Cap´ıtulo 1 Corpo r´ıgido

Capıtulo 1

Corpo rıgido

Exercıcio 1.1: A barra uniforme AB da figura 1.1 tem 4 m de comprimento epesa 100 kgf, podendo girar em torno do ponto fixo C que dista de A 2.5 m. Abarra esta em repouso sobre o ponto A e um homem, pesando 75 kgf, caminhasobre ela partindo de A. Calcule a distancia maxima que o homem se pode afastarde A e manter o equilıbrio. Represente graficamente a reaccao no ponto A emfuncao da distancia.

x

A BC

Figura 1.1: Exercıcio 1.1.

Exercıcio 1.2: O andaime representado na figura 1.2 e constituido por umabarra homogenea, pesando 1000 N, suspensa de duas cordas.O pintor pesa 75 kgfe o balde de tinta 7 kgf. Determine a distancia maxima xmaximo a que o pintor

2.5m 3m 2.5m

x1m


se pode afastar do centro da barra, para a direita, sem que aconteca um acidente!

1

Corpo rıgido

Represente num grafico as tensoes nas cordas em funcao da distancia x.

Exercıcio 1.3: O letreiro de uma pousada pesa 40 Kg e esta colocado como semostra na figura 1.3. A barra que o suporta pesa 20 Kg e o sistema e mantido porum cabo que nao pode submeter-se a uma tensao superior a 1200 N.

75cm

POUSADA

A α

B

75cm

��

��


a) Qual e a distancia mınima possıvel entre os pontos A e B?

b) Qual e, nestas condicoes, o modulo e a direccao da forca exercida sobre abarra suporte no ponto A?

Exercıcio 1.4: Uma haste homogenea de ferro encontra-se apoiada num degrauformando um angulo de 30◦ com a vertical. Sendo o comprimento da haste 40 cm,a sua massa 400 g e a altura do degrau 30 cm, determine o valor da forca de atritono ponto B (da figura 1.4) em que a extremidade da haste se apoia na superfıciehorizontal, sabendo que e nulo o atrito no ponto A em que a haste se apoia naesquina do degrau.

A

B

30º


2

Corpo rıgido

Exercıcio 1.5: Uma escada de 2.5 m de comprimento encontra-se encostadaa uma parede vertical. O coeficiente de atrito entre a escada e a parede e nulo,mas e de 0.6 o coeficiente de atrito entre a escada e o solo (horizontal). O centrode gravidade da escada encontra-se deslocada por faltarem alguns degraus. Rep-resente as forcas que actuam sobre a escada e determine a posicao do centro degravidade sabendo que a escada escorrega se a distancia entre a parede e o pontode apoio sobre o solo for superior a 1.5 m.

Exercıcio 1.6: Considere o sistema esquematizado na figura 1.5, constituıdopor:

a) uma corda fixa no ponto C da parede vertical CA;

b) um objecto com massa 100 kg suspenso da referida corda;

c) uma base AB munida na extremidade B de uma roldana por onde passaa corda descrita previamente. Sabendo que AC = 50 cm, BC = 40 cm,AB = 30 cm, que o sistema esta em equilıbrio e que a extremidade A dahaste, apoiada na parede, esta revistida de borracha a fim de evitar queescorregue, determine a massa da haste AB e a forca de atrito exercida pelahaste sobre a parede.

A

C

m

B


Exercıcio 1.7: A barra da figura 1.6 e homogenea, tem um comprimento de 2 me o coeficiente de atrito estatico entre ela e a parede vertical e de 1.2. O corposuspenso na roldana tem um peso de 50 N. A corda, depois de passar pelas roldanasesta presa a parede segundo a horizontal . A massa da roldana e desprezavel.

3

Corpo rıgido


a) Representar as forcas que actuam na barra.

b) Sabendo que a barra esta no limiar de escorregar, determine o peso da barra.

c) Quanto vale o angulo α nas condicoes da alınea anterior?

Exercıcio 1.8: Uma haste AB, de massa 20 g, esta presa em A por um eixohorizontal numa direccao perpendicular ao plano da figura 1.7. A extremidade B

esta suspensa por um fio que passa por uma roldana C e tem suspenso na outraextremidade uma esfera com 30 g de massa. Esta esfera esta apoiada com atrito naface inclinada do bloco D que se encontra colocado sobre um superfıcie horizontal.O sistema esta em equilıbrio com o fio na vertical dum e doutro lado da roldana.Determine a tensao no fio e o valor da forca de atrito entre o bloco D e a superfıcieem que se apoia.

A

C

B

D


4

Corpo rıgido

Exercıcio 1.9: Uma barra homogenea de comprimento l e massa M roda emtorno dum eixo O horizontal que atravessa uma das extremidade e e perpendiculara barra. Presa a extremidade livre da barra e passando por uma roldana R colocadana perpendicular a extremidade atravessada pelo eixo O, a uma distancia igual aocomprimento l da barra, existe uma corda, da qual se encontra suspenso um objectode massa m. A barra fica em equilıbrio numa posicao que forma um angulo θ coma vertical (ver figura 1.8). Relacione m, M e θ e mostre que m < M . Qual o valorde m/M se θ = 60◦?

O

R

mM

ll


Exercıcio 1.10: Calcule o momento de inercia do sistema formado por trespartıculas de massa 2 kg dispostas nos vertices de um triangulo isosceles com20 cm de altura e 15 cm de base, em relacao:

a) ao eixo de simetria, no plano do triangulo, que passa pela vertice superior;

b) ao eixo perpendicular ao triangulo, passando pelo seu centro de massa.

Exercıcio 1.11: Um disco homogeneo de massa M e raio R, inicialmente emrepouso, roda sem escorregar num plano inclinado de inclinacao θ. Sabendo queele parte do repouso de uma altura h, calcule a velocidade linear do centro demassa do disco quando atinge a base do plano?

Exercıcio 1.12: Um io-io consiste num cilindro de 80 g de massa, em torno doqual esta enrolado um fio com 60 cm de comprimento.

a) Se se deixar cair o io-io verticalmente, mantendo fixa a extremidade livre dofio, determinar a velocidade do io-io quando ele alcanca a outra extremidadedo fio.

5

Corpo rıgido

b) Na situacao anterior, qual e a tensao no fio?

Exercıcio 1.13: A roldana representada na figura 1.9 tem 0.5 m de raio e 25 kgde massa e pode girar em torno do seu eixo horizontal. O fio enrolado na roldanatem na sua extremidade livre uma massa de 10 kg. Calcule:

a) a aceleracao angular da roldana;

b) a aceleracao linear do corpo;

c) a tensao no fio.


Exercıcio 1.14: Determine a aceleracao dos corpos representados na figura 1.10,bem como as tensoes do fio. Considere que o diametro da roldana e igual a 10 cm.

20kg

A B

10kg

��

5kg

AB = 10cm


6

Corpo rıgido

Exercıcio 1.15: A figura 1.11 representa uma roldana de raio R e massa mc quepode rodar livremente. O bloco B esta inicialmente em repouso a distancia h dabase e o bloco A desliza sem atrito sobre a superfıcie horizontal. Qual a velocidadedo bloco B quando atinge a base?

A

B

h


Exercıcio 1.16: Um fio e enrolado no pequeno cilindro da figura 1.12 de massam que desliza sem atrito. Exercendo uma forca F sobre o fio, calcule:

a) o sentido do movimento;

b) a aceleracao do cilindro;

c) a aceleracao do fio.

r R

F


Exercıcio 1.17: Repita o problema 16 considerando que o atrito entre o cilindroe a superfıcie e tal que o forca a rolar sem escorregar. Calcule tambem o coeficientede atrito estatico mınimo para que isso aconteca.

7

Corpo rıgido

Exercıcio 1.18: Repita o problema 17 para o cilindro representado na figura1.13 sabendo que o fio tem sempre a direccao vertical.

r R

F


Exercıcio 1.19: No sistema representado na figura 1.14 a roldana tem massadesprezavel e roda sem atrito. Calcule:

a) a aceleracao linear de m;

b) a aceleracao angular do cilindro M ;

c) a tensao no fio.

M

r

m


8

Corpo rıgido

1.1 Solucoes de corpo rıgido

Solucao 1.1: x = 3.16 m.

Solucao 1.2: xmaximo = 3.73 m.

Solucao 1.3:

a) dmınimo = 0.518 m.

b)��~R�� = 117 kgf; α = 9.8◦.

Solucao 1.4:�� ~Fa

�� = 100 gf.

Solucao 1.5: O centro de massa esta a 2 m da base da escada.

Solucao 1.6: mh = 50 kg;�� ~Fa

�� = 70 kgf.

Solucao 1.7:

a) Diagrama.

b) Pbarra = 5 N.

c) α = 47.7.

Solucao 1.8:��~T �� = 10 gf;

�� ~Fa

�� = 0 gf.

Solucao 1.9: m/M = 1/2.

Solucao 1.10:

a) Is = 0.0225 kgm2.

b) Is = 0.0557 kgm2.

Solucao 1.11: |~v| =È

43gh.

9

Corpo rıgido

Solucao 1.12:

a) |~v| = 2.8 m/s.

b)��~T �� = 0.261 N.

Solucao 1.13:

a) |~α| = 8.71 rad/s2.

b) |~a| = 4.36 m/s2.

c)��~T �� = 54.4 N.

Solucao 1.14: |~a| = 1.96 m/s2;��~T10kg

�� = 78.4 N,��~T5kg

�� = 58.8 N.

Solucao 1.15: vB =q

2mBghmA+mB+mc/2 .

Solucao 1.16:

a) Na direccao e sentido da forca.

b) ac = Fm .

c) af = Fm(1 + 2r2

R2 ).

Solucao 1.17:

a) Na direccao e sentido da forca.

b) ac = 2F (1−r/R)3m .

c) af = 2F (1−r/R)2

3m .

µe >= F (1+2r/R)3mg

10

Corpo rıgido

Solucao 1.18:

a) Para a direita.

b) ac = 23

rFRm .

c) ~af = ac(ı + rR ).

µe >=23

rFR

mg−F

Solucao 1.19:

a) a = 3mg3m+M .

b) α = 2mg(3m+M)r .

c) T = mMg3m+M .

11

Corpo rıgido

12

Capıtulo 2

Movimentos Ondulatorios

Exercıcio 2.1: Um corpo de massa m = 50 g descreve um movimento harmonicosimples (MHS) de perıodo 0.5 s e amplitude 4 cm. No instante t = 0 s o corpoencontra-se na posicao x = 0, posicao de equilıbrio, movendo-se no sentido negativodo eixo dos XX.

a) Determine os instantes em que o corpo passa pela posicao de abcissa x =−2 cm.

b) Compare o intervalo de tempo que a partıcula demora a ir da posicao deabcissa x = 0 cm para a de abcissa x = −2 cm, com o tempo que demoraa ir da posicao de abcissa x = −2 cm para a de x = −4 cm, sem inverter osentido do movimento.

c) Calcule a velocidade da partıcula em cada instante e determine em quepontos e maximo e mınimo o modulo da velocidade. Com base nesta analise,justifique o resultado obtido na alınea anterior.

d) Calcule a constante elastica, k, da forca que actua sobre o corpo.

e) Determine as caracterısticas da forca que actua sobre o corpo em cada in-stante, relacionando-a com a posicao onde este se encontra.

f) Relacione o sentido da forca que actua sobre o corpo com o sentido domovimento deste, indicando quando e acelerado e quando e retardado.

g) Represente graficamente a energia cinetica, Ec(t), da energia potencial,Ep(t), e da energia total, Et(t), da partıcula em cada instante.

Exercıcio 2.2: A figura 2.1 representa um corpo de massa 0.2 kg, assente numplano horizontal, sobre o qual se pode deslocar sem atrito. O corpo encontra-se

13


ligado a uma mola de constante K = 7.2 N/m. A intensidade da forca exercida pelamola sobre o corpo e nula quando este se encontra no ponto de abcissa x = 0 m.Comprimindo-se a mola, coloca-se o corpo no ponto de abcissa x = +10 cm,abandonando-o em seguida.

a) Determine a amplitude, o perıodo, a frequencia, a frequencia angular e afase na origem do movimento do corpo.

b) Determine as funcoes x(t), v(t) e a(t) para o movimento do corpo e represente-as graficamente, calculando o valor maximo do modulo da velocidade docorpo e os pontos onde ocorre.

c) Se em vez de abandonar o corpo, se tivesse dado um ligeiro impulso nosentido positivo do eixo, de tal modo que ele passasse a descrever um movi-mento de amplitude dupla do anterior, qual seria o perıodo do movimento,a fase na origem, o valor da velocidade inicial e o valor maximo do moduloda velocidade?

d) Compare os valores das energias totais nas duas condicoes descritas.

0X


Exercıcio 2.3: Uma partıcula descreve um movimento harmonico simples, encontrando-se no instante t = 0 s no ponto de abcissa x = 1.5

√2 cm, movendo-se no sentido

negativo do eixo dos X. O movimento e descrito pela funcao:

x(t) = 3 sin�3π

2t + α

�cm

a) Determine o valor de α.

b) Calcule a velocidade da partıcula no instante t = 0 s.

c) Calcule a aceleracao nos instantes em que a partıcula se encontra na posicaox = 1.5

√2 cm.

d) Calcule os valores maximos dos modulos da velocidade e da aceleracao, e aposicao em que se encontra a partıcula quando estes valores sao observados.

e) Determine em que instantes a partıcula passa pela posicao x = −1.5√

2 cm.

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Exercıcio 2.4: Num tanque com agua, uma rolha de cortica move-se 2 cm paracima e 2 cm para baixo relativamente a superfıcie da agua, executando um movi-mento harmonico simples (MHS) de perıodo 1 s. Recorrendo a um cronometro,inicia-se a contagem do tempo quando a rolha esta na posicao de profundidademaxima. Qual e a posicao e a velocidade da rolha no instante t = 10.5 s?

Exercıcio 2.5: Um corpo de massa m = 0.4 kg encontra-se ligado a duas molasA e B, como indica a figura 2.2. A constante elastica da mola A e kA = 24 N/m.Quando o corpo se encontra no ponto de abcissa x = −3 cm, a intensidade daforca que a mola A exerce sobre o corpo e nula. Por sua vez, a forca exercidapela mola B e nula quando o corpo se encontra no ponto x = 2 cm. A resultantedas forcas que actuam sobre o corpo e nula quando este se encontra no ponto deabcissa x = −1 cm.O corpo foi levado ate ao ponto de abcissa x = 4 cm, sendo largado sob a accaodas duas molas, movendo-se sem atrito sobre o plano horizontal.

a) Determine a constante elastica, kB da mola B.

b) Represente graficamente a funcao R(x), sendo ~R(x) a resultante das forcasque actuam sobre o corpo em funcao da sua posicao.

c) Escreva a funcao x(t), que da a posicao da partıcula em cada instante.

d) Considerando a origem dos potenciais no ponto x = 0, obtenha a energiapotencial do corpo em funcao da sua posicao, Ep(x), e calcule a energia totaldo sistema.

e) Para a mesma origem dos potenciais, calcule a energia potencial quando ocorpo se encontra na posicao de equilıbrio.

f) Obtenha a energia cinetica do corpo em funcao da sua posicao, Ec(x), ecalcule o seu valor maximo.

g) Represente num grafico a energia cinetica, Ec(x), da energia potencial,Ep(x), e da energia total, Et(x), em funcao da posicao do corpo.

0 X

BA


15


Exercıcio 2.6: Considere uma onda transversal propagando-se com uma veloci-dade v = 2 m/s, uma amplitude de 0.1 m e uma frequencia angular de 0.2 rad/sno sentido positivo do eixo dos XX.

a) Calcule o perıodo e o comprimento de onda.

b) Escreva a equacao de propagacao de onda, sabendo que a partıcula de co-ordenada x = 0 se encontra na posicao y = 0.05 m no instante t = 0 s,movendo-se no sentido negativo do eixo dos Y Y .

c) Considere 5 pontos cujas posicoes distem entre si 1/6 do comprimento deonda, e marque as suas posicoes no instante t = 1 s.

d) Marque as posicoes que o ponto intermedio ocupa sucessivamente em in-stantes intervalados de 1/6 do perıodo.

Exercıcio 2.7: Uma onda transversal propagando-se ao longo de uma cordacom a direccao do eixo dos XX, produz na partıcula A da corda, situada no pontox = 0, um movimento vibratorio traduzido pela equacao y(t) = 0.1 cos (4πt) comy em metros e t em segundos.Verifica-se que uma outra partıcula B que se encontra no ponto x = 0.5 m executaum movimento vibratorio com a mesma amplitude e frequencia, mas adiantadorelativamente ao primeiro de π/2 rad.

a) Indique, justificando, o sentido de propagacao da onda ao longo do eixo.

b) Esboce um grafico que mostre as variacoes das elongacoes de A e de B emfuncao do tempo.

c) Determine a velocidade de propagacao da onda e escreva a sua equacao depropagacao.

Exercıcio 2.8: Ao longo do eixo dos XX propaga-se uma onda transversalcuja equacao de propagacao e y1(x, t) = 2× 10−3 cos

�20πt− 2π

3 x�, (SI). Ao ponto

x = 2 m chega simultaneamente uma outra onda propagando-se na mesma direccaoe sentido, e que, na ausencia da primeira onda, imprimiria a este ponto um movi-mento harmonico simples traduzido pela equacao y2(t) = 2× 10−3 cos

�20πt + π

4

�,

(SI) . Determine:

a) a velocidade de propagacao da primeira onda;

b) a equacao do movimento harmonico simples que o ponto x = 2 m executariase so a primeira onda se propagasse;

c) a amplitude, frequencia e fase do movimento desse ponto, resultante dasobreposicao das duas ondas.

16


Exercıcio 2.9: Uma maquina perfuradora faz um furo no fundo de um lago,originando por isso uma perturbacao na superfıcie da agua sabendo que: i) adiferenca de nıvel entre o ponto mais elevado e o mais baixo da superfıcie pertur-bada e 20 cm; ii) o embolo da perfuradora desce 6 vezes em cada 10 segundos; iii)a perturbacao demora 3 segundos a chegar a margem do lago, situada a 6 m dedistancia do ponto onde teve origem a perturbacao.

a) Indique, justificando, o tipo de movimento descrito por cada partıcula dasuperfıcie da agua.

b) Calcule a velocidade de propagacao, a frequencia angular e o comprimentode onda da perturbacao que se origina na superfıcie do lago.

c) Indique se a equacao y(x, t) = 0.1 sin (1.2πt− 6πx) descreve a onda que sepropaga ao longo das partıculas da superfıcie do lago.

Exercıcio 2.10: Tres partıculas A, B e C, dispostas em linha recta nas posicoesindicadas na figura 2.3, estao inicialmente em repouso. Num dado instante, apartıcula C comeca a descrever um movimento harmonico simples numa direccaoperpendicular a linha ABC, de amplitude igual a 3 cm, deslocando-se para cima.Dois segundos depois, B entra tambem em vibracao. A comeca a vibrar no mesmoinstante em que C volta a passar, pela primeira vez, na posicao de equilıbrio.Admita que A, B e C sao tres pontos de uma corda por onde se propaga uma ondatransversal.

a) Qual a velocidade e sentido de propagacao da onda?

b) Em que instante iniciou A o seu movimento?

c) Qual a frequencia angular e o comprimento de onda?

d) Escreva a equacao de propagacao, considerando t = 0 quando C comecou avibrar.

e) Escreva a equacao do movimento harmonico simples executado por B.

Y

A XB C

2a a


17


2.1 Solucoes de Movimentos Ondulatorios

Solucao 2.1:

a) t =¨

124 + n

2 s524 + n

2 scom n ∈ N0.

b) ∆t =¨

124s entre x=0 cm e x=-2 cm112s entre x=-2 cm e x=-4 cm

.

c) v = 0, 5 cos(4πt + π) m/s.O modulo da velocidade e maximo para x=0 cm e mınimo para x = ±4 cm.

d) k=7,9 N/m.

e) F = −7, 9x N/m.

f) Acelerado quando se aproxima de x = 0 cm e retardado quando se afasta.

Solucao 2.2:

a) A = 0, 1 m; T = π/3 s; f = 3/π Hz; ω = 6 rad/s; ϕ = π/2.

b) x(t) = 0, 1 sin(6t + π/2) m;v(t) = 0, 6 cos(6t + π/2) m/s;a(t) = −3, 6 sin(6t + π/2) m/s2;vmax = 0, 6 m/s no ponto x = 0 m.

c) T = π/3 s; ϕ = π/6; vi = 1, 04 m/s; vmax = 1, 2 m/s.

d) Energia da alnea c) = 4 × Energia da alnea a).

Solucao 2.3:

a) α = 3π/4.

b) v(0) = 10 m/s.

c) a = −47, 1 m/s2.

d) vmax = 14, 1 m/s no ponto x = 0 m; amax = 66, 6 m/s2 no ponto x = ±3 m.

e) t =¨

13 + 4

3n s23 + 4

3n scom n ∈ N0.

18


Solucao 2.4: Ponto de amplitude maxima: x = 2 cm e v = 0 m/s

Solucao 2.5:

a) kB = 16 N/m.

b) R(x) = −40x− 0, 4 N/m.

c) x(t) = 0, 05 sin(10t + π/2)− 0, 01 m.

d) Ep(x) = 20x2 + 0, 4x J; E = 0, 048 J.

e) Ep(−0, 01) = −0, 002 J.

f) Ec = −20x2 − 0, 4x + 0, 048 J.

Solucao 2.6:

a) T = 31.4 s; λ = 62.8 m.

b) y(t) = 0.1 sin(0.2t− 0.1x + 5π6 ) (SI).

Solucao 2.7:

a) Sentido negativo.

b) yB(t) = 0.1 cos(4πt + π2 ) (SI).

c) v = 4 m/s; y(x, t) = 0.1 cos(4πt + πx) (SI).

Solucao 2.8:

a) v = 30 m/s.

b) y1(2, t) = 2× 10−3 cos(20πt− 4π3 ) (SI).

c) A = 3.17× 10−3 m; ω = 20π rad/s; ϕ = 1.44 rad;y(t) = 3.17× 10−3 cos(20πt + 1.44) (SI).

Solucao 2.9:

a) M.H.S.

19


b) λ = 33 cm; v = 0.2 m/s; w = 6π5 .

c) Nao.

Solucao 2.10:

a) v = a2 no sentido negativo do eixo OX.

b) t = 6 s.

c) w = π6 rad/s; λ = 6a.

d) y(x, t) = 3× 10−2 sin�

π6 t + π

3ax�

(SI).

e) y(−a, t) = 3× 10−2 sin�

π6 t− π

3

�(SI) para t ≥ 2 s.

20

Capıtulo 3

Hidrostatica e Hidrodinamica

Exercıcio 3.1: Calcule o valor de 1 atmosfera (76 cmHg) em unidades do SistemaInternacional.ρHg = 13.6 g/cm3.

Exercıcio 3.2: Calcule a massa de uma esfera de cobre de raio 2 cm, sendo queρcobre = 8.96× 103 kg/m3 em condicoes normais de pressao e temperatura.

Exercıcio 3.3: Um pequeno frasco utilizado para medir densidades de lıquidos(denominado picnometro) tem uma massa de 22.71 g. Quando o frasco esta cheiode agua, a massa total do frasco e da agua e 153.38 g e, quando esta cheio deleite, a massa total e 157.67 g. Calcule a densidade do leite sabendo que ρagua =1.0 g/cm3.

Exercıcio 3.4: Um balao de 60 ml esta cheio de mercurio a 0 ◦C. Quando a tem-peratura sobre para 80 ◦C, transbordam do balao 1.47 g de mercurio. Admitindoque o volume do balao permanece constante, calcule a densidade do mercurio a80 ◦C, sabendo que a densidade a 0 ◦C e 13.645× 103 kg/m3.

Exercıcio 3.5: Um prego e espetado verticalmente num pedaco de madeira,aplicando-se uma forca de 15 N na sua cabeca. O raio da cabeca do prego e de5 mm e o da ponta e de 0.1 mm. Qual e a pressao aplicada na cabeca do prego?Qual e a pressao exercida na madeira?

21


Exercıcio 3.6: Para o recipiente da figura 3.1, e sabendo que ρlıquido = 2.0 g/cm3,determine a pressao e o valor da forca de pressao no ponto A, fundo do recipiente.

A

��

��

��


Exercıcio 3.7: Determine a pressao a que fica sujeito um peixe que se encontra150 m abaixo da superfıcie do mar.ρaguamar = 1.026 g/cm3.

Exercıcio 3.8: As areas do embolo A e da base do cilindro B do sistema es-quematizado na figura 3.2 sao, respectivamente, 40 cm2 e 400 cm2. O cilindroB tem 40 kg de massa. O sistema esta cheio de oleo com uma densidade de0.75 g/cm3. Determine o valor da forca que se deve exercer no cilindro A de modoa manter o equilıbrio. Considere que o embolo A tem massa desprezavel.

A

��

B


22


Exercıcio 3.9: No sistema representado na figura 3.3, o lıquido mais denso temdensidade 1.2 g/cm3. Determine:

a) a desidade do outro lıquido;

b) a diferenca de pressao entre os pontos A e B, sabendo que A se situa a 5 cmda superfıcie livre do lıquido.

A �� B

��

��


Exercıcio 3.10: Calcule a composicao de uma liga de cobre e ouro que pesa2.50 N no ar e 2.35 N na agua.ρcobre = 8.96× 103 kg/m3, ρouro = 19.3× 103 kg/m3.

Exercıcio 3.11: O sistema representado na figura 3.4 esta em equilıbrio. Oscorpos A e B tem massas de 5.0 kg e 50 g, respectivamente. As areas das seccoesS1 e S2 da prensa sao, respectivamente, 500 cm2 e 25 cm2. Calcule o valor dovolume do corpo B, desprezando o peso da alavanca e os atritos.

S�A

S�

��

Bágua

B


23


Exercıcio 3.12: Um bloco de um material com densidade ρ0 tem um peso P0 noar. Quando este bloco, com uma cavidade interior oca, e mergulhado num lıquidode densidade ρ, o seu peso passa a ser P . Determine o volume da cavidade.

Exercıcio 3.13: A crosta terrestre possui normalmente uma espessura de 33 kme a sua densidade e de ρc = 2800 kg/m3. A densidade do manto e de ρm =3300 kg/m3. A altura media dos Himalaias e de 7 km. Qual e a espessura previstapara a crosta sob os Himalaias se o modelo isostatico explicar completamente osuporte da montanha? (A espessura da crosta sob os Himalaias e 55 km).

Exercıcio 3.14: Um lıquido, de densidade 0.8 g/cm3 e de viscosidade de-sprezavel, percorre o sistema da figura 3.5 com um fluxo de 200 ml/minuto. Quale a diferenca de pressao entre A e B.

A��

��

B


Exercıcio 3.15: Considere que a conduta da figura 3.6 e percorrida por agua quepara o caso pode ser considerada um fluıdo perfeito. Sabendo que SA = 25 cm2,SB = 16 cm2 e Q = 20 litros em 5 segundos , calcule:

A

�

B

Hg

H�O


a) as velocidades de deslocamento da agua em A e B;

b) a diferenca de pressao entre as duas seccoes;

c) o desnıvel de mercurio no tubo em V, de seccao 1 cm2.

24


Exercıcio 3.16: Com os dados da figura 3.7, calcule:

a) a velocidade de saıda da agua atraves do tubo;

b) a pressao no ponto B;

c) o caudal de escoamento.

A

��

B

500 cm�

C

��

��


Exercıcio 3.17: Um tanque de seccao recta muito grande possui dois pequenosorifıcios, conforme indicado na figura 3.8. Calcule a altura do nıvel inicial h emfuncao de h1 e h2, sabendo que a agua que sai dos dois orifıcios atinge o solo nomesmo ponto.

�

��

��


25


Exercıcio 3.18: Um sifao e um dispositivo usado para remover lıquidos de umrecipiente que nao pode ser tombado, conforme se mostra na figura 3.9. O tuboAC de seccao recta uniforme deve ser inicialmente cheio, permitindo em seguidaescoar o lıquido do recipiente, ate que o seu nıvel fique abaixo da abertura do tuboem A. O lıquido tem densidade ρ e viscosidade desprezavel. Calcule:

a) a velocidade com que o lıquido sai do tubo em C;

b) a pressao do lıquido no ponto mais alto B;

c) a maior altura possıvel h1 a que um sifao pode fazer subir a agua. Note queo lıquido deixa de subir quando a pressao em B for igual a pressao de vapordo lıquido, no caso da agua, ρva = 0.1 atm.

�

��

��

A

B

C


Exercıcio 3.19: Cada asa de um pequeno aviao tem uma area de 9.3 m2. Quandovoa horizontalmente a uma certa velocidade, o ar escoa sobre a superfıcie superiorda asa a velocidade de 49 m/s e sobre a superfıcie inferior de 40 m/s. Calcule opeso do aviao, considerando a densidade do ar igual a 1.2 kg/m3.

26


3.1 Solucoes de hidrostatica e hidrodinamica

Solucao 3.1: 1.013× 105 Pa.

Solucao 3.2: 0.3 kg.

Solucao 3.3: ρleite = 1.03 g/cm3.

Solucao 3.4: ρ80 = 13.62× 103 kg/m3.

Solucao 3.5: P5 = 1.9× 105 Pa; P01 = 4.77× 108 Pa.

Solucao 3.6: PA = 1.2× 105 Pa; FA = 3.7 N.

Solucao 3.7: 1.61× 106 Pa.

Solucao 3.8: 78.4 N para cima.

Solucao 3.9:

a) 0.8 g/cm3.

b) PB − PA = 196 Pa.

Solucao 3.10: 14 % da massa total e de cobre e 86 % e de ouro.

Solucao 3.11: 18.8 cm3.

Solucao 3.12: VC = P0g

�1ρ − 1

ρ0

�− P

ρg .

Solucao 3.13: 79.2 km

Solucao 3.14: PA − PB = 2.8× 10−3 Pa.

27


Solucao 3.15:

a) vA = 1.6 m/s; vB = 2.5 m/s.

b) PA − PB = 1.845× 103 Pa.

c) 1.38 cm.

Solucao 3.16:

a) 9.9 m/s.

b) 8.2× 104 Pa.

c) 4.95 l/s.

Solucao 3.17: h = h1 + h2.

Solucao 3.18:

a)È

2g(d + h2).

b) patm − ρg(h1 + h2 + d).

c) 9.3 m.

Solucao 3.19: 8939 N.

28

Capıtulo 4

Termodinamica

Exercıcio 4.1: Um cilindro horizontal termicamente isolado, fechado em ambasas extremidades, esta equipado com um pistao condutor de calor e sem atrito quedivide o volume em dois compartimentos estanques diferentes. Inicialmente, opistao esta imobilizado de maneira que o compartimento a sua esquerda tem umvolume V0 e o compartimento a sua direita um volume 3V0. O compartimento daesquerda contem um gas perfeito monoatomico a temperatura T0 e a pressao 2P0.O compartimento da direita contem o mesmo gas a temperatura T0 e a pressaoP0. O pistao e entao solto.

a) Quais sao as temperaturas e pressoes em cada um dos compartimentos nonovo equilıbrio?

b) Quais sao so volumes?

c) Descreva os processos que levam o pistao ao repouso.

Exercıcio 4.2: Um tanque vertical cilındrico, de altura superior a 76 cm, temo extremo superior fechado por um pistao sem atrito, perfeitamente ajustado e depeso desprezavel. Dentro do cilindro, a pressao absoluta do ar e 1 atm. Faz-se opistao descer vertendo lentamente mercurio sobre ele, de modo que a temperaturado ar seja mantida constante. Qual e a altura da coluna de ar quando o mercuriocomeca a derramar-se pela parte superior do cilindro?

Exercıcio 4.3: Derrama-se mercurio na extremidade aberta de um tubo emforma de J com 1 cm2 de seccao, que e fechado na extremidade mais curta, ficandoo ar aı preso. Supondo que o ar se comporta como um gas perfeito, que quan-tidade de mercurio pode ser introduzida no tubo antes que este transborde? Os

29

Termodinamica

comprimentos dos ramos longo e curto do tubo sao, respectivamente, 1 m e 50 cm,e podem ser desprezados os efeitos da curvatura do fundo. Admita que a pressaoatmosferica e 75 cm Hg.

Exercıcio 4.4: Duas ampolas contendo ar, uma das quais com um volume tresvezes superior ao da outra, estao ligadas por um capilar de volume desprezavel. Ini-cialmente, as ampolas estao a mesma temperatura. A que temperatura e necessarioaquecer o ar na ampola maior para que a pressao duplique? Despreze a conducaode calor atraves do capilar.

Exercıcio 4.5: Um cilindro com 2.4 m de altura esta preenchido com 0.1 mol deum gas ideal nas condicoes normais de pressao e temperatura. O topo do cilindro eentao fechado com um pistao hermetico cuja massa e 1.4 kg, sendo o pistao largadoate ficar em equilıbrio (ver figura 4.1).

a) Determine a altura a que fica o pistao, admitindo que a temperatura do gasnao se altera, a medida que este vai sendo comprimido.

b) Suponha que o pistao e empurrado um pouco para baixo da sua posicao deequilıbrio sendo largado de seguida. Partindo do princıpio que a temperaturado gas se mantem constante, determine a frequencia de vibracao do pistao.

��

�


Exercıcio 4.6: Determine como varia a temperatura de um gas ideal ao sofrerum processo durante o qual P

√V se mantem constante e o volume do gas diminui.

30

Termodinamica

Exercıcio 4.7: Para o CO2, as constante da equacao de estado de Van de Waals,sao a = 0.37 Nm4/mol2 e b = 43 cm3/mol, respectivamente. Calcule a pressaoa 0◦ C a que se encontra uma mole de CO2 que ocupa um volume de 55 l e umvolume de 0.55 l, respectivamente, usando a equacao de estado de Van de Waals ea de um gas ideal e interprete os resultados obtidos.

Exercıcio 4.8: Um bloco de metal de 50 g e mantido durante algum tempo emagua a ferver. Seguidamente, o bloco e mergulhado num calorımetro de cobre demassa 100 g que contem 200 g de agua a 20◦ C. A temperatura de equilıbrio e 22◦ C.Qual o calor especıfico do metal? (Calor especıfico do cobre cp = 0.386 J/g/K).

Exercıcio 4.9: Um bloco de cobre com 75 g de massa e retirado de um forno emergulhado num recipiente de alumınio com 300 g de massa que contem 200 g deagua. A temperatura da agua sobe de 12◦ C para 27◦ C. Qual e a temperatura a queo forno se encontrava? Assuma que o bloco de cobre estava em equilıbrio termicocom o forno antes de ser retirado. (cp(cobre) = 0.386 J/g/K; cp(alumınio) =0.900 J/g/K).

Exercıcio 4.10: A temperaturas muito baixas, o calor especıfico de um metale dado por c = aT + bT 3. No caso do cobre, a = 0.0108 J/kg.K2 e b = 7.62 ×10−4 J/kg.K4.

a) Determine o calor especıfico do cobre a 4 K.

b) Calcule a energia que e necessario fornecer para elevar a temperatura de2.5 kg de cobre de 1 K para 3 K.

31

Termodinamica

Exercıcio 4.11: A figura 4.2 representa um diagrama de fase para a agua. Quetransicoes de fase se observam se fizermos o sistema evoluir segundo os percursosA, B e C indicados com setas na figura?

4

1

5

32

A

BC

GÁS

LIQ.SOL.

TEMPERATURA T

PRESSÃOp


Exercıcio 4.12:

a) Qual a energia libertada por uma mole de vapor de agua quando a suatemperatura baixa de 180◦ C para 100◦ C, se o arrefecimento se verificar apressao constante?

b) Qual a energia libertada por essa mesma quantidade de agua se se condensartotalmente, mantendo-se a temperatura de 100◦ C e a pressao atmosfericanormal?

c) Qual a quantidade de energia que se liberta se a temperatura da agua baixarde 100◦ C para 30◦ C?

d) Com base nos calculos efecutados (30◦ C e a temperatura aproximada dasuperfıcie da pele) explique porque e que uma queimadura com vapor de aguaa 100◦ C e mais grave do que uma queimadura com agua a ferver a 100◦ C?(Calor latente de vaporizacao da agua λv = 2.25 kJ/g; calor especıfico dovapor de agua a volume constante cv = 3R, considerando o vapor de aguacomo um gas perfeito).

32

Termodinamica

Exercıcio 4.13: Qual a energia que e necessario fornecer a 18 g de gelo que seencontra a temperatura de −50◦ C para que este atinja a temperatura de fusao(Tf = 0◦ C se P = 1 atm). Qual e a energia que e necessario fornecer a essamassa de gelo a 0◦ C para o fundir se a temperatura final da agua for 0◦ C. (Calorespecıfico do gelo a pressao constante cp = 0.5 cal/g.◦C; calor latente de fusao dogelo λf = 80 cal/g).

Exercıcio 4.14: A figura 4.3 representa o grafico da temperatura de umaamostra de 1 kg de agua em funcao do tempo, num experiencia em que esta eaquecida uniformemente. A fonte de calor utilizada tem um debito constante de3 kW. A quanto tempo correspondem os patamares A e B? (Calor de fusao do geloλf = 333 kJ/kg; calor de vaporizacao da agua λv = 2255 kJ/kg).

��

�

��

��

��

��

��

TEMP.(�C)

TEMPO (s)


Exercıcio 4.15: A capacidade calorıfica, a volume constante, de um certa massade gas monoatomico e igual a 50 J/K. Determine o numero de moles de gas e acapacidade calorıfica a pressao constante dessa massa de gas.

Exercıcio 4.16: Calcule o trabalho realizado por uma mole de gas durante umaexpansao isotermica quase estatica de um volume inicial vi ate ao volume final vf ,quando a equacao de estado for:

a) P (v − b) = RT , com R e b constantes;

33

Termodinamica

b) Pv = RT�1− B

v

�, com R constante e B = f(T ).

Exercıcio 4.17: A figura 4.4 representa um ciclo descrito por um gas perfeito.A temperatura do gas no estado A e de 300 K.

a) Calcule a temperatura do gas nos estados B, C e D.

b) Calcule o trabalho realizado pelo sistema termodinamico que realiza o ciclorepresentado.

c) Qual o calor fornecido ao gas perfeito ao longo do ciclo?

d) Represente o ciclo num diagrama (P, T ).

A

100

1

200

2

P (atm)

V (l)

B

CD


Exercıcio 4.18: NA moles de um gas perfeito, no estado inicial A (pressao PA,volume VA, temperatura TA), sofrem as seguintes transformacoes: i) compressaoisotermica AB ate se atingir um volume igual a metade do volume inicial; ii)expansao isobarica BC, ate se atingir um volume igual a VA; iii) arrefecimentoCA a volume constante, ate se atingir a temperatura inicial TA.

a) Determine o valor das tres variaveis de estado P , V e T , no estado final decada transformacao, em funcao de PA, VA e TA, respectivamente.

b) Represente a evolucao temporal sofrida pelo ar num diagrama (P, V ).

c) Calcule o trabalho realizado sobre o gas, durante o ciclo, em funcao de PA

e VA.

34

Termodinamica

Exercıcio 4.19: Durante uma expansao adiabatica quase estatica de um gasperfeito, a pressao e dada, em qualquer instante, por PV γ = K, onde γ e K

sao constantes. Demonstre que o trabalho realizado pelo gas na expansao de umestado (Pi, Vi) ate um estado (Pf , Vf ) e igual a W = PiVi−Pf Vf

γ−1 . Se a pressao eo volume iniciais forem 10 atm e 1 l, respectivamente, e os valores finais 2 atm e3.16 l, qual o trabalho realizado por um gas em que γ = 1.4?

Exercıcio 4.20: Duas moles de um gas diatomico ideal sao comprimidas isoter-micamente de 18 l ate 8 l. Durante o processo, ocorre a transferencia de 170 caldo gas para o exterior.

a) Determine o trabalho realizado pelo gas e a variacao da energia interna dogas durante o processo, bem como as temperaturas inicial e final do gas.

b) Considere que a mesma quantidade de gas sofre a mesma reducao de volumeneste caso adiabaticamente e que neste processo o trabalho realizado sobreo gas e de 820 J. Determine a temperatura inicial e a pressao nos estadosincial e final.

c) Repita a alınea anterior para o caso de um gas monoatomico ideal.

Exercıcio 4.21: Numa expansao isotermica, um gas ideal, a uma pressao inicialP0, expande-se ate que o seu volume duplica.

a) Determine a sua pressao apos a expansao.

b) O gas e entao comprimido, adiabaticamente e quase estaticamente, de voltaao seu volume inicial, sendo nesse momento a pressao 1.32P0. O gas seramonoatomico, diatomico ou poliatomico?

Exercıcio 4.22: Uma mole de um gas monoatomico, inicialmente a temperaturaT , e submetido a um processo no qual a temperatura e quadriplicada e o volumereduzido a metade. Determine o calor transferido para o gas, considerando que,durante o processo, a pressao nunca foi inferior a pressao inicial e que o trabalhorealizado sobre o gas foi o mınimo possıvel.

35

Termodinamica

Exercıcio 4.23: O diagrama apresentado na figura 4.5 representa o conjunto detransformacoes sofridas por uma mole de um gas ideal. Na transformacao BC ogas e sujeito a uma transformacao isotermica e na transformacao CA a variacaoda energia interna do gas e igual a -3.0 kJ.

a) Caracterize o estado do gas em C.

b) Represente o conjunto das transformacoes num diagrama (V, T ).

c) Determine os valores do trabalho, calor e energia interna associados a cadauma das transformacoes.

C

12

1

50

P (atm)

V (l)

BA

0


Exercıcio 4.24: Calcule o acrescimo de entropia de um cubo de gelo de 1 cm dearesta ao fundir-se a temperatura ambiente num dia de calor (30◦ C). Ha algumadiferenca se for num dia frio? E se o cubo for fundido fornecendo-lhe apenastrabalho (por exemplo, esfregando-o sobre a mesa)? Justifique. (Calor de fusaodo gelo λf = 80 cal/g; volume especıfico do gelo a 0◦ C = 1.0907 cm3/g).

Exercıcio 4.25: Calcule o acrescimo de entropia ocasionado pela vaporizacaode 1 cm3 de agua a temperatura de 100◦ C. (Calor de vaporizacao da agua λv =540 cal/g).

Exercıcio 4.26: Porque e que depois de nevar faz menos frio? Use dados dosdois problemas anteriores para calcular a quantidade de calor libertada ao congelar1 kg de agua a 0◦ C. E ao condensar 1 kg de vapor a 100◦ C? Em cada um doscasos a entropria da agua aumenta ou diminui? E a do ambiente?

36

Termodinamica

Exercıcio 4.27: Se um esquimo pretendesse substituir o seu iglu por uma casade betao, que espessura deveriam ter as paredes para que a nova habitacao tivesseas mesmas caracterısticas termicas do iglu? (Espessura das paredes do iglu: 20 cm;condutibilidade termica da neve compacta: 0.46 W/m.K; condutibilidade termicado betao: 1.28 W/m/K;).

Exercıcio 4.28: Que potencia deve ter um aquecedor para manter uma temper-atura constante de 20◦ C numa sala com uma janela de 1 m2 de superfıcie numdia sem vento, em que a temperatura exterior e de 10◦ C? E se a temperaturaexterior for de 15◦ C e quisermos manter o quarto a 25◦ C? Despreze as perdasde calor pelas paredes e pela porta da sala. (Condutibilidade termica do vidro:0.8 W/m.K; espessura do vidro da janela: 2 mm).

Exercıcio 4.29:

a) O espectro da radiacao solar tem um maximo para o comprimento de ondade 483 nm. Admitindo que a radiacao do Sol tem as mesmas caracterısticasque a emitida por um corpo negro, qual a temperatura do sol?

b) Num dia de bom tempo, em que a temperatura da superfıcie da Terra sejade 300 K, qual o comprimento de onda da radiacao mais intensa emititda,na aproximacao de que a superfıcie terrestre se comporta como um corponegro?

c) Durante a noite, a temperatura que corresponde a radiacao mais intensaemitida pelas estrelas na nossa regiao da galaxia onde a Terra se encontra emuito baixa, embora superior a 3 K. Porque e que a superfıcie da Terra naoiluminada pelo Sol durante a noite nao tende a ficar a essa temperatura?

Exercıcio 4.30: Num quarto a cerca de 29◦ C, a temperatura da superfıcie dapele de uma pessoa (cerca de 1.5 m2), sem roupa e em repouso, e de 33◦ C. Aemissividade para as frequencias na regiao do espectro visıvel varia com a cor dapele. No entanto, para a radiacao emitida de maior intensidade (infravermelhosde grande comprimento de onda) tem-se e ' 1 (corpo negro).

a) Calcule a potencia perdida por radiacao. Note que a pessoa perde calor porradiacao a temperatura do corpo mas absorve radiacao ambiente a temper-atura do quarto.

b) Sabendo que a perda de calor por conducao e desprezavel e que a perdapor conveccao nestas condicoes e de cerca de 50% do total, quantas caloriastem a pessoa que ingerir por dia so para assegurar o seu metabolismo nestascondicoes?

37

Termodinamica

4.1 Solucoes de termodinamica

Solucao 4.1:

a) T0; 5P0/4.

b) Ve = 8V0/5; Vd = 12V0/5.

Solucao 4.2: 76 cm.

Solucao 4.3: 125 cm3.

Solucao 4.4: 3T0.

Solucao 4.5:

a) 2.1 m.

b) 0.97 Hz.

Solucao 4.6: Diminui.

Solucao 4.7: PvdW = 41.2 kPa; PGP = 41.3 kPa; PvdW = 3.26 MPa; PGP =4.13 MPa;.

Solucao 4.8: 0.45 J/g/K.

Solucao 4.9: 601◦ C.

Solucao 4.10:

a) 0.092 J/g/K.

b) 0.146 J.

Solucao 4.11: A: solido-vapor (sublimacao) em 1; B: solido lıquido (fusao) em2, lıquido-vapor (ebulicao) em 3; C: nao ha transicao de fase de 4 para 5 (percursoacima do ponto crıtico).

38

Termodinamica

Solucao 4.12:

a) 2.66 kJ.

b) 40.5 kJ.

c) 5.3 kJ.

Solucao 4.13: 450 cal; 1440 cal.

Solucao 4.14: tA = 1 min 51 s; tB = 12 min 32 s.

Solucao 4.15: 4 mol; 83 J/K.

Solucao 4.16:

a) RT ln�

vf−bvi−b

�.

b) RT ln�

vf

vi

�+ RTB

�1vf− 1

vi

�.

Solucao 4.17:

a) TB = 600 K; TC = 300 K; TD = 150 K.

b) 10.13 kJ.

c) 10.13 kJ.

Solucao 4.18:

a) B: P = 2PA, V = VA/2, T = TA; C: P = 2PA, V = VA, T = 2TA; A:P = PA, V = VA, T = TA.

b)

c) PAVA(ln 2− 1).

Solucao 4.19: 932 J.

Solucao 4.20:

39

Termodinamica

a) W = −711 J; ∆U = 0 J; TA = TB = −220◦ C.

b) TA = −222◦ C; PA = 0.47 atm; PB = 1.46 atm.

c) TA = −227◦ C; PA = 0.42 atm; PB = 1.62 atm.

Solucao 4.21:

a) P2 = P0/2.

b) Diatomico.

Solucao 4.22: 4RT .

Solucao 4.23:

a) P = 4.17 atm, V = 12 l, T = 609 K.

b)

c) Transicao AB: Q = 6.8 KJ, W = 3.8 kJ, ∆U = 3.0 kJ; Transicao BC:Q = −7.2 KJ, W = −7.2 kJ, ∆U = 0.0 kJ; Transicao CA: Q = −3.0 KJ,W = 0.0 kJ, ∆U = −3.0 kJ; Ciclo completo: Q = −3.4 KJ, W = −3.4 kJ,∆U = 0.0 kJ;

Solucao 4.24: ∆S = ∆Q/T = 0.27 cal/K; Nao porque Tgelo se mantemconstante; ∆S seria o mesmo porque a entropia e uma funcao do estado.

Solucao 4.25: 1.447 cal/K.

Solucao 4.26: 335 kJ; 2260 kJ; A entropia da agua diminui e a do ambienteaumenta.

Solucao 4.27: 56 cm.

Solucao 4.28: 4 kW; 4 kW (so depende de ∆T ).

Solucao 4.29:

a) 6000 K.

40

Termodinamica

b) 10 µm (infravermelho).

c) Por causa da atmosfera: o vapor de agua e o dioxido de carbono absorvemsobretudo os infravermelhos, reemitindo-os para a superfıcie da Terra (efeitode estufa).

Solucao 4.30:

a) 38 W.

b) 1.6 Mcal.

41

Cap´ıtulo 1 Corpo r´ıgido

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