Capitolo 7 La crescita economica, I

Capitolo 7: La crescita economica, I

Mankiw, MACROECONOMIA, Zanichelli editore © 2004

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Capitolo 7La crescita economica, I



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Il modello (neoclassico) di Solow (1956) La funzione di produzione

Funzione aggregata di produzione (neoclassica):

Y = F(K,L)

Rendimenti di scala costanti (RSC):

zY = F(zK, zL)



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Tutte le variabili sono espresse in termini pro capite (denotate con lettere minuscole)

k = K/Ly = Y/Lc = C/Li = I/L

Il modello (neoclassico) di Solow (1956) La funzione di produzione pro capite



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Poiché F(K,L) è a RSC abbiamo:

y = Y/L = F(K, L)/L

= F(K/L, L/L)

y = F(k, 1) = f(k)

La produttività marginale del capitale pro capite:

PMK = f(k + 1) – f(k)

è decrescente




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Prodotto per lavoratore, y

Capitale per lavoratore, k

La PMK è decrescente e la pendenza della funzione di produzione cala con l’aumento dello stock di capitale impiegato

1

1

PMK

PMK




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La crescita in condizioni di equilibrio macroeconomico permanente implica che:

Investimento = Risparmio i = sy

Utilizzando la funzione di produzione pro capite abbiamo:

i = sf(k)

Il cui grafico è uguale a quello della funzione di produzione “riscalato” di un coefficiente tra zero e uno (il tasso di risparmio).

Il modello (neoclassico) di Solow (1956) Le funzione di consumo e investimenti



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Il reddito y è diviso tra consumi e investimenti

Prodotto, f(k)

Risparmio, sf(k) = Investimenti

y

c

sy=i

Nota: Variazioni di s spostano la funzione sf(k) in alto e in basso.

Se s = 1 tutta la produzione è risparmiata e c = 0

La funzione di produzione pro capiteConsumi e investimenti



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Lo stock di capitaleL’ammortamento



Ammortamento del capitale, kIl capitale si

deprezza al tasso costante

che rappresenta la frazione percentuale di capitale installato che viene perso in ogni periodo perché non più produttivo



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La variazione netta dello stock di capitale k è data dalla differenza tra investimenti in nuovo capitale e logoramento di quello installato (ammortamento):

k = i – k

E poiché gli investimenti sono permanentemente uguali ai risparmi

k = s f(k) – k

La variazione dello stock di capitaleInvestimenti e ammortamento



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Lo stock di capitale La funzione di risparmio e gli investimenti



Prodotto, f(k)


Ammortamento del

capitale, k

k

Gli investimenti AUMENTANO lo stock di

capitale installato del periodo successivo



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Lo stock di capitaleIl deprezzamento



Prodotto, f(k)


k

Il deprezzamento RIDUCE lo stock di capitale

disponibile nel periodo successivo

k



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Analisi dinamicaL’accumulazione del capitale


Prodotto, f(k)


La DIFFERENZA tra investimenti e ammortamento misura la variazione dello stock di capitale:

Può essere positiva…k

k0 k1 k

k



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Prodotto, f(k)


…o può essere negativa se l’ammortamento è superiore all’investimento

k0k1k

Analisi dinamicaL’accumulazione del capitale

k



21

Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario


k

f(k)

sf(k)

Fino a quando l’investimento è superiore al deprezzamento il capitale installato aumenta k0

k0 k1

k



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k

f(k)

sf(k)

k

k1

k2

La produttività marginale del capitale è decrescente e gli aumenti di produzione si riducono con l’aumentare di k

k0 k1




23


k

f(k)

sf(k)

k

Fino a quando sf(k) > k

lo stock di capitale continua a crescere

k2

k3k0 k1 k2




24

Quando gli investimenti sono uguali all’ammortamento, lo stock di capitale pro capite k* non cambia: i nuovi investimenti compensano esattamente l’ammortamento.

Nel lungo periodo l’economia è caratterizzata da un

equilibrio di stato stazionario in cui la variabile endogena k* non varia.Questo implica che anche il reddito e il consumo di stato

stazionario non variano:

y* = f(k*)c* = f(k*)-k*

Lo stato stazionario



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Dinamica del modelloLo stato stazionario

y

k

f(k)

sf(k)

kIn stato stazionario gli investimenti (risparmi) sono uguali all’ammortamento

Il capitale pro capite smette di crescere

i* = k*

k*

Y* = f(k*)



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k

f(k)

sf(k)

k

k1k0 k2 k3k*


Se k0 è inferiore a k* lo stock di capitale tende a crescere nel tempo



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k

f(k)

sf(k)

k

k1 k0k2k*


Se k0 è superiore a k* lo stock di capitale tende a calare nel tempo



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Lo stato stazionario è caratterizzato da k = 0Poiché l’accumulazione del capitale è data da:

k = sf(k) – kAvremo:

0 = sf(k*) – k*

Riordinando i termini si ottiene:

k*/f(k*) = s/

Lo stato stazionarioLa matematica



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In stato stazionario ammortamenti e investimenti sono uguali sicché lo stock di capitale smette di crescere.

Quindi anche la produzione pro capite smette di crescere e in stato stazionario è pari a:

y* = f(k*)

Lo stato stazionarioLa matematica



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Le funzioni di produzione totale e pro capite sono date da:

2/12/1),( LKLKFY kkL

Yy 2/1

La convergenza allo stato stazionarioLa funzione Cobb-Douglas

Se il tasso di risparmio è pari a s = 0,3 e il capitale si deprezza del 10% all’anno = 0,10.

Prendendo un capitale iniziale pari a 4 possiamo calcolare l’andamento dinamico dell’economia:



31



32

Come visto lo stato stazionario è identificato dal livello di capitale tale per cui:

0)( *** kksfk

Lo stato stazionarioLa funzione Cobb-Douglas

Poiché s = 0,3 e = 0,10

ovveros

kf

k)( *

*

1,0

3,0*

*

k

kE risolvendo otteniamo: k* = 9

Analisi di un caso: Lo stock di capitale e la crescita di Giappone e Germania dopo la seconda guerra mondiale.



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Una variazione del tasso di risparmio comporta una modifica del livello degli investimenti.

Se il tasso di risparmio s aumenta,

la curva sf(k)si sposta verso l’alto. Per ogni livello di capitale

una parte maggiore di produzione viene destinata ai risparmi e investita.

Il tasso di risparmioGli effetti di lungo periodo



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La statica comparataUna variazione del tasso di risparmio


k

f(k)

s1f(k)

kUn aumento del tasso di risparmio:

da s1 a s2

sposta la curva

sf(k)

verso l’alto

s2f(k)

k*1 k*2



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Il capitale di stato stazionario k* cresce al crescere del tasso di risparmio.

Anche la produzione pro capite è positivamente correlata con il tasso di risparmio e y = f(k*) cresce con s.

Il modello di Solow predice che paesi con tassi di risparmio (e investimenti conseguenti) superiori abbiano (in stato stazionario) un livello di reddito superiore




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Evidenza empiricaTassi di investimento e reddito pro capite

Egitto

Chad

Pakistan

Indonesia

ZimbabweKenya

India

CameroonUganda

Messico

CostaD’Avorio

Brasile

Peru

U.K.

U.S.ACanada

Francia

Israele

GermaniaDanimarca

ItaliaSingapore

Giappone

Finlandia10,000

1,000

100

Reddito pro capite nel 1992

(scala log)

0

5 10 15Investimento come percentuale del prodotto (media 1960–1992)

20 25 30 35 40



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Domanda:

Possiamo quindi concludere che il benessere degli individui è massimo quando il tasso di risparmio è massimo (tendente a 1)?




38

Quale tasso di risparmio è desiderabile?La regola aurea: “golden rule”


k

f(k)

k

Per rispondere alla domanda fissiamo per esempio un tasso di risparmio s1

s1f(k)



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La massimizzazione dei consumiLa golden rule


k

f(k)

k

s1f(k)Il consumo di stato stazionario è dato dalla distanza verticale tra f(k)

e k

In stato stazionario gli investimenti sono pari all’ammortamento



40


k

f(k)

kIl benessere della popolazione dipende dal consumo aggregato di beni e servizi.

Il benessere è massimo quando i consumi sono massimi




41


k

f(k)

kSe il tasso di risparmio aumenta a s2

s2f(k)

Il consumo di stato

stazionario cresce




42


k

f(k)

kMa se il tasso di risparmio fosse ancora superiore: s3

s3f(k)

Il consumo di stato stazionario sarebbe inferiore




43

Quale tasso di risparmio permette di raggiungere il livello di capitale pro capite di stato stazionario che permette di massimizzare il benessere (consumi)?




44


k

f(k)

k

Partendo con bassi tassi di risparmio il consumo di stato stazionario prima cresce e poi cala




45


k

f(k)

k




46


K

f(k)

kIl tasso di risparmio di golden rule è

sgold

ed è l’unico che massimizza i consumi di stato stazionario

sgold f(k)




47


k

f(k)

k

Nello stato stazionario di golden rule abbiamo un livello di capitale

k*gold

k*gold


sgoldf(k)



48


k

f(k)

kGraficamente nello stato stazionario di golden rule la pendenza della funzione di produzione è uguale a quella della retta di ammortamento:

k*gold

MPK =


sgold f(k)



51

Un aumento di c* è ottenibile con una riduzione di s.

Il consumo è superiore a quello iniziale durante tutta la transizione all’equilibrio

Idea: il troppo capitale installato viene consumato

t0

c

i

y

Tempo

Se il capitale iniziale è troppo elevato: k* > k*gold



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Se il capitale iniziale è troppo basso: k* < k*gold

Un aumento di c* è ottenibile con un aumento di s.

Il consumo è superiore a quello iniziale nel lungo periodo (per definizione di regola aurea)

Ma nel breve periodo diminuisce per permettere l’accumulazione di capitale. t0

c

i

y

Tempo



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La popolazione e la forza lavoro totale crescono a un tasso esogeno e costante n che rappresenta la variazione percentuale di L:

Esempio: Se L = 100 nell’anno 2004 e la popolazione cresce del 5% all’anno allora n = 0,05 e L = nL = 0,05 100 = 5

Quindi nell’anno 2005 avremo L = 105

La popolazione nel modello di Solow

L

Ln



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Se la popolazione cresce, al fine di mantenere k costante, l’investimento non solo deve rimpiazzare lo stock di capitale che si logora (ammortamento) ma anche deve far crescere questo stock di una percentuale pari a quella con cui aumenta la popolazione.

Il capitale pro capite con crescita della popolazione

Quindi:

( + n)k = livello di investimento necessario per mantenere k costante

n k tasso di crescita della popolazione x capitale pro capite k ammortamento pro capite



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Lo stato stazionario è sempre definito dal fatto che il capitale pro capite non cambia

Lo stato stazionario con crescita della popolazione

Quindi in equilibrio di stato stazionario:

k = sf(k) – ( + n)k = 0

Ovvero l’investimento è pari alla riduzione del capitale pro capite:

s f(k) = ( + n)k



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Graficamente: Solow con crescita della popolazione


k

sf(k)

(+ n)kL’unica differenza è che in equilibrio la pendenza della retta di ammortamento (cioè l’investimento necessario per mantenere invariato

k) dipende anche dalla crescita della popolazione

f(k)

k*



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L’aumento del tasso di crescita della popolazione


k

sf(k)

(+ n0)k

Se n aumenta, il livello di investimento necessario per mantenere k invariato cresce

E la produzione pro capite di equilibrio è inferiore

f(k)

(+ n1)k

k*0k*1



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Quanto maggiore è il tasso di crescita della popolazione tanto minore è, a parità di investimento, il capitale pro-capite e il reddito pro capite

La popolazione nel modello di Solow

Più grande è n più piccolo è k*

Dato che y = f(k), un minore k* implica un minore y*



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Analisi di un casoCrescita della popolazione e reddito pro capite

Chad

Kenya

Zimbabwe

Camerun

Pakistan

Uganda

India

Indonesia

IsraeleMessico

Brasile

Peru

Egitto

Singapore

U.S.

U.K.

Canada

FranciaFinlandiaGiappone

Danimarca

CostaD’avorio

Germania

Italia

10 000

1000

1001 2 3 40

Reddito pro capite nel 1992

(scala log)

Crescita della popolazione (percentuale annua) (media

1960–1992)



60

La massimizzazione dei consumiLa regola aurea con crescita della popolazione


k

f(k)

(+ n)k

sgoldf(k)

k*gold

MPK = + n

Il consumo è massimo quando la produttività marginale eguaglia il tasso di ammortamento più il tasso di crescita della popolazione:

Capitolo 7 La crescita economica, I

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