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Enquanto voc l esta frase
uma certa regio do crebro
ativada. Quando aprecia
o perfume de uma rosa
ou segura um lpis outras
regies se tornam ativas.
Uma das melhores formas
de descobrir quais so as
regies ativadas detectar o
campo magntico produzido
pela ativao. O aparelho
mostrado na fotografia pode
detectar o campo magntico
produzido pelo crebro de
uma pessoa, o que permite
estabelecer uma correlao
entre as regies ativas do
crebro e o que a pessoa
est fazendo no momento.
Entretanto, o crebro
no contm substncias
magnticas.
Nesse caso, por que a ativao do crebro produz um campo
magntico?
A resposta est neste captulo.
Campos Magnticos Produzidos por
Correntes
233
29
Jurgen Scriba/Photo Researchers
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes234
Uma observao bsica da fsica a de que as partculas carregadas em
movimento produzem campos magnticos. Isso significa que uma
corrente eltrica tambm pro-duz um campo magntico. Esse aspecto do
eletromagnetismo, que o estudo combi-nado dos efeitos eltricos e
magnticos, foi uma surpresa para os cientistas na poca em que foi
descoberto. Surpresa ou no, ele se tornou extremamente importante
para a vida cotidiana, j que constitui a base para um nmero imenso
de dispositivos eletromagnticos. Assim, por exemplo, os campos
magnticos produzidos por cor-rentes eltricas esto presentes em
todos os aparelhos que gravam e lem informa-es em forma magntica,
como os discos rgidos dos computadores. Esses campos tambm esto
presentes em trens levitados magneticamente e outras mquinas
usa-das para levantar grandes pesos.
Nosso primeiro passo neste captulo ser determinar o campo
magntico produ-zido pela corrente em um pequeno elemento de um fio
percorrido por corrente. Em seguida, vamos calcular o campo
magntico total produzido por fios de diferentes formas.
29-2 | Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente
A Fig. 29-1 mostra um fio de forma arbitrria percorrido por uma
corrente i. Esta-mos interessados em calcular o campo magntico em
um ponto prximo P. Para isso, dividimos mentalmente o fio em
elementos infinitesimais ds e definimos para cada elemento um vetor
comprimento cujo mdulo ds e cuja direo a di-reo da corrente no
elemento ds. Podemos definir um elemento de corrente como i e
calcular o campo d produzido no ponto P por um elemento de corrente
tpico. Os experimentos mostram que os campos magnticos, como os
campos el-tricos, podem ser somados para determinar o campo total.
Assim, podemos calcular o campo total no ponto P somando, por
integrao, as contribuies d de todos os elementos de corrente.
Entretanto, esse processo um pouco mais complicado do que no caso
do campo eltrico por causa de uma diferena: enquanto o elemento de
carga dq que produz o campo eltrico uma grandeza escalar, o
elemento de cor-rente i responsvel pelo campo magntico o produto de
uma grandeza escalar por uma grandeza vetorial e, portanto, uma
grandeza vetorial.
O mdulo do campo d produzido no ponto P por um elemento de
corrente i dado por
onde u o ngulo entre as direes de e r, o vetor que liga ds a P,
e m0 uma constante, conhecida como permeabilidade do vcuo, cujo
valor, por definio, dado por
A direo de d , que para dentro do papel na Fig. 29-1, a do
produto vetorial 3 r. Podemos, portanto, escrever a Eq. 29-1, em
forma vetorial, como
Esta equao vetorial e sua forma escalar, Eq. 29-1, so conhecidas
como lei de Biot-Savart. A lei, que se baseia em observaes
experimentais, do tipo inverso do qua-
29-1 O QUE FSICA?
FIG. 29-1 Um elemento de corrente i produz um elemento de campo
magntico d no ponto P. O 3 verde (que representa a extremidade
tra-seira de uma seta) no ponto P indica que o sentido do campo d
para dentro do papel.
d B (para dentro do
papel)
Corrente i
P
Q ds
ids
r r
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29-2 | Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente
235
drado. Vamos usar essa lei para calcular o campo magntico total
produzido em um ponto por fi os de vrias geometrias.
Campo Magntico Produzido pela Correnteem um Fio Retilneo
Longo
Daqui a pouco vamos usar a lei de Biot-Savart para mostrar que o
mdulo do campo magntico a uma distncia perpendicular R de um fi o
retilneo longo (infi nito) per-corrido por uma corrente i dado
por
O mdulo do campo B na Eq. 29-4 depende apenas da corrente e da
distncia perpendicular R entre o ponto e o fi o. Vamos mostrar que
as linhas de campo de formam circunferncias concntricas em torno do
fi o, como se pode ver no diagrama da Fig. 29-2 e no padro formado
por limalha de ferro na Fig. 29-3. O aumento do espaamento das
linhas com o aumento da distncia na Fig. 29-2 re ete o fato de que
o mdulo de , de acordo com a Eq. 29-4, inversamente proporcional a
R. Os comprimentos dos dois vetores que aparecem na fi gura tambm
mostram essa di-minuio de B com a distncia.
Existe uma regra da mo direita para determinar a orientao do
campo mag-ntico produzido por um elemento de corrente:
Regra da mo direita: Envolva o elemento de corrente com a mo
direita, com o pole-gar estendido apontando no sentido da corrente.
Os outros dedos mostram a orientao das linhas de campo magntico
produzidas pelo elemento.
O resultado da aplicao da regra da mo direita corrente no fi o
retilneo da Fig. 29-2 mostrado, em uma vista lateral, na Fig.
29-4a. Para determinar a direo do campo magntico produzido por essa
corrente em um ponto do espao en-volva mentalmente o fi o com a mo
direita, com o polegar apontando no sentido da corrente. Faa com
que a ponta do dedo indicador coincida com o ponto; a orienta-o do
dedo indicador a orientao do campo magntico nesse ponto. Na vista
em seo reta da Fig. 29-2, em qualquer ponto tangente a uma linha de
campo mag-ntico; na vista lateral da Fig. 29-4, perpendicular reta
que liga o ponto ao fi o.
Fio com corrente paradentro do papel
B
B
FIG. 29-2 As linhas de campo magntico produzi-das por uma
corrente em um fi o retilneo longo so crculos concntricos em torno
do fi o. Na fi gura, o sentido da corrente para dentro do papel,
como indica o smbolo 3.
FIG. 29-3 A limalha de ferro que tinha sido espalhada em um
pedao de cartolina forma crculos concntricos quando uma corrente
atravessa o fi o central. O alinhamento, que coincide com as linhas
de campo magn-tico, causado pelo campo magntico produzido pela
corrente. (Cortesia do Education Development Center)
B
B
(a)
i
(b)
i
FIG. 29-4 A regra da mo direita mostra a direo do campo
magn-tico produzido pela corrente em um fi o. (a) Vista lateral do
resultado da aplicao da regra da mo direita corrente no fi o
retilneo da Fig. 29-2. O campo magntico em qualquer ponto esquerda
do fi o perpendi-cular reta tracejada e aponta para dentro do
papel, no sentido das pon-tas dos dedos, como indica o smbolo 3.
(b) Quando o sentido da corrente invertido o campo em qualquer
ponto esquerda do fi o continua a ser perpendicular reta tracejada,
mas passa a apontar para fora do pa-pel, como indica o smbolo .
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes236
Demonstrao da Equao 29-4
A Fig. 29-5, que semelhante Fig. 29-1 exceto pelo fato de que
agora o fio retil-neo e de comprimento infinito, ilustra bem o
processo. Queremos calcular o campo
no ponto P, a uma distncia perpendicular R do fio. O mdulo do
campo elemen-tar produzido no ponto P por um elemento de corrente i
situado a uma distncia r do ponto P dado pela Eq. 29-1:
A orientao de d na Fig. 29-5 a do vetor 3 r, ou seja, para
dentro do papel.Observe que d no ponto P tem a mesma orientao para
todos os elementos
de corrente nos quais o fio pode ser dividido. Assim, podemos
calcular o mdulo do campo magntico produzido no ponto P pelos
elementos de corrente na metade su-perior de um fio infinitamente
longo integrando dB na Eq. 29-1 de 0 a `.
Considere agora um elemento de corrente na metade inferior do
fio que esteja uma distncia to grande abaixo de P quanto est acima
de P. De acordo com a Eq. 29-3, o campo magntico produzido no ponto
P por este elemento de corrente tem o mesmo mdulo e a mesma
orientao que o campo magntico produzido pelo elemento i da Fig.
29-5. Assim, o campo magntico produzido pela metade infe-rior do
fio igual ao campo magntico produzido pela metade superior. Para
deter-minar o mdulo do campo magntico total no ponto P basta,
portanto, multiplicar por 2 o resultado da integrao, o que nos
d
As variveis u, s e r nesta equao no so independentes; como se
pode ver na Fig. 29-5, esto relacionadas atravs das equaes
Fazendo essas substituies e usando a integral 19 do Apndice E,
obtemos:
que a equao que queramos demonstrar. Observe que o campo
magntico no ponto P produzido pela metade inferior ou pela metade
superior do fio infinito da Fig. 29-5 metade desse valor, ou
seja,
Campo Magntico Produzido por uma Corrente em um Fio em Forma de
Arco de Circunferncia
Para determinar o campo magntico produzido em um ponto por uma
corrente em um fio curvo usamos mais uma vez a Eq. 29-1 para
calcular o mdulo do campo pro-duzido por um elemento de corrente e
integramos o resultado para obter o campo total produzido por todos
os elementos de corrente. Essa integrao pode ser difcil, dependendo
da forma do fio; relativamente simples, porm, quando o fio tem a
forma de um arco de circunferncia e o ponto o centro de
curvatura.
FIG. 29-5 Clculo do campo magn-tico produzido por uma corrente i
em um fio retilneo longo. O campo produzido no ponto P pelo
elemento de corrente i aponta para dentro do papel, como indica o
smbolo 3.
FIG. 29-6 (a) Um fio em forma de arco de circunferncia com
centro no ponto C e percorrido por uma cor-rente i. (b) Para
qualquer elemento de comprimento ao longo do arco o ngulo entre as
direes e r 90. (c) Determinao da direo do campo magntico produzido
pela corrente no ponto C usando a regra da mo direita; o campo
aponta para fora do papel, no sentido das pontas dos dedos, como
indica o smbolo .
i
Q
d B
P R
s r
ds
r
r
B
C FR
i C ds
(a) (b)
C
i
(c)
r
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29-2 | Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente
237
A Fig. 29-6a mostra um fio em forma de arco de circunferncia de
ngulo cen-tral f, raio R e centro C, percorrido por uma corrente i.
No ponto C cada elemento de corrente i do fio produz um campo
magntico de mdulo dB dado pela Eq. 29-1. Alm disso, como mostra a
Fig. 29-6b, qualquer que seja a posio do elemento no fio o ngulo u
entre os vetores e r 90 e r 5 R. Fazendo u 5 90 e r 5 R na Eq.
29-1, obtemos:
Este o mdulo do campo produzido no ponto C por um dos elementos
de corrente.
A aplicao da regra da mo direita a um ponto qualquer do fio
(como na Fig. 29-6c) mostra que todos os elementos de campo d tm a
mesma orientao no ponto C: para fora do papel. Podemos usar a
identidade ds 5 R df para converter a varivel de integrao de ds
para df e obter, a partir da Eq. 29-8,
Integrando, obtemos:
Observe que essa equao vlida apenas para o campo no centro de
curvatura do fio. Ao substituir as variveis da Eq. 29-9 por valores
numricos preciso no esquecer que o valor de f deve ser expresso em
radianos. Assim, por exemplo, para calcular o mdulo do campo
magntico no centro de uma circunferncia completa de fio f deve ser
substitudo por 2p na Eq. 29-9, o que nos d
Campo Magntico Produzido pela Atividade Cerebral
Os cientistas tm grande interesse em compreender como o crebro
funciona. Um dos novos mtodos para estudar o funcionamento do
crebro a magnetencefalo-grafia (MEG), que consiste em monitorar os
campos magnticos produzidos pelo crebro enquanto o paciente realiza
uma tarefa, como ler uma palavra, por exemplo. A tarefa ativa uma
regio do crebro, como a que processa a leitura, fazendo com que
pulsos eltricos sejam enviados ao longo de circuitos nervosos. Como
acontece com qualquer corrente, esses pulsos produzem campos
magnticos.
Os campos magnticos detectados pela MEG so provavelmente
produzidos por pulsos nas paredes das fissuras (sulcos) existentes
na superfcie do crebro (Fig. 29-7). Vamos usar a Eq. 29-1 para
estimar a intensidade desse campo em um ponto P situado a uma
distncia r 5 2 cm do pulso. Suponha que a trajetria do pulso seja
tangente superfcie do crebro, caso em que o ngulo u da Eq. 29-1 90.
Em um pulso tpico a corrente i 5 10 mA, e a distncia percorrida da
ordem de 1 mm. Vamos tomar essa distncia como sendo o elemento de
comprimento ds na Eq. 29-1. Nesse caso, temos:
Trata-se de um campo extremamente pequeno, mais de um milho de
vezes mais fraco que o campo magntico terrestre. Assim, para
detectar os campos magnticos produzidos pelo crebro no podemos
simplesmente colocar uma bssola perto do
FIG. 29-7 Um pulso na parede de uma fissura na superfcie do
crebro produz um campo magntico no ponto P situado a uma distncia
r.
P r
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes238
crebro e esperar que a atividade cerebral produza um movimento
da agulha. Na verdade, os campos magnticos do crebro s podem ser
detectados com o auxlio de um instrumento muito sensvel, conhecido
com SQUID (superconducting quan-tum interference device), capaz de
medir campos menores que 1 pT, e mesmo assim preciso tomar cuidado
para eliminar outras fontes de campos magnticos variveis nas
vizinhanas.
O fio da Fig. 29-8a percorrido por uma corrente i e tem a forma
de um arco de circunferncia de raio R e ngulo central p/2 rad,
ladeado por dois trechos retilneos cujos prolongamentos se
interceptam no centro C do arco. De-termine o campo magntico no
ponto C.
Podemos determinar o campo magntico no ponto C aplicando ao fio
a lei de Biot-Savart (Eq. 29-3). A aplicao da Eq. 29-3 pode ser
simplificada calculando separadamente para as trs partes do fio, a
saber: (1) o tre-cho retilneo da esquerda; (2) o trecho retilneo da
direita; (3) o arco de circunferncia.
Trechos retilneos: Para qualquer elemento de corrente da parte
1, o ngulo u entre e r zero (Fig. 29-8b) e, portanto, de acordo com
a Eq. 29-1,
Assim, a contribuio de toda a parte 1 para o campo mag-ntico no
ponto C
O mesmo acontece na parte 2, em que o ngulo u entre e r 180 para
qualquer elemento de corrente. Assim,
Arco de circunferncia: O uso da lei de Biot-Savart para calcular
o campo magntico no centro de um arco de cir-cunferncia leva Eq.
29-9 (B 5 m0if/4pR). No nosso caso o ngulo central f do arco p/2
rad. Assim, de acordo com a Eq. 29-9 o mdulo do campo magntico 3 no
centro C do arco dado por
Para determinar a orientao de 3 aplicamos a regra da mo direita,
como mostra a Fig. 29-4. Segure mental-mente o arco de
circunferncia com a mo direita, como na Fig. 29-8c, com o polegar
apontando no sentido da cor-rente. Os outros dedos indicam a
orientao do campo
magntico nas vizinhanas do fio. Na regio em que se en-contra o
ponto C (no interior do arco de circunferncia) os dedos apontam
para dentro do papel. Assim, 3 tem essa orientao.
Campo total: Em geral, quando necessrio combinar dois ou mais
campos magnticos para obter o campo mag-ntico total precisamos
executar uma soma vetorial, e no simplesmente somar os mdulos.
Neste caso, porm, ape-nas o arco de circunferncia produz um campo
magntico diferente de zero no ponto C. Assim, podemos escrever o
mdulo do campo total como
A orientao de a orientao de 3, ou seja, para den-tro do papel na
Fig. 29-8.
i
1 2 3
C
R
(a)
C
(b)
ds
i i
(c)
B3 C
i
r
r
FIG. 29-8 (a) Fio formado por dois segmentos retilneos (1 e 2) e
um arco de circunferncia (3) e percorrido por uma corrente i. (b)
Para um elemento de corrente na seo 1, o ngulo entre ds e r zero.
(c) Determinao da direo do campo magntico 3 produzido pelo arco de
circunferncia no ponto C; o sentido do campo para dentro do
papel.
IDIA-CHAVE
Exemplo 29-1 Aumente sua capacidade
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29-2 | Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente
239
Exemplo 29-2 Aumente sua capacidade
A Fig. 29-9a mostra dois fios paralelos longos percorridos por
correntes i1 e i2 em sentidos opostos. Determine o m-dulo e a
orientao do campo magntico total no ponto P para i1 5 15 A, i2 5 32
A e d 5 5,3 cm.
(1) O campo magntico total no ponto P a soma vetorial dos campos
magnticos produzidos pelas correntes nos dois fios. (2) Podemos
calcular o campo mag-ntico produzido por qualquer corrente
aplicando a lei de Biot-Savart corrente. No caso de pontos prximos
de um fio longo e retilneo, a lei leva Eq. 29-4.
Determinao dos vetores: Na Fig. 29-9a o ponto P est a uma
distncia R das correntes i1 e i2. De acordo com a Eq. 29-4, essas
correntes produzem no ponto P campos 1 e 2, cujos mdulos so dados
por
Observe, no tringulo retngulo da Fig. 29-9a, que os ngu-los da
base (entre os lados R e d) so 45. Isso nos permite escrever cos 45
5 R/d e substituir R por d cos 45. Nesse caso, os mdulos dos campos
magnticos, B1 e B2, se tornam
Estamos interessados em combinar 1 e 2 para obter a soma dos
dois vetores, que o campo total no ponto P. Para determinar a
orientao de 1 e 2 aplicamos a regra da mo direita da Fig. 29-4 s
duas correntes da Fig. 29-9a. No caso do fio 1, em que a corrente
para fora do papel, seguramos mentalmente o fio com a mo direita,
com o polegar apontando para fora do papel. Nesse caso os ou-tros
dedos indicam que as linhas de campo tm o sentido anti-horrio. Em
particular, na regio do ponto P apontam para cima e para a
esquerda. Lembre-se de que o campo magntico em um ponto nas
proximidades de um fio longo percorrido por corrente perpendicular
ao fio e a uma reta perpendicular ao fio passando pelo ponto.
Assim, o sentido de 1 para cima e para a esquerda, como mostra a
Fig. 29-9b. (Observe no desenho que o vetor 1 perpendicular reta
que liga o ponto P ao fio 1.)
Repetindo a anlise para a corrente no fio 2, descobri-mos que o
sentido de 2 para cima e para a direita, como mostra a Fig. 29-9b.
(Observe no desenho que o vetor 2 perpendicular reta que liga o
ponto P ao fio 2.)
Soma dos vetores: Podemos agora somar vetorialmente 1 e 2 para
determinar o campo magntico no ponto
P. Isso pode ser feito usando uma calculadora cientfica ou
trabalhando com as componentes dos vetores. Entretanto, existe um
terceiro mtodo: como 1 e 2 so mutuamente perpendiculares, formam os
catetos de um tringulo retn-gulo cuja hipotenusa . De acordo com o
teorema de Pi-tgoras, temos:
O ngulo f entre as direes de e 2 na Fig. 29-9b dado pela
equao
que, para os valores conhecidos de B1 e B2, nos d
O ngulo entre a direo de e o eixo x na Fig. 29-9b portanto
(a)
P
d i2
R R
i1
B2
x
B1
P
d i2 i1
45 45
F
(b)
y B
FIG. 29-9 (a) Dois fios conduzem correntes i1 e i2 em sentidos
opostos (para fora e para dentro do papel). Observe o ngulo reto no
ponto P. (b) O campo total a soma vetorial dos cam-pos 1 e 2.
IDIA-CHAVE
TTICAS PARA A SOLUO DE PROBLEMAS
Ttica 1: Regras da Mo Direita Para ajudar o leitor a
in-terpretar as regras da mo direita vistas at o momento (e que
se-ro vistas mais adiante), apresentamos a seguir uma reviso
des-sas regras.
Regra da Mo Direita para Produtos Vetoriais. Descrita na Seo
3-8, essa regra usada para determinar a orientao do ve-tor
resultante de um produto vetorial. Aponte os dedos da mo direita do
primeiro vetor para o segundo, passando pelo menor
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes240
29-3 | Foras entre Duas Correntes Paralelas
Dois longos fi os paralelos, percorridos por correntes, exercem
foras um sobre o ou-tro. A Fig. 29-10 mostra dois desses fi os,
percorridos por correntes ia e ib e separados por uma distncia d.
Vamos analisar as foras exercidas pelos fi os.
Vamos calcular primeiro a fora produzida pela corrente no fi o a
sobre o fi o b da Fig. 29-10. A corrente produz um campo magntico
a, e esse campo que produz a fora que estamos querendo calcular.
Para determinar a fora, portanto, precisamos conhecer o mdulo e a
orientao do campo a na posio do fi o b. De acordo com a Eq. 29-4, o
mdulo de a em qualquer ponto do fi o b dado por
De acordo com a regra da mo direita, o sentido do campo a na
posio do fi o b para baixo, como mostra a Fig. 29-10.
Agora que conhecemos o campo, podemos calcular a fora exercida
sobre o fi o b. De acordo com a Eq. 28-26, a fora ba a que est
submetido um segmento L do fi o b devido presena do campo magntico
externo a dada por
onde o vetor comprimento do fi o. Na Fig. 29-10 os vetores e a
so mutua-mente perpendiculares e, portanto, de acordo com a Eq.
29-11, podemos escrever
A direo de ba a direo do produto vetorial 3 a. Aplicando a regra
da mo direita para produtos vetoriais a e a na Fig. 29-10 vemos que
ba aponta na dire-o do fi o a, como mostra a fi gura.
A regra geral para determinar a fora exercida sobre um fi o
percorrido por cor-rente a seguinte:
Para determinar a fora exercida sobre um fi o percorrido por
corrente por outro fi o percorrido por corrente determine primeiro
o campo produzido pelo segundo fi o na posi-o do primeiro; em
seguida, determine a fora exercida pelo campo sobre o primeiro fi
o.
Podemos usar esse mtodo para determinar a fora exercida sobre o
fi o a pela corrente que circula no fi o b. O resultado que a fora
aponta na direo do fi o b, o que signifi ca que dois fi os com
correntes paralelas se atraem. No caso em que as cor-rentes tm
sentidos opostos nos dois fi os o resultado mostra que as foras
apontam para longe dos dois fi os, ou seja, os fi os se repelem.
Assim,
Correntes paralelas se atraem e correntes antiparalelas se
repelem.
ngulo entre os dois vetores; o polegar estendido mostra a dire-o
do vetor resultante do produto vetorial. No Captulo 11 essa regra
foi usada para determinar a orientao dos vetores torque e momento
angular; no Captulo 28, para determinar a orientao da fora exercida
por um campo magntico sobre um fi o percor-rido por corrente.
Regras da Mo Direita para o Magnetismo. Em muitas situ-aes
ligadas ao magnetismo preciso relacionar um elemento circular a um
elemento retilneo. Para isso, so usados os de-dos (encurvados) e o
polegar (estendido) da mo direita. J vi-mos um exemplo na Seo 28-9,
na qual relacionamos a corrente
em uma espira (elemento circular) ao vetor normal (elemento
retilneo). Envolva a espira com os dedos da mo direita aponta-dos
na direo da corrente o polegar estendido mostra a direo de . Esta
tambm a direo do momento dipolar magntico da espira.
Nesta seo foi apresentada mais uma regra da mo direita
relacionada ao magnetismo. Para determinar a orientao das linhas de
campo magntico nas vizinhanas de um elemento de corrente envolva o
elemento de corrente com a mo direita, com o polegar estendido
apontando no sentido da corrente; os outros dedos mostram a
orientao das linhas de campo.
FIG. 29-10 Dois fi os paralelos que conduzem correntes no mesmo
sen-tido se atraem mutuamente. a o campo magntico no fi o b devido
corrente no fi o a. ba a fora que age sobre o fi o b porque o fi o
con-duz uma corrente ib na presena do campo a.
ia
ib
d a
b
L
Fba
Ba (devido a ia )
L
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29-4 | Lei de Ampre 241
A fora que age entre correntes em fi os paralelos usada para
defi nir o ampre, uma das sete unidades bsicas do SI. A defi nio,
adotada em 1946, a seguinte: O ampre a corrente constante que,
quando mantida em dois condutores retilneos, paralelos, de
comprimento infi nito e seo reta desprezvel, separados por 1 m de
distncia no vcuo, produz em cada um uma fora de mdulo 2 3 1027
newtons por metro de comprimento dos fi os.
Canho Eletromagntico
Uma das aplicaes da fora dada pela Eq. 29-13 o canho
eletromagntico. Nesse aparelho uma fora magntica acelera um
projtil, fazendo-o adquirir uma alta ve-locidade em um curto perodo
de tempo. A Fig. 29-11a mostra o princpio de fun-cionamento do
canho eletromagntico. Uma corrente elevada estabelecida em um
circuito formado por dois trilhos paralelos e um fusvel condutor
(uma barra de cobre, por exemplo) colocado entre os trilhos. O
projtil a ser lanado fi ca perto da extremidade mais distante do
fusvel, encaixado frouxamente entre os trilhos. Quando a corrente
aplicada o fusvel se funde e logo se vaporiza, criando um gs
condutor entre os trilhos na regio onde se encontrava.
Aplicando a regra da mo direita da Fig. 29-4, vemos que as
correntes nos tri-lhos da Fig. 29-11a produzem um campo magntico
dirigido para baixo na regio entre os trilhos. Esse campo magntico
exerce uma fora sobre o gs devido cor-rente i que existe no gs
(Fig. 29-11b). De acordo com a Eq. 29-12 e a regra da mo direita
para produtos vetoriais, a fora paralela aos trilhos e aponta para
longe do fusvel. Assim, o gs arremessado contra o projtil,
imprimindo-lhe uma acele-rao de at 5 3 106g e lanando-o com uma
velocidade de 10 km/s, tudo isso em um intervalo de tempo menor que
1 ms. Talvez, no futuro, os canhes eletromagnticos venham a ser
usados para lanar no espao materiais resultantes de operaes de
minerao na Lua ou em asterides.
Projtil
Fusvel
Trilho
i
i
Gscondutor
(a)
(b)
i
i i B
F
FIG. 29-11 (a) Princpio de fun-cionamento de um canho
eletro-magntico. Uma corrente elevada provoca a vaporizao de um
fusvel condutor. (b) A corrente produz um campo magntico entre os
trilhos, que exerce uma fora sobre o gs devido corrente i que
existe no gs. O gs arremessado contra o proj-til, lanando-o ao
espao.
29-4 | Lei de Ampre
possvel calcular o campo eltrico total associado a qualquer
distribuio de car-gas escrevendo o campo eltrico elementar d
produzido por um elemento de carga dq e somando as contribuies de
todos os elementos de carga. No caso de uma dis-tribuio complicada
de cargas o clculo pode exigir o uso de um computador. En-tretanto,
como vimos, se a distribuio possui simetria planar, cilndrica ou
esfrica podemos usar a lei de Gauss para determinar o campo eltrico
total, o que facilita consideravelmente os clculos.
Do mesmo modo, possvel calcular o campo magntico total associado
a qual-quer distribuio de correntes escrevendo o campo magntico
elementar d (Eq. 29-3) produzido por um elemento de corrente i e
somando as contribuies de todos os elementos de corrente. No caso
de uma distribuio complicada de corren-tes o clculo pode exigir o
uso de um computador. Entretanto, se a distribuio pos-sui algum
tipo de simetria podemos usar a lei de Ampre para determinar o
campo magntico total, o que facilita consideravelmente os clculos.
Embora essa lei, que pode ser demonstrada a partir da lei de
Biot-Savart, tenha recebido o nome do f-sico francs Andr-Marie
Ampre (1775-1836), foi na realidade proposta pelo fsico ingls James
Clerk Maxwell (1831-1879).
TESTE 1 A fi gura mostra trs fi os longos, paralelos, igualmente
espaados, percorridos por correntes de mesmo valor absoluto, duas
para fora do papel e uma para dentro do pa-pel. Coloque os fi os na
ordem do mdulo da fora a que esto sujeitos devido corrente nos
outros dois fi os, comeando pelo maior.
a b c
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes242
De acordo com a lei de Ampre,
O crculo no sinal de integral indica que a integrao do produto
escalar ? deve ser realizada para uma curva fechada, conhecida como
amperiana. A corrente ienv a corrente total envolvida pela curva
fechada.
Para compreender melhor o signifi cado do produto escalar ? e
sua inte-gral vamos aplicar a lei de Ampre situao geral da Fig.
29-12. A fi gura mostra as sees retas de trs fi os longos,
perpendiculares ao plano do papel, percorridos por correntes i1, i2
e i3. Uma amperiana arbitrria traada no plano do papel envolve duas
das correntes, mas no a terceira. O sentido anti-horrio indicado na
ampe-riana mostra o sentido arbitrariamente escolhido para realizar
a integrao da Eq. 29-14.
Para aplicar a lei de Ampre dividimos mentalmente a amperiana em
elementos de comprimento , que so tangentes curva e apontam no
sentido de integrao. Suponha que no local do elemento que aparece
na Fig. 29-12 o campo magn-tico total devido s correntes nos trs fi
os seja . Como os fi os so perpendiculares ao plano do papel,
sabemos que o campo magntico em devido a cada uma das correntes est
no plano da Fig. 29-12; assim, o campo magntico total tambm est
nesse plano. Entretanto, no conhecemos a orientao de no plano. Na
Fig. 29-12
foi desenhado arbitrariamente fazendo um ngulo u com a direo de
.O produto escalar ? do lado esquerdo da Fig. 29-14 igual a B cos u
ds. As-
sim, a lei de Ampre pode ser escrita na forma
Assim podemos interpretar o produto escalar ? como o produto de
um com-primento elementar ds da amperiana pela componente do campo
B cos u tangente amperiana nesse ponto. Nesse caso, a integral pode
ser interpretada como a soma desses produtos para toda a
amperiana.
Para executar a integrao no precisamos conhecer o sentido de em
todos os pontos da amperiana; em vez disso, atribumos
arbitrariamente um sentido para
que coincida com o sentido de integrao, como na Fig. 29-12, e
usamos a seguinte regra da mo direita para atribuir um sinal
positivo ou negativo s correntes que contribuem para a corrente
total envolvida pela amperiana, ienv:
Envolva a amperiana com a mo direita, com os dedos apontando no
sentido da inte-grao. Uma corrente no sentido do polegar estendido
recebe sinal positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal
negativo.
Finalmente, resolvemos a Eq. 29-15 para obter o mdulo de . Se B
positivo, isso signifi ca que o sentido escolhido para est correto;
se B negativo, ignoramos o sinal e tomamos com o sentido
oposto.
Na Fig. 29-13 aplicamos a regra da mo direita da lei de Ampre
situao da Fig. 29-12. Tomando o sentido de integrao como o sentido
anti-horrio, a corrente total envolvida pela amperiana
(A corrente i3 est do lado de fora da amperiana.) Assim, de
acordo com a Eq. 29-15, temos:
O leitor pode estar se perguntando como possvel excluir a
corrente i3 do lado direito da Eq. 29-16, j que ela contribui para
o mdulo B do campo magntico do
FIG. 29-12 Aplicao da lei de Ampre a uma amperiana arbitrria que
envolve dois fi os retilneos lon-gos, mas no um terceiro. Observe o
sentido das correntes.
i3
i1
i2 Sentido deintegrao
ds Q
Amperiana
B
+i1
i2 Sentido deintegrao
FIG. 29-13 Uso da regra da mo di-reita da lei de Ampre para
determi-nar os sinais das correntes envolvidas por uma amperiana. A
situao a da Fig. 29-12.
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29-4 | Lei de Ampre 243
lado esquerdo da equao. A resposta que as contribuies da
corrente i3 para o campo magntico se cancelam quando a integrao da
Eq. 29-16 realizada para uma curva fechada. O mesmo, porm, no
acontece no caso das correntes envolvi-das pela curva.
No caso da Fig. 29-12 no podemos usar a Eq. 29-16 para obter o
mdulo B do campo magntico, porque no dispomos de informaes
suficientes para simplificar e resolver a integral. Entretanto,
conhecemos o resultado da integrao: m0(i1 2 i2), o valor obtido a
partir das correntes envolvidas pela amperiana.
Vamos agora aplicar a lei de Ampre a duas situaes nas quais a
simetria per-mite simplificar e resolver a integral e, assim,
calcular o campo magntico.
Campo Magntico nas Vizinhanas de um Fio Longo Retilneo
Percorrido por Corrente
A Fig. 29-14 mostra um fio longo retilneo percorrido por uma
corrente i dirigida para fora do plano do papel. De acordo com a
Eq. 29-4, o campo magntico pro-duzido pela corrente tem o mesmo
mdulo em todos os pontos situados a uma dis-tncia r do fio, ou
seja, possui simetria cilndrica em relao ao fio. Podemos tirar
vantagem dessa simetria para simplificar a integral que aparece na
lei de Ampre (Eqs. 29-14 e 29-15); para isso, envolvemos o fio em
um amperiana circular concn-trica de raio r, como na Fig. 29-14. O
campo magntico tem o mesmo mdulo B em todos os pontos da amperiana.
Como vamos realizar a integrao no sentido anti-horrio, tem o
sentido indicado na Fig. 29-14.
Podemos simplificar a expresso B cos u da Eq. 29-15 observando
que tanto como so tangentes amperiana em todos os pontos. Assim, e
so paralelos ou antiparalelos em todos os pontos da amperiana;
vamos adotar arbitrariamente a primeira hiptese. Nesse caso, em
todos os pontos o ngulo u entre e 0, cos u 5 cos 0 5 1; a integral
da Eq. 29-15 se torna
Observe que r ds a soma de todos os segmentos de reta ds da
amperiana, o que nos d simplesmente a circunferncia 2pr da
curva.
De acordo com a regra da mo direita, o sinal da corrente da Fig.
29-14 posi-tivo; assim, o lado direito da lei de Ampre se torna
1m0i, e temos:
Com uma pequena mudana de notao esta a Eq. 29-4, que obtivemos
na Se-o 29-2 (por um mtodo muito mais trabalhoso) usando a lei de
Biot-Savart. Alm disso, como o mdulo B do campo positivo, sabemos
que o sentido correto de o que aparece na Fig. 29-14.
Campo Magntico no Interior de um Fio Longo Retilneo Percorrido
por Corrente
A Fig. 29-15 mostra a seo reta de um fio longo retilneo de raio
R percorrido por uma corrente uniforme i dirigida para fora do
papel. Como a distribuio de cor-rente ao longo da seo reta do fio
uniforme, o campo magntico produzido pela corrente tem simetria
cilndrica. Assim, para determinar o campo magntico em pontos
situados no interior do fio podemos novamente usar uma amperiana de
raio r, como mostra a Fig. 29-15, onde agora r , R. Como mais uma
vez tangente curva, o lado esquerdo da lei de Ampre nos d
i
( = 0) Q
r
Amperiana
Superfciedofio
B
ds
FIG. 29-14 Uso da lei de Ampre para determinar o campo magntico
produzido por uma corrente i do lado de fora de um fio retilneo
longo de seo reta circular. A amperiana uma circunferncia
concntrica com um raio maior que o raio do fio.
R
Amperiana
r
Superfciedo fio
i
ds
B
FIG. 29-15 Uso da lei de Ampre para determinar o campo magntico
produzido por uma corrente i no interior de um fio retilneo longo
de seo reta circular. A corrente est distribuda uniformemente ao
longo da seo reta do fio e aponta para fora do papel. A amperiana
uma circunferncia concntrica com um raio menor que o raio do
fio.
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes244
Para calcular o lado direito da lei de Ampre observamos que,
como a distribuio de corrente uniforme, a corrente ienv envolvida
pela amperiana proporcional rea envolvida pela curva, ou seja,
Usando a regra da mo direita, vemos que o sinal de ienv positivo
e, portanto, de acordo com a lei de Ampre,
Assim, no interior do fi o o mdulo B do campo eltrico
proporcional a r; o valor zero no centro do fi o e mximo na
superfcie, onde r 5 R. Observe que as Eqs. 29-17 e 29-20 fornecem o
mesmo valor para B no ponto r 5 R, ou seja, as expresses para o
campo magntico do lado de fora e do lado de dentro do fi o fornecem
o mesmo valor para pontos situados na superfcie do fi o.
Exemplo 29-3
TESTE 2 A fi gura mostra trs correntes de mesmo valor absoluto i
(duas paralelas e uma antiparalela) e quatro am-perianas. Coloque
as amperianas em ordem de acordo com o valor absoluto de r ? ,
comeando pelo maior.
c d
b
a
i i
i
A Fig. 29-16a mostra a seo reta de um cilindro longo con-dutor
oco de raio interno a 5 2,0 cm e raio externo b 5 4,0 cm. O
cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel, e o mdulo
da densidade de corrente na seo reta dado por J 5 cr2, com c 5 3,0
3 106 A/m4 e r em metros. Qual o campo magntico em um ponto situado
a 3,0 cm de distncia do eixo central do cilindro?
O ponto no qual queremos determinar o campo est na parte slida
do cilindro, entre o raio in-terno e o raio externo. Observamos que
a corrente tem simetria cilndrica ( igual em todos os pontos
situados mesma distncia do eixo central). A simetria permite usar a
lei de Ampre para determinar o campo no ponto. Para comear, traamos
uma amperiana como a que aparece na Fig. 29-16b. A curva concntrica
com o cilindro e tem um raio r 5 3,0 cm, porque estamos
interessados em determi-nar o campo a essa distncia do eixo central
do cilindro.
O passo seguinte calcular a corrente ienv que envol-vida pela
amperiana. Entretanto, no podemos usar uma simples proporo, como fi
zemos para chegar Eq. 29-19, j que dessa vez a distribuio de
corrente no uniforme. Em vez disso, utilizando o mesmo mtodo do
Exemplo 26-
Amperianar
a b
(a)
(b)
FIG. 29-16 (a) Seo reta de um cilindro longo condutor oco de
raio interno a e raio externo b. (b) Uma amperiana de raio r usada
para calcular o campo magntico em pontos situados a uma distncia r
do eixo central.
2b, devemos integrar o mdulo da densidade de corrente entre o
raio interno a do cilindro e o raio r da amperiana.
IDIAS-CHAVE
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29-5 | Solenides e Torides 245
29-5 | Solenides e Torides
Campo Magntico de um Solenide
Vamos agora voltar a ateno para outra situao na qual a lei de
Ampre pode ser til. Trata-se do campo magntico produzido pela
corrente em uma bobina helicoi-dal formada por espiras circulares
muito prximas. Uma bobina desse tipo recebe o nome de solenide
(Fig. 29-17). Vamos supor que o comprimento do solenide muito maior
que o dimetro.
A Fig. 29-18 mostra um trecho de um solenide esticado. O campo
magntico do solenide a soma vetorial dos campos produzidos pelas
espiras. No caso de pon-tos muito prximos de uma espira o fio se
comporta magneticamente quase como um fio retilneo, e as linhas de
so quase crculos concntricos. Como mostra a Fig. 29-18, o campo
tende a se cancelar entre espiras vizinhas. A figura tambm mostra
que em pontos no interior do solenide e razoavelmente afastados do
fio aproxima-damente paralelo ao eixo central. No caso-limite de um
solenide ideal, que infinita-mente longo e formado por espiras
muito juntas (espiras cerradas) de um fio de seo reta quadrada, o
campo no interior do solenide uniforme e paralelo ao eixo
central.
Em pontos acima do solenide, como o ponto P da Fig. 29-18, o
campo magntico criado pelas partes superiores das espiras do
solenide (representadas pelo smbolo () aponta para a esquerda (como
nas proximidades do ponto P), e tende a cancelar o campo criado em
P pelas partes inferiores dessas espiras (representadas pelo
sm-bolo ^), que aponta para direita (e no est desenhado na figura).
No caso-limite de um solenide ideal o campo magntico do lado de
fora do solenide zero. Tomar o campo externo como sendo zero uma
excelente aproximao de um solenide real se o comprimento do
solenide for muito maior que o dimetro e se forem conside-rados
apenas pontos como P, que no esto prximos das extremidades do
solenide. A orientao do campo magntico no interior do solenide dada
pela regra da mo direita: segure o solenide com a mo direita, com
os dedos apontando no sentido da corrente; o polegar estendido
mostra a orientao do campo magntico.
A Fig. 29-19 mostra as linhas de em um solenide real. O
espaamento das linhas na regio central mostra que o campo no
interior do solenide intenso e uniforme em toda a regio, enquanto o
campo externo muito mais fraco.
Clculos: Escrevemos a integral na forma
O sentido a integrao indicado na Fig. 29-16b foi esco-lhido
arbitrariamente como sendo o sentido horrio. Apli-cando amperiana a
regra da mo direita descobrimos que precisamos somar a corrente
ienv como sendo negativa, j que o sentido da corrente para fora do
plano do papel, mas o polegar aponta para dentro do papel.
Em seguida, calculamos o lado esquerdo da lei de Am-pre
exatamente como fizemos na Fig. 29-15 e obtemos no-vamente a Eq.
29-18. Assim, a lei de Ampre,
nos d
Explicitando B e substituindo os valores conhecidos, temos:
Assim, o campo magntico em um ponto situado a 3,0 cm do eixo
central tem mdulo
e forma linhas de campo magntico com o sentido contr-rio ao da
nossa direo de integrao, ou seja, com o sen-tido anti-horrio na
Fig. 29-16b.
i
i
FIG. 29-17 Um solenide percor-rido por uma corrente i.
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes246
Vamos agora aplicar a lei de Ampre,
ao solenide ideal da Fig. 29-20, onde uniforme do lado de dentro
do solenide e zero do lado de fora, usando a amperiana retangular
abcda. Escrevemos r ? como a soma de quatro integrais, uma para
segmento da amperiana:
A primeira integral do lado direito da Eq. 29-22 Bh, onde B o
mdulo do campo uniforme no interior do solenide e h o comprimento
(arbitrrio) do seg-mento ab. A segunda e a quarta integrais so zero
porque, para os elementos ds des-ses segmentos, perpendicular a ds
ou zero e, portanto, o produto escalar ? zero. A terceira integral,
que envolve um segmento do lado de fora do solenide, tambm zero
porque B 5 0 em todos os pontos do lado de fora do solenide.
As-sim, o valor de r ? para toda a amperiana Bh.
A corrente total ienv envolvida pela amperiana retangular da
Fig. 29-20 no igual corrente i nas espiras do solenide porque as
espiras passam mais de uma vez pela amperiana. Seja n o nmero de
espiras por unidade de comprimento do so-lenide; nesse caso, a
amperiana envolve nh espiras e, portanto,
De acordo com a lei de Ampre, temos:
Embora a Eq. 29-23 tenha sido demonstrada para um solenide
ideal, constitui uma boa aproximao para solenides reais se for
aplicada apenas a pontos inter-nos bem afastados das extremidades
do solenide. A Eq. 29-23 est de acordo com as observaes
experimentais de que o mdulo B do campo magntico no interior de um
solenide no depende do dimetro nem do comprimento do solenide e
FIG. 29-18 Trecho de um solenide esticado visto de perfil. So
mostradas as partes traseiras de cinco espiras e as linhas de campo
magntico associadas. As linhas de campo magntico so circulares nas
proximidades das espiras. Perto do eixo do solenide as linhas de
campo se combinam para produzir um campo magntico paralelo ao eixo.
As linhas de campo com pequeno espaamento indicam que o campo
mag-ntico nessa regio intenso. Do lado de fora do solenide as
linhas de campo so mais espaadas e o campo muito mais fraco.
FIG. 29-19 Linhas de campo magntico em um solenide real. O campo
intenso e uniforme em pontos do interior do solenide, como P1, e
muito mais fraco em pontos do lado de fora do solenide, como
P2.
P P2
P1
a b
d c h
i
B
FIG. 29-20 Aplicao da lei de Ampre a um solenide ideal
percor-rido por uma corrente i. A amperiana o retngulo abcda.
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29-6 | Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo
Magntico 247
uniforme ao longo da seo reta do solenide. Um solenide
constitui, portanto, uma forma prtica de criar um campo magntico
uniforme de valor conhecido para realizar experimentos, assim como
um capacitor de placas paralelas constitui uma forma prtica de
criar um campo eltrico uniforme de valor conhecido.
Campo Magntico de um Toride
A Fig. 29-21a mostra um toride, que pode ser descrito como um
solenide ciln-drico que foi encurvado at as extremidades se
tocarem, formando assim um anel. Qual o valor do campo magntico no
interior de um toride? Podemos respon-der a essa pergunta usando a
lei de Ampre e a simetria do toride.
Por simetria, as linhas de formam circunferncias concntricas no
interior do toride, como mostra a Fig. 29-21b. Vamos escolher como
amperiana uma circunfe-rncia concntrica de raio r e percorr-la no
sentido horrio. De acordo com a lei de Ampre, temos:
onde i a corrente nas espiras do toride (e positiva para as
espiras envolvidas pela amperiana) e N o nmero total de espiras.
Assim, temos:
Isso mostra que, ao contrrio do que acontece no caso do
solenide, B no cons-tante ao longo da seo reta do toride.
fcil mostrar, com o auxlio da lei de Ampre, que B 5 0 para
pontos do lado de fora de um toride (como se o toride fosse
fabricado a partir de um solenide ideal). O sentido do campo
magntico no interior de um toride pode ser determi-nado atravs da
regra da mo direita: segure o toride com a mo direita, com os dedos
apontando no sentido da corrente; o polegar estendido mostra o
sentido do campo magntico.
FIG. 29-21 (a) Um toride percor-rido por uma corrente i. (b) Seo
reta horizontal do toride. O campo magntico no interior do toride
pode ser calculado aplicando a lei de Ampre a uma amperiana como a
mostrada na figura.
Amperiana
r
i
(b)
i
(a)
B
Exemplo 29-4
Clculo: Como B no depende do dimetro das espiras, o valor de n
para cinco camadas de espiras simplesmente cinco vezes maior que o
valor para uma camada. Assim, de acordo com a Eq. 29-23, temos:
Um solenide tem um comprimento L 5 1,23 m, um di-metro interno d
5 3,55 cm e conduz uma corrente i 5 5,57 A. formado por cinco
camadas de espiras cerradas, cada uma com 850 espiras. Qual o valor
de B no centro do solenide?
O mdulo B do campo magntico no eixo central do solenide est
relacionado corrente i do so-lenide e ao nmero n de espiras por
unidade de compri-mento atravs da Eq. 29-23 (B 5 m0in).
IDIA-CHAVE
29-6 | Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo
Magntico
At o momento examinamos os campos magnticos produzidos por
correntes em um fio retilneo, em um solenide e em um toride. Vamos
agora discutir o campo magntico produzido por uma corrente em uma
bobina. Como vimos na Seo 28-10, uma bobina se comporta como um
dipolo magntico no sentido de que, na
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes248
presena de um campo magntico , experimenta um torque dado
por
onde , o momento dipolar magntico da bobina, tem um mdulo dado
por NiA, onde N o nmero de espiras, i a corrente e A a rea das
espiras. (Ateno: No con-funda o momento magntico dipolar com a
permeabilidade magntica do vcuo m0.)
Como vimos, o sentido de dado pela regra da mo direita: segure a
bobina com a mo direita, com os dedos apontando no sentido da
corrente; o polegar esten-dido mostra o sentido do momento dipolar
magntico.
Campo Magntico de uma Bobina
Vamos agora examinar outro aspecto de uma bobina percorrida por
corrente como um dipolo magntico: qual o campo magntico produzido
pela bobina em um ponto do espao? A simetria no sufi ciente para
que seja possvel usar a lei de Ampre; assim, temos que recorrer lei
de Biot-Savart. Para simplifi car o problema vamos considerar uma
bobina com uma nica espira circular e calcular o campo apenas em
pontos situados sobre o eixo central, que tomaremos como sendo o
eixo z. Vamos demonstrar que o mdulo do campo magntico nesses
pontos dado por
onde R o raio da espira e z a distncia entre o ponto considerado
e o centro da es-pira. O sentido do campo magntico o mesmo do
momento magntico da bobina.
No caso de pontos muito distantes da bobina, z @ R e a Eq. 29-26
se reduz a
Lembrando que pR2 a rea A da bobina e generalizando o resultado
para uma bo-bina de N espiras, podemos escrever essa equao na
forma
Alm disso, como e so paralelos, podemos escrever a equao em
forma veto-rial usando a identidade m 5 NiA:
Assim, podemos encarar uma bobina percorrida por corrente como
um dipolo magntico sob dois aspectos: (1) a bobina experimenta um
torque na presena de um campo magntico externo; (2) a bobina produz
um campo magntico que dado, para pontos distantes sobre o eixo z,
pela Eq. 29-27. A Fig. 29-22 mostra o campo magntico produzido por
uma bobina percorrida por corrente; um lado da bobina se comporta
como um plo norte (para onde aponta o momento magntico ) e o outro
lado como um plo sul, como sugere o desenho de um m em forma de
barra.
N
S
i
i
B
M
FIG. 29-22 Uma espira percorrida por corrente produz um campo
mag-ntico semelhante ao de um m em forma de barra, com um plo norte
e um plo sul. O momento dipolar magntico da espira, cujo sentido
dado pela regra da mo direita, aponta do plo sul para o plo norte,
ou seja, na mesma direo que o campo no interior da espira.
TESTE 3 A fi gura mostra quatro pares de espiras circulares de
raio r ou 2r, com o centro em eixos verticais (perpendiculares ao
plano das espiras) e percorridas por correntes de mesmo valor
abso-luto, nos sentidos indicados. Coloque os pares na ordem do
mdulo do campo magntico em um ponto sobre o eixo central a meio
cami-nho entre os anis, comeando pelo maior.
(a) (b) (c) (d)
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29-6 | Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo
Magntico 249
Demonstrao da Equao 29-26
A Fig. 29-23 mostra uma vista de perfil de uma espira circular
de raio R percorrida por uma corrente i. Considere um ponto P sobre
o eixo central, situado a uma dis-tncia z do plano da espira. Vamos
aplicar a lei de Biot-Savart a um elemento de comprimento ds
situado na extremidade esquerda da espira. O vetor comprimento
associado a esse elemento aponta perpendicularmente para fora do
plano do pa-pel. O ngulo u entre e r na Fig. 29-23 90; o plano
formado pelos dois vetores perpendicular ao plano do papel e contm
tanto r como . De acordo com a lei de Biot-Savart (e a regra da mo
direita), o elemento de campo d produzido no ponto P pela corrente
no elemento ds perpendicular a este plano e, portanto, paralelo ao
plano do papel e perpendicular a r, como mostra a Fig. 29-23.
Vamos decompor d em duas componentes: dB||, paralela ao eixo da
espira, e dB, perpendicular ao eixo. Por simetria, a soma vetorial
das componentes perpen-diculares dB produzidas por todos os
elementos ds da espira zero. Isso deixa ape-nas as componentes
paralelas dB|| e, portanto,
Para o elemento da Fig. 29-23 a lei de Biot-Savart (Eq. 29-1)
nos diz que o campo magntico a uma distncia r dado por
Temos tambm
Combinando as duas relaes, obtemos
A Fig. 29-23 mostra que existe uma relao entre r e a. Ambos
podem ser expressos em termos da varivel z, a distncia entre o
ponto P e o centro da espira. As relaes so as seguintes:
Substituindo as Eqs. 29-29 e 29-30 na Eq. 29-28, obtemos
Observe que i, R e z tm o mesmo valor para todos os elementos ds
da espira; assim, quando integramos essa equao descobrimos que
ou, como e ds simplesmente a circunferncia 2pR da espira,
Esta a Eq. 29-26, a relao que queramos demonstrar.
A
z
P A
>dB
dB dB
R
ds
r
r
FIG. 29-23 Vista de perfil de uma espira circular de raio R. O
plano da espira perpendicular ao papel, e apenas a metade mais
distante da es-pira aparece na figura. A lei de Biot-Savart pode
ser usada para calcular o campo magntico em um ponto P do eixo
central da espira.
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes250
REVISO E RESUMO
PERGUnTAS
Lei de Biot-Savart O campo magntico criado por um con-dutor
percorrido por corrente pode ser calculado com o auxlio da lei de
Biot-Savart. De acordo com esta lei, a contribuio d para o campo em
um ponto P produzido por um elemento de cor-rente i situado a uma
distncia r do ponto dada por
onde r o vetor unitrio que liga o elemento de corrente ao ponto
P. A constante m0, conhecida como permeabilidade do v-cuo, tem o
valor de 4p 3 1027 T ? m/A < 1,26 3 1026 T ? m/A.
Campo Magntico Produzido pela Corrente em um Fio Retilneo Longo
No caso de um fio retilneo longo per-corrido por uma corrente i, a
lei de Biot-Savart nos d, para o m-dulo do campo magntico a uma
distncia perpendicular R do fio,
Campo Magntico de um Arco de Circunferncia O mdulo do campo
magntico no centro de um arco de circunfe-rncia de raio R e ngulo
central f (em radianos) percorrido por uma corrente i dado por
Fora entre Correntes Paralelas Fios paralelos percor-ridos por
correntes no mesmo sentido se atraem e fios paralelos percorridos
por correntes em sentidos opostos se repelem. O m-dulo da fora que
age sobre um segmento de comprimento L de um dos fios dado por
onde d a distncia entre os fios e ia e ib so as correntes nos
fios.
Lei de Ampre De acordo com a lei de Ampre,
A integral de linha que aparece nesta equao deve ser calcu-lada
para uma curva fechada conhecida como amperiana. A cor-rente i a
corrente total envolvida pela amperiana. No caso de algumas
distribuies de corrente, a Eq. 29-14 mais fcil de usar que a Eq.
29-3 para calcular o campo magntico produzido por correntes.
Campos de um Solenide e de um Toride No interior de um solenide
longo percorrido por uma corrente i, em pontos distantes das
extremidades, o mdulo B do campo magntico dado por
onde n o nmero de espiras por unidade de comprimento. Em um
ponto no interior de um toride o mdulo B do campo mag-ntico dado
por
onde r a distncia entre o ponto e o centro do toride.
Campo de um Dipolo Magntico O campo magntico produzido por uma
bobina percorrida por corrente, que se com-porta como um dipolo
magntico, em um ponto P situado a uma distncia z ao longo do eixo
central da bobina, paralelo ao eixo central e dado por
onde o momento dipolar da bobina. Esta equao vlida ape-nas para
valores de z muito maiores que as dimenses da bobina.
1 A Fig. 29-24 mostra quatro arranjos nos quais fios paralelos
longos conduzem correntes iguais para dentro ou para fora do papel
nos vrtices de quadrados iguais. Coloque os arranjos na ordem do
mdulo do campo magntico no centro do quadrado, comeando pelo
maior.
(a) (b) (c) (d)
FIG. 29-24 Pergunta 1.
2 A Fig. 29-25 mostra sees retas de dois fios retilneos longos;
a corrente do fio da esquerda, i1, para fora do papel. Para que o
campo magntico total produzido pelas duas correntes seja zero no
ponto P, (a) o sentido da corrente i2 do fio da direita deve
ser
para dentro ou para fora do papel? (b) O valor absoluto da
cor-rente i2 deve ser maior, menor ou igual ao valor absoluto de
i1?
P i1 i2 FIG. 29-25 Pergunta 2.
3 A Fig. 29-26 mostra trs circuitos formados por segmentos
re-tilneos e arcos de circunferncia concntricos
(semicircunfern-cias ou quartos de circunferncia de raio r, 2r ou
3r). A corrente a mesma nos trs circuitos. Coloque os circuitos na
ordem do m-dulo do campo magntico no centro dos arcos (indicado na
figura por um ponto), comeando pelo maior.
(a) (b) (c)
FIG. 29-26 Pergunta 3.
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Perguntas 251
4 A Fig. 29-27 representa um instantneo dos vetores veloci-dade
de quatro eltrons nas vizinhanas de um fio percorrido por uma
corrente i. As quatro velocidades tm o mesmo mdulo, e a velocidade
2 aponta para dentro do papel. Os eltrons 1 e 2 es-to mesma
distncia do fio, e o mesmo acontece com os eltrons 3 e 4. Coloque
os eltrons na ordem do mdulo do campo mag-ntico a que esto sujeitos
devido corrente i, comeando pelo maior.
i
v3v4
v1v2
FIG. 29-27 Pergunta 4.
5 A Fig. 29-28 mostra trs circuitos formados por dois segmen-tos
radiais e dois arcos de circunferncia concntricos, um de raio r e o
outro de raio R . r. A corrente a mesma nos dois circuitos e o
ngulo entre os dois segmentos radiais o mesmo. Coloque os circuitos
na ordem do mdulo do campo magntico no centro dos arcos (indicado
na figura por um ponto), comeando pelo maior.
(a) (b) (c)
FIG. 29-28 Pergunta 5.
6 A Fig. 29-29 mostra quatro arranjos nos quais fios longos,
pa-ralelos e igualmente espaados conduzem correntes iguais para
dentro e para fora do papel. Coloque os arranjos na ordem do mdulo
da fora a que est submetido o fio central, comeando pelo maior.
(a)
(b)
(c)
(d)
FIG. 29-29 Pergunta 6.
7 A Fig. 29-30 mostra trs arranjos de trs fios retilneos longos
conduzindo correntes iguais para dentro e para fora do papel. (a)
Coloque os arranjos na ordem do mdulo da fora magntica a que est
submetido o fio A, comeando pelo maior. (b) No ar-ranjo 3, o ngulo
entre a fora a que est submetido o fio A e a linha tracejada igual,
maior ou menor que 45?
D d
(1)
D d
D d
(2)
(3)
A A
A
FIG. 29-30 Pergunta 7.
8 A Fig. 29-31 mostra quatro correntes iguais i e cinco
ampe-rianas (a, b, c, d, e) envolvendo essas correntes. Coloque as
am-perianas na ordem do valor de r ? ao longo das curvas nas direes
indicadas, comeando pelo maior valor positivo.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
i
i i i
FIG. 29-31 Pergunta 8.
9 A Fig. 29-32 mostra quatro amperianas circulares (a, b, c, d)
concntricas com um fio cuja corrente dirigida para fora do pa-pel.
A corrente uniforme ao longo da seo reta do fio (regio sombreada).
Coloque as amperianas na ordem do valor absoluto de r ? ao longo da
curva, comeando pelo maior.
a
b
c
d
FIG. 29-32 Pergunta 9.
10 A Fig. 29-33 mostra, em funo da distncia radial r, o mdulo B
do campo magntico do lado de dentro e do lado de fora de quatro
fios (a, b, c, d), cada um dos quais conduz uma corrente
uniformemente distribuda ao longo da seo reta. Os trechos em que os
grficos correspondentes a dois fios se super-pem esto indicados por
duas letras. Coloque os fios na ordem (a) do raio, (b) do mdulo do
campo magntico na superfcie e (c) da corrente, comeando pelo maior
valor. (d) O mdulo da densidade de corrente do fio a maior, menor
ou igual ao do fio c?
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes252
B
r
a, b
c, d b, d
a, c
a
b c
FIG. 29-33 Pergunta 10.
11 A Fig. 29-34 mostra quatro amperianas circulares (a, b, c, d)
e, em seo reta, quadro condutores circulares longos (re-gies
sombreadas), todos concntricos. Trs dos condutores so cilindros
ocos; o condutor central um cilindro macio. As cor-
rentes nos condutores so, do raio menor para o raio maior, 4 A
para fora do papel, 9 A para dentro do papel, 5 A para fora do
papel e 3 A para dentro do papel. Coloque as amperianas na ordem do
mdulo de r ? ao longo da curva, comeando pelo maior.
a
b
c
d
FIG. 29-34 Pergunta 11.
seo 29-2 Clculo do Campo Magntico Produzido por uma Corrente1 Em
um certo local das Filipinas o campo magntico da Terra tem um mdulo
de 39 mT, horizontal e aponta exatamente para o norte. Suponha que
o campo total zero, 8,0 cm acima de um fi o longo, retilneo,
horizontal que conduz uma corrente cons-tante. Determine (a) o
mdulo da corrente; (b) a orientao da corrente.
2 Um condutor retilneo percorrido por uma corrente i 5 5,0 A se
divide em dois arcos semicirculares, como mostra a Fig. 29-35. Qual
o campo magntico no centro C da espira circular re-sultante?
i i
C
FIG. 29-35 Problema 2.
3 Um topgrafo est usando uma bssola magntica 6,1 m abaixo de uma
linha de transmisso que conduz uma corrente constante de 100 A. (a)
Qual o campo magntico produzido pela linha de transmisso na posio
da bssola? (b) Este campo tem uma in uncia signifi cativa na
leitura da bssola? A compo-nente horizontal do campo magntico da
Terra no local 20 mT.
4 A Fig. 29-36a mostra um elemento de comprimento ds 5 1,00 mm
em um fi o retilneo muito longo percorrido por uma cor-rente. A
corrente no elemento cria um campo magntico elemen-tar d no espao
em volta. A Fig. 29-36b mostra o mdulo dB do campo para pontos
situados a 2,5 cm de distncia do elemento em funo do ngulo u entre
o fi o e uma reta que liga o elemento ao ponto. A escala vertical
defi nida por dBs 5 60,0 pT. Qual o mdulo do campo magntico
produzido pelo fi o inteiro em um ponto situado a 2,5 cm de
distncia do fi o?
PROBLEMAS
O nmero de pontos indica o grau de di culdade do problema
Informaes adicionais disponveis em O Circo Voador da Fsica, de
Jearl Walker, Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Fiods
Q
(a)
(b)
dBs
0
dB (
pT)
P P/2 Q (rad)
FIG. 29-36 Problema 4.
5 Na Fig. 29-37 dois arcos de circunferncia tm raios a 5 13,5 cm
e b 5 10,7 cm, subtendem um ngulo u 5 74,0, conduzem uma corrente i
5 0,411 A e tm o mesmo centro de curvatura P. Determine (a) o mdulo
e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo
magntico no ponto P.
P
i i Q
a
b
FIG. 29-37 Problema 5.
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Problemas 253
6 Na Fig. 29-38 dois arcos de circunferncia tm raios R2 5 7,80
cm e R1 5 3,15 cm, subtendem um ngulo u 5 180, condu-zem uma
corrente i 5 0,281 A e tm o mesmo centro de curvatura C. Determine
(a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do
campo magntico no ponto C.
C
R1
R2 i i
FIG. 29-38 Problema 6.
7 Dois fios retilneos longos so paralelos e esto separados por
uma distncia de 8,0 cm. As correntes nos fios so iguais e o campo
magntico em um ponto situado exatamente entre os dois fios tem um
mdulo de 300 mT. (a) As correntes tm o mesmo sentido ou sentidos
opostos? (b) Qual o valor das correntes?
8 Na Fig. 29-39, um fio formado por uma semicircunferncia de
raio R 5 9,26 cm e dois segmentos retilneos (radiais) de
com-primento L 5 13,1 cm cada um. A corrente no fio i 5 34,8 mA.
Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do
papel) do campo magntico no centro de curvatura C da
semi-circunferncia.
i
C
i
L L
R
FIG. 29-39 Problema 8.
9 Na Fig. 29-40 dois fios retilneos longos so perpendiculares ao
plano do papel e esto separados por uma distncia d1 5 0,75 cm. O
fio 1 conduz uma corrente de 6,5 A para dentro do papel. Determine
(a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da
corrente no fio 2 para que o campo magntico seja zero no ponto P,
situado a uma distncia d2 5 1,50 cm do fio 2.
P
d1
d2
Fio 1
Fio 2
FIG. 29-40 Problema 9.
10 Na Fig. 29-41 dois fios retilneos longos, separados por uma
distncia d 5 16,0 cm, conduzem correntes i1 5 3,61 mA e i2 5 3,00i1
dirigidas para fora do papel. (a) Em que ponto do eixo x o campo
magntico total zero? (b) Se as duas correntes so mul-tiplicadas por
dois, o ponto em que o campo magntico zero se aproxima do fio 1, se
aproxima do fio 2 ou permanece onde est?
y
x i1 i2
d FIG. 29-41 Problema 10.
11 Na Fig. 29-42 uma corrente i 5 10 A circula em um condutor
longo formado por dois trechos retilneos e uma semicircunfern-cia
de raio R 5 5,0 mm e centro no ponto a. O ponto b fica a meio
caminho entre os trechos retilneos e to afastado da
semicircunfe-rncia que os dois trechos retos podem ser considerados
fios infini-tos. Determine (a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro
ou para fora do papel) do campo magntico no ponto a. Determine
tam-bm (c) o mdulo e (d) o sentido do campo magntico no ponto
b.
i R
b a FIG. 29-42 Problema 11.
12 Na Fig. 29-43 o ponto P est a uma distncia R 5 2,00 cm de um
fio retilneo muito longo que conduz uma corrente. O campo magntico
no ponto P a soma das contribuies de elementos de corrente i ao
longo de todo o fio. Determine a distncia s entre o ponto P e o
elemento (a) que mais contribui para o campo
; (b) responsvel por com 10% da maior contribuio.
Fio
R
P
s
FIG. 29-43 Problema 12.
13 A Fig. 29-44 mostra um prton que se move com veloci-dade 5
(2200 m/s)j em direo a um fio retilneo longo que conduz uma
corrente i 5 350 mA. No instante mostrado a distn-cia entre o prton
e o fio d 5 2,89 cm. Em termos dos vetores unitrios, qual a fora
magntica a que o prton est submetido?
x
y
d v
i
FIG. 29-44 Problema 13.
14 A Fig. 29-45a mostra, em seo reta, dois fios longos e
pa-ralelos percorridos por correntes e separados por uma distncia
L. A razo i1/i2 entre as correntes 4,00; as direes das correntes no
so conhecidas. A Fig. 29-45b mostra a componente By do campo
magntico em funo da posio sobre o eixo x direita do fio 2. A escala
vertical definida por Bys 5 4,0 nT e a escala horizontal por xs 5
20,0 cm. (a) Para que valor de x . 0 a componente By m-xima? (b) Se
i2 5 3 mA, qual este valor mximo de By? Determine o sentido (para
dentro ou para fora do papel) (c) de i1; (d) de i2.
x
y
1 2
L
(a) (b)
0
Bys
0
Bys
xs By (
nT
)
x (cm)
FIG. 29-45 Problema 14.
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes254
15 A Fig. 29-46 mostra um fio que conduz uma corrente i 5 3,00
A. Dois trechos retilneos semi-infinitos, ambos tangentes mesma
circunferncia, so ligados por um arco de circunferncia que possui
um ngulo central u e coincide com parte da circunfe-rncia. O arco e
os dois trechos retilneos esto no mesmo plano. Se B 5 0 no centro
da circunferncia, qual o valor de u?
i
R
i
Q
Arco de ligao FIG. 29-46 Problema 15.
16 A Fig. 29-47 mostra, em seo reta, quatro fios finos
pa-ralelos, retilneos e muito compridos, que conduzem correntes
iguais nos sentidos indicados. Inicialmente os quatro fios esto a
uma distncia d 5 15,0 cm da origem do sistema de coordenadas, onde
criam um campo magntico total . (a) Para que valor de x o fio 1
deve ser deslocado sobre o eixo x para que o campo sofra uma rotao
de 30 no sentido anti-horrio? (b) Com o fio 1 na nova posio, para
que valor de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para que o
campo volte orientao inicial?
x
y
4
3
2
1 d
d d d
FIG. 29-47 Problema 16.
17 Na Fig. 29-48, o ponto P1 est a uma distncia R 5 13,1 cm do
ponto mdio de um fio retilneo de comprimento L 5 18,0 cm que conduz
uma corrente i 5 58,2 mA. (Observe que o fio no longo.) Qual o
mdulo do campo magntico no ponto P1?
L
i R
P 2
R
P 1
FIG. 29-48 Problemas 17 e 21.
18 A Eq. 29-4 fornece o mdulo B do campo magntico criado por um
fio retilneo infinitamente longo percorrido por uma corrente em um
ponto P situado a uma distncia R do fio. Suponha que o ponto P
esteja na verdade a uma distncia R do ponto mdio de um fio de
comprimento finito L percorrido por uma corrente. Nesse caso, o uso
da Eq. 29-4 para calcular B en-volve um certo erro percentual. Qual
deve ser a razo L/R para que o erro percentual seja 1,00%? Em
outras palavras, para que valor de L/R a igualdade satisfeita?
( da Eq. 29 - 4) ( real)
( real)(100%) 1,00%
B B
B
25
19 Na Fig. 29-49 quatro fios retilneos longos so
perpendicu-lares ao papel, e suas sees retas formam um quadrado de
lado a 5 20 cm. As correntes so para fora do papel nos fios 1 e 4 e
para dentro do papel nos fios 2 e 3, e todos os fios conduzem uma
corrente de 20 A. Em termos dos vetores unitrios, qual o campo
magntico no centro do quadrado?
a x
a
y
a a
4 3
1 2
FIG. 29-49 Problemas 19, 36 e 39.
20 Na Fig. 29-50 duas espiras circulares concntricas, que
conduzem correntes no mesmo sentido, esto no mesmo plano. A espira
1 tem 1,50 cm de raio e conduz uma corrente de 4,00 mA. A espira 2
tem 2,50 cm de raio e conduz uma corrente de 6,00 mA. O campo
magntico no centro comum das duas espiras medido enquanto se faz
girar a espira 2 em torno de um dimetro. Qual deve ser o ngulo de
rotao da espira 2 para que o mdulo do campo seja 100 nT?
2 1
FIG. 29-50 Problema 20.
21 Na Fig. 29-48 o ponto P2 est a uma distncia R 5 25,1 cm da
extremidade mais prxima de um fio retilneo de com-primento L 5 13,6
cm que conduz uma corrente i 5 0,693 A. (Observe que o fio no
longo.) Qual o mdulo do campo mag-ntico no ponto P2?
22 Na Fig. 29-51a o fio 1 formado por um arco de circunfe-rncia
e dois segmentos radiais e conduz uma corrente i1 5 0,50 A no
sentido indicado. O fio 2, mostrado em seo reta, longo, re-tilneo e
perpendicular ao plano do papel. A distncia entre o fio 2 e o
centro do arco igual ao raio R do arco, e o fio conduz uma corrente
i2 que pode ser ajustada. As duas correntes criam um campo magntico
total no centro do arco. A Fig. 29-51b mos-tra o quadrado do mdulo
do campo, B2, em funo do quadrado da corrente, i2
2 . A escala vertical definida por Bs2 5 10,0 3
10210 T2. Qual o ngulo subtendido pelo arco?
Bs2
1 0 i 2
2 (A2) 2
B2
(10
10 T
2 )
R
i1
i2
(a) (b)
FIG. 29-51 Problema 22.
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Problemas 255
23 A Fig. 29-52 mostra dois fios. O fio de baixo conduz uma
corrente i1 5 0,40 A e inclui um arco de circunferncia com 5,0 cm
de raio e centro no ponto P, que subtende um ngulo de 180. O fio de
cima conduz uma corrente i2 5 2i1 e inclui um arco de circunferncia
com 4,0 cm de raio e centro tambm no ponto P, que subtende um ngulo
de 120. Determine (a) o mdulo e (b) a orientao do campo magntico
para os sentidos das correntes indicados na figura. Determine tambm
(c) o mdulo e (d) a dire-o de se o sentido da corrente i1 for
invertido.
Q
P
i1
i2
FIG. 29-52 Problema 23.
24 Uma corrente estabelecida em uma espira constituda por uma
semicircunferncia de 4,00 cm de raio, uma semicircun-ferncia
concntrica de raio menor e dois segmentos retilneos radiais, todos
no mesmo plano. A Fig. 29-53a mostra o arranjo, mas no est
desenhada em escala. O mdulo do campo magn-tico produzido no centro
de curvatura 47,25 mT. Quando a se-micircunferncia menor sofre uma
rotao de 180 (Fig. 29-53b) o mdulo do campo magntico produzido no
centro de curvatura diminui para 15,75 mT e o sentido do campo se
inverte. Qual o raio da semicircunferncia menor?
(a) (b)
FIG. 29-53 Problema 24.
25 Na Fig. 29-54 dois fios longos retilneos (mostrados em se-o
reta) conduzem correntes i1 5 30,0 mA e i2 5 40,0 mA dirigi-das
para fora do papel. Os fios esto mesma distncia da origem, onde
criam um campo magntico . Qual deve ser o novo valor de i1 para que
sofra uma rotao de 20,0 no sentido horrio?
x
y
i1
i2
FIG. 29-54 Problema 25.
26 A Fig. 29-55a mostra dois fios. O fio 1 formado por um arco
de circunferncia de raio R e dois segmentos radiais e con-duz uma
corrente i1 5 2,0 A no sentido indicado. O fio 2 longo e retilneo,
conduz uma corrente i2 que pode ser ajustada e est a uma distncia
R/2 do centro do arco. O campo magntico pro-duzido pelas duas
correntes medido no centro de curvatura do
arco. A Fig. 29-55b mostra a componente de na direo
perpen-dicular ao plano do papel em funo da corrente i2. A escala
hori-zontal definida por i2s 5 1,00 A. Determine o ngulo subtendido
pelo arco.
R
i1
i2
R __ 2
(a) (b)
0 i2s
B
i2 (A)
FIG. 29-55 Problema 26.
27 Um fio longo est sobre o eixo x e conduz uma corrente de 30 A
no sentido positivo do eixo x. Um segundo fio longo perpendicular
ao plano xy, passa pelo ponto (0; 4,0 m; 0) e conduz uma corrente
de 40 A no sentido positivo do eixo z. Determine o mdulo do campo
magntico produzido pelos fios no ponto (0; 2,0 m; 0).
28 Na Fig. 29-56, parte de um fio longo isolado que conduz uma
corrente i 5 5,78 mA encurvada para formar uma espira circular de
raio R 5 1,89 cm. Em termos dos vetores unitrios, determine o campo
magntico C no centro da espira (a) se a es-pira est no plano do
papel; (b) se a espira est perpendicular ao plano do papel, depois
de sofrer uma rotao de 90 no sentido anti-horrio, como mostra a
figura.
P
C i i
i
y
x
FIG. 29-56 Problema 28.
29 A Fig. 29-57 mostra, em seo reta, dois fios retilneos muito
longos, ambos percorridos por uma corrente de 4,00 A orientada para
fora do papel. A distncia entre os fios d1 5 6,00 m e a distncia
entre o ponto P, eqidistante dos dois fios, e o ponto mdio do
segmento de reta que liga os dois fios d2 5 4,00 m. Determine o
mdulo do campo magntico total produzido no ponto P pelos dois
fios.
d2 d1 P
FIG. 29-57 Problema 29.
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes256
30 A espira percorrida por corrente da Fig. 29-58a cons-tituda
por uma semicircunferncia com 10,0 cm de raio, uma
se-micircunferncia menor com o mesmo centro e dois segmentos
radiais, todos no mesmo plano. A semicircunferncia menor sofre uma
rotao de um ngulo u para fora do plano (Fig. 29-58b). A Fig. 29-58c
mostra o mdulo do campo magntico no centro de curvatura em funo do
ngulo u. A escala vertical definida por Ba 5 10,0 mT e Bb 5 12,0
mT. Qual o raio do semicrculo me-nor?
y
x
z y
x
z
Bb
Ba 0 /4 P (rad) Q
/2 P
B (
T)
M
(a)
(b)
(c)
FIG. 29-58 Problema 30.
31 A Fig. 29-59 mostra uma seo reta de uma fita longa e fina de
largura w 5 4,91 cm que est conduzindo uma corrente uniformemente
distribuda i 5 4,61 mA para dentro do papel. Em termos dos vetores
unitrios, qual o campo magntico em um ponto P no plano da fita
situado a uma distncia d 5 2,16 cm de uma das bordas? (Sugesto:
Imagine a fita como um conjunto de fios paralelos.)
P
y
x
d w
FIG. 29-59 Problema 31.
32 A Fig. 29-60 mostra, em seo reta, dois fios retilneos longos
apoiados na superfcie de cilindro de plstico de 20,0 cm de raio,
paralelamente ao eixo do cilindro. O fio 1 conduz uma corrente i1 5
60,0 mA para fora do papel e mantido fixo no lu-gar, do lado
esquerdo do cilindro. O fio 2 conduz uma corrente i2 5 40,0 mA para
fora do papel e pode ser deslocado em torno do cilindro. Qual deve
ser o ngulo (positivo) u2 do fio 2 para que, na origem, o mdulo do
campo magntico total seja 80,0 nT?
y
x
Fio 1
Fio 2
2 Q
FIG. 29-60 Problema 32.
33 Na Fig. 29-61 a 5 4,7 cm e i 5 13 A. Determine (a) o mdulo e
(b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magntico
no ponto P. (Observe que no se trata de fios longos.)
P
i
2a
a a
a
FIG. 29-61 Problema 33.
34 Dois fios longos retilneos percorridos por corrente es-to
apoiados na superfcie de um cilindro longo de plstico de raio R 5
20,0 cm, paralelamente ao eixo do cilindro. A Fig. 29-62a mostra,
em seo reta, o cilindro e o fio 1, mas no o fio 2. Com o fio 2
mantido fixo no lugar o fio 1 deslocado sobre o cilindro, do ngulo
u1 5 0 at o ngulo u1 5 180, passando pelo primeiro e segundo
quadrantes do sistema de coordenadas xy. O campo magntico no centro
do cilindro medido em funo de u1. A Fig. 29-62b mostra a componente
Bx de em funo de u1 (a es-cala vertical definida por Bxs 5 6,0 mT),
e a Fig. 29-62c mostra a componente By (a escala vertical definida
por Bys 5 4,0 mT). (a) Qual o ngulo u2 que define a posio do fio 2?
Determine (b) o valor e (c) o sentido (para dentro ou para fora do
papel) da corrente no fio 1. Determine tambm (d) o valor e (e) o
sentido da corrente no fio 2.
Bys
0
Bys 0n0n 90n 180n 90n 180n
Q1
By (
T)
M
Bx
( T
) M
Bxs
Q1
y
x
Fio 1Q
(a)
(c) (b)
1
FIG. 29-62 Problema 34.
seo 29-3 Foras entre Duas Correntes Paralelas35 A Fig. 29-63
mostra o fio 1 em seo reta; o fio retilneo e longo, conduz uma
corrente de 4,00 mA para fora do papel e
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-
Problemas 257
est a uma distncia d1 5 2,40 cm de uma superfcie. O fio 2, que
paralelo ao fio 1 e tambm longo, est sobre a superfcie a uma
distncia horizontal d2 5 5,00 cm do fio 1 e conduz uma cor-rente de
6,80 mA para dentro do papel. Qual a componente x da fora magntica
por unidade de comprimento que age sobre o fio 2?
y
x
d2
d1 1
2
FIG. 29-63 Problema 35.
36 Na Fig. 29-49 quatro fios retilneos longos so
perpendicu-lares ao papel, e suas sees retas formam um quadrado de
lado a 5 8,50 cm. Todos os fios conduzem correntes de 15,0 A para
fora do papel. Em termos dos vetores unitrios, qual a fora magntica
por metro de fio que age sobre o fio 1?
37 Na Fig. 29-64 cinco fios paralelos longos no plano xy esto
separados por uma distncia d 5 50,0 cm. As correntes para den-tro
do papel so i1 5 2,00 A, i3 5 0,250 A, i4 5 4,00 A e i5 5 2,00 A; a
corrente para fora do papel i2 5 4,00 A. Qual o mdulo da fora por
unidade de comprimento que age sobre o fio 3?
y
z
1 2 3 4 5
d d d d
FIG. 29-64 Problemas 37 e 38.
38 Na Fig. 29-64 cinco fios paralelos longos no plano xy esto
separados por uma distncia d 5 8,00 cm, tm 10,0 m de compri-mento e
conduzem correntes iguais de 3,00 A para fora do papel. Em termos
dos vetores unitrios, determine a fora (a) sobre o fio 1; (b) sobre
o fio 2; (c) sobre o fio 3; (d) sobre o fio 4; (e) sobre o fio
5.
39 Na Fig. 29-49 quatro fios retilneos longos so
perpendicu-lares ao papel, e suas sees retas formam um quadrado de
lado a 5 13,5 cm. Todos os fios conduzem correntes de 7,50 A, e as
cor-rentes so para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do
pa-pel nos fios 2 e 3. Em termos dos vetores unitrios, qual a fora
magntica por metro de fio que age sobre o fio 4?
40 A Fig. 29-65a mostra, em seo reta, trs fios percorridos por
corrente que so longos, retilneos e paralelos. Os fios 1 e 2 so
mantidos fixos sobre o eixo x, separados por uma distncia d. O fio
1 conduz uma corrente de 0,750 A, mas o sentido da cor-rente
desconhecido. O fio 3, com uma corrente de 0,250 para fora do
papel, pode ser deslocado ao longo do eixo x, o que mo-difica a
fora a que est sujeito o fio 2. A componente y dessa fora F2y e o
valor por unidade de comprimento do fio 2 F2y/L2. A Fig. 29-65b
mostra o valor de F2y/L2 em funo da coorde-nada x do fio 3. O
grfico possui uma assntota F2y/L2 5 20,627 mN/m para x : `. A
escala horizontal definida por xs 5 12,0 cm. Determine (a) o valor
e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no
fio 2.
y
x 1 2 3
d
x (cm)
xs 0
0,5
0
0,5
1,0
F 2y/
L2
( N
/m)
M
(a) (b)
FIG. 29-65 Problema 40.
41 Na Fig. 29-66 um fio retilneo longo conduz uma corrente i1 5
30,0 A e uma espira retangular conduz uma corrente i2 5 20,0 A.
Suponha que a 5 1,00 cm, b 5 8,00 cm e L 5 30,0 cm. Em ter-mos dos
vetores unitrios, qual a fora a que est submetida a espira?
L
b
i1
i2
a
y
x
FIG. 29-66 Problema 41.
seo 29-4 Lei de Ampre42 A Fig. 29-67 mostra duas curvas fechadas
que envolvem duas espiras que conduzem correntes i1 5 5,0 A e i2 5
3,0 A. Determine o valor da integral r ? (a) para a curva 1; (b)
para a curva 2.
i1 i2
1
2 FIG. 29-67 Problema 42.
43 Os oito fios da Fig. 29-68 conduzem correntes iguais de 2,0 A
para dentro ou para fora do papel. Duas curvas esto indicadas para
a integral de linha r ? . Determine o valor da integral (a) para a
curva 1; (b) para a curva 2.
1 2
FIG. 29-68 Problema 43.
44 Oito fios so perpendiculares ao plano do papel nos pontos
indicados na Fig. 29-69. O fio k (k 5 1, 2,, 8) conduz uma
cor-rente ki, onde i 5 4,50 mA. Para os fios com k mpar, a corrente
para fora do papel; para os fios com k par, a corrente para dentro
do papel. Determine o valor de r ? ao longo da curva fechada
mostrada na figura, no sentido indicado.
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Captulo 29 | Campos Magnticos Produzidos por Correntes258
1
2
3 4
5
6
7
8
FIG. 29-69 Problema 44.
45 A Fig. 29-70 mostra uma seo reta de um fio cilndrico longo de
raio a 5 2,00 cm que conduz uma corrente uniforme de 170 A.
Determine o mdulo do campo magntico produzido pela corrente a uma
distncia do eixo do fio igual a (a) 0; (b) 1,00 cm; (c) 2,00 cm
(superfcie do fio); (d) 4,00 cm.
a r
FIG. 29-70 Problema 45.
46 Em uma certa regio existe uma densidade de corrente uniforme
de 15 A/m2 no sentido positivo do eixo z. Determine o valor de r ?
quando a integral de linha calculada ao longo de trs segmentos de
reta, de (4d, 0, 0) para (4d, 3d, 0), de (4d, 3d, 0) para (0, 0, 0)
e de (0, 0, 0) para (4d, 0, 0), com d 5 20 cm.
47 A densidade de corrente no interior de um fio cilndrico longo
de raio a 5 3,1 mm paralela ao eixo central, e seu mdulo varia
linearmente com a distncia radial r de acordo com a equa-o J 5
J0r/a, onde J0 5 310 A/m2. Determine o mdulo do campo magntico (a)
para r 5 0; (b) para r 5 a/2; (c) para r 5 a.
48 Na Fig. 29-71 um cano circular longo de raio externo R 5 2,6
cm conduz uma corrente (uniformemente distribuda) i 5 8,00 mA para
dentro do papel, e seu eixo est a uma distncia de 3,00R de um fio
paralelo ao cano. Determine (a) o valor e (b) o sentido (para
dentro ou para fora do papel) da corrente no fio para que o campo
magntico no ponto P tenha o mesmo mdulo que o campo magntico no
eixo do cano e o sentido oposto.
R
R
R
Fio
Cano
P
FIG. 29-71 Problema 48.
seo 29-5 Solenides e Torides49 Um solenide de 200 espiras com 25
cm de comprimento e 10 cm de dimetro conduz uma corrente de 0,29 A.
Calcule o m-dulo do campo magntico no interior do solenide.
50 Um solenide com 1,30 m de comprimento e 2,60 cm de dimetro
conduz uma corrente de 18,0 A. O campo magntico no interior do
solenide 23,0 mT. Determine o comprimento do fio de que feito o
solenide.
51 Um toride de seo reta quadrada, com 5,00 cm de lado e um raio
interno de 15,0 cm, tem 500 espiras e conduz uma corrente de 0,800
A. (Ele feito a partir de um solenide quadrado, em vez de redondo,
como o da Fig. 29-17.) Determine o campo magntico no interior do
toride (a) a uma distncia do centro igual ao raio interno; (b) a
uma distncia do centro igual ao raio externo.
52 Um solenide com 95,0 cm de comprimento tem um raio de 2,00 cm
e uma bobina com 1200 espiras; a corrente 3,60 A. Calcule o mdulo
do campo magntico no interior do solenide.
53 Um solenide longo com 10,0 espiras/cm e um raio de 7,00 cm
conduz uma corrente de 20,0 mA. Um condutor retilneo situado no
eixo central do solenide conduz uma corrente de 6,00 A. (a) A que
distncia do eixo do solenide a direo do campo magntico resultante
faz um ngulo de 45 com a direo do eixo? (b) Qual o mdulo do campo
magntico a essa distncia do eixo?
54 Um eltron introduzido em uma das extremidades de um solenide.
Ao penetrar no campo magntico uniforme que existe no interior do
solenide a velocidade do eltron 800 m/s e o vetor velocidade faz um
ngulo de 30 com o eixo central do solenide. O solenide tem 8000
espiras e conduz uma corrente de 4,0 A. Quantas revolues o eltron
descreve no interior do solenide antes de chegar outra extremidade?
(Em um sole-nide real, no qual o campo no uniforme perto das
extremi-dades, o nmero de revolues ligeiramente menor que o valor
calculado neste problema.)
55 Um solenide longo tem 100 espiras/cm e conduz uma corrente i.
Um eltron se move no interior do solenide em uma circunferncia de
2,30 cm de raio perpendicular ao eixo do sole-nide. A velocidade do
eltron 0,0460c (c 5 velocidade da luz). Determine a corrente i no
solenide.
seo 29-6 Uma Bobina Percorrida por Corrente como um Dipolo
Magntico56 A Fig. 29-72a mostra um fio que conduz uma corrente i e
forma uma bobina circular com apenas uma espira. Na Fig. 29-72b um
fio de mesmo comprimento forma uma bobina circular com duas espiras
de raio igual metade do raio da espira da Fig. 29-72a. (a) Se Ba e
Bb so os mdulos dos campos magnticos nos centros das duas bobinas,
qual o valor da razo Bb/Ba? (b) Qual o valor da razo mb/ma entre os
momentos dipolares das duas bobinas?
(a) (b)
i i
FIG. 29-72 Problema 56.
57 Qual o mdulo do momento dipolar magntico do so-lenide
descrito no Problema 49?
58 A Fig. 29-73 mostra um dispositivo conhecido como bo-bina de
Helmholtz, formado por duas bobinas circulares coa-
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Problemas 259
xiais de raio R 5 25,0 cm, com 200 espiras, separadas por uma
distncia s 5 R. As duas bobinas conduzem correntes iguais i 5 12,2
mA no mesmo sentido. Determine o mdulo do campo magntico no ponto
P, situado sobre o eixo das bobinas, a meio caminho entre elas.
x
y
P
s
R
i i
FIG. 29-73 Problemas 58 e 86.
59 Um estudante fabrica um pequeno eletrom enrolando 300 espiras
de fio em um cilindro de madeira com um dimetro d 5 5,0 cm. A
bobina ligada a uma bateria que produz uma cor-rente de 4,0 A no
fio. (a) Qual o mdulo do momento dipolar magntico do eletrom? (b) A
que distncia axial z @ d o campo magntico do eletrom tem um mdulo
de 5,0 mT (aproximada-mente um dcimo do campo magntico da
Terra)?
60 Na Fig. 29-74 uma corrente i 5 56,2 mA circula em uma espira
formada por dois segmentos radiais e duas semicircunfe-rncias de
raios a 5 5,72 cm e b 5 9,36 cm com um centro comum P. Determine
(a) o mdulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora da pgina) do
campo magntico no ponto P e (c) o mdulo e (d) o sentido do momento
magntico da espira.
b
a P
i
FIG. 29-74 Problema 60.
61 Na Fig. 29-75 um fio conduz uma corrente de 6,0 A ao longo do
circuito fechado abcdefgha, que percorre 8 das 12 ares-tas de um
cubo com 10 cm de aresta. (a) Considerando o circuito uma combinao
de trs espiras quadradas (bcfgb, abgha e cdefc), determine o
momento magntico total do circuito em termos dos vetores unitrios.
(b) Determine o mdulo do campo magntico total no ponto de
coordenadas (0; 5,0 m; 0).
x
z
y
e
d
a
b
h
c
g
f
FIG. 29-75 Problema 61.
62 Na Fig. 29-76a duas espiras circulares, com diferentes
cor-rentes mas o mesmo raio de 4,0 cm, tm os centros sobre o eixo
y. Esto separadas inicialmente por uma distncia L 5 3,0 cm, com a
espira 2 posicionada na origem do eixo. As correntes nas duas
espiras produzem um campo magntico na origem cuja compo-nente y By.
Essa componente medida enquanto a espira 2 deslocada no sentido
positivo do eixo y. A Fig. 29-76b mostra o valor de By em funo da
coordenada y da espira 2. A curva tem uma assntota By 5 7,20 mT
para y : `. A escala horizontal definida por ys 5 10,0 cm.
Determine (a) a corrente i1 na espira 1; (b) a corrente i2 na
espira 2.
2
1
y
0 L
(a) (b)
20
0
40
0 ys
By (
T)
M
y (cm)
FIG. 29-76 Problema 62.
63 Uma espira circular com 12 cm de raio conduz uma cor-rente de
15 A. Uma bobina plana com 0,82 cm de raio e 50 es-piras,
conduzindo uma corrente de 1,3 A, concntrica com a espira. O plano
da espira perpendicular ao plano da bobina. Suponha que o campo
magntico da espira uniforme na re-gio em que se encontra a bobina.
Determine (a) o mdulo do campo magntico prod