)

La energía potencial de la columna del líquido será

Epg=m . g(h2 )=ρ .V . g (h2 )¿ ρ ( π . r2 h ) (g )(h2 )EPg=

π . r2 ρ . g .h2

2 . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(3)

Remplazando la ec, (1) en (2), resulta

EPg=π . r2 ρ . g(4 γS2

2 ρ2 g2r2 )EPg=

2 πγ S2

ρ . g. .. .. . .. .. . . . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. (3 )

La fuerza de tensión superficial realiza un trabajo dado por

W 1−fFS =FS h

=2 π .r . γ S h

¿2 π . r . γ S(2 γ S

ρ . g .r )W 1−f

FS =4 πγ S

2

ρ . g. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .(4 )

De esta energía irá para aumentar la energía potencial y la otra mitad se disipará en forma de calor.

Q=W i−fF S −EPg

Q=4 π . γ S

2

ρ . g−

2π . γ S2

ρ .g

Q=2π . γ S

2

ρ . g. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. Rta .

Problema 30.

Dos láminas de vidrio verticales paralelas entre sí, se sumergen parcialmente en agua. La distancia entre estás es d = 0,10 mm, su anchura L = 12 cm. Considerando que el agua no llega hasta los bordes superiores de las

láminas y que la humectación es total, calcular la fuerza de atracción mutua que existe entre estas.

Solución


d=0 ,10 mm ; . . L=12cm ; .. γS=0 ,073 N /m ;ρ=1000 kg/m3 , .. F=?? .

En la figura se muestra es DCL de la porción de fluido que ascendió entre las láminas


∑ F y=0FS=Wγ S ( longitud )=m . gγ S (2 L )=ρ .V . g2 γ S L=ρ ( L . d .h ) . g

h=2 γ S

ρ . g . d.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(1 )

Par calcular la fuerza de atracción mutua, se traza el DCL de la placa izquierda tal como se muestra en la figura.

La fuerza será

295


F=( p0−p ) AF=( p0−p1 ) ( L. d ) . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .(2)

Analizando la curvatura del menisco, se tiene

p0− p=γS

r=

2 γ S

d.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(3)

Despejando la presión p, resulta

p=p0−2 γ S

d. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .(4 )

La presión en la mitad del área mojada será

p1=p+ρ . g .(h2 ) .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(5 )



p1=p0−2 γ S

d+ρ .g(2 γS

2 ρ .g .d )p1=p0−

γS

d.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..(7 )

Remplazando la ec (7) en la ec. (2), resulta.

F=( p0−p0+γ S

d ) ( L )(2 γ S

ρ .g .d )F=

2 γ S2 L

ρ .g .d2 . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(8 )

Remplazando los valores dados en el problema resulta

F=2 (0 ,0732) (0 ,12 )1000 (9,8 ) (0 ,10.10−3 )

F=13 N. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . . Rta .

PROBLEMAS PROPUESTOS

)6......(....................2

.2

01

hgd

pP S

295


1. Un anillo metálico delgado con una masa de 3,15 mg y un diámetro de 1,25 cm es colocado horizontalmente sobre la superficie de un líquido. Determine la mínima fuerza vertical necesaria para desprenderlo de la superficie a 20°C si el líquido es: (a) agua, (b) aceite y (c) mercurio

Rta: (a) 5,76 mN; (b) 3,17 mN; (c) 36,5 mN

2. Un anillo metálico delgado con una masa de 2,75 mg y un diámetro de 1,25 cm es colocado horizontalmente sobre la superficie de un líquido. Determine el coeficiente de tensión superficial si es necesario aplicar al anillo una fuerza vertical de 175 mN para desprenderlo del líquido

Rta: 2,23 N/m

3. En el fondo de un recipiente que contiene mercurio hay un orificio circular de diámetro d = 70 μm. ¿Cuál será el grosor máximo de la capa de mercurio con el que este no saldrá por el orificio?.

Rta. 21 cm

4. Determine la depresión del mercurio dentro de un tubo capilar vertical de vidrio que tiene un diámetro de 0,90 mm si el ángulo de contacto entre el vidrio y el mercurio es 128°.

Rta: Δh = 9,54 mm

5. En un recipiente que contiene aire bajo una presión p0 se encuentra una pompa de jabón de diámetro d. La presión del aire se disminuyó isotérmicamente en η veces y como resultado de esto el diámetro de la pompa aumentó N veces. Determinar el coeficiente de tensión superficial del agua jabonosa.

Rta. γS=

p0 d (1− N3

η )8 ( N 2−1 )

6. ¿Cuál es la presión en una pompa de jabón de diámetro d = 4 μm, que se encuentra a la profundidad h = 5 m en el seno del agua. La presión atmosférica p0 es normal.

Rta. 2,2 atm.

7. Hallar la diferencia de niveles del mercurio contenido en dos capilares verticales que se comunican entre sí y cuyos diámetros son d1 =0,5 mm y d2 = 1 mm, si el ángulo de contacto es φ = 138ºRta. 11 mm

8. Un capilar vertical cuyo diámetro interno es de 0,5 mm se sumergió en el agua de modo que la longitud de la parte que no se sumió en ésta resultó ser h = 25 mm. Determinar el radio de curvatura del menisco.

Rta. R=

2 γ S

ρ .g . h=0,6 mm

9. Una gota de agua cae uniformemente en el aire. Determinar la diferencia entre los radios de curvatura de la superficie de la gota en sus puntos superior e inferior, la distancia entre los cuales es h = 2,3 mm.

Rta. R2−R1=

ρ . g .h3

8 γ S

10. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de vidrio paralelas que se encuentran a una distancia de h = 0,1 mm, una vez que entre ellas se introdujo una gota de agua de masa m = 70 mg. Considerar que la humectación es total.

Rta. F=

2 γ S m

ρ . h2 =1 N

11. Calcular el incremento de energía libre de la capa superficial durante la fusión isotérmica de dos gotas de mercurio idénticas de diámetro d = 1,5 mm cada una.

Rta. ΔE=2 π . γ Sd2 (2−1/3−1)=−1,5μJ .

12. Estime el tamaño máximo de las gotas de agua que pueden estar “suspendidas” en el techo. La tensión superficial del agua es de 0,073 N/m.

Rta. R = 0,5 cm.

13. Hállese la tensión superficial de un líquido, si el lazo de un hilo de goma con longitud L y sección A, puesto sobre la película de líquido, se extiende formando una circunferencia de radio R después de que la película fue pinchada dentro del lazo. El módulo elástico de la goma es E.

Rta. σ= 1

2EA( 2 π

L− 1

R )14. Determínese la masa máxima de la unidad de área

de una placa que no se “hunde”, si se le pone con cuidado sobre la superficie del agua. La placa no es mojada por el agua

Rta. m = 0,546 gr/cm2.

15. Un areómetro flota en un líquido cuya densidad es ρ = 800 kg/m3 y cuyo coeficiente de tensión superficial es γS =30 dinas/cm. El líquido moja

295


perfectamente las paredes del areómetro. El diámetro del tubo cilíndrico vertical de éste último es de d = 9 mm. ¿Cuánto variará la profundidad a que se sumerge el areómetro si, por estar grasiento, el líquido no moja en absoluto sus paredes?.

Rta. Δh = 3,5 mm

16. Las películas de dos líquidos se dividen por un tabique de longitud L. Los coeficientes de tensión superficial de los líquidos son γ1 y γ2 ¿qué fuerza actúa sobre el tabique?.

Rta.

17. ¿En cuántas veces la densidad de la sustancia de que está hecho un palito largo de sección cuadrada supera la densidad del líquido, si el palito flota en la superficie tal como se muestra en la figura?.

Rta.

18. El radio de curvatura de una gota en su punto superior es R. ¿Cuál será la masa de la gota, si su altura es h y el radio de contacto de la misma con el plano horizontal en el que “está sentada” es igual a r?. La densidad del líquido es ρ, la tensión superficial es γS. El líquido no moja al plano.

Rta.

19. Dos láminas verticales, sumergidas parcialmente en un líquido humectante, forman una cuña con un ángulo muy pequeño, δφ. La arista de la cuña se encuentra en Posición vertical. La densidad del fluido es ρ, su coeficiente de tensión superficial es γst

y el ángulo de contacto es θ. Calcule la altura h de ascenso del líquido como función de la distancia z medida desde la superficie libre del fluido hasta el vértice de la cuña.

Rta:

20. ¿Qué trabajo contra las fuerzas de tensión superficial es necesario realizar con el fin de: (a) dividir una gota esférica de mercurio con radio de 3 mm en dos gotas idénticas; (b) aumentar dos veces el volumen de una pompa de jabón que tiene el radio de 1 cm?

Rta.

21. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de vidrio paralelas y horizontales que se encuentran separadas una distancia h = 0,10 mm, una vez que entre ellas se introdujo una gota de agua de masa m = 70.10-6 kg. Considere que el coeficiente de tensión superficial del agua es 0,073 N/m, la densidad del agua es 1000 kg/m3 y que la humectación es total ( = 00).

Rta: F = 1N

22. Obtenga una expresión para el ascenso capilar h de un fluido en función de la densidad , el coeficiente de tensión superficial γS , el ancho L y ángulo de contacto θ entre dos placas paralelas verticales separadas una distancia W, como se muestra en la figura. ¿Cuál será el valor de h si el fluido es agua con = 1000 kg/m3, γst = 0,073 N/m, W = 0,5 mm; L = 10 cm y la humectación es total?. ¿Qué cantidad de calor se desprenderá durante el ascenso del agua entre las placas?

23. El mercurio forma un ángulo de 130° cuando está en contacto con vidrio limpio. ¿A qué distancia bajará el mercurio en un tubo capilar vertical de 0,4 mm de radio?

Rta

24. Obtenga una expresión para la fuerza vertical máxima requerida para levantar lentamente un anillo de radio R desde un líquido cuyo coeficiente de tensión superficial es γ.

Rta.

25. Dos placas planas se coloca como se muestra en la figura con un ángulo pequeño α en un recipiente

295


abierto que contiene un poco de líquido. La placas son verticales sube entre las placas. Obtenga una expresión para la ubicación h(x). de la superficie del líquido suponiendo que la humectación es total.

Rta.

26. ¿Qué error relativo admitimos al medir la presión atmosférica atendiéndonos a la altura de la columna de mercurio, si el diámetro interior del tubo barométrico es de 5 mm y el coeficiente de tensión superficial del mercurio es 0,465 N/m?Rta.

27. ¿ A qué altura ascenderá el líquido por un tubo capilar cónico vertical con un ángulo en el vértice α << 1?. La densidad del líquido es ρ y el coeficiente de tensión superficial el γs. El líquido moja por completo al capilar. La altura del tubo capilar es H.

Rta. 28. ¿A qué altura ascenderá un líquido entre dos placas

verticales, que distan Δ, si el ángulo de contacto para la primera es θ1 y para la segunda es θ2? La densidad de líquido es ρ y el coeficiente de tensión superficial del líquido es γs.

Rta.

29. Determínese las presiones mínima y máxima dentro de una gota esférica de líquido que flota en otro líquido. El centro de la gota dista de la superficie libre del líquido h, el radio de la gota es R, las densidades de los líquidos es ρ y la tensión superficial en la superficie de separación es γs.

Rta:

30. Dos placas planas delgadas, inclinadas un ángulo α, se encuentran semisumergidas en un depósito que contiene un líquido de tensión superficial conocida γst y ángulo de contacto θ, como se muestra en la figura. A la altura de la superficie libre del líquido en el depósito, las dos placas se encuentran separadas una distancia L y tienen un espesor b en la dirección perpendicular al papel. En la región entre las placas el líquido sube una distancia h, tal como se indica. (a) ¿Cuál es la fuerza total hacia arriba (según el eje z) debido a la tensión superficial que actúa sobre la columna del líquido entre las placas?, (b) si la densidad del líquido es ρ, obtenga una expresión que dé la tensión superficial γst en función del resto de variables.

31. ¿Qué fuerza hay que aplicarle a un aro horizontal de aluminio, que tiene una altura h = 10 mm, un diámetro interior d1 = 50 mm y un diámetro exterior d2 = 52 mm, para desprenderlo de la superficie del agua?. (b) ¿Qué parte de la fuerza hallada corresponde a las fuerzas de tensión superficial?.

Rta. F = 63,5 mN; (b) x = 37%

32. Entre dos láminas de vidrio horizontales planas y paralelas hay 5 g de mercurio. Cuando sobre la lámina superior se deposita una carga de 5 kgf, la distancia entre ellas se hace igual a 0,087 mm. Hallar el coeficiente de la tensión superficial del

295


mercurio considerando que el peso de la lámina es despreciable en comparación con el de la carga. Suponer que el mercurio no moja en absoluto.

Rta. δs = 0,5 N/m

33. Dos cilindros coaxiales, con radio exterior re y radio interior ri, se sumerge en un fluido de tensión superficial γst y ángulo de contacto θ ≤ 90°. Obtenga una expresión para el ascenso capilar h en la holgura anular entre los dos cilindros cuando esta holgura es muy estrecha.

Rta.

34. Una pompa de jabón de diámetro D1 se funde con otra pompa de jabón de diámetro D2 para formar una única pompa de diámetro D3 que contiene la misma cantidad de aire. Suponiendo que el proceso es isotermo, obtenga una expresión para D3 en función de D1, D2, γst y patm.

Rta.

35. El sistema de la figura permite calcular la presión p1 en el interior del tanque midiendo la altura de la columna del líquido de 15 cm en el tubo de 1 mm de diámetro. El fluido está a 60°C. Calcule la altura real del fluido en el tubo y el porcentaje de error debido a la capilaridad si el fluido es: (a) agua y (b) mercurio. Considere que los coeficientes de tensión superficial del agua y del mercurio a T = 60°C son 0,062 N/m y 0,47 N/m

36. Un estudiante, utilizando un alambre circular y la porción de agua jabonosa, produce una burbuja de jabón de 1 mm de radio. Sabiendo que la tensión superficial del agua jabonosa es γst = 2,5 .10-2 N/m. (a) Determine la diferencia de presión entre el interior y el exterior de la burbuja. (b) Si la misma agua es utilizada para producir una gota esférica cuyo radio es de 0,5 mm, determine la diferencia de presiones entre el interior y el exterior de la gota.

37. Determine el diámetro máximo que puede tener una bolita de acero ( ρ = 7,8 g/cm3) bien engrasada para que pueda flotar en agua a 20°C

38. En un recipiente en el que la presión es p0 se ha formado una pompa de jabón de forma esférica y radio R, cuya presión interior es p1 = 2p0. A partir de estas condiciones, se va reduciendo progresivamente la presión en el recipiente hasta que p’0 = 0. Determine la nueva presión interior p’1 y el nuevo radio de la pompa, asumiendo que la tensión superficial y la temperatura permanecen constantes durante el proceso

39. Una gota de aceite (γst = 0,0320 N/m) tiene un radio de 0,010 mm. La gota es liberada en agua fresca y se hunde hasta una profundidad de 2,55 m bajo la superficie libre del agua hasta quedar en equilibrio. Sabiendo que la presión atmosférica del aire exterior es 1,01.105 PA. (a) ¿Cuál es la presión absoluta del agua a esta profundidad?. (b) Determine la presión absoluta en el interior de la gota.

40. Para determinar la tensión superficial de una disolución jabonosa, se utiliza el dispositivo mostrado en la figura. El diámetro de la pompa esférica formada en el extremo del tubo es de 1 cm, el líquido manométrico es agua y el desnivel entre las dos ramas manométricas es 2,7 mm. Determine el valor del coeficiente de tensión superficial

41.

Capitulo iv. fisica ii. tensión superficial y capilaridad

Engineering