59 Grupo : Alexandre Luis de Andrade Capretz; Fernando Augusto Martins; Flávio Hitoshi; Glauter Fonseca Jannuzzi; Moisés Ari Lino de Oliveira; Ricardo Chindi. Capítulo 2. Método de Choleski´s e Método Crout 2.1. Introdução O método de eliminação de Gauss é a principal ferramenta para a solução direta de sistemas de equações lineares da forma Ax = b. Pode-se também utilizar este método para a fatoração de uma matriz em um produto de matrizes, visando facilitar sua manipulação. A fatoração é particulamente usada quando se tem a forma A = LU, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Nem todas as matrizes podem ser fatoradas desta maneira, porém grande parte delas ocorre frequentemente nos estudos de técnicas numéricas. Nesse trabalho estudaremos dois métodos de resolução de sistemas de equações lineares, onde em cada um é usado um método de fatoração de matrizes seguido de um método de substituição para se obter a resolução do sistema. 2.2. Motivação Os métodos de Choleski´s e Crout são bastante importante para a fatoração de sistemas lineares.
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Capítulo 2. Método de Choleski´s e Método Crout · a fatoração de uma matriz em um produto de matrizes, visando facilitar sua manipulação. A fatoração é particulamente
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Grupo : Alexandre Luis de Andrade Capretz; Fernando Augusto Martins; Flávio
Hitoshi; Glauter Fonseca Jannuzzi; Moisés Ari Lino de Oliveira; Ricardo Chindi.
Capítulo 2. Método de Choleski´s e Método Crout 2.1. Introdução O método de eliminação de Gauss é a principal ferramenta para a solução direta de
sistemas de equações lineares da forma Ax = b. Pode-se também utilizar este método para
a fatoração de uma matriz em um produto de matrizes, visando facilitar sua manipulação.
A fatoração é particulamente usada quando se tem a forma A = LU, onde L é uma matriz
triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. Nem todas as matrizes podem ser
fatoradas desta maneira, porém grande parte delas ocorre frequentemente nos estudos de
técnicas numéricas.
Nesse trabalho estudaremos dois métodos de resolução de sistemas de equações
lineares, onde em cada um é usado um método de fatoração de matrizes seguido de um
método de substituição para se obter a resolução do sistema.
2.2. Motivação
Os métodos de Choleski´s e Crout são bastante importante para a fatoração de
sistemas lineares.
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No primeiro método (Choleski´s), a fatoração da matriz A de coeficientes do
sistema é feita através da multiplicação da matriz L por sua transposta L’, o que reduz o
número de multipliações/divisões e adições/subtrações em relação ao método de
fatoração LDL’.
O segundo método (Crout) é usado para resolver sistemas de equações lineares n X
n onde a matriz dos coeficientes é tridiagonal. Neste caso, a matriz A é fatorada em duas
matrizes triangulares L e U. O que facilitará a obtenção das soluções do sistema.
2.3. Método de Choleski´s
2.3.1. Fatoração LDL’
Para efeito de comparação, introduziremos o conceito de fatoração LDL’.
Para fatorar a matriz positiva A n x n definida na forma LDL’, onde L é a matriz
triangular inferior e D é a matriz diagonal com entradas positivas :
Entradas: dimensão n
entradas aij, 1< i, j < n de A
Saídas: entradas lij , 1< j<i, 1< i< n de L e di, 1< i< n de D
1° passo : Para i=1,...,n faça passos 2-4
2° passo : Para j=1,...,i-1, vj = lijdj
3° passo : di = aij - l vij jj
i
=
−
�1
1
4° passo : Para j = i + 1, ..., n faça Iji = (aji - l vjk kk
i
=
−
�1
1
) / di.
5° passo : Saídas (Iij para j = 1, ..., i-1 e i = 1, ..., n);
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Saídas (di para i = 1, ..., n)
Fim.
2.3.2. Choleski´s
Para fatorar uma matriz positiva A definida de ordem n x n em LL`, onde L é
triangular inferior, utilizamos o seguinte algoritmo :
Entradas: dimensão n
entradas aij ,1 < i,j< n de A
Saídas: entradas lij, 1< j< i,1< i< n de L (As entradas de U=L` são uij =lij,
i< j< n, 1< i< n).
1° passo : l11= a11
2° passo : Para j=2,...,n e ej1 = aij / e11
3° passo : for i=2,...,n-1 faça passos 4 e 5
4° passo : l a lii ii ikk
i
= −�
���
��=
−
� 2
1
1 1 2/
5° passo : For j = i+1, ... ,n
ll
a l ljiij
ij jk ikk
i
= −�
��
�
��
=
−
�1
1
1
6° passo : l a lnn nn nkk
n
= −�
��
�
��
=
−
� 2
1
112
7° passo : Saídas (lij, Para j=1,...,i e i=1,...,n)
Fim
Exemplo : A matriz:
62
A =−
−
�
�
���
�
�
���
4 1 11 4 25 2 75
1 2 75 35. .. .
é positiva definida. A fatoração LDL’ de A dada no algoritmo de fatoração LDL’ é:
A = −�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
−�
�
���
�
�
���
1 0 00 25 1 0
0 25 0 75 1
4 0 00 4 00 0 1
1 0 25 0250 1 0 750 0 1
. .. .
. .. = LDL’
e wazzu o algoritmo de Choleski produz a fatoração :
A LL= = −�
�
���
�
�
���
−�
�
���
�
�
���
' .. .
. ..
2 0 005 2 0
05 15 1
2 0 5 0 50 2 150 0 1
A fatoração LDL` descrita no algoritmo requer n
nn3
2
676
+ − multiplicações /
divisões e n n3
6 6− adições / subtrações. E a fatoração de Choleski LL’ de uma matriz
positiva definida requer somente n n n3 2
6 223
+ − multiplicações / divisões e n n3
6 6−
adições / subtrações. A vantagem computacional da fatoração de Choleski é ilusória, ao
passo que ela necessita achar n raízes quadradas. O número de operações requeridas para
computar as n raízes quadradas é um fator linear de n e decrescerá significativamente
tanto quanto n crescer.
O algoritmo de Fatoração LDL’ nos mostra um método estável de fatorar uma
matriz positiva definida da forma A=LDL’ , mas deve ser modificado para resolver o
sistema linear Ax=b. Para fazer isto, nos deletamos a linha Fim do passo 5 do algoritmo e
adicionamos os seguintes passos para resolver o sistema triangular linear Ly=b.
6° passo : y1 = b1
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7° passo : Para i=2,...,n, yi = bi - l yij jj
i
=
−
�1
1
.
sistema linear Dz = y pode ser resolvido por
8° passo : Para i=1,...,n, faça zi = yi / di
Finalmente, o sistema triangular superior L’x = z e resolvido com os passos dados por
9° passo : xn = zn.
10° passo : Para i=n-1,...,1, faça xi = zi - l xji jj i
n
= +�
1.
11° passo : Saídas (xi , para i=1,...,n);
Fim.
As operações adicionais requeridas para resolver o sistema linear são mostradas na tabela