1 Capítulo 2: Sistemas generales de fuerzas Habitualmente sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, a las cuales les denominamos sistema de fuerzas, las que producirán aceleraciones si el cuerpo está en movimiento o fuerzas de reacción en los vínculos de apoyo si el cuerpo está en reposo. Siendo la fuerza una cantidad vectorial, su efecto sobre el sólido rígido queda totalmente definido si se conoce su módulo, dirección y sentido y la línea de acción de la recta soporte Los sistemas físicos reales no son rígidos. Sin embargo, el modelo de sólido rígido es aplicable cuando las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones del sistema mecánico. Del estudio de las deformaciones se ocupa la resistencia de materiales. Dado que un sólido rígido es un sistema de puntos materiales, las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido pueden dividirse en: Apuntes de Estática Capítulo 2: Sistema general de fuerzas
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Capítulo 2: Sistemas generales de
fuerzas Habitualmente sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, a las cuales les denominamos sistema
de fuerzas, las que producirán aceleraciones si el cuerpo está en movimiento o fuerzas de
reacción en los vínculos de apoyo si el cuerpo está en reposo.
Siendo la fuerza una cantidad vectorial, su efecto sobre el sólido rígido queda totalmente
definido si se conoce su módulo, dirección y sentido y la línea de acción de la recta soporte
Los sistemas físicos reales no son rígidos. Sin embargo, el modelo de sólido rígido es aplicable
cuando las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones del sistema
mecánico. Del estudio de las deformaciones se ocupa la resistencia de materiales.
Dado que un sólido rígido es un sistema de puntos materiales, las fuerzas que actúan sobre un
sólido rígido pueden dividirse en:
Fuerzas interiores, que son aquellas que ejercen entre sí las partículas que forman el
sólido rígido y mantienen constantes las distancias entre ellas.
Fuerzas exteriores, que son las que ejercen otros cuerpos sobre el sólido rígido
considerado.
Las fuerzas exteriores son las únicas relevantes en el estudio del equilibrio y movimiento del
cuerpo rígido, por tanto, queda clara la importancia del estudio de ellas y en el presente
capítulo las estudiaremos con la debida profundidad
2.1 Momento de una fuerza con respecto a un punto
Sea F una fuerza aplicada sobre un cuerpo rígido, A un punto cualquiera de la recta de acción
de de F y O un punto arbitrario del espacio. El momento de F con respecto al punto O es el
producto vectorial de OAy F (ver fig. 2.1)
MO = OA x F (2.1)
M O es un vector ligado al punto O al mismo que se le denomina punto de reducción.
En el SI el momento de una fuerza se expresa en newton-metro (N m).
Figura 2.1
O
A θ
F
Mo
d
Obsérvese que el momento MO es perpendicular tanto a OA como a F y, por lo tanto,
perpendicular al plano definido por O y la línea de acción de F (ver figura 2.1). El módulo de,
MO
|MO|=|F||OA|sinθ=|F|d (2 .2)
Donde d es la distancia entre O y la recta soporte de F. El módulo de MO mide la
tendencia de la fuerza F a imprimir al cuerpo rígido una rotación alrededor de un eje que pasa
por O y es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F y al punto O
Ejercicio. Demostrar que MO es independiente de qué punto de la recta soporte de F se elija
para su cálculo
Consideremos otro punto B de la recta soporte de F. (Figura 2.2) Entonces,
OB× F=(OA+ AB )×F ¿ OA× F+ AB× F=MO + 0=MO (2.3)
Puesto que AB y F tienen la misma dirección
Figura 2.2
O
A θ
F
Mo
B
En general, el momento de una fuerza con respecto a dos puntos O y P diferentes es
distinto.
Justamente,
M P ¿ PA× F ¿ ( PO+OA )×F=PO× F+OA× F
M p=PO× F+MO (2.4)
Figura 2.3
Mp puede coincidir con
MO
si PO
es
paralelo a F
En el caso particular de un cuerpo
rígido plano sobre el que sólo actúa
una fuerza F contenida en ese plano,
el momento de F con respecto a un punto O del plano es un vector MO perpendicular al
plano (figura 2.4). Si el sentido del vector es hacia afuera del plano, el vector se representa
O
A
F P
mediante una flecha curva orientada antihorariamente. Si el sentido es hacia dentro del plano,
el vector se representa mediante una flecha curva orientada horariamente; así estas flechas
indican como tendería a girar el cuerpo rígido bajo la acción de F
2.2 Momento de una fuerza con respecto a un eje
El momento de una fuerza Fcon respecto a un eje representa la tendencia del cuerpo rígido
a girar alrededor del eje debido a la acción de F.
El momento de una fuerza con respecto a un eje no es otra cosa a que la proyección sobre
dicho eje del momento respecto a un punto cualquiera del mismo
M L=P L MB=( uL .M B ) uL=¿
¿ [uL . (BA× F ) ]uL (2.5)
M L=|ux u y uzrx r y r zF x F y F z
|uL (2.6)Con uL= (ux , uy ,uz ): vector unitario en la dirección de L
BA=(r x , r y , rz ): Vector posición BA
Eje rcicio. Demostrar que M Les independiente del punto B seleccionado sobre el eje.
Efectivamente, considerando otro punto sobre el eje: C
M L=(uL . MC ) uL
M L=[uL . (CA× F ) uL ]
M L=[uL . (CB+ BA¿×F )] uL
M L=[uL . (CB× F+ BA× F ¿ )] uL
M L=[uL . ( BA× F ) ] uL
Puesto que
uL . (CB× F )=0 ya que uL
Es un vector perpendicular al vector CB× F
Ejemplo. Determinar el momento de la fuerza F = 2i +j + 3k pasando por el punto P (3, -1, 2)
respecto al origen y respecto al punto Q (1, -2, 3)
Solución
Momento respecto al origen
Mo = OP x F = (3, -1, 2) x (2, 1, 3) = -5i – 5j +5k
Momento respecto al punto Q
MQ = QP x F = (2, 1, -1) x (2, 1, 3) = 4i – 8j
Ejemplo. Dada la fuerza F = 3i +j + 6k, tal que su momento respecto al origen es el vector Mo =
ai +3j -3k, determinar el valor de a y un punto de su recta soporte.
Solución:
Como el momento es perpendicular a la fuerza por condición de perpendicularidad
MO . F = 0
(a, 3, -3) . (3, 1, 6) = 0
3a +3-18 = 0
De donde obtenemos a = 5
También si P (xo, yo, zo ) es un punto de la recta soporte el momento con respecto al origen es
i j k
M0 = (xo, yo, zo ) x ( 3, 1, 6) xo yo, zo = (6yo –zo)i+(-6xo + 3zo) + (xo -3yo)
3 1 6
De donde se pueden escribir las tres ecuaciones escalares
6yo – zo =5
-6xo + 3zo = 3
xo - 3yo = -3
0 6 -1
El determinante del sistema -6 0 3 = 18-18 = 0
1 -3 0
Tiene valor cero, luego las tres ecuaciones son linealmente dependientes y existen infinitas
soluciones, haciendo xo= 3 se tienen los valores yo = 2 y zo = 7
Ejemplo. Se tiene una fuerza F = (1, 0, 0) KN actuando sobre un sólido rígido y su momento
respecto al origen Mo = (0, 1, 1) KN-m. Determine la ecuación de la recta soporte de la fuerza
F.
Solución
El objetivo es encontrar la ecuación vectorial de la recta soporte L. De esta recta conocemos su
dirección, la de la propia fuerza F. Nos basta con determinar un punto perteneciente a esta
recta, P. Si lo obtenemos la ecuación vectorial de la recta se escribe
L = OP + t F
Podemos escoger el punto P(xo, yo, zo ) tal que el vector OP es perpendicular a F . Para este
punto, que es el punto de la recta soporte más cercano a O, se cumple que OP . F = 0
(xo, yo, zo ).(1, 0, 0) =0
De donde hallamos xo = 0
También podemos escribir
Mo = OP x F
I j k
Mo = (xo, yo, zo ) x (1, 0, 0) = 0 yo zo = (0, - yo, zo)
1 0 0
Identificando los términos con el valor de Mo Se obtiene
yo = -1 zo = 1,
Por lo tanto P (0, -1, 1) m
Finalmente la ecuación de la recta soporte será:
L. = (0, -1, 1) + t (1, 0, 0)
Ejemplo. Encontrar el momento de la fuerza F de módulo 200 Kg, que actúa en la intersección
de los planos P1: 5x-16y+15z y P2: 7x+15y-10z = 25, con respecto al punto P de intersección de
las rectas L1: (x+7)/4 = (y+8)/3 = (z-6)/-1 y L2: que pasa por los puntos A(-5, 3, -1) y B (-1/5, -1,3).
Solución
a) Obtenemos un vector A cuya recta de acción sea la intersección de los planos P1 y P2 :
A = (5, -16, 15) x ( 7, 15, -10) = (-65, 155, -187)
Y un vector unitario u en esta dirección será:
u = A/ A = (-65, 155, -187)/251.434
Un punto Q de la recta de acción de F es Q (99/31, 0, -41/55)
b) Expresión de la fuerza F en forma vectorial:
F=200u= 200251.413
(−65 ,−155 ,−187 )=(−51.703 ,123.293 ,148.747 ) Kg
c) Cálculo del punto P de intersección de las rectas L1 y L2
L1=x+74
= y+83
= z−6−1
L2=x+1 /56
= y+1−5
= z−35
Cuya intersección es el punto P (1,-2, 4)
d) Momento de F con respecto al punto P
I j k
MP = PQ x F = 68/31 2 -661/155 = (823.278, -105.793, 373.856) Kg -m
-51.703 123.293 148.747
MP = (823.278, -105.793, 373.856) Kg -m
2.3 Resultante y momento de un sistema de fuerzas
Consideremos un sistema formado por F1, F2 ,…, Fn, que actúan sobre un cuerpo rígido, en los
puntos A1, A2, …, An, respectivamente.
Resultante, R ,del sistema de fuerzas es la suma vectorial de las fuerzas que forman el sistema:
R=∑i=1
n
Fi(2.7)
La resultante es un vector libre. Los efectos de traslación del cuerpo rígido están determinados
por la resultante del sistema de fuerzas.
Momento del sistema en un punto O, MO , a la suma vectorial de los momentos en O de todas
las fuerzas:
MO=∑i=1
n
MO ( Fi¿)=∑i=1
n
(O A i¿×F i)(2.8)¿¿
El momento en O es un vector ligado a O. Los efectos de rotación del cuerpo rígido vienen
determinados por los momentos del sistema de fuerzas
Ejemplo
Dado el sistema de fuerzas F1 = (1, 2, 1) KN, F2 = (a, 1, 0) KN y F3 = (1, 0, -1) KN pasando por los
puntos P1(1, 2, 3)m , P2(-1, 0, 1)m y P3(2, 0, -1)m. Determinar: a) el valor de a para que el
módulo de la resultante sea |R|= 5, b) el momento resultante respecto al origen.
Solución
a) Resultante del sistema (R).
R = (2+a)i +3j
|R|2= (2+a)2 + 32
De donde: 2+a = ± 4 y se verifica para dos valores de a
a = 2 , a =6
Luego la resultante del sistema es
R = ±4i +3j
El signo + corresponde al valor de a = 2 y el signo – al valor a = -6
b) Momento resultante respecto al origen (para a = -6)
MO = (1, 2, 3) x (1, 2, 1) + (-1, 0, 1) x (-6, 1, 0) + ((2, 0, 1) x (1, 0, -1)
MO = -5i -3j –k KNm
Problemas propuestos
1. Hallar el momento de la fuerza F de 450 N, respecto al punto A, de la siguiente tubería,
sabiendo que la tubería arranca del punto A.
2. Determinar el momento de las fuerzas F = 500N y F = 250N respecto del eje que pasa
por los puntos A-A
A
3. Calcular el momento respecto de punto A (extremo aguas debajo de la base), dadas todas las
fuerzas que actúan sobre la presa
4. A partir de la siguiente figura, calcular el sistema de fuerzas equivalentes en la posición A
para la fuerza de 100N.
5. Determinar el sistema resultante en O, a partir del sistema de fuerzas que se muestra en la
figura.
6. Reducir el sistema coplanario de fuerzas mostrado en la figura a una fuerza y un momento
en O
2.3.1 Teorema del centro de reducción
En general el momento de un sistema de fuerzas es distinto en cada punto. Si se conoce la
resultante y el momento en un punto, el momento cualquier otro punto puede calcularse
usando el teorema del centro de reducción:
“El momento de un sistema de fuerzas en un punto P es igual al momento del sistema de fuerzas
en otro punto O, más el producto vectorial del vector PO por la resultante R del sistema. Este
producto vectorial puede interpretarse como el momento en P de una fuerza Ftot con las mismas
componentes que R aplicada en O
MP = MO + PO x R (2.9)
Demostración:
F1 F i
A1
Ai
y
x P cuerpo rígido
z A2 An
F2 Fn
MP=∑i=1
n
MP (F i )
MP=∑i=1
n
(P Ai×F i)
MP=∑i=1
n
¿¿
MP=∑i=1
n
(PO×F i+O Ai×F i)
MP=∑i=1
n
(PO× Fi )+∑i=1
n
(¿O A i× Fi)¿
MP=PO×∑i=1
n
F i+MO
MP=PO×R+MO
El teorema del centro de reducción permite demostrar los siguientes resultados
1. Cualquier sistema de resultante nula tiene el mismo momento en todos los puntos del
espacio
En efecto, usando el teorema del centro de reducción;
MP=MO+ PO x R
MP=MO (2.10)
2. El lugar geométrico de los puntos en los que el vector momento es constante es una recta
con la misma dirección que la resultante del sistema (si ésta no es nula, pues si es nula
estamos en las condiciones del resultado anterior)
En efecto, sean O y P dos puntos distintos tales que MO = MP. Entonces usando la Ec. 2.9
MP=MP+ PO× R
PO X R= 0
Suponiendo que R ≠ 0 y dado que PO ≠ 0, la conclusión es que PO es paralelo aR
Ejemplo.
De un sistema de fuerzas actuando sobre un sólido rígido, se conocen sus momentos
respecto de tres puntos del espacio MO = (2, 1, 0) KN-m respecto al origen; MP = (4, a, 0) KN-m
respecto del punto P(1, 1, 1) m y MQ = (b, 4, c) KN-m respecto del punto Q(0, 1, -1). Determinar:
a) La resultante
b) Los valores de a, b y c
Solución
a) Usando el teorema del centro de reducción
MO = MP + OP x R (1)
MO = MQ + OQ x R (2)
Escribiendo las ecuaciones (1) y (2) en componentes resulta:
(2, 1, 0) = (4, a, 0)+ (1, 1, 1) x (Rx, Ry, Rz) (3)