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DINMICA DELMOVIMIENTOROTACIONAL
Al dar volteretas, este acrbata no es uncuerpo rigido, y ello le
permite variar surapidez rotacional en el aire. Si muevesus brazos
y piernas hacia afuera, su rotacin se hace ms lenta; si los pega
alcuerpo, gira ms rpidamente.
Si el acrbata no est tocando elsuelo, cmo puede alterar su
rapidez derotacin? Qu principio fsico operaaqui?
En los captulos 4 y 5 aprendimos que una fuerza neta aplicada a
un cuerpo im-parte una aceleracin a ese cuerpo. Sin embargo, qu se
requiere para impar-tir a un cuerpo una aceleracin angular? Es
decir, qu se necesita para poner agirar un cuerpo estacionario o
para detener un cuerpo que esta dando vueltas? Serequien: una
fuerza, pero debe aplicarse de tal manera que imprima una accinde
torcer o de dar vuel!a.
En este caplUlo definiremos una nueva cantidad fsica, momento de
torsin,que describe la accin de torsin O giro de una fuerza.
Veremos que el momentock torsin neto que actita sobre un cuerpo
rgido detennina su aceleracin angu-1.-.. as como la fuerza neta
sobre un cuerpo determina su aceleracin lineal. Tam-
examinaremos el trabajo y la potencia en el movimiento
rotacional a fin dec.mdcr los problemas del tipo de cmo el eje
giratorio de un auto transmite ener-
I\wUltimo. desarrollaremos un lluevo principio de conservacin,
la conserva-
361
-
.362
10.1 Cul de estas tres fuerzas de igualmagnitud tiene mayor
probabilidad deaflojar el perno apretado?
Act',vPhyscs7.1 Clculo de momentos de torsin
CA pfTULO 10 1 Dinmica del movimiento rotacional
ci" de la cantidad de movimiento angular, que es muy til para
entender la ro-tacin de cuerpos tanto rgidos como no rgidos.
Terminaremos el captulo con elestudio de los girscopos,
dispositivos giratorios que al parecer desafian el sentidocomm y no
se caen cuando creemos que deberan hacerlo, aWlQue en realidad su
comoportamiento se ajusta perfectamente a la dimimica del
movimiento rotacional.
10.1 I Momento de torsinDe qu depende la eficacia de una fuerza
para causar o alterar un movimiento ro-tacional? La magnitud y
direccin de la fuerza son importantes, pero tambin loes la posicin
del punto de aplicacin. Si tratamos de abrir una puerta pesada,
esmucho ms eficaz empujarla lejos del eje de rotacin (cerca de la
perilla) que cer-ca de l (cerca de las bisagras). En la figura
10.1, se est usando una llave de tuercaspara aflojar un perno
apretado. La fuerza F" aplicada cerca del extremo del man-go, es ms
eficaz que una fuerza igual F" aplicada cerca del perno. La fuerza
Fcno sirve de nada, Se aplica en el mismo punto y tiene la misma
magnitud que F" peroest dirigida a lo largo del mango.
La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar
o alterar la ro-tacin de un cuerpo se denomina momento de torsin.
La figura 10.2 muestra uncuerpo que puede girar alrededor de un eje
que pasa por el puntE 0.1 es.,perpen-dicular al plano de la figura.
Sobre ~ cuerpo actan tres fuerzas: F., F 2 YF), en elplano de la
figura. La tendencia de F I a causar una rotacin alrededor de O
depen-de de su magnitud F] y tambin de la distancia perpendicular
/1 entre la lnea deaccin de la fuerza (la lnea sobre la que est el
vector de fuerza) y O. Llamamosa 11 el brazo de palanca (o brazo de
momento) de FI alrededor de O. El esfuer-zo de torsin es
directamente proporcional tanto a F l y como a 11, Definimos
elmomento de torsin (o momento) de F" respecto a O como el producto
FII I. Usa-remos la letra griega T ("tau") para el momento de
torsin. El momento de torsinde una fuerza de magnitud F cuya linea
de accin est a una distancia perpendicu-lar 1del punto O es
T = Fl (10.1)
Momc:oto de torsin_(magnitud de fueru) x (bruo de palanca)
F,
F
F] tiene cerode palanca
Brazo de palanca
10.2 El momento de torsin de una fuerzaalrededor de un punto es
el producID dela magnitud de la fuerza y el brazode palanca.
Los fisicos prefieren el trmino "momento de torsin"; los
ingenieros prefie-ren el tnnino "momento" solo (a menos que estn
hablando de un eje giratorio,en cuyo caso suelen usar el trmino
"par motor"). Los dos grupos usan "brazo depalanca" o "brazo de
momento" para la distancia l.
El brazo de palanca de F. en la figura 10.2 es la distancia
perpendicular OA o11> y el de F2 es la distancia perpendicular
OE o 12, La lnea de accin de F) pasapor el punto de referencia O,
as que el brazo de palanca de F3 es cero y su mo-mento de torsin
respecto al punto O es cero. Por lo mismo, Fc en la figura
10.1tiene_momento de torsin cero respecto a O, y Fb liene mayor
momento de torsinque F" porque su brazo de palanca es mayor.
Observe que el momento de torsin siempre se define con
refe-rencia a un punto especifico, que a menudo (aunque no siempre)
es el origendel sistema de coordenadas. Si cambiamos de posicin
este punto, el momento detorsin de cada fuerza puede cambiar. Por
ejemplo. el momento de torsinde F) en la figura 10.2 es cero
respecto a O, pero no respecto a A o B. Al descri-bir el momento de
torsin de una fuerza, no basta llamarlo ~el momento detorsin de F";
debemos decir "el momento de torsin de F respecto al punto X"o Nel
momento de torsin de Falrededor del punto X".
-
110.1 I Momento de tOrs.ill 363
Lnea deaccinde F
,
-rsen.p- brazo de palancao
10.3 El momento de tonin de la fuerza en tomo a!punto O se
define como"7 = r x F. La magnitud de T es rFsen q,.Aqu, ry estin
en el plano del papel;por la regla de la mano dem:ha del pro-duclo
vcclorial, "7 apunta afuera de lapgina hacia el lector.
,
.~~F
(afuera de la pgina)
Erno>q~ 1mdedos de la mano
delttha de la td'=;oo '" , ,hacia la direccinde F; el
pulgarestirado apunta enla direccin de T
1- FI- FWlr'" Fr sen entre los vectores r y F: el brazo
depalanca es r sen 4>, asi que T = rF sen 1J. Un lercer mtodo es
representar Fen tr-minos de una componente radial FrId en la
direccin de ;: y una componente FlJmperpendicular a r. (Decimos
"tangencial" porque, si el cuerpo gira, el punID en elque acta la
fuerza se mueve en un crculo, y sta componente es tangente a
esecrculo.) As, F_ = F sen cP y T = r(F sen (j) = F..,r. La
componente FQIJ no tienemomento de torsin respecto a O porque su
brazo de palanca respecto a ese pun-lO es cero (compare con las
fuerzas F~ de la figura 10.1 y EJ de la figura 10.2. Re-sumiendo
estas expresiones de momento de torsin, tenemos
1
I
En la seccin 9.1, vimos que la velocidad y la aceleracin
angulares pueden re-presentarse como vectores; lo mismo sucede con
el momento de torsin. Observeque la cantidad rF sen (j) de la
ecuacin (10.2) es la magnitud del producto lIecto-rial r x Fque
demimos en la seccin 1.10. Repase esa definicin. Ahora
gene-ralizamos la definicin de momento de torsin as: Si una fuerza
Facta en un puntoque tiene un vector de posicin;: respecto a un
origen O, como en la figuraIO.J,el momento de torsin Tde la fuerza
respecto a O es la cantidad vectorial
(definicin del vector de momento de torsin) (10.3)
El momento de torsin dermido en la ecuacin (10.2) es slo la
magnitud del vec-tor de momento de torsin r x F. La direccin de T
es perpendicular tanto a ryF. En particular, si ry F estn en un
plano perpendicular al eje de rotacin, comoen la figura 10.3, el
vector de momento de torsin:r =;: x F tiene la direccindel eje de
rotacin, y su scntido est dado por la regla de la mano derecha
(Fig.1.20). Las relaciones de direccin se muestran en la figura
lOA.
En los diagramas en los que intervienen r, Py:r, es comn que uno
de los veclores esl orientado en una direccin perpendicular a la
pgina. (De hecho, por lanaturaleza misma del producto cruz., :r = r
x Fdl},be ser perpendicular al plano
cf,,:',mr':,,;n,)Enrosque los dedos
l '""-"'="'"la dirtccin de hacia la dim::cinde F; el pulgarT
estirado apunla enla direin de T10.4 El vector de momento de
torsin,T = r x se dirige sobre el ejtdel perno,perpend.icular tanto
a rcomo a F. La di-reccin de :;. est dada por la regla dela mano
derecha. Vemos que los dedosde la mano dere
-
364
Ejemplo10.1
CAPTULO 10 I Dinmicadelmovimientorotacional
de los vectores r y F.) Usaremos un punto (.) para representar
un vector queapunta hacia afuera de la pgina (vase la Fig. 10.4)
Yuna cruz (x) para represen-tar un vector que apunta hacia adentro
de la pgina.
En las secciones siguientes, nonnalmente nos interesar la
rotacin de un cuer-po alrededor de un eje orientado en cierta
direccin constante. En tal caso, slo in-teresa la componente de
momento de torsin sobre ese eje, que normalmentellamaremos el
momento de torsin respecto al eje especificado.
Aplicacin de un momento de torsin
,
Il'I,
I
Un plomero aficionado que no puede aflojar una junta ensarta
untramo de tubo en el mango de su llave de mercas y aplica todo
supeso de 900 N al extremo del tubo parndose en l. La distancia
delcentro de la junta al punto donde acta el peso es de O.SO ro, y
elmango y el rubo forman un ngulo de 19 con la horizontal
(Fig.10.5a). Calcule la magnirud y direccin del momento de
torsinque el plomero aplica en torno al centro de la junta.
E!ll!ImJlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usaremos la ecuacin (10.1) o
la(10.2) para obtener la magnirud del momento de torsin, y la regla
dela mano derecha con la ecuacin (10.3) para hallar su direccin,
Lafigura 10.5b muestra los vectores;: y F y el ngulo entre ellos
(q., =109).EJECUTAR: Para usar la ecuacin (10.1), primero
calculamos elbrazo de palanca. Como muestra la figura 10.5b, 1es la
distanciaperpendicular de O a la lnea de accin de la fuerza:
f= (0.80 m) sen 109 = (O.SOm) sen 71 = 0.76 mLa ecuacin (10.1)
nos dice que la magnirud del momento de tor-sin es
1" = F/ = (900 N)(0.76 m) = 680N'm
o bien, por la ecuacin (10.2),1" = rFsenq., = (0.80m)(900N)(sen
109) = 680N'm
Tambin podemos calcular F~, la componente tangencial de F,
queacta perpendicular a;: (o sea, perpendicular al tubo). El vector
r es-t a 19 de la horizontal, asi que una perpendicular a r est
orientadaa 19 de la vertical. Dado que Fes vertical, esto implica
que Fu... =F(cos 19) = (900 N)(cos 19) = 851 N. El momento de
torsin es
1" = Fan , = (851 N)(0.80m) = 680N'mSi enrosca los dedos de su
mano derecha de la direccin de r (en elplano de la figura I0.5b,
hacia la derecha y hacia arriba) a la direc-cin de F (venic~lmcnte
hacia abajo), su pulgar derecho apuntarhacia adentro del plano de
la figura. sta es la direccin del mo-mento de torsin r.
EVALUAR: Ya verificamos la magnirud obtenida de 1" calculndolade
tres formas distintas. Para verificar la direccin del momento
detorsin, observamos que la fuerza de la figura 10.5 tiende a
produ-cir una rotacin horaria en torno a O. Si enroscamos los dedos
de lamano derecha en direccin horaria, nuestro pulgar apuntar
haciaadentro del plano de la figura 10.5, es, en efecto, la
direccin delmomento de torsin.
T (hacia la pgina)X __
1(brazo de palanca)
F= 900 N1') lb)
10.5 (a) Un plomero aficionado trata de aflojar una junta
parndose en una extensin delmango de la llave de tuercas. (b)
Diagrama vectorial para calcular el momento de torsinrespecto a
O.
-
10,2 I Momento de torsin y aceleracin angular de un cuerpo rgido
365/
Qu magnitud de fuerza hacia abajo tendria que ejercer el plomero
aficionadodel ejemplo 10.1 para producir el mismo momento de torsin
sin el tubo? La lla-ve de nJercas sola tiene una longitud de 25
cm.
10.2 I Momento de torsin y aceleracinangular de un cuerpo
rgido
es decir,
"'------- "
Eje derotacin
,
10,6 Tres componentes de la fuerza netaactan sobre una de las
particulas de uncuerpo rigido, Slo Fl>un tiene unacomponente z
de momento de torsinalrededor de O.
(10.4)
(10.5)Por la ecuacin (10.2), F,tanr no es ms que el momento de
torsin de la fuerza
neta respecto al eje de rotacin (igual a la componente 7z del
vector de momentode torsin sobre dicho eje). El subindice z nos
recuerda que el momento de torsinafecta al rotacin en torno al eje
z, de la misma manera que el subindice de F]: nosrecuerda que esta
fuerza afecta el movimiento de la partcula I a lo largo del eje
z.
Las componentes F..rad YF]z no contribuyen al momento de torsin
alrededordel eje z, pues ninguna tiende a modificar la rotacin de
la partcula alrededor deese eje. Por tanto, 7]: = F,tarl' es el
momento de torsin total que acta sobre lapartcula respecto al eje
de rotacin. Adems, m]r2 es 1, el momento de inercia dela partcula
alrededor del eje de rotacin. Con esto en mente, reescribimos la
ecua-cin (l0.5) as:
Podemos expresar la aceleracin tangencial de la primera pancula
en trminos dela aceleracin angular az> usando la ecuacin (9.14):
al,tan = rlaz. Con esta relaciny multiplicando ambos miembros de la
ecuacin (10.4) por 1'1' obtenemos
Ahora podemos deducir la relacin ft.mdamental de la dinmica
rotacional de un cuer-po rgido. Demostraremos que la aceleracin
angular de un cuerpo rigido en rotacines directamente proporcional
a la suma de las componentes de momento de torsin so-bre el eje de
rotacin. El factor de proporcionalidad es el momento de
inercia.
Para deducir sta relacin, imaginamos otra vez que el cuerpo se
compone deun gran nmero de partculas. Escogemos como eje de rotacin
el eje z; la prime-ra partcula tiene masa m y distancia r] respecto
a este eje (Fig. 10.6). Lafuerzaneta que acta sobre la partcula
tiene una componente F]'rad en la direccin ra-dial, una componente
FJ.lan tangente al crculo de radio 1'] en que se mueve la par-tcula
al girar el cuerpo, y una componente F]: sobre el eje de rotacin.
Lasegunda ley de Newton para la componente tangencial es
Escribimos una ecuacin similar para cada partcula del cuerpo y
luego suma-mos todas las ecuaciones:
71: + 72: + ... = 1a, + 12az + ... = m]r?az + m2rla; + ...
El miembro izquierdo de esta ecuacin es la suma de todos los
momentos de tor-sKtn en tomo al eje de rotacin que actan sobre
todas las partculas. El miembroderecho es 1 = '2.mr/, el momento de
inercia total alrededor del eje de rotacin,moJtiplicado por la
aceleracin angular a:, que es la misma para todas las partcu-
10.7 Para aflojar o apretar un tornillo, espreciso impartirle
una aceleracin angulary, por tanto, aplicar un momento de tor-sin.
Esto se facilita si se usa un destorni-llador con mango de radio
grande, pues asse aumenta el brazo de palanca dc la fucrzaque
aplicamos con la mano.
-
366 CA pfTULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional
Lo5 momentoS de:torsin debidos a fuenas
inlemas se cancelan:-Tltobre2+-T2 ....... 1'"O (10.6)
(anlogo rotacional de la segunda ley de Newton para un cuerpo
rgido)
las porque se trata de un cuerpo rgido. As, para el cuerpo
enlero, lenemos el an-logo rotacional de la segllnda ley de
Newton:
As como la segunda ley de Newton dice que la fuerza neta que
acta sobre unapartcula es igual a la masa de la pancula
multiplicada por su aceleracin, laecuacin (10.6) dice que el
momento de torsin neto que acma sobre un cuerpo r-gido es igual al
momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotacin
mul-tiplcado por su aceleracin angular (Fig. 10.7).
Subrayamos que la ecuacin (10.6) slo es vlida para cuerpos
rgidos. Si elcuerpo no es rigido, como un tanque de agua que gira o
un remolino de aire, laaceleracin angular Q: es diferente para
diferentes partculas del cuerpo, y la de-duccin de la ecuacin
(10.6) no es vlida. Adems, como en la deduccin utili-zamos la
ecuacin (9.14), aW. = rcl" Q: debe medirse en radls2.
El momento de torsin que acta sobre cada partcula se debe a la
fuerza netaque acta sobre esa partcula, la cual es la suma
vectorial de fuerzas externas e in-ternas (definidas en la seccin
8.2). Segn la tercera ley de Newton, las fuet'2as in-ternas que
cualquier par de partculas del cuerpo rgdo ejercen una sobre la
otrason iguales y opuestas (Fg. 10.8). Si estas fuerzas actan sobre
la lnea que une alas panculas, sus brazos de palanca respecto a
cualquer eje lambin sern guales.As, los mamemos de torsin para
tales fuerzas son iguales y opueslos, y suman ce-TO. De hecho,
todos los momentos de torsin intemos suman cero, y la swna IT: dela
ecuacin (10.16) incluye slo los momentos de torsin de las fuerzas
externas.
Es comn que una fuerza externa importante que acta sobre un
cuerpo sea supeso. Esta fuerza no se concentra en un punto: acta
sobre lodas las partculas delcuerpo. No obstante, resulta que, si
el valor de ges el mismo en todos los puntos,siempre obtenemos el
momenlo de lorsin correcto (alrededor de cualquier ejedado) si
suponemos que el peso se concentra en el centro de masa del cuerpo.
De-mostraremos esto en el captulo 11, pero mientras lo usaremos en
algunos proble-mas de ste captulo.
Partcula
Act"IVPhyscs7.8 Rotojuego: enfoque de dinmica7.9 Escalera que
cae7.10 Mujer y elevador de volante:
enfoque de dinmica
Lnea de accin :I "'*""de ambas fuen.lls Partfcu 2
Brazo depalanca de
ambas fuerzas
10,8 Dos partculas de un cuerpo rgidoejercen fuerzas iguales y
opuestas una so-bre la otra. Si estas fuerzas actan a 10 lar-go de
la lnea que va de una partcula a laotra, [os brazos de palanca de
[as dos fuer-zas son iguales y los momentos de torsincausados por
ellas son iguales y opuestos.S6lo los momentos de torsin
externosafectan la rotacin de un cuerpo rgido.
Estrategia pararesolver problemas Dinmica rotacional de cuerpos
rgidos
Nuestra estrategia para resolver problemas de diruimica
rotacio-nal es muy similar a la presentada en la seccin 5.1 para
resol-ver problemas en los que interviene la segunda ley de
Newton.
IDENTIFICAR los conceptos relevantes: La ecuacin 1:7" = la:es
util en todos los casos en que momentos de torsin actan so-bre un
cuerpo rgido; es decir, siempre que fuerzas actan sobreun cuerpo
rgido de manera lal que alteran el estado de rolacindel cuerpo.
En algunos casos, podra preferirse un enfoque de energa,como se
hizo en la seccin 9.4. Sin embargo, cuando la incgni-ta es: una
fuerza, un momento de torsin. una aceleracin, unaaceleracin angular
o un tiempo transcurrido, casi siempre esms eficiente usar I'tz :
IUlz
PlANTEAR el problema empleando estos pasos:
1. Haga un dibujo de la simacin y escoja el cuerpo o cuer-pos
que analizar.
2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo,
ais-lando el cuerpo e incluyendo mcias las fuerzas que actansobre
el (y slo ellas), incluido el peso. Marque las cantida-des
desconocidas con simbolos algebraicos. Una nuevaconsideracin es que
se debe mostrar con exactitud lafor-ma del cuerpo, incluyendo todas
las dimensiones y ngulosque se necesitarn para los clculos de
momento de torsin.
3. Escoja ejes de coordenadas para cada cuerpo e indique
unsentido de rotacin positivo para cada cuerpo que gire. Sihay una
aceleracin lineal, lo ms sencillo suele ser esco-ger un eje
positivo en su direccin. Si ya conoce el senti-do de u" se
simplificarn los clculos si se escoge secomo sentido de rotacin
positivo. Si representa una fuer-
-
10.2 I Momento de tanin y aceleracin angular de un cuerpo rgido
367
za en trminos de sus componentes, tache la fuerza origi-nal para
no incluirla dos veces.
EJECUTAR lu solucin como sigue:1. Para cada cuerpo del problema,
decida si sufre mOVImien-
to: traslacional, movimiento rotacional, o ambos. Depen-diendo
del comportamiento del cuerpo, apliqueIr = mii (como en la seccin
5.1), o :h, = la,. o ambasal cuerpo. Escriba ecuaciones de
movimiento aparte paracada cuerpo.
2. Podra haber relaciones geomtricas entre los movimien-tos de
dos o ms cuerpos, como cuando un hilo se desenro-lla de una polea
girndola o cuando un neumtico gira sinresbalar (lo que veremos en
la seccin 10.3). Expreselasen forma algebraica, por lo regular como
relaciones entre
dos aceleraciones lineales o una aceleracin lineal y
unaangular.
3. Verifique que el nmero de ecuaciones coincida con elnmero de
incgnitas. Resuelva las ecuaciones para obte-ner la o las
incgnitas.
EVALUAR la respuesta: Compruebe que los signos algebraicosde sus
resultados sean lgicos. Por ejemplo, suponga que el pro-blema se
refiere a un carrete de hilo. Si se est sacando hilo delcarrele,
las respuestas no debern decimos que el carrete gira enel sentido
en que el hilo se enrolla. Siempre que pueda, verifi-que los
resultados para casos especiales o valores extremos ycomprelos con
10 que espera intuitivamente. Pregntese: "Eslgico este
resultado?"
Ejemplo102 Cable que se desenrolla
La figura 1O.9a muestra la situacin que analizamos en el
ejemplo9.8 (seccin 9.4) usando mtodos de energa. Se enrolla un
cablevarias veces en un cilindro slido uniforme de 50 kg con
dimetrode 0.120 m, que puede girar sobre su cje. Se tira del cable
con unafuerza de 9.0 N. Suponiendo que el cable se desenrolla sin
estirarseni resbalar, qu aceleracin liene?
lI:ll!ImIDENTIFICAR: La incgnita es la aceleracin del cable, que
no po-demos obtener dirtttamente empleando el mtodo de energia de
laseccin 9.4 (pues en el no interviene la aceleracin). En vez de
ello,aplicaremos dinmica rotacional al cilindro. Para obtener la
acele-racin del cable, buscaremos una relacin entre el movimiento
delcable y el movimiento del borde del cilindro.
PLANTEAR: La figura 10.9b muestra el diagrama de cuerpo libre
delcilindro de masa M-50 kg. El cndro gira en sentido horario
cuan-do se lira del cable, as que tomamos como sentido de rotacin
posi-tivo el horario. La fuerza neta que acta sobre el cilindro
debe sercero porque su centro de masa no se mueve. El peso (de
magnitudMg) y la fuerza nonnal (de magnitud n) ejercidos por los
cojinetesdel cilindro actan sobre lineas que pasan por el eje de
rotacip. y,por lo tanlD, no producen un momento de torsin respecto
a ese eje.EJECUTAR: El Unico momento de lorsi6n alrededor del eje
de rota-cin se debe a [a fuerza F, cuyo brazo de palanca es igual
al radio Rdel cilindro: l = R= 0.060 m, as que T: - FR. (ste
momento de tor-sin es positivo porque tiende a producir una rotacin
horaria.) Porel ejemplo 9.8, el momento de inercia del cilindro en
torno al eje derotacin es I = !MR2 Por tanto, la ecuacin (10.6) nos
da la acele-racin ungular del cilindro:
10.9 (a) Cilindro y cable. (b) Diagrama de cuerpo libre para
elcilindro.
(Verifique que stas unidades sean correctaS. Podemos ailadir
"rnd"a nuestro resultado porque el radin es una cantidad
adimensional.)
Para obtener la aceleracin lineal del cable, necesitamos una
re~lacin cinemtica. En la seccin 9.3 sealamos que la aceleracinde
un cable que se desenrolla de un cilindro es igual a la componen-le
tangencial de aceleracin de un punto en la superficie del cilin-dro
donde el cable es tangente a l. Dicha aceleracin tangencialest dada
por la ecuacin (9.14):
a~ = Ra = (0.060m)(6.0radls2) = 0.36m1s2
EVALUAR: Puede usar este resultado, junto con una ecuaein
delcapitulo 2, para determinar la rapidez del cable una vez que se
hadesenrollado 2.0 m? lnt'ntelo y compare su resultado con el
ejem-plo 9.8, donde obtuvimos sta rapidez usando consideraciones
detrabajo y energa.
Mg
(b)
F=9.0N
(.)
-
368
Ejemplo103
CAPfTU LO 10 I Dinmica dd movimiento rotacional
Cable que se desenrolla 11
La figura 1O.IOa muestra la situacin que analizarnos en el
ejemplo9.9 (seccin 9.4) usando mtodos de energa. Calcule la
aceleracindel objeto de masa m.
l'm!!I3l'il!IIDENTIFICAR: Aplicaremos dinmica traslacional al
objeto quecuelga y dinmica rotacional al cilindro. Puesto que el
cable no res-bala sobre el cilindro, ex.iste una relacin entre la
aceleracin linealdel objeto que cuelga (nuesrra incgnita) y la
aceleracin angular delcilindro.
PLANTEAR: Debemos tratar los cuerpos por separado. La
figul"31O.IOb muestra un diagrama de cuerpo libre para cada uno.
Toma-mos el sentido de rotacin antiborario como positivo para el
cilin-dro, y la direccin hacia abajo de la coordenada y como
positivapara el objeto.
EJECUTAR: La segunda ley de Newton aplicada al objeto da:LF, ==
mg + (-T) = lila,
yI
"
0 R ,T
CilirKIroMg
Objeto F'colgante mgh1 Iy
(.) (bl
10.10 (a) Cilindro, objeto y cable. (b) Diagramas de cuerpo
libre:para el cilindro y el objeto que cuelga. La masa del cable
scsupone despreciable.
Para el cilindro, el peso Mg y la fuerza normal n (ejercida por
el co-jinete) no ticncn momentos de torsin respecto al eje de
rotacinporque actan sobre lineas que pasan por ese eje. igual que
en elejemplo 10.2. El nico momento de torsin es el debido a la
tensindel cable T. Aplicando la ecuacin (10.6) al cilindro
tenemos
1~7' = RT= la. = -MIfa.~ : - 2 .Al igual que en el ejemplo 10.2,
la aceleracin del cable es igual ala aceleracin tangencial de un
punto en el borde del cilindro, que,segun la ecuacin (9.14), es ay
'"' U_ '" Ra:- Usamos esto para sus-tituir (Ra,) por uyen la
ecuacin aoterior y lu~o dr.idimos entre R;el resullado es
Ahora sustituimos sta cxpresin para T en la segunda ley de
New-ton para el objcto y despejamos la ace1cracin uJ.:
1mg - '2May = ma,
a = gy I +MI2m
EVALUAR: La aceleracin es positiva (en la direccin hacia abajo)y
menor que g, como debe ser dado que el cable est frenando alobjeto.
Para ver cunta fuerza ejerce el cable. sustituimos nuestraexpresin
para aJ' en la segunda ley de Newton para el objeto, obte-niendo
asi T:
( g) mgT= mg - mu j "" IIlg - m =I + Ml2m I + 2m/MLa tensin en
el cable no es igual al pcso mg del objeto; si asi fue-ra, el
objeto no podra acelerar.
Revisemos algunos casos espccificos. Si M es mucho mayorque m,
la tensin es casi igual a mg, y por tanto la aceleracin esmucho
mcnor que g. Si M = 0, T"" O Yay '"' g; el objeto cae libre-mente.
Si el objeto parte de una altura h sobre el piso con rapidezinicial
V(lo su rapidez u al golpear el piso est dada por v~ - u02+2aJ'h.
Si parte del reposo, u. '" OY
u = ...Ji;;J, = 2ghy 1 + MI2n.
ste es el mismo resullado que obtuvimos usando cODsideracionesde
energa en el ejemplo 9.9.
Ejemplo10.4 Dos masas y una polea que gira
En la figura 10.lla, un deslizador de masa mI se mueve sin
friccinsobre un riel de aire horizontal, sujeto a un objeto de masa
m2 conun hilo sin masa. La polea es un cilindro hueco delgado (con
rayos
sin masa) de masa A., y radio R. y el hilo la gira sin resbalar
t estirarse. Calcule la aceleracin de cada cuerpo. la aceleracin
angularde la polea y la tensin en capa parte del hilo.
-
10.2 I Momento de torsin y aceleracin angular de un cuerpo rgido
369
Dado que el hilo no se estira ni resbala, tenemos las relaciones
ej.1/emticas adicionales
EJECUTAR: Las ecuaciones de movimiento para el deslizador)
elobjeto son
m,
(.))' ,I
T, I 0"f. T,T, ~-'mi --, /112 ,"m,g T, m2gMg -
,y
Dcslzudor Polea Objetocolgante
Por la ecuacin (10.10), la aceleracin 02, del objeto colgante
esigual a 0Uo y la aceleracin angular 0 0 de la polea es igual a
QlI di-vidida entre R. Ahora podemos sustituir esto en las
ecuaciones(10.7) Y(10.8) para obtener las tensiones. Los resultados
son
m1I/2g (mI + M)m2ETI = T2 = ':""";--'-":-':0
mI + 1/l2 + M mi + 11/2 + M
EVALUAR: Revisemos algunos casos especiales para ver si estos
resultados son lgicos. Primero. si mI o Al es mucho mayor que
1r12'las aceleraciones son muy pequeilas y T2 es aproximadamente
mzg.Pero si m2 es mucho mayor que m] o que M. la aceleracin
seraproximadamente g. Ambos resultados son lo que esperaramos.
SiM=O, ,obtenemosel mismo resultado que en el ejemplo 5.13 (sec-cin
52)? Por qu si o por qu no? Se le OCUITen otros casos es-peciales
que verificar?
(b)
TI = mlolx
m2g - T2 = m2al~Tl - TI = Mal,
La fonna ms fatil de resolverlas es SUmlJrlas, eliminando TI y
Tl ,Ydespejar o1Jl:
(10.9). Ahora tenemos tres ecuaciones para las tres incgnitas
T..Tl Yalz:
10.11 (a) Deslizador de riel de aire tirado por una masa
quecuelga sobre una polea. (b) Diagramas de cuerpo libre de lostres
cuerpos.
(10.9)
(10.7)(10.8)
(10.10)
Deslizador: ~F~ = TI = mio...Objeto: ~ Fy = mzg + (-T2) =
ff/2Q2]'
La fuerza nonnal desconocida 1/2 acrua en una linea que pa53 por
eleje de rotacin de la polea, asi que no tiene brazo de palanca ni
roo-mento de torsin respecto a ese eje. De la tabla 9.2, el momento
deinercia de la polea sobre ste eje es J= M(l. La ecuacin de
movmiento de la polea es entonces
1l:!!!!!!!!!lD Co:lSidtr. lOS t.WY situan similar en el
ejemplo5.13 (5eCtin 5..2).. Ahi. el t.io2 deslizaba sin mctin sobre
una po-lea fija, y la tensin l!fJ la mi5ma en todo el hilo sin mua.
Con unapolea giratoria, y friccin entre ea, polea yel tillo para
evitar desliza-mientos, las dos tel"lSiones T 't T: no pueden ser
iguales.. 5i lo fue-ran.la polea no podra tener~J~MMcar la tensinen
ambas partes del hilo como TserWllm en;w gr.we. Cudese de 6-te
error en cualquier problema que~ una polea que gira_
PLANTEAR: La figura 10.llb muestra los diagrnmas de cuerpo
li-bre y los sistemas de coordenadas para los tres cuerpos. Con
lascoordenadas que escogimos, el deslizador y el objeto aceleran
ensus~onespositivas x y y, respectivamente. Asimismo escogemos el
sentido positivo de rotacin como el horario (el mismo quela
acdcracin angular de la polea). Tenemos cinco incgnitas:
la&delacin del deslizador (aiJ. la aceleracin del objeto (Oq),
la aceknciI:J angular de la polea. Qo Y las dos tensiones (T] y
T-J. A pri-men. \'1Sl3.. el problema parece imponente. pero
tendremos tantasCC'nciones ClDIm) iDcgnitas, y resolverlas ser ms
fcil de lo queel kctor im3:gJaa.
D!!IlI!IlIIIDENTIFICAR: Usaremos dinmica traslacional para
describir elmovimiento del deslizador y del objeto que cuelga, y
dinmica rotacional para describir el movimiento de la polca. Dado
quc el hilono se estira, tanto el deslizador como el objeto tienen
la mismamagnitud de aceleracin; el orde de la polea tiene una
aceleracinIOllgellciol con la misma magnitud porque el hilo no
resbala.
(Las aceleraciones dc1 deslizador y el objeto tienen diferente
direccin pero la misma magnitud.)
Las ecuaciones (10.7) a (10.10) son cinco ecuaciones
simulta-neas para [as cinco incgnitas al~' 0l... o, TI y T2. (La
ecuacin(10.10) es en realidad dos ecuaciones.) Primero usamos las
ecua-ciones (10.10) para eliminar a2! Y0, de las ecuaciones (10.7)
a
-
370
10.12 El movimiento de un cuerpo rgidocomo ste martillo lanzado
es una combi-nacin de traslacin del centro de ma~a yrotacin
alrededor de ese centro.
CAPTULO 10 I Dinmica del movimiento rolaCional
Suponga que el sistema del ejemplo 10.4 est inicialmente en
movimiento, de mo-do que el deslizador se mueve hacia la izquierda,
el objeto colgante asciende y lapolea gira en sentido anlihorario.
En sta situacin, que aceleracin lineal tienen:el deslizador y el
objeto; y qu aceleracin angular tiene la polea?
10.3 I Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvilPodemos
extender nuestro anlisis de la dinmica del movimiento rotacional a
algu-nos casos en los que el eje de rotacin se mueve. En tal caso,
el movimiento del cuerpo es: traslacin y rotacin combinados. La
clave para entender stas situacioneses la siguiente: cada posible
movimiento de un cuerpo rgido puede representarsecomo una
combinacin de movimiento: traslaciOfUll del centro de masa y
rotacinalrededor de un eje que pasa por el centro de masa. Esto se
cumple aun si el centrode masa se acelera, de modo que no est en
reposo en ningim marco inercial. Unejemplo grfico es el movimiento
de un martillo lanzado hacia arriba (Fig. 10.12).El centro de masa
sigue una parbola, como si el martillo fuera una partcula situa-da
en el centro de masa. Al mismo tiempo, el manilla gira con
velocidad angularconstante alrededor del centro de masa (compare
con el movimiento de la llave dela figura 8.25). La traslacin del
centro de masa y la rotacin alrededor de dichocentro, pueden
tratarse como problemas individuales pero relacionados. Otros
ejem-plos de sto son: una pelota que rueda cuesta abajo y un yoyo
que se desenrolla.Traslacin y rotacin combinadas: relaciones de
energlaDemostrar que el movimiento de un cuerpo rigido siempre
puede dividirse en mo-vimi'entos independientes de traslacin del
centro de masa y rotacin alrededordel centro de masa rebasa el
alcance de este libro. pero podemos demostrar que escierto para la
energa cintica de un cuerpo rgido con movimiento talllO
traslacional como rotacional. En este caso, la energa cintica del
cuerpo es la suma de unapane tMvcm2 asociada al movimiento del
centro de masa y una pane ~Jcml aso-ciada a la rotacin alrededor de
un eje que pasa por el centro de masa:
..
_ I 2 l 2K - -Mvcm + -lcmw,2 2
(cuerpo gido con traslacin y rotacin) (10.11)
Velocidad Vi de una partcula de UDcuerpo rgido el1 rotacin
ytraslacin'" (velocidad vcm delcentro de masa) ms (velocidad v/de
la pancula relativa alcentro de masa)
10.13 Cuerpo rgido con movimientotraslacional y rotacional.
Para demostrar esto, imaginamos otra ve~ que el cuerpo rigido se
compone depanculas. Consideremos una pancula representativa de masa
mi (Fig. 10.13). Suvelocidad Vi relativa a un marco inercial es la
suma veclOrial de la velocidad vt:mdel centro de masa y la
velocidad v; de la particula relatiua al centro de masa:
v=vcm+v (10.12)La energa cinetica K de esta partcula en el marco
inercial es tmvl, que tambienpodemos expresar como !m(v' Vi)'
Sustituyendo la ecuacin (10.12) en esto,obtenemos
-
10.3 I Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvil
La energa cintica total es la suma IK, para todas las particulas
del cuerpo. Si ex-presamos los tres tnninos de la ecuacin como
sumas individuales, tenemos
Los primeros dos tnninos tienen factores comunes que pueden
sacarse de la su-matoria:
371
Act"vPhyscs7.11 Carrera entre un bloque
y un disco
(10.13)
Ahora viene nuestra recompensa. En el primer tnnino, I,m es la
masa total M. Elsegundo tnnino es cero porque ~mv; es Mmultiplicada
por la velocidad del cen-tro de masa relativa al centro de masa,
que es cero por definicin. El ltimo tnni-no es la suma de las
energas cinticas de las partculas, calculada usando susrapideces
respecto al centro de masa; sta es la energa cintica de rotacin
alrede-dor de ese centro. Siguiendo los mismos pasos que nos
llevaron a la ecuacin(9.17) para la energa cinlica rotacional de un
cuerpo rgido, podemos escribir es-te ltimo trmino como !Jo;mw2
dondeJ
-
372
10.15 El humo que se alza de las ruedastraseras de este coche de
anancones indicaque los neumaticos estn resbalando sobreel
pavimiento, as que v.. no es igual a Rw.
CAPITULO 10 1 Dinmica del movimiento rotacional
en reposo, el punlo 3 en la parte de arriba se mueve hacia
adelante con el doble dela rapidez del centro de masa, y los puntos
2 y 4 a los lados lienen velocidades a450 con la horizontal.
En un instante dado, podemos pensar que la rueda gira alrededor
de un "eje derotacin instantneo" que pasa por el punto de contacto
con el suelo. La velocidadangular w es la misma para ste eje que
para un eje que pasa por el centro de masa; un observador en el
centro de masa ve que el borde da el mismo nmero de revoluciones
por segundo como un observador en el borde ve que el centro de
masada alrededor de l. Si vemos as el movimiento de la rueda de la
figura 10.14, laenerga cintica de la rueda es K = !/]w2, donde 1]
es el momento de inercia dela rueda alrededor de un eje que pasa
por el punto 1. Sin embargo, por el teoremade los ejes paralelos,
ecuacin (9.19),/] = 1f:m + MR1, donde M es la masa total dela rueda
e /= es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el
centro de ma-sa. Usando la ecuacin (10.14), la energa cinlica de la
rueda es
1 1 1 1 IK=-lw2=-1 w2+-MR2w2=_/ w2+-Mu 12 1 2= 2 2 cm 2=
que es igual a la ecuacin (10.11).Es importante tener en cuenta
que la relaci6n Vcrn = Rw s610 se
cumple si hay rodamiento sin deslizamiento. Cuando un coche de
"arraneones"comienza a moverse, las ruedas traseras estn girando
con gran rapidez mien-tras que el veh[culo casi no se mueve, as[
que Rw es mayor que Ve.. (Fig. 10.15).Si el conductor aplica los
frenos con demasiada fuerza y el coche derrapa, lasruedas casi no
girarn y RJ ser menor que v...
Si un cuerpo rgido cambia de altura al moverse, tambin debemos
considerarla energa potencial gravitacional. Como vimos en la
seccin 9.4, la energa po-tencia! gravitacional asociada a cualquier
cuerpo extendido de masa M, rgido ono, es la misma que si
sustituimos el cuerpo por una partcula de masa M situadaen el
centro de masa del cuerpo. Esto es,
U = Mgycm
Ejemplo105 Casco cilndrico que rueda
Un casco cilndrico hueco de masaMy radio R rueda sin resbalar
conrapidez v"", en una superficie plana. Qu energa cinetica
tiene?
l'l!l!!m!llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usaremos la ecuacin (l0.11)
paraoblener la energa cinlica. El momento de inercia es 1= Mt1 de
latabla 9.2 y la rapidez angular es w - varlR porque se rueda sin
res-balar.
EJECUTAR: Susliruyendo estas expresiones en la ecuacin
(l0.11)obtenemos
EVALUAR: La energia cintica es el doble de la que seria si el
cas-co se estuviera deslizando con rapidez v... sin rodar. La mitad
de laenergia cinelica IOlal es tnl.slacional y la OITa mitad es
rolacional.
Ejemplo10.6 Rapidez de un yoyo burdo
Se hace un yayo burdo enrollando un cordel varias veces
alrededorde un cilindro slido de masa My radio R (Fig. 10.16). Se
sostieneel extremo del cordel fijo mientras se suclta el cilindro
desde el re-poso. El cordel se desenrolla sin resbalar ni eslirarse
al caer y girar
el cilindro. Use consideraciones de energa para calcular la
rapidezv"'" del centro de masa del cilindro slido despus de caer
una dis-tancia h.
-
10.3 I Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvil 373
2
10.16 Clculo de la rapidez de un YCfYO burdo.
m!I3lmIIDENTIFICAR: El extremo superior del cordel est fijo. no
se tira del hacia arriba, as que la mano de la figura 10.16 no
efecta traba-jo sobre el sistema del cordel y cilindro. Al igual
que en el ejemplo9.8 (seccin 9.4), hay friccin entre el cordel y el
cilindro pero, co-mo el cordel no resbala, no se pierde energa
mecnica y podemosusar la conservacin de la energa mecnica.
PLANTEAR: Las energas potenciales son UI = Mgh YU2 - O. Elcordel
no tiene energia cinetica porque no tiene masa. La energacinttica
inicial del cilindro es XI - O, Yla final (X0 est dada por
laecuacin (10.11). El momento de inercia es f = tMR 2 yw -
IJar!Rporque el cilindro no resbala en el cordel.
EJECUTAR: Utilizando la ecuacin (10.1 1), la energa cintica en
elpunto 2 es
1 1(1 )("_)'X =-Mu 2 +- -MIf -2 2 C"'22R
3=-Mu 2
4 -Entonces, la conservacin de la energa da
XI + UI = X2 + U2
O + Mgh = !Mu 2 + O4 -
y
EVALUAR: ~sta es menor que la rapidez V2iii que lendria un
ob-jeto que se deja caer, porque un tercio de la energa potencial
libe-rada aparece como energa cintica rotacional.
Ejemplo107 Carrera de cuerpos rodantes
En una demostracin, un profesor pone a "competir" diversos
cueropos rgidos redondos soltndolos del reposo desde arriba de un
pIa-no inclinado (Fig. 10.17). Qu forma debc tener un cuerpo
parallegar a la base primero?
m!I3lmIIDENTIFICAR: Podemos usar conservacin de la energa porque
loscuerpos no resbalan sobre el plano indinado. La friccin
cinticano efecta trabajo si los cuerpos ruedan sin resbalar. Tambin
pode-mos despreciar los efectos de lafriccin de rodamiento,
presentadaen la seccin S.3, si los cuerpos y la superficie sobre la
que ruedanson perfectamente rgidos. (Ms adelante explicaremos por
qu.)
Th
1
10.17 Cul cuerpo baja ms rpidamente y por qu?
PLANTEAR: Cada cucrpo parte del reposo desde arriba de una
pen-diente de altura h, asi que KI = 0, VI - Mgh YV2= O. La energla
ci-ntica en la base del plano est dada por la ecuacin (10.11). Si
loscuerpos ruedan sin resbalar, w - v,dR. U1s momentos de inercia
detodos los euerpos redondos de la labIa 9.2 (alrededor de ejes
quepasan por su centro de masa) pueden expresarse como 1=. cMRl
,donde c es un nmero puro menor o igual que I que depende de
lafonoa del cuerpo. Nuestro objetivo es hallar el valor de e que
pro-porciona al cuerpo la ms alta rapidez en la base del plano
indinado.
EJECUTAR: Por la conservacin de la c:ufgia..
K] + VI = K2 - U2
I 2 I ..("_)'O + Mgh = -Mu - -cMR:' -2 .. 2 R1
= 2"(1 + C)MU=2
asi que la rapidez en la base de la pendiente es
J2gh" - --_ca - 1 +c
-
374 CA PT ULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional
EVALUAR: ste resultado es sorprendente; la rapidez no dependede
la masa M del cuerpo ni de su radio R. Todos los cilindros s-lidos
unifonnes tienen la misma rapidez abajo, aun si sus masas yradios
son diferentes, porque tienen la misma c. Todas las esferasslidas
tienen la misma rapidez, etc. Cuanto menor sea e, mayor se-r la
rapidez del cuerpo abajo (yen cualquier punto de la bajada).
Los cuerpos con e pequea siempre vencen a aquellos con e
gran-de, porque menos de su energa cintica se dedica a raJacion y
msa traslacin. Si leemos los valores de e de la tabla 9.2, vemos
que elorden de llegada es: cualquier esfera slida, cualquier
cilindro sli-do, cualquier esfera hueca de pared delgada y
cualquier cilindrohueco de pared delgada.
El movimiento rotacional alrededor del centro de masa se
describe mediante elanlogo rotacional de la segunda ley de Newton,
ecuacin (10.6):
Traslacin y rotacin combinadas: dinamicaTambin podemos analizar
el movimiento traslacional y rotacional combinado deun cuerpo rgido
desde la perspectiva de la dinmica. Mostramos en la seccin 8.5que,
para un cuerpo de masa total M, la aceleracin aem.del centro de
masa es iguala la de una masa puntual M sobre la que actan todas
las fuerzas externas a las queest sujeto el cuerpo:
(10.16)
(10.15)
donde 10m es el momento de inercia respecto a un eje que pasa
por el centro de ma-sa y -r" incluye todos los momentos de torsin
externos respecto a ste eje. No esobvio que la ecuacin (10.16) sea
aplicable al movimiento de un cuerpo rgido entraslacin; despus de
todo, nuestra deduccin de I-rz = azen la seccin 10.2 diopor hecho
que el eje de rotacin era estacionario. No obstante, la ecuacin
(10.16)es vlida aun si el eje de rotacin se mueve, si se satisfacen
estas condiciones:
1. El eje que pasa por el centro de masa debe ser un eje de
simetra.2. El eje no debe cambiar de direccin.
Estas condiciones se satisfacen en muchos tipos de rotacin (Fig.
10.18). Cabe se-alar que en general ste eje de rotacin mvil no est
en reposo en un marco dereferencia inercial.
Ahora podemos resolver problemas de dinmica en los que
intervengan cuer-pos rgidos con movimientos: traslacional y
rotacional simultneos, siempre queel eje de rotacin cumpla las
condiciones anteriores. La estrategia de resolucinde problemas
bosquejada en la seccin 10.2 es igualmente til aqu, y le
recomen-damos repasarla. Tenga presente que, si un cuerpo tiene
movimiento traslacionaly rotacional al mismo tiempo, necesitamos
dos ecuaciones de movimiento inde-pendientes para el mismo cllelpo.
Una, la ecuacin (10.15), describe la traslacindel centro de masa.
La otra, ecuacin (10.16), describe la rotacin alrededor deleje que
pasa por el centro de masa.
10.18 El eje de una rueda de bicicleta pa-sa por el centro de
masa de la rueda y esun eje de simetria. Por tanto, la romcin dela
rueda est descrita por la ecuacin(10.16), siempre que la bicicleta
no d lavuelta ni se incline hacia un lado (10 cualalteraria la
orientacin del eje).
1
1,l,
EJECUTAR: La ecuacin para la traslacin del centro de masa es
dro. La figura 10.19 es un diagrama de cuerpo libre del yoyo,
don-de se indican las direcciones de las coordenadas positivas. Con
es-tas coordenadas, la incgnita es aom-r
_ Aceleracin de un yoyo burdo
Para el yayo burdo del ejemplo 10.6, calcule la aceleracin
haciaabajo del cilindro y la tensin en el cordel.
lm!lilmIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usaremos las ecuaciones (10.15)
y(1O.16),junw con la condicin que el cordel no resbale en el cilin-
:Fy = Mg + (-T) = Macm.y (l0.17)
-
10.3 I Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvil 375
(10.19)T
Mg
Iy
10.1 9 Diagrama de cuerpo libre de un yoyo burdo(ver Fig.
10.16).
El momento de inercia para un eje que pasa por el centro de
masaes l-yh,podemos demostrar que la rapidez del yayo despus de
caer una dis-tancia h es Ucm = ~,como determinamos en el ejemplo
10.6.
EVALUAR: Desde el punto de vista de la dinmica, la fuerza de
ten-sin es fundamental, pues hace que la aceleracin del yayo sea
menorque g, y su momento de torsin hace girar al yoyo. No
obstante,cuando analizamos esta situacin en el ejemplo 10.6 usando
mto-dos de energia, no tuvimos que considerar la tensin! Dado que
nose perdi ni gan energia mecnica, desde el punto de vista
energ-tico el cordel slo es importante porque ayuda a convertir
parte dela energa potencial gravitacional en energa cintica
rotacional.
Ejemplo109 Aceleracin de una esfera rodante
PLANTEAR: La figura 10.20b es el diagrama de cuerpo libre, e
in-dica las drecciones de coordenadas positivas. De la tabla 9.2,
elmomento de inercia de una esfera slida es Icm = !MR2 Las
ecua-ciones de movimiento para traslacin y para rotacin alrededor
deleje que pasa por el centro de masa son, respectivamente,
Una bola de bolos slida rueda sin resbalar por la rampa de
retomojunto a la mesa (Fig. 10.20a). La rampa forma un ngulo (3 con
lahorizontal. Qu aceleracin tiene la bola? Trtela como esfera
s-lida uniforme, despreciando los agujeros.
EI!!I3I':'llIIIDENTIFICAR: Al igual que en el ejemplo 10.8,
usaremos la ecua-cin (10.15) para describir el movimiento
traslacional, y la ecuacin(10.16), para describir el movimiento
rotacionaL La incgnita es laaceleracin del centro de masa de la
bola.
,,'
F..- = Mg sen f3 + (-j) = Mu..--..-7~ = iR = l
-
376 CA PfT ULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional
Slo la fuerza de friccin/tiene un momento de torsin respecto
aleje que pasa por el centro de masa. Si la bola rueda sin
resbalar, !C-nemas la misma relacin cinemtica G,,,,.x = Retz que en
el ejemplo10.8. Usamos esto para elminar Ctz de la ecuacin
(10.21):
cir una ecuacin para el coeficiente de friccin M, miniJ11!'
necesa-rio para evitar el deslizamiento. La fucrza nonnal es n = Mg
eos {3.La fuerza mxima de friccin esttica es .t,n, as que M, debe
ser depor 10 menos
Friccin de rodamiento
l' !I,
2iR = jMRu,m.x
sta y la ecuacin (10.20) son dos ecuaciones para dos
incgnitas,Gcm.x Yf Despejamosfde la ecuacin (10.20), sustituimos en
laecuacin anterior para eliminar/, y despejamos G'''H para
obtener
5G,m_x = :g sen {3
La aceleracin es ~ de lo que seria si la bola pudiera deslizarse
sinfriccin por la rampa, como el tobogn del ejemplo 5.9
(seccin5.2). Sustituimos sto en la ecuacin (10.20) y
despejamosf
2j=7Mgsen{3
EVALUAR: Dado quc la bola no resbala en el punto de contacto
ins-tanlneo con la rampa,!es una fuerza de friccin esttica; evita
eldeslizamiento y da a la bola su aceleracin angular. Podemos
dedu-
2-Mg sen {3I 7 2
.t,=-;-= Mgcos{3 =7 lall {3Si el plano no est muy inclinado, {3
es pequea, y no se requiere unM, grande para evitar el
deslizamiento. Al aumentar el ngulo, au-menta el valor requerido de
I-t.. como indicaria la inruicin. Si la bo-la comienza a resbalar,
las ecuaciones (l 0.20) y (10.21) siguensiendo vlidas, pero ya no
se cumple que [!,"'_~ = Rw, y acm-~ = Ras;slo tcncmos dos
ecuaciones para tres incgnitas (acm.~' a, yf). Laresolucin del
problema de rodamiento con dcslizamiento requiereconsiderar la
friccin cintica (ver problema de desafio 10.101).
Si la bola desciende una distancia vcrtical h al bajar por la
ram-pa, su desplazamiento sobre la rampa es hlsen (3. El lector
deberpoder demostrar ~ue la rapidez de la bola en la base de la
rampa se-ria vcm = y'fih, que es el resultado que obruvimos en el
ejemplo10.7 con c = l
Si la bola rodara de subida, la fuerza de friccin tambin estara
di-rigida pendientc arriba, como en la figura 10.20b. Entiende por
qu?
En el ejemplo 10.7 dijimos que podemos despreciar la friccin de
rodamiento sitanto el cuerpo como la superficie sobre la que rueda
son perfectamente rgidos.En la figura 1O.21a una esfera
perfectamente rgida baja rodando una pendenteperfectamente rgida.
La linea de accin de la fuerza normal pasa por el centro dela
esfera, as que el momento de torsin es cero; no hay deslizamiento
en el puntode contacto, as que la friccin no efecta trabajo. La
figura 10.21 b muestra unasituacin ms realista en la que la
superficie se "amontona" delante de la esfera ysta rueda en una
zanja somera o poco profunda. Debido a estas defonnaciones,las
fuerzas de contacto sobre la esfera ya no actan en un solo punto,
sino en unarea, concentrndose en el frente de la esfera como se
muestra. En consecuencia,la fuerza normal ejerce un momento de
torsin que se opone a la rotacin. Ade-
yy
(.)
Superficie rgida; lafuerza normal no producemomento de
torsin
Mg/ "
Superficie defonnable;la fuerta nonnal produceun momento de
torsinque se opone a la rotacin
,b)
Mg
"
f
10.21 (a) Fuerzas sobre una esfera perfec-tamente rgida que baja
rodando una pen-diente perfectamente rigida. (b) Si la esferao la
pendiente es deformable, las fuerzasde contacto actan en difcrentes
posicio-nes. la fuerza nonnal produce un momen-lO de torsin
antihorario que se opone a larotacin horaria. La defonnacin se
mues-na muy exagerada.
-
lOA 1 Tmbajo y potencia en movinento rotacional
ms, hay cierto deslizamiento de la esfera en la superficie
debido a la deforma-cin, causando prdida de energa mecnica. La
combinaetn de estos efectos esel fenmeno de friccin de rodamiento,
que tambin ocurre si el cuerpo que rue-da es deformable, como un
neumtico. Es comun que el cuerpo que rueda y la su-perficie tengan
la suficiente rigidez como para hacer caso omiso de la fricetn
derodamiento, y esto es lo que hemos hecho en los ejemplos de la
seccin.
En el ejemplo 10.9, qu valor tendran la aceleracin y la fuerza
de mccin est-tica si la bola fuera una esfera hueca?
10.4 I Trabajo y potencia en movimiento rotacionalCuando
pedaleamos una bicicleta, aplicamos fuerzas a un cuerpo en rotacin
yefectuamos trabajo sobre l. Algo similar ocurre en otras
situaciones de la vidareal, como el eje de un motor que impulsa una
herramienta de potencia o a un ve-hculo. Podemos expresar el
trabajo en trminos del momenlo de torsin y despla-zamiento
angular.
Suponga que una fuerza tangencial Ftan acta en el borde de un
disco pivoteado;por ejemplo, una nia que corre empujando un tiovivo
(Hg. 1O.22a). La rueda giraun ngulo infinitesimal d8 alrededor de
un eje fijo durante un tiempo infinitesimaldt (Fig. 10.22b). El
trabajo dW efectuado por Flan mientras un punto del borde semueve
una distancia ds es dW= Fm" ds. Si dO se mide en radianes, ds =R dO
Y
dW = F,.nRdO
FmnR es el momento de torsin T: debido a la fuerza F=, as
que
=377
(10.22)El trabajo total W efectuado por el momento de torsin
durante un desplazamien-to angular de O, a 82 es
La nia aplica unafuena langencial
L"W = T:dO0, (trabajo efectuado por un momento de torsin)
(10.23)Si el momento de torsin es constante y el cambio de ngulo es
finito!:::..() = 82 - 01,
El trabajo efectuado por un momento de torsin constante es el
producto del mo-mento de torsin y el desplazamiento angular. Si el
momento de torsin se expre-sa en Nm y el desplazamiento en
radianes, el trabajo est en joules. La ecuacin(10.24) es el anlogo
rotacional de la ecuacin (6.1), W= Fs, y la ecuacin (10.23)es el
anlogo de la ecuacin (6.7), W = f Fe< dx, para el trabajo
realizado por unafuerza en un desplazamiento rectilneo.
Si la fuerza de la figura 10.22 tuviera una componente axial o
radial, dichacomponente no efectuara trabajo porque el
desplazamiento del punto de aplicacin slo tiene componente
tangencial. Una componente de fuerza radial o axialtampoco
contribuida al momento de torsin alrededor del eje de rotacin. as
quelas ecuaciones (1 0.23) Y(10.24) son correctas para cualquier
fuerza, independien-Rmente de sus componentes.
W= T.(()2 - ( 1 ) = Tzl:::...O(trabajo efectuado por un momento
de torsin constanle)
(10.24)
o
Vi,ta ,uperiordel tiovivo
(b)
10.22 Una fuerza IaIlgc:ocial :nacuerpo en rotacin efecz:ita
C3bI;a
-
378 CAPTULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional
Si un momento de torsin efecta trabajo sobre un cuerpo rigido
que gira, laenerga cintica cambia en una cantidad igual a ese
trabajo. Podemos demostraresto usando exactamente el mismo
procedimiento que en las ecuaciones (6.11) a(6.13) para una
partcula. Primero representamos el momento de torsin neto so-bre el
cuerpo con 'T:> de modo que, por la ecuacin (10.6), ;: :: la..
Al usar estaecuacin, estamos suponiendo que el cuerpo es rigido y,
por tanto, tiene momen-to de inercia constante. Transformamos el
integrando de la ecuacin (10.23) enuna integral sobre w: as:
Dado que 'T: es el momento de torsin neto, [a integral de la
ecuacin (l0.23) es eltrabajo total efectuado sobre el cuerpo rgido
en rotacin. As, la ecuacin se con-vierte en
(10.25)
El cambio de energa cintica rotacional de un cuerpo rgido es
igual al uabajoefectuado por fuerzas ejercidas desde afuera del
cuerpo. Esta ecuacin es anlogoa la ecuacin (6.13), el teorema
trabajo-energa para una partcula.
Qu hay con la potencia asociada al trabajo efectuado por un
momento de torsinsobre un cuerpo en rotacin? Si dividimos ambos
miembros de la ecuacin (1 0.22) en-tre el intervalo dr durante el
que se da el desplazamiento angular, obtenemos
dW dO- ~T_-dr - dt
Pero dWldt es la rapidez con que se efecta trabajo, o potencia
P, y d8ldt es velo-cidad angular W Z' as que
P ~ 7':W: (10.26)
Ejemplo10.10
Si un momento de torsin 7': (respecto al eje de rotacin) acta
sobre un cuerpoque gira con velocidad angular w" su potencia
(rapidez con qu:, efecta trabajo)es el producto de 7': YWZ' Esto es
el anlogo de la relacin P = F t que desarro-llamos en la seccin 6.4
para el movimiento de partculas.
Potencia de motores y momento de torsin
La poI:encia desarroUada por el motor de un automvil se anuncia
como200 hp a 6000 rpm. Calcule el momento de ron:in
corrc:spoodiente.
lE!!lil':1lIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: os dan la potcncia
desarrollada Pyla 'clocldad angular w" asi que podemos obtcner el
momento derorsin con la ecuacin (10.26).
EJECUTAR: Primero debemos convertir la polencia a wans y la
veIocidad angular a radls:
('46 W)p", 200bp = 200hp -- = 1.49 x lo'W1hp
w. ~ 6000 re,/min ~ (6000 .re' )(2~ nd)(1min) Imm lrev 60s
= 628 fa(l/s
Por la ecuacin (10.26),
1.49 X lo'Nm/s =237N'm628 radls
EVALUAR: Podramos aplicar este momenro de torsin usando unallave
de tuercas de 0.25 m de largo y aplicando una fuerza de 948 Nal
extremo de su mango. Podria el lector hacerlo?
-
Ejemplo10.11
10.5 I Cantidad de movimiento angular
Clculo de potencia a partir del momento de torsin
}79
Un motor elctrico ejerce un momento de torsin constante de 10Nm
sobre una piedra de amolar montada en un eje. El momento deinercia
de la piedra es l = 2.0 kgom2 y el sistema parte del reposo.Calcule
el trabajo efectuado por el motor cn 8.0 segundos y la
energiacintica al fmal de este lapso. Qu potencia media desarroll
el motor'?
lE!!I3I!llIIDENTifiCAR Y PLANTEAR: Usamos la versin rotacional
de lasegunda ley de Ncwton, :h, = la., para obtener la aceleracin
an-gular de la piedra. Despus usaremos las ecuaciones de
cinemticade la seccin 9.2 para calcular el ngulo que la piedra gira
en 8.0 s(lo cual nos da, a travs de la ecuacin (10.24), el trabajo
efectua-do) y la velocidad angular en ese momento (lo cual nos da
la ener-ga cintica). Obtenemos la potencia media dividiendo el
trabajorealizado entre el intervalo de tiempo.
EJECUTAR: Tenemos Ir, = 10 Nm (el nico momento de torsinque acta
se debe al motor) el'"' 2.0 kgom2, as que, por Ir, = la=>la
aceleracin angular es de 5.0 rad/s'. Por la ecuacin (9.11), elngulo
total que el sistema gira en 8.0 s es
1 1!1(J=-at~=-(50radls2)(80,)l= lOrad2' 2' .
y el trabajo total efectuado por el momento de torsin esW= 'f,d9
= (lON'm)(160rad) = l001
Por las ecuaciones (9.7) y (9.17), la velocidad angular y la
energacintica en t = 8.0 s son
W, = a,1 = (5.0 rad/s2)(8.0 s) = 40 radls1 1
K = "2/w,2 = "2(2.0 kg' m2)(40 radls)2 = 16001
La energia cintica inicial era cero, as que el trabajo efecmado
esigual al incremento en la energa cintica [Vase ecuacin
(10.35)].
La potencia media es16001Pmed =-- = 2001/s = 200W8.0 s
EVALUAR: Podemos comprobar el valor que obmvimos para la
po-tencia media considerando la potencia instantnea, P = 'f,w,.
Ob-serve que, dado que w, aumenta continuamente, P tambin
aumentacontinuamente; su valor es cero en t = OYaumenta a (10
Nom)(40radis) = 400 W en (= 8.0 s. La velocidad angular y la
potencia au-mentan uniformemente con el tiempo, asi que la potencia
media esla mitad de este valor mximo, o sea 200 W.
(10.27)
Se aplican momentos de torsin iguales a dos cilindros distintos,
uno de los cua-les tiene un momento de inercia dos veces mayor que
el del otro. Los dos cilindrosestn inicialmente en reposo. Despus
de una rotacin completa, cul cilindrotiene mayor energia
cintica?
10.5 I Cantidad de movimiento angularTodas las cantidades
rotacionales que hemos visto en los capitulos 9 y 10 soo an-logos
de una cantidad en el movimiento traslacional de una partcula. El
anlogode la cantidad de movimiento de una partcula es la cantidad
de movimiento~guiar, una cantidad vectorial denotada con l. Su
relacin con la cantidad de mo-vimiento ji (que a veces llamaremos
cantidad de movimiento lineal por claridad)es exactamente la misma
que entre momento de IOrsin y fuerza, T = r x F. Pa-ra una partcula
de masa constante m, velocidad V, cantidad de movimientoji = mv, y
vector de posicin r relativo al origen O de un marco inercial,
demi-mos la cantidad de movimiento angular L como
L=rxji=rXmv(cantidad de movimienlO angular de una partcula)
El valor de l depende del origen escogido, ya que en l
interviene el vector de po-sicin de la partcula relativo al origen.
Las unidades de la cantidad de movimien-lO angular son kgm2/s.
En la figura 10.23, para una partcula que se mueve en el
planoxy; se muestran:su vector de posicin r y su cantidad de
movimiento ji = mv. El vector de canti-
7
I=rsm6 ~
L = c::mtid:ad de lDInimiento angularde b.~ perpendicular al
/ pt.mdd lDln'imiento (si el origen O~ e:Re:n ese plano). la
magnitud
deL=mv/
10.23 Clculo de la cantidad de movi-mienlo angular L = r x mi) =
-; X pdeuna pancula de masa m que se mueve enel plano xy.
-
r;:==;=--'---------
380 CA pfTULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional
, dad de movimiento angular l es perpendicular al plano xy. La
regla de la manoderecha para produclos vectoriales nos dice que su
direccin es en el eje +z, y sumagnitud es
dI (d; _) (_ dV) (_ _) (_ _)- = - X mv + r x m- = V x mv + r x
madt dr dt
El primer tnnino es cero porque contiene el producto vectorial
de ti = dTldtcon-sigo mismo. En el segundo trmino sustituimos nw
por la fuerza neta F, obteniendo
(10.28)L = mur sen (jJ = mu/donde 1es la distancia perpendicul3T
desde la Hnea de V a Q. Esta distancia hacelas veces de "brazo
deyalanca" para el vector de cantidad de movimiento.
Si una fuerza neta F acnia sobre una partcula, su velocidad y
cantidad de mo-vimiento cambian, y tambin puede cambiar su cantidad
de movimiento angular.Podemos demostrar que la rapidez de cambio de
la cantidad de movimiento angu-lar es igual al momento de torsin de
la fuerza neta. Derivamos la ecuacin(10.27) respecto al tiempo
usando la regla de la derivada de un prodUCIO:
'?------>r--,L .. cantidad de movimiento
angular de la i...fsimapartfcula del cuerporgido;
perpendicularal plano del movimiento(si el origen O estli en
eseplano), la magnitud deL ",;VI'I = "'I'/W
/,
Tajada deun cuerporgido quegira en tomoal eje l
(10.29)
.',1,I
r
10.24 Calculo de la cantidad de movi-miento angular de una
partcula de masa mien un cuerpo rgido que gira. (Comparecon la Fig.
10.23.) Cada particula se mue-ve en un circulo alrededor del eje de
rola-cin con la misma rapidez angular w.
dI - F- --=rX =1"dI
(para una pancula sobre la que acta una fuerza ')La rapidez de
cambio de la cantidad de movimiento angular de una partculaes Igual
al momento de torsin de la fuerza neta que acta sobre ella.
Compa-re este resultado con la ecuacin (8.3), que dice que la
rapidez de cambio dpldt dela cantidad de movimiento lineal de una
partcula es igual a la fuerza neta que ac-ta sobre ella.
Podemos usar la ecuacin (10.28) para calcular la cantidad de
movimienlOangular total de un cuerpo rigido que gira sobre el eje z
con velocidad angularw. Consideremos primero una rebanada del
cuerpo que est en el plano -l)' (Fig.10.24). Cada partcula de la
rebanada se mueve en un circulo centrado en el origen,yen cada
instante su velocidad Vi es perpendicular a su vector de posicin
Ti, comose muestra. As, en la ecuacin (10.28), cP = 90 para toda
partcula. Una partcu-la de masa /1ll que est a una distancia r l de
O tiene una rapidez Vi igual a rfIJ. Por laecuacin (10.28), la
magnitud L i de su cantidad de movimiento angular es
(10.30)
La direccin de la cantidad de movimiento angular de cada
partcula, dada por laregla de la mano derecha para el producto
vectorial, es sobre el eje +z.
La cantidad de movimiento angular total de la rebanada que est
en el plano-l)'es la suma !L de las cantidades de movimiento
angulares L, de las partculas. Haciendo la sumatoria de la ecuacin
(10.30), tenemos
L;; LI = {mr/)w ;; Iwdonde 1 es el momento de inercia de la
rebanada alrededor del eje z.
Podemos efecruar este mismo clculo para las dems rebanadas del
cuerpo, tO-das paralelas al plano xy. Para los puntos que no estn
en ese plano, surge unacomplicacin porque los vectores r tienen
componente en la direccin z ademsde las direcciones x y y; esto da
a la cantidad de movimiento angular de cada par-tcula una
componente perpendicular al eje z. Pero si el eje z es IIn eje de
simetra,las componentes perpendiculares de partculas en lados
opuestos de este eje su-
-
10.5 I Cantidad de movimiento angular 381
i. = lw (10.31)(para un cuerpo rgido que gira alrededor de un
eje de simetra)
man cero (Fig. 10.25). Asi, cuando un cuerpo jira alrededor de
un eje de simetra,su vector de cantidad de movimiento angular L
queda sobre el eje de simetra y sumagnitud es L = /w.
El vector de velocidad angularw tambin est sobre cl eje de
rotacin, como vimosal final de la seccin 9.1. As, para un cuerpo
rigido que gira alrededor de un eje de si-metra, i y id tienen la
misma direccin (Hg. 10.26), Ytenemos la relacin vectorial
: Enrosque los
t=' =:~ha. en la direccifl f---"~de la rondn,, ir.::-;--;-;--0w
El pulgar derecho
apunta en la direccinde w: si el eje derotacin es un ejede
simema. kta es
tambi~n la direccind
-
382
Ejemplo10.12
,-
CA pfTULO 10 I Dinmica del movimienlO rolacional
friccin en los cojinetes, que hace que stos se desgasten.
"Balancear" una ruedaimplica distribuir la masa de modo que el eje
de rotacin sea un eje de simetra;as, i apuntar a lo largo del eje
de rotacin y no se requerir un momento de tor-sin neto para que la
rueda siga girando.
En rotacin de eje fijo, podemos usar el termino "cantidad de
movimiento anguiar del cuerpo" para referimos slo a la componente
de i sobre el eje de rola-cin del cuerpo (el eje z en la Fig.
10.27), con un signo para indicar el sentido derotacin igual que
con la velocidad angular.
Cantidad de movimiento angular y momento de torsinUna belice de
rurbina del motor de unjet (Fig. 10.28) tiene un mo-mento de
inercia de 2.5 kg. m~ a~edor de su eje de rotacin. Alarrancar la
rurbina, su velocidad angular en funcin del tiempo es
w. = (40 rad/s3)t la) Calcule la cantidad de movimiento angular
de la helice en fun-cin de t y su valor en 1- 3.0 s. b) Calcule el
momento de torsinneto que acta sobre la hlice en funcin de 1, y su
valor en 1 = 3.0 s.
~If"\ENTlFICAR Y PLANTEAR: Al igual que un ventilador, la
helicede una turbina gira alrededor de un eje de simetria, as que
podemosusar la ecuacin (10.31) para obtener L. a partir de w., y la
ecuacin(10.32) para relacionar el momento de torsin neto con la
derivadade LE respecto al tiempo.
EJECUTAR:a) La nica componenle de cantidad de movimiento angular
estsobre el eje de rotacin (z):
LE = lw: = (2.5 kg' m1)(40 radlsJ)r = (IOOkg'm1/s3)r(Omitimos
"rad" de la respuesta porque el radi!in es una
cantidadadimensiona1.) En r" 3.0 s, LE = 900 kg.m1/s.b) La direccin
de [a cantidad de movimiento angular no cambia,asi que el momento
de torsin tambin est sobre el eje de rotacin.Por la ecuacin
(10.32), su componente en ese eje es
En el instante t .. 3.0 s,
EVALUAR: Para comprobar nuestro resultado, vemos que la
ace-leracin angular de [a hlice es": - dwldr = (40 radls2)(2t).,
(SOradls2}1. Por el equivalente rotacional de la segunda ley de
Newton,el momento de torsin que acta sobre la hlice es T: = laE -
(2.5kg _m1)(gO radlslp .. (200 kg- m2/r}l, lo que coincide con
nuestroclculo anterior.
10.28 Se usa una hlice de turbina para mctcr aire en el motor
dcturbo-reaccin.
Una pelotita est pegada al extremo de un cordel. Usted sostiene
el cordel por elotro extremo y da vueltas a la pelota sobre su
mano. Si la rapidez de la pelotita esconstante, es constante su
cantidad de movimiento lineal p? Es constante sucantidad de
movimiento angular i? A que se debe la diferencia?
10.6 I Conservacin de la cantidad de movimiento angularAcabamos
de ver que la cantidad de movimiento angular puede servir para
expre-sar de OtTO modo el principio dinmico bsico del movimiento
rotacional. Tam-bin es [a base del principio de conservacin de la
cantidad de movimientoangular. Al igual que la conservacin de la
energa y de la cantidad de movimien-to lineal, este principio es
una ley de conservacin universal, vlida en todas las
-
,
10.6 I Con~er\'a(in de.' 1;1 (;,mliJ:td de mol illlil.'ntll
,mgu];lf 383
escalas. desde: los sistemas atomicos y Ilucleares lasta /05
mO\'l11icnlo.~ de las ga-laxias. Este principio es consecuencia
directa de la ecuacin (10.32):L::: = iitdl. Si LT = 0, {JLldl =
OYLes constante. Si el momento de torsinexterno nelo que actua
sobre un sistema es cero. la cantidad de mO\'imienlO
~Uigulr to!al del shtcma es constanH' (se cansena).Un
trapecista. un c1avadiSla y un patinador haciendo piruetas en la
punta de un
palin aprovechan este principio. Suponga que una trapecista
acaba de separarse deun columpio con los brazos y piernas
extendidos y girando en sentido antihorarioalrededor de su centro
de masa. Al encoger los brazos y IIS piernas, su momentode inercia
I
mI respecto a su centro de masa cambia de un \"alor grande 1I a
uno mu-cho menor 12, La unica fuerza externa que acta sobre ella es
su peso, que no tie-ne momento de torsin respecto a un eje que pasa
por su centro dc masa. Asi, sucantidad de movimiemo angular L; =
Icmw; permanece constante. y su velocidadangular W; aumenta al
disminuir Icm. Esto es,
Act'vPhys,lcs
7. 14 l~ hol~ Ip ne~.~ :>1 l-;>'
Al mismo tiempo, B ejerce una fuerza FB 01.; .: .:l cuc'j)o A,
CC'!'! ~!'! mOI\Il;;n-~o ~~ t0!"~:-: correspondienle TB~h"_~ ~
- -dL... dLB-+-=0
dt dI
o, dado que LA + LB es la cantidad de movimiento angular total L
del sistema,
(10.34)
flO.")' 0_ .. _ __ ;-'- 0 ~.~ .'. ~_ - - ..~ .- .n ...'~_
dL = O (momento de torsin ex.temo neto cero)dI
Cuando una patinadora o bailarina gira con los brazos estirados
y luego los enco- ?ge, su velocidad angular aumenta al dismi.lUlf
su momento de inercia. En amboscasos se conserva la cantidad de
movimiento angular en un sistema en el que elmomento de torsin
ex.terno neto es cero.
Si un sistema tiene varias partes, las fuerzas internas que esas
panes ejercenentre si causan cambios en sus cantidades de
movimiento angulares, pero la can-tidad de movimiento angular lolal
no cambia. Por ejemplo, considere dos cuerposA y B que interactan
entre s pero con nadie ms, como los astroEautas de la seccin 8.2
(Fig. 8.7). Suponga que el cuerpo A ejerce una fuerza F.aspartes de
su cuerpo en direcciones distintaspara caer parado. En todo momento
duranle este proceso, la cantidad de movimientoangular total del
g:J1O sigue siendo cero.
-
---------------------------------~
384
l" Ejemplo ....... 10.13
e" PiT L lO 11) I Oin:imi~'~ del mo\'imi~nto rol:lCiOI1;,l
Todo mundo puede bailar ballet
Un gil profesor de fsica se par.! en el centro de una mesita
girato-Ti;>. Cnll 1,...~ h,.,.70S f':~lo::ndidos honzonl,tlmente
y una ma!':C1l!:fTla ele5.U kg en cada mano (Fig. 10.JO). Se le
pone a girar sobre un ejevertical, dando UIHI revolucin cada 2.0 s.
Calcule la nueva veloci-dnd angular del profesor si lllcva las
mancuernas a su abdomen. eindique el efecto de esto sobre su
cnergia cintica. Su momento deinercia (sin las mancuernas) es de
3.0 kg m~ con los brazos eslirados. y baja a 2.2 kg. m~ si pone las
manos en el abdomen_ Las man-cuemasestn a 1.0 m del eje al
principio y a 0.20 m al final: lmlelascomo particulas.
IDFNTIFICAR y PLANTFAA'
-
10.6 1 Cnll--en acin Je 1.1 c:mlid;ld de ml,)\ lmi":llIo
;lIlgu!;r 385
w,
8-- --~~1,
10.31 Si el momenlo de torsin externo nclO es cero, la
cantidadde movimienlo angular se conserva. Las fuerzas mostradas
estnsobre el eje de rotacin y. por tanto. no ejercen un momenlO
detorsin alrededor del eje sobre ningn punto.
EJECUTAR: La figura 10.31 ll1u~"tr;1 qlle 1\\da, I;, velOCidades
an-gulares tienen la misma direccin. hl qu..: flod~'I1l\l~ \"cr a
w'' WII Yw como componentes de velocidad .mguLlr a]" ];U"'';O del
eje de ro-tacin. La cunscn':lcin de lil canudad d..: mo\ 111lh:nw
mg:ular da
',W1+ IflWII - \:, 'ltl~I,w, - f"wfI
.w=
EVALUAR: Estc "choque" entre do:; discos es an:ilogo a un
choquetotalmente inclstico (seccin 8.3). Cuando se juntan dos
objetosen movimiento traslacional a 10 largo del mi5mo eje y quedan
pega-dos.la cantidad dc mO\'imiento lineal del sistcma ~ cOllsen'l.
En lasituacin de la figura 10.31, dos objetOs en mo\ imiento
rofOcimwfa lo [argo del mismo eje se juntan ~ adhieren.) 1.1
cantidaci de mo~,;"",;"" 1/II!!!"i",.~ nm!'terva. t:n [m
('t'!""""> r(>".I",..n'.. ,..n'~~" ...,.. ,~
mos qu sucede con [a energia cintiC
-
-386
Ejemplo10.16
1
C- Ar TU LO 10 I Dinmica del ml1\imicnlo rotacional
Cantidad de movimiento angular en una accin policiaca
Una puerta de J.OO m de anchullI y masa de 15 kg lienc bisagras
en uncostado de modo que puede girar sin friccin sobre un eje
vertical.La puerla no est asegurada. Un polica dispara una bala de
10 gcon rapidez de 400 mis al centro exacto de la puerta, en
direccinperpendicular al plano de la puerta (Fig. 10.32). Calcule
la rapidezangular de la puerta justo despues de que la hala se
incrusta. Seconserva la energia cintica?
lEI!l3li1lIIDENTIFICAR: Consideramos la puerta y la bala como un
sislema.No hay momento de IOrsin e:ncmo alrededor del eje definido
porlas bisagras. as que la cantidad de movimiento angular respecto
aeste ~jc se conserva.
EJECUTAR; la canlidad de movimiento angular inicial de la bala
es:L = mul = (0.010 kg)(400 m/s)(O.50 m) = 2.0kgm~ls
La cantidad de movimiento angLllar final es !w, donde f - !r-u
+1bol>. De la labia 9.2. para Llna pLlena de anchura d.
Md! (15kg)(1.0m)l ,!.on. = -,- = 3 = 5.0kg'm-
El momento de inercia de la bala (respecto al eje qLle pasa por
lasbisagras) es
!.... = m! = (0.010 kg)(O.sO m)l = 0.OO25kgm!la conservacin de
la cantidad de movimiento angular eY;~e quemuJ -/w, o sea.
10.32 Una puerta se abre con un disparo (vista superior). la
balase incrusta en el centro de la puerta.
PLANTEAR: La cantidad de movimiento angular inicial esla
total-mente en la bala y esta dada por la ecuacin (10.28). la
cantidad demovimiento angular final es la de un cuerpo rigido
formado por lapuerta y la bala incrustada. Igualaremos estas dos
cantidades y des-pejaremos la rapidez angular w de la puerta y la
bala inmediata-mente despus del choque.
B n~:;'~.' 0.501m\ 1.00 m
ti - 400 mis
B~pu~del impacto
mu/ 2.0 kg m1/sw = - = ,= OAOrad/s
1 5.0kgm2 +O.OO25kgm-
El choque de la bala con la puena es nclstico porque duranteel
impacto actan fuerzas no conservadoras. Por tanto, no espera-mos
que se conserve la energa cinelica. Comprobamos esto calcu-lando
las energias cinticas inicial y finai:
Kl z imu1 = i(O.OIO kg)(400 m1S)2 = 800 J
Xl" !/wl = ..!.(5.(X)25 kg' m2)(O.40 radls)'2 !
'" O.40J
La energia cinelica final es slo 112000 del valor incial!
EVALUAR; La rapidez angular final de la puerta es muy baja: a
0040rad!s, la puerta tardar 3.9 s en oscilar 90 (1T/2 radianes). Le
que-da claro que la rapidez aumentaria al doble si la bala se
dispararacontra el borde de la puerta, cerca de la perilla?
Si los casqueles polares se derritieran lotalmente por el
calentamiento global, elhielo derretido se redistribuirla en (oda
la lerra. Use ideas de cantidad de movi-miento angular para
explicar cmo ese cambio afectaria la duracin del da (eltiempo que
la Tierra tarda en girar sobre su eje). Suponga que el Sol, la Luna
y losplanetas ejercen momentos de torsin despreciables sobre la
Tierra.
10.7 I Girscopos y precesinEn todas las situaciones que hemos
examinado en eSle capitulo, el eje de rotacinse ha mantenido fijo
o, si se ha movido, ha mantenido su direccin (como en el
ro-damiento sin deslizamiento). Divcnos fenmenos fisicos nuevos,
algunos inespe-rados, se presenlan si el eje de rolacin puede
cambiar de dircccin. Por ejemplo,consideremos un girscopo de
juguete apoyado en un extremo (Fig. 10.33). Si lo
-
------~~---~------~ ~--
10.33 Girscopo apoyado en UD extremo.Puesto que el volante gira
con rapidez an-gular w, el volante y el eje no caen, sinoque tienen
un movimiento circular hanzontallJamado precesin. La rapidez
angu-lar de la precesin es n.
'" ROIaCin delvolao~
10.7 I Gin'I ....opos y precesin
sostenemos con el eje del volante horizontal y lo soltamos, el
ex tfrno libre del ejecae debido a la gravedad... si el volante no
est girando. Si el votante gira, 10 quesucede es muy distinto. Una
posibilidad es un movimiento circular uniforme deleje en un plano
horizontal, combinado con la rotacin del volante IIredcd9f del
eje.Este sorprendente movimiento del eje, no intuitivo, se
denoml',a precesj6n. Laprecesin se observa en la Naturaleza, no slo
en mquinas giratorias como los gi-rscopos. En este momento la
Tierra misma est en precesin: su eje de rotacin(que pasa por los
polos norte y sur) cambia lentamente de direccin, completandoun
ciclo de precesin cada 26,000 aos.
Para estudiar este extrao fenmeno, debemos recordar que la
velocidad angu-lar, la cantidad de movimiento angular y el momento
de torsin son cantidades vec-toriales. En particular, necesilamos
la relacin general entre el momento de torsinneto LT que acta sobre
un cuerpo y la rapidez de cambio de la cantidad de movi-mienlo
angular del cuerpo i.. dada por la ecuacin ~.. = dLldt. Apliquemos
pri-mero esta ecuacin al caso en que el volante no gira (Fig.
10.34a). Tomamos elorigen O en el pivote y suponemos que el volante
es simtrico, con masa M y mo-mento de inercia 1alrededor de su eje.
Este eje inicialmente est sobre el ejex. Lasnicas fuerzas externas
que actan sobre el girscopo son la fuerza normal queacta en el
pivote (donde suponemos que no hay friccin) y el peso wdel
volanteque acta en su centro de masa, a una distancia r del pivote.
La fuerza nonnal tiene momento de torsin cero respecto al pivote, y
el peso tiene un momento de tor-sin Ten la direccin y (Fig.
10.34a). Al principio, no hay rotacin y la cantidad demovimiento
angular inicial L; es cero. Por la ecuacin (10.32), el cambio di en
lacantidad de movimiento angular en un intervalo cono dI despus de
este instante es
Movimiento circulardel eje del volan~(prttcsi6a) ~:--
,,
~~~------~--- --j,)F=\\.... Pivote---
-----
Volanle
/--
387
Eje delVOlanle
di = Tdl (10.35)Este cambio es en la direccin y, la de T. Al
transcurrir cada intervalo adicional dI,la cantidad de movimiento
angular cambia en incrememos di en la direccin yporque la direccin
del momento de torsin es constante (Fig. I0.34b). El aumen-to
constante de la cantidad de movimiento angular horizontal implica
que el girs-copo girar hacia abajo alrededor del eje y con rapidez
creciente hasta tirar la baseo golpear la mesa en la que esta
descansa.
Veamos ahora qu sucede si el volante est girando inicialmente,
de modo quela cantidad de movimiento angular inicial i j no es cero
(Fig. 10.35a). Dado que el\ulante gira alrededor de su eje de
simetria, L, est sobre el eje. $10 embargo, ca-da cambio de
cantidad de movimiento angular di. es perpendicular al eje, porque
elmomento de torsin} =;. x wtambin lo es (Fig. IO.35b Esto hace que
cam-bie la direccin de L pero no su magnitud. Los cambios dL
siempre estn en el
Volanle inicialmente enreposo: el IDOI'I'IeDto delonin lo hace
giraren lomo al eje y (el ejedel volante cae)
l')
Cantidad de movimiento angular inicialcero {i, ::: O}. momento
de torsin Tsiempre en la misma direecin. todosJ()$ vectores di en
la misma direccin
'-------"
lb)
10.34 (a) El volante no est girando ini-cialmenle. El momento de
torsin :; se de-be al peso w. (b) Vista directa hacia abajodesde
arriba del girscopo. En cada intervalo sucesivo de tiempo dI,
e~momenIO delorsin produce un cambio dL = ~dt en bcantidad de
movimiento angular. En~caso,.!Ji cantidad de movimiento~final L,
liene la misma diRcciilIl~~y el eje del volante cae.
-
-=-""""'"
388 CAPfTULO 10 I Dinmica del movimiento rotacional
Hay una cantidad de movimiento angular inidalL,: el momentO de
torsin T slo altera ladireccin de i (vectores di perpcndiculllTCS a
i
10.35 (a) El volante est girando inicialmente con cantidad de
movimiento angularl.j. Las fuerzas (no se muestran) son lasmismas
que en la figura 10.34a. (b) Dadoque la cantidad de movimiento
angular inicial no es cero, cada cambio di. = :; dt enla cantidad
de movimiento angular es per-pendicull!.'" a L. El resultado es que
la mag-nitud de L no cambia, pero su direccincambia
continuamente.
..
y
Volante inicialmente enrotaeill: el momento de torsin10 hace
preeesar en tomo al eje Z(el eje del volante no cae)
'o)
Y~di_- dLLe di.didi
l.;Vista superior
,h)
y
I~xO i L-_10.36 Vista detallada de pane de la figura1O.35b. En
un tiempo dI el vector de cantidad de movimiento angular y el eje
delvolante prec:esan juntos un ngulo d(jl.
plano horizontal xy, as que el vector de cantidad de movimiento
angular y el ejedel volante junto con el cual se mueve siempre son
horizontales. En otras pala-bras, el eje no cae; slo tiene
precesin.
Si esto todava le parece misterioso, imagine una pelota atada a
un cordn. Sila pelota est en reposo y tiramos del cordn, la pelota
se mover hacia nosotros.Pero si la bola se est moviendo
inicialmente y tiramos continuame~te del cordnen una direccin
perpendicular al movimiento de la pelota, sta se mover en uncrculo
alrededor de nuestra mano; no se acercar a ella. En el primer caso
la pe-lota tiene cero cantidad de movimiento lineal p al principio;
cuando aplicamosuna fuerza Fhacia nosotros durante un tiempo dt, la
pelota adquiere un cantidadde movimiento dp = Fdr, tambin hacia
nosotros. Pero si la pelota ya tiene unacantidad de movimiento
lineal p, un cambio de cantidad de movimiento dp peropendicular a
pcambiar la direccin del movimiento, no la rapidez. Sustituya ppor
i y Fpor ;: en este argumento, y ver que la precesin no es sino el
anlogorotacional del movimiento circular uniforme.
En el instante que se muestra en la figura 10.35a, el girscopo
tiene cantidadde movimiento angular i. Un intervalo corto dr
despus, la cantidad de movimiento angular esL + di; el cambio
infinitesimal en cantidad de movimiento angulares dL = ;: dr,
perpendicular a L. Como muestra el diagrama vectorial de la
figura10.36, esto implica que el eje de volante del girscopo gir un
ngulo pequeo dq,dado pordq, = IdLI/lrl. La rapidez con que se mueve
el eje, dq,ldr, se denominarapidez angular de precesin; denotando
esta cantidad con n, tenemos
dq, IdiW:1 T, w,II ~ - ~ ~ - ~ - (10.36)dr dr 4. lw
As, la rapidez angular de precesin es inversamente proporcional
a la rapidez an-gular de giro alrededor del eje. Un girscopo que
gira rpidamente tiene precesinlenta; si la friccin en su cojinete
hace que el volante se frene, la rapidez angularde precesin
aumenta! La rapidez angular de precesin de la Tierra es muy lenta(1
revl26,OOO aos) porque su cantidad de movimiento angular de giro L=
es gran-de y el momento de torsin T: debido a las influencias
gravitacionales del Sol y laLuna es relativamente pequeo.
Al precesar un girscopo, su centro de masa describe un crculo de
radio r enun plano horizontal. La componente vertical de aceleracin
es cero, as que lafuerza normal hacia arriba ejercida por el pivote
debe ser igual en magnitud alpeso. El movimiento circular del
centro de masa con rapidez angular n requiereuna fuerza F dirigida
hacia el centro del circulo, con magnitud F = MO
'r. Esta
fuerza tambin debe ser proporcionada por el pivote.
-
10.7 I Girscopos y precesin 389
\ Un supuesto clave que hicimos en nuestro anlisis del girscopo
fue que el vector de canlidad de movimiento angular L slo est
asociado a la rotacin del vo-lante y es puramente horizontal. Sin
embargo, tambin habr una componentevertical de cantidad de
movimiento angular asociada a la precesin del girscopo.Al hacer
caso omiso de esto, hemos supuesto tcirameme que la precesin es
lenta, esdecii, que la rapidez angular de precesin n es mucho menor
que la rapidez angular de rotacin w. Como muestra la ecuacin
(10.36), un valor grande de w autom-ticamente produce un valor
pequeo de n, as que la aproximacin es razonable. Sila precesin no
es lenta, aparecen efectos adicionales, incluido un bamboleo
verti-calo nutacin (vibracin) del eje del volante, superpuesto a la
precesin. Podemosver la nutacin (vibracin) en un girscopo cuando su
roracin se hace lenta, de mo-do que n aumenta yla componente
vertical de Lya no puede despreciarse.
Ejemplo10.17 Girscopo en precesin
gina, lo mismo que ddt. La adicin de: un~eo di a1l. que te-nemos
inicialmente altera la direccin de L como se muestra, asque la
precesin es horaria vista desde arriba.b) Tenga cuidado de no
confundir w yn. Tenemos que n,., (1rev)/(4.0 s) = (217" rad)/(4.0
s) 1.57 radls. El peso es mg, y elmomento de inen:ia alrededor del
eje de simetria de un cilindro s-lido de radio R es I = !m,q2.
Despejando w en la ecuacin (10.]6)tenemos
La figura 10.37a es una vista superior de una rueda de girscopo
ci-Hndrica que un motor elctrico puso a girar. El pivote est en O y
lamasa del eje es insignificante. a) Vista de arriba, la precesin
eshoraria o antihoraria? b) Si una revolucin de: precesin larda 4.0
s,qu rapidez angular tiene la rueda?
El!!l3r:1lIIDENTIFICAR YPLANTEAR: Determinaremos la direccin de
pre-cesin empleando la regla de la mano derecha como en la
figura10.35, que muestra el mismo tipo de girscopo que la figuro.
10.37.Utilizaremos la relacin entre rapidez angular de precesin n
ylarapidez angular de giro w, ecuacin (10.36), para obtener el
valor'" w.
IV' mgr 2grw=-= =--
In (m~n)n ~n2(9.8 m1s2)(2.0 X 10-2 m)(3.0 X 10-2 mp(U7 md/s) =
280 rad/s = 2600 rev/min
EJECUTAR: a) La regla de la mano derecha indica que fi,y l. son
ala izquierda (Fig. IOJ7b). El peso ; apunta hacia adentro de la
p-gina en esta vista superior y acta en el centro de masa
(denotadocon X); el momento de torsin:: = r x wes hacia arriba de
la p-
EVALUAR: La rapidez angular de precesin fl es mucho menor quela
rapidez angular de rotacin w, asi que tenemos un ejemplo deprecesin
lenta.
10.37 Qu direccin tiene la precesindel girscopo?
T3.0cm ,le di. X
O I , "Vista superior O(.) lb)
Saponga que la masa del volante de la figura 10.35 se aumenta al
doble pero 10-las dems dimensiones y la rapidez angular de rotacin
no cambian. Qu
efecto lendria esto sobre la rapidez angular de precesin?
-
390/
e APfT u Lo 10 I Dinmica del movimiemo rotacional
RESUMEN
Cuando una fuerza acta sobre un cuerpo, el momento detorsin T de
esa fuerza respecto a un punto O liene una mag-nirud dada por el
producto de la magninad F de la fuerza y elbrazo de palanca l. En
tnninos ms generales. el momentode torsin es un vector 1- igual al
prodUCIO veclorial de rle]vector de posicin del punto en el que
acta la fuerza) y F.(Vease ejemplo 10.1.)
El anlogo rotacional de la segunda ley de Newton dice queel
momento de torsin neto que acta sobre un cuerpo esigual al producto
del momento de inercia del cuerpo y suaceleracin angular.(Vanse
ejemplos 10.2 a 10.4.)
(10.2)
(10.3)
(10.6)
EIlnaque klIldloo do 11 f1WII)do: = Jemcz, (10.16)u.,.. = Rw
(10.14)
(rodamiento sin deslizamiento)
Si un momento de torsin acta sobre un cuer-po rigido que sufre
un desplazamiento angu-lar, efecta trabajo sobre el cuerpo.
Esetrabajo puede expresarse como una integraldel momento de torsin
o, si el momenlO esconstante, el producto del momento de torsinyel
desplazamiento angular. El teorema detrabajo-energa para el
movimiento rolacionalde un cuerpo rigdo dice que el trabajo
rota-cional total efectuado sobre un cuerpo es igualal cambio de
energa cintica rotacional. Lapolencia. o rapidez con que el momento
detorsin efecta trabajo. es el producto del mo-meDIo de torsin y la
velocidad angular.(Yanse ejemplos 10.10 y 10.11.)
f. '.w= ",.de"
(10.23)
(10.24)
(10.25)
(10.26) 0"'-R ROViSla 'Ul"'riorddtioYivo
-
! La cantidad de movimientQ angular de unapartcula respecto a un
punto O es el productovectorial del vector de posicin rde la
par-tcula respecto a O y su cantidad de movi-miento ji = mv. Si un
cuerpo simtrico giraalrededor de un eje de simetra estacionario,su
cantidad de movimiento angular es el pro-ducto de su momento de
inercia y su vector develocidad angular w. Si el cuerpo no es
sim-trico o el eje de rotacin (z) no es un eje desimetra, la
componente de la cantidad de mo-vimiento angular sobre el eje de
rotacin es lwz.(Vase ejemplo 10.12.)
Notas del lector
i=rxp=rxmv(partcula)
i = lw(cuerpo rigido que giraen torno a un eje de simetra)
(10.27)
(10.31)
,
t~i
391
Enrosque lo. dedos de lamanO derttha en ladireccin"" la
rotacin
El pulgar derecho apuntaen la direccin de w: siel eje"" rolaCin
es uneje de simetra, ~sta es _
tambi~n la direccin de L
La relacin dinmica bsica para el movi-miento rotadonal de
cualquier sistema es queel momento de torsin externo neto es igual
ala rapidez de cambio de la canlidad de movi-miento angular. Si el
momento de torsin ex-terno neto que acta sobre el sistema es
cero,la cantidad de movimiento angular total delsistema es
constante (se conserva).(Vanse ejemplos lO.! 3 a 10.] 6.)
Trminos clave
(10.32)
cantidad de movimiento angular, 379brazo de palanca (brazo de
momento),
362lnea de accin, 362
Notas del lector
momento de torsin, 362precesin, 387principio de conservacin de
la cantidad
de movimiento angular, 382
rapidez angular de precesin, 388rodamiento sin deslizamiento,
37]traslacin y roracin combinadas,
370
-
Respuesta a la pregunta inicial del capitulo ..
~
CAPfTllLO 10 I Dinmicadd movimiento rotacional392
Cuando el acrbata est en el aire, el momento de torsin nclo
queacta sobre su centro de masa es cero. Por tanlO. la cantidad de
mo-vimiento angular de su cuerpo (el producto del momento de
inerciaI y la mpidez angular w) en lomo al centro de masa se
mantieneconstante. Al estirar sus extremidades, el acrbata aumenta
/, asque w disminuye; si encoge las extremidades, 1disminuye y w
au-menta.
Respuestas a las preguntas deEvale su comprensin
Seccin lD.1 El momento de torsin es proporcional al productode
la distancia T y [a magnitud de la fuerza F. Sin el rubo, la
distan-cia r es