TEORIA APROXIMARII Metode celor mai mici patrate Aproximare liniara Fie dat urmatorul set de date x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := y 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := Reprezentam grafic aceste date ca puncte in plan. 0 5 10 5 10 15 20 y x Construim polinomul Lagrange de interpolare si-l reprezentam grafic. m last x () := m 9 = L u () 0 m i 0 m j if j i ≠ u x j − x i x j − , 1 , ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎠ ∏ = y i ⋅ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎠ ∑ = := Metoda_celor_mai_mici_patrate_1.mcd / Pag. 1 din 5
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
TEORIA APROXIMARII
Metode celor mai mici patrate
Aproximare liniara
Fie dat urmatorul set de date
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
:= y
1.3
3.5
4.2
5.0
7.0
8.8
10.1
12.5
13.0
15.6
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
:=
Reprezentam grafic aceste date ca puncte in plan.
0 5 10
5
10
15
20
y
x
Construim polinomul Lagrange de interpolare si-l reprezentam grafic.
m last x( ):= m 9= L u( )
0
m
i 0
m
j
if j i≠u xj−
xi xj−, 1,
⎛⎜⎝
⎞
⎠∏=
yi⋅⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠∑=
:=
Metoda_celor_mai_mici_patrate_1.mcd / Pag. 1 din 5
t x0 x0 0.01+, xm..:=
0 5 10
5
10
15
20
y
L t( )
x t,
Se observa ca aceste puncte par a fi situate pe o dreapta.
Fie dreapta (cum se determina aceasta vom vedea mai jos) z v( ) 0.36− 1.538 v⋅+:=
Reprezentam grafic aceasta dreapta in acelasi sistem de axe.
0 5 10
5
10
15
20
y
L t( )
z t( )
x t, t,
Dupa cum se vede grafic se poate obtine o buna aproximare pentru setul de date folosindaceasta functie de gadul unu in locul polinomului Lagrange de gradul noua.
Metoda_celor_mai_mici_patrate_1.mcd / Pag. 2 din 5
Problema
1) Folosind metoda celor mai mici patrate aproximati setul de date folosind un polinom degradul unu.
2) Reprezentati grafic setul de date si polinomul de aproximare obtinut.
3) Determinati eroarea totala care se obtine folosind acest polinom de aproximare sicoeficientul de corelatie.
Solutie. Gradul polinomului de aproximare n 1:=
Indicele ultimei componente a vectorului x (sau y) m last x( ):= m 9=
Sumele nodurilor la diferite puteri p
k 0 2 n⋅..:= Sk0
m
i
xi( )k∑=
:= Sk1055
385
=
Matricea sistemului liniar din care se determina coeficientii polinomului
i 0 n..:= j 0 n..:= Mi j, Si j+:=
M10
55
55
385⎛⎜⎝
⎞⎠
=
Vectorul termenilor liberi a sistemului din care se determina coeficientii polinomului
bj0
m
i
xi( ) j yi⋅⎡⎣ ⎤⎦∑=
:= b81.0000
572.4000⎛⎜⎝
⎞⎠
=
Rezolvarea sistemului liniar M a⋅ b= a lsolve M b, ( ):=
Coeficientii polinomului de aproximare aj-0.361.538
=
Definim polinomul de aproximare P x( )
0
n
j
aj xj⋅( )∑
=
:=
Metoda_celor_mai_mici_patrate_1.mcd / Pag. 3 din 5
Reprezentarea grafica a polinomului de aproximare
0 5 10
5
10
15
20
y
P t( )
x t,
Erorile in fiecare punct
i 0 m..:=
yi P xi( )−0.1220.784
-0.055
-0.793
-0.331
-0.069
-0.307
0.555
-0.484
0.578
=
0 5 10
5
10
15
20
y
P x( )
x x,
Valoarea erorii totale facute prin folosirea acestui polinom de aproximare
E
0
m
i
yi P xi( )−( )2∑=
:= E 2.345=
Metoda_celor_mai_mici_patrate_1.mcd / Pag. 4 din 5
Calculul coeficinetului de corelatie.
Valoarea medie vm1
m 1+0
m
i
yi∑=
⋅:=
Suma abaterilor patratice de la valoarea medie
E0
0
m
i
yi vm−( )2∑=
:=
Coeficientul de corelatie rE0 E−
E0:= r 0.994=
Deoarece valoarea coeficientului de corelatie este apropiata de unu aproximarea facuta cupolinomul de aproximare de gradul unu (linia de regresie) este foarte buna.
Metoda_celor_mai_mici_patrate_1.mcd / Pag. 5 din 5
Nicolae Danet METODE NUMERICE
TEORIA APROXIMARII
Metode celor mai mici patrate
Aproximare parabolica
Fie dat setul de date x
0
0.25
0.50
0.75
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
:= y
1.0000
1.2840
1.6487
2.1170
2.7183
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟
⎠
:=
0 0.5 1
1
2
3
4
y
x
1) Folosind metoda celor mai mici patrate aproximati setul de date folosind un polinomde gradul doi.
2) Reprezentati grafic setul de date si polinomul de aproximare obtinut.
3) Determinati eroarea totala care se obtine folosind acest polinom de aproximare si coeficientulde corelatie.
Solutie. Gradul polinomului de aproximare n 2:=
Indicele ultimei componente a vectorului x (sau y) m last x( ):= m 4=
Sumele nodurilor la diferite puteri p
k 0 2 n⋅..:= Sk0
m
i
xi( )k∑=
:= Sk5
2.51.875
1.5631.383
=
Metoda_celor_mai_mici_patrate_2.mcd / Pag. 1 din 3
Nicolae Danet METODE NUMERICE
Matricea sistemului liniar din care se determina coeficientii polinomului
i 0 n..:= j 0 n..:= Mi j, Si j+:=
M
5
2.5
1.875
2.5
1.875
1.563
1.875
1.563
1.383
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Vectorul termenilor liberi a sistemului din care se determina coeficientii polinomului
bj0
m
i
xi( ) j yi⋅⎡⎣ ⎤⎦∑=
:= b
8.7680
5.4514
4.4015
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎠
=
Rezolvarea sistemului liniar M a⋅ b= a lsolve M b, ( ):=
Coeficientii polinomului de aproximare aj1.0050.8640.844
=
Definim polinomul de aproximare P x( )
0
n
j
aj xj⋅( )∑
=
:=
Reprezentarea grafica a polinomului de aproximare t x0 x0 0.1+, xm..:=
0 0.5 1
1
2
3
4
y
P t( )
x t,
Metoda_celor_mai_mici_patrate_2.mcd / Pag. 2 din 3
Nicolae Danet METODE NUMERICE
Valoarea erorii totale facute prin folosirea acestui polinom de aproximare
E
0
m
i
yi P xi( )−( )2∑=
:= E 2.741 10 4−×=
Calculul coeficinetului de corelatie.
Valoarea medie vm1
m 1+0
m
i
yi∑=
⋅:=
Suma abaterilor patratice de la valoarea medie
E0
0
m
i
yi vm−( )2∑=
:=
Coeficientul de corelatie rE0 E−
E0:= r 0.9999263907=
Deoarece valoarea coeficientului de corelatie este apropiata de unu aproximarea facuta cupolinomul de aproximare de gradul unu (linia de regresie) este foarte buna.
Metoda_celor_mai_mici_patrate_2.mcd / Pag. 3 din 3
Nicolae Danet METODE NUMERICE
TEORIA APROXIMARII
Metode celor mai mici patrate
Aproximare cubica. Alegerea polinomului de aproximare
Fie dat urmatorul set de date x
0
0.15
0.31
0.5
0.6
0.75
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
:= y
1
1.004
1.031
1.117
1.223
1.422
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
:=
0.5− 0 0.5 1
0.5
1
1.5
2
y
x
1) Folosind metoda celor mai mici patrate aproximati setul de date folosind polinome degradul unu, doi si trei.
2) Reprezentati grafic setul de date si polinoamele de aproximare.
3) Calculati eroarea totala si coeficientul de corelatie in fiecare caz.
Solutie.
Indicele ultimei componente a vectorului x (sau y) m last x( ):= m 5=
Cazul unu. Constructia polinomului de gradul unu n1 1:=
Sumele nodurilor la diferite puteri p
k 0 2 n1⋅..:= Sk0
m
i
xi( )k∑=
:= Sk6
2.311.291
=
Metoda_celor_mai_mici_patrate_3.mcd / Pag. 1 din 6
Nicolae Danet METODE NUMERICE
Matricea sistemului liniar din care se determina coeficientii polinomului
i 0 n1..:= j 0 n1..:= M1i j, Si j+:=
M16
2.31
2.31
1.291⎛⎜⎝
⎞⎠
=
Vectorul termenilor liberi a sistemului din care se determina coeficientii polinomului