24 CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ PHẦN 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ A - LÝ THUYẾT: I. HÀM BẬC 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d a > 0 a < 0 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ = b 2 – 3ac > 0 y x 0 I y x 0 I y’ = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆’ = b 2 – 3ac = 0 y’ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆’ = b 2 – 3ac < 0 y x 0 I y x 0 I • Hàm số có cực trị khi 0 3 ' 2 > − = ∆ ac b . • Hàm số không có cực trị khi 0 3 ' 2 ≤ − = ∆ ac b .
17
Embed
Cấp tốc chinh phục đề thi trắc nghiệm môn toán - chuyên đề đại số - Phần Bài tập
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
24
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
PHẦN3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ
A - LÝ THUYẾT:I. HÀM BẬC 3: y = ax3 + bx2 + cx + d
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt⇔ ∆’ = b2 – 3ac > 0
y
x 0
I
y
x 0 I
y’ = 0 có nghiệm kép⇔ ∆’ = b2 – 3ac = 0
y’ = 0 vô nghiệm⇔ ∆’ = b2 – 3ac < 0
y
x 0
I
y
x 0
I
• Hàm số có cực trị khi 03' 2 >−=∆ acb . • Hàm số không có cực trị khi 03' 2 ≤−=∆ acb .
25
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
• Hàm số đạt cực trị tại (x0;y0) thì
==
00
0
)(0)('yxy
xy
• Hàm số đạt cực đại tại x0 thì
<=
0)("0)('
0
0
xyxy
• Hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì
>=
0)("0)('
0
0
xyxy
• Hàm số có cực trị nằm về 2 phía của trục tung:
• Hàm số có cực trị nằm về 2 phía của trục hoành:
• Hàm số có cực trị nằm phía trên trục hoành:
• Hàm số có cực trị nằm phía dưới trục hoành:
• Đường thẳng qua cực trị có dạng a
bcdxabcy
9.
92
32 2
−+
−=
−=
2'".9.
91 yyaya
• Hàm số luôn đồng biến khi
≤∆>
0'0
ya
; luôn nghịch biến khi
≤∆<
0'0
ya
• Hàm số đồng biến/nghịch biến trên đoạn có độ dài là d:
( ) 221
221 .4 dxxxx =−+
• Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước:
+ ( ) 221
22121 .4 mxxxxmxx =−+⇒=−
+ 0)(.21 <⇒<< αα faxx
+
=
−=+
=±
acxx
abxx
mxnx
21
21
21
.
.
26
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+
<
>⇒<<
α
αα
2
0)(.21 S
faxx
+
>
>⇒<<
α
αα
2
0)(.21 S
faxx
• Đồ thị hàm bậc 3 luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm.
• Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
• Đồ thị hàm số có điểm uốn tại (x0;y0) thì
==
00
0
)(0)("
yxyxy
• Đồ thị hàm số lồi trên (a;b) thì 0)(" 0 <xy ; lõm trên (a;b) thì 0)(" 0 >xy
• Chứng minh hàm bậc 3 là hàm lẻ, đặt
−=−=
byYaxX
, trong đó (a;b) là tọa độ
điểm uốn.• Qua điểm uốn kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến.• Tiếp tuyến tại điểm uốn có: + Hệ số góc lớn nhất nếu a > 0
+ Hệ số góc nhỏ nhất nếu a < 0• Đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng khi
• Đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số nhân khi
• Phương trình tiếp tuyến có dạng: 000 )).((' yxxxfy +−= (1)
+ Tại tiếp điểm (x0;y0) thay vào PT (1) (Thay vào x0 , y0)
+ Đi qua điểm (x;y) thay vào PT (1) tìm x0
adx
adxxx
xxx−
=⇒
−=
=32
321
2231
..
.
=>∆
00'
uonyy
27
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ Song song với đường thẳng d có
−==⇒=++
==⇒+=
BAxfkCByAx
axfkbaxy
)('0
)('
0
0
+ Vuông góc với đường thẳng d: k
xf 1)(' 0−
=
+ Tạo với trục Ox góc α: αTanxf ±=)(' 0
+ Tạo với đường thẳng d góc α: kxf
kxfTan
).('1)('
0
0
+−
=α
• Tìm điểm để từ đó kẻ được n tiếp tuyến với hàm số:
+ Giả sử điểm cần tìm là M(xM;yM)
→ Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
+ ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)'( ) (2)
M Mf x k x x yf x k
= − + =
+ Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′(x) + yM (3) + Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị: ( ) ( )'( ) '( )
f x g xf x g x
= =
hoặc PT bậc 2 có nghiệm kép
• Tìm điểm để từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với hàm số vuông góc với nhau:+ Giả sử điểm cần tìm là M(xM;yM) → Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
+ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)'( ) (2)
M Mf x k x x yf x k
= − + = + Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f′(x) + yM (3)+ Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
tan
tan
28
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f′ (x1).f′ (x2) = –1. Từ đó tìm được M.
• Điểm cố định của đồ thị hàm số:+ Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).+ M(x0; y0) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m), ∀m (1) + Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:+ Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0, ∀m
+ Dạng 2: (1) ⇔ 2 0Am Bm C+ + = , ∀m
⇔ 00
AB
= =
(2a) ⇔ 000
ABC
==
= (2b)
+ Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.
• Điểm mà đồ thị hàm số không bao giờ đi qua:+ Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).+ M(x0; y0) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y0 = f(x0, m) vô nghiệm ∀m (1) + Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
+ Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0 vô nghiệm ∀m ⇔ 00
AB
= ≠
(2a)
+ Dạng 2: (1) ⇔ 2 0Am Bm C+ + = vô nghiệm ∀m ⇔ 2
0004 0
A BCAB AC
= = ≠ ≠ − <
(2b)
+ Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm mà đồ thị không bao giờ đi qua.
• Khoảng cách:+ Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
( ) ( )2 2B A B AAB x x y y= − + − .
29
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + = và điểm M(x0;y0) khi đó ( ) 0 0
2 2,.
Ax By Cd M
A B
+ +∆ =
+.
• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: )(xfy =
+ Giữ phần đồ thị trên Ox
+ Bỏ phần đồ thị dưới Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới lên trên
• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: )( xfy = + Giữ phần đồ thị phía bên phải Oy+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái Oy+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải qua bên trái
• Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị:
+ A, B đối xứng qua gốc toạ độ O ⇔ A B
A B
x xy y
= = −
30
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ A, B đối xứng nhau qua trục hoành ⇔ A B
A B
x xy y
= = −
+ A, B đối xứng nhau qua trục tung ⇔ A B
A B
x xy y
= − =
+ A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b ⇔ 2
A B
A B
x xy y b
= + =
+ A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a ⇔ 2A B
A B
x x ay y
+ = =
• Biện luận số nghiệm của phương trình F(x;m) = 0.Chuyển phương trình đã cho về dạng f(x) = m, khảo sát hàm số y = f(x) từ đó biện luận số nghiệm của phương trình theo m.
y
c.
x
m
c.
A
c.
(C)
c. (d) : y = m
c. yCĐ
yCT xA
c.
+ PT bậc 3 chỉ có 1 nghiệm:
(h.1a) (h.1b)
31
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ PT bậc 3 chỉ có đúng 2 nghiệm:
+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm:
+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm dương phân biệt:
f có 2 cực trị (h.2)yCĐ. y CT = 0
f có 2 cực trị (h.3)yCĐ. y CT < 0
f có 2 cực trị yCĐ. y CT < 0xCĐ > 0, xCT > 0a f(0) < 0 (hay ad < 0
32
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ PT bậc 3 chỉ có 3 nghiệm âm phân biệt:
• Ứng dụng GTLN, GTNN trong giải phương trình (PT) và bất phương trình (BPT)Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có
. Khi đó:
+ Hệ phương trình ( )f xx D
= ∈
α có nghiệm ⇔ m ≤ α ≤ M.
+ Hệ bất phương trình ( )f xx D
≤ ∈
β có nghiệm ⇔ M ≥ α.
+ Hệ bất phương trình ( )f xx D
≤ ∈
β có nghiệm ⇔ m ≤ β.
+ Bất phương trình f(x) ≥ α đúng với mọi x ⇔ m ≥ α.
+ Bất phương trình f(x) ≤ β đúng với mọi x ⇔ M ≤ β.
f có 2 cực trị yCĐ. y CT < 0xCĐ < 0, xCT < 0a f(0) > 0 (hay ad > 0)
33
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
II. HÀM BẬC 4: y = ax4 + bx2 + c
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ ab < 0
y
x 0
y
0
y’ = 0 chỉ có 1 nghiệm ⇔ ab > 0
y
x 0
y
0
• Hàm bậc 4 trùng phương luôn có 1 hoặc 3 cực trị.
• Để hàm số có 3 cực trị thì 02
>−
ab
• Hàm số đạt cực đại tại x0 thì
<=
0)("0)('
0
0
xyxy
• Hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì
>=
0)("0)('
0
0
xyxy
• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng.
• 3 cực trị của hàm bậc 4 trùng phương luôn tạo thành 1 tam giác cân tại đỉnh thuộc trục tung.
34
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ Tam giác vuông cân: B
BA
xyy
Tan−
=045 hoặc
2
BCAH =
+ Tam giác đều: B
BA
xyy
Tan−
=060 hoặc BCAH
23
=
+ Diện tích tam giác: B
BA
xyy
RcbarpS
.44...
−=== hoặc BCAHS ..
21
=
Chú ý: Cách làm khác là quy đổi mọi hàm bậc 4 về dạng y = x4 - 2a2.x2 (a > 0) khi đó cực trị có tọa độ A(0;0), B(-a;-a4), C(a;-a4). Cạnh đáy BC = 2xB
= 2a, đường cao 4ayyAH BA =−=
• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số
cộng:
=
<>
acb
abac
9100
0;0
2
• Từ 1 điểm thuộc trục tung hoặc từ 1 điểm trên đồ thị kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị thì điểm đó là điểm cực trị (0;c) nằm trên trục tung (trong 3 tiếp tuyến có 1 tiếp tuyến nằm ngang y = c)
• Đồ thị hàm số có điểm uốn tại (x0;y0) thì
==
00
0
)(0)("
yxyxy
• Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương luôn lồi khi
≥>
00
ba
; luôn lõm khi
≥>
00
ba
• Đồ thị hàm số lồi trên (a;b) thì 0)(" 0 <xy ; lõm trên (a;b) thì 0)(" 0 >xy
tan
tan
35
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
III. HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT:
dcxbaxy
++
= →
0
ad – bc > 0
x
y
0
ad – bc < 0
x
y
• Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng
−
∞−cd; và
+∞
− ;cd
• Hàm số không có cực trị và điểm uốn.
• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: cdx −
= ;
• Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: cay =
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm
−
ca
cdI ; của 2 đường tiệm cận là tâm đối
xứng. Không có tiếp tuyến đi qua I.
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= tại 2 điểm phân biệt M,
N và cắt 2 tiệm cận của hàm số đó tại A, B thì ta có MA = NB.
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= tại 2 điểm phân biệt M,
N sao cho:
36
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
+ M, N thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị: 0)(.. >−adfcm ( baxxf +=)( )
+ M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị: 0)(.. <−adfcm
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= tại 2 điểm phân biệt M,
N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. (Tâm đối xứng I thuộc đường thẳng
y = mx + n) + Lập phương trình hoành độ giao điểm → );( 11 nmxxM + ; );( 22 nmxxN +
+ Độ dài đoạn MN: min22
2
.1∆
+=
cmm
+ Thay vi-ét vào (1) rồi tách thành hằng đẳng thức để tìm MNmin
• Tích 2 khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= đến 2
đường tiệm cận là 1 số không đổi và bằng 2cbcad −
• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: dcxbax
y+
+=
(hoặc
dcxbaxy
++
= )
+ Giữ phần đồ thị ứng với abx −
≥ (hoặc abx −
< )
+ Bỏ phần đồ thị ứng với abx −
< (hoặc cdx −
< ) + Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên đã bỏ qua trục Ox.
• Tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số:
+ Phân tích ( )( )
P xyQ x
= thành dạng ( )( )ay A x
Q x= + , với A(x) là đa thức, a là số
nguyên.
37
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ Khi đó
∈∈
ZyZx
⇔ Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để
Q(x) là ước số của a.
IV. HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT:
→
A.a′ > 0 A.a′ < 0
y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y′ = 0 vô nghiệm
0 x
y
0 x
y
• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: ''
abx −
= ; tiệm cận xiên: 2'''
' aabbax
aay −
+=
[ ]( )lim ; lim ( )x x
f xa b f x axx→+∞ →+∞
= = − hoặc
[ ]( )lim ; lim ( )x x
f xa b f x axx→−∞ →−∞
= = −
38
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm
−−
2''2';
''
aabba
abI của 2 đường tiệm cận là
tâm đối xứng. Không có tiếp tuyến đi qua I.
• Đường thẳng đi qua cực trị của đồ thị hàm số là '
2a
baxy +=
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số ''
2
bxacbxaxy
+++
= tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho:
+ M, N thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị:
0)''().'( >
−−
abfmaa ( cbxaxxf ++= 2)( )
+ M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị: 0)''().'( <
−−
abfmaa
• Đường thẳng y = mx + n cắt đồ thị hàm số ''
2
bxacbxaxy
+++
= tại 2 điểm phân
biệt M, N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. (Tâm đối xứng I thuộc đường
thẳng y = mx + n) + Lập phương trình hoành độ giao điểm → );( 11 nmxxM + ; );( 22 nmxxN +
+ Độ dài đoạn MN:
+ Thay vi-ét vào (1) rồi tách thành hằng đẳng thức để tìm MNmin
• Tích 2 khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm số
dcxbaxy
++
= đến 2
đường tiệm cận là 1 số không đổi và bằng 222 '.'
'''.(aaaabbab
+
−
• Đồ thị hàm trị tuyệt đối: ''
2
bxacbxaxy
+++
=
+ Giữ phần đồ thị ứng với ''
abx −
<
39
TKBooks - chuyên sách tham khảo cho học sinh
+ Bỏ phần đồ thị ứng với ''
abx −
< + Lấy đối xứng phần đồ thị phía bên đã bỏ qua trục Ox.
V. DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH:
• Diện tích: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị (C1), (C2).
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:
( ) ( )b
a
S f x g x dx= −∫ x
y
O
f(x
) g(x)
ba
40
CẤP TỐC CHINH PHỤC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN - CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
• Thể tích:+ Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi{(C): y = f(x),y=0,x = a,x = b} quay
quanh Ox được tính bởi công thức:
+ Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi{(C): x = x(y), x = 0, y = c, y = d} quay
quanh Oy được tính bởi công thức:
+ Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x), y= g(x)