Capitolul 1 Conice 1.1 Dreapta ˆ ın plan Fie {O, → i, → j } un reper cartezian ortogonal ˆ ın plan. Ecuat ¸ia canonic˘ a a dreptei determinat˘ a de punctul M 0 (x 0 ,y 0 ) ¸ si de vectorul director → v = l → i + m → j (cu l 2 + m 2 > 0) este x - x 0 l = y - y 0 m sau echivalent mx - ly - mx 0 + ly 0 = 0 Notˆ and a = m, b =-l ¸ si c =-mx 0 + ly 0 , obt ¸inem ecuat ¸ia ax + by + c = 0 cu a 2 + b 2 > 0, ecuat ¸ie care se nume¸ ste ecuat ¸ia general˘ a a dreptei ˆ ın plan. Dac˘ a egal˘ am rapoartele din ecuat ¸ia dreptei cu λ: x - x 0 l = y - y 0 m = λ se obt ¸in ecuat ¸iile parametrice ale dreptei: x = x 0 + λl y = y 0 + λm De asemenea ecuat ¸ia canonic˘ a a dreptei determinat˘ a de dou˘ a puncte M 1 (x 1 ,y 1 ) ¸ si M 2 (x 2 ,y 2 ) este: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 1
23
Embed
Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Capitolul 1
Conice
1.1 Dreapta ın plan
Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper cartezian ortogonal ın plan. Ecuatia canonicaa dreptei determinata de punctul M0(x0, y0) si de vectorul director Ð→v =lÐ→i +mÐ→j (cu l2 +m2 > 0) este
x − x0
l= y − y0
m
sau echivalentmx − ly −mx0 + ly0 = 0
Notand a =m, b = −l si c = −mx0 + ly0, obtinem ecuatia
ax + by + c = 0
cu a2+b2 > 0, ecuatie care se numeste ecuatia generala a dreptei ın plan.Daca egalam rapoartele din ecuatia dreptei cu λ:
x − x0
l= y − y0
m= λ
se obtin ecuatiile parametrice ale dreptei:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + λly = y0 + λm
De asemenea ecuatia canonica a dreptei determinata de doua puncteM1(x1, y1) si M2(x2, y2) este:
x − x1
x2 − x1
= y − y1
y2 − y1
1
ecuatie care se poate rescrie
RRRRRRRRRRRRRR
x y 1x1 y1 1x2 y2 1
RRRRRRRRRRRRRR= 0
Cazuri particulare
� Ecuatia axei Ox: y = 0
� Ecuatia unei drepte paralele cu Ox: y = y0
� Ecuatia axei Oy: x = 0
� Ecuatia unei drepte paralele cu Oy: x = x0
� Ecuatia primei bisectoare: y = x
� Ecuatia celei de-a doua bisectoare: y = −x
� Ecuatia dreptei prin taieturi:Fie o dreapta care nu trece prin origine si nu este paralela cu axele decoordonate si fie A(a,0),B(0, b) punctele de intersectie ale dreptei cuaxele de coordonate, cu a ⋅ b ≠ 0. Obtinem:
x − a0 − a
= y − 0
b − 0⇔ bx + ay − ab = 0⇔ x
a+ yb− 1 = 0.
Fie o dreapta d de ecuatie
ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0
Atunci si λax + λby + λc = 0, λ ∈ R∗ este o ecuatie a dreptei d, deci odreapta are o infinitate de ecuatii. Doua ecuatii reprezinta aceeasi dreaptadaca si numai daca au coeficientii proportionali.
Daca dreapta d nu este paralela cu Oy (deci b ≠ 0), ecuatia dreptei sepoate rescrie:
y = −abx − c
b
Notand m = −ab, n = −c
bobtinem
y =mx + n
care se numeste ecuatia explicita a dreptei d. Coeficientul m se numestepanta dreptei, iar n este ordonata intersectiei dreptei cu axa Oy.
2
Fie A(xA, yA) si B(xB, yB) doua puncte distincte pe dreapta d. Dreaptanefiind paralela cu Oy, avem ca xA ≠ xB. Punand conditia ca cele douapuncte sa verifice ecuatia dreptei obtinem
yA =mxA + n si yB =mxB + n.
Scazand cele doua ecuatii obtinem
yB − yA =m(xB − xA)⇒m = yB − yAxB − xA
= tg θ
unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitiva a axei Ox si semidreapta de pedreapta d situata deasupra axei Ox. Avem:
� m > 0⇔ θ unghi ascutit
� m < 0⇔ θ unghi obtuz
� m = 0⇔ dreapta este paralela cu Ox
Observatii
1. Dreapta d care are ecuatia explicita y = mx + n trece prin punctelede coordonate (0, n) si (1,m + n), deci ecuatia canonica a dreptei estex
1= y − n
m, asadar un vector director al dreptei este Ð→v = 1 ⋅Ð→i +m ⋅Ð→j
2. O dreapta este unic determinata de un punct M0(x0, y0) si de pantam. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreapta avem
m = y − y0
x − x0
⇔ y − y0 =m(x − x0)
3. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntparalele daca si numai daca m1 =m2.
4. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntperpendiculare daca si numai daca m1 ⋅m2 = −1.
1.2 Conice pe ecuatii reduse
Definitia 1.1. Se numeste conica o curba plana definita ın reperul cartezian
ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j } printr-o ecuatie algebrica de gradul al doilea de forma
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,
unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2
12 + a222 > 0 (adica cel putin unul dintre
coeficientii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordo-natele euclidiene ın reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.
3
Conicele se mai numesc si curbe de gradul al doilea. Exemple de conice:cercul, elipsa, hiperbola, parabola.
1.2.1 Cercul
Definitia 1.2. Fie un punct fixat C(a, b) si r > 0 un numar real fixat. Senumeste cerc de centru C si raza r este locul geometric al punctelor M(x, y)care satisfac egalitatea
∥ÐÐ→CM∥ = r. (1.1)
AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j , deci (1.1) se rescrie
√(x − a)2 + (y − b)2 = r
sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (1.2)
care se numeste ecuatia carteziana implicita a cercului de centru C(a, b)si raza r.
Efectuand calculele ın ecuatia (1.2) obtinem:
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.
Notand m = −a, n = −b si p = a2 + b2 − r2, ecuatia se rescrie
x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0,
care se numeste ecuatia generala a cercului .Ecuatia (1.2) este de asemenea echivalenta cu ecuatiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a + r cos t
y = b + r sin t, t ∈ [0,2π)
numite ecuatiile parametrice ale cercului.
1.2.2 Elipsa
Definitia 1.3. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea
MF +MF ′ = 2a
se numeste elipsa.
4
� Punctele F,F ′ se numesc focarele elipsei
� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.
� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:
FF ′ = 2c < 2a
� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale
Pentru a gasi ecuatia elipsei alegem ca axa a absciselor axa focala FF ′, iarca axa a ordonatelor mediatoarea segmentului FF ′. Originea reperului estemijlocul segmentului FF ′, deci focarele au coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0).Din definitia elipsei, punctul M(x, y) apartine elipsei daca si numai daca
ecuatie care se numeste ecuatia carteziana implicita a elipsei.Observatii
� Daca M(x, y) este un punct pe elipsa, atunci si simetricul lui fata deOx, punctul de coordonate (x,−y) verifica ecuatia elipsei, deci Ox esteaxa de simetrie a elipsei.
� Simetricul lui M fata de Oy, punctul de coordonate (−x, y) verificaecuatia elipsei, deci Oy este axa de simetrie a elipsei.
� Simetricul lui M fata de O, punctul de coordonate (−x,−y) verificaecuatia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei.
� Intersectiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a,0), A′(−a,0),B(0, b), B′(0,−b) se numesc varfurile elipsei.
� ∥Ð→OA∥ = a si ∥
Ð→OB∥ = b se numesc semiaxa mare si respectiv semiaxa
mica a elipsei.
5
� Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea elipsei. Avem:
e2 = c2
a2= a
2 − b2
a2= 1 − ( b
a)
2
⇒ b
a=√
1 − e2
deci excentricitatea caracterizeaza forma elipsei.
� Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a cos t
y = b sin t, t ∈ [0,2π)
numite ecuatiile parametrice ale elipsei.
� Ecuatia tangentei la elipsa dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pe elipsase obtine prin dedublare:
xx0
a2+ yy0
b2− 1 = 0.
1.2.3 Hiperbola
Definitia 1.4. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea
∣MF −MF ′∣ = 2a
se numeste hiperbola.
� Punctele F,F ′ se numesc focarele hiperbolei
� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.
� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:
FF ′ = 2c > 2a
� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale
Pentru a gasi ecuatia carteziana implicita a hiperbolei alegem ca axa aabsciselor axa focala FF ′, iar ca axa a ordonatelor mediatoarea segmentuluiFF ′. Originea reperului este mijlocul segmentului FF ′, deci focarele au
6
coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0). Prin definitie, punctul M(x, y) apartinehiperbolei daca si numai daca
� Axele Ox si Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei;
� Intersectiile hiperbolei cu axaOx, puncteleA(a,0), A′(−a,0), se numescvarfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeste axa transversa a hiper-bolei;
� Dreptele de ecuatii y = ± bax sunt asimptotele hiperbolei si se obtin ca
asimptote oblice ale functiilor
f1(x) =b
a
√x2 − a2 si f2(x) = −
b
a
√x2 − a2;
� Daca a = b, hiperbola are ecuatia x2 − y2 = a2 si se numeste hiperbolaechilatera, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x si y = −x;
� O ecuatie de forma xy = ±a2 reprezinta tot o hiperbola echilatera, avandca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoareleaxelor.
� Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea hiperbolei. Avem:
e2 = c2
a2= a
2 + b2
a2= 1 + ( b
a)
2
⇒ b
a=√e2 − 1
deci excentricitatea caracterizeaza forma hiperbolei.
7
� Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a ch t
y = b sh t, t ∈ R
numite ecuatiile parametrice ale hiperbolei.
� Ecuatia tangentei la hiperbola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pehiperbola se obtine prin dedublare:
xx0
a2− yy0
b2− 1 = 0.
1.2.4 Parabola
Definitia 1.5. Fie o dreapta fixa d ın plan si un punct fix F ∉ d. Loculgeometric al punctelor M din plan cu proprietatea ca distanta la punctul Feste egala cu distanta la dreapta d se numeste parabola.
� Punctul F se numeste focar;
� Dreapta d se numeste dreapta directoare;
� Distanta de la focar la dreapta directoare se numeste parametrulparabolei si se noteaza cu p.
Pentru a gasi ecuatia parabolei alegem ca axa a absciselor perpendicularadusa prin F la d, care intersecteaza dreapta d ın punctul A si are sensulpozitiv de la directoare catre focar, iar axa ordonatelor este mediatoareasegmentului AF .
Focarul F are coordonatele (p2 ,0), iar prin definitie un punct oarecare
M(x, y) se afla pe parabola daca si numai daca ∥ÐÐ→MF ∥ = ∥
ÐÐ→MB∥ unde B este
proiectia lui M pe dreapta d si are coordonatele (−p2 , y). Obtinem:
√(x − p
2)
2
+ y2 = x + p2⇔ x2 − px + p
2
4+ y2 = x2 + px + p
2
4
de unde se obtine ecuatia carteziana implicita a parabolei:
y2 = 2px
Axa Ox se numeste axa parabolei (sau axa transversa a parabolei) sieste axa de simetrie pentru parabola, iar punctul O(0,0) se numeste varfulparabolei.
Observatii
8
� Ecuatia carteziana a parabolei este echivalenta cu ecuatiile
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = t2
2py = t
, t ∈ R
numite ecuatiile parametrice ale parabolei;
� Ecuatia tangentei la parabola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de peparabola se obtine prin dedublare:
yy0 = p(x + x0);
� Ecuatia y2 = −2px, p > 0 reprezinta tot o parabola cu axa transversaOx, varful ın origine, dar situata ın semiplanul din stanga axei Oy;
� Ecuatiile x2 = 2py si x2 = −2py, cu p > 0 reprezinta parabole avand axatransversa Oy si varful ın origine.
1.3 Schimbari de repere carteziene
1.3.1 Rotatia
Fie {O;Ð→i ′,Ð→j ′} un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea reperului
{O;Ð→i ,Ð→j } cu un unghi θ ∈ [0, π). Notam cu (x, y) coordonatele unui punct
oarecare M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasipunct ın reperul rotit. Avem:
ÐÐ→OM = xÐ→i + yÐ→j = x′Ð→i ′ + y′Ð→j ′
Inmultind scalar aceasta egalitate cuÐ→i , respectiv
rotatia ın plan de unghi θ este o transformare ortogonala.
1.3.2 Translatia
Fie reperul {O;Ð→i ,Ð→j }, un punct A(x0, y0) si consideram reperul cartezian
ortonormat {A;Ð→i ,Ð→j }. Notam cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare
M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasi punct ınreperul nou . Avem:
ÐÐ→OM =
Ð→OA +
ÐÐ→AM ⇔ x
Ð→i + yÐ→j = x0
Ð→i + y0
Ð→j + x′Ð→i + y′Ð→j
de unde obtinem⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′.
Prin compunerea unei translatii cu o rotatie se obtine rototranslatia deecuatii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 +X cos θ − Y sin θ
y = y0 +X sin θ + Y cos θ,
unde (X,Y ) sunt coordonatele punctului M ın {A;Ð→i ′,Ð→j ′}.
1.4 Reducerea conicelor la forma canonica
Fie o conica de ecuatie
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.
Prin schimbarea reperului, se schimba si coordonatele punctelor de pe conica,deci se schimba si ecuatia pe care o verifica acestea. Vom cauta reperul ın careecuatia conicei are o forma particulara (de elipsa, hiperbola sau parabola),numita forma canonica.
Teorema 1.1. Invariantii I, δ,∆ nu se schimba la translatii sau rotatii.
Demonstratie:
Inlocuind ecuatiile translatiei
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′ın (1.4) obtinem
a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2 + 2a′13x
′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.5)
unde
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a′13 = a11x0 + a12y0 + a13
a′23 = a12x0 + a22y0 + a23
a′33 = f(x0, y0), deci coeficientii termenilor de grad 2 nu se
modifica, asadar I si δ raman neschimbati. Efectuand operatii pe coloane ın∆′ avem:
∆′ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a′13
a12 a22 a′23
a′13 a′23 a′33
RRRRRRRRRRRRRR
C3 − x0C1
=C3 − y0C2
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33
RRRRRRRRRRRRRREfectuand operatii pe linii ın ∆′ avem :
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33
RRRRRRRRRRRRRR
L3 − x0L1
=L3 − y0L2
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRR= ∆.
Fie acum o rotatie de unghi θ. Avem:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
⇔ ( xy
) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
)( x′
y′)⇔X = CX ′,
11
unde C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
) , X = ( xy
) , X ′ = ( x′
y′).
Introducem de asemenea notatiileA = ( a11 a12
a12 a22) , B = ( a13 a23 ). Ecuatia
conicei se rescrie matriceal XTAX + 2BX + a33 = 0.Inlocuind ecuatiile rotatiei X = CX ′ ın ecuatia matriceala anterioara
obtinemX ′T (CTAC)X ′ + 2B(CX ′) + a33 = 0
Matricea C fiind ortogonala, A si CTAC au acelasi polinom caracteristic, iarcoeficientii acestuia fiind chiar I si δ, deducem ca acestia nu se schimba laefectuarea unei rotatii. Introducem notatiile
A =⎛⎜⎝
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
⎞⎟⎠, C =
⎛⎜⎝
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
⎞⎟⎠, A′ =
⎛⎜⎝
a′11 a′12 a′13
a′12 a′22 a′23
a′13 a′23 a′33
⎞⎟⎠
Consideram forma patratica avand matricea A ın baza canonica din R3.Atunci A′ este matricea aceleiasi forme patratice ın baza data de matriceaC, deci avem
∆′ = det A′ = det(CT AC) = det CT det Adet C = det A = ∆.
y = y0 + y′astfel ıncat ın noile coordonate ecuatia conicei
a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2 + 2a′13x
′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.7)
sa nu contina termeni de grad 1, adica
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a′13 = a11x0 + a12y0 + a13 = 0
a′23 = a12x0 + a22y0 + a23 = 0.
Caz 1. Daca δ ≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ın reperul translatatcu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este
a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.8)
12
Daca punctul de coordonate (x′, y′) verifica (1.8), atunci si punctul decoordonate (−x′,−y′) verifica (1.8), deci O′ este centru de simetrie pentruconica, iar coordonatele lui sunt:
x0 =− ∣ a13 a12
a23 a22∣
δ, y0 =
− ∣ a11 a13
a12 a23∣
δ(1.9)
Termenul liber f(x0, y0) din (1.8) se rescrie astfel:
Daca a12 = 0, atunci (1.10) este forma canonica.Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica
Φ ∶ R2 → R, Φ(x′, y′) = a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2,
avand matricea A = ( a11 a12
a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza ortonor-
mata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1X2 + λ2Y 2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:
∣ a11 − λ a12
a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0.
In noile coordonate ecuatia conicei (1.10) devine
λ1X2 + λ2Y
2 + ∆
δ= 0, (1.11)
deci are forma canonica. Putem presupune ca baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ın care avem
forma canonica se obtine din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotatie de unghi θ ∈
13
(0, π2 ), asadar
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ
Ð→j
Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ
Ð→j
. CumÐ→v 1 siÐ→v 2 sunt vectori proprii
corespunzatori matricei A obtinem:
( a11 a12
a12 a22)( cos θ
sin θ) = λ1 (
cos θsin θ
)⇒ λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ
( a11 a12
a12 a22)( − sin θ
cos θ) = λ2 (
− sin θcos θ
)⇒ −λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ
Inmultind prima relatie cu sin θ, pe a doua cu cos θ si sumandu-le obtinem
(λ1 − λ2) sin θ cos θ = a12
Cum a12 ≠ 0 si θ ∈ (0, π2 ), deducem ca λ1 ≠ λ2 si λ1 − λ2 are acelasi semncu a12. Din cele doua formule anterioare se poate obtine unghiul θ:
λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ⇒ tg θ = λ1 − a11
a12
−λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ⇒ tg θ = a12
a11 − λ2
Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica sunt:
este incompatibil, deci nu exista o translatie ın urma careia sa dispara ter-menii de grad 1 din ecuatie, altfel spus conica nu are centru de simetrie.
Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica
Φ ∶ R2 → R, Φ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y
2,
15
avand matricea A = ( a11 a12
a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza ortonor-
mata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1x′2 + λ2y′2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:
∣ a11 − λ a12
a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0
Cum δ = 0 ⇒ λ1λ2 = 0. Presupunem λ1 = 0, λ2 = I ≠ 0 (daca ambele valoriproprii ar fi nule, ar rezulta a11 = a12 = a22 = 0). In noile coordonate x′, y′
ecuatia conicei devine
Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y
′ + a33 = 0 (1.14)
Putem presupune ca baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ın care avem forma canonica se obtine
din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotatie de unghi θ ∈ (0, π2 ), asadar
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ
Ð→j
Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ
Ð→j
⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
Cum Ð→v 1 este vector propriu corespunzator valorii proprii 0 obtinem:
Cum ∆ este invariant la rotatii si translatii, avem
∆ =RRRRRRRRRRRRRR
0 0 a′13
0 I 0a′13 0 0
RRRRRRRRRRRRRR= −a′213I ⇒ a′213 = −
∆
I
deci gasim forma canonica
Y 2 = ±2pX, unde p =√
−∆
I3.
Semnul ± ın ecuatia anterioara se alege ın functie de pozitia paraboleifata de axele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cuaceste axe.
iar coordonatele varfului parabolei se obtin intersectand parabola cu axade simetrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia anterioara si ecuatiainitiala a conicei.
Daca a12 = 0, din δ = 0 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0. Pentru a11 = 0, ecuatiaconicei devine
a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
a13 = 0⇒ conica degenerata.a13 ≠ 0⇒ parabola (facand o translatie ca mai sus).