1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes. A fração é representada por em que n indica em quantas partes o todo foi dividido e m indica quantas são as partes de interesse. Exemplo: 1 4 = 0,25 Neste caso, temos 1 parte de interesse nas 4 partes disponíveis, o que equivale a 0,25. Tipos de fração: Fração própria: É a fração cujo numerador é menor que o denominador. Exemplos: 2 4 , 3 7 , 9 11 … Fração imprópria: É a fração em que o numerador é maior que o denominador. Exemplos: 3 2 , 9 4 , 7 3 … Fração equivalente: São frações que representam a mesma quantidade. Exemplos: 1 2 , 2 4 , 4 8 , 8 16 … Operações com frações: Soma e subtração: Frações que têm os mesmos denominadores, basta somar ou subtrair os numeradores. Exemplos: 1) 1 4 + 3 4 = 4 4 =1 2) 3 8 + 4 8 = 7 8
24
Embed
Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fraçãosites.uem.br/prointe/umuarama/oficinas/oficina-fundamentos-de... · Radiciação é o processo inverso da potenciação, ... quadrado.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Capítulo 1: Fração e Potenciação
1.1. Fração
Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De
início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um
número m dessas partes.
A fração é representada por 𝑚
𝑛 em que n indica em quantas partes o
todo foi dividido e m indica quantas são as partes de interesse.
Exemplo: 1
4= 0,25
Neste caso, temos 1 parte de interesse nas 4 partes disponíveis, o que
equivale a 0,25.
Tipos de fração:
Fração própria: É a fração cujo numerador é menor que o denominador.
Exemplos: 2
4,
3
7,
9
11…
Fração imprópria: É a fração em que o numerador é maior que o
denominador.
Exemplos: 3
2,
9
4,
7
3…
Fração equivalente: São frações que representam a mesma quantidade.
Exemplos: 1
2,
2
4,
4
8,
8
16…
Operações com frações:
Soma e subtração:
Frações que têm os mesmos denominadores, basta somar ou subtrair
os numeradores.
Exemplos: 1) 1
4+
3
4=
4
4= 1
2) 3
8+
4
8=
7
8
2
Frações em que os denominadores são diferentes reduzem-se as
frações a um mesmo denominador, utilizando mínimo múltiplo comum
(M.M.C.).
Exemplos: 1) 3
4+
2
5=
(3∗5)+(2∗4)
20=
23
20
2) 4
8+
3
4=
(4∗4)+(3∗8)
32=
16+24
32=
40
32
Produto:
Na multiplicação de frações, o numerador é o produto dos
numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.
Exemplos: 1) 4
3∗
3
5=
12
15
2) 7
3∗
2
3=
14
9
Divisão:
Já na divisão de duas frações, obtém-se outra fração multiplicando a
primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplos: 1)
2
34
5
=2
3∗
5
4=
10
12
2)
5
43
8
=5
4∗
8
3=
10
3
1.2. Potenciação
Potenciação significa multiplicar fatores iguais (números envolvidos
em uma multiplicação). Ou seja, elevar um número ou expressão a um
expoente. Como exemplo:
Expoente
𝑎𝑛 = a.a.a.a ... a. Potência
Base
Em que a será multiplicado n vezes. O expoente (n) é a quantidade de
vezes que a base (a) se repete e a potência é o resultado do produto.
3
Exemplos:
1) 43 = 4.4.4 = 64
2) −(5)2 = -25
3) −52 = −25
4) 14 = 1.1.1.1 = 1
5) 2650 = 1
Propriedades da potenciação:
1. 𝒂𝒎+ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
Exemplos:
1. 32 + 33= 35
2. 92 + 96 = 98
3. 199 + 11 = 1100
2. 𝒂𝒎
𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏
Exemplos:
1. 46
44= 42 = 16
2. 33
31= 32 = 9
3. 211
2= 210 = 1048
3.(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎∗𝒏
Exemplos:
1. (4𝑥)7 = 47∗𝑥
2. (33)2 = 33∗2 = 36
3. (22)2 = 24 = 16
4
4. √𝒂𝒏𝒎 = 𝒂
𝒏
𝒎
Exemplos:
1. √𝑥2
= 𝑥1
2
2. √363 = 3
6
3 = 32 = 9
3. √264 = 2
6
4 = 23
2 = √232
𝟓. (𝒎
𝒏)
𝒂=
𝒎𝒂
𝒏𝒂
Exemplos:
1. (2
3)
2=
22
32=
4
9
2. (1
2)
10=
110
210=
1
1048
3. (3
9)
3=
33
93=
27
81
6. (𝒎 ∗ 𝒏)𝒂 = 𝒎𝒂 ∗ 𝒏𝒂
Exemplos:
1. (2 ∗ 5)2 = 22 ∗ 52 = 4 ∗ 25 = 100
2. (3 ∗ 7)3 = 33 ∗ 73 = 27 ∗ 343 = 6561
3. (25 ∗ 16)1
2 = 251
2 ∗ 161
2 = 5 ∗ 4 = 20
7. 𝒂−𝟏 =𝟏
𝒂 com a ≠ 0
Exemplos:
1. 2−2 =1
22=
1
4
2. 3−3 =1
33=
1
27
3. 2−10 =1
210=
1
1048
5
Capítulo 2: Radiciação e Fatoração
2.1. Radiciação
Radiciação é o processo inverso da potenciação, uma vez que elevar
um número a um expoente, e o resultado dessa operação for elevado ao
inverso do mesmo expoente, voltará ao número inicial, como mostrado no
exemplo abaixo.
Exemplo:
23 = 8 √83
= 2
Na raiz √𝑎𝑛
= x, tem-se:
O número n chamado de índice;
O número a chamado radicando;
O número x chamado de raiz;
O símbolo √ chamado de radical.
2.1.1. Propriedades da radiciação:
1. √𝒂𝒎𝒏= 𝒂
𝒎
𝒏 (Obs.: já foi vista em Potenciação)
2. √𝒂𝒏𝒏= 𝒂
𝒏
𝒏 = 𝒂𝟏 = 𝟏
Exemplos: 1) √433= 4
3
3 = 4
2) √𝑦44= 𝑦
4
4 = 𝑦
3) √33𝑥𝑥= 33
𝑥
𝑥 = 33
6
3. √𝒂
𝒃
𝒏=
√𝒂𝒏
√𝒃𝒏
Exemplos: 1) √𝑥
𝑦
3=
√𝑥3
√𝑦3
2) √4
9
2=
√42
√92 = 2
3
3) √81
16
4=
√814
√164 = 3
2
4. ( √𝒂𝒏 )𝒎
= (𝒂𝟏
𝒏)𝒎
= 𝒂𝟏
𝒏 .
𝒎
𝟏 = 𝒂𝒎
𝒏 = √𝒂𝒎𝒏
Exemplos: 1) (√22
)2
= 2
2) (√7)3
= 73
2
3) (√34
)6
= 36
4 = 33
2
5. √ √𝒂𝒏𝒎= √𝒂𝒎 . 𝒏
Exemplos: 1) √√6432
= √646
= 2
2)√√𝑥43= √𝑥12
7
3) √√8122
= √814
= 3
2.1.2. Operação com radicais
Adição e subtração:
Quando há radicais iguais, pode-se reduzir os radicais a um único
radical somando, ou subtraindo, os fatores externos dos mesmos, pode-se
dizer que estamos colocando em evidencia os radicais que aparecem em
todos os termos da soma.
Exemplos: 1) 3√2 + 4√2 = ( 4 + 3)√2 = 7√2
2) 𝑥 √𝑦3 + 𝑧 √𝑦3 = (𝑥 + 𝑧) √𝑦3
3) 13√3 − 2√3 = (13 − 2)√3 = 11√3
4) 14√5 − 7√5 = (14 − 7)√5 = 7√5
Multiplicação:
A multiplicação de radicais envolve 3 casos básicos, abaixo será
mostrado cada um deles:
1º caso: Radicais tem raízes exatas.
Quando isso ocorrer, basta extrair as raízes e multiplicar os
resultados.
Exemplos:
1) √25 ∗ √643
= 4 ∗ 5 = 20
2) √814
∗ √83
= 3 ∗ 2 = 6
8
2º caso: Raiz tem o mesmo índice.
Deve-se conservar o índice e multiplicar os radicais.
Exemplos:
1) √23
∗ √73
= √143
2) √204
∗ √34
∗ √44
= √20 ∗ 3 ∗ 44
= √2404
3º caso: Radicais tem índices diferentes.
Nesse caso, o melhor a se fazer é transformar os radicais em
potencias fracionarias. Feito isso transformar os expoentes.
Exemplos:
1) √𝑎2 ∗ √𝑏3
= 𝑎1
2 ∗ 𝑏1
3 = 𝑎3
6 ∗ 𝑏2
6 = √𝑎36∗ √𝑏26
= √𝑎3𝑏26
2) √43
∗ √104
= 41
3 ∗ 101
4 = 44
12 ∗ 103
12 = √4412∗ √10312
Divisão:
Assim como a multiplicação, a divisão de radicais envolve 3 casos
básicos.
1º caso: Radicais tem raízes exatas.
Do mesmo jeito da multiplicação, basta extrair a raiz e dividimos os
resultados.
Exemplos:
1) √81
√83 =9
2
2) √273
√164 = 3
2
9
2º caso: Radicais tem o mesmo índice.
Deve-se conservar os indicies e dividir os radicais.
Exemplos:
1) √123
√33 = √12
3
3= √4
3
2) √𝑥4𝑦3
√𝑥3 = √𝑥4𝑦
𝑥
3= √𝑦𝑥33
= 𝑥 √𝑦3
3º caso: Radicais com índices diferentes
O modo mais fácil de resolver, assim como em multiplicação é
transformar em potencias fracionarias, efetuar as operações com fração e
volta para forma radical.
Exemplos:
1) √23
√24 =2
13
214
= 21
3−
1
4 = 21
12 = √212
2)√𝑥34
√𝑥5 =𝑥
34
𝑥15
= 𝑥3
4−
1
5 = 𝑥11
20 = √𝑥1120
2.1.3. Racionalização de denominadores
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional,
significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional.
Para realizar está operação, basta multiplicar os dois termos da fração por
um número conveniente. Há três casos para realização dessa operação.
1º caso: Denominador com índice quadrático
Exemplos:
1) 3
√4=
3
√4∗
√4
√4=
3√4
(√3)2 =
3√4
4
2) 5
√x=
5
√x∗
√x
√x=
5√x
(√x)2=
5√x
x
10
2º caso: Denominador com índice maior que dois.
Exemplos:
1) 𝑦
√𝑥3 =𝑦
√𝑥3 ∗√𝑥23
√𝑥23 =𝑦 √𝑥23
√𝑥1∗𝑥23 =𝑦 √𝑥23
√𝑥33 =𝑦 √𝑥23
𝑥
2) 4
√24 =4
√24 ∗√234
√234 =4 √234
√21234 =4 √234
√244 =4 √234
2= 2√234
3º caso: Tem-se no denominador soma ou subtração de radicais.
Exemplos:
1) 3
√4−√5=
3
√4−√5∗
√4+√5
√4+√5=
3(√4+√5)
(√4)2
−(√5)2 =
3(√4+√5)
4−5=
3(√4+√5)
−1
2) 8
√6+√3=
8
√6+√3∗
√6−√3
√6−√3=
8(√6−√3)
(√6)2
−(√3)2 =
8(√6−√3)
6−3=
8(√6−√3)
3
2.1.4. Fatoração
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou
mais expressões, chamadas fatores. Em outras palavras, isto significa
escrevê-las na forma de um produto de expressões mais simples.
Exemplo:
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑦)
Tipos de fatoração:
1. Fator Comum: Quando o termo apresenta fatores em comum.
Exemplo: 1) 4𝑥 + 𝑥𝑦 + 3𝑥 = 𝑥(4 + 𝑦 + 3)
2) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏)
2. Agrupamento: Consiste em aplicar duas vezes o fator comum em