Capítulo 151 Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III da assíntota da distribuição dos valores dos extremos e sua aplicação a problemas de engenharia, ...

Curso de Manejo de águas pluviais

Capitulo151- Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III

Engenheiro Plínio Tomaz 25 de junho de 2016 [email protected]

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Capítulo 151 Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III




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Capitulo 151- Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III

151.1 Introdução

Quando queremos a máxima precipitação, o máximo vento, o máximo pico de vazão, etc,

usamos:

1- Distribuição de Gumbel dos valores extremos (Brasil, Canadá)

2- Distribuição Log-Pearson Tipo III ( Estados Unidos)

No Brasil e Canadá é muito usada a distribuição de Gumbel quando queremos a

máxima precipitação, a máxima enchente, etc. Nos Estados Unidos o uso mais frequente é a

Distribuição Log-Pearson Tipo III que é recomendada por vários órgãos públicos.

Citando um pouco de história, a primeira pessoa que começou os estudos dos valores

dos extremos foi L. von Bortkiewicz em 1922.

Curiosamente para nós brasileiros, Gumbel, 1958 que é o livro clássico de estatística

dos extremos, cita no primeiro capítulo do seu livro, a Tese na Universidade de São Paulo, o

brasileiro Rui Aguiar da Silva Leme que em1954 fez uma exposição sistemática do

tratamento da assíntota da distribuição dos valores dos extremos e sua aplicação a

problemas de engenharia, especialmente para a segurança das estruturas.

O dr. Rui foi meu professor de estatística e economia na Escola Politécnica da USP e

ele chegou a ser Presidente do Banco Central. Escreveu também um livro de Estatística.

Outra curiosidade, é que Gumbel é alemão de nascimento (Munique) e seu nome

completo é Emil Julius Gumbel.

151.2 Noções de estatística

Vamos mostrar algumas noções de estatística algumas equações do momento: média,

desvio padrão e desvio padrão.

Média X

É a soma dos dados dividido pelo número deles.

Em Excel: X= MEDIA (A1:A50)

Desvio padrão S

É a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças da media dividido por n-1.

Em Excel: S= DESVPAD (A1:A50)

Coeficiente de variação Cv

É o quociente entre o desvio padrão e a média.

Cv= S/ X




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151-4

Distribuição normal

Figura 151.1- Curva normal

Skewness (g)

Dá uma idéia se a curva normal está distorcida para a direita ou para a esquerda. O Skewness

mede a simetria da curva e quando g=0 temos simetria perfeita, isto é, a curva normal.

Em Excel: SKEW= DISTORÇÃO (A1:A50)

Figura 151.2- A esquerda temos skewness positivo e a direita skewness negativo




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151.3 Distribuição de Gumbel A distribuição de Gumbel foi introduzida em 1941 e é chamada de Distribuição de Gumbel ou

simplesmente Gumbel. O objetivo é achar a máxima enchente de um rio, a máxima precipitação, o

máximo vento, etc.

Tenho usado a distribuição de Gumbel em regiões onde não existe uma equação de chuva

intensa, mas existe muitos dados de precipitação diária através de pluviômetros. Com os dados das

precipitações diárias usamos a distribuição de Gumbel para vários períodos de retorno e depois

usamos as relações entre as precipitações, transformando as chuvas de um dia para 24h. Depois

usamos a relação de precipitações para chuvas de 24h para chuvas de 1h e assim por diante. Isto está

no meu livro Cálculos Hidrológicos e Hidráulicos para obras municipais no capítulo de Chuvas

Intensas.

Uma vez em um congresso de Biodiversidade e Recursos Hídricos conversei com um

engenheiro peruano que morava no interior do Peru e que sua cidade não tinha equação de chuva,

mas tinha somente as precipitações diárias de mais de 30 anos. Dei o meu livro já citado de

presente para o mesmo para servir de modelo nos cálculos. Você não obtém a equação chuva

intensa, mas uma tabela para diversos períodos de retornos e diversos tempos de duração da chuva

desde 24h até 5min que serve para uso em cálculo precisando as vezes de uma pequena interpolação

linear.

Primeiramente vamos mostrar a distribuição de Gumbel conforme Righeto, 1998 que é a mais

usada no Brasil e de fácil aplicação, existindo inclusive programas em Excel, bastando entrar com

os dados das precipitações diárias. Temos muito utilizado a distribuição de Gumbel conforme

Righeto, 1998.

151.4 Distribuição de Gumbel conforme Righeto

Vamos explicar a Distribuição de Gumbel usando um exemplo da cidade de Guarulhos usando

dados do Posto Bonsucesso com dados de 58 anos conforme Tabela (151.1) para Tr=25anos.

Righeto usa os mesmos critérios de Ven Te Chow, 1988 e da ASCE, 1996.

Tabela 151.1- Precipitações máximas diárias anuais do Posto Bonsucesso em Guarulhos

Posto pluviométrico de Bonsucesso Guarulhos

Ano

Precipitação máxima diária

anual (mm)

Ano

Precipitação máxima

diária anual (mm)

1940 47 1981 59,2

1941 70,3 1982 112,5

1942 85,2 1983 85,6

1943 64 1984 56,5

1944 87,4 1985 44,4

1945 88,3 1986 93,2

1946 76,2 1987 107

1947 96 1988 88,2

1948 60,41 1989 76,5

1949 135,6 1990 85,1

1950 80,6 1991 76,3

1951 118,4 1992 146,2

1952 54,6 1993 39,9




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1953 70,8 1994 51,5

1954 57,1 1995 67,2

1955 45,5 1996 71,9

1956 74,6 1997 57,9

1957 67,9 média 75,08 mm

1958 57,2 desvio padrão 23,29 mm

1959 59,5

1960 83,9

1961 59,2

1962 97,6

1963 59,8

1964 52,5

1965 66,5

1966 60,6

1967 68,5

1968 90

1969 43

1970 57,6

1971 68,9

1972 43,4

1973 68,4

1974 53,7

1975 87,1

1976 69,5

1977 118

1978 117,9

1979 80,2

1980 92,8

Para analisar as maiores precipitações para fins de projeto hidráulicos, é usada a distribuição

de Gumbel, conforme Righeto, 1998 página 190.

= 6 0,5 . S /

= ( – 0,577 . )

sendo S = desvio padrão = 23,29mm e = média = 75,08mm achamos os parâmetros e .

= 18

=64,69

Na distribuição de Gumbel, conforme Righeto, 1998 página 219 temos:

P( 1 dia; T) -

--------------------- = - ln ( ln ( 1 / F (P(dia; T))))




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sendo F ( P(dia ;T)) = 1 – (1 / T )

T= período de retorno e

ln= logaritmo neperiano.

Como exemplo, para período de retorno T= 25 anos

F (P( 1dia ; 25)) = 1 – (1 / 25) = 1-0,04 =0,96

P( 1 dia; 25) -

--------------------- = - ln ( ln ( 1 / 0,96)) =3,1985

P( 1 dia; 25) – 64,69

------------------------------ = 3,1985

18

P( 1 dia; 25) – 64,69 = 3,1985 . 18 = 57,57

P( 1 dia; 25) – 64,69 = 57,57 + 64,69 =122,26mm

Para isto façamos a Tabela 152.2 onde acharemos os valores de P (dia; T) para um período de

retorno de 2, 5 , 10, 15, 20, 25, 50 e 100 anos.

Tabela 151.2-Cálculo das precipitações máximas de 1 dia em milímetros, para vários períodos

de retorno usando a distribuição de Gumbel

Variáveis Valores obtidos usando a distribuição de Gumbel

β 18,00 18,00 18,00 18,00 18,00 18,00 18,00 18,00

α 64,7 64,7 64,7 64,7 64,7 64,7 64,7 64,7

Período de retorno

T

2 5 10 15 20 25 50 100

F(1dia;T) 0,50 0,80 0,90 0,93 0,95 0,96 0,98 0,99

P( 1dia;T) (mm) 71,30 91,70 105,21 112,8

3

118,16 122,26 134,93 147,50




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151.5 Distribuição de Gumbel conforme Subramanya, 2008 Vamos fazer uma aplicação prática de Gumbel. XT= Xm + K . σ Sendo: XT= valor extremo para um determinado período de retorno Xm= valor médio da amostra σ = desvio padrão da amostra K= fator de frequência determinado por: K= (yT – yn) / Sn Sendo: K= fator de frequência yT= - ( Ln (Ln (T/ (T-1)))) T= período de retorno (anos) yn= média reduzida fornecida pela Tabela (151.3) em função do tamanho da amostra N Nota 1: quando n —> ∞ yn= 0,577 N= tamanho da amostra. Sn= desvio padrão reduzido fornecido pela Tabela (151.4) em função do tamanho da

amostra. Nota 2: quando n —> ∞ Sn= 1,2825 Tabela 151.3- Valores da média reduzida yn para o método de Gumbel em função do

tamanho da amostra N

Fonte: Subramanya, 2008




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Tabela 151.4- Valores do desvio padrão reduzido Sn para o método de Gumbel em

função do tamanho da amostra N

Fonte: Subramanya, 2008 Exemplo 151.1 Usando os dados de N=58 anos de precipitações máximas de Guarulhos, achar a

precipitação máxima par Tr=100anos usando o Método de Gumbel conforme apresentação de Subramanya, 2008.

Periodo de retorno desejado: Tr=T= 100 anos Média da amostra: Xm= 75,08mm Desvio padrão da amostra: σ= 23,29mm Cálculo de yT yT= - ( Ln (Ln (T/ (T-1)))) yT= - ( Ln (Ln (100/ (100-1)))) = 4,60 Cálculo de K K= (yT – yn) / Sn Conforme Tabela (151.3) vamos achar o valor de yn entrando com N=58 que é o

tamanho da amostra. Então achamos yn= 0,5515 Conforme Tabela (151.4) vamos achar o valor Sn entrando com N=58 que é o

tamanho da amostra. Então achamos Sn= 1,1721 K= (yT – yn) / Sn K= (4,60 – 0,5515) / 1,1721 = 3,45 Portanto, conforme Gumbel o valor máximo da precipitação diaria em Guarulhos é: XT= Xm + K . σ Média da amostra: Xm= 75,08mm Desvio padrão da amostra: σ= 23,29mm




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XT= 75,08 + 3,45x 23,29= 155,53mm Portanto, a precipitação máxima diaria para Tr=100anos é 155,53mm.

Verifique que o valor obtido foi de 155,53mm que é maior que o obtido usando Righeto, 2008 que foi de 147,50mm. O motivo é que Subramanya, 2008 considera a amostra e não o valor infinito da amostra.

151.6 Limite de confiança

Subramanya, 2008 estima de uma maneira bem simples o limite de confiança. O limite de confiança da amostra xT será:

x1= xT + f(c) . Se x2= xT – f(c) . Se

O valor f(c) é obtido na Tabela (151.5) conforme a escolha da probabilidade de

confiança desejada. O valor de Se é obtido da seguinte maneira: Se = b. σ / N 0,5

Sendo: Se= erro provável σ= desvio padrão da amostra N= número de amostras b= fornecido pela equação: b= ( 1+1,3K + 1,1K2) 0,5 O valor de K é o mesmo obitdo anteriormente: K= (yT – yn) / Sn Tabela 151.5- Valores de f(c) em função da confiança da probabilidade escolhida

c em % 50 68 80 90 95 99

f (c) 0,674 1,00 1,282 1,645 1,96 2,58


Exemplo 151.2 Para o exemplo anterior calcular o intervalo de confiança para 95% de probabilidade a

precipitação máxima diaria para Guarulhos. XT= 155,53mm (já calculado) K= 3,45 ( já calculado) b= ( 1+1,3K + 1,1K2) 0,5 b= ( 1+1,3x3,45 + 1,1x3,452) 0,5 b= 4,31 Se = b. σ / N 0,5

Se = 4,31x3,45 / 58 0,5

Se=13,19




151-11

Escolhida a probabilidade de 95% entrando na Tabela (151.5) achamos f (c)= 1,96.

x1= xT + f(c) . Se x2= xT – f(c) . Se

x1= 155,53 + 1,96x 13,19= 181,39

x2= 155,53 – 1,96x 13,19= 129,67

Portanto, o intervalo de confiança com 95% de probabilidade é que a o valor

máximo para Tr=100anos esteja entre 129,67mm e 181,39mm. Informamos que achamos 155,53mm.

Exemplo 151.2- Extraído e adaptado de Subramanya, 2008. Usando o método de Gumbel achar as vazões máximas em um rio para diversos períodos

de retorno: 2anos, 10 anos, 25 anos, 50anos, 100 anos, 200 anos, 500 anos e 1000 anos, bem como o intervalo de confiança cujos dados estão na Tabela (151.6).

Dados: Tabela 151.6- Dados de vazão observada máxima por ano

Ano

Vazão

observada

(m3/s)

1 7826

2 6900

3 6771

4 6599

5 5060

6 5050

7 4903

8 4798

9 4652

10 4593

11 4366

12 4290

13 4175

14 4124

15 3873

16 3757

17 3700

18 3521

19 3496

20 3380

21 3320

22 2988




151-12

23 2947

24 2947

25 2709

26 2399

27 1971

N= 27

Media= 4263,52

Desvio padrão=

1433,25

Tabela 151.7- Cálculos

T= 2 10 25 50 100 200 500 1000

yt= 0,37 2,25 3,20 3,90 4,60 5,30 6,21 6,91

Tabela yn= 0,53320 0,53320 0,53320 0,53320 0,53320 0,53320 0,53320 0,53320

Tabela Sn= 1,10040 1,10040 1,10040 1,10040 1,10040 1,10040 1,10040 1,10040

K= -0,15 1,56 2,42 3,06 3,70 4,33 5,16 5,79

xt= 4046 6500 7735 8651 9561 10467 11662 12566

Intervalo de confiança

Para 95% f© 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96

b= 0,91 2,39 3,26 3,91 4,56 5,22 6,08 6,74

Se= 251,04 658,96 898,13 1078,53 1258,89 1439,40 1678,33 1859,32

x1= 4538 7792 9495 10765 12028 13288 14952 16210

x2= 3554 5209 5975 6537 7093 7646 8373 8921

Observar na Figura (151.3) que colocamos todos os periodos de retorno e as vazões de

pico para os mesmos e que se encontram em uma reta conforme observado por Subramanya, 2008.




151-13

Figura 151.3- Vazões em função do periodo do retorno em papel com abcissa com logaritmos




151-14

151.7 Distribuição LogPearson Tipo III No Brasil usamos para os extremos a distribuição de Gumbel, mas os americanos

usam geralmente a distribuição Log-Pearson Tipo III que muitas vezes é denominada simplesmente de LP3I.

Para isto vamos usar logaritmo na base 10. z= log x Trabalharemos com a função z e teremos a média zm e o desvio padrão σz. ZT= Zm + Kz . σz Sendo: ZT= média dos logaritmos Zm= valor médio dos logartimos Kz= obtido pela Tabela (151.8) em função de Tr e de Cs (skew). A distorção (skewness)

pode ser positiva ou negativa. σz = desvio padrão dos logaritmos Depois que calculamos usamos o antilogaritmo, ou seja, a definição de

logaritmo na base 10 é: Log b= a 10 a =b A única diferença está no coeficiente skew Cs que deve ser determinado e

depois entrado em uma tabela para achar o coeficiente Kz em função do período de retorno T e do coeficiente de skew Cs.

O valor do coeficiente de Skew Cs é determinado por:

Cs= [ N .∑ (z – zm) 3 ]/ [ (N-1) (N-2) σz 3 ]

Sendo: Cs= coeficiente de skew (distorção) N= tamanho da amostra z= valores obtidos z= log x zm= média dos valores z obtidos

Quando o skew é positivo significa que a distorção é para a esquerda e quando negativo a distorção é para a direita já mostrado na Figura (151.2).

Subramanya, 2008 salienta que quando Cs=0 a distribuição Log-Pearson Tipo III se reduz a uma distribuição log-normal.




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Tabela 151.8- Valores de Kz em funçao de Tr e de Cs (skew)





151-16

Exemplo 151.3 Os dados são os mesmos de Guarulhos só que esta vez iremos usar a distribuição Log-

Pearson III.

Tabela 151.9- Cálculos de z e (z-zm)3 usando Log-Pearson Tipo III

Ano

Precipitação

máxima

diária anual

(mm)

z=log x

(z-zm)3

1940 47 1,672098 -0,00626

1941 70,3 1,846955 -8,3E-07

1942 85,2 1,93044 0,000407

1943 64 1,80618 -0,00013

1944 87,4 1,941511 0,000618

1945 88,3 1,945961 0,00072

1946 76,2 1,881955 1,68E-05

1947 96 1,982271 0,001996

1948 60,41 1,781109 -0,00043

1949 135,6 2,13226 0,021003

1950 80,6 1,906335 0,000125

1951 118,4 2,073352 0,010218

1952 54,6 1,737193 -0,00169

1953 70,8 1,850033 -2,5E-07

1954 57,1 1,756636 -0,00099

1955 45,5 1,658011 -0,0078

1956 74,6 1,872739 4,4E-06

1957 67,9 1,83187 -1,5E-05

1958 57,2 1,757396 -0,00097

1959 59,5 1,774517 -0,00055 1960 83,9 1,923762 0,000306

1961 59,2 1,772322 -0,00059

1962 97,6 1,98945 0,002358

1963 59,8 1,776701 -0,00051

1964 52,5 1,720159 -0,00253

1965 66,5 1,822822 -3,8E-05

1966 60,6 1,782473 -0,0004

1967 68,5 1,835691 -8,8E-06

1968 90 1,954243 0,000938

1969 43 1,633468 -0,01107

1970 57,6 1,760422 -0,00088

1971 68,9 1,838219 -6E-06

1972 43,4 1,63749 -0,01048




151-17

1973 68,4 1,835056 -9,7E-06

1974 53,7 1,729974 -0,00202

1975 87,1 1,940018 0,000586

1976 69,5 1,841985 -3E-06

1977 118 2,071882 0,010012

1978 117,9 2,071514 0,009961

1979 80,2 1,904174 0,000109

1980 92,8 1,967548 0,001375

1981 59,2 1,772322 -0,00059

1982 112,5 2,051153 0,007392

1983 85,6 1,932474 0,000441

1984 56,5 1,752048 -0,00113

1985 44,4 1,647383 -0,00913

1986 93,2 1,969416 0,001445

1987 107 2,029384 0,005181

1988 88,2 1,945469 0,000708

1989 76,5 1,883661 2,04E-05

1990 85,1 1,92993 0,000398

1991 76,3 1,882525 1,79E-05

1992 146,2 2,164947 0,029388

1993 39,9 1,600973 -0,01666

1994 51,5 1,711807 -0,00302

1995 67,2 1,827369 -2,4E-05

1996 71,9 1,856729 5,32E-11

1997 57,9 1,762679 -0,00082

Soma= 0,026991




151-18

Tabela 151.10- Cálculos usando Log-Pearson Tipo III

Media= zm= 1,86

Desvio padrão=σz 0,13

Subramanya

T=Tr= 100

Cs= 0,23

Kz= 2,50

xt= 2,18

antilog= 10 2,18= 150,98


Para 95% f(c)= 1,96

b= 3,34

Se= 0,06

x1= 2,29

x2= 2,07

antlog= 194,83

antlog= 116,99

Usando a definição de logaritmo achamos o valor para Tr=100anos de

150,98mm para precipitação máxima de um dia. O intervalo de confiança para 95% de probabilidade estará entre 116,99mm e

194,83mm;




151-19

Exemplo 15 1.4 Calcular a vazão máxima de um rio para Tr=100 anos usando LogPearson Tipo III Tabela 151.11- Calculo usando LogPearson Tipo III

Vazao

Ano z=log x (z-Zm)^3

1 7826 3,89354 0,02349186

2 6900 3,838849 0,01244022

3 6771 3,830653 0,01116622

4 6599 3,819478 0,00957376

5 5060 3,704151 0,00091296

6 5050 3,703291 0,00088892

7 4903 3,690462 0,00057846

8 4798 3,68106 0,00040391

9 4652 3,66764 0,00022144

10 4593 3,662096 0,00016598

11 4366 3,640084 3,5753E-05

12 4290 3,632457 1,6227E-05

13 4175 3,620656 2,4693E-06

14 4124 3,615319 5,4703E-07

15 3873 3,588047 -6,96E-06

16 3757 3,574841 -3,37E-05

17 3700 3,568202 -5,904E-05

18 3521 3,546666 -0,0002212

19 3496 3,543571 -0,0002569

20 3380 3,528917 -0,0004786

21 3320 3,521138 -0,0006361

22 2988 3,475381 -0,0022874

23 2947 3,46938 -0,0026144

24 2947 3,46938 -0,0026144

25 2709 3,432809 -0,0052982

26 2399 3,38003 -0,0117141

27 1971 3,294687 -0,030504

0,00317381

N= 27

Media= 3,61

Desvio padrão=

0,14




151-20

Tabela 151.12- Calculo usando LogPearson Tipo III

N= 27

Media= 3,61

Desvio padrão= 0,14

Subramya

Tr= 100

Cs= 0,05

Kz= 2,36

xt= 3,94

antlog= 8798


Para 95% f©= 1,96

b= 3,20

Se= 0,09

x1= 4,12

x2= 3,77

antlog= 13074

antlog= 5920

A vazão máxima de pico conforme LogPearson Tipo III é 8.798 m3/s e com

95% de confiança o intervalo varia de 5.920 m3/s a 13.074 m3/s. 151.8 Comentários Tabela 151.13- Comparação Gumbel e LogPearson Tipo III

Distribuição Màxima Intervalo de confiança com 95% de probabilidade

Gumbel 9.561m3/s 7.093 a 12.028

LogPerson Tipo III 8.798 m3/s 5.920 a 13.094

Usando dados metereológicos de chuvas diárias de Guarulhos durante 58 anos

obtivemos os valores das precipitações máximas diárias que estão na Tabela (151.11). Tabela 151.14- Sumário para precipitação máxima diária para Tr=100anos com dados

de 58 anos em Guarulhos

Modelo usado Precipitação máxima diária

Gumbel (Righeto, Chow, ASCE) 147,50mm

Gumbel (Subramanya) 155,53mm

Log-Pearson Tipo III 150,98mm




151-21

151.9 Bibliografia e livros consultados -ASCE (AMERICAN SOCIETY OF CIVIL ENGINEERS). Hydrology handbook, 2a ed.1996, ISBN 0-7844-0138-1, 784 páginas. -BEIRLANT, JAN et all. Statistics of extremes. Theory and applications. USA, 2005. Editora John Wiley &Sons, ISBN 10: 0-471-97647-4 (H/B) -CHOW, VEN TE. Applied hydrology, Mcgraw-hill, 1988, 572 páginas. ISBN 07-100174-3. -GUMBEL, E. J. Statistics of extremes. USA, 1958, Editora LPBM, ISBN 978-1-62654-987-6, 375 páginas. -PONCE, VICTOR MIGUEL. Engineering hydrology. Prentice-Hall, 1989,, ISBN 0-13-

315466-1, 640 páginas. -RIGHETTO, ANTONIO MAROZZI. Hidrologia e Recursos Hídricos. 1a ed. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos-USP, 1998, 819 páginas. -SUBRAMANYA, K. Engineering hydrology. 3ª ed. Tata McGraw-Hil, New Delhi, 2008, ISB 978-0-07-015146-8, 434 páginas.

-SUBRAMANYA, K. Engineering Hydrology. 4ª ed. New Delhi, McGraw Hill, 2013,

ISBN (13) 978-9-38-328653-9 com 534 páginas. -TOMAZ, PLINIO. Cálculos hidrológicos e hidráulicos. Navegar, 2ª ed. 2011, 592 páginas. -TUCCI, CARLOS E. M. Hidrologia. ABRH, 1993, 943 páginas. -WANIELISTA, MARTIN et al. Hydrology. 2ª ed. John /Wiley & Son, 1977, ISBN 0-471-07259-1, 566 páginas.

Capítulo 151 Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III da assíntota da distribuição dos valores dos extremos e sua aplicação a problemas de engenharia, ...

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