Capitulo 4 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 30 FORMULÁRIO Taxa Proporcional ou equivalente (juros simples) 1 2 i i k Taxas Equivalentes (juros compostos) 3 2 4 6 12 360 1 1 1 1 1 1 1 a s q t b m d i i i i i i i Taxa Efetiva e Nominal n ep i i ao período de capitalização k ; 1 1 k n e i i ao periodo da taxa nominal k Taxa Real e Taxa Aparente 1 1 1 r i i I 1 1 0 0 ˆ ˆ ao período de investimento ˆ r S C I I i C I Taxa Over 1 1 30 du e over i ao período ; 1 1 30 du e over S C i C 4.9 — Exercícios Propostos 1 1) Considerando a taxa de 45%a.a., calcule as respectivas taxas equivalentes, nos regimes de juros simples e compostos, relativas aos seguintes períodos: a) Dia. b) Mês. c) Bimestre. d) Trimestre. e) Quadrimestre. f) Semestre. Solução a) Taxa Diária – Juros Simples – i 1 ao ano e i 2 ao dia 1 2 0, 45 0, 00125 0,125% . . 360 i i ou ad k Taxa Diária – Juros Compostos – i a ao ano e i d ao dia 1 1 360 360 360 1 1 1 1 1, 45 1 0, 001033 0,1033% . . a d d a i i i i ou ad 1 Salvo menção em contrário considerar anos comerciais de 360 dias, com 12 meses de 30 dias, e regime de juros compostos.
12
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Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 30
FORMULÁRIO
Taxa Proporcional ou equivalente (juros simples) 12
ii
k
Taxas Equivalentes (juros compostos)
32 4 6 12 360
1 1 1 1 1 1 1a s q t b m di i i i i i i
Taxa Efetiva e Nominal
nep
ii ao período de capitalização
k ; 1 1
k
ne
ii ao periodo da taxa nominal
k
Taxa Real e Taxa Aparente 1 1 1ri i I
1
1 0
0
ˆ ˆ ao período de investimento
ˆ
r
S C
I Ii
C
I
Taxa Over
1 130
du
e
overi ao período
; 1 130
du
e
overS C i C
4.9 — Exercícios Propostos1
1) Considerando a taxa de 45%a.a., calcule as respectivas taxas equivalentes, nos
regimes de juros simples e compostos, relativas aos seguintes períodos:
a) Dia.
b) Mês.
c) Bimestre.
d) Trimestre.
e) Quadrimestre.
f) Semestre.
Solução
a) Taxa Diária – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao dia
12
0,450,00125 0,125% . .
360
ii ou a d
k
Taxa Diária – Juros Compostos – ia ao ano e id ao dia
1 1
360360 3601 1 1 1 1,45 1 0,001033 0,1033% . .a d d ai i i i ou a d
1Salvo menção em contrário considerar anos comerciais de 360 dias, com 12 meses de 30 dias, e regime
de juros compostos.
Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 31
b) Taxa Mensal – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao mês
12
0,450,0375 3,75% . .
12
ii ou a m
k
Taxa Mensal – Juros Compostos – ia ao ano e im ao mês
1 1
1212 121 1 1 1 1,45 1 0,031448 3,1448% . .a m m ai i i i ou a m
c) Taxa Bimensal – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao bimestre;
12
0,450,075 7,50% . .
6
ii ou a b
k
Taxa Bimensal – Juros Compostos – ia ao ano e ib ao bimestre;
1 1
66 61 1 1 1 1,45 1 0,063885 6,3885% . .a b b ai i i i ou a b
d) Taxa Trimestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao trimestre;
12
0,450,1125 11,25% . .
4
ii ou a t
k
Taxa Trimestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao trimestre;
1 1
44 41 1 1 1 1,45 1 0,097342 9,7342% . .a t t ai i i i ou a t
e) Taxa Quadrimestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao quadrimestre;
12
0,450,15 15,00% . .
3
ii ou a q
k
Taxa Quadrimestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao quadrimestre;
1 133 31 1 1 1 1,45 1 0,131851 13,1851% . .a q q ai i i i ou a q
f) Taxa Semestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao semestre;
12
0,450,225 22,50% . .
2
ii ou a s
k
Taxa Semestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao quadrimestre;
1 1
22 21 1 1 1 1,45 1 0,204159 20,4159% . .a s s ai i i i ou a s
2) Considerando a taxa nominal de 36%a.a.c.m, calcule as correspondentes taxas
efetivas.
a) Mensal.
Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 32
b) Bimensal.
c) Trimestral
d) Quadrimestral
e) Semestral
f) Anual
Solução
a) Mensal
A taxa efetiva mensal é 0 36
0 03 3 0012
,, , % . .ei ou a m
b) Bimensal
A taxa efetiva bimensal é 2
0 361 1 0 0609 6 09
12
,, , % . .ei ou a b
c) Trimestral
A taxa efetiva trimestral é 3
0 361 1 0 092727 9 2727
12
,, , % . .ei ou a t
d) Quadrimestral
A taxa efetiva quadrimestral é 4
0 361 1 0 125509 12 5509
12
,, , % . .ei ou a q
e) Semestral
A taxa efetiva semestral é 6
0 361 1 0 194052 19 4052
12ei ou a s
,, , % . .
f) Anual
A taxa efetiva Anual é 12
0 361 1 0 425761 42 5761
12ei ou a a
,, , % . .
3) Qual a taxa nominal anual capitalizada mensalmente, em termos aparentes e em
termos reais, que transformou um capital inicial de R$ 10.000,00 em um montante
de R$ 11.886,86, no período de 7 meses, se a taxa mensal de inflação, nos
primeiros 3 meses, tiver sido de 0,6%, passando a 0,9% nos últimos 4 meses?
Solução
Em termos aparentes, ou seja, sem levar em conta a inflação, tem-se 7 7
7
17
7
1 1 112 12
11886 8611886 86 10000 1 1 12 0 3 30
12 10000
,, , % . . . .
n ne
nn
i ii S C
ii ou a a c m
Em termos reais, temos que, a preços da data de aplicação, o montante recebido foi de
Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 33
3 4
11886,86$11.264,41
1 0,006 . 1 0,009R
.
Logo, a taxa nominal com capitalização mensal, em termos reais, será a taxa ni , tal que:
1
711264,411 12 0,205854 20,5854% . . . .
10000ni ou a a c m
4) Qual o número de meses para que uma taxa nominal de 30% a.a.c.b. dobre o
capital inicial?
Solução
0,30,05 . . 5% . .
6
1 2 1 0,05 2 1 0,05
LN(2)LN(1,05) LN(2) 14,2067
LN(1,05)
e
n n n
eb b b
b b
i a b ou a b
S C i C C
n n bimestres
Se estivermos tratando de uma aplicação com capitalizações descontinuas, o
número de bimestres necessários para dobrar o capital é igual a 15; já que os juros
só são formados ao final de cada período (bimestre). Isto significa dizer que serão
necessários 30 meses.
Por outro lado, se for adotada a convenção exponencial, serão necessários
somente 14,2067 bimestres ou 28,4134 meses.
5) Qual o total de juros acumulado, ao final de 8 anos, de uma aplicação de
R$ 250.000,00, à taxa de juros de 5% a.a.c.s.?
Solução
16
1 1
0,050,025 . . 2,5% .
250000 1 0,025 1 $121.126,
2
4
.
1n
e
en
sJ
i a s ou a
C R
s
i
6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 160 dias
resgatou R$ 1.000.000,00 brutos.
a) Qual foi a taxa anual com capitalização diária auferida pelo investidor, se não houver
tributação?
b) Qual foi a taxa nominal anual com capitalização diária, que representa a taxa líquida da
operação, se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações financeiras for
aplicada sobre o rendimento auferido, antecipadamente (sem desembolso adicional e
com desembolso adicional para o IOF) e postecipadamente?
Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
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c) Tendo sido constatado que, por ocasião do resgate, a taxa de inflação no período foi
de 5,55%, qual a taxa líquida, em termos reais e expressa como taxa nominal anual
com capitalização mensal, que foi efetivamente auferida pelo investidor, se os juros
contábeis forem tributados à alíquota de 8%?
Solução
a) Sendo id a taxa efetiva diária, tem-se:
160
1
160
1 1000000 750000 1
10000001 0,0017996 . .
750000
360 0,0017996 0,647867 64,7867% . . . .
n
n d d
d
n
d
dS C i i
i a d
i ou a a c d
b) IOF Antecipado (com pagamento adicional do IOF)
11
160
1000000 750000 250000
0,10 250000 25000
1000000
10000001 1 0,001594 0,1594% . .
775000
360 0,001594 0,573965 57,3965% . .
n n
líquido
n n
líquido nn
d d
n
d d
d d
dd
S C J J S C
T t J
S S
Si i ou a d
C T
i ou a a
. .c d
IOF Antecipado (sem pagamento adicional do IOF)
Alternativamente, se o investidor dispuser somente de R$ 750.000,00, então este valor
deverá ser utilizado para fazer o investimento e pagar antecipadamente o IOF. Logo
750000 C T .
Como
0,1 0,1 1000000 100000 0,1
650000750000 100000 0,1 0,9 650000 $ 722.222,22
0,9
100000 0,1 722222,22 $ 27.777,78
T S C C C
então
C C C C R
T R
Assim, considerando o desembolso total de R$ 750.000,00, 1
16010000001 0,0017996 . .
750000
360 0,0017996 0,647867 64,7867% . . .
d
n
i a d
i ou a a c d
Vale notar que este resultado é idêntico ao do item a.
Capitulo 4 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 35
IOF Postecipado
11
160
1000000 750000 250000
0,10 250000 25000
1000000 25000 975000
9750001 1 0,001641 0,1641% . .
750000
360 0,001641 0,590804 5
n n
líquido
n n
líquido nn
d
n
d d
d d
dd
S C J J S C
T t J
S S T
Si i ou a d
C
i ou
9,0804% . . . .a a c d
c) Utilizaremos a notação ,
líquido
n nd dS para representar o valor líquido corrente
recebido na data nd e ,0
líquido
ndS para representar o valor líquido real a preços da
data da aplicação (época 0).
A preços correntes (aparentes), o valor líquido de resgate foi: