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CAPTULO 2. Capitalizacin compuesta.
Las operaciones en rgimen de compuesta se caracterizan porque
los intereses, a diferencia de lo que ocurre en rgimen de simple, a
medida que se van
generando pasan a formar parte del capital de partida, se van
acumulando, y producen a su vez intereses en perodos siguientes
(son productivos). En
definitiva, lo que tiene lugar es una capitalizacin peridica de
los intereses. De esta forma los intereses generados en cada perodo
se calculan sobre
capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los
intereses de perodos anteriores).
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1. Capitalizacin compuesta
1.1. CONCEPTO
Operacin financiera cuyo objeto es la sustitucin de un capital
por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la
aplicacin de la ley financiera de
capitalizacin compuesta.
1.2. DESCRIPCIN DE LA OPERACIN
El capital final (montante) (Cn) se va formando por la
acumulacin al capital inicial (C0) de los intereses que
peridicamente se van generando y que, en este
caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la
operacin (n), pudindose disponer de ellos al final junto con el
capital inicialmente
invertido.
1.3. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN
Los intereses son productivos, lo que significa que:
Grficamente para una operacin de tres perodos:
1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIN
El capital al final de cada perodo es el resultado de aadir al
capital existente al inicio del mismo los intereses generados
durante dicho perodo. De esta
forma, la evolucin del montante conseguido en cada momento es el
siguiente:
Momento 0: C0
Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i)
Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) =
= C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2
Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) =
= C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3
Momento n:
Cn = C0 x (1 + i)n
Expresin que permite calcular el capital final o montante (Cn)
en rgimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo
de inters (i) y la duracin
(n) de la operacin.
A medida que se generan se acumulan al capital inicial para
producir nuevos intereses en los perodos siguientes.
Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital
existente al inicio de dicho perodo.
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Expresin aplicable cuando el tipo de inters de la operacin no
vara. En caso contrario habr que trabajar con el tipo vigente en
cada perodo.
A partir de la expresin anterior (denominada frmula fundamental
de la capitalizacin compuesta) adems de calcular montantes,
podremos, conocidos tres
datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.
EJEMPLO 1
Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual
durante 10 aos en rgimen de capitalizacin compuesta.
C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78
Si se hubiese calculado en simple:
C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300
La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los
intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta
el final.
1.5. CLCULO DEL CAPITAL INICIAL
Partiendo de la frmula de clculo del capital final o montante y
conocidos ste, la duracin de la operacin y el tanto de inters,
bastar con despejar de la
misma:
Cn = C0 x (1 + i)n
de donde se despeja C0:
EJEMPLO 2
Cunto deber invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 aos de
1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de inters
anual
compuesto para ese plazo?
C0 =
1.500
-----------------
(1 + 0,06)2= 1.334,99
1.6. CLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
Conocidos los capitales inicial y final, se obtendr por
diferencia entre ambos:
In = Cn C0
EJEMPLO 3
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Qu intereses producirn 300 euros invertidos 4 aos al 7%
compuesto anual?
300 I4?
C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24
In = 393,24 300 = 93,24
1.7. CLCULO DEL TIPO DE INTERS
Si se conoce el resto de elementos de la operacin: capital
inicial, capital final y duracin, basta con tener en cuenta la
frmula general de la capitalizacin
compuesta y despejar la variable desconocida.
Cn = C0 x (1 + i)n
Los pasos a seguir son los siguientes:
EJEMPLO 4
Determinar el tanto de inters anual a que deben invertirse 1.000
euros para que en 12 aos se obtenga un montante de 1.601,03
euros.
1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03
Pasar el C0 al primer miembro:
Cn
---- = (1 + i)n
C0
Quitar la potencia (extrayendo raz n a los dos miembros):
Despejar el tipo de inters:
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1.8. CLCULO DE LA DURACIN
Conocidos los dems componentes de la operacin: capital inicial,
capital final y tipo de inters, basta con tener en cuenta la frmula
general de la
capitalizacin compuesta y despejar la variable desconocida.
EJEMPLO 5
Un capital de 2.000 euros colocado a inters compuesto al 4%
anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo
impuesto.
2.000 x (1 + 0,04 )n = 3.202
n =
log Cn log C0
----------------------
log (1 + i)
log 3.202 log 2.000
= ------------------------------
log 1,04
= 12 aos
1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA CAPITALIZACIN SIMPLE Y
COMPUESTA
Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados
a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 aos, el siguiente
cuadro recoge el montante
alcanzado al final de cada perodo en un caso y otro:
Aos 1 2 3 4 5 6
En simple.......... 1.100,00 1.200,00 1.300,00 1.400,00 1.500,00
1.600,00
En compuesta... 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51
1.771,56
Donde se observa que el montante obtenido en rgimen de simple va
aumentando linealmente, cada ao aumentan 100 euros (los intereses
del ao,
generados siempre por el capital inicial de 1.000 euros). Por su
parte, en la operacin en compuesta, cada ao se van generando ms
intereses que en el
Punto de partida:
Pasar el C0 al primer miembro:
Extraemos logaritmos a ambos miembros:
Aplicamos propiedades de los logaritmos:
Despejar la duracin:
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perodo anterior: la evolucin no es lineal sino exponencial,
consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada ao
mayor (los intereses generan
nuevos intereses en perodos siguientes).
Grficamente:
Transcurrido un perodo (1 ao si se considera tipos anuales) el
montante coincide en ambos regmenes, para cualquier otro momento ya
no existe ninguna
coincidencia, siendo las diferencias entre ambos sistemas cada
vez mayores.
De la misma forma, se cumple que para perodos inferiores al ao
el montante es mayor en rgimen de simple y, a partir del ao, es
mayor en compuesta.
ste es el motivo de la preferencia de la capitalizacin simple en
operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo.
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2. Tantos equivalentes
La definicin de tantos equivalentes es la misma que la vista en
rgimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en
distintas unidades de
tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo
capital inicial y durante un mismo perodo de tiempo producen el
mismo inters o generan el
mismo capital final o montante.
Como ya se coment cuando se hablaba del inters simple, la
variacin en la frecuencia del clculo (y abono) de los intereses
supona cambiar el tipo de
inters a aplicar para que la operacin no se viera afectada
finalmente. Entonces se comprob que los tantos de inters
equivalentes en simple son
proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresin:
i = ik x k
Sin embargo, esta relacin de proporcionalidad no va a ser vlida
en rgimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses
generados al capital de
partida, el clculo de intereses se hace sobre una base cada vez
ms grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de
capitalizacin antes se
acumularn los intereses y antes generarn nuevos intereses, por
lo que existirn diferencias en funcin de la frecuencia de
acumulacin de los mismos al
capital para un tanto de inters dado.
Este carcter acumulativo de los intereses se ha de compensar con
una aplicacin de un tipo ms pequeo que el proporcional en funcin de
la frecuencia de
cmputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente
ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de
invertir 1.000 euros durante
1 ao en las siguientes condiciones:
Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalizacin
de los intereses se est realizando con diferentes frecuencias
manteniendo la
proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados.
Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de
capitalizacin, el montante final siga siendo el mismo es necesario
cambiar la ley de equivalencia de
los tantos.
2.1. RELACIN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA
Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de
guardar la siguiente relacin:
1 + i = (1 + ik)k
donde k es la frecuencia de capitalizacin, que indica:
Esta relacin se obtiene a partir de la definicin de equivalencia
vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un
determinado perodo de
tiempo (n aos) genere el mismo montante (Cn) con independencia
de la frecuencia de acumulacin de intereses (i o ik):
Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido ser:
Cn = C0 x (1 + i)n
Utilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido ser:
1. Inters anual del 12%
Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00
2. Inters semestral del 6%
Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60
3. Inters trimestral del 3%
Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51
El nmero de partes iguales en las que se divide el perodo de
referencia que se tome (habitualmente el ao).
Cada cunto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es,
cada cunto tiempo se acumulan los intereses, dentro del perodo, al
capital para
producir nuevos intereses.
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Cn = C0 x (1 + ik)nk
Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se
tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas
operaciones, esto es, dado que
la operacin es la misma ya que lo nico que ha cambiado es la
frecuencia de clculo de los intereses, se debe conseguir el mismo
capital final en ambos
casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de
montantes:
C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)
nk
Simplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n:
C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)
nk
Quedando finalmente:
(1 + i ) = (1 + ik)k
Expresin que indica la relacin en la que han de estar los
tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para
que sean equivalentes.
El valor de i en funcin de ik ser:
i = (1 + ik)k 1
El valor de ik en funcin de i ser:
ik = (1 + i)1/k 1
EJEMPLO 6
Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros
durante 1 ao a un tanto del 12% efectivo anual, suponiendo:
Los resultados son los mismos, debido a la utilizacin de
intereses equivalentes.
1. Devengo anual de intereses:
i = 0,12
Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00
2. Devengo semestral de intereses:
Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia
de clculo es semestral, habr que calcular previamente el tanto
semestral
equivalente al anual de partida, para despus calcular el
montante.
i2 = (1 + 0,12)1/2 1 = 0,05830
Cn = 1.000 x (1 + 0,05830)2 = 1.120,00
3. Devengo trimestral de intereses:
Igual que en el caso anterior, habr que calcular el tanto
trimestral equivalente al anual conocido.
i4 = (1 + 0,12)1/4 1 = 0,028737
Cn = 1.000 x (1 + 0,028737)4 = 1.120,00
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3. Tanto nominal (Jk)
Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la
relacin anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun
trabajando en diferentes
unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo
idnticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que
supone el conocer y aplicar dicha
expresin de equivalencia. En este punto surge la necesidad de
emplear un tanto que permita pasar fcilmente de su unidad habitual
(en aos) a cualquier
otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto
nominal.
El tanto nominal se define como un tanto terico que se obtiene
multiplicando la frecuencia de capitalizacin k por el tanto
k-esimal:
Jk = ik x k
Expresin pensada para pasar fcilmente de un tanto referido al ao
(el tanto nominal) a un tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto
nominal es proporcional.
As pues, en compuesta, los tantos de inters pueden ser tantos
efectivos (i o ik) o nominales (Jk), teniendo en cuenta que el
tanto nominal (tambin
conocido como anualizado) no es un tanto que realmente se emplee
para operar: a partir de l se obtienen tantos efectivos con los que
s se harn los
clculos necesarios.
A continuacin se muestran las relaciones existentes entre tantos
nominales y tantos efectivos anuales.
Tabla de conversin de tantos nominales a tantos anuales
efectivos (TAE)
La frmula de clculo es:
i = (1 + ik)k 1 = (1 + Jk/k)
k 1
Frecuencia de capitalizacin
k = 1 k = 2 k = 4 k = 12
Inters nominal Anual Semestral Trimestral Mensual
8% 8,000% 8,160% 8,243% 8,300%
9% 9,000% 9,202% 9,308% 9,381%
10% 10,000% 10,250% 10,381% 10,471%
11% 11,000% 11,303% 11,462% 11,572%
12% 12,000% 12,360% 12,551% 12,683%
El tipo de inters efectivo anual correspondiente a un tipo
nominal aumenta a medida que aumenta el nmero de capitalizaciones
anuales. Es decir, cada tipo
nominal est calculado para trabajar en una determinada unidad de
tiempo y slo en sa; si se quiere cambiar a otra unidad distinta,
habr que volver a
recalcular el tanto nominal, para que el resultado final no
cambie.
Tabla de conversin de tantos efectivos anuales (TAE) a tantos
nominales
La frmula de clculo es:
Jk = ik x k = [(1 + i)1/k 1] x k
Frecuencia de capitalizacin
k = 1 k = 2 k = 4 k = 12
Inters
efectivo anual Anual Semestral Trimestral Mensual
8% 8,000% 7,846% 7,771% 7,721%
9% 9,000% 8,806% 8,711% 8,649%
10% 10,000% 9,762% 9,645% 9,569%
11% 11,000% 10,713% 10,573% 10,482%
12% 12,000% 11,660% 11,495% 11,387%
El tipo de inters nominal correspondiente a un tipo efectivo
anual disminuye a medida que aumenta el nmero de capitalizaciones
anuales.
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Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo
anual a partir de un tanto nominal, ste deber ser diferente en
funcin de la frecuencia de
capitalizacin para la cual se haya calculado.
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4. Descuento compuesto
4.1. CONCEPTO
Se denomina as a la operacin financiera que tiene por objeto la
sustitucin de un capital futuro por otro equivalente con
vencimiento presente, mediante la
aplicacin de la ley financiera de descuento compuesto. Es una
operacin inversa a la de capitalizacin.
4.2. CARACTERSTICAS DE LA OPERACIN
Los intereses son productivos, lo que significa que:
En una operacin de descuento el punto de partida es un capital
futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar.
Deberemos conocer las
condiciones en las que se quiere hacer esta anticipacin: duracin
de la operacin (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto
aplicado.
El capital que resulte de la operacin de descuento (capital
actual o presente C0) ser de cuanta menor, siendo la diferencia
entre ambos capitales los
intereses que un capital deja de tener por anticipar su
vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el
presente al futuro implica aadirle intereses,
hacer la operacin inversa, anticipar su vencimiento, supondr la
minoracin de esa misma carga financiera.
Al igual que ocurra en simple, se distinguen dos clases de
descuento: racional y comercial, segn cul sea el capital que se
considera en el cmputo de los
intereses que se generan en la operacin:
4.3. DESCUENTO RACIONAL
Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera
generador de los intereses de un perodo el capital al inicio de
dicho perodo, utilizando el tipo de
inters vigente en dicho perodo. El proceso a seguir ser el
siguiente:
Grficamente:
Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:
Perodo n: Cn
Perodo n1:
Cn-1 = Cn In = Cn Cn-1 x i
Cn-1 x (1 + i) = Cn
Cn
Cn-1 = -------------
(1 + i)
Perodo n2:
Cn-2 = Cn-1 In-1 = Cn-1 Cn-2 x i
Cn-2 x (1 + i) = Cn-1
Cn-1 Cn
Cn-2 = ------------ = ------------
(1 + i)1 (1 + i)2
Perodo n3:
Cn-3 = Cn-2 In-2 = Cn-2 Cn-3 x i
A medida que se generan se restan del capital de partida para
producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto.
Los intereses de cualquier perodo siempre los genera el capital
del perodo anterior, al tanto de inters vigente en dicho
perodo.
Descuento racional.
Descuento comercial.
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Cn-3 x (1 + i) = Cn-2
Cn-2 Cn
Cn-3 = ----------- = ----------
(1 + i)1 (1 + i)3
Perodo 0:
C0 = C1 I1 = C1 C0 x i
C0 x (1 + i) = C1
C1 Cn
C0 = ---------- = ------------
1 + i (1 + i)n
Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial,
es decir, sobre el que resulta de la anticipacin del capital
futuro. Se trata de la operacin de
capitalizacin compuesta, con la particularidad de que el punto
de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el
capital actual.
De otra forma, partiendo de la expresin fundamental de la
capitalizacin compuesta, Cn = C0 x (1 + i)n, se despeja el capital
inicial (C0):
Cn
C0 = ----------
(1 + i)n
Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el
capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters
total de la operacin (Dr), o descuento
propiamente dicho:
Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]
EJEMPLO 7
Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que
vence dentro de 3 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu
cantidad tendremos
que entregar si la operacin se concierta a un tipo de inters del
5% anual compuesto?Cunto nos habremos ahorrado por el pago
anticipado?
C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000
24.000
C0 = -------------- = 20.732,10
1,053
Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90
De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital
inicial previamente:
Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90
4.4. DESCUENTO COMERCIAL
En este caso se considera generador de los intereses de un
perodo el capital al final de dicho perodo, utilizando el tipo de
descuento (d) vigente en dicho
perodo. El proceso a seguir ser el siguiente:
Grficamente:
Paso a paso, el desarrollo de la operacin es como sigue:
Perodo n: Cn
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Perodo n-1:
Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d)
Perodo n-2:
Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) =
= Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2
Perodo n-3:
Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) =
= Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)
3
Perodo 0:
C0 = Cn x (1 - d)n
Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el
capital de partida y el inicial obtenido, se obtendr el inters
total de la operacin (Dc):
Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 - d)n]
Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro
de 5 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu cantidad
tendremos que entregar
si la operacin se concierta a un tipo de descuento del 10%
anual? Cunto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?
C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90
Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10
De otra forma ms directa, sin tener que calcular el capital
inicial previamente:
Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10
4.5. TANTOS DE INTERS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES
Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se
intuye que descontando un capital cualquiera, el mismo tiempo y con
el mismo tanto, los
resultados sern diferentes segn se realice por un procedimiento
u otro.
Sera conveniente encontrar la relacin que deben guardar los
tantos de inters y los tantos de descuento para que el resultado de
la anticipacin fuera el
mismo cualquiera que sea el modelo de descuento empleado. Se
trata de buscar la relacin de equivalencia entre tantos de
descuento y de inters.
Esta relacin de equivalencia debe conseguir que el resultado
final sea el mismo en uno y otro caso, es decir, se tiene que
cumplir la igualdad entre ambos
descuentos Dr = Dc, por tanto:
simplificando, dividiendo por Cn:
Restando la unidad y, posteriormente, multiplicando por 1:
1
---------- = (1 - d)n
(1 + i)n
Finalmente, extrayendo raz n a la ecuacin, queda la relacin de
equivalencia buscada:
1
1 d = --------
1 + i
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El tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i
ser:
i
d = ---------
1 + i
Anlogamente, encontraremos un tipo de inters equivalente a un
d:
d
i = ---------
1 d
Hay que tener en cuenta que la relacin de equivalencia es
independiente de la duracin de la operacin. Por tanto, se cumple
que para un tanto de inters
solamente habr un tipo de descuento que produzca el mismo efecto
(sea equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo en la
operacin.
EJEMPLO 9
Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que
vence dentro de 3 aos. Si el pago se hace en el momento actual, qu
cantidad tendremos
que entregar si la operacin se concierta?
1.er caso: a un tipo de inters del 5% anual compuesto (descuento
racional):
C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000
24.000
C0 = -------------- = 20.732,10
1,053
2. caso: a un tipo de descuento del 5% anual compuesto
(descuento comercial):
C0 = 24.000 x (1 - 0,05)3 = 20.577,00
Por tanto, aplicando un tipo de inters y de descuento idnticos
los resultados son distintos, siendo mayor el valor actual obtenido
en el descuento racional
debido a que el capital productor de intereses es el capital
inicial (ms pequeo) y en consecuencia menor el ahorro por la
anticipacin.
Para conseguir el mismo resultado habra que calcular el tipo de
descuento equivalente al 5% de inters mediante la relacin de
equivalencia:
0,05
d = ------------ = 0,047619
1 + 0,05
Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el
resultado ser:
C0 = 24.000 x (1 0,047619)3 = 20.732,10
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5. Equivalencia de capitales en compuesta
Para comprobar si dos o ms capitales resultan indiferentes
(equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se
comparan: principio de
equivalencia de capitales.
El principio de equivalencia financiera nos permite determinar
si dos o ms capitales situados en distintos momentos resultan
indiferentes o, por el contrario,
hay preferencia por uno de ellos.
Ya vimos en las operaciones en simple la definicin y utilidad de
la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de
capitales y sus aplicaciones
siguen siendo vlidos. La diferencia fundamental viene dada
porque en rgimen de compuesta la fecha donde se realice la
equivalencia no afecta al resultado
final de la operacin, por tanto, si la equivalencia se cumple en
un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en
un momento
determinado, no se cumple nunca.
5.1. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIN DE
CAPITALES
La sustitucin de unos capitales por otro u otros de vencimientos
y/o cuantas diferentes a las anteriores slo se podr llevar a cabo
si financieramente
resultan ambas alternativas equivalentes.
Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se
tendrn que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que
tengan el mismo
valor, pudindose plantear los siguientes casos posibles:
5.1.1. Determinacin del capital comn
Es la cuanta C de un capital nico que vence en t, conocido, y
que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos
en t1, t2, ... ,tn,
respectivamente, todos ellos conocidos.
5.1.2. Determinacin del vencimiento comn
Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C,
conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con
vencimientos en t1, t2, ... ,tn,
respectivamente, todos ellos conocidos.
Se tiene que cumplir:
5.1.3. Determinacin del vencimiento medio
Es el momento de tiempo t en que vence un capital nico C,
conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con
vencimientos en t1, t2, ... ,tn,
respectivamente, todos ellos conocidos.
Se tiene que cumplir:
C = C1 + C2 + ... + Cn
EJEMPLO 10
Un seor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con
vencimientos a los 6, 8 y 10 aos, respectivamente, llegando al
acuerdo con el acreedor de
sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 aos.
Se pide:
Calcular el importe a pagar en ese momento si la operacin se
concierta al 8% de inters compuesto anual.
1.er caso: fecha de estudio en 0:
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2.000 4.000 5.000 C
----------- + ---------- + ----------- = ---------
1,086 1,088 1,0810 1,089
resultando:
C = 11.469,05
2. caso: fecha de estudio en 9:
5.000
2.000 x 1,083 + 4.000 x 1,08 + ---------- = C
1,08
resultando:
C = 11.469,05
EJEMPLO 11
Un seor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con
vencimientos a 3 y 5 aos, respectivamente. Si quisiera sustituir
ambos capitales por uno
slo, acordndose la operacin a un tipo de inters del 6%, calcular
el momento del cobro nico en los siguientes supuestos:
1. La cuanta a recibir fuera de 12.000 euros.
2. La cuanta a recibir fuera de 13.000 euros.
1.er caso: vencimiento comn
5.000 8.000 12.000
----------- + ----------- = -----------
1,063 1,065 1,06t
12.000
4.198,10 + 5.978,07 = ----------
1,06t
12.000
10.176,17 = -----------
1,06t
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12.000
1,06t = ----------------
10.176,17
12.000
log ----------------
10.176,17 0,071597
t = -------------------------- = ---------------- = 2,83 aos
log 1,06 0,025306
2. caso: vencimiento medio
5.000 8.000 13.000
---------- + --------- = ------------
1,063 1,065 1,06t
13.000
10.176,17 = -----------
1,06t
13.000
log ----------------
10.176,17 0,106359
t = -------------------------- = ---------------- = 4,20 aos
log 1,06 0,025306
Nota. En compuesta no se puede aplicar la frmula vista en rgimen
de simple para el clculo del vencimiento medio:
C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn
t = vencimiento medio =
--------------------------------------------
C1 + C2 + ... + Cn
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