Capítulo 12 - Gravitação

Capıtulo 12 - Gravitacao

RODRIGO ALVES DIAS

Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 2 - Termodinamica e Ondas

Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a

Editora: Pearson - Addisson and Wesley

16 de maio de 2013


Objetivos de AprendizagemAo estudar este capıtulo voce aprendera:

I Como calcular as forcas gravitacionais que dois corposquaisquer exercem um sobre o outro.

I Como relacionar o peso de um objeto a expressao geral para aforca gravitacional.

I Como usar e interpretar a expressao geral para a energiapotencial gravitacional.

I Como relacionar a velocidade, o perıodo orbital e a energiamecanica de um satelite em uma orbita circular.

I As leis que descrevem os movimentos dos planetas, e comoutiliza-las.

I O que sao buracos negros, como calcular suas propriedades ecomo eles sao encontrados.










































Introducao

As leis de Kepler do movimento de planetas

A palavra planeta vem do grego e significa ‘errante’. Pois, os planetas mudamconstantemente de posicao no ceu em relacao ao fundo das estrelas.

Exitos intelectuais dos seculos XVI e XVII:

1. A Terra tambem e um planeta.(Nicolau Copernico)

2. Todos os planetas descrevem orbitas em torno do Sol.(Nicolau Copernico)

3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra podem ser usados paradeterminar suas orbitas.(Johannes Kepler, Tycho Brahe)

4. Sugestao: Vejam o filme Alexandria.


Introducao









Introducao








As tres leis(empıricas) de Kepler:

1. Cada planeta se move em uma orbita elıptica, com o Sol ocupando um dosfocos da elipse.

2. A linha que liga o Sol a um planeta varre areas iguais em intervalos detempos iguais.

3. O perıodo de um planeta e proporcional a potencia 3/2 do comprimento doeixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.


Introducao













Introducao













Introducao












Kepler nao sabia por que os planetas se moviam desse modo.


Introducao

Na natureza existem 4 tipos de forcas fundamentais:

I Forcas Gravitacionais.

I Forcas Eletromagneticas.

I Forca Nuclear Forte.

I Forca Nuclear Fraca.

I Por que a Lua nao cai sobre a terra?

I Por que os planetas se deslocam no ceu?

I Por que a Terra nao sai voando pelo espaco ao inves de permanecer em orbita

ao redor do Sol?


Introducao









ao redor do Sol?


Introducao









ao redor do Sol?

Resposta: → Lei da Gravitacao de Newton!Newton mostrou, que a interacao que faz uma maca cair e amesma que mantem os planetas em orbita ao redor do Sol!


Lei de Newton da gravitacao


O Peso e a forca de atracao gravitacional que um planeta exerce sobre os corpos.





A forca de atracao gravitacional e dada pela Lei da Gravitacao de Newton, e diz que:

I Cada partıcula do universo atrai qualquer outra partıcula com uma forcadiretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamenteproporcional ao quadrado da distancia entre as partıculas.

I Matematicamente: ~F1 = −~F2 = G m1m2r2 r , onde;

I ~F1(~F2) e a forca, sentida pelo corpo 1(2) devido ao corpo 2(1), medida emnewtons;

I G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2 e a constante gravitacional universal.

I m1 e m2 sao as massas dos corpos, medidas em quilogramas;

I r e a distancia entre os dois corpos, medida em metros;

I r = ~r/r o vetor unitario(versor) do vetor ~r que liga o corpo 1 ao corpo 2.























































































Determinacao do valor de G



Gravitacao e corpos de simetria esferica

I A Lei da gravitacao foi enuncianda em termos da interacao entre partıculas.

I Para dois corpos com distribuicao de massa com simetria esferica verifica-se que:

I Suas interacoes gravitacionais sao iguais a de duas partıculasde mesma massa localizadas no centro geometrico de cadacorpo.



Gravitacao e corpos de simetria esferica

I A Lei da gravitacao foi enuncianda em termos da interacao entre partıculas.

I Para dois corpos com distribuicao de massa com simetria esferica verifica-se que:

I Suas interacoes gravitacionais sao iguais a de duas partıculasde mesma massa localizadas no centro geometrico de cadacorpo.



Massa e Peso e Campo Gravitacional

I Seja um corpo de massa m na superfıcie deum planeta de massa M e raio R.

I Seja ~P0 o peso do corpo na altitude zero e~g0 a aceleracao da gravidade.

I Da 2a Lei de Newton:






I Da 2a Lei de Newton:






I Da 2a Lei de Newton:~Fr = m~a = ~P = −

GmM

R2R = m~g0







GmM

R2R = m~g0

~g0 = −GM

R2R

I O modulo da gravidade sera:g = GMR2 assim:

I Terra: M = 5, 978× 1024kg e R = 6380, 14km ; gT = 9, 91m/s2 PT = 9, 91N.

I Lua: M = 7, 349× 1022kg e R = 174, 4km ; gL = 1.64m/s2 PL = 1, 64N.







GmM

R2R = m~g0

~g0 = −GM

R2R










GmM

R2R = m~g0

~g0 = −GM

R2R










GmM

R2R = m~g0

~g0 = −GM

R2R




I Note que a massa de um corpo nao muda de um planeta para outro.

I O que muda e peso deste corpo.



Variacao de aceleracao da gravidade ~g com o local.

Aceleracao da gravidade, ~g , em um ponto, e a intensidade do campo gravitacionalneste ponto.

A aceleracao da gravidade na Terra varia principalmente:

1. com a altitude;

2. com a latitude;

3. com a forma da Terra(Elipse);

4. com a variacao da densidade da Terra.






1. com a altitude;

2. com a latitude;








1. com a altitude;

2. com a latitude;



~g = −GM

r2r

I ~r e o vetor que liga o centro do planeta ate o ponto onde se quer calcular ocampo gravitacional.

I M e a massa do planeta.

I O campo e uma propriedade do espaco. Ou seja, a massa altera aspropriedades do espaco em torno dela.



Variacao de ~g com a altitude.

Para um ponto a altura h acima da superfıcie deum planeta de massa M e raio R.

~g = −GM

(R + h)2r





~g = −GM

(R + h)2r

Vimos que, g0 = GM/R2 a aceleracao da gravidadena superfıcie do planeta, assim:

g

g0=

R2

(R + h)2= (1 + h/R)−2





~g = −GM

(R + h)2r


g

g0=

R2

(R + h)2= (1 + h/R)−2





~g = −GM

(R + h)2r


g

g0=

R2

(R + h)2= (1 + h/R)−2





~g = −GM

(R + h)2r


g

g0=

R2

(R + h)2= (1 + h/R)−2





~g = −GM

(R + h)2r


g

g0=

R2

(R + h)2= (1 + h/R)−2





~g = −GM

(R + h)2r


g

g0=

R2

(R + h)2= (1 + h/R)−2

Para distancias h� R a gravidade varia aproximadamente liner com h, da forma:gg0≈ (1− 2h/R).



Variacao de ~g com a altitude.Para um ponto a altura h acima da superfıcie deum planeta de massa M e raio R.

~g = −GM

(R + h)2r


g

g0=

R2

(R + h)2= (1 + h/R)−2

Para distancias h� R a gravidade varia aproximadamente liner com h, da forma:gg0≈ (1− 2h/R).

A mudanca percentual da gravidade e dada por, ∆gg0

= g−g0g0

= (2h/R) ∗ 100%.

Para h = 8, 848km (Altura do Monte) ∆gg0

= 0, 00028%. Podemos com boa

aproximacao considerar g = Const. para fenomenos na superfıcie da terra.



Princıpio da Superposicao de ForcasO efeito sobre o movimento de um corpo produzido de um numero(N) de forcas e o mesmo efeito produzido por uma unica forcaigual a soma vetorial de todas as (N) forcas.

~FR =N∑

i=1

~Fi = ~F1 + ~F2 + ... + ~FN


Energia potencial gravitacional


Em Fısica 1 vimos que para uma forca gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendouma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.





Sabemos agora que a forca gravitacional e dada por, ~Fg = −GmmTr2 r .

Qual sera a expressao para a energia potencial?.







Sabemos que:

Wgrav =

∫ ~r2

~r1

~Fg · d~r = −GmmT

∫ r2

r1

r−2dr







Sabemos que:

Wgrav =

∫ ~r2

~r1


∫ r2

r1

r−2dr

Wgrav =GmmT

r2−

GmmT

r1= −∆U = −(U2 − U1)







Sabemos que:

Wgrav =

∫ ~r2

~r1


∫ r2

r1

r−2dr

Wgrav =GmmT

r2−

GmmT

r1= −∆U = −(U2 − U1)

Ugrav = −GmmT

r







Sabemos que:

Wgrav =

∫ ~r2

~r1


∫ r2

r1

r−2dr

Wgrav =GmmT

r2−

GmmT

r1= −∆U = −(U2 − U1)

Ugrav = −GmmT

r~Fg = −∇Ugrav = GmmT∇(r−1)



Energia potencial gravitacionalEm Fısica 1 vimos que para uma forca gravitacional dada por, ~Fg = m~g , com ~g sendouma constante, a energia potencial podia ser escrita por:U = mgh.



Sabemos que:

Wgrav =

∫ ~r2

~r1


∫ r2

r1

r−2dr

Wgrav =GmmT

r2−

GmmT

r1= −∆U = −(U2 − U1)

Ugrav = −GmmT

r~Fg = −∇Ugrav = GmmT∇(r−1)

~Fg = −GmmT r−2∇r

~Fg = −GmmT

r2r



Velocidade de escape

Para lancarmos um corpo para fora de um planeta ou para outro planeta, precisamossaber que a velocidade mınima de lancamento do corpo.





Considerando a forca gravitacional como sendo a unica forca que atua no corpo temos:






Wgrav =GmmT

r2−

GmmT

r1= −∆U = ∆K ⇒ K2−K1 = −U2+U1






Wgrav =GmmT

r2−

GmmT

r1= −∆U = ∆K ⇒ K2−K1 = −U2+U1

K1+U1 = K2+U2 ⇒1

2mv2

1−GmmT

RT=

1

2mv2

2−GmmT

r2






Wgrav =GmmT

r2−

GmmT

r1= −∆U = ∆K ⇒ K2−K1 = −U2+U1

K1+U1 = K2+U2 ⇒1

2mv2

1−GmmT

RT=

1

2mv2

2−GmmT

r2

Considerando que em r2 =∞⇒ ~v2 = 0






Wgrav =GmmT

r2−

GmmT

r1= −∆U = ∆K ⇒ K2−K1 = −U2+U1

K1+U1 = K2+U2 ⇒1

2mv2

1−GmmT

RT=

1

2mv2

2−GmmT

r2

Considerando que em r2 =∞⇒ ~v2 = 0

v1 =

√2GmT

RT


Movimento de Satelites







Satelites:Orbitas circulares

Do movimento circular uniforme sabemos que:

v = ωr =2π

T; T =

2π

ω





v = ωr =2π

T; T =

2π

ω

Como a unica forca que atua em um satelite e aforca gravitacional esta e a forca centrıpeta quemantem o movimento circular uniforme, assim:





v = ωr =2π

T; T =

2π

ω


GmmT

r2=

mv2

r⇒ v =

√GmT

r




v = ωr =2π

T; T =

2π

ω


GmmT

r2=

mv2

r⇒ v =

√GmT

r

Obtemos entao que o perıodo de um satelite emorbita circular e dado por:

T =2πr

v= 2πr

√r

GmT⇒ T =

2πr3/2

√GmT




GmmT

r2=

mv2

r⇒ v =

√GmT

r


T =2πr

v= 2πr

√r

GmT⇒ T =

2πr3/2

√GmT

Por ultimo a energia total do satelite sera:

ETot = K+U =mv2

2−

GmmT

r=

m

2

GmT

r−

GmmT

r




GmmT

r2=

mv2

r⇒ v =

√GmT

r


T =2πr

v= 2πr

√r

GmT⇒ T =

2πr3/2

√GmT

Por ultimo a energia total do satelite sera:

ETot = K+U =mv2

2−

GmmT

r=

m

2

GmT

r−

GmmT

r

ETot = −GmmT

2r




Iremos mostrar agora como as leis de kepler podem ser mostradas a partir da Lei dagravitacao de Newton.



























Primeira lei de Kepler

I Maior dimensao → eixo maior → Semi-eixo

maior. a e a metade do eixo maior.

I D(SP)+D(S′P)= constante para todos os

pontos sobre a curva.

I Os pontos S e S′

sao os focos.

I O Sol esta em S e o planeta esta em P.

I Nao existe nada no ponto S′.

I A distancia do foco ate o centro e ea onde e

e a excentricidade da elipse {0, 1}.

I O perielio e o ponto mais perto e afelio e o

ponto mais afastado do Sol na orbita do

planeta.

I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,

eMercurio = 0, 206.









sao os focos.







planeta.

I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,

eMercurio = 0, 206.









sao os focos.







planeta.

I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,

eMercurio = 0, 206.









sao os focos.







planeta.

I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,

eMercurio = 0, 206.









sao os focos.







planeta.

I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,

eMercurio = 0, 206.









sao os focos.







planeta.

I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,

eMercurio = 0, 206.









sao os focos.







planeta.

I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,

eMercurio = 0, 206.









sao os focos.







planeta.

I eTerra = 0, 017, eVenus = 0, 007,

eMercurio = 0, 206.



A energia total e dada por:

ETot =mpv2

2−

GmpMS

r




ETot =mpv2

2−

GmpMS

r

Podemos escrever ~v como:

~v =dr

dter + rωeθ = vr er + rωeθ

v2 = v2r + r2ω2

er = cos(θ(t))i + sin(θ(t))j

eθ = − sin(θ(t))i + cos(θ(t))j




ETot =mpv2

2−

GmpMS

r


~v =dr


v2 = v2r + r2ω2



Assim a energia total pode ser escrita por,

ETot =mpv2

r

2+

L2

mpr2−

GmpMS

r

=mpv2

r

2+ Veff (r)




~v =dr


v2 = v2r + r2ω2




ETot =mpv2

r

2+

L2

mpr2−

GmpMS

r

=mpv2

r

2+ Veff (r)

Isolando vr da equacao acima temos,

vr =

√2(ETot − Veff )

m




~v =dr


v2 = v2r + r2ω2




ETot =mpv2

r

2+

L2

mpr2−

GmpMS

r

=mpv2

r

2+ Veff (r)

Isolando vr da equacao acima temos,

vr =

√2(ETot − Veff )

m



Segunda lei de Kepler

Em um intervalo dt o planeta anda um angulo dθ aarea varrida e:

dA =1

2r2dθ →

dA

dt=

1

2r2 dθ

dt=

1

2r2ω





dA =1

2r2dθ →

dA

dt=

1

2r2 dθ

dt=

1

2r2ω

A componente perpendicular da velocidade e dadapor:v⊥ = v sinφ = rω. Assim,

dA

dt=

1

2rv sinφ =

1

2m|~r×(m~v)| =

L

2m= Constante

onde, ~L = ~r × (m~v). Temos de mostrar que L econstante. Assim,

d~L

dt= ~τ = ~r × ~F = −

GmpMS

rr × r = 0





dA =1

2r2dθ →

dA

dt=

1

2r2 dθ

dt=

1

2r2ω

A componente perpendicular da velocidade e dadapor:v⊥ = v sinφ = rω. Assim,

dA

dt=

1

2rv sinφ =

1

2m|~r×(m~v)| =

L

2m= Constante

onde, ~L = ~r × (m~v). Temos de mostrar que L econstante. Assim,

d~L

dt= ~τ = ~r × ~F = −

GmpMS

rr × r = 0

Isso mostra que, d~Ldt

= 0→ ~L = Constante .O momento angular se conserva para qualquerforca central.



Terceira lei de Kepler

Newton mostrou que o perıodo da orbita elıptica do planeta pode ser dada por:

T =2πa3/2

√GmS

onde a e o semi-eixo maior.



Movimento planetario e o centro de massa.


Distribuicao esferica de massa

Distribuicao contınua de massa.

ρmed =MT

VTσmed =

MT

ATλmed =

MT

LT




ρmed =MT

VT

ρ(~r) =dM(~r)

dV

σmed =MT

AT

σ(~r) =dM(~r)

dA

λmed =MT

LT

λ(~r) =dM(~r)

dL




ρmed =MT

VT

ρ(~r) =dM(~r)

dVdM(~r) = ρ(~r)dV

σmed =MT

AT

σ(~r) =dM(~r)

dAdM(~r) = σ(~r)dA

λmed =MT

LT

λ(~r) =dM(~r)

dLdM(~r) = λ(~r)dL




ρmed =MT

VT

ρ(~r) =dM(~r)

dVdM(~r) = ρ(~r)dV

MT =

∫ρ(~r)dV

σmed =MT

AT

σ(~r) =dM(~r)

dAdM(~r) = σ(~r)dA

MT =

∫σ(~r)dA

λmed =MT

LT

λ(~r) =dM(~r)

dLdM(~r) = λ(~r)dL

MT =

∫λ(~r)dL




ρmed =MT

VT

ρ(~r) =dM(~r)

dVdM(~r) = ρ(~r)dV

MT =

∫ρ(~r)dV

d~Fg = −GmdM(~r)

r2r

σmed =MT

AT

σ(~r) =dM(~r)

dAdM(~r) = σ(~r)dA

MT =

∫σ(~r)dA

d~g = −GdM(~r)

r2r

λmed =MT

LT

λ(~r) =dM(~r)

dLdM(~r) = λ(~r)dL

MT =

∫λ(~r)dL

dU = −GmdM(~r)

r




ρ(~r) =dM(~r)

dVdM(~r) = ρ(~r)dV

MT =

∫ρ(~r)dV

~Fg = −Gm

∫ρ(~r)dV

r2r

d~Fg = −GmdM(~r)

r2r

σ(~r) =dM(~r)

dAdM(~r) = σ(~r)dA

MT =

∫σ(~r)dA

~Fg = −Gm

∫σ(~r)dA

r2r

d~g = −GdM(~r)

r2r

λ(~r) =dM(~r)

dLdM(~r) = λ(~r)dL

MT =

∫λ(~r)dL

~Fg = −Gm

∫λ(~r)dL

r2r

dU = −GmdM(~r)

r




dM(~r) = ρ(~r)dV

MT =

∫ρ(~r)dV

~Fg = −Gm

∫ρ(~r)dV

r2r

~g = −G

∫ρ(~r)dV

r2r

d~Fg = −GmdM(~r)

r2r

dM(~r) = σ(~r)dA

MT =

∫σ(~r)dA

~Fg = −Gm

∫σ(~r)dA

r2r

~g = −G

∫σ(~r)dA

r2r

d~g = −GdM(~r)

r2r

dM(~r) = λ(~r)dL

MT =

∫λ(~r)dL

~Fg = −Gm

∫λ(~r)dL

r2r

~g = −G

∫λ(~r)dL

r2r

dU = −GmdM(~r)

r




dM(~r) = ρ(~r)dV

MT =

∫ρ(~r)dV

~Fg = −Gm

∫ρ(~r)dV

r2r

~g = −G

∫ρ(~r)dV

r2r

U = −Gm

∫ρ(~r)dV

r

d~Fg = −GmdM(~r)

r2r

dM(~r) = σ(~r)dA

MT =

∫σ(~r)dA

~Fg = −Gm

∫σ(~r)dA

r2r

~g = −G

∫σ(~r)dA

r2r

U = −Gm

∫σ(~r)dA

r

d~g = −GdM(~r)

r2r

dM(~r) = λ(~r)dL

MT =

∫λ(~r)dL

~Fg = −Gm

∫λ(~r)dL

r2r

~g = −G

∫λ(~r)dL

r2r

U = −Gm

∫λ(~r)dL

r

dU = −GmdM(~r)

r




dM(~r) = ρ(~r)dV

MT =

∫ρ(~r)dV

~Fg = −Gm

∫ρ(~r)dV

r2r

~g = −G

∫ρ(~r)dV

r2r

U = −Gm

∫ρ(~r)dV

r

I Esfera de raio R.

d~Fg = −GmdM(~r)

r2r

dM(~r) = σ(~r)dA

MT =

∫σ(~r)dA

~Fg = −Gm

∫σ(~r)dA

r2r

~g = −G

∫σ(~r)dA

r2r

U = −Gm

∫σ(~r)dA

r

I Plano de raio R.

d~g = −GdM(~r)

r2r

dM(~r) = λ(~r)dL

MT =

∫λ(~r)dL

~Fg = −Gm

∫λ(~r)dL

r2r

~g = −G

∫λ(~r)dL

r2r

U = −Gm

∫λ(~r)dL

r

I Barra de comp. L.

dU = −GmdM(~r)

r



Uma massa pontual no exterior de uma casca esferica

Seja um anel na superfıcie da casca esferica,composto de massas infinitesimais dM.A energia potencial de uma massa m, localizada auma distancia s de uma das massas e dada por,





dU = −Gm

sdM





dU = −Gm

sdM

A massa do anel sera, dM = σdA ondeσ = M/A = M/(4πR2), e dA e o elemento de areado anel. Pela geometria,




dU = −Gm

sdM


dA = (2πR sinφ)(Rdφ) = 2πR2 sinφdφ




dU = −Gm

sdM



s2 = (r − R cosφ)2 + (R sinφ)2




dU = −Gm

sdM




s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ







s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ

d(s2) = 2sds = 2rR sinφdφ







s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ


dM

M=

σdA

σA=

2πR2 sinφdφ

4πR2=

1

2sinφdφ







s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ


dM

M=

σdA

σA=

2πR2 sinφdφ

4πR2=

1

2sinφdφ

dU = −GMm

2rRds







s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ


dM

M=

σdA

σA=

2πR2 sinφdφ

4πR2=

1

2sinφdφ

dU = −GMm

2rRds

U = −GMm

2rR

∫ r+R

r−Rds







s2 = r2 + R2 − 2rR cosφ


dM

M=

σdA

σA=

2πR2 sinφdφ

4πR2=

1

2sinφdφ

dU = −GMm

2rRds

U = −GMm

2rR

∫ r+R

r−Rds

U = −GMm

r



Massa pontual no interior de uma casca esferica

Em relacao a massa, m, fora da casca esferica aunica mudanca sao os limites de integracao daintegral, logo:

U = −GMm

2rR

∫ R+r

R−rds

U = −GMm

2rR[(R + r)− (R − r)]

U = −GMm

R(1)



Massa pontual no interior de uma casca esferica

Em relacao a massa, m, fora da casca esferica aunica mudanca sao os limites de integracao daintegral, logo:

U = −GMm

2rR

∫ R+r

R−rds

U = −GMm

2rR[(R + r)− (R − r)]

U = −GMm

R(1)

A forca e obtida do potencial pela relacao~Fg = −∇U, como U e independente de r temosque,

~Fg = −∇(−GMm

R) = 0 (2)



Viagem ao centro da Terra

Se a densidade da Terra fosse constante,ρ = Const., entao a massa da Terra que contribuipara a forca gravitacional atuando em m e a massa,M, interna ao raio r . Assim,





M

mT=

∫ r0 ρ4πr2dr∫ R0 ρ4πr2dr





M

mT=


M

mT=

ρ 43πr3

ρ 43πR3

T

=r3

R3T





M

mT=


M

mT=

ρ 43πr3

ρ 43πR3

T

=r3

R3T

M = mTr3

R3T





M

mT=


M

mT=

ρ 43πr3

ρ 43πR3

T

=r3

R3T

M = mTr3

R3T

O modulo da forca gravitacional em m, sera:

Fg =GMm

r2=

Gm

r2(mT

r3

R3T

)

Fg =GmT m

R3T

r


Peso aparente e rotacao da terra


I Devido ao movimento de rotacaoda Terra, o peso aparente de umcorpo sobre a Terra nao eexatamente igual a atracaogravitacional da terra, a qualchamamos de ~p0.

I O peso aparente ~p medido por uma

balanca em uma dada latitude da

terra sera aproximadamente,















− p0 + F = −Fc cos θ









p0 − p =mv2

rcos θ









p0 − p =mv2

rcos θ

p = p0 −mω2r cos θ









p0 − p =mv2

rcos θ


g = g0 − ω2R cos2 θ





p0 − p =mv2

rcos θ



g =GMT

R2−

4π2R

T 2cos2 θ





p0 − p =mv2

rcos θ



g =GMT

R2−

4π2R

T 2cos2 θ

Se θ = 90o → g = g0





p0 − p =mv2

rcos θ



g =GMT

R2−

4π2R

T 2cos2 θ

Se θ = 90o → g = g0

Se θ = 0o → g = g0 −4π2R

T 2


Buraco Negro

Velocidade de escape de uma estrela

A massa do sol e M = 1, 99× 1030kg e o raio do Sol e R = 6, 96× 108m. Assim adensidade do sol sera:

ρ =M

V=

M43πR3

= 1410kg/m3

v =

√2GM

Rs=

√8πGρ

3R = 6, 185m/s ∼

c

500

Se um corpo tiver a mesma densidade do sol e um raio aproximadamente 500× RS

entao v > c e assim, toda luz emitida por esse corpo sera atraıda para seu interior.


Buraco Negro

Buraco negro, raio de Schwarzschild e horizontes de eventos

A superfıcie da esfera de raio Rs que cerca o buraco negro e chamada de horizonte deeventos, pois, nao podemos ver nenhuma luz que escapa deste raio maximo.

c =

√2GM

Rs→ Rs =

2GM

c2

Capítulo 12 - Gravitação

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