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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA DISCIPLINA: AD0 195 – HIDRÁULICA APLICADA CRÉDITOS: 4 – Carga Horária: 64 Horas-aula PROFESSOR: Dr. Luís Camboim – E-mail: [email protected]
CAPÍTULO 8
8 CONDUTOS LIVRES OU CANAIS. MOVIMENTO UNIFORME
8.1 Condutos livres
Até o presente capítulo, apenas foram considerados os condutos
forçados. Os condutos livres estão sujeitos à pressão atmosférica, pelo menos em
um ponto da sua seção de escoamento.
São chamados livres os condutos sujeitos à pressão atmosférica. Eles
também são denominados "canais” e normalmente apresentam uma superfície livre
de água, em contacto com a atmosfera.
Na Figura 8.1 são mostrados dois casos típicos de condutos livres (a e b);
em (c) está indicado o caso limite de um conduto livre: embora o conduto funcione
completamente cheio, na sua gera triz interna superior atua uma pressão igual à
atmosférica. Em (d) está representado um conduto forçado no qual existe uma
pressão maior do que a atmosférica.
Figura 8.1
Os cursos d'água naturais constituem o melhor exemplo de condutos
livres. Além dos rios e canais, funcionam como condutos livres os coletores de
esgotos, as galerias de águas pluviais, os túneis-canais, as calhas, canaletas etc.
São, pois, considerados canais todos os condutos que conduzem águas com uma
superfície livre, com secção aberta ou fechada
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8.2 Tipos de movimento
O escoamento em condutos livres pode se realizar de várias maneiras:
ESCOAMENTO
UNIFORME PERMANENTE (Secção uniforme, profundidade e velocidade
constantes) (Numa determinada secção a vazão permanece constante)
VARIADO (Acelerado ou Retardado)
Gradualmente
Bruscamente NÃO PERMANENTE (vazão variável)
Se ao longo do tempo o vetor velocidade não se alterar em grandeza e
direção, em qualquer ponto determinado de um líquido em movimento, o
escoamento é qualificado como permanente. Nesse caso as características
hidráulicas em cada secção independem do tempo. (Essas características podem, no
entanto, variar de uma secção para outra, ao longo do canal; se elas não variarem
de secção para secção ao longo do canal o movimento será uniforme.)
Considerando-se agora, um trecho de canal, para que o movimento seja
permanente no trecho é necessário que a quantidade de líquido que entra e que sai
mantenha-se constante.
Consideremos um canal longo, de forma geométrica única, com uma
certa rugosidade homogênea e com uma pequena declividade constante. A água
escoará ao longo desse canal pela ação da gravidade, com certa velocidade e
profundidade. Com essa velocidade fica balanceada a força que move o líquido e a
resistência oferecida pelos atritos interno e externo (este decorrente da rugosidade
das paredes).
Aumentando-se a declividade, a velocidade aumentará, reduzindo-se a
profundidade e aumentando os atritos (resistência), sempre de maneira a manter o
exato balanço das forças que atuam no sistema.
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Figura 8.2
Não havendo novas entradas e nem saídas de líquido a vazão será
sempre a mesma e o movimento será permanente (com permanência de vazão). Se
a profundidade e a velocidade forem constantes (para isso a secção de escoamento
não pode ser alterada), o movimento será uniforme e o canal também será chamado
uniforme desde que a natureza das suas paredes seja sempre a mesma.
Neste caso a linha d'água será paralela ao fundo do canal.
8.3 Carga específica
Pode-se, então, escrever para a carga total (HT) existente na secção:
O coeficiente cujo valor geralmente está compreendido entre 1,0 e 1.1
leva em conta a variação de velocidades que existe na secção. Na prática adota-se
o valor unitário, com aproximação razoável, resultando:
Em secções a jusante a carga será menor, pois o valor y vai se reduzindo
para permitir a manutenção do escoamento contra os atritos.
Passando se a tomar a referencia o próprio fundo do canal a carga na
secção passa a ser:
.......... (1)
He denomina-se carqa específico e resulta da soma da altura de água com
a carga cinética ou energia de velocidade.
Os canais uniformes e o escoamento uniforme não existem na natureza.
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Até mesmo no caso de condutos artificiais prismáticos, longos e de pequena
declividade as condições apenas se aproximam do movimento uniforme.
Essas condições de semelhança apenas acontecem a partir de uma certa
distância da secção inicial e também deixam de existir a uma certa distância da
secção final. (Nas extremidades a profundidade e a velocidade são variáveis.)
É por isso que nos canais relativamente curtos não podem prevalecer as
condições de uniformidade.
Em coletores de esgotos, concebidos como canais de escoamento
uniforme, ocorrem condições de remanso e ressaltos de água onde o movimento se
afastada uniformidade.
Nos canais com escoamento uniforme o regime poderá se alterar
passando a variado em conseqüência de mudanças de declividade, variação de
secção e presença de obstáculos.
Figura 8.3
8.4 Lei de Chézy
Conforme será mostrado a velocidade no caso do escoamento uniforme
segue a lei de Chézy:
ou
Como Q = AV
= A2C2RI
Ou .......... (2)
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Q = vazão, m3/s
A = secção de escoamento, m2
C = coeficiente
R = raio hidráulico, m
I = decIividade, em m por m
O coeficiente C de Chezy não é numérico (dimensional): para unidades
métricas e segundos o seu valor varia desde 40 para paredes rugosas até 100 caso
de paredes muito lisas.
8.5 Profundidade crítica
Denomina-se crítica a profundidade de água em um canal que corresponde
ao valor mínimo da carga específica (He) quando se tem certa vazão. Em ou
palavras: a profundidade crítica é aquela para a qual ocorre a maior vazão quase
tem uma carga específica estabelecida. (Neste caso o Número de Fraude é iguala a
1).
A carga específica é dada por:
Podendo se escrever:
De onde se tira:
.......... (3)
Pesquisando-se as condições de máximo e mínimo constata-se que se
anula sempre que h = (e também se A fosse 0). Derivando se a equação:
Como dA=Bdh ( v. Fig. 8.4) e considerando se uma profundidade média
,
Obtém-se
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:
Figura 8.4
Esta derivada se anula para um certo valor de h que chamamos de
profundidade crítica . Então:
e
.......... (4)
Substituindo na expressão (3)
.......... (4)
8.6 Velocidade média crítica
A velocidade média critica passa a ser:
........ (5)
e ainda:
........ (6)
ou
E como
tem-se:
........... (7)
A vazão máxima em uma secção é alcançada quando a velocidade da água
igualar a velocidade crítica.
A velocidade crítica é igual à velocidade de propagação de uma onda
infinitamente pequena em um canal com profundidade média
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Nos canais de forma retangular as expressões se simplificam:
hmc = h e hmc = hc
A equação (4) fica:
........ (8)
A equação (7) aplicada a unidade de largura de canal , com
Fica sendo
........... (9)
(onde q é a vazão máxima correspondente à profundidade crítica e relativa a I m de
largura de canal).
Conclui-se, portanto, que quando se tem uma vazão dada (Q ou q), a
profundidade crítica h, é invariável.
No caso de escoamento uniforme a profundidade que a água apresenta
vai depender da declividade I.
Tratando-se de condutos de secção circular funcionando parcialmente
cheios a profundidade crítica pode ser calculada pela fórmula:
2/3
Que é válido para:
8.7 Declividade crítica
Partindo-se da equação (2) para as condições críticas,
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cc RIAQ22
e da equação (4)
e como
B
Ahmc
B
gAQ
32 ........ (10)
Igualando-se as duas expressões. que dão Q2:
B
gARICA cc
322
BRC
gA
BRAC
gAI c
c
c 222
3
E como m
c hB
A
RC
ghI m
c 2 ........ (11)
Sempre que a declividade de um canal ultrapassar a declividade critica
(Ic) a profundidade nesse canal será inferior à profundidade crítica e o movimento da
água será torrencial1.
8.8 Variação da vazão em função da profundidade (para uma certa carga Hc
dada.)
A equação (3)
)(2 hHcgAQ
sendo representada graficamente (valores de Q resultantes de valores admitidos
para h):
1 Não se deve confundir o escoamento torrencial com o movimento turbulento. Nos canais o
movimento é sempre turbulento, mesmo no caso de regime fluvial.
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Figura 8.5
Pode-se observar que o ponto crítico divide a curva em dois ramos. Para
qualquer valor de Q, inferior ao que é dado pela altura crítica, existem 2 valores
possíveis para a profundidade de água, ambos correspondendo à mesma carga He
Para a profundidade h1, maior do que a profundidade crítica, a velocidade V1 será
menor do que a velocidade crítica e menor do que a velocidade das ondas
infinitamente pequenas.
Neste caso as ondas infinitamente pequenas poderiam se propagar tanto
para montante, como para jusante e o regime se denomina fluvial. (tranqüilo).
No outro caso a velocidade V2 será mais elevada do que mcgy e as
ondas infinitamente pequenas somente podem se propagar para jusante, dando
lugar a um regime torrencial (ou supercrítico).
As duas profundidades possíveis (na Figura h1 e h2) são denominadas
profundidades alternadas ou conjugadas.
Resumindo:
- Para valores fixos de He e h há um único valor possível de Q.
- Para valores fixos de Q e h há um único valor possível de He.
- Para valores fixos de Q e He podem existir 2 valores possíveis de h (e
excepcionalmente I ou nenhum valor).
8.9 Como causar o regime supercrítico?
O escoamento tranqüilo ou fluvial pode se transformar em escoamento
supercrítico ou torrencial mudando-se a secção do canal ou aumentando-se
consideravelmente a declividade (V. Declividade crítica).
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Para que seja formado um ressalto hidráulico é necessário que a
velocidade de montante seja supercrítica.
8.10 Movimento retardado
A existência de um obstáculo no canal (uma barragem, por exemplo)
causa a elevação da profundidade, redução da velocidade e, conseqüentemente, o
movimento variado retardado. Forma-se, dessa maneira, um remanso.
A variação de profundidade no caso de um remanso sempre é muito
gradual, abrangendo longo trecho do canal (distâncias grandes).
8.11 Variação da carga específica (He) em função da profundidade h da
água
Partindo-se de uma certa vazão conhecida Q pode-se traçar uma curva
que mostra a variação de He em função de h. Obtém-se, assim, um outro tipo de
curva para mostrar a ocorrência dos dois tipos de escoamento:
Figura 8.6
A carga específica é:
g
VhH e
2
2
...... (12)
2
2
2gA
QhH e
Calcula-se He e depois determina-se
emc Hh3
2
Determina-se então
mcc ghAQ
Mantendo-se o valor de Q, traçam-se os pontos
correspondentes a vários valores arbitrados para 11,
obtendo-se os resultados para He segundo a
expressão (12).
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EXEMPLO 8.1 - Um canal de concreto mede 2,00 m de largura e foi projetado para funcionar
com uma profundidade útil de 1,00 m. A declividade é de 0,0005 m/rn. Determinar a vazão e
verificar as condições hidráulicas do escoamento.
Figura 8.7
A = 2,00 x 1,00 = 2,00 m2
P = 2,00 + 1,00 + 1,00 = 4,00 m
RH = 2,00/4,00 = 0,5 m
I = 0,0005 m/m
= 016 (fórmula de Bazin)
71
1
87
HR
C
IR
R
V H
H
1
87
sm
I
V /12,10005,05,0
5,0
16,0
87
Q = AV = 2,00 x1,12 = 2,24 m3/s.
Carga específica: mg
064,12
12,100,1
2g
Vh=H
22
e
Profundidade crítica: mH e 709,03
064,12
3
2h
Velocidade crítica: smgxghmc /85,13545,0Vc
Declividade crítica sm
x
gx
xRnC
ghm /00194,050,071
50,0I
22c
Conclui-se que o regime é fkuvial (tranqüilo)
Traçado da curva para a Carga Específica constante
)(2 hHcgAQ
Hc = 1,064 m
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Traçado da curva para a Vazão Máxima constante
Q = 3,73 m3/s
2g
Vh=H
2
e
* A profundidade crítica poderia ser comprovada usando-se a expressão
3 3
2
71,073.150,0
mgg
qhc
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As duas curvas estão apresentadas nas Figuras 8.8 e 8.9.
Figura 8.8
Figura 8.9
Admitindo-se agora que o canal, com a mesma forma e dimensões
estruturais, fosse construído com uma declividade muito maior - 0,004 m/m -, como
resultariam as condições de escoamento?
Tem-se que Q = 2,24 m3/s e I = 0,004 m/m.
Como não se conhece a altura da lâmina d'água para a vazão com essa
declividade, resolve-se o problema por tentativas.
Tomando-se inicialmente h = 0,50 m tem-se:
A = 2,00 x 0,50 = 1,00 m2 p = 2,00+ 0,50 + 0,50 = 3,00 m
mRh 33,000,3
00,1
671,67
33,0
16,01
87
C
mxIRCV n 44,2004,033,06,67
Q = AV – 1,00 x 2,44 = 2,44 m3/s
Tomando-se, numa segunda tentativa, um valor pouco menor para h:
H = 0,46 m V = 2,44 m/s
mRh 317,092,2
92,0
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Q = AV = 2,22 m3/s (muito próximo)
Carga específica: mg
756,02
44,246,0
2g
Vh=H
22
e
Profundidade crítica: mHe 504,0,03
756,02
3
2h c
Velocidade crítica: smgxghmc /1865252,0Vc
Declividade crítica sm
x
gx
xRnC
ghm /0015,0317,06,67
23,0I
22c
8.12 Projeto de pequenos canais com fundo plano horizontal
Em certas instalações, como por exemplo, estações de tratamento, são
comuns canais e canaletas relativamente curtos, com fundo sem declividade, assim
construídos por facilidade ou conveniência estrutural.
Freqüentemente são projetados com uma secção determinada para
manter a velocidade de escoamento com um valor conveniente. Há dois casos a
considerar:
1. Canais "afogados", cujo nível d'água a jusante é predeterminado por uma
condição de chegada. Neste caso calcula-se a perda de carga e. partindo-se do
N.A. conhecido de jusante pode-se obter o nível de montante;
2. Canais "livres", que descarregam livremente a jusante, onde o nível é bem mais
baixo. Neste caso sabe-se que na extremidade do canal a profundidade do líquido
cairá abaixo da profundidade crítica. Partindo-se da profundidade crítica determina-
se a profundidade pouco acima delas (H = 3/2 hJ A partir desse ponto calcula-se a
perda de carga para se encontrar o nível de montante.
Se o canal receber contribuições pontuais ao longo da sua extensão ele
poderá ser subdividido em trechos para efeito de cálculo.
8.13 Observações sobre projetos de canais (com escoamento permanente
uniforme)
1. O projeto de canais pode apresentar condições complexas que exigem a
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sensibilidade do projetista e o apoio em dados experimentais.
O projeto de obras de grande importância deve contar com a colaboração
de um especialista.
2. Sabendo-se que os canais uniformes e o escoamento uniforme não existem na
prática, as soluções são sempre aproximadas, não se justificando estender os
cálculos além de 3 algarismos significativos.
3. Para os canais de grande declividade recomenda-se a verificação das condições
de escoamento crítico.
4. Em canais ou canaletas de pequena extensão não se justifica a aplicação de
fórmulas práticas para a determinação da profundidade ou da vazão.
8.14 Forma dos condutos
Os condutos livres podem ser abertos ou fechados, apresentando-se, na
prática, com uma grande variedade de seções.
Os condutos de pequenas proporções geralmente são executados com a
forma circular.
A seção em forma de ferradura é comumente adotada para os grandes
aquedutos.
Os canais escavados em terra normalmente apresentam uma seção
trapezoidal que se aproxima tanto quanto possível da forma semi-hexagonal. O
talude das paredes laterais depende da natureza do terreno (condições de
estabilidade).
Os canais abertos em rocha são, freqüentemente, de forma retangular,
com a largura igual a cerca de duas vezes a altura.
As calhas de madeira ou aço são, em geral, semicirculares.
8.15 Distribuição das velocidades nos canais
A variação de velocidade, nas seções dos canais, vem sendo investigada
há muito tempo. Para o estudo da distribuição das velocidades consideram-se duas
seções.
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a) Seção transversal
A resistência oferecida pelas paredes e pelo fundo reduz a velocidade. Na
superfície livre, a resistência oferecida pela atmosfera e pelos ventos também
influência a velocidade. A velocidade máxima será encontrada na vertical (1) central,
(Figura 8.10) em um ponto pouco abaixo da superfície livre.
Figura 8.10
Podem ser consideradas as curvas isotáquicas, que constituem o lugar
geométrico dos pontos de igual velocidade.
Figura 8-11 -Velocidades constatadas no canal de Sudbury (valores em pés/s).
b) Seção longitudinal
A Figura 8.12 mostra a variação da velocidade nas verticais (1), (2) e (3),
indicadas na Figura 8-10.
Considerando-se a velocidade média em determinada seção como igual a
1.0, pode-se traçar o diagrama de variação da velocidade com a profundidade
(Figura.8-13).
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Figura 8.13
Figura 8.13
8.16 Relações para a velocidade média
O Serviço Geológico dos Estados Unidos (United States Geological Survey)
apresenta as relações dadas a seguir, que são de grande utilidade nas e
terminações e estimativas de vazão.
a) A velocidade média numa vertical geralmente equivale de 80 % a 90 % da
velocidade superficial;
6,0méd.V V
b) A velocidade a seis décimos de profundidade é, geralmente, a que mais se
aproxima da velocidade média;
2V
8,02,0
méd.
VV
c) Com maior aproximação do que na relação anterior, tem-se
4
2V
2,02,0
méd.
8,0 VVV
d) A velocidade média também pode ser obtida partindo-se de
Essa última expressão é mais precisa. Sobre o assunto, veja a Secção
8.17.
8.17 Seção molhada e perímetro molhado
Como os condutos livres podem apresentar as formas mais variadas,
Page 18
podendo, ainda, funcionar parcialmente cheios, torna-se necessária a introdução de
dois novos parâmetros para o seu estudo.
Denomina-se seção molhada de um conduto a área útil de escoamento
numa seção transversal. Deve-se, portanto, distinguir S, seção de um conduto
(total), e A, área molhada (seção de escoamento).
Figura 8.14
O perímetro molhado é a linha que limita a seção molhada junto às
paredes e ao fundo do conduto. Não abrange, portanto, a superfície livre das águas.
8.18 Equação geral de resistência
Torne-se um trecho de comprimento unitário. O movimento sendo
uniforme, a velocidade mantém-se à custa da dec1ividade do fundo do canal,
declividade essa que será a mesma para a superfície livre das águas. Sendo o
peso específico da massa líquida, a força que produz o movimento será
F = Asen
Figura 8.15
Desde que o movimento seja uniforme, deve haver equilíbrio entre as
forças aceleradoras e retardadoras, de modo que a força F deve contrabalançar a
resistência oposta ao escoamento pela resultante dos atritos. Essa resistência ao
escoamento pode ser considerada proporcional aos seguintes fatores:
a) peso específico do líquido;
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b) perímetro molhado;
c) comprimento do canal (= 1);
d) uma certa função (V) da velocidade média; e,
Res. = P(V
Igualando-se as Equações. (1) e (2),
Asen = P(V
Na prática, em geral, a declividade dos canais é relativamente pequena,
10º
permitindo que se tome
sem tg = I (declividade)
)(VIP
A
A relação P
A; é denominada raio hidráulico ou raio médio
molhadoperímetro
molhadaáreaRH
chegando-se, então, à expressão
)(VIRH
que é a equação geral de resistência.
Tabela 28.1 - Área molhada, perímetro molhado e raio hidráulico de algumas seções usuais
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A declividade, nesse caso, corresponde à perda de carga unitária (J) dos
condutos forçados.
Além da equação de resistência, tem-se a equação da continuidade,
Q = AV
Essas duas equações permitem resolver os problemas práticos de
maneira análoga à dos condutos forçados; conhecidos dois elementos, é sempre
possível determinar os outros dois.
8.19 Fórmula de Chézy
Em 1775, Chézy propôs uma expressão da seguinte forma:
IRCV H
O valor de C era, nessa época, suposto independente da rugosidade das
paredes.
É interessante notar que, para um conduto de seção circular, funcionando
com a seção cheia,
4
DRH
Tomando-se I = J e fazendo-se as substituições na fórmula de Chézy,
resulta
22
4VC
DJ
expressão análoga à de Darcy, em que o expoente de D é a unidade e a
resistência varia com a segunda potência da velocidade.
8.20 Movimento turbulento uniforme nos canais
A maioria dos escoamentos em canais ocorre com regime turbulento. À
semelhança do número de Reynolds, calculado para tubos de seção circular, pode-
se calcular esse adimensional para os canais. Assim, para os condutos circulares, o
raio hidráulico vale
Page 21
4
DRH
sendo D o diâmetro do conduto
Para o cálculo do número de Reynolds para os canais, adota-se,
freqüentemente, como dimensão linear característica, o valor D = 4RH. Assim, se o
conduto for uma seção circular cheia, esse valor coincidirá com o diâmetro D.
Então, para os canais, usualmente tem-se a seguinte expressão para o número de
Reynolds:
)4( RHVRe
RHRe
4
Calculando-se o número de Reynolds, na grande maioria dos
escoamentos considerados em Hidráulica, esse valor será superior a 105. Assim, só
serão considerados, neste capítulo, escoamentos em regime turbulento.
Para o caso particular dos movimentos laminares (Re < 1.000), o raio
hidráulico e a área da seção não são os únicos elementos geométricos do canal que
influem na equação do movimento do fluido; há que considerar um outro parâmetro
que depende, também da forma da seção.
Neste capítulo, só serão considerados os movimentos uniformes, ou seja,
aqueles em que a declividade da superfície livre corresponde à declividade do
fundo, isto é, área, raio hidráulico, vazão e declividade do fundo constantes.
8.21 - Fórmula de Chézy com Coeficiente de Manning
Qualquer expressão de movimento turbulento uniforme poderia ser
utilizada para os canais, desde que o elemento geométrico característico fosse D =
4RH, uma vez que, nos movimentos turbulentos, a forma da seção, praticamente,
não influi na equação do movimento.
Entretanto, a fórmula de Chézy, com coeficiente de Manning, é a mais
utilizada por ter sido experimentada desde os canais de dimensões minúsculas até
os grandes canais, com resultados bastante coerentes entre o projeto e a obra
construída.
Page 22
Trata-se da Equação
3/2
HARI
nQ
Sendo
n = coeficiente de rugosidade de Ganguillet e Kutter;
Q = vazão (m3/s);
I = declividade do fundo do canal (m/m);
A = área da seção do canal (m2);
RH = raio hidráulico (m).
A única objeção que se faz à fórmula de Chézy com Coeficiente de
Manning é que o coeficiente n é um dimensional. Contudo o valor adimensional da
rugosidade D
K da chamada fórmula universal, seria calculado através das alturas
das asperezas (K), (sem se preocupar com vários outros fatores que influem na
rugosidade, como, por exemplo, a orientação das asperezas), altura essas
dificilmente medidas ou adotadas com precisão.
O valor do coeficiente n de rugosidade de Ganguillet e Kutter é pouco
variável, como se pode ver pelas Tabelas. 22.3 e 22.5.
8.22 Problemas hidraulicamente determinados
Diz-se que um problema é hidraulicamente determinado quando dos
dados deduz-se (apenas com a equação do movimento e a equação da
continuidade), de maneira unívoca, o elemento desconhecido.
Assim, conhecidos n, A e RH há uma infinidade de vazões Q que
satisfazem à equação do movimento; ficando associada a cada vazão, uma
declividade I. Então o problema de cálculo da vazão, com os valores de n, A e R
como dados, é hidraulicamente indeterminado.
São três os problemas hidraulicamente determinados, que, para qualquer
tipo de canal, ficam resolvidos com a fórmula de Chézy com coeficiente de Manning.
Dados n, A, RH e I, calcular Q; ou, dados n, A, RH e Q, calcular I.
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Esses problemas são resolvidos com meras aplicações da fórmula de
Chézy com coeficiente de Manning. São problemas de cálculo de vazão ou
declividade de canal.
Dados n, Q e I, calcular A e RH
Já esse problema apresenta uma dificuldade de ordem prática, pois a
solução da equação
3/2
HARI
nQ
mesmo nos casos mais simples, é bastante laboriosa. É o problema de
dimensionamento geométrico do canal. Resolve-se o problema como segue.
Seja dado um canal de forma qualquer, porém conhecida (Figura 8.8).
)(
_)()(
xP
xAxRH
Calcula-se inicialmente
I
nQ
Figura 8.16
Pode-se organizar uma tabela como a do tipo mostrado a seguir para
calcular f(x) = ARH2/3
.
Page 24
Representa-se graficamente [f(x)] x(x); entra-se com o valor I
nQ em
ordenadas e tira-se o valor de xo em abscissa, o que resolve o problema. (Daí pode-
se calcular A e RH.)
EXERCÍCIO 8.2 - Calcular a altura de água x em um canal, cuja seção transversal
tem a forma da Figura. 8.18. A vazão é 0,2 m3/s. A declividade longitudinal é 0,0004.
O coeficiente de rugosidade n, da fórmula de Manning, é 0,013.
Figura 8.17
Figura 8.18
Calcula-se inicialmente
I
nQ 13,0
0004,0
02013,0
x
Organiza-se a seguinte tabela:
Da curva [f(x)] x(x), entrando-se com o valor I
nQ= 0,13, tira-se o valor
de x procurado (Figura 8.19).
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8.23 Método de Bandini para cálculo de canais
O Eng. Alfredo Bandini. ex-profcssor da Universidade de São Paulo,
desenvolveu um método de cálculo de canais que visa facilitar a aplicação da
fórmula de Chézy com coeficiente de Manning. Descreve-se o método a seguir.
Seja um canal qualquer. Seja uma dimensão linear característica do
canal; isto é, dado , pode-se desenhar o canal, pois todas as demais dimensões
são função de x.
Figura 8.19
Figura 8.20
Pode-se, sempre, determinar parâmetros adimensionais a e b para
formas fixadas de canais, tais como
A = a2
RH = b
Assim, para os canais circulares à meia-seção, tem-se
2
8DA
DRH4
1
Ora, se = D, tem-se 8
a e
4
1b
EXERCÍCIO 8.3 - Seja por exemplo, um canal retangular com relação altura de água
x para largura I igual a 2x.
A = ax2
xRH2
1
Ora, se = x, tem-se a = 2 e 2
1b substituindo na equação abaixo tem-se
Page 26
3/22 )( baI
nQ
3/83/2 abI
nQ
O Prof. Bandini denominou a e b de parâmetros de forma e o produto R =
ab2/3 de coeficiente de forma.
Como, dada a forma do canal, ficam fixados a e b, também R só é função da
forma do canal. Assim,
3/8RI
nQ
8/3
IR
nQ
A Equação acima) é a expressão de Bandini, que facilitará a resolução
dos problemas de dimensionamento de canais. I
nQD foi denominado
coeficiente dinâmico por reunir as grandezas dinâmicas do problema. A mesma
equação também pode ser escrita
8/3
8/3
R
D
O Prof. Alfredo Bandini, em precedentes memórias e em seus livros
Hidráulica, Vol. I (publicado pela EESC, USP, em 1957), e Il Calcolo dei Canali
(Coperti-Edizioni DEI, Roma, 1948), publicou tabelas dos coeficientes e parâmetros
de forma, além de outras funções de utilidade para cálculo de canais para as formas
1. trapezoidal (incluindo retangular);
2. com fundo circular e lados inclinados;
3. circular;
4. ovoidal tipo Philips;
5. ovoidal tipo Latham;
6. semi-ovoidal tipo Philips;
7. semi-ovoidal tipo Latham;
8. semi-elíptica;
9. de ferradura.
Aqui, refez-se o tabelamento para as três primeiras formas utilizando-se o
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computador IBM 1130, do Centro de Processamento de Dados da EESC, USP.
As dimensões características e os demais dados necessários ao
entendimento das tabelas são dados a seguir.
8.23.1 Canais trapezoidais (e retangulares)
Nas Tabelas. 8.2, têm-se
a) q variando de 0,0 a 3,5; de 0,1 em 0,1;
b) z variando de 0,5 a 42; de 0,5 em 0,5;
c) R=ab2/3;
d) S = R3/8.
Observações.
a) Mostra o Prof. Bandini que as formas dos canais trapezoidais que dão mínimo
perímetro molhado têm )1(2 2 qqz . Assim, para os canais retangulares (q = O),
z = 2 é a condição de mínimo perímetro molhado.
b) Para as aplicações, utilizar n, Tabela abaixo, vazão em m3/s e I em m/m.
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Figura 8.22
Figura 8.23
8.23.2 Canais com fundo circular e lados inclinados
Nas Tabelas. 22.3 tem-se
a) q variando de 0,0 a 3,5; de 0,1 em 0,1;
b) z variando de 0,05 a 4,20; de 0,05 em 0,05;
c) R = ab2/3;
d) S = R3/8.
Observações:
a) O Prof. Bandini demonstra que a condição de mínimo perímetro molhado é z = 1.
b) Quando o valor de x for inferior a CD (Figura 8.23), o canal será de forma circular.
Nas tabelas, os asteriscos indicam esse caso.
c) Para as aplicações, utilizar n da Tabela 8.3, vazão em m/s, e I em m/m.
8.23.3 Canais de forma circular
Na Tab. 22.4, têm-se
a) I
nQcom n dado pela Tabela 23-3, sendo Q vazão em litros por segundo, I é
dado em metro por metro (notação da tabela = F);
b) D em metro variando de 0,05 a 3,00 metros: de 0,05 em 0,05;
c) D
Xz (adimensional) variando de 0,05 a 1,00, de 0,05 em 0,05.
Observações:
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a) Mostra o Prof. Bandini que o máximo da função I
nQ ocorre para z = 0,938.
b) Tomar o cuidado de utilizar a vazão em l/s.
Figura 8.24
Figura 8.25
EXERCÍCIO 8.4 - Calcular a vazão de um canal trapezoidal com as dimensões da
Figura 8.17, cuja declividade longitudinal seja 0,0004, com uma rugosidade R =
0,013.
Q = ctg 30º = 1,732,
5,20,1
5,2z
Com os valores de q e z e com o auxílio da Tabela 22.2, tira-se, por interpolação, o
valor de R.
R = 3,179
Mas, pela Equação abaixo,
3/2
HARI
nQ
0004,0179,3
013,00,1 3/8 Q
Daí Q = 4,9 m3/s
EXERCÍCIO 8.5 - Dimensionar um canal de fundo circular e lados inclinados (45°)
para uma vazão de 10,0 m3/s, com uma declividade de 0,0005, sabendo-se que o
revestimento terá uma rugosidade n = 0,012. Deve-se fazer a maior economia
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possível no revestimento.
De acordo com a observação (anterior, o valor 1,0, que resulta para essa
forma de canal um perímetro molhado mínimo (portanto máxima economia), é z =
1,0. Com o valor de z = 1 e q = 1 (ângulo de 45°), têm-se, na Tabela 22.3.
R = 1,125,
S = R3/8 = 1,045,
53,6 I
nQ
Daí pela equação abaixo temos,
8/3
IR
nQ m26,4
045,1
449,4
045,1
6,53
Figura 8.26
Figura 8.27
EXERCÍCIO 8.6 - Calcular a altura de água x que terá um canal circular de 2 m de
diâmetro, com uma vazão de 3,0 m 3/s, com uma declividade de 0,005, e uma
rugosidade n igual a 0,012.
Calcula-se
509005,0
000.3012,0
x
I
nQF
(observa-se que o valor de Q foi utilizado em L/s).
Da Tab. 22-4, com os valores de F = 509 e D = 2,0 m, obtém-se, por inter-
polação,
Daí, X = 0,6914 m.