Capitulo 2 libroinvestigación

Subgrupo Matricial de GLn(K) yMatriz ExponencialEn este capıtulo presentamos la definicion de grupo matricial inversible y susejemplos mas notables con la que se cumple con el objetivo (1) propuesto.Luego, exponemos la nocion de homomorfismo continuo en grupo matricialinversible, importante, ya que mantienen algunas propiedades algebraicasy topologicas entre grupos matriciales inversibles y finalmente se exponeresultados de la matriz exponencial y logarıtmica cuya utilidad, en estetrabajo, es que ayuda determinar el algebra de Lie de los grupos matricialesinversibles GLn(K) y SLn(K).

2.1. Subgrupo Matricial de GLn(K)2.1 Definicion. Un subgrupo G de GLn(K), G ≤ GLn(K), bajo la

multiplicacion de matrices que tambien es cerrado en GLn(K) se dice grupomatricial inversible sobre K o un subgrupo matricial de GLn(K).

Aquı se entiende que G es cerrado en GLn(K) con la topologıa rela-tiva heredada de Mn(K) y donde n es un numero natural arbitrario.Antes de considerar unos ejemplos demostramos una proposicion y enunci-

24

Newton Huamanı castro Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg

amos una definicion sugerida.2.2 Proposicion. Sea G ≤ GLn(K) un grupo matricial inversible sobre K.Si H es subgrupo de G, H ≤ G, que tambien es cerrado en G entonces H essubgrupo matricial de GLn(K)Demostracion. Toda sucesion {An}n≥0 en H con lımite en GLn(K) tiene sulımite en G ya que An ∈ H ⊆ G para todo n y G es cerrado en GLn(K).Como H es cerrado en G, significa que {An}n≥0 tiene su lımite en H.Entonces H es cerrado en GLn(K). Ademas ser subgrupo es una relaciontransitiva, esto es, puesto que H ≤ G y G ≤ GLn(K) entonces H ≤ GLn(K).Por tanto H es un subgrupo matricial de GLn(K). �

Este resultado sugiere la siguiente definicion2.3 Definicion. Sea G un grupo matricial inversible sobre K.Se dice que H es subgrupo matricial de G si y solo si H es subgrupo de G,H ≤ G, que tambien es cerrado en G.

A continuacion se presenta ejemplos de gru-pos matriciales inversibles mas notables y deinteres para este trabajo de pregrado2.1 Ejemplo representativo. El mismo conjunto de matrices inversibles,GLn(K), es un grupo matricial inversible ya que es subgrupo de si mismo, esdecir GLn(K) ≤ GLn(K), bajo la multiplicacion de matricespor la proposicion 1.17 y es cerrado en sı mismo puesto queGLn(K) = Mn(K) ∩GLn(K).2.2 Ejemplo representativo. Como SLn(K) es cerrado en Mn(K)por la proposicion 1.18 y SLn(K) = GLn(K) ∩ SLn(K) luego sesigue es cerrado en GLn(K). Mientras por la proposicion 1.17,SLn(K) es un subgrupo de GLn(K) bajo la multiplicacion dematrices. Por tanto SLn(K) es un grupo matricial inversible o sub-grupo matricial de GLn(K).

El conjunto de matrices inversibles denotado por GLn(K) y el conjunto dematrices cuya determinante es uno denotado aquı por SLn(K) son consider-ados, en este trabajo de pregrado, como los conjuntos mas representativos.

En algebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de ma-triz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonalprincipal son todos ceros. Una matriz en Mn(K) es triangular superior,

25


si tiene la forma

a11 a12 · · · · · · · · · a1n

0 a22. . . . . . . . . a2n

0 0. . . . . . . . .

......

.... . . a(n−2)(n−2)

. . ....

......

. . . 0 a(n−1)(n−1)...

0 0 · · · 0 0 ann

,

es decir, aij = 0 si i > j.2.3 Ejemplo Sean los conjuntos de matrices

UT3(R) := {A ∈ GL3(R) : A es triangular superior con a11 6= 0, a22 6=0, a33 6= 0} y

SUT3(R) := {A ∈ GL3(R) : A es triangular superior con a11 = 1, a22 =1, a33 = 1}.

Entonces se prueba que UT3(R) y SUT3(R) son grupos matriciales inversiblessobre R. Ademas, SUT3(R) es subgrupo matricial de UT3(R).En efecto.1. El SUT3(R) es subconjunto de UT3(R), es decir, SUT3(R) ⊂ UT3(R) ⊆GLn(K).2. El SUT3(R) y UT3(R) son estables o cerrados bajo la multiplicacion dematrices

i) Sean A,B ∈ UT3(R),

A =

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

con aii 6= 0 y B =

b11 b12 b13

0 b22 b23

0 0 b33

con bii 6= 0

multiplicando se tiene,

AB =

a11b11 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23 + a13b33

0 a22b22 a22b23 + a23b33

0 0 a33b33

con aiibii 6= 0

es decir, AB ∈ UT3(R).

26


ii) Sean A,B ∈ SUT3(R),

A =

1 a12 a13

0 1 a23

0 0 1

y B =

1 b12 b13

0 1 b23

0 0 1

entonces,

AB =

1 b12 + a12 b13 + a12b23 + a13

0 1 b23 + a23

0 0 1

es decir, AB ∈ SUT3(R).

3. La matriz identidad, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

∈ SUT3(R) ⊂ UT3(R).

4. Existencia del inverso

i) Si A ∈ UT3(R), entonces detA = a11a22a33 ya que

det

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

= (−1)1+1a11det

[a22 a23

0 a33

]+ (−1)1+2a22det

[0 a23

0 a33

]

+(−1)1+3a33det

[0 a22

0 0

].

Observe, que la det de A

es el producto de elementosde su diagonal.

Calculo de A−1(⇔ A−1 = 1

detAtranspuesta de[(−1)i+jdetAij]

)En primer lugar, [(−1)i+jdetAij] es la matriz

(−1)1+1det

[a22 a23

0 a33

](−1)1+2det

[0 a23

0 a33

](−1)1+3det

[0 a22

0 0

]

(−1)2+1det

[a12 a13

0 a33

](−1)2+2det

[a11 a13

0 a33

](−1)2+3det

[a11 a12

0 0

]

(−1)3+1det

[a12 a13

a22 a23

](−1)3+2det

[a11 a13

0 a23

](−1)3+3det

[a11 a12

0 a22

]

despues de un calculo se obtiene

A−1 =

1a11

−a12

a11a22

a12a23−a13a22

a11a22a33

0 1a22

−a23

a22a33

0 0 1a33

∈ UT3(R).

27


ii) Si A ∈ SUT3(R) entonces detA = 1 ya que a11 = a22 = a33 = 1. Portanto

A−1 =

1 −a12 a12a23 − a13

0 1 −a23

0 0 1

5. La funcion coordrs : M3(R)→ R, dada por coordrs(A) = ars es continua,por la proposicion 1.10. Por lo que coord−1

21 {0}, coord−131 {0}, coord−1

32 {0},coord−1

11 {1}, coord−122 {1}, coord−1

33 {1} son cerrados en M3(K), por ser {0} y{1} cerrados en R.Observe que coord−1

21 {0} = {A ∈ M3(R) : coord21(A) = a21 = 0} y tambiennotese

GL3(R) ∩ coord−121 {0} ∩ coord−1

31 {0} ∩ coord−132 {0} = GL3(R) ∩

A ∈M3(R) :a21 = 0,

a31 = 0 ya32 = 0

=

{A ∈M3(R) :

a21 = a31 = a32 = 0,con detA 6= 0

}

=

A ∈M3(R) :matriz triangular

superior,con det(A) 6= 0

=

A ∈M3(R) :

matriz triangularsuperior,

con aii 6= 0para i = 1, 3

= UT3(R).

De lıneas arriba y usando argumentos analogos, se tiene

UT3(R) = GL3(R) ∩ coord−121 {0} ∩ coord−1

31 {0} ∩ coord−132 {0}

SUT3(R) = GL3(R) ∩ coord−121 {0} ∩ coord−1

31 {0} ∩ coord−132 {0} ∩ coord−1

11 {1}∩coord−1

22 {1} ∩ coord−133 {1}

6. De los dos ultimos igualdades, se deduce

SUT3(R) = UT3(R) ∩ coord−111 {1} ∩ coord−1

22 {1} ∩ coord−133 {1}.

Luego por 2, 3, 4 se tiene que UT3(R) y SUT3(R) son subgrupos bajola multiplicacion de matrices. Por 1 se tiene que SUT3(R) es subgrupo

28


matricial bajo la multiplicacion de matrices de UT3(R). De 5 se tiene queSUT3(R) y UT3(R) son cerrados en GL3(R).

Por tanto UT3(R) y SUT3(R) son grupos matriciales inversibles sobreR, ademas por 6 SUT3(R) es subgrupo matricial de UT3(R). �

En el siguiente ejemplo se demuestra el caso de orden n× n2.4 Observacion Sean los conjuntos de matrices

UTn(K) = {A ∈ GLn(K) : A es triangular superior con aii 6= 0, para i = 1, n}SUTn(K) = {A ∈ GLn(K) : A es triangular superior con aii = 1, para i = 1, n}.

Entonces UTn(K) y SUTn(K) son grupos matriciales inversibles sobre K.Ademas, SUTn(K) es subgrupo matricial de UTn(K).En efecto.1. El SUTn(R) es subconjunto de UTn(R), es decir, SUTn(R) ⊂ UTn(R) ⊆GLn(K).2. El UTn(K) y SUTn(K) son estables o cerrados bajo la multiplicacion dematrices

i) Sean A,B ∈ UTn(K),

A =

a11 · · · a1n...

. . ....

0 · · · ann

con aij = 0, i > j B =

b11 · · · b1n...

. . ....

0 · · · bnn

con bij = 0, i > j

entonces,

AB =

a11b11 · · ·∑a1jbin

.... . .

...0 · · · annbnn

con aijbij =

{0 pues aij = 0 para i > j0 pues bij = 0 para i > j

es decir, AB ∈ UTn(K).

ii) Si aii = 1 y bii = 1 entonces aiibii = 1. Por lo tanto si A,B ∈ SUTn(K)implica que AB ∈ SUTn(K).

3. La matriz identidad, In ∈ SUTn(K) ⊂ UTn(K).4. Existencia del inverso

29


i) Si A ∈ UTn(K), entonces detA = a11a22 · · · ann ya que detA1j = 0

para j 6= par. Por tanto A−1 = transpuesta de

1a11· · · 0

.... . .

...Σi

6=0· · · 1

ann

∈UTn(K).

ii) Si A ∈ SUTn(K) entonces detA = 1 y detAij = 0 para i < j.

Por tanto A−1 = transpuesta de

1 · · · 0...

. . ....

Σi

6=0· · · 1

∈ SUTn(K).

5. Por otro lado

UTn(K) = GLn(K) ∩

{⋂i>j

coord−1ij {0}

}

SUTn(K) = GLn(K) ∩ coord−111 {1} ∩ · · · ∩ coord−1

nn{1} ∩

{⋂i>j

coord−1ij {0}

}6. De las dos ultimas igualdades se tiene

SUTn(K) = UTn(K) ∩ coord−111 {1} ∩ · · · ∩ coord−1

nn{1}

Por 2, 3, 4 se tiene que UTn(K) y SUTn(K) son subgrupos bajo la mul-tiplicacion de matrices. Por 1 se tiene que SUTn(K) es subgrupo bajola multiplicacion de matrices de UTn(K). De 5 se tiene que SUTn(K) yUTn(K) son cerrados en GLn(K).Por consiguiente UTn(K) y SUTn(K) son grupos matriciales inversiblessobre K, ademas por 6 SUTn(K) es subgrupo matricial de UTn(K). �

2.5 Ejemplo Podemos hacer que GLn(K) sea un subgrupo matricialde GLn+1(K). Aumentando fila y columna apropiadamente.En efecto. Sea L la aplicacion definida por

L : GLn(K) −→ L(GLn(K)) ⊆ GLn+1(K)A 7−→ L(A) = A′ donde

A′ :=

[A 00 1

]=

a11 · · · a1n 0...

. . ....

...an1 · · · ann 00 · · · 0 1

30


para A =

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

cualquier matriz en GLn(K); entonces las sigu-

ientes propiedades se satisfacen:

i) detA′ = detA,

ii) A′ = B′ si y solo si A = B,

iii) (AB)′ = A′B′,

iv) (A′)−1 = (A−1)′,

v) limn→∞

(An)′ = ( limn→∞

An)′.

En efecto: Sea A, B, An ∈ GLn(K) con limn→∞

An = A y A′ ∈ GLn+1(K),

i) detA′ = det

[A 00 1

]= detA.det1 = detA

ii) A′ = B′ ⇔[A 00 1

]=

[B 00 1

]⇔ A = B

iii) A′B′ =

[A 00 1

] [B 00 1

]=

[AB 00 1

]= (AB)′

iv) (A′)−1 =

[A 00 1

]−1

=

[A−1 0

0 1

]= (A−1)′,

v) limn→∞

(An)′ = limn→∞

[An 00 1

]=

[limn→∞

An 0

0 1

]= ( lim

n→∞An)′.

vi) L(A) = L(B)⇒ A′ = B′ ⇒ A = B

vii) L(AB) = (AB)′ = A′B′ = L(A)L(B)

viii) limn→∞

L(An) = limn→∞

(An)′ = ( limn→∞

An)′ = L( limn→∞

An) = L(A)

31


Por lo tanto L es un homomorfismo de grupos inyectivo tal que la funcionL es continua. Ası, la imagen de L, L(GLn(K)) = {A′ : A ∈ GLn(K)}, essubgrupo matricial de GLn+1(K). �

2.2. Homomorfismo Continuo de Subgrupos Matricialesde GLn(K).En el estudio de grupos la nocion de homomorfismo continuo de gruposcobra un papel principal debido a que preservan algunas propiedadesalgebraicas como topologicas. Por lo que en esta seccion introducimossu definicion luego se pone a luz que el cociente de dos subgruposmatriciales de GLn(K) donde uno de ellos es un subgrupo normaldel otro no necesariamente es subgrupo matricial de GLn(K). Porlo que esta seccion proporcionara una nueva forma de comprobar la hipotesis.

Para relacionar dos grupos se necesita definir una aplicacion que preserve laestructura de grupo por lo que es necesario precisar. Sean (G, �) y (G′, ?)dos grupos, un homomorfismo de grupos es una funcion ϕ : G −→ G′ talque si u, v ∈ G, ϕ(u � v) = ϕ(u) ? ϕ(v).

En la siguiente definicion se entiende que los subgrupos matriciales deGLnK, G y H, tienen la topologıa relativa heredada de Mn(K)2.5 Definicion. Sean G, H dos grupos matriciales inversibles sobre K yϕ : G −→ H un homomorfismo de grupos. Se dice ϕ es un homomorfismocontinuo de subgrupos matriciales si y solo si ϕ es continua y la imagen porϕ, Imϕ = ϕ(G), es un subgrupo matricial de H.

En otras palabras una aplicacion ϕ : G −→ H entre subgrupos matri-ciales es homomorfismo continuo de subgrupos matriciales si:

i) ϕ es un homomorfismo de grupos, con la multiplicacion de matrices,

ii) ϕ es una funcion continua, es decir, para cada {An} con An ∈ G ylimAn = A se tiene limϕ(An) = ϕ(A),

iii) La imagen por ϕ es subgrupo de H, ϕ(G) ≤ H, y es un subconjuntocerrado en H.

En el siguiente ejemplo (2.6) se mues-tra un homomorfismo continuo de subgrupos

32


matriciales. Para este proposito definimos el cırculo unitario complejocon centro en el origen del plano complejo como S1 := {z ∈ C : zz = 1} quepuede ser visto como un grupo matricial sobre C.

2.6 Ejemplo de un homomorfismo continuo de subgrupo ma-tricial.La aplicacion

ϕ : SUT2(R) −→ S1; ϕ

(1 t0 1

)= e2πti

es un homomorfismo continuo de subgrupos matriciales, ademas es sobreyec-tiva.En efecto. Sea z en S1, la circunferencia unitario con centro en el origen delplano complejo, entonces z = cos(2πt) + isen(2πt) = e2πti para algun t ∈ R.Por lo tanto ϕ es sobreyectiva.Para verificar 1: Homomorfismo de ϕ

ϕ

{(1 t10 1

)·(

1 t20 1

)}= ϕ

(1 t1 + t20 1

)= e2π(t1+t2)i = e2πt1i e2πt2i

= ϕ

(1 t10 1

)ϕ

(1 t20 1

).

Para verificar 2 : La continuidad de ϕSea {tn}n∈N una sucesion de numeros reales tales que tn −→ t ∈ R; entonces{(

1 tn0 1

)}n≥1

es una sucesion convergente cualquiera en SUT2(R) y

limn−→∞

ϕ

(1 tn0 1

)= lim

n−→∞e2πtni = e2πti = ϕ

(1 t0 1

).

Para verificar 3 : La imagen de ϕ es subgrupo matricial.La funcion ϕ es sobreyectiva entonces ϕ(SUT2(R)) = S1; que es un subgrupocerrado de C. �

Para que dos grupos sean identicos en estructura algebraica es nece-sario definir una funcion que preserve tal estructura por lo que es necesarioprecisar. Sea ϕ : G −→ G′ un homomorfismo de grupos. Se dice que

33


ϕ : G −→ G′ es un isomorfismo si existe un homomorfismo ϕ−1 : G′ −→ Gtal que ϕ−1 ◦ ϕ = IG y ϕ ◦ ϕ−1 = IG′ . En consecuencia se dice que G y G′

son isomorfos si existe un isomorfismo y se denota por G ∼= G′.El nucleo de ϕ, denotado por Kerϕ, es el conjunto de todos los elementosx ∈ G tales que ϕ(x) = I ′ donde I ′ denota la identidad de G′. La imagen deϕ, denotada por Imϕ, es el conjunto de ϕ(x) con x ∈ G.Sea ϕ : G −→ G′ un Homomorfismo de grupos. Si H es un subgrupo de Gentonces ϕ(H) es un subgrupo de G′. Si H ′ es un subgrupo de G′ entoncesϕ−1(H ′) es un subgrupo de G.Observe que la imagen inversa es un subgrupo del dominio aunque no existauna funcion inversa ϕ−1 para ϕ. En consecuencia Kerϕ es subgrupo de G yImϕ es subgrupo de G′.Sea ϕ : G −→ G′ un Homomorfismo de gru-pos. Si ϕ es biyectiva entonces la funcioninversa ϕ−1 : G′ −→ G es tambien un homomorfismo. Si x ∈ G en-tonces ϕ(x−1) = ϕ−1(x). Tambien, ϕ(IG) = IG′ .

Sean G, H subgrupos matriciales inversibles. Cuando ϕ : G −→ Hes un homomorfismo continuo de subgrupos matriciales y ademas es unhomeomorfismo (es decir, una biyeccion con inversa continua) entonces sedice que ϕ es un isomorfismo continuo de subgrupos de matriciales.En consecuencia se dice que G como H son esencialmente identicos comosubgrupos matriciales de GLn(K).2.6 Proposicion. Sea ϕ : G −→ H un homomorfismo continuo de subgru-pos matriciales de GLn(K). Entonces kerϕ es un subgrupo matricial de G.El grupo cociente, G/kerϕ, puede ser identificado con el subgrupo matricial,ϕ(G), mediante el isomorfismo cociente usual ϕ : G/kerϕ→ ϕ(G).Demostracion. Por ser ϕ un homomorfismo de grupos, kerϕ es subgrupo deG. Veamos si kerϕ es un subconjunto cerrado de G.Sea {gi}i∈N una sucesion de elementos en kerϕ tal que gi → g ∈ G; entonces

ϕ(g) = ϕ( limi→∞

gi) = limi→∞

ϕ(gi) = 0,

por lo tanto g ∈ kerϕ y ası kerϕ es cerrado en G.Por el teorema fundamental de homomorfismo de la teorıa de grupos ϕexiste. �Notese, que ϕ : G/kerϕ → ϕ(G) no necesariamente es un homomorfismocontinuo de subgrupos matriciales dado que G/kerϕ no necesariamente es

34


un grupo matricial inversible.

2.3. Matriz Exponencial y Logaritmo.Las versiones en matrices de las funciones exponenciales y logarıtmicas sonfundamentales en el estudio de subgrupos matriciales; la importancia de lafuncion exponencial en la Teorıa de Lie es que aplica el algebra de Lie deun grupo de Lie en el grupo mismo. En particular en grupos matricialesinversibles como veremos mas adelante.

Las series de potencias exponencial, ex, y logaritmo, ln(x), en el planocomplejo definidas por

ex =∑n≥0

1

n!xn, ln(x) =

∑n≥1

(−1)n−1

nxn, (x ∈ C)

tienen como radio de convergencia infinita (∞) y 1 respectivamente. Esteresultado se puede extender a Mn(K) como veremos a continuacion.

Para A ∈Mn(K) se tiene las siguientes series convergentes en Mn(K)

Exp(A) :=∑n≥0

1

n!An = I + A+

1

2!A2 +

1

3!A3 + · · · ,

Ln(A) :=∑n≥1

(−1)n−1

nAn = A− 1

2A2 +

1

3A3 − 1

4A4 + · · · ,

cuyos radios de convergencia son infinita (∞) y 1, respectivamente.Observe que la serie Exp(A) converge para todo A ∈Mn(K) mientras la serieLn(A) converge para ‖A‖ < 1. En efecto, para A ∈Mn(K) se tiene∥∥∥∥∥

N∑n=0

1

n!An

∥∥∥∥∥ ≤N∑n=0

1

n!‖A‖n∥∥∥∥∥

N∑n=0

1

n!An

∥∥∥∥∥ ≤∞∑n=0

1

n!‖A‖n

0 ≤

∥∥∥∥∥N∑n=0

1

n!An

∥∥∥∥∥ ≤ e‖A‖ = cte donde ‖A‖ ∈ K y N ∈ N,

35


luego, por el criterio de Cauchy para series, la sucesion de sumas parciales{∑Nn=0

1n!An}N∈N

es convergente. Puesto que Mn(K) es un espacio metrico

completo, por la proposicion 1.15, y por criterio de comparacion se deduceque la serie

∑n≥0

1n!An converge a una matriz de Mn(K) para todo A ∈Mn(K).

Analogamente, para la serie Ln(A) se tiene∥∥∥∥∥N∑n=1

(−1)n−1

nAn

∥∥∥∥∥ ≤N∑n=1

1

n‖A‖n ≤

N∑n=1

‖A‖n ≤∞∑n=1

‖A‖n,

luego usando criterios se deduce que la serie Ln(A) :=∑n≥1

(−1)n−1

nAn converge

a una matriz de Mn(K) para ‖A‖ < 1.

Se daran a continuacion una serie de teoremas y proposiciones, deutilidad para este trabajo, las cuales se pueden encontrar en el libro deBaker[5].2.7 Proposicion. Sea A ∈Mn(K).

i) Para u, v ∈ C, Exp((u+ v)A) = Exp(uA)Exp(vA).

ii) Exp(A) ∈ GLn(K) y Exp(A)−1 = Exp(−A).

Demostracion.

i) Desarrollando la serie Exp((u + v)A) =∑

n≥01n!

(u + v)nAn =∑n≥0

(u+v)n

n!An.

36


Por otro lado

Exp(uA)Exp(vA) =

(∑r≥0

ur

r!Ar

)(∑s≥0

vs

s!As

)

=∑

r≥0 s≥0

urvs

r!s!Ar+s

=∑n≥0

(n∑r=0

urvn−r

r!(n− r)!

)An

=∑n≥0

1

n!

(n∑r=0

(nr

)urvn−r

)An

=∑n≥0

(u+ v)n

n!An

= Exp((u+ v)A).

ii) De la parte (i),I = Exp(0) = Exp((1 + (−1))A) = Exp(A)Exp(−A), luego Exp(A)es invertible con inversa Exp(−A). �

Estas propiedades permiten definir la funcion exponencial como la apli-cacion

exp : Mn(K) −→ GLnK; exp(A) := Exp(A) =∑n≥0

1

n!An.

2.8 Proposicion. Si A,B ∈ Mn(K) conmutan entonces exp(A + B) =

37


exp(A)exp(B). Demostracion.

exp(A)exp(B) =

(∑r≥0

1

r!Ar

)(∑s≥0

1

s!Bs

)

=∑

r≥0 s≥0

1

r!s!ArBs

=∑n≥0

(n∑r=0

1

r!(n− r)!

)ArBn−r; haciendo: r + s = n

=∑n≥0

1

n!

(n∑r=0

(nr

)ArBn−r

)

=∑n≥0

1

n!(A+B)n

= exp(A+B).

Tenga en cuenta, que se hace uso crucial de la conmutatividad de A y B en

la identidad∑n

r=0

(nr

)ArBn−r = (A+B)n. �

Igualmente, que para la funcion exponencial, se define la funcionlogaritmo

ln : NMn(K)(I; 1) −→Mn(K); ln(A) := Ln(A− I) =∑n≥1

(−1)n−1

n(A− I)n.

Notese, existe ln(A) para ‖A− I‖ < 1.2.9 Proposicion. Las funciones exp y ln tienen las siguientes propiedades.

i) Si ‖A− I‖ < 1, entonces exp(ln(A)) = A.

ii) Si ‖exp(B)− I‖ < 1, entonces ln(exp(B)) = B.

Demostracion.De las series de potencias formales se derivan las siguientes identidades∑

m≥0

1

m!

(∑n≥1

(−1)n−1

n(x− 1)n

)m

= x,

∑n≥1

(−1)n−1

n

(∑m≥0

1

m!(x)m

)n

= x,

38


reemplazando x por A y B se obtiene lo que se quiere. �

La funcion exponencial es continua en 0n ∈ Mn(K). En efecto, paracualquier ε > 0 existe δ = ln(ε+ 1) tal que si ‖A− 0‖ < δ entonces

‖exp(A)−exp(0n)‖ ≤

∥∥∥∥∥∑n≥1

1

n!An

∥∥∥∥∥ ≤∑n≥1

1

n!‖A‖n <

∑n≥1

1

n!δn = eδ−1 = eln(ε+1)−1 < ε.

Ademas, para r ∈ R+ tenemos

exp(NMn(K)(0; r)) ⊆ NMn(K)(I; er − 1),

ya que para ‖A‖ < r se tiene,

‖exp(A)− I‖ =

∥∥∥∥∥∑n≥1

1

n!An

∥∥∥∥∥ ≤∑n≥1

1

n!‖A‖n <

∑n≥1

1

n!rn = er − 1.

2.10 Proposicion. Sea la funcion exponencial, exp : Mn(R) −→ GLn(R)

dada por exp(A) =∞∑k=0

1k!Ak.

i) La aplicacion exp es inyectiva cuando es restringida a la bola abiertaNMn(R)(0n, ln 2).

ii) La funcion exponencial, exp, es un difeomorfismo de una bola abiertade 0n, en una bola abierta de In.

Demostracion.

i) Sea A,B ∈ NMn(R)(0n, ln 2). como exp(NMn(R)(0n, ln 2)) ⊆NMn(R)(In, 1) entonces exp(A), exp(A) ∈ NMn(R)(In, 1), es decir,‖exp(A)− In‖ < 1 y ‖exp(B)− In‖ < 1.

exp(A) = exp(B)

ln(exp(A)) = ln(exp(B))

A = B.

ii) Esta afirmacion es verdadera porque esun caso particular del teorema 4.9.haciendo G = GLn(R) y g = g = Mn(R). �

39


2.11 Proposicion Para A,B ∈ Mn(C) tal que AB = BA conmutan, setiene

d

dh |h=0exp(A+ hB) = Bexp(A).

Demostracion. Sea A que conmuta con B, AB = BA, entonces

d

dh |h=0

exp(A+ hB) = limh→0

1

h{exp(A+ hB)− exp(A)}

= limh→0

1

h{exp(hB)exp(A)− exp(A)}

=

{limh→0

1

hexp(hB)− lim

h→0

Inh

}exp(A)

=

{limh→0

1

h

∞∑k=0

1

k!(hB)k − lim

h→0

Inh

}exp(A)

=

{limh→0

Inh

+ limh→0

B + limh→0

hB2

2!+ lim

h→0

h2B3

3!− lim

h→0

Inh

}exp(A)

= Bexp(A).

Para la siguiente definicion y lo que restade trabajo se suponen a, b ∈ R tal quea < 0 < b.2.12 Definicion. Una curva diferenciable en Mn(K) es una funcion

γ : (a, b) −→Mn(K)

tal que la derivada de γ en t, γ′(t), existe para cada t ∈ (a, b). Aquı γ′(t)significa un elemento de Mn(K) definido por

γ′(t) = lims→t

γ(s)− γ(t)

s− t,

siempre que este lımite exista.El lımite antes mencionado existe si y solo si existen los n2 limites de variablecompleja o real,

lims→t

γ(s)ij − γ(t)ijs− t

= γ′(t)ij para 1 ≤ i, j ≤ n,

40


donde

γ(s) =

γ(s)11 · · · γ(s)1n...

. . ....

γ(s)n1 · · · γ(s)nn

, γ(t) =

γ(t)11 · · · γ(t)1n...

. . ....

γ(t)n1 · · · γ(t)nn

∈Mn(K).

Considerese la ecuacion diferencial de primer orden

γ′(t) = γ(t)A,

para γ una curva diferenciable en Mn(K) y A una matriz no nula en Mn(K).2.13 Teorema. Para A,C ∈Mn(R) con A no nula, y a < 0 < b, la ecuaciondiferencial

γ′(t) = γ(t)A

tiene una unica solucion γ : (a, b) → Mn(R) con condicion inicial γ(0) = C.Ademas, si C es invertible, entonces tambien lo es γ(t) para cada t en (a, b).Demostracion. En primer lugar resolveremos la ecuacion diferencial sujeta ala condicion de inicial α(0) = I.Para t ∈ 〈a, b〉, la serie∑

k≥0

tk

k!Ak =

∑k≥0

1

k!(tA)k = exp(tA)

converge, por lo que la funcion definida por

α : 〈a, b〉 −→Mn(R); α(t) = exp(tA),

tiene como diferencial

α′(t) =∑k≥1

tk−1

(k − 1)!Ak = exp(tA)A = Aexp(tA).

Por lo tanto α satisface la anterior ecuacion diferencial con condicion inicialα(0) = I.Observe tambien que cuando los valores s, t, (s+ t) ∈ 〈a, b〉, se cumple

α(s+ t) = exp((s+ t)A) = exp(sA)exp(tA) = α(s)α(t).

En consecuencia, haciendo s+ t = 0, se deduce que α(t) es siempre invertiblecon α(t)−1 = α(−t).

41


Una solucion de la ecuacion diferencial su-jeta a la condicion inicial α(0) = C esα(t) = Cexp(tA).Unicidad de solucion: Supongamos que β con β(0) = C es una solucionde la ecuacion diferencial. Entonces γ(t) := β(t)exp(−tA) satisface

γ′(t) = β′(t)exp(−tA) + β(t)d

dtexp(−tA)

= β′(t)exp(−tA)− β(t)exp(−tA)A

= β(t)Aexp(−tA)− β(t)exp(−tA)A

= 0.

Entonces γ(t) es una funcion constante para todo t ∈ 〈a, b〉 conγ(t) = γ(0) = C, ya que γ(0) = β(0)exp(0A) = β(0) = C. Ası pues,β(t) = Cexp(tA) es la unica solucion sujeta a β(0) = C.Si C es invertible entonces Cexp(tA) tambien es invertible para todot ∈ 〈a, b〉. �

2.4. Resultados Utiles de la Matriz Exponencial.En esta seccion se exponen algunos resultados de la funcion exponencialen version matricial, que sera util en la obtencion de algebras de Lie y enalgunas demostraciones posteriores.

2.14 Lema. Sea α : (a, b) −→ Mn(R) una curva diferenciable enMn(R) con α(0) = I. Entonces

d

dt |t=0detα(t) = trα′(0). (2.1)

Demostracion. Sea A ∈Mn(K) y la traza

trA =n∑i=1

aii.

Usando el operador ∂ = ddt

∣∣t=0

que tiene la propiedad de derivacion

∂(γ1γ2) = (∂γ1)γ2(0) + γ1(0)(∂γ2).

Para aij(t) = α(t)ij, evaluando en t = 0

aij(0) = δij.

42


Escribimos con Cij, la matriz cofactor, obtenida suprimiendo la i-esima fila yla j-esima columna de la matriz α(t). Luego la determinante de α(t) usandola n-esima fila es

detα(t) =n∑j=1

(−1)n+janj(t)detCnj(t)

entonces

∂detα(t) =n∑j=1

(−1)n+j{(∂anj)detCnj(0) + anj(0)(∂detCnj)}

=n∑j=1

(−1)n+j(∂anj)detCnj + (∂detCnn).

Para t = 0, detCnj(0) = δjn ya que α(0) = In, lo que implica

∂det(α(t)) = ∂ann + ∂detCnn.

Se repite el calculo para la matriz Cnn de orden (n − 1) × (n − 1), matrizobtenida suprimiendo la n-esima fila y n-esima columna, luego tenemos que

∂det(α(t)) = ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂detC(n−1)(n−1)

...

= ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂a(n−2)(n−2) + · · ·+ ∂a22 + ∂a11

= trα′(0)

�2.15 Lema. Para A ∈Mn(C) tenemos

det exp(A) = etrA. (2.2)

Demostracion. Usando ecuaciones diferencialesHaciendo C× := C− {0} = GL1(C), considerese la curva

γ : R −→ GL1(C) = C×; γ(t) = det exp(tA).

La curva γ satisface la ecuacion diferencial con condicion inicial,{γ′(t) = γ(t)trAγ(0) = 1,

(2.3)

43


En efecto:

γ′(t) = limh→0

det exp((t+ h)A)− det exp(tA)

h

= limh→0

det exp((t)A)exp(hA)− det exp(tA)

h

= det exp(tA) limh→0

det exp(hA)− 1

h

= det exp(tA)d

dt |t=0det exp(tA) por lema 2.14 para t→ exp(tA)

= det exp(tA)trA

= γ(t)tr(A).

Tambien satisface la condicion inicial γ(0) = det exp(0A) = det(I) = 1.

Por otro lado la curva t 7−→ ettrA tambien satisface la ecuacion difer-encial (2.3), por lo tanto utilizando la unicidad de solucion de una ecuaciondiferencial, teorema 2.13, obtenemos que γ(t) = det exp(tA) = et trA. �

La proposicion 2.10 nos permite escoger un r ∈ R con 0 < r ≤ 1/2 < ln(2)de tal forma que si A,B ∈ NMn(R)(0, r) entonces exp(A)exp(B) ∈exp

(NMn(R)(0, ln 2)

).

Puesto que exp es inyectiva sobre NMn(R)(0, ln 2) por la proposion2.10, luego se sigue que existe un unico C ∈Mn(R) tal que

exp(A)exp(B) = exp(C). (2.4)

Utilizando la formula de Campbell-Hausdorff se puede expresar C como unaserie de potencias en A, B y [A,B] de la forma siguiente

C = A+B +1

2[A,B] + S

donde [A,B] := AB − BA (es el conmutador o corchete de Lie en Mn(R))y la matriz S ∈ Mn(R) es el resto que tiene una norma delimitada por unaexpresion de la forma cte(‖A‖+ ‖B‖)cte.2.16 Proposicion. Supongamos las matrices A,B y C en Mn(R) connorma menor que 1/2 tal que exp(A)exp(B) = exp(C). Entonces si

C = A+B +1

2[A,B] + S, (2.5)

44


la matriz S satisface‖S‖ ≤ 65(‖A‖+ ‖B‖)3.

Demostracion.Para X ∈Mn(R) cualquiera con ‖X‖ ≤ 1 se tiene

exp(X) = I +X +R1(X),

donde R1(X) es el resto de terminos dada por

R1(X) =∑k≥2

1

k!Xk.

Entonces,

‖R1(X)‖ ≤ ‖X‖2∑k≥2

1

k!‖X‖k−2,

y como ‖X‖ ≤ 1,

‖R1(X)‖ ≤ ‖X‖2

(∑k≥2

1

k!

)= ‖X‖2(e− 2) < ‖X‖2.

Asi pues, en particular para ‖C‖ < 12

se tiene

‖R1(C)‖ ≤ ‖C‖2 y exp(C) = I + C +R1(C).

Por otro lado, usando (2.5) y el desarrollo de exp(A)exp(B) se tiene

exp(C) = exp(A)exp(B) = I + A+B +R1(A,B),

donde

R1(A,B) =∑k≥2

1

k!

(k∑r=0

k!

r!(k − r)!ArBk−r

)aplicando ‖ ‖ tenemos

‖R1(A,B)‖ ≤∑k≥2

1

k!

(k∑r=0

k!

r!(k − r)!‖A‖r‖B‖k−r

)

=∑k≥2

(‖A‖+ ‖B‖)k

k!

= (‖A‖+ ‖B‖)2∑k≥2

(‖A‖+ ‖B‖)k−2

k!

< (‖A‖+ ‖B‖)2

45


puesto que (‖A‖+ ‖B‖) < 1, debido a que ‖A‖+ ‖B‖ < 12

+ 12< 1 .

Combinando estas dos maneras de escribir exp(C) se tiene

C = A+B +R1(A,B)−R1(C) (2.6)

Luego tenemos

‖C‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖+ ‖R1(A,B)‖+ ‖R1(C)‖< ‖A‖+ ‖B‖+ (‖A‖+ ‖B‖)2 + ‖C‖2

≤ 2 (‖A‖+ ‖B‖) +1

2‖C‖2,

ya que ‖A‖, ‖B‖, ‖C‖ < 12. Finalmente de estos se sigue

‖C‖ ≤ 4 (‖A‖+ ‖B‖) .

De la ecuacion (2.6) tambien tenemos

‖C − A−B‖ ≤ ‖R1(A,B)‖+ ‖R1(C)‖≤ (‖A‖+ ‖B‖)2 + (4(‖A‖+ ‖B‖))2 ,

o sea ‖C − A−B‖ ≤ 17 (‖A‖+ ‖B‖)2 .Ahora vamos a refinar aun mas estas estimaciones. Escribiendo

exp(C) = I + C +1

2C2 +R2(C),

donde

R2(C) =∑k≥3

1

k!Ck.

la estimacion se ajusta aun mas

‖R2(C)‖ ≤ 1

3‖C‖3

ya que ‖C‖ < 12< 1.

Usando la ecuacion (2.5) obtenemos

exp(C) = I + A+B +1

2[A,B] + S +

1

2C2 +R2(C)

= I + A+B +1

2[A,B] +

1

2(A+B)2 + T

= I + A+B +1

2(A2 + 2AB +B2) + T, (2.7)

46


donde

T = S +1

2

(C2 − (A+B)2

)+R2(C).

Por otro lado tenemos

exp(A)exp(B) = I+A+B+1

2

(A2 + 2AB +B2

)+R2(A,B) (2.8)

donde

R2(A,B) =∑k≥3

1

k!

(k∑r=0

k!

r!(k − r)!ArBk−r

),

que satisface

‖R2(A,B)‖ ≤ 1

3(‖A‖+ ‖B‖)3

ya que ‖A‖+ ‖B‖ < 1.Comparando las ecuaciones (2.7) y (2.8) y usando exp(A)exp(B) = exp(C)tenemos que

S = R2(A,B) +1

2

((A+B)2 − C2

)−R2(C).

Tomando normas tenemos

‖S‖ ≤ ‖R2(A,B)‖+1

2‖(A+B)(A+B − C) + (A+B − C)C‖+ ‖R2(C)‖

≤ 1

3(‖A‖+ ‖B‖)3 +

1

2(‖A‖+ ‖B‖+ ‖C‖)‖A+B − C‖+

1

3‖C‖3

≤ 1

3(‖A‖+ ‖B‖)3 +

5

2(‖A‖+ ‖B‖) · 17(‖A‖+ ‖B‖)2 +

1

3(4‖A‖+ ‖B‖)3

≤ 65(‖A‖+ ‖B‖)3,

Por tanto la estimacion obtenida es

‖S‖ ≤ 65(‖A‖+ ‖B‖)3. (2.9)

2.17 Teorema. Para A,B ∈Mn(R) se tiene las siguientes formulas.Formula del Producto Trotter:

exp(A+B) = limr→∞{exp((1/r)A)exp((1/r)B)}r .

47


Formula del Conmutador:

exp[A,B] = limr→∞{exp((1/r)A)exp((1/r)B)exp(−(1/r)A)exp(−(1/r)B)}r

2

.

Demostracion.Demostracion de la Formula del Producto TrotterHaciendo r lo suficientemente grande tomamos U = 1

rA y V = 1

rB y reem-

plazando en exp(U)exp(V ) = exp(C) se tiene

exp(1

rA)exp(

1

rB) = exp(Cr) (2.10)

donde

‖Cr −1

r(A+B)‖ ≤ 17(‖A‖+ ‖B‖)2

r2.

Haciendo r −→∞ en ‖rCr − (A+B)‖ ≤ 17(‖A‖+‖B‖)2r

se tiene

‖rCr − (A+B)‖ =17(‖A‖+ ‖B‖)2

r−→ 0.

Por tanto rCr −→ (A + B). Como exp(rCr) = exp(Cr)r, y exp es continua

en su dominio, entonces se obtiene

exp(A+B) = limr→∞{exp((1/r)A)exp((1/r)B)}r .

Demostracion de la Formula del conmutador.De exp(1

rA)exp(1

rB) = exp(Cr), se tiene

Cr =1

r(A+B) +

1

2r2[A,B] + Sr donde ‖Sr‖ ≤ 65

(‖A‖+ ‖B‖)3

r3.

Similarmente, reemplazando A, B con −A, −B en (2.10) se obtiene

exp((−1/r)A)exp((−1/r)B) = exp(C ′r),

dondeC ′r = −1

r(A+B) + 1

2r2[A,B] + S ′r y ‖S ′r‖ ≤ 65 (‖A‖+‖B‖)3

r3.

Multiplicando estos resultados se obtiene

exp(1

rA)exp(

1

rB)exp(−1

rA)exp(−1

rB) = exp(Cr)exp(C

′r) = exp(Er),

48


donde

Er = Cr+C′r+

1

2[Cr, C

′r]+Tr =

1

r2[A,B]+

1

2[Cr, C

′r]+Sr+S

′r+Tr. (2.11)

Aquı Tr es el resto, proposicion 2.16.Haciendo los calculos se tiene,

[Cr, C′r] = [

1

r(A+B) +

1

2r2[A,B] + Sr,

−1

r(A+B) +

1

2r2[A,B] + S ′r]

=1

r3[A+B, [A,B]] +

1

r[A+B, Sr + S ′r] +

1

2r2[[A,B], S ′r − Sr] + [Sr, S

′r].

Puesto que r ≥ 1, ‖Sr‖ ≤ cter3

, ‖S ′r‖ ≤ cter3

entonces∥∥∥∥ 1

r3[A+B, [A,B]]

∥∥∥∥ ≤ 1

r32‖A+B‖‖[A,B]‖ ≤ 4

r3=cte

r3;

∥∥∥∥1

r[A+B, Sr + S ′r]

∥∥∥∥ ≤ 1

r2‖A+B‖‖Sr+S ′r‖ ≤ 2‖Sr+S ′r‖ ≤ 2

(cte

r3+cte

r3

)=cte

r3;∥∥∥∥ 1

2r2[[A,B], S ′r − Sr]

∥∥∥∥ ≤ 1

2r22‖[A,B]‖‖S ′r−Sr‖ ≤

1

r2(‖S ′r‖+‖Sr‖) ≤

cte

r3+cte

r3=cte

r3;

por ultimo ‖[Sr, S ′r]‖ ≤ 2‖Sr‖‖S ′r‖ ≤ 2 cter3· cter3≤ cte

r3. Entonces [Cr, C

′r] tiene

una norma delimitada por una expresion de la forma (constante)/r3.De (2.11) tenemos Er − 1

r2[A,B] = 1

2[Cr, C

′r] + Sr + S ′r + Tr y ademas

‖Tr‖ ≤ cter3

. Luego se deduce que Er − 1r2

[A,B] tiene una norma delimitadapor una expresion de la forma (constante)/r3.

ConsideremosQr = r2Er − [A,B].

Luego aplicando norma

‖Qr‖ = ‖r2Er − [A,B]‖ = |r2|‖Er −1

r2[A,B]‖ ≤ |r2|(constante)

r3

Haciendo r −→∞ se tiene

‖Qr‖ ≤(constante)

r−→ 0,

49


o sea, Qr −→ 0. Como r2Er = [A,B]+Qr entonces exp(r2Er) = exp([A,B]+Qr). Puesto que exp es continuidad y haciendo r −→ 0, se sigue

exp(Er)r2 = exp([A,B] +Qr) −→ exp([A,B]).

Puesto que exp(Er) = exp(1rA)exp(1

rB)exp(−1

rA)exp(−1

rB) entonces

exp([A,B]) = limr→∞

{exp(

1

rA)exp(

1

rB)exp(−1

rA)exp(−1

rB)

}r2.

�

50

Capitulo 2 libroinvestigación

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