49 CAPITULO 4 ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO Y DEFINICION DE LOS RANGOS DE LAS VIBRACIONES AUTOEXCITADAS. 4.1 Análisis del comportamiento del banco de vibraciones autoexcitadas. En esta tesis se desea analizar el comportamiento de una carga de masa m colocada sobre una banda transportadora que tiene una velocidad v 0 . Esta carga esta asociada a un sistema resorte-amortiguador como se muestra en la figura 4.1a. Figura 4.1. Sistema de banda transportadora. a) Esquema Completo, b) Diagrama de cuerpo libre. Entre la masa y la banda de transportadora existe una fuerza de fricción dada por ) 1 ( 3 cv bv N F (4.1) donde μ es el coeficiente de fricción del material del cual esta hecho la banda, v es la velocidad de deslizamiento o velocidad relativa definido por ) ( 0 x v v (4.2) De esta manera la fuerza de fricción esta dada por 3 0 0 1 x v c x v b N F (4.3) m
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CAPITULO 4
ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO Y DEFINICION DE LOS RANGOS DE
LAS VIBRACIONES AUTOEXCITADAS.
4.1 Análisis del comportamiento del banco de vibraciones autoexcitadas.
En esta tesis se desea analizar el comportamiento de una carga de masa m colocada
sobre una banda transportadora que tiene una velocidad v0. Esta carga esta asociada a un
sistema resorte-amortiguador como se muestra en la figura 4.1a.
Figura 4.1. Sistema de banda transportadora. a) Esquema Completo, b) Diagrama de cuerpo libre.
Entre la masa y la banda de transportadora existe una fuerza de fricción dada por
)1( 3cvbvNF (4.1)
donde µ es el coeficiente de fricción del material del cual esta hecho la banda, v es la
velocidad de deslizamiento o velocidad relativa definido por
)( 0 xvv (4.2)
De esta manera la fuerza de fricción esta dada por
3001 xvcxvbNF (4.3)
m
50
En el diagrama de cuerpo libre podemos observar las diferentes fuerzas que se encuentran
actuando sobre la masa como se muestra en la figura 4.1b, donde
mgN
xnFkxF
2
1
(4.4)
En esta ecuación k es el coeficiente de deflexión del resorte, n es el coeficiente de
amortiguamiento y g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2).
De esta manera la ecuación de equilibrio es la siguiente
xnkxFFFFxm 21 (4.5)
sustituyendo las variables obtenemos,
3001 xvcxvbNkxxnxm (4.6)
desarrollando la ecuación (4.6) obtenemos
320
20
300 331 xcxcvxcvcvxbbvNkxxnxm (4.7)
para hacer mas sencilla la ecuación (4.6) la dividimos entre m y obtenemos
3001 xvcxvb
mNx
mkx
mnx (4.8)
20
mk
que es la frecuencia natural.
La ecuación (4.6) es una ecuación diferencial de segundo orden la cual podemos escribir
como un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Para poder resolver este sistema
utilizamos
32020212
21
12
1
1 xvcxvbmNx
mnx
mkx
xx
xxxxx
(4.9)
51
Y para la posición de equilibrio podemos resolver el sistema como se presenta a
continuación:
)1(
)1(
0
0
300
300
cvbvkmgx
cvbvNkx
x
x
xx
st
st
st
(4.10)
Podemos observar como en un principio el coeficiente de fricción disminuye hasta llegar a
un punto donde empieza a incrementarse. En este punto es donde las vibraciones
autoexcitadas se convierten en vibraciones forzadas.
La ecuación con la cual obtenemos los valores del coeficiente de fricción si la velocidad es
positiva es
30 1 cvbv (4.11)
si la velocidad es negativa la ecuación es
30 1 cvbv (4.12)
Las vibraciones autoexcitadas se presentan hasta el punto que es conocido como velocidad
crítica, pasando ese punto las vibraciones son forzadas. La velocidad crítica se obtiene de la
siguiente ecuación
min31 Fcvbv crcr (4.13)
derivando la ecuación (4.12) obtenemos
52
cbv
cvb
Fdv
dcvbv
dvd
cr
cr
crcrcr
cr
3
03
1
2
min3
(4.14)
En las vibraciones autoexcitadas el coeficiente de fricción tiene el siguiente
comportamiento
Figura 4.2. Comportamiento del coeficiente de fricción dependiente de la velocidad.
4.2 Rangos de las vibraciones autoexcitadas
Los datos correspondientes a nuestro sistema, los cuales fueron proporcionados por el
director de la tesis para realizar el analisis, son los siguientes:
b = 0.3 s/m
c = 0.1 s3/m3
vcr = 1 m/s
m = 1kg
53
g = 9.8 m/s2
µ = 0.6
k = 1600 N/m
n = 0.1 kg/s
Con estos valores podemos analizar el comportamiento del coeficiente de fricción de
nuestro sistema que es el siguiente:
Tabla 4.1. Valores de µ con velocidades positivas.