Cap´ıtulo 1 - IForca/algtens.pdf · Cap´ıtulo 1 Algebra tensorial´ 1.1 Algebra linear´ Referˆencias: [8, 16, 4, 5, 11, 7, 10, 14, 6, 21] Obviamente, o conceito preciso e puro

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Capıtulo 1

Algebra tensorial

1.1 Algebra linear

Referencias: [8, 16, 4, 5, 11, 7, 10, 14, 6, 21]

Obviamente, o conceito preciso e puro de vetor e aquele fornecido pela algebra linear; emparticular, e obvio que, a rigor, um vetor: (i) nao e “uma grandeza caracterizada por modulo,direcao e sentido”, e (ii) nao e “uma tripla (ou n-upla) numerica (real, complexa, etc)”. De fato,num espaco vetorial puro (bruto) nao existe a nocao de modulo de um vetor, assim como a triplanumerica define tao somente as componentes do vetor numa dada base1. Isso posto, e claroque devemos, imediatamente, reconhecer o papel fundamentalıssimo e talvez o mais importante,do ponto de vista heurıstico, da associacao primitiva de vetores com deslocamentos no espacofısico; em geral, alias, o surgimento de novos conceitos e teorias vem, a partir da pratica, envoltonuma serie de superestruturas superfluas, que, so com o desenvolvimento logico posterior, ficaevidenciado.

No caso particular dos deslocamentos, o que se faz necessario e considerar o espaco fısicocomo um espaco afim, no sentido matematico preciso da palavra2. Aqui, so queremos lembrarque, com essa estrutura, e que podemos dar sentido a nocao de que o espaco fısico, pelo menosna acepcao da geometria euclidiana, nao possui origem privilegiada; o conceito mais primitivo eo de ponto, a partir do qual se constroi o de deslocamento e, como consequencia, o de vetor3.Dito de outra forma, num espaco vetorial puro, nao existe a nocao de ponto.

1Eu, Maurıcio Ortiz Calvao, sou “representado”, no Brasil, por uma carteira de identidade com um certonumero de registro geral, ao passo que, nos Estados Unidos, possuo uma carteira com um numero distinto; seraque, por isso, eu, Maurıcio Ortiz Calvao, sou duas pessoas?

2Gostarıamos de remeter, aqui, o leitor para o livro de Bamberg & Sternberg, [4], em especial as duas primeirassecoes do primeiro capıtulo, onde os autores constroem, explicitamente, a ideia de vetor a partir dos pontos deum espaco afim. Tal obra e extremamente didatica e de agradavel leitura.

3Convem refletir sobre tres conceitos de vetor tradicionalmente introduzidos na literatura: livre, deslizante eligado; pense na nocao de equipolencia na geometria euclidiana [16].

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8 CAPITULO 1. ALGEBRA TENSORIAL

1.1.1 Espacos vetoriais

1.1.1.1 Axiomas

Um espaco vetorial (ou linear) T (sobre K) e um conjunto {T, +, ·,K}, onde T e um conjuntonao vazio de elementos chamados vetores, +, · sao duas leis de composicao:

+ : T × T → T (adicao)· : K × T → T (multiplicacao por escalar)

e K := (K,⊕,¯) e um corpo, cujos elementos do conjunto de base, K, sao chamados, nessecontexto, de escalares (por exemplo, os numeros reais, racionais, ou complexos). Outrossim, taiscomposicoes devem satisfazer, para quaisquer u,v,w ∈ T e a, b ∈ K, os seguintes axiomas4:

1. v + w = w + v (comutatividade da adicao)

2. u + (v + w) = (u + v) + w (associatividade da adicao)

3. ∃ 0 |v + 0 = v (existencia de elemento neutro para adicao)

4. ∃ −v ∈ T |v + (−v) = 0, ∀ v (existencia de elementos inversos para adicao)

5. a · (v + w) = a · v + a ·w6. (a⊕ b) · v = a · v + b · v7. a · (b · v) = (a¯ b) · v8. 1·v = v.

Os axiomas de (1) a (4) tornam {T, +} um grupo abeliano (comutativo). Os axiomas (2) e (7),com o abuso de notacao mencionado na nota de rodape 4, permitem a eliminacao de parentesesem certas expressoes; ou seja, u+v+w=(u+v)+w e abv = (ab)v.

Exercıcio 1.1 Prove as seguintes consequencias imediatas dos axiomas:

1. o elemento neutro, 0, para adicao e unico.

2. para todo v ∈ T , 0v = 0.

3. os elementos inversos para adicao sao unicos.

4. se a ∈ K,v ∈ T , e av = 0, entao ou a = 0 ou v = 0.

Exercıcio 1.2 Seja T := Rd :=

d vezes︷︸︸︷R× · · · ×R, onde R e o conjunto dos numeros reais. Defina-

mos

(u1, . . . , ud) + (v1, . . . , vd) = (u1 + v1, . . . , ud + vd),

a · (v1, . . . , vd) = (av1, . . . , avd),∀a ∈ R.

Prove que (Rd, +, ·) e, entao, um espaco vetorial (sobre o corpo dos reais).

4Infelizmente, por abuso de notacao, costuma-se denotar ambas as operacoes · e ¯ simplesmente por justa-posicao, assim como as operacoes + e ⊕ pelo mesmo sımbolo +. Tome cuidado!

1.1. ALGEBRA LINEAR 9

Exercıcio 1.3 Seja R+ o conjunto de numeros reais positivos. Defina a “soma” de dois elemen-tos de R+ como sendo o produto no sentido usual (p + q := pq), e a multiplicacao por escalaresde R como sendo

· : R×R+

(r, p) 7→ r · p := pr.

Com tais operacoes, mostre que (R+, +, ·) e um espaco vetorial sobre R.

Se U e V sao dois espacos vetoriais sobre o mesmo corpo de escalares, entao construımos umnovo espaco vetorial, dito a soma direta de U e V e denotado por U + V, da seguinte forma: onovo conjunto de vetores e U × V , as novas adicao e multiplicacao por escalar sao definidas por(com um evidente abuso de notacao)

(u,v) + (u′,v′) := (u + u′,v + v′)

a · (u,v) := (a · u, a · v).

Exercıcio 1.4 Mostre que, no exercıcio 1.2 acima, (Rd, +, ·) e a d-esima soma direta de Rconsigo mesmo.

1.1.1.2 Convencoes de domınio, de soma e de nucleo-ındice

Seguindo [8], e mais simples comecar com um exemplo de equacao matricial:

u = Av.

Aqui v e uma matriz (“vetor”) coluna, de ordem N × 1, digamos; A e uma matriz de ordemM × N ; e u e, pois, uma matriz (“vetor”) coluna, de ordem M × 1. Esta equacao matricialnos diz como cada elemento individual de u e determinado a partir dos elementos individuaisde v via A. Para escrevermos explicitamente tal expressao, introduz-se uma notacao para oselementos (“componentes”) de u e v, assim como os elementos de A: digamos que va representeo a-esimo elemento de u (a = 1, 2, . . . , N), uα o α-esimo elemento de v (α = 1, 2, . . . , M), eAα

a o elemento da α-esima linha e a-esima coluna de A. A equacao matricial acima e, entao,equivalente as M equacoes

uα =N∑

α=1

Aαav

a.

A convencao de domınio surge da observacao de que nao e necessario enunciar, em cada ocorrenciade um conjunto de equacoes como essa, que existem M equacoes envolvidas e que a validade decada uma delas esta sendo afirmada. Isso pode ser percebido a partir da presenca do ındice αem cada membro da equacao: pois α e um ındice livre, diferentemente de a, que esta sujeito aum sinal de somatorio. Por outro lado, a convencao de soma segue da observacao de que, sempreque uma soma ocorre em uma expressao desse tipo, e uma soma sobre um ındice (no caso a) queocorre precisamente duas vezes na expressao a ser somada. Assim, uma soma ocorre somentequando ha um ındice repetido; e quando um ındice esta repetido, uma soma e quase sempreimplıcita. Sob tais circunstancias, o sımbolo de somatorio

∑Na=1 nao desempenha nenhum papel


util, ja que a soma pode ser reconhecida pela repeticao de um ındice; o sımbolo pode, pois, seromitido.

Assim, a equacao de “componente” ou elemento acima e escrita, quando as convencoes dedomınio e soma estao vigentes, na forma simples

uα = Aαav

a.

A presenca do ındice repetido a no membro direito implica soma sobre seu domınio permitido devalores 1, 2, . . . , N em virtude da convencao de soma; ao passo que a presenca do ındice livre α,em ambos os membros da equacao, implica igualdade para cada valor 1, 2, . . . , M que ele podeassumir, em virtude da convencao de domınio.

Em geral, as convencoes de domınio e de soma funcionam da seguinte maneira. Se, numaequacao envolvendo grandezas indexadas, existem ındice livres (nao repetidos), entao a equacaovale para todos os valores nos domınios de todos os ındices livres, tendo tais domınios sidoanteriormente declarados: isso e a convencao de domınio. Onde, numa expressao envolvendograndezas indexadas, qualquer ındice estiver repetido, soma sobre todos os valores possıveis nodomınio daquele ındice e implicada, o domınio, de novo, tendo sido previamente declarado: issoe a convencao de soma.

O funcionamento das convencoes de domınio e de soma na pratica e relativamente direto.Uma ou duas regras–frequentemente melhor empregadas para verificacao interativa da correcaode um calculo–devem ser mencionadas. O numero de ındices livres nos dois membros de umaequacao deve ser o mesmo; e, naturalmente, cada ındice livre diferente em uma expressao deveser representado por uma letra diferente. Indices repetidos em uma expressao so podem ocorreraos pares. A substituicao de uma letra representando um ındice por outra letra e permitida,contanto que todas as ocorrencias da letra sejam alteradas no mesmo tempo e da mesma maneira,e contanto que fique subentendido que a nova letra tem o mesmo domınio de valores que aquelaque ela substitui. A pratica mais conveniente a se adotar, onde ındices com diferentes domıniosestiverem envolvidos em um unico calculo, e reservar uma pequena secao de um particularalfabeto para representar os ındices com um dado domınio. Assim, no caso discutido acima,poder-se-ia tomar a, b, c para variarem e se somarem de 1 a N , e α, β, γ para variarem e sesomarem de 1 a M ; entao, uβ = Aβ

cvc significaria exatamente o mesmo que uα = Aα

ava.

Dois pontos devem ser enfatizados sobre a maneira em que tais convencoes sao usadas nessasnotas. Em primeiro lugar, nos arranjamos as coisas de modo que o par de ındices repetidosimplicando uma soma ocorrera (quase sempre) com um ındice na posicao superior e outro nainferior. Isso ja esta aparente no modo em que escolhemos escrever a equacao matricial acima,quando algo do tipo uα = Aαava poderia ser esperado. O ponto esta relacionado a importanciade distinguir entre um espaco vetorial e o seu dual (vetores coluna versus vetores linha), quesera explorado, com detalhes, mais a frente.

O segundo ponto a prestar atencao e que uma expressao como (xc) e frequentemente usadapara representar (x1, x2, . . . , xn). E mais, o valor de uma funcao de n variaveis, digamos f , em(xc), sera denotado por f(xc). Nesta situacao, o ındice c nao esta sujeito nem a convencao desoma nem a de domınio. Em tal contexto, (xc) deve geralmente ser pensado como o conjuntodas coordenadas de um ponto em algum espaco.


1.1.1.3 Independencia linear e bases

Seja T um espaco vetorial. Um conjunto finito de vetores, digamos {v1, . . . ,vr}, e dito linear-mente dependente se existirem escalares a1, . . . , ar, nem todos zero, tais que aivi = 0 (aqui, ficasubentendido, pelas convencoes de domınio e soma, que trata-se de

∑ri=1 aivi = 0.). Um con-

junto infinito e linearmente dependente se algum subconjunto finito for linearmente dependente.Um conjunto de vetores e linearmente independente se ele nao for linearmente dependente.

Uma soma da forma aivi, onde vi ∈ T e ai ∈ K, e chamada uma combinacao linear dev1, . . . ,vr.

Como consequencias simples, notamos que dois vetores sao linearmente dependentes se ume multiplo do outro; nao podemos dizer que cada um e multiplo do outro, ja que um deles podeser 0. Se um conjunto S inclui 0, entao ele e linearmente dependente a despeito de quaisqueroutros elementos.

Exercıcio 1.5 Prove essas duas ultimas afirmacoes.

O numero maximo de vetores linearmente independentes em um espaco vetorial T e chamadode dimensao de T e denota-se por dimT. Naturalmente, pode nao haver um maximo finito, emcujo caso escrevemos dimT = ∞; isso significa que, para todo n positivo, ha um subconjuntolinearmente independente de T tendo n elementos.

Uma base de T e um subconjunto S de T linearmente independente e tal que todo vetor euma combinacao linear de elementos de S.5

Exercıcio 1.6 Prove que, se S e uma base, entao a combinacao linear que expressa v ∈ T emtermos dos elementos de S e unica, exceto pela ordem das “parcelas”.

Se S e uma base de T, entao, para cada v ∈ T , os escalares unıvocos que ocorrem comocoeficientes na combinacao linear de elementos de S que expressam v sao chamados de compo-nentes de v com respeito a base S. Consideramos que uma componente de v e atribuıda a cadaelemento de S; no entanto, somente um numero finito de componentes serao nao zero6.

Exercıcio 1.7 Prove que todas as bases tem o mesmo numero de elementos, a dimensao de T.

1.1.1.4 Transformacoes de base; vetores contravariantes (ou primais)

Seja {e1, . . . , eN} (ou, simplesmente, {eα}) uma base de um espaco vetorial N -dimensional, T,de modo que qualquer v ∈ T pode ser escito como v = valphaeα, para convenientes escalaresvα. Os escalares vα sao as componentes de v com respeito a base {eα}.

Queremos agora ver como as componentes de um vetor se transformam quando uma novabase e introduzida. Seja {eα′} uma nova base de T, e sejam vα′ as componentes de v comrespeito a essa nova base. Entao

v = vα′eα′ . (1.1)

5Mencionamos, sem prova, que uma base sempre existe. Isso e obvio se dimT for finita, mas, caso contrario,exige inducao transfinita.

6Em espacos vetorias puros, somente combinacoes lineares com um numero finito de termos sao definidas, jaque nenhum significado e atribuıdo a limites ou convergencia. Espacos vetorias nos quais uma nocao de limiteesta definida e que satisfazem certas relacoes adicionais sao chamados espacos vetoriais topologicos. Quando estaestrutura adicional e derivada de um produto interno positivo definido, o espaco e dito um espaco de Hilbert.


Os novos vetores de base podem, como quaisquer vetores, ser expressos como uma combinacaolinear dos antigos:

eα′ = Xβα′eβ, (1.2)

e, inversamente, os antigos como uma combinacao linear dos novos:

eγ = Xα′γ eα′ . (1.3)

(Embora estejamos usando a mesma letra de nucleo X, os N2 numeros Xβα′ sao diferentes dos N2

numeros Xγ′β , as posicoes das plicas indicando a diferenca.) Substituindo, agora, eα′ , de (1.2),

em 1.3, vemeγ = Xα′

γ Xβα′eβ. (1.4)

Devido a independencia linear de {eβ}, temos pois

Xα′γ Xβ

α′ = δβγ , (1.5)

onde δβγ e o delta de Kronecker, definido por

δβγ :=

{0, se β 6= γ,1, se β = γ.

(1.6)

(Note que nao podemos dizer que δββ = 1, pois β aparece tanto como um super-ındice quanto

como um sub-ındice e, de acordo com nossas convencoes, um somatorio esta implıcito; de fato,δββ = N , a dimensao de T.) Analogamente, podemos deduzir que

Xβα′X

γ′β = δγ′

α′ (= δγα). (1.7)

Exercıcio 1.8 Deduza essa ultima equacao.

A substituicao de eα′ , a partir da equacao (1.2), em (1.1), fornece

v = vα′Xβα′eβ, (1.8)

e, devido a independencia linear de eβ,

vβ = Xβα′v

α′ . (1.9)

Consequentemente,Xγ′

α vα = Xγ′α Xα

β′vβ′ = δγ′

β′vβ′ = vβ′ . (1.10)

Recapitulando, se as bases com e sem plica estao relacionadas por

eα′ = Xβα′eβ, eα = Xβ′

α eβ′ , (1.11)

entao as componentes estao relacionadas por

vα′ = Xα′β vβ, vα = Xα

β′vβ′ , (1.12)

e valem

Xαβ′X

β′γ = δα

γ , Xα′β Xβ

γ′ = δα′γ′ . (1.13)


1.1.2 Espacos duais

Embora se sugira que possa ser util visualizar os vetores de um espaco vetorial como um conjuntode setas partindo de uma origem, de certa forma esta imagem pode ser muito capciosa, poismuitos conjuntos de objetos sem qualquer semelhanca com setas constituem espacos vetoriaissob definicoes adequadas de adicao e multiplicacao por escalar. Dentre tais objetos, temos asfuncoes (voce imaginaria uma delas como uma seta?).

Restrinjamo-nos a funcoes reais definidas num espaco vetorial real de conjunto de vetores T .Matematicamente, uma tal funcao f e simbolizada por f : T → R, indicando que ela aplica umvetor de T em um numero real. Pode-se dotar o conjunto de todas as funcoes desse tipo comuma estrutura de espaco vetorial, definindo-se:

1. a soma f + g de duas funcoes f e g como

(f + g)(v) = f(v) + g(v), para todo v ∈ T ;

2. o produto af do escalar a pela funcao f como

(af)(v) = a(f(v)), para todo v ∈ T ;

3. a funcao zero 0 como

0(v) = 0, para todo v ∈ T

(onde, na esquerda, 0 e uma funcao, ao passo que, na direita, ele e o numero real zero);

4. a funcao inversa −f da funcao f como

(−f)(v) = −(f(v)), para todo v ∈ T.

Exercıcio 1.9 Prove que, munido dessas operacoes, o conjunto de funcoes f constitui um espacovetorial. Qual e a sua dimensao?

1.1.2.1 Funcionais ou formas lineares

O espaco de todas as funcoes reais sobre um espaco vetorial T e grande demais para nossospropositos; restringir-nos-emos, pois, aquelas funcoes que sao lineares. Ou seja, as funcoes quesatisfazem

f(au + bv) = af(u) + bf(v), (1.14)

para todos a, b ∈ R e todos u,v ∈ T . Funcoes lineares reais sobre um espaco vetorial realsao geralmente chamadas de funcionais ou formas lineares. E facil verificar que a soma de doisfuncionais lineares e tambem um funcional linear, e que a multiplicacao por um escalar forneceum funcional linear tambem. Essas observacoes garantem que o conjunto de todos os funcionaislineares sobre um espaco vetorial T e tambem um espaco vetorial. Este espaco e o dual de T edenota-se por T∗.

Exercıcio 1.10 Prove as ultimas afirmacoes.


Como os funcionais lineares sao vetores, iremos, de agora em diante, usar o tipo em negritopara eles. Destarte, se v ∈ T e f ∈ T ∗, entao f(v) ∈ R, ou seja, e um escalar, a despeito do tipoem negrito.

Temos agora dois tipos de vetores, aqueles em T e aqueles em T ∗. Para distingui-los, aquelesem T sao chamados vetores contravariantes ou primais, ao passo que aqueles em T ∗ sao chamadosde vetores covariantes ou duais. Como uma caracterıstica distintiva adicional, os vetores de basede T∗ portarao super-ındices e as componentes de vetores em T ∗ portarao sub-ındices. Assim,se {eα} e uma base de T∗, entao g ∈ T ∗ tem uma expressao unica g = gαe

α, em termos decomponentes. Na verdade, a razao para a escolha das expressoes contravariante e covarianteficara mais clara ainda na segunda subsubsecao a seguir.

1.1.2.2 Bases duais (naturais)

O uso da letra minuscula α na soma implıcita acima sugere, de acordo com nossa convencao dedomınio, que o domınio da soma e de 1 a N , a dimensao de T, ou seja, que T∗ tem a mesmadimensao que T. Esse, de fato, e o caso, como provaremos, agora, mostrando que uma dada base{eα} de T induz, de uma maneira natural, uma base dual {eα} de T∗ possuindo N elementosque satisfazem eα(eβ) = δα

β .

Comecamos por definir eα como a funcao real que leva cada vetor v ∈ T no numero real quee a sua α-esima componente vα relativamente a {eα}, ou seja, eα(v) = vα, para todo v ∈ T .Isso nos da N funcoes reais que claramente satisfazem eα(eβ) = δα

β ; resta mostrar que elas saolineares e que constituem uma base de T∗.

Exercıcio 1.11 Verifique que as funcoes eα sao, de fato, lineares.

Para provar que constituem uma base, prosseguimos assim.

Para qualquer g ∈ T ∗, podemos definir N numeros reais gα por g(eα) =: gα. Entao, paraqualquer v ∈ T ,

g(v) = g(vαeα) = vαg(eα) (pela linearidade de g)

= vαgα = gαeα(v).

Assim, para qualquer g ∈ T ∗, temos g = gαeα, mostrando que {eα} gera T ∗ e resta a questao

da independencia linear de {eα}. Isso se responde notando que uma relacao xαeα = 0, onde

xα ∈ R e 0 e o funcional zero, implica que

0 = xαeα(eβ) = xαδα

β = xβ, para todo β.

Do exposto, vemos que, dada uma base {eα} de T , as componentes gα de g ∈ T ∗ relativamentea base dual {eα} sao dadas por gα = g(eα).

1.1.2.3 Lei de transformacao das componentes

Uma mudanca de base (1.11) em T induz uma mudanca da base dual. Denotemos o dual dabase com plica {eα′} por eα′ , de modo que, por definicao, eα′(eβ′) = δα′

β′ , e eα′ = Y α′β eβ, para

1.2. ALGEBRA MULTILINEAR 15

alguns Y α′β . Entao,

δα′β′ = eα′(eβ′) = Y α′

γ eγ(Xµβ′eµ)

= Y α′γ Xµ

β′eγ(eµ) (pela linearidade dos eγ)

= Y α′γ Xµ

β′δγµ = Y α′

γ Xγβ′ .

o que quer dizer Y α′γ = Xα′

γ .

Exercıcio 1.12 Prove essa ultima afirmacao.

Sendo assim, mediante uma mudanca de base de T dada por (1.11), as bases duais de T ∗ setransformam como

eα′ = Xα′β eβ, eα = Xα

β′eβ′ . (1.15)

Mostra-se de imediato que as componentes de g ∈ T ∗, relativamente as bases duais se transfor-mam como

gα′ = Xβα′gβ, gα = Xβ′

α gβ′ . (1.16)

Exercıcio 1.13 Prove isso.

Entao, a mesma matriz [Xα′β ] e sua inversa [Xα

β′ ] estao envolvidas, mas os seus papeis relativa-mente aos vetores de base e as componentes estao trocados.

Dado T e uma base sua {eα}, acabamos de ver como construir o seu dual T∗ com base dual{eα} satisfazendo eα(eβ) = δα

β . Podemos aplicar esse processo novamente para chegar no dual

T∗∗ de T∗, com base dual {fα}, digamos, satisfazendo fα(eβ) = δβα, e os vetores h ∈ T ∗∗ podem

ser expressos em termos de componentes como h = hαfα. Sob uma mudanca de base de T, ascomponentes de vetores em T se transformama de acordo com vα′ = Xα′

β vβ. Isso induz umamudanca da base dual de T∗, sob a qual as componentes de vetores em T ∗ se transformam deacordo com gα′ = Xβ

α′gβ. Por sua vez, isso induz uma mudanca de base de T∗∗, sob a qual ve-seprontamente que as componentes de vetores em T ∗∗ se transformam de acordo com hα′ = Xα′

β hβ

(porque a inversa da inversa de uma matriz e a propria matriz). Ou seja, as componentes devetores em T ∗∗ se transformam exatamente da mesma maneira que as componentes de vetoresem T . Isso significa que, se estabelecermos uma correspondencia biunıvoca entre os vetores deT e de T ∗∗, fazendo com que vαeα em T corresponda a vαfα em T ∗∗, onde {fα} e o dual do dualde {eα}, entao essa correspondencia sera independente de base.

Exercıcio 1.14 Convenca-se disso!

Uma correspondencia biunıvoca independente de base entre dois espacos vetoriais e chamada umisomorfismo natural e, naturalmente, espacos vetoriais naturalmente isomorfos sao geralmenteidentificados, identificando-se os vetores correspondentes. Consequentemente, nos identificare-mos T∗∗ e T.

1.2 Algebra multilinear

Referencias: [5, 11, 7, 10, 14, 21, 15, 19, 2]


1.2.1 Produtos tensoriais; o espaco Trs

Dado um espaco vetorial T, vimos como criar um novo espaco vetorial, a saber o seu dualT∗, mas o processo acaba aı (ao identificarmos T∗∗ com T). Entretanto, e possıvel gerar umnovo espaco vetorial a partir de dois espacos vetoriais, formando o que se chama o seu produtotensorial. Como preliminar para isso, precisamos definir funcionais bilineares em um par deespacos vetoriais.

Sejam T e U dois espacos vetoriais reais de dimensao finita. O produto cartesiano T × U eo conjunto de todos os pares (ordenados) da forma (v,w), onde v ∈ T e w ∈ U . Um funcionalbilinear f sobre T × U e uma funcao real f : T × U → R, que e bilinear, ou seja, satisfaz

f(au + bv,w) = af(u,w) + bf(v,w),

para todos a, b ∈ R, u,v ∈ T e w ∈ U,

e

f(v, cw + ex) = cf(v,w) + ef(v,x),

para todos c, e ∈ R, v ∈ T e w,x ∈ U.

Com definicoes de adicao, multiplicacao por escalar, a funcao zero e inversas analogas asdadas para funcionais lineares na Subsecao 1.1.2, e imediato demonstrar que o conjunto defuncionais bilineares sobre T ×U e um espaco vetorial e, de agora em diante, usaremos tipo emnegrito para os funcionais bilineares.

Exercıcio 1.15 Demonstre o dito acima.

Estamos agora em condicoes de definir o produto tensorial T ⊗ U de T e U como o espacovetorial de todos os funcionais bilineares sobre T ∗ × U∗. Note que, nessa definicao, usamos osconjuntos de base T ∗ e U∗ dos espacos duais, e nao os proprios T e U .

Surge, naturalmente, a questao da dimensao de T⊗U. Ela e, de fato, NM , onde N e M saoas dimensoes de T e U, respectivamente; provamos isso mostrando que, a partir de bases dadasde T e U, podemos definir NM elementos de T⊗ U, que constituem uma base para ele.

Seja {eα}, α = 1, . . . , N e {fa}, a = 1, . . . , M , bases de T∗ e U∗, duais as bases {eα} e {fa} deT e U, respectivamente. (Note que usamos dois alfabetos diferentes para os sufixos que possuemdomınios diferentes.) Definamos NM funcoes eαa : T ∗ × U∗ → R como

eαa(g,h) = gαha, (1.17)

onde gα sao as componentes de g ∈ T ∗ relativamente a {eα} e ha as de h ∈ U∗ relativamente a{fa}. Em particular,

eαa(eβ, f b) = δβ

αδba. (1.18)

E simples mostrar que os eαa sao bilineares e pertencem, assim, a T ⊗ U. Para mostrar queconstituem uma base devemos mostrar que geram T⊗ U e que sao linearmente independentes.

Exercıcio 1.16 Seguindo um desenvolvimento analogo ao da Subsubsecao 1.1.2.2, mostre que{eαa} (i) gera T⊗ U, e (ii) e linearmente independente.


Com o exercıcio acima, demonstramos, pois, que a dimensao de T⊗U e NM , o produto dasdimensoes de T e U, e que, de uma maneira natural, bases {eα} de T e {fa} de U induzem umabase {eαa} de T ⊗ U, sendo as componentes ταa de qualquer τ∈ T ⊗ U, relativamente a essabase, dadas, em termos das bases duais, por ταa =τ (eα, fa).

Investiguemos, agora, como as componentes ταa e os vetores de base eαa se transformamquando novas bases sao introduzidas em T e U. Suponhamos que as bases de T e U se transfor-mem de acordo com

eα′ = Xβα′eβ, f ′a = Y b

a′fb. (1.19)

Isso induz uma nova base {eα′a′} de T⊗ U, e, para quaisquer (g,h) ∈ T ∗ × U∗,

eα′a′(g,h) = gα′ha′ = Xβα′Y

ba′gβhb

= Xβα′Y

ba′eβb(g,h).

Sendo assim,eα′a′ = Xβ

α′Yba′eβb. (1.20)

Analogamente, para as componentes, obtemos

τα′a′ = Xα′β Y a′

b τβb. (1.21)


Um vetor que e um elemento do produto tensorial de dois espacos (ou mais, vide abaixo) echamado um tensor. O produto tensorial, conforme definido acima, e um produto de espacos. Epossıvel definir um tensor que e o produto tensorial g⊗h de vetores individuais g ∈ T e h ∈ U,exigindo-se que

g ⊗ h = gαhaeαa, (1.22)

onde gα e ha sao as componentes de g e h relativamente a bases de T e U que induzem abase {eαa} de T ⊗ U. Embora essa definicao seja dada por intermedio de bases, ela e, de fato,independente de base.


Em particular temoseα ⊗ fa = eαa. (1.23)

O produto tensorial g ⊗ h pertence a T ⊗ U, mas nem todos os tensores de T ⊗ U sao dessaforma. Aqueles que o sao chamam-se de tensores decomponıveis.

Tendo estabelecido a ieia basica do produto tensorial de dois espacos vetoriais, podemosestende-la para tres ou mais espacos. No entanto, dados tres espacos T,U,V, podemos formar oseu produto tensorial de duas maneiras: (T⊗U)⊗V ou T⊗(U⊗V). Esses dois espacos claramentepossuem a mesma dimensao e sao, de fato, naturalmente isomorfos, no sentido de que podemosestabelecer uma correspondencia bijetiva, independente de base, entre os seus elementos, assimcomo fizemos com T e T ∗∗. Isso e feito escolhendo-se bases {eα}, {fa} e {gA} em T, U eV, respectivamente (tres domınios, portanto tres “alfabetos”), deixando ταaAeα ⊗ (fa ⊗ gA)corresponder a (ταaAeα⊗ fa)⊗gA, e mostrando, entao, que essa correspondencia e independentede base. Devido a esse isomorfismo natural, identificamos esses espacos, e a notacao T⊗U⊗Vnao e ambıgua.


Exercıcio 1.19 Prove a existencia do isomorfismo natural mencionado.

Uma maneira alternativa de definir T ⊗ U ⊗ V e como o espaco de funcionais trilinearessobre T ∗ × U∗ × V ∗. Isso leva a um espaco que e naturalmente isomorfo aqueles do paragrafoprecedente, e todos os tres sao identificados.

Exercıcio 1.20 Convenca-se disso.

Existem outros isomorfismos naturais, por exemplo entre T ⊗ U e U ⊗ T, ou entre (T ⊗ U)∗ eT∗ ⊗ U∗, e ,sempre que eles existirem, os espacos sao identificados.

Exercıcio 1.21 Convenca-se disso.

De agora em diante, restringir-nos-emos a espacos de produto tensorial obtidos tomando-seprodutos tensoriais repetidos de um unico espaco vetorial T e o seu dual T∗. Introduzimos aseguinte notacao:

r vezes︷︸︸︷T⊗ T⊗ · · · ⊗ T =: Tr = T r (esta ultima notacao, por abuso),

s vezes︷︸︸︷T∗ ⊗ T∗ ⊗ · · · ⊗ T∗ =: Ts = Ts (esta ultima notacao, por abuso),

T r ⊗ Ts =: T rs .

Em particular T = T 1 e T ∗ = T1.Um elemento de T r e um tensor contravariante de posto r, um elemento de Ts e um tensor

covariante de posto s, ao passo que um elemento de T rs e um tensor misto de posto (r, s). Note

que esta nomenclatura rotula vetores contravariantes e covariantes como tensores de posto (1, 0)e (0, 1) respectivamente. Escalares podem ser incluıdos no esquema geral considerando-os comotensores de posto (0, 0).

Uma base {eα} de T (de dimensao N) induz uma base dual {eα} de T ∗ e essas, juntas,induzem uma base {eβ1···βs

α1···αr} de T r

s . Cada tensor τ ∈ T rs tem N r+s componentes unıvocas

relativamente a base induzida:τ = τα1···αr

β1···βseβ1···βsα1···αr

. (1.24)

Uma mudanca de base de T induz uma mudanca de base de T rs , sob a qual as componentes se

transformam de acordo com:

τα′1···α′rβ′1···β′s = Xα′1

µ1· · ·Xα′r

µrXν1

β′1· · ·Xνs

β′sτµ1···µrν1···νs

. (1.25)

Por exemplo, para um tensor τ ∈ T 12 ,

τα′β′γ′ = Xα′

ρ Xσβ′X

λγ′τ

ρσλ.

E comum definir-se os tensores como objetos tendo componentes que se transformam deacordo com as equacoes (1.25). Esta maneira de se encarar tensores se justifica notando-se quese a cada base de T estao associados N r+s numeros reais, que, sob uma mudanca de base dadapelas equacoes (1.11), se transformam como (1.25), entao esses numeros sao as componentes deum tensor τ de posto (r, s), conforme nos definimos tal objeto; simplesmente fazemos

τ = τα1···αrβ1···βse

β1···βsα1···αr

.


1.2.2 Tensores relativos

Mostraremos agora que existem ainda objetos geometricos mais gerais que os tensores acimavistos, cujas componentes se transformam, nao simplesmente com fatores da matriz de trans-formacao de base, mas, alem disso, com um fator dependente do determinante de tal matriz.Para tanto, relembraremos, na Subsubsecao seguinte, algo sobre determinantes.

1.2.2.1 Determinantes, sımbolos de Levi-Civita, deltas de Kronecker generalizados

Seja uma matriz quadrada N×N [Zαβ], onde, como usual, suporemos que o superındice α indica

linha e o subındice β indica coluna, ou seja,

[Zαβ =

Z11 Z1

2 · · · Z1N

Z21 Z2

2 · · · Z2N

......

. . ....

ZN1 ZN

2 · · · ZNN

. (1.26)

O determinante dessa matriz, det[Z] ou, simplesmente, Z, pode ser definido atraves da regrageral de Cramer ou, de uma maneira mais geometrica, atraves do estudo da nocao de volumenum espaco N -dimensional. Aqui queremos que voce se convenca que ele tambem pode serescrito como:

det[Z] = εα1α2...αNZα1

1Zα2

2 · · ·ZαNN ,

= εα1α2...αN Z1α1Z

2α2 · · ·ZN

αN, (1.27)

onde introduzimos os chamados sımbolos de Levi-Civita:

εα1α2...αN:= εα1α2...αN :=

1, se (α1, α2, . . . , αN) for permutacao par de (1, 2, . . . , N);−1, se (α1, α2, . . . , αN) for permutacao ımpar de (1, 2, . . . , N);

0, nos outros casos, ou seja, se houver ındices repetidos.(1.28)

Observacoes:

1. Note que seguimos a convencao de ε12...N = ε12...N = 1 e nao aquela de ε12...N = −ε12...N = 1,as vezes adotada por alguns autores.

2. Note que, com a equacao (1.27), de fato, fica ovio que, por troca de quaisquer duas filas(linhas ou colunas), o determinante muda de sinal, devido a anti-simetria dos sımbolos deLevi-Civita

3. Como consequencia do item acima, ou diretamente da propria equacao (1.27), o determi-nante de uma matriz com duas filas proporcionais resulta ser nulo.

4. Para ajudar ainda mais na aceitacao da expressao (1.27) para o determinante, lembre-sede (ou prove agora), do calculo vetorial basico, a expressao para (i) o produto vetorial emtermos de componentes cartesianas:

A×B = det

x y zAx Ay Az

Bx By Bz

= εijkAiBj ek.


ou (ii) o produto misto, tambem em termos de componentes cartesianas:

A · (B×C) = det

Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

,

o que tambem faz uma conexao com a ideia, acima mencionada, de determinante comouma medida de volume (no caso, do paralelepıpedo com “arestas” A, B e C).

Tendo em conta a anti-simetria dos sımbolos de Levi-Civita, podemos ainda reescrever a(1.27) como

εα1α2...αN Z = εβ1β2...βN Zα1β1Z

α2β2 . . . ZαN

βN, (1.29)

ou

εα1α2...αNZ = εβ1β2...βN

Zβ1α1Z

β2α2 . . . ZβN

αN, (1.30)

formas que serao uteis para a subsubsecao seguinte.

Exercıcio 1.22 Convenca-se da validade de tais formulas.

Seria interessante se pudessemos ter uma expressao final para o determinante, Z, isoladoem um membro dessa expressao, em funcao dos sımbolos de Levi-Civita e dos elementos damatriz. Para tanto, convem introduzirmos novos objetos, que sao os tensores deltas de Kroneckergeneralizados, δα1α2···αr

β1β2···βr, definidos por

δα1α2···αr

β1β2···βr:= det

δα1β1

δα1β2

· · · δα1βr

δα2β1

δα2β2

· · · δα2βr

... · · · . . . · · ·δαrβ1

δαrβ2

· · · δαrβr

(1.31)

Obviamente, o delta de Kronecker (usual) e um caso particular dessa definicao, correspondenteao valor r = 1. Com r = 2 em (1.31), vemos que

δαβµν = δα

µδβν − δα

ν δβµ .

Em geral, δα1α2···αr

β1β2···βre a soma de r! termos, cada um dos quais e o produto de r deltas de Kronecker

(usuais). Como, conforme ja vimos, o delta de Kronecker (usual) e um tensor do tipo (1,1), segueimediatamente que o delta de Kronecker generalizado e um tensor do tipo (r, r). Da sua propriadefinicao e facil mostrar que: (i) o delta de Kronecker generalizado e anti-simetrico em todosos super-ındices e todos os sub-ındices; (ii) se r > N , onde N e a dimensao do espaco, entaoδα1α2···αr

β1β2···βr≡ 0.

Exercıcio 1.23 Convenca-se dessas afirmacoes.

Queremos agora estabelecer uma relacao ou identidade fundamental entre εα1α2···αN , εβ1β2···βNe

δα1α2···αNβ1β2···βN

:

εα1α2···αN εβ1β2···βN= δα1α2···αN

β1β2···βN. (1.32)


Para tanto, consideremos a grandeza

Aα1α2···αNβ1β2···βN

:= εβ1β2···βNεα1α2···αN − δα1α2···αN

β1β2···βN, (1.33)

que e obviamente anti-simetrica nos subındices e nos super-ındices. Consequentemente, as unicaspossıveis componentes nao nulas de Aα1α2···αN

β1β2···βNocorrerao quando (α1, α2, . . . , αN) e (β1, β2, . . . , βN)

forem permutacoes (sem repeticao) de (1, 2, . . . , N). No entanto, de (1.28), (1.33) e (1.31), ve-sefacilmente que

A12···N12···N = 0.

Logo, acabamos de mostrar queAα1α2···αN

β1β2···βN≡ 0,

o que, por (1.33), estabelece (1.32).

Exercıcio 1.24 Mostre, a partir de (1.32), que, genericamente,

1

j!εα1...αN−jγ1...γjεβ1...βN−jγ1...γj

= δα1...αN−j

β1...βN−j. (1.34)

Daı ou da propria (1.32) vem, em particular, que:

εα1α2···αN εα1α2···αN= N !

Exercıcio 1.25 Prove isso!

Finalmente, podemos, pois, ter a expressao que procuravamos:

Z := det[Zµν ] =

1

N !εα1α2···αN εβ1β2···βN

Zβ1 α1

Zβ2α2 · · ·ZβN

αN. (1.35)

Exercıcio 1.26 Prove-a!

1.2.2.2 Tensores relativos

Consideremos, agora, como caso particular da matriz [Zαβ], tratada na subsubsecao anterior,

uma matriz mudanca de base, num certo espaco vetorial:

eα′ = Xβα′eβ. (1.36)

Nessa situacao, a expressao para o determinante de [Xαβ ], conforme (1.29) ou (1.30), mostra

que, se postularmos, como e naturalıssimo, que, independentemente de base, os valores dascomponentes dos sımbolos de Levi-Civita sao os mesmos (εα′1α′2···α′N = εα1α2···αN e εα′1α′2···α′N =εα1α2···αN

), entao concluımos que as leis de transformacao para esses sımbolos (invariantes pordefinicao) passam a ser:

εα′1α′2···α′N = X−1Xα′1β1

Xα′2β2· · ·Xα′N

βN

eεα′1α′2···α′N = XXβ1

α′1Xβ2

α′2· · ·XβN

α′Nεβ1β2···βN

.


Tais leis sao iguais aquelas para tensores, exceto pela presenca de um fator potencia do determi-nante da matriz mudanca de base. Isso sugere a importancia de tratarmos de objetos geometricoscujas componentes se transformem de uma maneira mais geral. Sendo assim, fugindo um poucoa nossa apresentacao geometrica ou independente de base ata aqui, diremos que um conjuntode N r+s numeros Λα1···αr

β1···βs constituem as componentes de um tensor relativo de posto (r, s) epeso w, se, sob uma mudanca de base (1.36), esses numeros (chamados componentes do tensorrelativo) se transformarem de acordo com

Λα′1···α′rβ′1···β′s = X−wXα′1

µ1· · ·Xα′r

µrXν1

β′1· · ·Xνs

β′sΛµ1···µr

ν1···νs . (1.37)

Note o sinal no expoente do determinante X. Podemos observar, entao que:

1. εα1···αN e εα1···αNconstituem as componentes de tensores relativos de peso 1 e -1, respecti-

vamente.

2. os tensores de que tratamos ate antes dessa subsubsecao sao tensores relativos de peso 0;as vezes, eles sao chamados tensores absolutos.

1.2.3 Operacoes e resultados adicionais

1.2.3.1 Contracao

Ate aqui, temos tres operacoes basicas com tensores (absolutos ou relativos): adicao de tensoresde mesmo posto, multiplicacao de um tensor por um escalar e formacao do produto tensorial.Existe uma quarta operacao basica com tensores, que e mais facilmente explicada em termosde componentes. Esta operacao e a contracao, que associa N r+s−2 numeros (componentes)Rα1···αp−1αp+1···αr

β1···βq−1βq+1···βs com N r+s numeros (componentes) Qα1···αrβ1···βs

, definidos por

Rα1···αp−1αp+1···αrβ1···βq−1βq+1···βs := Qα1···αp−1γαp+1···αr

β1···βq−1γβq+1···βs. (1.38)

Ou seja, fazendo-se um sub-ındice igual a um supre-ındice e somando, como a convencao desoma implica. E claro que existem rs maneiras de fazer isso, cada uma das quais leva a umacontracao do conjunto original de numeros.

O significado especial que essa operacao tem para tensores (absolutos ou relativos) e que, seos numeros originais forem as componentes de um tensor relativo de posto (r, s) e peso w, entaosuas contracoes sao as componentes de um tensor relativo de posto (r− 1, s− 1) e mesmo peso,w.


1.2.3.2 Simetrizacao e anti-simetrizacao

Dada uma matriz [Mαβ], podemos expressa-la sempre como a soma de duas outras matrizes,[M(αβ)] e [M[αβ]], tal que

Mαβ = M(αβ) + M[αβ], (1.39)

onde

M(αβ) :=1

2(Mαβ + Mβα) (1.40)

M[αβ] :=1

2(Mαβ −Mβα). (1.41)


A matriz [M(αβ)] e a chamada parte simetrica de [Mαβ] e o processo mostrado em (1.40) echamado simetrizacao de [Mαβ], ao passo que a matriz [M[αβ]] e a chamada parte anti-simetricade [Mαβ] e o processo indicado em (1.41) e chamado anti-simetrizacao de [Mαβ]; tal terminologiajustifica-se pelo fato de que

M(αβ) = M(βα)

e

M[αβ] = −M[βα].

Alem disso, se, de fato, Mαβ constituı rem as componentes de um tensor de posto (2, 0), assimtambem o constituem M(αβ) e M[αβ], diferentemente de Mα

β.


No caso mais geral, a componente M(α1···αr) da chamada parte (totalmente) simetrica de Mα1···αr

e obtida somando-se todas as componentes obtidas por permutacoes dos ındices (α1, . . . , αr) edividindo-se o resultado por r!; ou seja, no caso de tres ındices, terıamos:

M(αβγ) :=1

3!(Mαβγ + Mαγβ + Mβαγ + Mβγα + Mγαβ + Mγβα) .

Algo analogo vale para a chamada parte (totalmente) anti-simetrica, mas, aqui, as permutacoespares dos ındices (α1, . . . , αr) sao somadas, ao passo que as permutacoes ımpares sao subtraıdas,ou seja:

M[αβγ] :=1

3!(Mαβγ −Mαγβ −Mβαγ + Mβγα + Mγαβ −Mγβα) .

Naturalmente, tudo isso pode ser estendido para “ındices covariantes”, presenvando sempre ocarater tensorial dos objetos resultantes (as partes simetrica e anti-simetrica). Ja a simetrizacaoou anti-simetrizacao em ındices em nıveis distintos nao gera tensores.


1.2.3.3 Regras do quociente

As regras do quociente permitem estabelecer diretamente o carater tensorial de um objeto dadoque o produto dele com um tensor (relativo) arbitrario gera sempre um tensor (relativo). Raci-ocinemos atraves de um exemplo concreto, em termos de componentes, de novo.

Sejam dados, numa certa base, um conjunto de numeros Y αβγ, que, quando multiplicados

pelas componentes T γµ de um tensor arbitrario, saibamos fornecer sempre um tensor Cαβ

µ; ouseja,

Cαβ

µ = Y αβγT

γµ (1.42)

e um tensor para qualquer tensor T γµ. Entao, a regra do quociente, nesse caso, afirma que Y αβγ

constituirao as componentes de um tensor tambem, de posto (1,2), conforme sugerido pela suaestrutura de ındices.

Para provar isso, usamos a lei de transformacao caracterıstica das componentes de um tensor.Imaginamos que, numa nova base, ainda vale a equacao (1.42), como que por definicao das novas


componentes do objeto Y, cujo carater queremos descobrir. Entao,

Cα′β′

µ′ = Y α′β′γ′T

γ′µ′

wwwwwÄ(pois C e T sao tensores)

Xα′α Xβ

β′Xµ′µ Cα

βµ = Y α′

β′γ′Xγ′γ Xµ′

µ T γµ

wwwwwÄsubstituindo (1.42)

Xα′α Xβ

β′Xµ′µ Y α

βγTγµ = Y α′

β′γ′Xγ′γ Xµ′

µ T γµ

wwwwwÄja que T e arbitrario

(Y α′

β′γ′Xγ′γ −Xα′

α Xββ′Y

αβγ

)Xµ′

µ = 0wwwwwÄ

multiplicando por Xµµ′

Y α′β′γ′X

γ′γ = Xα′

α Xββ′Y

αβγwwwwwÄ

multiplicando por Xγσ′

Y α′β′σ′ = Xα′

α Xββ′X

γσ′Y

αβγ ,

que e justamente o que querıamos demonstrar. A propria expressao “regra do quociente” seexplica pela forma como Y α

βγ se apresenta em (1.42).

Exercıcio 1.30 Como voce adaptaria o enunciado de tal regra ao caso de tensores relativos?

Exercıcio 1.31 Se, para um tensor simetrico, mas, fora isso, arbitrario, de componentes Sαβ,o resultado

Cα = Y αβγS

βγ

e sempre um vetor contravariante, o que voce pode deduzir sobre o carater de Y αβγ ou de al-

guma(s) de suas partes?

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Cap´ıtulo 1 - IForca/algtens.pdf · Cap´ıtulo 1 Algebra tensorial´ 1.1 Algebra linear´ Referˆencias: [8, 16, 4, 5, 11, 7, 10, 14, 6, 21] Obviamente, o conceito preciso e puro

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