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I lustracin de una lo omotor de v por del siglo XIX
PITU LO
PRIMER LEY DE L TERMODINMIC
l Fsica b sic a se analizan formas de energa como la potencial
gra vitatoria y la cintica ascomo otras formas de ene rga asociadas
a los campos elctrico y magntico. l estudio de la energaasociada a
las fu zas de enlace atmicas y nucleares tiene gran importancia
para el qumico. Elestudio de los principios de la Termodinmica
permite relacionar los cambios de stas y otrasforma s de energa
dentro de un sistema con las interacciones energticas en las
fronteras de unsistema. Una de las leyes ms importantes de la
Termodinmica introduce el principio general deconservacin de la
energa que lleva al concepto de energa interna de una sustancia. La
ley en laque se basa este principio de conservacin es la denominada
primera ley de ermodinmica quese presenta en este captulo.
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TERMODIN MIC
2 CONCEPTOS DE TR JO Y ENERG
z Sistema demasa m
Los conceptos de trabajo W y potencia W se introducen
generalmente en el esdio de la mecnica. Mediante el estudio del
trabajo mecnico necesario pmover un objeto, se desarrollan los
conceptos de energa cintica y potencgravitatoria. Puesto que estas
ideas son tan importantes en el estudio de la Termdinmica, estos
conceptos se revisarn en los siguientes apartados.
Figura 2.1. Esquema de una par tcu lade masa m y vector de
posicin+ + -S = xi + yj + zk sobre la que acta la-uerza exterior
Fex t
y2 TR JO MECNICO Y POTENCIEl trabajo mecnico se define como el
producto de una fuerza F por un desplamiento f1s medidos ambos en
la misma direccin colineales). Considresesistema de mi sa n
velocidad V y vector de posicin sobre el que actanica fuerza Fex t
como se muestra en la Figura 2.1. a expresin general paracantidad
diferencial de trabajo mecnico b mec resultado de un desplazamiec
iferencial di viene dado por el producto escalar del vector de
fuerzas exterioFcx t por el vector desplazamiento di As
bWl ec = F ex t d V = F ex t cos O ds [2donde O es el ngulo que
forman los dos vectores F ex t Y El trabajo esmagnitud escalar. Sin
embargo, se asocia un signo al trabajo dependiendovalor del ngulo
que forman los dos vectores. Si las componentes de la fueexterior y
del desplazamiento tienen el mismo sentido, el resultado es
positivse realiza trabajo sobre el sis tema. El valor numrico del
trabajo transferidonegativo si las componentes de la fuerza
exterior y el desplazamiento tienen stidos opuestos.El trabajo
mecnico en un desplazamiento finito desde la posicin l aposicin 2
se obtiene integrando la ecuacin anterior, es decir
[2
Tngase en cuenta que, puesto que la fuerza externa puede variar
con el tiemplo largo del camino del proceso, el trabajo mecnico
suele depender del camseguido por el proceso. Debido a esto, el
trabajo mecnico es una funcinproceso y no una propiedad del
sistema. As, la diferencial de Wes inexacta yrepresenta
simblicamente mediante 6W no dW. Tomando como base la Eccin [1.7],
la integracin de una diferencial inexacta b entre los estados
lconduce simblicamente a W I2 y no a f1 W Es decir,
2WI 2 = W1
a expresin f1W no es apropiada, ya que slo se habla de trabajo
en el contede un proceso. lestudio de las ecuaciones que lo definen
muestra que las dimsiones principales del trabajo mecnico en el
sistema FLt son [fuerzaI . [lontud]. n termodinmica, las unidades
ms utilizadas comnmente para el trabmecnico son newton metro N m),
julio 1 y kilojulio kJ . Las unidadessistema USCS ingls) son pie
libra fuerra f t-Ib.) y la unidad trmica britca Btu).
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-:
-:
-
b
(a)
IV - ;-
z
g
35
Tngase en cuenta que una interaccintrabajo es una funcin de
proceso unafuncin del camino del proceso
Figura 2.2. a Esquema de unapar t cula qu e se mueve en un
campogravitator io y sobre la que actauna fuerza de superficie; b
diagramadel cuerpo l ibre.
[2.51
[2.3]
[2.6]
12.4]
/ , - -Fex . V dt,,
RIlC . V dtt ,
Wmce = W dt =t ,
-El uso de la definicin de ve locidad V = dsd t en la ex presin
anterior lleva denuevo a la Ecuacin [2.2]. E l anlis is de la ec
uac in que define la potencia mec nica muestra que las dimensiones
de la potencia son [fuerza] . [longitud]/[tiem-po], Las unidades
tpicas son N rn/s o lb ft/ s, En el SI, la unidad bsica depotencia
es el julio por seg undo Jzs, y I l s se denomina vatio W) . En c
lculosde ingeni er a se utiliza con frecuencia el kil ovatio kW) ,
En el sistema US CS oingls suelen utilizarse tres unidades para la
potencia: el caba llo de vapor hp , elpie-libra fue rza por segundo
ft . lbzs y la unidad trmica britnica por horaBtu/h . En la Tabla
A. l I se encuentran los factores de conversin entre es tas
tresltimas cantidades.
donde V representa el mdulo de la ve locidad. La integraci n de
la potenciamecnica en un perodo de tiempo determinado conduce
tambin al trabajo aso-ciado a un proceso. As
La velocidad a la que se real iza trabajo sobre o por el si
stema se define co mola potencia W La potencia, co rno e l trabajo,
es una magnitud escalar. En func inde la potencia, e l trabajo di
ferencial puede escribirse co mo
donde el trabajo y la potencia tienen el mismo signo. La
potencia mecnica sum i-nistrada a U sis tema por lt. .{ l fue rza
exterior se define Eo mo e l producto escalardel vector fuerza ex
terior Fe por e l vec tor ve loc idad Por tanto
2.1.2. ENERGA CINTICA TRASLACIONAL,y ENERGIA POTENCIAL
GRAVITATORIA
LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
Pa@ s ~ con los c lculos es necesario disponer de informacin
explcitasobre R Il y Ve n funcin del tiempo. Esta informacin puede
obtene rse aplicandola segunda ley de Newton al sistema.En la
Figura 2 h se muestra un esquema de las fuerzas. Puede observarse
quelas nica s fuerzas exteriores qu e ac tan sobre el sistema son
el mg fuerzavolumtrica debido a la gravedad y la fuerza superficial
resultante R ll c t ' Por tanto,
Utilizando como base los conceptos de trabajo y potencia
mecnica, se calcularahora el trabajo mecnico necesario para ca
mbiar la ve locidad y la posicin de unsistema que se mueve en un
campo gravitatorio. Esto conducir al importanteconcepto de la energ
a mec n ica.Considrese un sistema qu e se mueve_en un cam po
gravitatorio i bajo laacc in de una fue rza supe rfic ia l
resultante RIlC (vase Fig. 2.2a . Esta nica fuerza representa la
suma de todas las fuerzas que actan sobre el sistema. La aplicacin
de la Ecuac in [2. 5] a es te caso pa rticular lleva a
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TERMODIN MIC
L Fe x = R ne m donde ges la aceleracin [ocal de la gravedad.
Utilizando eexpresin en la segunda ley de Newton, L F exr = md se
obtiene_ _ dVR ne mg = ma =dt [2
donde el trmino a= dV/dt es la aceleracin del sistema.
Resolviendo la Eccin [2.7] en RnerYsustituyendo este resultado en
la Ecuacin [2.6] se obtieneexpresin del trabajo mecnico realizado
sobre el sistema por la fuerza supecial R ne .
/2 /2 dV Wmcc 12 = Rner V dt = . V dtmdt/ I / I [2
/2 dV . V dt - (mg : V dt - W ac Worav-dt1 I /1El anlisis de los
trminos de la ltima l nea muest ra que el t rabajo mecnrealizado
por la fuerza externa Rnet puede separarse en dos partes:
trabajoaceleracin Wac y trabajo gravitatorio Wgrav El trabajo de
aceleracin Wac es el t rabajo realizado sobre el s is tema pcambiar
su velocidad. Puede escribirse de forma ms til como sigue:
tz dV m . V =t dtI
m V dV =
vVI
mVdV
La integracin posterior ent re los estados 1 y 2 conduce a
l7l [2
La magnitud mV2 2 se define como energa cintica traslacional E
de un sima. El valor de E, es independiente del tipo de material
que experimenta la acelecin. La energa cintica especfica
traslacional se define como ec = E/m = VEl trabajo gravitatorio
Wgrav es el trabajo realizado contra la gravedad pcambiar la altura
de un sistema. Recurdese que V dt = dv donde, en este casoes la
variacin de la distanciavertical di. En consecuencia, tomando como
basEcuacin [2.8],- mg . V dt =
Img d: [2. lO
Si se supone que g es uniforme en el espacio entre las
posiciones ZI YZ2 entonla integracin resulta[2.1
La magnitud mg z se denomina energa potencial gravitatoria Ep
del sistemIgual que Ec Ep es independien te del tipo de materia l
del s is tema y la enerpotencial gravitatoria especfica ep se
define como ep = E/m = gz. Cuando g nouniforme, es necesario
conocer una relacin funcional entre g y z para pointegrar la
Ecuacin [2. lOa] .
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LA PRIMERA L Y LA TERMODINAMICA
Anlogamente, la potencia mecnica suministrada por la fuerza
superficial resultante para mover un sistema en un campo gravitator
io es igual a la variacin conel tiempo de las energas cintica
traslacional y potencial del sistema. Es decir,
Tngase en cuenta la diferencia entrepropiedades extrnsecas e
intrnsecas y queambas energas, cintica y potencialgravitatoria son
propiedades extrnsecas.
[2.12]
[2. 11]
El valor numrico del cambio en cua lquier trmino energtico en un
proceso depende slo del conocimiento de los es tados inicial y
final. Por tanto, laenergia cint ica traslacional la energa
potencial gravitatoria deben serpropied es El valor de las dos
formas de energa es independiente de la clase de material sometido
al cambio de estado y ambas son, por tanto, propiedades
ex/trinsecas El valo r de los dos trminos energticos depende de l
tamao de l sistema y
son. por ello, propiedades extens ivas Los valores numricos de
E, YEp dependen del sistem de ref erencia en elque se mid an la
velocidad V y la altura z.Ahora ya se es t preparado para
considerar las consecuencias de las Ecuacio
nes [2.11] y [2. 12J.
Los trminos energticos de las Ecuaciones [2.9 Y [2.10] tienen
las mi smasdimensiones primarias que las interacciones de trabajo
y. por tanto, las mi smasunidades que el trabajo transferido. Las
unidades de la energa en el S I son normalmente julios J o
kilojulios k,l. En el USCS las unidades suelen ser pielibra-fuerza
f t . lb. o unidades trmicas britnicas Btu .En resumen, se ha
demostrado que el trabajo mecnico realizado por la fuerzade
superficie resultante para desplazar un sistema en un campo
gravitatorio vienedado por
Antes de dejar el es tudio de la energa cintica y potencial
gravitatoria, resultatil separar las propiedades en dos clases
denominadas magnitudes extr nsecas eintrnsecas En general, para un
sistema,
Una propie extrnseca es una magnitud cuyo valor es in
ependientede la naturaleza de la sustancia que se encuentra dentro
de las fronterasdel s is tema.Una propiedad intrnseca es una magni
tud cuyo valor depend e de lanaturaleza de la sustancia que compone
el sistema.
La velocidad macroscpica traslacional de un cuerpo y la
velocidad angularde un cuerpo alrededor de su centro de gravedad
son ejemp los de propiedadesextrnsecas. Ninguna de estas
propiedades requiere informacin de la sustanciaque se encuentra
dentro del cuerpo. La presin, temperatura, den sidad y
cargaelctrica son propiedades intrnsecas. Estas propiedades estn
relacionadas con lasus tancia que se estudia. Como se ha mostrado
anteriormente, la energa cinticalineal y la potencial gravitatoria
son propiedades extrnsecas.En conj unto, la energa cintica
traslacional y la energa potencial gravitatoria se denominan
generalmente energa mecnica Estos dos trminos energticos tienen
algunas caractersticas comunes:
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8 TERMODINAMICA
2 3 TRABAJO POTENCI Y ENERGUNAINTERPRETACION
Recurdese lo que se ha hecho en los Apartados 2.1.1 y 2.1.2.
Primero sedefinido el trabajo mecnico y la potencia mecnica. Despus
estas definicionse han utilizado para evaluar el trabajo necesario
para acelerar un sistem encampo gravitatorio y obtener las dos
magnitudes energticas denominadas enga cintica traslacional y
energa potencial gravitatoria. En conjunto estas dformas de energa
asociadas a un sis tema se denominan energa mecnicasistema.
Finalmente se han desarrollado dos expresiones que relacionan el
trajo mecnico la potencia mecnica y la energa mecnica. Por tanto la
Ecuaci[2.11] del trabajo mecnico realizado sobre un sistema por una
fuerza superficpara acelerar el sistema en un campo gravitatorio
puede interpretarse comobalance de energa mecnica para un sistema
cerrado
donde el subndice me significa masa de control y aclara que se
est habldo de la energa mecnica del sistema cerrado masa de control
. Esta ecuaciestablece que la variacin de la energa mecnica del
sistema cerrado es igualtrabajo mecnico realizado sobre el sistema.
Puesto que el trabajo puede cambla cantidad de energa de un sistema
y el trabajo es una interaccin entres is tema y su entorno e
trabajo es un mecanismo para transportar energatravs de la frontera
de un sis temaAnlogamente. la Ecuacin [2.12] de la potencia mecnica
suministrada pl fuerra externa para acelerar n sistema en un campo
gravitatorio puede intpretarse como la expresin de balance de
energa mecnica referido al tiempara un sistema cerrado:
Esta ecuacin indica que la variacin con el t iempo de la energa
mecnica desistema cerrado es igual a la potencia mecnica
suministrada al sistema. De nuvo para ser coherentes con la
interpretacin del trabajo la potencia es la velodad a la que se
transfiere energa a travs de la frontera de wz sistema
mediatrabajoCon esta interpretacin del trabajo como un transporte
de energa y depotencia como la velocidad e transporte de energa es
necesario tener cuidapara uti lizar un convenio de signos coherente
cuando se realicen los clculCentrndose en la energa del sistema
parece natural que nicamente las interciones que aaden energa al
sistema deban ser positivas y las interacciones qdisminuyen la
energa de un sistema deban ser negativas. Este es el conveniosignos
adoptado en este texto para el trabajo
Al trabajo que entra a un si stema se le asigna un valor
positivo > O . Dmismo modo al trabajo que sale de un si stema se
le asigna un valor negavo W< O . Para la potencia mecnica se
adopta un convenio anlogo: es decirW O entonces se transfiere
energa al sistema mediante una interaccitrabajo.
I Esta ecuacin es una forma muy restringida del balance
energtico general que se estudposteriormente en este captulo. Slo
es vlida bajo las condiciones para las que se han desarrolllas
Ecuaciones [2.111 y [2.1 21.
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LA PRIMERA L Y LA T RMODINAMICA 9
.
Es un convenio natural , en el que las cantidades aad idas a un
sistema sonpositivas y las cantidades extradas son negativas y
puede usarse coherentementepara el transporte de todas las
propiedades ex tensivas tale s como masa, energa ,cantidad de
movimiento y carga , El signo de este convenio es tambin
coherentecon el anlisi s anterior del trabajo mecnico. Como
alternativa al convenio designos estndar, puede omitirse el signo
en una cantidad de trabajo e indicarse elsentido explcitamente
asignando un subndice entra o sale abreviado,ent o sa l ) al smbolo
del trabajo. Por ejemplo, si el trabajo extrado de unsistema es 100
kJ, es to podra escribirse como W = - 100 k o W, = 100 kJ.
EJEMPLO 2
Z = 27 mV 2 = lrn s
2
I
Sistemamv g = 400 kg
z, mV = Ims
Datos La vagone ta de una montaa rusa sube por una rampa tirada
por una cadena,corno se muestra en la i gura 2.3.Solucin
Una vagoneta de una montaa rusa llega a la parte inferior de la
pr imera rampa. All, unacadena engancha la vagoneta y ti ra de e
lla subiendo la ram pa de 40 m de longitud a unave locidad
constante de 1 m s hasta que alcanza la cima. En la cima de la
rampa la alturadel coche ha aumentado en 27 m. La masa de la
vagoneta incluyendo sus cuatro pasajeroses de 400 kg. Supnganse
despreciables los efectos de friccin. Determnese a el
trabajomecnico rea lizado para sub ir la vagone ta a la cima de la
rampa en N m, h la fuerzamedia aplicada a la vagoneta por la cade
na para subirla por la rampa, en N, y e lapotencia mecnica media
suministrada por e l motor para elevar la vagoneta, en
Incgnitas Determnese: el trabajo requerido para sub ir la
vagoneta a la cima de larampa, h la fuerza media aplicada por la
cadena, y e la potencia mecnica media sumi nistrada a la vagoneta
durante la subida.
Anlisis Antes de aplicar el ba lance de energa mecnica es
necesario identificar elsistema. La vagoneta y su contenido se
toman como sistema, como se muestra mediante lalnea discontinua de
la figura.
a El balance de energa mecnica para el sistema es tablece
que
odelo Se desprecian los efectos de friccin; = 0, la g ravedad
local es constante yvale 9,8 1 m/s . etodologa Puesto que no hay
informacin sobre la fuerza , se intenta utili zar lainformacin
desarrollada para e l trabajo mecnico y la energa mecnica . Se
utili zan entonces las definiciones de trabajo y potencia mecnicos
para averigua r la informacin quefa lta.
Figura 2.3. Esquema y datos del Ejemplo 2.1.
2 El lector debe saber que los ingenieros utilizan tambin otro
convenio de signos, aquel en el queel trabajo realizado por un
sistema es positivo.
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r
TERMODIN MI
Puesto que la velocidad es constante, es necesario considerar
nicamente el cambioenerga potencial gravitatoria. Resolviendo para
obtener Wmeey utili zando la definicinEp se obtiene
98 1mWmcc = mg Z2 - Z = 400 kg x 2 x 27 - O ms
h Para evaluar la fuerza media aplicada por la cadena a la
vagoneta, se utilizadefinicin de trabajo mecnico con una fuerza
media constante Fm2 ds = lsm
I
Resolviendo para obtener la fuerza media se obtiene:
F = mcc = 106 x 1 3 N m- - - - - = 2.650 Nm ls 40 me Finalmente,
la potencia mecnica media \Ymec m suministrada a la vagoneta
pudeterminarse a partir de la relacin entre Wmec y mec es
decir,
?- Wmcc dt = Wmec.m ltIEl intervalo de t iempo viene dado por la
distancia recorrida dividida por la velociconstante. Esto es
ls 40 m lt =- = =40 sV 1,0 mis
y la potencia mecnica media es = Wmccmee .m lt 106 x 10
3 N m- - - - x = 2.650 l / s40 s Nr m
EJEMPLO
Comentarios 1 Todos los resultados se han redondeado a tres
cifras significativcomo ser cos tumbre en este libro. En es te
texto, a menos que se proporcione otra informcin, se supondr que
toda la informacin dada en un problema tiene una precisin decifras
significativas. 2 La potencia mecnica media tambin podra haberse
calculado como Wmee. l v Comprubese.3 Si la potencia mecnica media
es 2.650 l / s , el motor elctrico ms pequeo pble sera de 2,65 kW 0
3,55 hp.
coche de carreras pequeo kart t iene una masa de 200 libras-masa
incluido el piloes t propulsado por un motor de 3 hp. Estmese cunto
tiempo tardara el coche en alczar una velocidad de 40 millas por
hora en un circuito de carreras horizontal. Esestimacin alta o
baja? Supngase que se puede disponer de toda la potencia mecnpara
acelerar el coche.SolucinDatos Un coche es propulsado por un pequeo
motor y acelera desde el reposo, cose muestra en la Figura 2.4.
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Pero tamb in se sabe que la poten cia y el trabajo pueden
relacion arse mediante WOlec SWmcc dt = W olor l t puesto que la po
tenc ia motriz es cons tante . El balance de energamecnica puede
reescribirse entonces como
= Ibm
SistemaIFigura 2.4. squema y datos deljemplo 2.2.
Proceso 1-2: Wm = 3 hpEstado 1: t = O; V = O
LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
nlisis En es te model o el coche es un sistema cerrado.
Aplicando el balance de energa mecnica y desp reci ando las
variaciones de energa potencial, se obtiene
Puesto que se supone que toda la potencia se ha invertido en mo
ver el coche, sera msrealista deci r que l..trcal > 6 48 s.
Resolviendo para l t y teniendo en cuenta que VI = O se obtiene
el res ultadom Vl t = - ; --=--2 W otor
etodolog El cambio de la energa cintica es t relacion ado con el
trabajo transferido al sistema . Si puede encontrarse el trabajo
necesario y se conoce la veloc idad a la quese realiza la potencia,
se podra calcular el tiempo.
Comentarios 1) Ntese el uso corre cto de los factores de
conversin. Los clculosnumricos habran sido mucho ms senci llos si
en primer lugar se hubiese co nve rt ido lave locidad del coche a
ft/s y la po tencia a ft -Ib, antes de sustituirlos en la so lucin
simb lica. El saber cundo convert ir las unidades y a qu convert
irlas es una habilidad que seadquiere con la experiencia. Aborda
rlo median te la fuerza bruta siempre fun ciona, aun-que se
necesita mucha so ltura en e l ma nejo de las unidade s.
2) Tngase en cuenta c mo se ha distingu ido cuidadosame nte en
tre libra-fuerza ylibra-masa. El co nfundir est os dos trminos
conduce siempre a errores mayores. Una forma de evi tar esto es no
uti lizar libra sin calificativo.
3) Un mtodo alternativo a es te problema habra sido aplicar la
form a der ivada de laecuacin del balance de energa mecnica para ca
lcular la v ocidad de cambio de la energa cintica del sistema en
funci n de la potencia motri z. Es te mtodo conduc ira a lamisma
ecuacin, l t = l..Ec j o or
m 2 2 . V 2 - V = Wo =W otor l t
Sustituyendo los valores numricos
Incgnitas Estima r el tiempo que le lleva al coche pasar del
reposo a las 40 mph .Comentar cmo se relaciona la respuesta con la
ac t uac in real.
= 6,48 s
Otras dos formas bien conocidas de interacciones trabajo pueden
evaluarsetambin utili zando el concepto de trabajo mecnico como una
fuerza que se desplaza una cierta di stancia. El trabajo en eje se
produce cuando un eje rotatorioatraviesa la frontera de un sistema,
y el trabajo elctrico se produce cuando unacorriente elctrica
atraviesa la frontera de un sis tema. Estos dos tipos de
trabajo,transferencias de energa, se revi sarn en los apartados
siguientes.
odelo Puesto que la pista es hor izontal, slo son impor tan tes
los ca mb ios en la ener- Es tado 2: t = ? s; V2 = 40 mphga
cintica. Toda la potencia se invierte en ca mbiar el movimiento del
coche. La potenciadel motor es constante.
.
mV 200 lb 40 mi les 2 S280 ft ? h 2-l t - x2W olor 2 3 hp ) h 1
mil 3 600 slb . ft 2 1 s 1 lb r S2 - 114.700 m X X- hp . S2 O ft
-Ib 32 ,174 IbOl ft
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4 TERMODINAMICA2 4 TRABAJO EN EJEEl trabajo en eje, llamado
algunas veces trabajo mecnico rotatorio, se evalafuncin del par
externo transmitido por un eje rotatorio. Considrese el disposivo
mostrado en la Figura 2.5. Una fuerza externa F acta con un brazo r
y prodce un par r. Si el ngulo entre el brazo y la fuerza externa
es 90, entoncesmagnitud del par t es
ds
t Fr o rF= -rF
Figura 2.5. Esquema que muestrala relac in entre el par y
eldesplazamiento angular con eltrabajo mecnico rotatorio
La cantidad diferencial de trabajo en eje c5Wejc realizado sobre
el sistema porfuerza externa que se desplaza una distancia
diferencial ds = r dO donde el nglo se mide en radianes, puede
escribirse como T c5W . =F ds =- . r dO = T dle le.
Puesto que el movimiento rotatorio del ej e se suele expresar en
funci n del nmro de revoluciones por unidad de t iempo h; a menudo
es ms fcil calcularpotencia en eje antes de calcular el trabajo en
eje. La poten i en eje Wejc tranmitida en un instante de tiempo
es
[2.1
donde w es la velocidad angular o rotatoria d /dt en radianes
por unidad de tiempo, n es el nmero de revoluciones por unidad de
tiempo y w = ZnnEl trabajo en eje suele depender del camino del
proceso. El trabajo en epuede evaluarse a partir de la potencia en
eje como / 2Wcjc = Weje dt rw dt/ , / I
si se conoce cmo varan w y r con el tiempo durante el proceso.
Si el p rconstante durante el proceso, la integracin de la expresin
anterior conduce[2.1
n t Te e .:..J
Figura 2.6. Trabajo en e je rotatoriocomo trabajo de rueda de pa
le tas.
Tngase en cuenta que toda la informacin necesaria para calcular
el trabajo eeje o potencia) debe evaluarse en la frontera del
sistema.El t rabajo en eje y la potencia en eje son modos de
trabajo 10 cuasiestticovase Apdo. 2.8.6) si la rotacin del eje y el
par externo no pueden relacionarcon propiedades del sistema. Este
es el caso, por ejemplo, cuando el eje esunido a una rueda de
paletas situada en el interior de un recipiente, comomuestra en la
Figura 2.6. En esta situacin el trabajo en eje se suele
denomintrabajo de la rueda de pale tas .
2 5 TRABAJO ELCTRICOLa evaluacin del trabajo elctrico realizado
sobre un sistema depende igualmente de las medidas rea lizadas en
la frontera del sistema. Cuando se mueve unpequea carga jQ, del
punto 1 al punto 2 en un campo electrosttico por ejemp
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I
v
Frontera del sistema
MPLO 2.3
4
Figura 2 7 Trabajo elctrico disipadoen una resistencia
Tngase en cuenta que el trabajo en eje y eltrabajo elctrico
pueden afectar al estadointrnseco de un sistema
[2.15]
12.16]
El trabajo elctrico es otro ejemplo de interaccin trabajo no
cuasiesttico si ladiferencia de potencial y la intens idad no
pueden relacionarse con las propiedades del sis tema. Este es el
caso en que se suministra potencia elctrica a unaresi stencia
dentro de un sistema.
Un depsito rgido contiene un gas, una rueda de paletas conectada
a un eje y una resistencia elctrica conectada a una batera. Al eje
unido a la rueda de paletas se le aplica un parde 5,0 N m, y la
velocidad del eje es 300 rpm. Al mi smo tiempo, se suministra
unacorriente de 5,0 A a una resistencia mediante una batera con una
di ferencia de potencialde 6,0 V. Determnese la potencia neta, en
vatios, y el trabajo neto realizado sobre elsistema, en kilojulios,
si el proceso dura I minoSolucinDatos Un gas dentro de un depsito
rgido recibe energa en forma de trabajo de ruedade paletas en eje y
trabajo elctrico. El sistema y los datos asociados se muestran en
laFigura 2.8.Incgnitas la potencia neta, en vatios, y h) el trabajo
neto, en julios, si el procesodura I mino
donde la intensidad de la corriente 1 y la diferencia de
potencial V se miden en lafrontera del sistema, como se muestra en
la Figura 2.7. La potencia elctricao trabajo transferido a un
sistema es positivo cuando la corriente circula Izaciael sis tema
de mayor potencial. Cuando una corriente de un amper io A pasa
atravs de una diferencia de potencial de un voltio V, el trabajo
elctrico para elproceso se def ine como un vatio W , o 1 J/sEn
general , la intensidad 1 y la diferencia de potencial V pueden
depender deltiempo Por ello, el trabajo elctrico, como el trabajo
en eje, depende del caminodel proceso y no slo de los estados
finales. Cuando la intensid d y la diferencide potencial son
constantes el trabajo elctrico puede calcularse como
L PRIMERA LEY L TERMODIN MI
un circuito elctrico , el trabajo mecnico necesario para mover
la carga en elcampo se denomina trabajo elctrico c1cc Viene dado
por c lcc = V l
donde V por convenio es la diferencia de potencial elctrico
entre dos puntosdel campo. La diferencia de potencial elctrico V
tiene dimensiones de [energa]/[carga] y la unidad es el voltio en
ambos sis temas SI y USCS. Por definicinI voltio = l
julio/culombio.La intensid d de la co rriente elc tr ica 1 est
relacionada con la cantidad decarga elctrica > l que atraviesa
una frontera durante un perodo de tiempo dtmediante la relacin d c
= J dt La intensidad de la corriente elctrica 1 tienedim ensiones
de [carga]/[tiempo1y se mide en amperios A . Por definicin I A == 1
culombio/s El trabajo diferencial necesario para que pase una
corriente deintensidad 1 entre dos puntos en la frontera del
sistema con una d ife rencia depotencial Vdurante un perodo de
tiempo dt es We1ec = V 1 dt La velocidad a laque se realiza el
trabajo elctrico sobre el si stema, la potencia elctrica Wc lcc
secalcula mediante
1
i,
-
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44 TERMODINAMICA
.JModelo La intensidad, la di ferenci a de potencial, la ve
locidad y el par se suponconstantes. Sistema cerrado,
rgido.Metodologa Evaluar la suma de las potencias e lctrica y en
eje . Integrar la potenneta para ob tene r el t rabajo neto.
r ,:> r 7:T ;I
Anlisis El sistema lo compone la mat eria dentro de la lnea de
trazos que se muesen la Figura 2.8. La po tenc ia neta en el
proceso es la suma de las contribuciones del ejelctrica evaluadas
en la frontera del sistema. Esto es W nct = W ejc + W c1cc
Batera
Figur a 2.8. E sq ue ma y datos delEjemplo 2.3.
La energa se suministra al sistema y, por tanto, la potencia en
eje y la potencia elctrson positivas. Si se supone que el par apl
icado y la velocidad angular son co nstantes,potencia en eje viene
dada por
. rad revWejc = 2mh = rr 300 . 5,0 N . m)rev mmN m= 9.425
xmm
I min60 s
1 J1 N m
I W sI J = 157 W
Anlogamente , para la energa elctrica positiva sumini s trada al
sistem aWe1cc = 6,0 V 5,0 A = 30 V A I VA = 30 W
Sumando es tos dos resultados se obti ene la entrada de potencia
net a como W nc1 = W ejc + W clec = 157 + 30 W = 187 W
Puesto que la potencia neta no camb ia con el tiempo, el trabajo
neto transferido es W net = W nel dt = W nc1 = 187 W x l h = 187
Wh
t
l J1 W s
60 sI min
11.220 J = I 1,22 kJComentarios Adv ir tase de nue vo e l uso de
los fac tores de convers in pa ratener l as unidades deseadas. 2)
La s decisiones ace rca del sentido de la potencia en ej e y la pot
encia elctricahan hecho despus de con siderar cu l era el sistema,
es decir, la rueda de paletas y
res istencia. Si el sistema hubiese incluido la batera, la
potencia elctrica habra s30 W, puesto que la corriente elctrica
entra en la batera a menor potencial. Es to pod escribirse Wh
alcria = - 30 W o bien W balcr ia.sal = 30 W.
En el apartado anterior se han repasado unos pocos tipos de
interacciones trabaEn todos ellos se tratan procesos concretos de
transferencia de energa que afetan al estado de un sis tema
determinado. Cuando las nicas transferenciasenerga permitidas a
travs de la frontera de un sistema son interacciones trabala
frontera se denomina frontera adiabtica y el sistema se denomina
sistemadiabtico Un proceso adiabtico es aquel en el que slo se
identifican interaciones trabajo 3.
Qu t ipo de mater ia les podran utilizarsepara construir una
frontera adiabtica?
I LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINMICA
3 En termodinmic a e s ventajoso definir el concepto de trabajo
en un sentido amplio que inclla definicin tradicional de trabajo
mec n ico. La definicin operacional en termodin mica es: trabes una
interaccin entre un sistema y su entorno y se realiza sobre el
entorno si el nicocambio en pudiera haber sido un aumento de su
encrga potencial gravitatoria.
l
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1
V Batera
Proceso A
Frontera del sistema
b
a)
Proceso B
Fronter a del sistema
Wcjc = kJr
Figura 2 9 Interaccio nes trabajo y laprimera ley
T n ga se e n c ue nt a q ue la variacin de laenerga t ot al d e
un sistema se basae n p r ue b as experimentales .
[2.17]1E = l - l W nel,ad
LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
donde W net,ad es el trabajo neto realizado en cualquiera de los
procesos adiabticosentre esos dos estados. El balance de energa
mecnica desarrollado anteriormenteEc. [2.11] es un caso particular
de este resultado ms general. La Ecuacin [2.17]proporciona una
definicin operacional de la variacin de energa 1E = l - l deun
sistema cerrado. No proporciona ninguna informacin sobre el valor
de laenerga en los estados l o 2. Puede darse un valor determinado
a l porejemplo,asignando un valor arbitrario pero fijo a un estado
de referencia determinado.
En el Apartado 2 se han presentado dos tipos de interacciones
trabajo, trabajo en eje y trabajo elctrico. Ahora se pretende
estudiar el efecto separado deestas dos interacciones trabajo en un
sistema cerrado. ncada caso el s is temaexperimentar el mismo
cambio de estado. Para ilustrar este punto, considrese elsistema
cerrado de volumen constante que se muest ra en la Figura 2.9. Se
realizan experimentalmente dos procesos adiabticos diferentes para
llevar a cabo uncambio de estado determinado. El proceso A vase
Fig. 2 9a se realiza permitiendo que una rueda de paletas, movida
por un sistema polea-peso, gire dentrodel sis tema de volumen
constante. En el proceso B vase Fig. 2 9b se ha colocado una
resistencia elctrica en el seno del fluido y se conecta a una
batera exterior a travs de la frontera del sis tema. Ambos procesos
A y B tienen el mismoestado inicial y terminan con el mismo estado
final del fluido. Adems, se puedeconsiderar tambin un proceso e en
el que se utilicen ambos, trabajo en eje ytrabajo elctrico, para
conseguir el cambio de estado requerido. Los experimentos muestran
que el trabajo total requer ido es el mismo para los tres
procesosadiabticos descritos anteriormente, si los tres comienzan y
terminan en los mismos estados de equil ibrio del sistema de
volumen constante.Tomando como base resultados experimentales de
este tipo, que comenzaroncon el trabajo de Joule a mediados del
siglo XI X , es posible establecer una generalizacin. Este
postulado, basado en pruebas experimentales y denominado prime-ra
ley de la termodinmica, establece lo siguiente:
Cuando un sistema cerrado masa de control) se altera adiab
ticamente, eltrabajo neto asociado con el cambio de estado es el
mismo p r todos losprocesos posibles entre los dos estados de
equilibrio dados.Para enunciarlo de otro modo, el valor del trabajo
neto realizado sobre o po r
un sis tema cerrado adiabtico depende nicamente de los estados
inicial y finaldel proceso. Este postulado es cierto con
independencia del tipo de interaccintrabajo que interviene en el
proceso, el tipo de proceso y la naturaleza del sistemacerrado. La
primera ley de la termodinmica, junto con las relaciones
derivadasde ella, est tan bien establecida que no se cuestiona su
validez cuando se aplicaadecuadamente a problemas cientficos y de
ingeniera.Se ha postulado que la transferencia neta de trabajo es
la misma para todos losprocesos adiabticos entre dos estados de
equilibrio en un sistema cerrado. Esteenunciado de la primera ley
conduce a una definicin general de la variacin deenerga en un
sistema cerrado entre dos estados de equilibrio. Recurdese
delApartado 1.3 y del estudio de las propiedades que cualquier
magnitud que estfijada por los estados inicial y final para todos
los procesos entre esos estados esl na medida del cambio del valor
de una propiedad. Puesto que el trabajo adiabtico en un proceso de
un sistema cerrado es nicamente una funcin de los estados inicial y
final, la magnitud trabajo adiabtico define o mide el cambio de
unapropiedad. Esta propiedad se denomina energa E o energa total)
del sistema.Cuando un sistema cerrado experimenta un proceso
adiabtico que cambia suestado del estado 1 al estado 2, pueden
existi r var ios tipos distintos de trabajorealizados sobre o por
el sistema. Si se aplica la primera ley de la termodinmicaa este
proceso adiabtico ad , puede escribirse
Ii
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46 ,TERMDINAMICAI 2.3. PRIN IPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGAPARA
SISTEMAS CERRADOS
La primera ley de la termodinmica proporciona una definicin
operacional dvariacin de energa. La variacin de energa de un
sistema cerrado entreestados cualesquiera es igual al trabajo
realizado sobre o por el sistema duraun proceso adiabtico que
conecte los dos estados Sin embargo, la experienha demostrado que
es posible cambiar el estado de un sistema mediante proceno
adiabticos
2.3.1. TR NSFEREN I DE LOREN SISTEMAS CERRADOSConsidrese el
cambio de estado asociado con la agitacin de un fluido dentroun
depsito adiabtico y rgido volumen constante Tambin se ha demostrque
se conseguira el mismo cambio de estado poniendo el sistema en
contacon otro sistema a mayor temperatura. La interaccin entre el
sistema y su enno que ha tenido lugar en el ltimo caso se denomina
interaccin calor o transrencia de calor Q l calor y el trabajo son
los nicos mecanismos mediantecuales se puede transferir energa a
travs de la frontera de un sistema cerraConsidrese un sistema
cerrado que experimenta un proceso entre el estady el estado 2
durante el cual se producen interacciones calor y trabajo. Pu
estose trata de un proceso no adiabtico, la variacin de energa del
sistema no sigual al trabajo en el proceso. La diferencia entre el
cambio de energa y el trajo neto es una definicin operacional de la
interaccin calor que ha tenido luMatemticamente esta relacin se
expresa como
o, en forma diferencialjQ d - jW
[2.
[2.Tal y como se ha utilizado en estas ecuaciones, el convenio
de signos paracalor transferido y el flujo de calor es el mismo que
el utilizado para el trabLa energa transferida al sistema en forma
de calor tiene valor positivo y la enga transferida desde el
sistema tiene valor negativo.El calor Q es una transferencia de
energa a travs de la frontera de un sistedebido a la diferencia de
temperatura entre el sistema y su entorno. El calor tidimensiones
de energa y su unidad es el ju lio J en el SI Yel pie libra-fueft
lb o unidades trmicas britnicas Btu en el USCS. La experiencia
hamostrado que el calor se transfiere de forma espontnea slo en el
sentidotemperaturas decrecientes El calor transferido es cero si no
existe diferenciatemperatura entre el sistema y su entorno, si el
gradiente de temperaturas enfrontera es cero o si la frontera est
aislada trmicamente Una superficie ofrontera a travs de la cual no
se transfiere calor se denomina superficie adiabca Es difcil
construir superficies adiabticas reales; sin embargo, en
mucocasiones la transferencia de calor es despreciable y la
hiptesis de superfadiabtica es realista.Utilizando como base la
Ecuacin [2.18], est claro que la suma de Q y nica en cualquier
proceso entre estados dados, puesto que f est determinpor los
estados inicial y final. Sin embargo, el valor individual de W I
sudepender de la naturaleza del proceso entre los estados dados. En
consecuenel valor del calor 2transferido en un proceso generalmente
depender tamb
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L PRIMERA LEY L TERMODIN MI
[2.23]
[2.22]
[2.24]
[2.20]
[2.21 ]
Transferencia netade energa alsistema medianteinteraccin
trabajo
jQ
+
2
1Q dt =2
Transferencia netade energ a alsistema medianteinteraccin
calor
Variacin deenerga delsistema
Como resultado, para un proceso ent re los estados 1 y 2
del camino, Por tanto, el calor es unafuncin de proceso o funcin
del camino aligual que el trabajo, Recurdese que la diferencial de
una magnitud que dependedel camino del proceso como Q y se designa
mediante el smbolo mejorque el smbolo para la diferencial exacta d
. Una cantidad diferencial de calor .puede definirse tambin en func
in del flujo de calor Q como
El subndice 12se omite con frecuencia cuando el proceso se
realiza en una nicaetapa. Para un proceso mul tietapa 1-2-3 se
escrib ir a QJ y Q 3 para las dosetapas. Tngase en cuenta otra vez
que la integracin de una funcin de procesono conduce al uso del s
mbolo ,1. Para magnitudes como calor o trabajo no sehabla del
cambio de la magn itud como se hace para la energ a 1E s ino
delvalor absoluto para el proceso. Finalmente, no puede dejarse de
hacer hincapi enque la transferencia de calor es un t ransporte que
tiene lugar a travs de unafrontera. Este efecto es una interaccin
que acaba cuando termina el proceso.
La Ecuacin [2.18], utilizada anteriormente para definir la
transferencia de calor,contiene toda la informacin necesaria para
escribir la ecuacin de conservacinde la energa en un s is tema
cerrado . Reordenando la ecuacin de modo que lavariacin de energa
quede en el lado izquierdo, se obtiene
2.3.2. CONSERVACIN DE LA ENERGAPARA SISTEMAS CERRADOS
Para un cambio de estado diferencial , la Ecuacin [2.22] se
escribe como
Esta ecuacin es la ecuacin de conservacin de la energa para un
sistemacerrado La Ecuacin [2.22] se conoce tambin como el balance
energtico ge-neral para un sistema cerrado Con palabras
Con frecuencia conviene analizar los sis temas cerrados refer
idos a la unidad demasa. Si el calor transferido po r unidad de
masa q trabajo por unidad de masa wy energa especfica e se definen
como
7
-
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TERMODINAMICA
entonces el principio de conservacin de la energa para un cambio
de estaddiferencial viene dado por[2.25
Para un cambio de estado finito, la integracin de esta ecuacin
proporciona~ e = q W [2.26
Por ltimo, la Ecuacin [2.22] puede expresarse referida l tiempo
dividiendoecuacin por un intervalo finito de tiempo M. Esto lleva a
Q W=M ~ t ~ t
Entonces, en el lmite cuando ~ t tiende a cero, ~ t dE/dt Q M
lJQ/dt Q y W ~ t lJW/dt = W. Como resultado, la form referida l
tiempo dee u in de la conservacin de la energa para un sistema
cerrado es
Con palabras
[2.27
Variacin con respectoal tiempo de la energadel sistemaFlujo
neto- de calor transferido al sistema
potencia netatransferidaal sistemaa forma referida al tiempo del
balance energtico demuestra claramente cmen cada instante de
tiempo, la variacin de energa dentro del sistema cerradoequilibra
con el flujo de energa a travs de la frontera. Las Ecuaciones
[2.22][2 27] son ecuaciones muy importantes y constituyen los
puntos de partida pricipales en la aplicacin del principio de
conservacin de la energa a un sistemcerrado. n las dos ecuaciones
hay un convenio de signos implcito en el queenerga suministrada a
un sistema mediante transferencia de calor o transferencde trabajo
tiene un valor numrico positivo y las interacciones que extraen
enega de un sistema tienen valores numricos negativos Como se ha
hecho constanteriormente, este convenio de signos implcito puede
eliminarse utilizando lsubndices entra y sale en Q y en las
ecuaciones de la energa.Finalmente considrense las dos aplicaciones
de la ecuacin general de coservacin de la energa siguientes.
Advirtase que, como el valor de una interaccin trabajo y una
interacin calor es funcin del camino, la evaluacin por separado de
la intgral a lo largo de un ciclo de lJW o l Q no es necesariamente
cero y s lola integracin cclica de dE Por tanto, para un sistema
cerrado que exprimenta un proceso cclico, el principio de
conservacin de la energareduce a
lJQ lJW = l Q lJW= O
Las integrales de lJW y l Q deben tener entonces el mismo valor,
pesignos opuestos en el ciclo.
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I
LA PRIMERA L Y LA TERMODINAMICA
2. Cuando un sistema cerrado funciona en rgimen estacionario, el
tiempodeja de ser una variable del problema. En el funcionamiento
en rgimenestacionario, los flujos de calor y las potencias deben
ser independientesdel tiempo. Adems, la cantidad de energa del
sistema es tambin independiente del tiempo, de modo que su variacin
debe ser cero, es decir,dE/dt = O Por tanto, esto significa que el
flujo neto de calor y la potencianeta deben ser iguales en
magnitud, pero de signos opuestos.
Dos sistemas cerrados, A y B, experimentan cada uno un proceso
durante el cual se comunica trabajo y la energa total de cada
sistema aumenta. En el sis tema A, el trabajocomunicado al sistema
es 100,0 kJ Y la energa total aumenta en 55 ,0 kl. h En el sistema
B. el sistema realiza un trabajo de 77.800 ft -Ib mientras que la
energa total aumentaen 55 Btu Encuntrese el calor transferido en el
sistema A en kJ y en el sis tema B en Btu.Determnese tambin si se
suministra o se ext rae de l sistema.SolucinDatos Una determinada
interaccin trabajo produce un determinado cambio de energatotal en
los dos sistemas. Los sistemas con los datos de entrada adecuados
se muestran enla Figura 2.10.Incgnitas Magnitud y sentido de Q en a
el sistema A en kJ, y h el sistema B en Btu.Modelo Sistema cerrado.
etodologa Aplicar el balance bsico de energa para sistemas cerrados
con el fin deobtener el calor transferido.Anlisis El principio de
conservacin de la energa para sistemas cerrados, representado por
la Ecuacin [2.22], es Eme = Q W Resolviendo en el calor transferido
se obtieneQ = me - W.a Puesto que , por convenio, el t rabajo
comunicado a un sistema es positi vo,V = 100,0 kJ YE mc = 55 ,0 kJ.
Sustituyendo en la ecuacin de Q se obtiene
Q = t Emc - W =55,0 kJ - 100,0 kJ = - 45,0 kJAdvirtase que la
solucin es -45 0 kJ Yno slo 45,0. Las soluciones de los problemas
deingeniera tienen unidades y deben expresarse explcitamente. El
signo negat ivo es tambin importante, puesto que indica que el
calor sa le del sistema. Otra forma de expresar lasolucin es
utilizar un subndice explcito: QsaJ= 45 0 kJ . Cuando se utiliza el
subndicesale o entra en Q o W , el valor numrico positivo debe
concordar con la direccinindicada.b El proceso se muestra
grficamente en la Figura 2. lOb. Para el s is tema B, W,al ==
77.800 ft -Ib. , puesto que el trabajo sale del sistema, mientras
que tJ E = 55 Btu. Aunqueft -Ib , YBtu son ambas unidades de
energa, se requieren unidades homogneas para calcular el calor
transferido. Para obtener la solucin de Q en Btu, el t rabajo
es
l BtuW, = 77.800 ft -Ib, x = 100 Btu. 778 ft -Ib,
donde el factor de conversin de unidades que se encuentra en la
Tabla A.I 1 se ha redondeado a tres cifras significativas. Al
sustituir los valores de W y tJ E en la Ecuacin [2.19]se
obtiene
Q = tJ Eme - W = tJ Eme - - W,ale= 55 - -100 Btu= 155 Btu
EJEMPLO 4
W = 100,0 kJ
?a
W= -77.800ftlbf
?b
Figura 2.10. Esquema y datos delEjemplo 2.4.
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r50 ,TERMDINAMICA
El resultado positivo indica que durante el proceso es necesario
aadir una cantidadenerga de 155 Btu en forma de calor.Comentario Es
necesario utilizar el convenio de signos para el calor y el trabajo
ebal ance energtico. Si se utiliza una ecuacin que ha desarrollado
otra persona partrabajo o calor es necesario conocer el convenio de
signos implcito en la ecuacin.
MPLO 2.5 Reconsidrese el Ejemplo 2.3. A un sistema cerrado se le
suministra energa medianteresistencia elctrica y una rueda de
paletas, 188,5 y W respectivamente. La ecuacdel flujo de ca lor
cedido al entorno viene dada por Q = 2 18,5[1 - ex p - 0,03t ], don
est en seg undos y Q en vatios. a Determnese la ecuacin de la
variacin de energasistema respecto al tiempo dE /dt en funcin del
tiempo. b Represntese grficameesta relacin fun ci onal para los 3
primeros mi nu to s de funcionamiento.SolucinDatos A un sistema ce
rrado se le suministra potencia elctrica y en eje de forma cotante.
Tambin se transfiere un t lujo de calo r dependiente del tiempo. En
la Figura 2.se muestra el sistema cerrado con los datos de entrada
adecuados.Incgnitas a dli/dt = f t para el sistema. b Ecuacin para
la representacin grfModelo Sistema ce rrado, potencias en eje y
elctrica constantes.Metodologa Aplicar el balance energtico para
sistemas cerrados referido al tiemAnlisis La ecuac in de
conservacin de la energa adecuada para el sistema eEcuacin [2.27],
es decir
d .- = Qne. + Wne,dtdonde el trmino Wen este caso representa las
diversas formas de interacciones trab
a En funcin de informacin conocida y teniendo en cuenta que el
flujo de csale del sistema
dE . . .= Qsal + W cjc.ent W eJec,entdt= - 21 8,5[1 - exp -O,03t
]W + 188,5 + 30,0) W= 2 18,5 exp -0,03t W
Q = 218 5[1- exp--O,03t 1
200500o
100
w je= 188,5W
Wcke =3 WBatera
t. en segundosa
Figura 2.11. Esquema y datos del Ejemplo 2.5.h
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LA PRIMERA LEY L TERMDIN MI
[2.28]
[2.29]
[2.30]
N TUR LEZ E L ENERG4
De la fsica clsica puede demostrarse que la energa cintica total
de un sistemade partculas puede expresarse como suma de tres
trminos.
Por tanto, la var iac i n de la energa E con el tiempo decae
exponencialmente con eltiempo.b La representacin grfica de la
ecuacin anterior s e mu es tr a e n la F igu ra llb
Despus de 2 00 s la e ne rg a del s is te ma s e h ac e p r ct
ic am en te c on st an te c on el t ie mpodE/dt tiende acero .
Despus de este perodo transitorio el balance energtico se reduce
bsicamente a -Q alc + Wnc1 0, o
En la ecuacin de conservacin de la energa para un sistema
cerrado, Ecuacin[ 7] , el trmino fE representa la variacin de la
energ a total del sistema. Aestas alturas es importante estudiar
los tipos especficos de energa que contribuyen a la energa total.
Finalmente, debe deci dir se q u t ipos de energa
puedendespreciarse cuando se utiliza la ecuacin de conservacin de
la energa paraestablecer el modelo del comportamiento de un sistema
de ingeniera.Todos los tipos de energa E pueden clasificarse o como
energa cintica EJdebido al movi mi ent o de un cuerpo, o bien como
energ a potencial debi da a laposicin de un cuerpo relativa a un
campo de fuerzas de otros cuerpos. Adems,los tipos de ener g a
pueden clasi ficars e o en ext r ns ecos ext) o en intr
nsecosint).Combinando estas dos clasificaciones se obtiene una
forma til de examinarla energa total de un sistema. Por tanto,
Comentario Despus de 3 min el valor de dE/dr es slo el 0, 45 por
100 de su v al orinicial.
Este va lor d e 2 18 ,5 W p ue de h al la rse t am bi n h ac ie
nd o r t en de r a i nf in it o en la relacindada para Q en funcin
de
Los dos primeros trminos son las conocidas energa cintica
traslacional y energa cintica rotacional del sistema total
relativas a su centro de masas. Estas doscontribuciones son
extrnsecas y se miden en funcin de car actersticas macroscpicas del
sistema. El tercer trmino es la suma de las energas cinticas de
laspartculas individuales del sistema, debidas al movimiento
traslacional, rotacional y vibracional de las molculas
individuales. Esta forma de energa es intrnseca, pero no puede
medirse directamente. Por tanto, dos formas de la energa cintica
del si stema son macroscpicas macro) en origen, mientras que la
terceraforma se debe al movimiento molecular microscpico micro).La
energa potencial total de un sistema pue de expresarse c om o sum a
decuatro cantidades separadas .
Una de stas es la conocida energa potencial gravitatoria de un
cuerpo respecto ala Tierra. Otras dos formas de energa potencial se
deben a la presencia de cargasestticas y mviles y se denominan
energas potenciales electrosttica y magne
IiI
-
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TERMDINAMICA
tosttica. Estas tres formas de energa son mensurables y
extrnsecas. La cuartforma es la debida a las fuerzas ejercidas
sobre una part cula por el resto de lapartculas que componen el
sistema sumadas para todas las partculas. Este tipde energa
potencial es intrnseco. El ltimo trmino de la derecha de la
Ecuaci[2.30] requiere informacin de las fuerzas que actan entre las
partculas de usistema; por tanto no es directamente mensurable.Las
energas electrosttica E ~ X \ l e J magnetosttica E ~ x t mag y
macroscpicrotacional E ~ : ~ r o t no se consideran en este texto.
Despreciando estos trminossustituyendo las Ecuaciones [2.29] y
[2.30] en la Ecuacin [2.28] se obtiene
E E cxt E cx int E intEe tras Ep grav macro Ep micro [2.31Los
dos ltimos trminos anteriores representan las energas intrnsecas
cintica y potencial del sistema y no se pueden medir directamente.
La suma de estados contribuciones microscpicas a la energa se
define como energa interna Ude la sustancia del sistema. Esto
es
int intEc Ep [2.32La funcin energa interna como se ha definido
mediante la Ecuacin [2.32] euna propiedad extensiva intrnseca de
una sustancia en estado de equilibrio. Eausencia de cambios de fase
reacciones qumicas y reacciones nucleares la energa interna U se
denomina a veces energa sensible del sistema. Sin embargo eeste
texto se har referencia a ella como energa interna del
sistema.Tomando como base el estudio anterior la Ecuacin [2.28] de
la energtotal de un sistema se convierte en
[2.33
donde se han despreciado las energas electrosttica magnetosttica
y rotacionalFinalmente al sustituir la Ecuacin [2.33] en la Ecuacin
[2.22] se llega a uprincipio general de conservacin de la energa
que considera la energa cintictraslacional y la energa potencial
gravitatoria como las nicas formas extrnsecade inters. El resultado
para el sistema cerrado es
La forma derivada respecto al tiempo es
[2.34
d 2U mgzdt 2 [2.35Puesto que es una propiedad extensiva = mu
donde u es la energa internespecfica. Como se mostrar en el prximo
captulo la energa interna especfica es funcin de otras propiedades
intrnsecas intensivas mensurables como presin y temperatura. En
variables intensivas el principio de conservacin de lenerga para un
sistema cerrado es
[2.36donde u puede expresarse por unidad de masa o en base
molar.
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x
I 1 Q cond
II
5
IIIIII I
. dTQco, = - kA dr
T
Figura 2 2 ransferencia de calorpo r conduccin en una
paredunidimensional
I
[2.38]
[2.37]
L
. dTQ cond = q cnndA = kA dx
donde q puede variar con la posicin en la superficie y la
integral se realizasobre toda el rea.La transferencia de calorpor
conduccin es la transferencia de energa debi-da a las interacciones
entre las partculas en el interior de un material. La
transfe-rencia de calor por conduccin est directamente relacionada
con los gradientesde temperatura dentro del cuerpo y est gobernada
por la ley de Fourier de con uccin del calor. Aplicando el modelo a
una pared unidimensional como lamostrada en la Figura 2.12 la
ecuacin para el flujo de calor en cualquier posi-cin x de la pared
es
Q = q dAA
Como se ha definido anteriormente, la transferencia de calor es
un mecanismomediante el que se transfiere energa a travs de la
frontera de un sistema debidoa una diferencia de temperatura. La
transferencia de calor puede producirse me-diante tres mecanismos
distintos: conduccin, radiacin y conveccin. Cada unodeellos se
asocia a un mecanismo fsico diferente. En este texto se supone que
nose tienen conocimientos previos de estos mecanismos. Sin embargo,
es instructi-vo introducir los conceptos bsicos sin realizar
clculos de transferencia de calor.Para calcular el flujo de calor a
travs de cualquier superficie sin util izar elbalance energtico es
necesario tener informacin sobre la densidad de flujo decalor. La
densidad de flujo de calor q es el flujo de calor por unidad de rea
ytiene dimensiones de [energa]/{Ilongitud]?. [tiempo]}. En el SI
las unidades tpi-cas sonW/m2 y en el USCS las unidades tpicas son
Btu/tft: h . En el caso en quela densidad de flujo sea uniforme en
la superficie de inters la densidad deflujo de calor es q = QA
Dependiendo de la si tuacin, la densidad de flujode calor puede no
ser uniforme a lo largo de la superficie de inters Entonces,
elflujo de calor a travs de cualquier superficie puede calcularse a
partir de laden sidad de flujo de calor mediante
LA PRIMERA L Y LA TERMODINAMICA
5 TRANSFERENCIA DE LOR
donde k es la conductividad trmica del material y A es la seccin
transversal enla posicin x El signo menos es necesario, ya que, por
convenio, la densidad deflujo de calor se supone positiva cuando la
energa se transfiere por conduccinen el sentido de temperaturas
decrecientes. Los valores numricos de las conduc-tividades trmicas
pueden encontrarse en distintas publicaciones. En rgimen
es-tacionario, cuando el tiempo deja de ser una variable, la
distribucin de tempera-tura en una pared plana de conductividad
trmica uniforme ser una lnea rectacom o se muestra en la Figura
2.12. Bajo estas condiciones, el gradiente de tempe-ratura puede
escribirse en funcin de las temperaturas de las dos superficies,
TIy T2 Ydel espesor de la pared L siendo el flujo de calor
Este es el flujo de calor en la superficie o n la superficie 2 o
en cualquierposicin x dentro de la pared.La transferencia de calor
por radiacin es la transferencia de energa me-diante radiacin
electromagntica. La energa transferida por radiacin puede
I
I
-
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22/53
T MODINAMICA
emitirse desde una superficie o desde el interior de fluidos
transparentes y sldos, Dado el objetivo de este libro, el texto se
concentrar en transferencia dcalor por radiacin desde superficies,
A di ferencia de la conduccin y la conveccin), la radiac in es el
nico mecanismo de transferenci a de calor que puedproducirse en el
vaco. La densidad de flujo de radiacin trmica emitida por
unsuperficie se describe mediante la ecuacin de
Stefan-Boltzmann:
w Trad - -
/ . ,- . mT
r If T4q rad = [lIT s [2.39Figura 2.13. Trnsferencia de calo
rpor radiacin desde un o jetopequeo situ do en el interior de
unrecinto.
donde ; es la emisioidad de la superficie, J es la constante de
Stefan Boltrmany T es la temperatura absoluta de la superficie. Los
valores numricos de lemisividad pueden variar de Oa l dependiendo
del tipo de superficie. La constante de Stefan-Boltzmann es una
constante fsica igual a 5,67 x 10-8 W/ m2 . K[o 0, 17 14 x lO x
tuth f t R4) ] Los clculos de transferencia de calor poradiacin
pueden ser muy complejos debido a la dependencia no lineal de
lapropiedades con la temperatura de la supe rficie y la capacidad
de los materialede absorber, transmitir y em itir radiacin trmica.
Considrese un caso particulapero de gran aplicacin: transferencia
de calor por radiacin entre un cuerpconvexo pequeo y un gran
recinto, como se muestra en la Figura 2.13 . En estacondiciones, el
flujo de calor del cuerpo al recinto puede escribirse como
. 4 4)Qr = ;oA T - Treo [2.40donde A es el rea de la superficie
de l cuerpo, T es la temperatura de la superficidel cuerpo y Trec
es la temperatura del recinto que ve el cuerpo pequeo.La trans
rencia de calor por conveccin es la transferencia de energa entrla
superficie de un slido y un lquido o un gas debido al movimiento
del fluidoEl mecanismo real es una combinacin de conduccin en la
entrefase slido-fludo y el movimiento del fluido que se lleva la
energa El flujo de calor por conveccin desde una supe rficie a un
fluido se calcula utilizando como modelo la lede enfriamiento de
Newton:
Q conv = hA T Tamh) [241
donde h es el coeficiente de transferencia de calor por
conveccin A es el rede la superficie, es la temperatura de la
superficie y Tamb es la temperatura defl uido. El coeficiente de
transferencia de calor depende del fl uido y de su movmi ento sobre
la superficie. No es una propiedad del fluido .Los valores
numricode los coeficientes de transferencia de calor pueden
obtenerse a partir de correlaciones empricas que se encuentran en
la literatura.En este texto, el flujo de calo r Q y e l calor
transferido Q) se manejarn duno de los cuatro modos siguientes:
Q se supondr o se especificar que sea cero hiptesis de
superficie adiabtica). A Q se le asignar un valor basado en los
datos del problema. Q se calcular aplicando el bal ance general de
energa. Q se calcular utilizando la ley de enfriamiento de Newton
cuando se proporcione suficiente informacin.
Los conocimientos previos para realizar clculos detallados de
transferencide calor se adquieren en cursos de transferenci a de
calor impartidos en muchadisciplinas. Para mayor informacin,
consltese un texto clsico de transferencide calor.
-
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LA PRIMERA LEY E LA TERMODINMICA 5
= Ih l1l h = 6 W/ I l . C)
T= 1l l , - oroamb = \Hierro
EJEMPLO 2.6
Imaginando que se permite que el airesalga de un globo bien
lentamente o biepinchando el globo cul de estos do sprocesos podra
calificarse como unproceso cuasiesttico?
Figura 2 14 . Esquema y datos delEjemplo 2.6.
I
I
2 - 7 W1m100 cmw= 6 2 (160 cm2 I00 - 25CCm . c
TRABAJO DE EXPANSIN Y COMPRESIN.6.
Anlisis. Escribiendo la ley de enfriamiento de Newton para la
transferencia de calorpor conveccin y sustituyendo los valores
numricos se obtiene
Losvalores de los trabajos en eje y elctrico se determinaron en
el Apartado 2.1 apartir de medidas en la frontera del sistema. No
se necesitaba ningn conocimiento de las propiedades de la sustancia
dentro del sistema. Sin embargo, hay situaciones en las que, a lo
largo del proceso, deben conocerse los va lores de laspropiedades
intrnsecas de la sustancia para evaluar ciertas interacciones
trabajo.
Modelo. Transferencia de calor util izando como modelo la ley de
enfr iamiento deNewton.Incgnitas. Flu jo de ca lor po r conveccin
que sale de la base, en vatios.
2.6.1. PROCESOS CUASIESTTICOS
Comentarios. ( 1) Puesto que el calor se transfiere de
temperaturas altas a temperaturas ms bajas, debera decirse que e l
flujo de ca lo r que sale de la plancha es 7,2 W.2) Tngase en
cuenta que . como se ha definido anteriorme nte, todas las ec
uacionespara calcular el calor transferido por conduccin, radiacin
y convecc in proporcionanvalo res positivos cuando la energa se
transfi ere de una temperatura alta a una temperaturabaja. Este
sentido hay que recordarlo cuando se aplican estas ec uaciones en
el balance, .energeuco.
Datos. Las condiciones de funcionamiento, como se mues tra en el
esq uema de la basede la plancha en la Figura 2. 14.
Puesto que las propiedades slo estn definidas en estados de
equilibrio, se puedeimaginar un proceso idealizado durante el cual
el sistema est, internamente,infinitesimalmente prximo a un estado
de equilibrio en todo momento. Un proceso llevado a cabo de esta
forma idealizada se denomina proceso en cuasiequili-brio o proceso
cuasiest ti o Una consecuencia importante de esta hiptesis esque
las propiedades intensivas del sistema son uniformes en el espacio
durante unproceso cuasiesttico. Aunque un proceso cuasiesttico es
una ideal izacin, muchos procesos reales pueden aproximarse a esa
condicin. Esto es verdad, puestoque el tiempo necesario para que
muchas sustancias alcancen el equilibrio internoes peque o
comparado con el tiempo del cambio del sistema global. As,
enanlisis termodinmicos, con frecuencia es necesario y apropiado
modelar unproceso real como uno en cuasiequilibrio.
La superficie de la base de una plancha tiene una temperatura de
100 DC y un rea de160 c . El coefic iente de transferencia de calor
por conveccin en la superficie es6 m C y la temperatura del aire
ambiente es 25ce. Determnese, en vatios, el flujo decalor que sale
de la superficie por conveccin.Solucin
-
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TERMODINMICA
Otra ventaja adicional que se obtiene al modelar un proceso como
cuasiesttco es que se hace posible dibujar el camino de un proceso
en cuasiequilibrio en udiagrama de propiedades: un diagrama
bidimensional en el que las coordenadarepresentan las propiedades
termodinmicas. Estos diagramas son extremadamente tiles en el diseo
y anlisis de sistemas de ingeniera. Una prctichabitual en los
diagramas de propiedades es dibujar un proceso cuasiestticmediante
una lnea slida o continua mientras que un proceso no cuasiestticse
representa mediante una lnea de trazos entre los estados inicial y
final dadoUna lnea de trazos resalta que los valores de las
coordenadas termodin micano se conocen entre los estados inicial y
final. As el recorrido de la lnede trazos es arbitrario. Sin
embargo la lnea slida o continua de un procescuasiesttico
representa la relacin funcional entre las coordenadas durante
eproceso completo.
Siempre que cambia el volumen de un sistema bien sea cerrado o
abierto. stransfiere energa mediante una interaccin trabajo. Este
tipo habitual de trabajse denomina trabajo de compresin/expansin o
simplemente trabajo PdVpor razones que se mostrarn en breve. Por
ejemplo considrese el dispositivcilindro mbolo mostrado en la
Figura 2.15. Una pila de pequeas pesas mantiene el gas a la presin
inicial. Retirando pesa a pesa la presin del gas bajlentamente
mientras que el volumen aumenta. Este proceso se realiza en
cuasiequilibrio. Si se retirasen varias pesas simultneamente el
mbolo subira rpidamente. La presin del gas no est definida en un
proceso de expansien no equilibrio como ste. Sin embargo en
condiciones de cuasiequilibriopresin y volumen varan de forma
controlada y el mtodo para determinael trabajo de expansin est bien
definido.La evaluacin del trabajo dVrequiere considerar el trabajo
mecnico realzado en el movimiento de una fuerza en la frontera del
sistema. El prototipo dsistema cerrado para este tipo de trabajo es
el dispositivo cilindrombolo motrado en la Figura 2.16a. El
contenido del dispositivo cilindro mbolo constituyel sistema
cerrado como se indica mediante la lnea de trazos.
Utilizandomecnica bsica la expresin del trabajo diferencial
realizado en ese sistemviene dada otra vez por la Ecuacin [2.1]
una a una .. . Nmero
infinitode pesas
Figura 2.15. I lus tracin de unproceso en cuasiequilibrio o
cuasrestatco
6 TRABAJO DE EXPANSION y COMPRESION
-c5W = Fex di =Fex ds [2.1Frontera de lamasa de control
P IAreaA
rI I1 II II II II II J
a
Area= j
Area =SPdV
h
2
v
Figura 2.16. a Trabajo mecnico asociado con el movimiento de la
frontera en undispositivo cilindro mbolo; b representacin mediante
reas del trabajo deexpansin o compresin en un proceso
cuasiesttico.
-
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Qu es necesario conocer para evaluarm temtic mente la integral
de PdV
igura 2 17 lustracin de que eltrabajo en la frontera es
funcindel camino mediante diferentesprocesos cuasiestticos entre
losmismos estados inicial y final
[2.42]
[2.43]
dVdV
o
donde el subndice comp/exp indica que el trabajo es de
compresin/expansin. Esta ecuacin es muy importante y demuestra el
poder de la hiptesisde cuasiequilibrio. Suponiendo un proceso
cuasiest tico, el trabajo realizadopor una fuerza exterior puede
calcularse en funcin de propiedades intrnsecasdel sis tema.
El trabajo total de compresin o expansin en cuasiequilibrio W
comp/exp durante un cambio finito de volumen es la suma de los t
rminos PdV para cada cambiode volumen diferencial. Matemticamente
esto se expresa mediante la relacin
donde w comp/exp es el trabajo por unidad de masa. Tngase en
cuenta que cuando elvolumen disminuye, el valor del trabajo es
positivo. Esto es coherente con elconvenio de signos adoptado para
el trabajo como una transferencia de energa.La presin P debe
expresarse en unidades absolutas Advirtase que la integral de W es
simplemente W y no Una interaccin trabajo PdV est asociada conun
proceso y su valor depende del camino del proceso.La representacin
grfica de un proceso cuasiesttico en coordenadas presin-volumen es
muy til para describir grficamente el trabajo de expansin
ocompresin de un proceso. Utili zando el clculo integral, el rea
bajo la curvaque representa el camino de un proceso cuasiesttico es
igual a la integral de PdVen el diagrama presin-volumen. En la
Figura 2 6b se muestra un diagramatpico para la evaluacin del
trabajo en la frontera. El rea diferencial representael trabajo
realizado sobre o por el gas del cilindro cuando el volumen vara en
unacantidad dV El rea completa bajo la curva desde el punto 1 al
punto 2 representael trabajo total realizado cuando el gas se
expande del estado I al estado 2. Entreestos dos estados inicial y
final se pueden dibujar un nmero infinito de caminoscuasiestticos.
En la Figura 2.17 se muestran tres caminos posibles. El rea
bajocada uno de estos caminos es diferente. Esto simplemente
resalta el hecho de queel trabajo es una funcin del camino o del
proceso y, a diferencia del cambio devalor de una propiedad, no
depende nicamente de los estados inicial y final delproceso. Slo en
el caso particular de los procesos adiabticos, el valor neto delas
interacciones trabajo es independiente del camino.
LA PRIMERA L Y LA TERMODINAMICA
\I
i Si el proceso es cuasiesttico, la presin P es uniforme en
cualquier lugar dentrodel sistema mientras dure el proceso y P =
FejAmbolo En estas condiciones, laexpresin diferencial para el
trabajo realizado sobre el sistema por la fuerza exterior en el
cambio de volumen del sistema es
Tngase en cuenta que la fu erza exterior acta en la interfaz
mbolo-sistema de lafrontera del sistema. Para el objet ivo de este
estudio, se supone que el sistema secomprime mediante una
fuerzaexterior as el vector desplazamiento tiene lamisma direccin y
sentido que F ex, El desplazamiento diferencial ds causado pori la
compresin puede escribirse en funcin de un volumen diferencial y de
la: seccin transversal del mbolo, puesto que dV = A mbol -ds) ,
donde el signomenos se debe a la compresin.El trabajo diferencial
puede escribirse como
i
7
-
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TERMODINAMICA
La integracin de la ecuacin del trabajo de compresin o expansin
requierel conocimiento de la relacin funcional entre P y Esta se
determina a partir dmedidas experimentales de P y V durante un
proceso, o bien del conocimiento detipo de proceso particular que
tiene lugar. El mtodo general se ilustra a conti. nuacion.EJEMPLO
2.7 Un dispositivo cilindro-mbolo contiene un gas que est
inicialmente a 1,0 MPa y ocup
0,020 m : El gas se expande hasta un volumen final de 0,040 rrr
en las condiciones a) lpresin permanece constante, y b PV = con
stante. Determnese el trabajo obtenido, ekilojulios, para los dos
camino s especificados.SolucinDatos Un dispositivo cilindro-mbolo
contiene un gas. En la Figura 2.18a se muestrael esquema del
problema y los datos de entrada.Incgnitas W , ule en kJ para a) P =
e, y b PV = C
Frontera odelo Sistema cerrado; proceso cuasiesttico.
2
I
2
1
nlisis El sistema es el gas que se encuentra dentro de las lneas
de trazos de la Figur2. 18a. El trabajo de expansin para un sistema
cerrado durante un proceso cuasiesttic
WI2 = - PdV = -1 dV = - P V2 - VI= -1 X 106 N/m 2 x 0,040 -
0,020) m x l kJ/ 103 N rm)= - 20,0 kJ
etodologa Utilizar la definicin de Wcomp/e, p
viene dado por la Ecuacin [2.43], Wcomp/c,p = - PdV. Para
evaluar la integral se necesitinformacin referente a P y V
a Si la presin permanece constante proceso isobaro), entonces el
trabajo W I 2 parel camino a es
II: \12 = 0,040 m1
a
1,0
Figura 2.18.Ejemplo 2.7.
0,020 0,040 \1, mb
Esquema y datos del
Puesto que W I 2 es negativo, W l2.sale = 20,0 kJ. En la Figura
2 1 8b se muestra el caminentre los estados I y 2b Bajo la condic
in de que PV = C, entonces P = . Sustituyendo esta ltim
ecuac in en la ecuacin del W comp/cxp e integrando
posteriormente a lo largo del caminohasta el estado final 3
3PdV= -
I3C V- d V = -C In lI V VI
La constante C puede evaluarse en cualquier estado a lo largo
del camino. Puesto que tantla presin inicial como el volumen son
conocidos se hace C = P V = 2 X 104 N m Ec lculo numrico del
trabajo para el camino b es
V3 4 0,040W IJ P V ln --- : =-2x 10 Nr m x ln =-13 .860Nm. V
0,020= 13,86kJ
es decir, W sale.13 = 13 ,86 kJ. En un diagrama PV. una ecuacin
del tipo PV = C es unhiprbola, como se muestra mediante el camino
13 en la Figura 2. 18b. El trabajo obteniden la parte b es
numricamente slo el 70 por 100 del de la parte a. Esta relacin se
vclaramente cuando se comparan las reas bajo las lneas de proceso
en los dos casos. Lpresin en el estado 3 es exactamente la mitad
que la del estado 2.)
I
-
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L PRIMERA LEY DE L TERMDIN MI
Comentario Este ejemplo muestra que el valor del t rabajo
cuasiestt ico de compresin/expansin 1 depende del camino del
proceso, y 2 se ilustra mediante un rea en eldiagrama PV.
l camino de muchos procesos de expansin y compresin puede
modelarsecomo unproceso politrpico. En este proceso la presin del
sistema y el volumenespecfico estn relacionados mediante la relacin
politrpica[2.44]
donde e es una constante y el parmetro n se conoce como
constantepolitrpica.Aunque n puede tener cualquier valor, la
relacin es especialmente til cuandol n 5/3. La solucin general para
el trabajo de compresin o expansincuasiesttica en un proceso
politrpico se desarrolla en el ejemplo siguiente. mo vara la presin
en un procesopolitrpico en el que n =O?
Dedzcase una expresin para el trabajo de compresin/expansin
asociado a un procesopolitrpico en un sistema cerrado.
I EJEMPLO 2.8Solucin p 1
1 n 5/3
IIIIIII f 1 2I II I
Datos En un dispositivo cilindro-mbolo tiene tiene lugar un
proceso politrpico. En laFigura 2.19 se muestra el camino del
proceso en un diagrama Pv.Incgnitas Una ecuacin para
wcomp/cxpModelo Sistema cerrado, proceso en cuasiequilibrio, Pi/ =
c.Metodologa Utilizar la relacin politrpica en la integracin de
wcomp/exp = JPdv. v
2.6.3. TRABAJO EN UN PROCESO CCLICO CUASIESTTICO
W
Frontera
a
Figura 2.19. amino politrpico deEjemplo 2 8
Figura 2 20. Esquema del Ejemplo2.8politrpicon - 1
2 C V-n+ 1 _ V-n+ 1n d _ =2 1 _CV V = n - 112
W = - Pdv = -1
Anlisis El sistema es el gas que se encuentra dentro del
dispositivo cilindro-mbolode la Figura 2.20. En magnitudes
intensivas, al sustituir la relacin P = cv n en l a Ecuacin[2 43 ]
wcomp/cxp = JPd v se obtiene
La constante e = P1 ~ = P2 v ~ Por tanto,
l trabajo extensivo Wcomp/exp se determina al sustituir en la
ecuacin anterior el volumenespecfico v por el volumen total
Comentario Esta ecuacin se aplica para todos los valores de n
excepto para l Cuando n es la unidad, P = e/v y wcomp/exp = Jcdo] =
-cln v2 /v 1 = P1V 1 In v2 /v
Otro modelo comn para sistemas cerrados con trabajo slo de
compresin/expansin est relacionado con el de los sistemas en los
que se ejecuta un procesocuasiesttico cclico. Considrese de nuevo
el sencillo dispositivo cilindro-mbolo que se muestra en la Figura
2.16 En la Figura 2 2 se muestra un posible
dI
-
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28/53
60 TERMODINMICA
Figura 2.21. Representacinmediante un rea del trabajo neto enla
frontera durante un proceso cclicocuasiesttico.
p 1 2
34
v
diagrama PV par a el fluido que trabaja dentro del dispositivo.
El ca mino deproceso cclico consta de cuatro procesos distintos 1 2
2 3 3 4 Y4-1 que devueve el sistema a su estado inicial. El trabajo
en cada proceso puede evaluarse comb
Wcomp exp a h = - PdVa
Pa ra los procesos de expansin 1-2 y 2-3 de la Figur a 2.21, el
volume n final emay or q ue el inicial y el trabajo lo r ealiza el
s is tema s obr e el entor no. D e f or manloga, el entorno realiza
trabajo sobre el sistema en el proceso de compresinlo l ar go del
camin o 4-1, pu est o q ue es negativo. D ur an te el pr oces o 3-4
nexiste trabajo, ya que el volumen es constante. El trabajo neto
realizado pors ist ema en el ciclo es l a s uma de las int er acci
ones tr abajo p ar a cad a pr oces o dciclo. En general, en un
ciclo compuesto arbitrariamente por cuatro caminos diferentes
donde el smbolo f significa de nuevo la integracin a lo largo de
un camincclico. Para el ciclo especificado en la Figura 2.21 el
valor de W34 es cero, comse ha hecho notar anteriormente.El trabajo
en cada proceso del ciclo se representa mediante el rea bajo
cadlnea de proceso en el diagrama PV El trabajo neto en el proceso
cclico es el reencer rada p or el camino c cl ico. En l a F ig ur a
2.21 el camin o s igue el s entido dlas agujas del reloj en el
diagrama PV y el trabajo neto se extrae del sistema. Sic iclo se
llevase a c abo en el sentido contrario de las agujas del reloj, el
trabaneto seguira representado por el rea encerrada. Sin embargo,
en este casotrabajo neto sera realizado por el entorno sobre el
sistema suministrado). Finamente, tngase en cuenta que, en general,
el trabajo neto transferido en un procso cclico de un sistema
cerrado debido a cambios de volumen no ser cero Lvariacin de todas
las propiedades del sistema ser cero en un ciclo, perotrabajo neto
en la frontera ser generalmente finito.
[2.45PdVdV
1
4PdV
4
3-
Wnet.ciclo = W I 2 + W23 + W34 + W42 3PdV - PdV
Demustrese que el trabajo neto en un ciclorealizado en el
sentido contrario delas agujas del reloj en el que hay dosprocesos
a presin constante a 5 0 y100 p si a y dos procesos a
volumenconstante a 1 y 2 ft es 7 200 ft . lb,.
MPLO 2.9 Un gas que inicialmente ocupa 0,020 rrr a 1,0 MPa se
expande cuasiestticamente en udispositivo cilindro-mbolo a presin
constante hasta que el volumen es 0,040 rrr . A cotinuacin se
mantiene a volumen constante y se enfra hasta que la presin es la
mitad deinicial. Despus se comprime cuasiestticamente hasta el
estado original siguiendo el cmino = constante. Determnese el
trabajo neto del ciclo en kilojulios.Solucin
Incgnitas Wnet para el ciclo en kJ.
Datos. Un gas en un dispositivo cilindro-mbolo experimenta un
proceso cclico en tretapas, que son: una expansin a presin
constante, un enfriamiento a volumen constantefinalmente una
compresin hasta el estado inicial segn = constante. En la Figura
2.2se muestran los caminos del proceso cclico y los datos.
2III
0,5 I 3Ce I 1I II I1 I
Modelo Sistema cerrado, procesos cuasiestticos, slo hay trabajo
PdV0 040 m,020o . 1 . -OFigura 2.22. Diagrama v delproceso cclico
del Ejemplo 2.9. Metodologa Tratar el ciclo como una serie de tres
procesos. Evaluar el trabajo den cada proceso.
-
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1
,
U APLICAcrox DEL TR JO d6 4
roceso 3-1: Puesto que PV = e = VJ = P 3
roceso2-3: Como el volumen es constante, dV = O Por tanto
Wn el.cicJo = W 12 W3 W3J = -20 ,0 O 13,86 kJ = -6 14 kJ
3W21 = - PdV = O2
Comentario El trabajo neto transferido en el ciclo no es cero,
aunque los cambiosglobales de presin y volumen en el ciclo sean
cero. El trabajo es una funcin de proceso,no una funcin de
estado.
Por tanto, el trabajo neto transferido al s is tema es -6 14 kJ
o el trabajo neto que sale delsistema durante el proceso cclico en
sentido de las agujas del reloj mostrado en la Figura 2.22, es 6,14
kJ.
El valor del trabajo en el camino 1 3 se ha obtenido en el
Ejemplo 2.7 y vale -13 86 kl.Cuando se invierte un camino
cuasiesttico en ausencia de friccin , la interaccin trabajotiene el
mismo valor, pero signo opuesto. As, en el ciclo, el valor de W3 es
13,86 kl .Ahora, para calcular el trabajo neto del ciclo
El valor de este trabajo se ha calculado en el Ejemplo 2.7 y es
-20 0 kJ, es decir,Wl2 = -20 0 kJ.
En muchos dispositivos cotidianos como compresores de aire y
motores de combustin interna se prbduce la expansin y la compresin
de un gas. Un modelorealista para estos dispositivos es el sencillo
dispositivo cilindro-mbolo que semuestra en la Figura 2.23a. La
cara del mbolo est en contacto con el gas delcilindro. La parte de
atrs del mbolo est unida a un vstago y tambin est encontacto con la
atmsfera. Adems, hay friccin entre el mbolo que desliza y
lasparedes del cilindro. As, como se muestra en la Figura 2.23b,
hay tres fuerzasexteriores actuando sobre el mbolo. Una es la
fuerza mvil Fyslago que actasobre el vstago, la segunda es la
fuerza de friccin F fric entre la pared del cilindroy el mbolo
deslizante. Adems, existe una tercera fuerza Fatm que se debe a
lapresin ambiente Palm en el exterior del mbolo. Adems, la fuerza
Fgas acta enla parte interior del mbolo.
Al ingeniero le interesa determinar cmo estn relacionados el
trabajo W ystagotransmitido por el vstago con el trabajo PdV del
gas dentro del dispositivo cilin-
,
2W I = PdV P V V1
Anlisis La ecuacin bsica para el t rabajo de expansin o
compresin es
1
LA PRIMERA LEY ELA TERMODIN MI
W - PdV
Proceso 1-2: Puesto que la presin es cons tante
1
,I El sistema es el gas dentro del dispositivo
cilindro-mbolo.
,:
I
,,I,
-
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TERMODINMICA,
r r : Embolo dro-mbolo. Tomando como base el balance de fuerzas
sobre el mbolo enproceso de compresin
donde se ha supuesto que para el mbolo el producto de la masa
por la acelecin es pequeo. A continuacin se multiplica cada trmino
de la ecuacin pordesplazamiento diferencial ds correspondiente al
proceso de compresin y setegra. Como resultado se obtiene que los
trabajos que aparecen al tomar el mblo como sistema son
Atmsfera
Fvstago
f ~ ~ ~ ~ : ~ ~ ~ ~ ~i
~
a
j
1 GasiI
Resolviendo la ecuacin para obtener el trabajo realizado por la
fuerza Fvstagotiene
El trabajo comunicado al gas viene dado por PdVgas Habitualmente
se supoque la presin ambiente es constante. Por tanto, el trabajo
realizado por la presiambiente sobre el mbolo es
ii 1i 1 -- I F A_ :J aun - atm mbolo
r -1 1l i1iFgas = PAmho]o j , jIi
sh
igur 2.23. a Dispositivo cilindrombolo; b fuerzas externas
queequilibran la presin del sistemasobre el mbolo.
[2.4donde L1Vatm = L Vgas Adems, hay que tener en cuenta que la
fuerza de friccisiempre se opone al movimiento. As, al sustituir el
valor de Wfric se toma siempcomo positivo. Al sustituir estos
trminos en la ecuacin del trabajo del vstaWvstago se tiene
2 [2.4 PdVgas r : L1Vgas Wtric1
Tngase en cuenta que la presencia de lafriccin siempre disminuye
las actuaciones.
En la ecuacin anterior, la variacin de V es negativa durante la
compresinposit iva durante la expansin. As, durante un proceso de
expansin el primtrmino de la derecha es negativo, mientras que los
otros dos trminos son posvos. De forma contraria, durante un
proceso de compresin, el primer y el tertrmino son positivos,
mientras que segundo trmino es negativo. En gener efecto de la
friccin es reducir el trabajo til obtenido en una
expansinincrementar el trabajo suministrado al mbolo durante la
compresin.Si el dispositivo simple cilindro-mbolo mostrado en la
Figura 2.23a realun ciclo, el trabajo neto suministrado por el
vstago se obtiene integrandoEcuacin [2.47] en un ciclo. Teniendo en
cuenta que el trabajo suministradodesde la atmsfera es cero, el
trabajo suministrado por el vstago se calcula mdiante
Wvstaao net ciclo = - PdV Wfr ic ciclo, [2.4,De nuevo, el efecto
de la friccin durante un ciclo es reducir el trabajo nobtenido o
incrementar el suministrado para los mismos cambios cuasiesttic
del sistema.
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t f 2 NPa l = 0, 10 MPa
a
b
EJEMPLO 2 1
Pgas= 0,50 MPa = 1,000 cmV2 = 400 cm
---- r--- ;, .
},,,, ,- - - - - -
Figura 2.24. Esquema y datos delEjemplo 2.10.
I
- 200 \.000 - 400) Nr cm I m+ x - - -100 cm? 100 cm
= -60 + 30 0 + 12) N m = 25 2 N m
Reordenando
10 6 N I rrrW slgo = (0, 10 - 0,50 ) 40 0 - 1.000 )M Pacm 3 x 2
x 6 3MPa m 10 cm
2W complexp = - PdV = P V 2 - V = - 0,50 MPa x (400 - \. 000)
cnr1
L PRIMERA LEY DE L TERMODIN MI
106 N m= 30 0 MP a cm 3 x xI MP a
Anlisis Para ev aluar el trabajo comunicado po r el mbo lo al g
as s e e lige el gas co mosistema. La nica forma de trabajo es tra
bajo de comp resin-expans in. Suponiendo unproceso de compresin
cuasie st tico
Un gas en un dispositivo c ilindro-mbo lo se comprime a una
presin constante de 0,50MPa desde 1.000 hasta 40 0 cm . La fuerza
de fr iccin en la int e r faz cilindro-mb olo es de200 N la
superficie del mbolo es 100 cm? y la presin at mosfr ic a es 0 10
MP a. Determnese el t rabajo comunicado por el mbolo al gas y el
trabajo suministra do mediante el,vstago, en new ton -metro.
Metodologa Identificar el sistema y evalu ar el trabajo en el
sistema.Modelo Compresin cuasiesttica; fuerza de friccin y pres in
atmosfrica constante.Incgnitas y W \gn en N m.
Datos Se co mp rime un ga s en un d isposi ti vo cilindro-mbolo
con friccin en la interfaz cilindro-mb olo . En la Figura 2.24a se
muestran los sistemas de inters y los dato sconocidos.
Solucin
Pu esto que el va lor es posit ivo, el trabajo se comunica al
sistema .Para ev alua r el trabajo asociado con el vstago, e l
sistema es e l mbolo mostrado p or l a
lnea de trazos en la se gunda fig u ra . De la mec n ica, la se
gund a ley de Newton establec e- -quemdV/dt = I F. Si el trmino de
la izquierda , comnme nte llamado fuerza de inerc ia , sesupone
desp reciable, entonces. co mo se muest ra en la Figu ra 2.24
Al sustituir los valores se obtiene el trabajo suministrado por
el vstago .
Las tres fuerzas de la der ech a son constan te s y e l mbo lo
se de spla za un a d is ta ncia s = - F1Amh As multiplican do cada
tr mino el balance de fuerzas por la di stan cia \se integrando se
obtiene
El trabajo comunicado a l ga s e s 3 00 N . m, el trabajo ext ra
do de la at msfera es -60 N .my el trabajo e friccin es 12 N m.
,,i
\
I
r-o
,,l
o,I\iIlI
II\
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TERMDIN MI
Comentarios 1 El mbolo sumi nis tra un trabajo de 252 N .m, que
es positivotratarse de un proceso de compresin.2 Sin friccin seran
necesarios slo 240 N m de trabajo de mbo lo para commir el gas .
Tngase en cue nta cmo ayuda l trabajo de la atmsfe ra a reducir el
trabnecesario de la fuente externa.
I 7 TR JO DE UN MUELLE ELSTICOPara cambiar la longitud de un
muelle mediante traccin o compresin es necerio ejercer una fuerza F
que produzca un desplazamiento x. En la Figura 2.25amuestra un
material sometido a traccin que ha experimentado un desplazamieto x
= L - Lodebido a una fuerza F. En un material elstico la fuerza est
relacnada linealmente con el desplazamiento del material mediante
la ley de Hoo
[2.donde k es la constante del muelle Lo es la longitud natural
del muelle ydesplazamiento x es la diferencia entre la longitud
natural LoYla longitud realEn la Figura 2.25b se muestra la relacin
lineal fuerza-desplazamiento para dmuelles, marcados con A y B, que
tienen arbitrariamente el mismo valor dePuesto que las pendientes
de las dos lneas son diferentes, los dos muelles tiendistintos
valores de k. Tngase en cuenta que F tiene un valor negativo
cuandolongitud real es menor que la longitud natural. El trabajo
del muelle Wmuelle asocdo con la traccin o compresin del muelle es
entonces, segn la Ecuacin [2
Wmuelle = - +Fexl ds = F dx =2
1
Integrando
[2.
donde X2 =L2 - LoYX I =L] - Lo En la Figura 2.25b se representa
medianterea el trabajo dado por la Ecuacin [2.50]. Para el material
A de la figuraproduce un alargamiento de la longitud L I a la
longitud L2 El rea rayada bajolnea A es una medida del trabaj o
realizado sobre el material por una fueexterna. Anlogamente, el
material B se comprime desde su longitud natural
LF F ;.-I / LI /; /- L - ; B A
a b
+
Figura 2.25. a Un muelle bajo tensin estirado de Lo a L; b la
relacin fuerz -desplazamiento para dos materiales elsticos.
.
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65
II
L, =0,40 mF, = -1 00 N
F2 500N = 2 m
MPLO 2.11
2 J O, ,Muelle I,, ,
F
Pared
Figura 2.26. Esquema y datos delEjemplo 2.11.
Tngase en cuenta que el signo de Fdepende de si L < Lo o L
> o
Lo = 0 45 m
-500 N = k 0,20 m - Lo
o
y
0,40 m - Lo0,20 = - - - -0,20 m - Lo
- 100 N = k0,40 m - Lo)
Modelo. Es vlida la ley de Hooke; las fuerzas son de
compresin.
Un muelle elstico se desplaza desde un estado comprim ido en el
que F , = -100 N YL = 0,40 m a un es tado fi nal en el que F2= -500
N Y L 2 = 0 20 m. Determnese a lalongitud natural en metros, h la
constante del muelle en N/m, y e el trabajo en elproceso, en newton
. metro.
LA PRIMERA LEY DE LA TERMODIN MIC
- 1 0 Nk = = 2.000 N/m0 40 - 0,45) m
SolucinDatos. Se conocen las fue rzas y las longitudes iniciales
y finales de un muelle elsticocomprimido , como se muest ra en la
Figura 2.26.Incgnitas. a Lo en m, h k en N/m, y e n N m.
hasta una longitud final ms pequea L3 El trabajo suministrado al
sistema eneste caso se representa mediante el rea rayada sobre la
lnea B de la Figura 2.2 b En ambos casos la solucin numr ica de la
Ecuacin [2.50] es positiva,ind icando que es necesario suministrar
trabajo. Sin embargo, si el material A pasade la longitud L2 a L]o
el material B aumenta su longitud de L3 a Lo el sistemarealiza
trabajo y la Ecuac in [2.50] indica que el trab