BELINPhysique
CAPES de Sciences physiquesTOME 1 - PHYSIQUE COURS ET
EXERCICESNicolas BILLYq
di
3 tion
e
Jean DESBOISq
Marie-Alix DUVAL
Mady ELIASq
q
Pascal MONCEAU
Aude PLASZCZYNSKI
Michel TOULMONDE
BELIN
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DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCESS. BACH, F. BUET, G. VOLET
CAPES de Sciences physiques. Tome 2. Chimie, cours et exercices M.
GUYMONT Structure de la matire, cours A. MAUREL Optique
ondulatoire, cours Optique gomtrique, cours A. MAUREL, J.-M. MALBEC
Optique gomtrique, rappels de cours et exercices A. MAUREL et G.
BOUCHET Optique ondulatoire, rappels de cours et exercices J.
BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICON lectrostatique et
magntostatique, cours lectrostatique et magntostatique, rappels de
cours et exercices
DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCESR. LEHOUCQ ET
J.-P. UZAN Les constantes fondamentales O. DARRIGOL Les quations de
Maxwell. De MacCullagh Lorentz A. BARBEROUSSE La mcanique
statistique. De Clausius Gibbs M. BLAY La science du mouvement. De
Galile Lagrange
Aude Plaszczynski et Marie-Alix Duval remercient respectivement
Daniel Andr et Henri Sergolle dont les excellents polycopis ont
inspir des parties des chapitres 8 et 10.
Photo de couverture CNRS photothque/F. Livolant. Schmas :
Laurent Blondel/Cordoc
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articles 425 et suivants du Code pnal. ditions Belin, 2004 ISSN
1158-3762 ISBN 2-7011-4067-6
Sommaire1. MCANIQUE (Pascal Monceau) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamique du
point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grandeurs cintiques
fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Principe de linertie ; rfrentiels
galilens (1re loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels galilens (2e loi
de Newton) . . . . Principe des actions rciproques (3e loi de
Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentiels non
galilens . . . . . . . . . . Thorme du moment cintique . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interactions conservatives. nergie potentielle, nergie mcanique . .
. . . . . . . . . . . . . . Forces centrales . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Oscillateur harmonique une dimension.
Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mouvement
dune particule au voisinage dune position dquilibre stable . . . .
. . . . . . Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscillateur
harmonique unidimensionnel amorti par frottement uide . . . . . . .
. . . . . . Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . Oscillations forces : loscillateur harmonique entretenu ;
rsonance . . . . . . . . . . . Recherche du rgime permanent . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Comportement de la rponse en amplitude en fonction de la
frquence . . . . . . . . . . . . Aspect nergtique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Mcanique des systmes . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Prliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantit de
mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moment cintique . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . nergie cintique. Conservation de
lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Thormes de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rduction canonique du problme deux corps . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Mcanique du solide indformable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . lments de cinmatique du solide . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Solide en rotation autour dun axe
xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Moments dinertie connatre . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thorme de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contact entre
solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb . . . . . . . .
. . . . . . . . Roulement sans glissement . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Statique des uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notion de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi
fondamentale de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 15 15 15 16 16 17 18
18 19 20 20 20 21 21 23 23 23 24 25 26 26 26 27 27 28 29 29 30 30
31 32 33 34 34 35 36 36 363
Thorme dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36 37 62
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2. LECTROMAGNTISME (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 121lectrostatique : charges - forces
- champ et potentiel lectrostatiques . . . . . . . . . Les charges
lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linteraction
coulombienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le champ lectrostatique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Le potentiel lectrostatique . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Thorme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Les quations locales de llectrostatique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circulation
conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expression locale du
thorme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Proprits du potentiel . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Dnition et continuit des champs et des potentiels . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les conducteurs en
lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Conducteur en quilibre
lectrostatique champ et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Capacit dun conducteur seul dans lespace . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plusieurs
conducteurs en quilibre lectrostatique . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Inuence totale . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Condensateurs . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . nergie potentielle dinteraction lectrostatique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systme
de charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribution continue
de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Distribution volumique de charges . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . nergie associe au champ lectrique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Utilisation de lnergie pour le calcul des forces lectrostatiques .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Magntostatique : champ et force
magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Force magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ magntique : loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples de calcul de B
partir de la loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Symtries du champ magntique. Thorme dAmpre . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Symtries par rapport un plan . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .Symtries par rapport un plan 1 inversion du sens des
courants (transformation S.I.) Circulation du champ magntique . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
Potentiel-vecteur. Flux et circulation du champ magntique . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Le potentiel-vecteur . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Flux du champ magntique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . quation locale portant sur le potentiel-vecteur . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations de
passage pour le champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Induction lectromagntique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Exprience fondamentale de Faraday (1831) . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autres
conditions de manifestation du phnomne dinduction . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
124 124 124 124 125 126 127 127 128 129 130 131 131 131 132 132
132 133 133 133 133 133 134 134 134 135 135 136 136 137 137 139 139
140 140 141 141 141 143
Induction mutuelle et auto-induction dans lapproximation des
rgimes quasistationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 143
4
tude dune bobine relle dans lapproximation des rgimes
quasi-stationnaires . . . . . Le moteur courant continu . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Constitution dun moteur . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Phnomne dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Couple
lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moteur excitation
indpendante (ou spare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Moteur excitation srie . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Les quations de llectromagntisme en rgime variable . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . quation de continuit
(conservation de la charge lectrique) . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . quation de Maxwell - Ampre . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation de propagation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Une solution particulirement simple
: londe plane homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes
sinusodales. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nergie
lectromagntique : densit volumique et ux . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Vue densemble des radiations
lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . lectromagntisme de la matire : tude macroscopique des
dilectriques . . . . . . Mise en vidence du rle des dilectriques en
lectrostatique : polarisation induite . . . Vecteur polarisation P
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Susceptibilit lectronique xe . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Rpartition des charges de polarisation . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentiel et champ lintrieur du dilectrique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations de Maxwell et
consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . lectromagntisme de la matire : tude
microscopique des dilectriques . . . . . . Polarisation lectronique
des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Polarisation des molcules . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Bilan des polarisations des dilectriques . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lectromagntisme de la matire : milieux aimants . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Diple magntique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Moments dipolaires magntiques dans la matire .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Description dun chantillon de matire aimante . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations de Maxwell dans la
matire aimante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
144 144 144 145 146 147 148 149 149 149 150 151 151 151 152 153
154 154 154 154 155 155 155 156 156 156 157 157 158 158 159 160
160
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 161 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 198
3. LECTROCINTIQUE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Linteraction lectrique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Domaines dtude . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Les interactions en physique . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le champ lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le
potentiel lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacit
lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les circuits
lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courant lectrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi dOhm pour un
conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .SOMMAIRE
255 257 257 257 257 258 259 260 260 2615
Diple lectrocintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rsistance
pure (conducteur ohmique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi dOhm gnralise . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Lois des circuits lectriques (lois gnrales) . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Joule, nergie, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les rgimes sinusodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grandeurs sinusodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intensit
efcace (effet Joule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi dOhm en rgime
sinusodal (circuit RLC srie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Circuit oscillant parallle (circuit bouchon) . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissance
en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les rgimes variables . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rgime transitoire avec R, L
ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Charge et dcharge dun condensateur . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courant transitoire dans une bobine . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dcharge dun
condensateur dans une bobine (RLC srie) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Mesure de dphasage loscilloscope . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261 263 264 266 269 270 270 271 271 274 274 276 276 276 277 278
280
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 281 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 287
4. LECTRONIQUE (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Rseaux linaires en
rgime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Thorme de superposition . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Thorme de Thvenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de
Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de Millman . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Conseils dutilisation . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Semi-conducteurs . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Jonction p-n dune diode semi-conductrice .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractristiques dune diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transistors. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Description du transistor bipolaire npn . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le transistor
amplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplicateur oprationnel ou
amplicateur de diffrence intgre . . . . . . . . . . . . .
Lamplicateur oprationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctionnement
de lA.O. en rgime linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Fonctionnement en rgime de saturation . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lamplicateur oprationnel rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . carts la
perfection des A.O. rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulations . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de la modulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Modulation damplitude . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Modulation de frquence . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.6
303 303 303 303 304 304 305 305 305 306 308 309 310 310 312 314
314 316 316 317 318 318 318 319 322
Conversions numrique-analogique et analogique-numrique . . . . .
. . . . . . . . . . . Gnralits sur la conversion . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Conversion numrique-analogique (CNA) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversion
analogique numrique (CAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
324 324 325 326
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 327 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 349
5. ONDES ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . quations dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagation unidimensionnelle (ondes planes) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersion . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes lectromagntiques dans
le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . quations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proprits des ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtection des ondes
centimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Ondes lectromagntiques dans la matire .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
quations de Maxwell dans les milieux matriels . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions de passage . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Exemples de milieux matriels . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Rexion et transmission (incidence normale) . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde basse
frquence dans un mtal. paisseur de peau . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Ondes acoustiques dans un uide parfait . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation dondes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 384 384 386 386 386
388 390 390 391 391 392 393 395 397 397 398
Impdance acoustique caractristique (ou itrative). Rexion,
transmission (incidence normale) . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 399 Ultrasons . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 399
Leffet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . La source S et le rcepteur R ont des mouvements colinaires . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas gnral non relativiste . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Londe se rchit sur R avant dtre capte par S
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effet
Doppler relativiste. Dcalage vers le rouge . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400 400 401 401 403
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 404 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 425
6. OPTIQUE GOMTRIQUE ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 459Lois de Descartes. Stigmatisme . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Image dun point objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplantisme.
Grandissement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .SOMMAIRE
460 460 460 460 461 461 4627
Loptique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conditions de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lments
cardinaux dun systme centr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Dioptres . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Lentilles. Doublets . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Qualits des instruments doptique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Grandissement linaire g . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Puissance P (pour loupes et microscopes) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grossissement G . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Pouvoir sparateur. Limite de
rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Fibres saut dindice . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Fibres gradient dindice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibres
multimodes. Fibres monomodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersion . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Pertes. Coefcient dattnuation
linique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Matriau utilis. Procd de fabrication . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Utilisation et intrt des bres optiques . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complments . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Miroirs . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rtroprojecteur . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grandeurs photomtriques .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Lil . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
462 462 463 465 466 471 471 471 473 474 475 477 478 478 479 480
481 481 482 482 482 483 484 485
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 486 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 501
7. OPTIQUE ONDULATOIRE (Nicolas Billy) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 531 Description dune onde
lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 533Onde lectromagntique monochromatique plane,
polarise rectilignement, dans le vide . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde lectromagntique
monochromatique plane dans un milieu dindice n . . . . . . . .
Amplitude complexe et intensit de londe lumineuse . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques ordres de grandeur . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
La polarisation de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lumire
polarise : polarisation linaire, circulaire, elliptique . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Polariseur, loi de Malus . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Cohrence temporelle . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Un modle simple de cohrence temporelle . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques
ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lumire naturelle (ou
non polarise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Coefcients de rexion et de transmission (
incidence normale). . . . . . . . . . . . . . Coefcients de rexion
et de transmission de lamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Coefcients de rexion et de transmission de lnergie . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
533 535 536 537 538 538 539 540 541 543 543 544 544 545
Les trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mthode de calcul des dphasages en optique physique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Intensit des interfrences
lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Description de la gure dinterfrences,
interfrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques variations sur le thme trous de Young . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Observations des interfrences
de type trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Interfrences non localises et interfrences localises . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interfrences par division
damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Franges dgale inclinaison . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Franges dgale paisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interfromtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interfromtre deux ondes (ou interfromtre faisceaux spars) . . . . .
. . . . . . . . . . Interfromtre ondes multiples (ou de
Fabry-Perot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quest ce que la
diffraction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de Huygens Fresnel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Validit du principe de Huygens Fresnel . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diffraction de Fresnel et diffraction de Fraunhofer . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction linni par une
fente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Diffraction par une fente innie claire sous
incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction
par une fente innie claire sous incidence oblique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Diffraction linni par une ouverture rectangulaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction par
une ouverture circulaire, limite de rsolution des instruments
doptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Diffraction linni par une ouverture circulaire . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite de rsolution
dun instrument doptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Diffraction linni par deux crans complmentaires,
thorme de Babinet . . . Processus dinteraction entre la matire et
le rayonnement. mission stimule . . Rappels . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Description qualitative des
processus dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Description quantitative : mission spontane . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description
quantitative : absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description quantitative :
mission stimule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
546 547 547 548 550 551 560 561 562 562 565 568 568 569 572 572
573 573 574 575 575 577 578 581 581 582 584 584 584 586 587 589
590
quilibre thermodynamique, rayonnement du corps noir, relations
entre coefcients dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 591
Principes de fonctionnement dun laser . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cavit optique . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Milieu amplicateur . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Proprits du rayonnement mis par
un laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
592 593 594 596
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 598 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 610
8. THERMODYNAMIQUE (Aude Plaszczynski) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 635 Vocabulaire et dnitions . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 637 Notion de systme thermodynamique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 637SOMMAIRE
9
tat dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
Transformations dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 Variables
dtat communment utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 638
Gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Dnition et quation dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mlange de
gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformations dun
gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Quelques proprits des corps purs . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Coefcients thermolastiques . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramme dtat (P; T ) dun corps pur . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramme (P; V ) . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas particulier de leau . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Premier principe de la thermodynamique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Notion dnergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition
nergtique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le premier principe de la
thermodynamique (pour les systmes ferms) . . . . . . . . . . . .
Notion denthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul
du travail chang par un systme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition du travail . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Diffrents types de transformations . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Travail des forces de pression pour une transformation
quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . Exemples de calcul du
travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Calcul de la chaleur change par un
systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Coefcients calorimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chaleur
change par des solides ou des liquides . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Chaleur change par un gaz parfait .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Changements de phase . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dtentes de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dtente de Joule-Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtente de
Joule-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Second principe de la
thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Notion dentropie, nonc du second principe . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diffrentielle de lentropie ; application au cas du gaz parfait . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilan entropique . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammes entropiques . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Relations fondamentales. Ingalit de Clausius . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffrents
types de machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Rendement et efcacit des
machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Exemples de fonctionnement de machines frigoriques . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moteurs de Carnot . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorie cintique des gaz
parfaits monoatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Les bases de la thorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
639 639 639 640 640 640 641 641 642 642 642 643 643 644 646 646
647 647 647 648 648 648 649 651 652 652 653 653 653 654 655 657 658
659 659 660 661 662 662 663
Proprits du gaz parfait : interprtation microscopique de la
pression et de la temprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 664 Loi de distribution de Maxwell . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 667
10
Transferts thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aspects phnomnologiques de la diffusion thermique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Flux de chaleur . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Loi de Fourier . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Les quations de la diffusion thermique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
669 669 670 670 671
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 673 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 686
9. PHYSIQUE MODERNE (Marie-Alix Duval) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 703Dualit onde-corpuscule . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Phnomnes ou expriences classiquement
inexplicables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dualit onde-corpuscule en lectromagntisme . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Gnralisation de la dualit
onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Un peu de relativit restreinte . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cinmatique des ractions du type 1(12) 3 1 4 1 5 1 . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Le noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Radioactivit . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 704 704 709 709 710 710 712 714 714 715
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 716
10. ASTRONOMIE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lastronomie . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repres historiques . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Domaines dtude . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Mouvements apparents. Les observations . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le mouvement diurne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mouvements
apparents du Soleil et de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Les phases de la Lune . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Les clipses de Soleil et de Lune . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . Mouvements apparents des plantes . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temps et
calendrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Origine
astronomique des units de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Valeur des units . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Le jour . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Remarques importantes sur le
vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Les chelles dans lUnivers . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Units de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallaxe
stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le Systme
solaire lchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtermination des distances
de la Lune et du Soleil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . La distance Terre-Lune . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La distance Terre-Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.SOMMAIRE
733 735 735 735 735 736 737 738 739 740 741 742 742 743 744 745
745 745 747 748 750 750 75111
Mesure de la Terre par ratosthne . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Copernic et le
modle hliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Les priodes sidrales . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Les distances au Soleil . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Modle gocentrique et modle hliocentrique . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La gravitation
universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aspect historique de
la dcouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Newton et la force centrale . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Newton, la pomme et la Lune . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masse dinertie et masse gravitationnelle . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masse de la Terre .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les mares . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Attraction
diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le marnage . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rythme des mares . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Inuence du Soleil . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Ralentissement de la rotation de la Terre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Priode de rotation de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lunettes
et tlescopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . volution
historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clart dun
instrument (lunette ou tlescope) . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Pouvoir sparateur . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Radiotlescopes . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Dcouvertes de Newton (1670) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principes de lanalyse spectrale (1859) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effet
Doppler-Fizeau (1848) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuclosynthse
stellaire et vie des toiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Les ractions nuclaires . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . volution dune toile . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Abondance des lments dans lUnivers . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques lois
du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
752 754 754 755 756 757 757 758 759 759 759 759 759 761 761 761
762 763 765 765 767 767 767 768 768 769 769 770 770 771 771 771
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 772 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 781
A. RAPPELS MATHMATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formules de trigonomtrie . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Moyenne dune fonction priodique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques relations utiles danalyse vectorielle . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
797 797 798 798 799
12
C h a p i t r e
1
McaniqueLes notes de cours de ce chapitre rappellent les grands
principes et thormes indispensables pour passer le concours du
CAPES et enseigner la physique en lyce et collge. Elles attirent
dautre part lattention sur certains points prcis dont lexprience
montre quils posent souvent des problmes aux tudiants. Elles
doivent tre conues comme un guide pour les rvisions. Leur contenu
doit tre connu avec prcision avant daborder les exercices et
problmes qui en permettront lassimilation. Les exercices et
problmes ont t slectionns de manire constituer un ensemble
pdagogiquement cohrent : ils recouvrent une trs large partie du
contenu du programme, et requirent lutilisation de la plupart des
mthodes mises en oeuvre pour rsoudre les problmes de mcanique.1.
Dynamique du point matriel 1.1. Grandeurs cintiques fondamentales
1.2. Principe de linertie ; rfrentiels galilens (1re loi de Newton)
1.3. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels galilens (2e
loi de Newton) 1.4. Principe des actions rciproques (3e loi de
Newton) 1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des
rfrentiels non galilens 1.6. Thorme du moment cintique 1.7. Thorme
de lnergie cintique 1.8. Interactions conservatives. nergie
potentielle, nergie mcanique 1.9. Forces centrales 2. Oscillateur
harmonique une dimension. Oscillations libres 2.1. Mouvement dune
particule au voisinage dune position dquilibre stable 2.2.
Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti 2.3. Oscillateur
harmonique unidimensionnel amorti par frottement uide 2.4. Aspect
nergtique 3. Oscillations forces : loscillateur harmonique
entretenu ; rsonance 3.1. Recherche du rgime permanent 3.2.
Comportement de la rponse en amplitude en fonction de la frquence
3.3. Aspect nergtique 4. Mcanique des systmes 4.1. Prliminaire 4.2.
Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique13
1. MCANIQUE
4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.
Quantit de mouvement Moment cintique nergie cintique.
Conservation de lnergie Thormes de Koenig Rduction canonique du
problme deux corps
5. Mcanique du solide indformable 5.1. lments de cinmatique du
solide 5.2. Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie
5.3. Solide en rotation autour dun axe xe 5.4. Moments dinertie
connatre 5.5. Thorme de Huygens 5.6. Contact entre solides.
Frottement de glissement, lois de Coulomb 5.7. Roulement sans
glissement 6. Statique des uides 6.1. Notion de pression 6.2. Loi
fondamentale de lhydrostatique 6.3. Thorme dArchimde
14
1. DYNAMIQUE DU POINT MATRIEL1.1. Grandeurs cintiques
fondamentalesPour un point matriel M, de masse m, anim dune vitesse
par rapport un rfrentiel R donn, on v dnit les grandeurs cintiques
suivantes : * Quantit de mouvement :O M
p
p = m v* Moment cintique en un point A :
R
= AM sA p(moment en A de la quantit de mouvement). * nergie
cintique : Ec = 1 2 mv 2
1.2. Principe de linertie ; rfrentiels galilens (1re loi de
Newton)Principe : Il existe des rfrentiels privilgis, appels
galilens, dans lesquels la quantit de mouvement dune particule
isole est constante (cela correspond soit au repos, soit au
mouvement rectiligne uniforme).
Cette loi fait des droites des objets cinmay1 y2 tiques
privilgis. Ce sont aussi des objets gomtriques privilgis (dans un
espace euclidien). Les rfrentiels galilens sont en translaV x1 x2
O1 O2 tion rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
Loprateur qui permet R1 R2 z1 z2 de passer dun rfrentiel un autre
est la transformation de Galile G(V ). Elle contient lhomognit et
lisotropie de lespace ainsi que luniformit du temps. La vitesse de
propagation de linformation est suppose innie. Dans lhypothse o R2
est en translation rectiligne uniforme de vitesse V par rapport R1
, dans la direction parallle Ox (Fig. ci-dessus), la relation1.
MCANIQUE
15
entre les deux rfrentiels scrit (dans les repres dnis par les
origines O1 , O2 et les trois axes de directions xes associs) : x1
1 0 0 V x2 y1 0 1 0 0 y2 = z1 0 0 1 0 z2 0 0 0 1 t1 t2
Matriciellement, cette relation scrit :
[X1 ] = G( V ) [X2 ]Il est facile de montrer que lensemble
structure de groupe :
G( V )
des transformations de Galile a une
G( V ) G( V ) = G( V " )
o V = V 1 V
Les lois de la mcanique classique sont invariantes dans les
transformations du groupe de Galile.
1.3. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels galilens
(2e loi de Newton)Principe : Dans un rfrentiel galilen, la drive de
la quantit de mouvement dun point matriel par rapport au temps est
gale la somme des forces quil subit.
dp dt
=Rgal
f
Dans un autre rfrentiel galilen, le principe fondamental appliqu
ce point scrit exactement de la mme faon, puisque deux rfrentiels
galilens ne sont pas acclrs lun par rapport lautre. a f Dans le cas
o la masse du point est constante, ce principe scrit m =
1.4. Principe des actions rciproques (3e loi de Newton) Principe
: Si un point matriel 1 exerce sur un point matriel 2 une force F12
, alors le point matriel 2 exerce sur 1 une force oppose F21 =
F12
Cette loi suppose une transmission instantane de linformation.
Ainsi, le principe des actions rciproques nest-il plus valable dans
le cadre de la thorie de la relativit restreinte.16
1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentiels
non galilens R2 est en translation par rapport R1 (translation non
rectiligne uniforme).Principe : Le principe fondamental de la
dynamique dans R2 non galilen scrit :y1 y2 M
dp dt
O1
x1
O2
x2
=R2
f 1 fie (M)z1 R1 Galilen z2 R2 en translation non rectiligne
uniforme par rapport R1
fie (M) est la force dinertie dentranement du point M due
lacclration de R2 par rapport R1 galilen.
Dans le cas dune translation, lacclration dentranement du point
M ne dpend ni de sa position par rapport R2 ni de sa vitesse par
rapport R2 et on a :
fie (M) = m (M) = m (R2 /R1 ) = m ae a
d2 O1 O2 dt 2
o (R2 /R1 ) est lacclration de R2 dans sa translation par
rapport R1 . a R2 est en rotation autour dun axe par rapport
R1Principe : Le principe fondamental de la dynamique dans R2 non
galilen scrit :R1 z 1 H M y2 O y1
dp dt
z2
=R2
f 1 fie (M) 1 fic (M)
o fie (M) est la force dinertie dentranement du point M due la
rotation de R2 par rapport R1 galilen et fic (M) la force dinertie
de Coriolis du point M.
x1 R2 x2
Lacclration dentranement du point M comporte deux termes
dpendant de la position de M dans R2 . Lun dentre eux est la cause
de la clbre force dinertie centrifuge, lautre nintervient que si la
rotation de R2 par rapport R1 est non uniforme. Si V (R2 /R1 )1.
MCANIQUE
17
dsigne le vecteur rotation (ici parallle Oz1 ) de R2 par rapport
R1 , on a :
fie (M) = m (M) = ae
mV HM
2
d V (R2 /R1 ) m OM dt
force dinertie centrifuge (en mV2 r) o H est le projet
orthogonal de M sur Oz1 Lacclration de Coriolis du point M dpend de
la vitesse de M dans le rfrentiel entran R2 , 2 (M) vR fic (M) = 2m
V (R2 /R1 ) vR2 (M)
1.6. Thorme du moment cintiqueThorme : La drive par rapport au
temps du moment cintique du point matriel M en un point xe O dun
rfrentiel galilen est gale la somme des moments en ce point des
forces subies par M : d O s = MO ( f ) o MO ( f ) = OM f dt
Rgal
Pour utiliser le thorme du moment cintique dans un rfrentiel non
galilen, il faut ajouter la somme des moments les moments des
forces dinertie dentranement et de Coriolis, soit OM fie (M) et OM
fic (M).
1.7. Thorme de lnergie cintique Cas dun rfrentiel galilenThorme
: Dans un rfrentiel galilen, la variation dnergie cintique du point
M entre deux instants t1 et t2 est gale la somme des travaux des
forces subies par M entre ces deux instants. W12 ( f ) DEc = Ec2
Ec1 = o
M1 O Rgal
M2
W12 ( f ) =
M2 M1
f dOM
Si dsigne le vecteur vitesse de M, la puissance de la force f un
instant donn est : vdW P( f )= = f v dt
18
Il est utile de se rappeler quon peut calculer le travail en
intgrant la puissance de f entre deux instants : t2 W12 ( f ) = P (
f )dtt1
Cas dun rfrentiel non galilen : il faut ajouter la somme des
travaux des forces, les travaux des forces dinertie
dentranement.Remarque : la force dinertie de Coriolis ne travaille
pas, puisquelle est chaque instant normale la vitesse du point dans
le rfrentiel entrain (sa puissance est toujours nulle) : P ( fic
(M)) = fic (M) vR2 (M) = 0, (t)
1.8. Interactions conservatives. nergie potentielle, nergie
mcanique Forces conservatives : une force est conservative si son
travail lors du dplacement du point matriel M dun point A un point
B ne dpend pas du chemin suivi. En particulier sur un contour ferm
quelconque : f dOM = 0, C, fermC
Il est alors facile de montrer quune force est conservative si
et seulement sil existe une fonction scalaire Ep (x, y, z), ne
dpendant que des coordonnes despace, telle que : f (x, y, z) =
gradEp (x, y, z) On a alors WAB ( f ) = Ep (A) Ep (B) Lnergie
potentielle Ep (x, y, z) nest pas, tant donn un champ de forces,
dnie de faon univoque, mais une constante additive prs. On dit que
le champ de forces f drive dun potentiel. Etant donn un champ de
forces f , il est donc conservatif si rot( f ) = 0 Conservation de
lnergie mcanique : en appliquant le thorme de lnergie cintique,
dans le cas o les forces drivent toutes dun potentiel, on montre
que :Thorme : Lnergie mcanique Em = Ec 1 Ep dune particule soumise
uniquement des forces conservatives ne dpend pas du temps : dEm =0
dt
Il est important de remarquer que cette proprit reste vraie si
la particule est aussi soumise des liaisons (forces de contact avec
une surface ou une courbe) condition que celles-ci ne travaillent
pas. Cest en particulier le cas en labsence de frottements, mais
aussi lorsquon a des frottements latraux, de rsultante orthogonale
la vitesse tout instant.1. MCANIQUE
19
1.9. Forces centralesUn point matriel M est soumis une force
centrale de centre O si la droite daction de cette force passe par
O quelle que soit la position de M. Une telle force drive dune
nergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de
force sont orthogonales ur ur aux surfaces dgale nergie
potentielle) de sorte quon lcrit F = f (r) , o est le dEp . vecteur
unitaire radial des coordonnes sphriques, avec f (r) = drProprits :
Soit un point matriel M soumis uniquement une force centrale de
centre O. On observe les proprits suivantes : Le moment cintique en
O (M) du point matriel est conservatif. s
Le mouvement de M seffectue donc dans un plan perpendiculaire O
(M) et passant par O. s On le dcrira de manire pratique en
coordonnes polaires.
O
Le mouvement de M obit la loi des aires : pendant une dure Dt
donne, le rayon vecteur OM balaie des aires gales, quelle que soit
la position de M. Lnergie mcanique du point M dans un champ de
forces central F = f(r) ur est conservative.
Compte tenu de la conservation du moment cintique, on peut
passer des expressions gnrales de la vitesse et de lacclration en
coordonnes polaires (r, u) des relations ne faisant plus intervenir
le temps ; ce sont les formules de Binet. En dnissant la constante
s des aires C par O (M) = mC, on a C = r 2 , et : 1 d2 2 2 2 1 d 1
r = C 1 1 1 a ur v2 = C2 2 r 2 r du r r du
Voir exercices 1 15
2. OSCILLATEUR HARMONIQUE UNE DIMENSION. OSCILLATIONS LIBRES2.1.
Mouvement dune particule au voisinage dune position dquilibre
stableUne position dquilibre stable pour une particule place dans
un champ de forces drivant dune nergie potentielle se dnit par
lexistence dune force de rappel lorsquon lcarte de cette position ;
comme F = grad(Ep ), cela se traduit par un minimum de lnergie
potentielle. Dans le cas gnral multidimensionnel, ltude des
positions dquilibre et de leur stabilit peut tre difcile car les
surfaces quipotentielles peuvent avoir une topologie complique
(points selles,... )20
2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amortiLhypothse
harmonique suppose que la rponse est linaire : la force de rappel
est proportionnelle au dplacement x de la particule par rapport sa
position dquilibre stable. Lnergie potentielle est donc quadratique
par rapport aux dplacements. tude dynamique : une dimension Fx =
kx, o x repre le dplacement de la particule par rapport lquilibre,
est la seule force quelle subit. Le principe fondamental de la
dynamique conduit une quation diffrentielle linaire du second ordre
coefcients constants : 2 dx 1 v2 x = 0 0 dt 2 k La solution gnrale
peut scrire x(t) = a sin(v0 t 1 f) o v2 = . v0 est la pulsation 0 m
propre de loscillateur ; a et f dpendent de deux conditions
initiales. Les oscillations dun oscillateur harmonique non amorti
sont isochrones : leur pulsation ne dpend pas de lamplitude du
mouvement. Aspect nergtique : lnergie mcanique dun oscillateur
harmonique non amorti est 1 1 une intgrale premire du mouvement. Em
= mv2 1 kx2 est constante, proportionnelle 2 2 1 au carr de
lamplitude des oscillations et au carr de la pulsation : Em = ma2
v2 0 2 Un oscillateur harmonique ne possde que des tats lis : deux
barrires de potentiel le connent dans une rgion nie de
lespace.Thorme du viriel : Lnergie cintique et lnergie potentielle
de loscillateur harmonique sont oscillantes, de priode gale T0 /2.
Leurs moyennes temporelles sont gales.
2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par
frottement uide Aspect dynamique ; mise en quation : en plus de la
force de rappel Fx = kx, la particule est soumise une force de
frottement uide f = h (h > 0). Lquation v diffrentielle du
mouvement scrit :1 dx dx 1 v2 x = 0 1 0 2 dt t dt2
o
v2 = 0
k m
et
1 h = t m
v0 est la pulsation propre de loscillateur et t correspond
physiquement un temps de relaxation ; cest le temps caractristique
du rgime libre. Lorsquon carte le systme de lquilibre et quon le
lche, il revient sa position dquilibre et au repos aprs quelques t
.
Solutions de lquation diffrentielle ; reprsentation complexe :
lquation caractristique associe lquation diffrentielle est r 2 1
(1/t)r 1 v2 = 0 0 La forme des solutions de lquation diffrentielle
dpend du signe de D = 1/t2 4v2 01. MCANIQUE
21
Si D > 0 (2v0 t < 1), soit (h > 2 mk), le rgime est
apriodique : amortissement assez important. Lquation caractristique
a 2 racines relles ngatives distinctes r1 et r2 . La solution
gnrale scrit :x(t) = a exp(r1 t) 1 b exp(r2 t) La particule
retourne sa position dquilibre sans effectuer doscillations. Il est
important de remarquer que le fait que les racines soient ngatives
assure le retour lquilibre (la limite de la vitesse lorsque t tend
vers linni est zro). Si D < 0 (2v0 t > 1), soit (h < 2
mk), le rgime est oscillatoire : amortissement assez faible.
Lquation caractristique a deux racines complexes distinctes c1 et
c2 partie relle ngative ; la solution gnrale complexe scrit : X (t)
= a exp(c1 t) 1 b exp(c2 t). Llongation est alors la partie relle
(note x) de X ; il apparat naturellement dans le calcul la
pulsation V= On crit la solution : x(t) = exp(t /2t)(a cos Vt 1 b
sin Vt) La particule retourne sa position dquilibre en effectuant
des oscillations dont lamplitude dcrot exponentiellement, avec un
temps caractristique de lordre de 2t ; bien que la fonction x(t) ne
soit pas priodique, on remarque quelle sannule des intervalles de
temps gaux permettant de dnir une pseudo-priode T = 2p/V. La
pseudo-priode des oscillations amorties est toujours un petit peu
plus leve que la priode propre, mais en reste trs proche dans la
limite de lamortissement faible. Le dcrment logarithmique d
caractrise la rapidit de lamortissement ; cest le rapport entre les
deux temps caractristiques qui apparaissent naturellement dans
lquation diffrentielle, savoir la priode propre et le temps de
relaxation. Lamplitude des oscillations dcrot dautant plus vite que
d est lev. x(t 1 T )/x(t) = exp(T /2t) et d = T /2t v2 1/4t2 0
Le rapport des amplitudes des oscillations espaces dune
pseudo-priode est une constante gale exp(d). Si D = 0 (2v0 t = 1),
(soit h = 2 mk), le rgime est critique : cest le rgime qui assure
la transition entre le rgime apriodique et le rgime oscillatoire.
La solution gnrale scrit : x = (at 1 b) exp(t /2t) La particule
retourne sa position dquilibre sans effectuer doscillations. Il est
facile de montrer que, pour des conditions initiales et pour v0 et
t xs, le temps que met la particule pour retourner lquilibre est
alors minimal.22
2.4. Aspect nergtique partir de lquation diffrentielle, on
multiplie chaque membre par x, et on intgre entre t1 et t2 : x
m(t)x(t) 1 kx(t)x(t) = hx(t)2 E(t2 ) E(t1 ) =t2 t1
f v dt =
t2 t1
hx(t)2 dt
Lnergie mcanique dun oscillateur harmonique amorti diminue au
cours du temps : la variation dnergie mcanique du systme entre deux
instants est gale au travail de la force de frottement entre ces
deux instants. Voir exercices 16 17
3. OSCILLATIONS FORCES : LOSCILLATEUR HARMONIQUEENTRETENU ;
RSONANCE
Loscillateur harmonique entretenu est soumis de plus une force
extrieure priodique et sinusodale F(t) de priode T .
3.1. Recherche du rgime permanent une dimension, le principe
fondamental de la dynamique conduit une quation diffrentielle
linaire du second ordre coefcients constants. La solution gnrale
est la somme de lintgrale gnrale de lquation sans second membre et
dune intgrale particulire de lquation avec second membre : 1 (t) 1
x(t) 1 v2 x(t) = F(t)/m x 0 t La solution gnrale de lquation sans
second membre se caractrise par le fait que sa limite tend vers 0
lorsque t tend vers linni, quel que soit le rgime transitoire ;
dans la pratique, cette solution scrase sur un temps caractristique
de quelques t. Cela sous-entend videmment, que le frottement uide
nest pas nul. F(t) tant une excitation sinusodale, on est amen
chercher une rponse sinusodale z(t) de mme frquence. On utilise la
reprsentation complexe (x = Re(z)) : 1 (t) 1 z(t) 1 v2 z(t) = f0 /m
eivt => z(t) = z0 eivt z 0 t avec z0 = 1 f0 3 2 2 ) 1 iv/t m (v0
v
1. MCANIQUE
23
En rgime permanent, loscillateur rpond la frquence xe par
lexcitateur. Lamplitude de la rponse est proportionnelle lamplitude
de lexcitation (rponse linaire). Lamplitude de la rponse dpend des
caractristiques intrinsques de loscillateur (v0 , t) et de la
frquence v de lexcitateur . La rponse prsente en gnral un dphasage
avec lexcitation. On peut dnir la rponse en vitesse par z = v0
exp(ivt), o v0 = ivz0 : v0 = iv f0 3 2 m (v0 v2 ) 1 iv/t
3.2. Comportement de la rponse en amplitude en fonction de la
frquence Le phnomne de rsonance en amplitude Avertissement : Il
importe de remarquer que le titre est entre guillemets. On dit quil
y a rsonance lorsque la puissance cde par lexcitateur loscillateur
est maximale ; cela se produit lorsque la frquence de lexcitateur
est rigoureusement gale la frquence propre de lexcitateur. La mise
en vidence du phnomne de rsonance proprement dit ncessite ltude de
la rponse en vitesse ; on ne peut donc pas en toute rigueur parler
de rsonance en amplitude . z0 (v) = ( f0 /m).Fa (v) conduit : |Fa
(v)| =1 (v2 v2 )2 1 (v/t)2 0 et tan f(v) = v /t v2 v2 0
o f est le dphasage entre la force excitatrice F(t) et la rponse
en amplitude x(t). La seule donne de tan f(v) ne suft pas dterminer
la phase f(v). Pour la dterminer, on peut remarquer que largument
de Fa (v) est ngatif. Si loscillateur est assez faiblement amorti
Fa 1 (pour v0 t > ) lamplitude de la rponse 2 Fa,max prsente un
maximum pour une pulsation Fa,max excitatrice vm lgrement infrieure
la pul2 >>1 sation propre v0 de loscillateur ; la force 1
excitatrice est alors en avance de un peu < 1 moins de p/2 sur
le dplacement. On a2
vm =
v2 1/2t2 0
m
Rponse basse frquence : dans la limite des basses frquences, la
force excitatrice est pratiquement en phase avec le
dplacement.24
Rponse haute frquence : dans la limite des hautes frquences, la
rponse tend vers 0 comme 1/v2 (loscillateur n a pas le temps de
rpondre cause de son inertie). La force est pratiquement en
opposition de phase avec le dplacement. Acuit de la rsonance en
amplitude : dans la limite dun amortissement nettement 1) vm est
trs voisin de v0 et lacuit de la rsonance en amplitude est faible
(v0 t caractrise par une largeur de bande passante telle que :Dva =
1/t La rsonance en amplitude, lorsquelle existe est dautant plus
troite que lamortissement est faible. Il en va de mme pour la
rsonance dnie par la vitesse la diffrence quelle nexiste pas
toujours.
Principe de causalit : les effets ne peuvent prcder les causes.
Cela se manifeste ici par le fait que la rponse en amplitude est
toujours en retard de phase sur la force excitatrice.
3.3. Aspect nergtique Bilan instantan : lnergie cintique et
lnergie potentielle sont des fonctions priodiques, de priode T /2
dont lamplitude dpend du module de la fonction de rponse. Lnergie
mcanique est en gnral dpendante du temps. Ce nest que dans le cas o
la frquence de lexcitateur est gale la frquence propre de
loscillateur que la puissance instantane quil lui fournit est gale
la puissance instantane dissipe par lamortissement. Puissance
moyenne absorbe : rsonance. La puissance moyenne absorbe est la
grandeur moyenne effectivement accessible la mesure.PT (v)
=
1 T
T
p(t)dt =0
f02 t 2m
1 v2 0
v2 v /t
2
11
La puissance moyenne absorbe par loscillateur a un prol
frquentiel Lorentzien. Elle est maximale lorsque la frquence de
lexcitateur est gale (rigoureusement) la frquence propre de
loscillateur ; la bande passante en puissance (largeur totale
mi-hauteur de P T (v)) est telle que : DvP
3t=1
Le facteur de qualit Q ne dpend que des caractristiques de
loscillateur et rend compte de lacuit de la rsonance : v0 v0 t Q=
Dv P Voir exercices 16 17
1. MCANIQUE
25
4. MCANIQUE DES SYSTMESLes dnitions et thormes tels quils sont
noncs ici sont valables aussi bien pour des solides indformables
que pour des systmes dformables.
4.1. PrliminaireAu sens classique, un systme S peut tre dni
comme un ensemble de points matriels Mi , chacun tant affect dune
masse mi . Le passage des distributions continues de masse simpose
souvent lorsque lon calcule les grandeurs mcaniques (moments
dinertie ou positions de centres de gravit,...). Il est cependant
plus pratique de retenir les dnitions sous forme discrte et facile
de retrouver rapidement tous les thormes de la mcanique des systmes
en utilisant des sommes discrtes plutt que des intgrales. Le
passage du discret au continu pour une grandeur mcanique A
seffectue en remplaant : A(Mi )mii
par
A(M)dm.
4.2. Centre dinertie ; rfrentiel barycentriqueLe centre dinertie
G du systme matriel S, de masse totale m est dni par : mi OMi Mi S
OG = m OMdm S dans le cas dune distribution continue. ce qui peut
scrire OG = m La position de G ne dpend pas du choix de O. Si la
distribution de masse du systme prsente des symtries (plans, axes),
G est lintersection de ses lments de symtrie. Pour dterminer les
lments de symtrie de S, lexamen de la forme gomtrique ne suft pas.
Il faut penser lhomognit de la distribution de masse. Le rfrentiel
barycentrique (Rba ) associ R a son origine en G et est en
translation (gnralement non rectiligne) par rapport R ; les axes du
repre barycentrique sont tout instant parallles aux axes de R.Rba
Rba O R Instant t1 Instant t2 G G
26
4.3. Quantit de mouvementDnition : La quantit de mouvement du
systme S dans le rfrentiel R est :
p (S/R) =Mi S
mi (Mi /R) v
Cette dnition nest gnralement pas utilisable directement pour
calculer des quantits de mouvement dans un problme de mcanique. Il
est donc crucial de se rappeler quil dcoule de la dnition de G la
relation trs utile :
p (S/R) = M (G/R) vLa dnition mme de Rba implique que la quantit
de mouvement dun systme est nulle tout instant dans le rfrentiel
barycentrique ( p (S/Rba ) = 0 ) ; cette proprit est utile pour
traiter des problmes de chocs. Principe de linertie : diffrents
noncs peuvent en tre donns. ce titre-l, il est intressant de se
reporter louvrage dIsaac Newton De philosophiae naturalis principia
mathematica paru en 1687.Principe : Dans un rfrentiel galilen, la
quantit de mouvement dun systme isol est constante.
Il importe de bien avoir prsent lesprit que cela signie que G
est soit au repos, soit en mouvement rectiligne et uniforme, et que
le systme peut se dformer et tourner autour de G Thorme du centre
dinertie (ou rsultante cintique)Thorme : Le mouvement du centre
dinertie dun systme est le mme que celui dun point matriel dont la
masse totale serait celle du systme et auquel seraient appliques
toutes les forces extrieures. d p (S/Rgal ) = Fext dtRgal
Dans le cas o R nest pas galilen, il faut ajouter la somme des
forces extrieures, les forces dinertie dentranement et de Coriolis
(il faut en gnral intgrer sur la totalit du systme pour les
calculer).
4.4. Moment cintiqueDnition : Le moment cintique en un point
quelconque A, du systme S par rapport R est : (S/R) = s AM m (M /R)
vA i i i Mi S
1. MCANIQUE
27
Le moment cintique dpend du point o on le calcule et se
transforme comme un torseur : (S/R) = (S/R) 1 (S/R) sA sB AB p
Thorme du moment cintique : il nest applicable sous sa forme
simple quen un point xe dun rfrentiel galilen ou au centre
dinertie. Point xe O de Rgal : On a souvent intrt lutiliser sous
cette forme si O appartient S.Thorme : La drive galilenne par
rapport au temps du moment cintique dun systme en un point xe O dun
rfrentiel galilen est gale la somme des moments en ce point des
forces extrieures appliques. d O (S/Rgal ) s = MO (Fext ) dt
Rgal
Au centre dinertie G : puisque Rba est en translation par
rapport R, le moment cintique en G est le mme dans R et dans Rba .
dG (S) s MG (Fext ) = dt
Forme scalaire : le thorme du moment cintique peut se rduire une
relation scalaire dans le cas o le mouvement se fait par rapport un
axe xe D, ou un axe dont la u direction reste xe. Le vecteur
unitaire dnissant la direction de cet axe : u s (S/R ) = s (S/R ) D
gal A gal
A G
Rgal
u
et lapplication du thorme du moment cintique en A se ramne : dsD
(S/Rgal ) dt
=Rgal
MD (Fext )
u sA u sD = et MD ( F ) = MA ( F ) dnissent respectivement le
moment cintique et le moment scalaire des forces par rapport laxe
D.
4.5. nergie cintique. Conservation de lnergieDnition : Lnergie
cintique du systme S par rapport R est : Ec (S/R) =Mi S
1 mi v2 (Mi /R) 2
28
Thorme : La variation dnergie cintique du systme S (dans Rgal )
entre deux instants t1 et t2 est gale la somme des travaux de
toutes les forces intrieures et extrieures appliques au systme
entre ces deux instants. Wt1t2 ( F ) EC2 (S/Rgal ) EC1 (S/Rgal )
=
Remarque : si R nest pas galilen, il faut ajouter le travail des
forces dinertie dentranement.Conservation de lnergie : Lnergie
totale dun systme S de points matriels se conserve si les forces
intrieures et extrieures quil subit drivent toutes dune nergie
potentielle ; chaque point matriel tant repr par ri , cette nergie
scrit : 1 Eint . ext ri ri E = EC 1 Ep p
Il importe de remarquer quen toute gnralit, cette expression de
lnergie prend en compte les interactions microscopiques, donc
lnergie interne du systme.
4.6. Thormes de KoenigCes thormes permettent de calculer le
moment cintique en un point quelconque par rapport R en fonction du
moment cintique en G et lnergie cintique dans R en fonction de
lnergie cintique dans Rba (S/R) = (S) 1 m (R) s s AG vA G G
1 vG Ec (S/R) = Ec (S/Rba ) 1 m 2 (R) 2
4.7. Rduction canonique du problme deux corpsOn dsigne par S un
systme de deux point matriels M1 et M2 de masses m1 et m2 en
interaction. Lnergie potentielle qui dcrit cette interaction est
invariante par translation de lensemble (donc elle dpend de la
seule diffrence de leurs positions = = M ) et par rotation de
lensemble (donc elle dpend de la seule r r1 r2 2 M1 r norme de ).
Le systme est suppos isol par rapport un rfrentiel galilen Rgal
.Proprits : Dans le rfrentiel barycentrique Rba , le mouvement de
chaque point matriel est un mouvement force centrale (de centre G).
Les deux quations traduisant la relation fondamentale de la
dynamique se ramnent dEp (r) r m1 m2 r d2 ur , o m = est la masse
rduite du systme et ur = . On dit que m 2 = dt dr m1 1 m2 r le
mouvement se ramne ltude du mouvement force centrale dune particule
dite ctive , de masse m. s r r Le moment cintique de S en G est G
(S) = m 1 2 r Lnergie cintique de S dans Rba est EC (S/Rba ) = m 2
Voir exercices 18 26
1. MCANIQUE
29
5. MCANIQUE DU SOLIDE INDFORMABLETous les thormes et dnitions de
la mcanique des systmes restent valables. De plus, le caractre
indformable du systme implique les proprits suivantes : La somme
des forces intrieures est nulle ; La somme des travaux des forces
intrieures est nulle.
5.1. lments de cinmatique du solideClassiquement, le solide
indformable est un ensemble de points matriels {Mi } tels que : (i,
j), Mi Mj = Cte. Il est alors facile de montrer que le champ des
vitesses dun solide est quiprojectif (antisymtrique), cest--dire
que : (A, B) Solide, AB VA = AB VB
VA A B
VB
Il sensuit que t, , (indpendant des v points du solide considr)
tel que : VA = VB 1 AB v est le vecteur rotation instantane du v
solide linstant t. Le champ des acclrations nest pas antisymtrique.
Si le solide est en translation, = 0 , t v Si le solide est
rotation autour dun axe xe, il ny a pas de translation par rapport
laxe et le vecteur rotation instantan conserve une uD direction xe,
de vecteur unitaire . On a du = o langle u repre la rotav uD dt
tion autour de laxe D ; un point M du solide a une trajectoire
circulaire, daxe D et sa vitesse v est V (M) = OM. Lacclration de M
scrit par consquent : (M) = v2 1 d v OM a MH dt
V (M)
H M
O
30
Le premier terme nest autre que lacclration centripte. Il est
utile de se rappeler que cest partir de cette expression que lon
crit lacclration dentranement dun point lors dun changement de
rfrentiel.
5.2. Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertieUn point
M est repr par ses coordonnes cartsiennes : x OM y G x z O OM y . M
R z V (S/R) tant le vecteur rotation instantan du solide S, il est
facile de montrer que le s moment cintique O (S/R) peut scrire :
(S/R) = J (O/S) (S/R) sO V Loprateur dinertie en O du solide S est
: Jxx (O) Jxy (O) Jxz (O) J (O, S) = Jxy (O) Jyy (O) Jyz (O) Jxz
(O) Jyz (O) Jzz (O) o Jxx (O), Jyy (O), Jzz (O) sont les moments
dinertie par rapport aux axes x x, y y, z z passant par O. Les
autres termes sont les produits dinertie (on peut les interprter
comme des moments dinertie par rapport des plans). dm tant la masse
de llment de matire innitsimal entourant M, les termes de la
matrice sont dnis par : Jxx (O) =S
(y2 1 z2 )dm xydmS
Jxy (O) =
Il importe de remarquer que lexpression de J (O, S) dpend de la
base dans laquelle les moments et produits dinertie sont calculs.
Les trois directions associes la base dans laquelle J (O, S) est
diagonale dnissent les axes principaux dinertie en O du solide S.
On montre que lnergie cintique est : Ec (S/R) =
1 (S/R) (S/R) sO V 2
Du point de vue des dimensions : Le moment cintique est homogne
: (moment dinertie) 3 (vitesse angulaire) Lnergie cintique est
homogne : (moment dinertie) 3 (vitesse angulaire)2 Les relations
telles quelles sont crites ci-dessus permettent de traiter le
mouvement dun solide autour dun point xe.1. MCANIQUE
31
5.3. Solide en rotation autour dun axe xeIl ne faut jamais
traiter un problme de rotation autour dun axe xe en utilisant
larsenal du paragraphe prcdent. En effet, il suft de projeter les
relations sur laxe, et le problme scrit totalement en termes
scalaires. Moment cintique scalaire par rapport laxe D :axe fixe
M
H
sD (S) = OD (S/R) s uavec v = du vitesse angulaire autour de
laxe dt D et JD moment dinertie du solide par rapport laxe D : JD
=S
R
O
r2 dm = J (O, S) u u
Le moment cintique du solide dans sa rotation autour de laxe est
: sD (S) = JD v Lnergie cintique du solide dans sa rotation autour
de D scrit : Ec (S) = 1 JD v2 2
Le thorme du moment cintique peut scrire au point xe O et se
projeter sur laxe. Il vient : d sD (S) = dt quil est plus pratique
dutiliser sous la forme : JD d 2u = dt 2
MD (Fext )
MD (Fext )
o la somme des moments est algbrique. Dans ces conditions, le
moment de la force par rapport laxe est scalaire. Si la direction
de cette force est perpendiculaire laxe de rotation, MD (Fext ) est
alors gale au produit, affect du signe convenable, de lintensit de
la force par le bras de levier.32
5.4. Moments dinertie connatreSolide Schma Moment dinertie
Sphre homogne de rayon R et de masse M. Axes passant par le
centre.
JD =
2 MR2 5
Cylindre homogne de rayon R et de masse M. Axe de rvolution.
JD =
1 MR2 2
Disque homogne de rayon R et de masse M. Axe de rvolution.
JD =
1 MR2 2
Anneau de rayon R et de masse M. Axe de rvolution.
JD = MR2
Tige de longueur l et de masse M. Axe perpendiculaire passant
par le centre dinertie.
G
JD =
Ml 2 12
1. MCANIQUE
33
5.5. Thorme de HuygensThorme : Le moment dinertie dun solide de
masse M et de centre dinertie G par rapport un axe D quelconque est
gal son moment dinertie par rapport un axe DG parallle D et passant
par G augment de M a2 o a est la distance entre les deux axes D et
DG : JD = JDG 1 M a2
Le moment dinertie par rapport D est toujours suprieur au moment
dinertie par rapport DG .a
G
G
5.6. Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de
CoulombOn distingue trois types de frottement lors du contact entre
deux solides : pivotement, roulement, glissement. Il est
indispensable de bien connatre les lois du frottement de
glissement. Frottement de glissement statique : lorsquun solide A
est en contact statique avec un solide B, le coefcient f de
frottement statique dnit le rapport entre la compos