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Cap Maths
Directeur de collectionROLAND CHARNAYProfesseur de
Mathmatiques
MARIE-PAULE DUSSUCProfesseur de Mathmatiques en ESPE
GEORGES COMBIERProfesseur de Mathmatiques
DANY MADIERProfesseur des coles
GUIDE
CONFORME AU SOCLE COMMUN ET AUX PROGRAMMES EN VIGUEUR
CE1cycle 2
DE LENSEIGNANT
-
II
Hatier, Paris, 2014 ISBN : 978-2-218-96436-7Sous rserve des
exceptions lgales, toute reprsentation ou reproduction intgrale ou
partielle, faite, par quelque procd que ce soit, sans le
consentement de lauteur ou de ses ayants droit, est illicite et
constitue une contrefaon sanctionne par le Code de la Proprit
Intellectuelle. Le CFC est le seul habilit dlivrer des
autorisations de reproduction par reprographie, sous rserve en cas
dutilisation aux fi ns de vente, de location, de publicit ou de
promotion de laccord de lauteur ou des ayants droit.
Cette nouvelle dition de Cap Maths CE1 est le fruit dune rfl
exion alimente par plusieurs enqutes ralises auprs des enseignants
ainsi que par les commentaires spontans qui nous ont t adresss.
Ces lments nous ont conforts dans le choix fait, concernant les
principaux apprentissages, daccorder une place essentielle la rfl
exion des lves au travers de situations de recherche, et de rserver
une large place aux exercices dentrainement et de consolidation. Ce
choix se trouve en accord avec cette affi rmation du Socle commun
de connaissances et de comptences : La matrise des principaux
lments de mathmatiques sacquiert et sexerce essentiellement par la
rsolution de problmes, notamment partir de situations proches de la
ralit.
LES NOUVEAUTS DE LA NOUVELLE DITION
Un dcoupage de lanne en 10 units (au lieu de 15 auparavant)Ce
dcoupage prsente deux avantages : il permet de mieux organiser les
apprentissages en une suite de sances ralisables sur une mme unit ;
il autorise une plus grande souplesse dans la gestion de ces
apprentissages par lenseignant, en diminuant le nombre de bilans
formatifs intermdiaires.
Une marge dinitiative plus grande pour les enseignantsLes sances
proposes de faon dtaille dans le guide occupent environ les deux
tiers du temps annuel consacr aux mathmatiques. Sur le temps
restant, outre les valuations priodiques, lenseignant a donc la
possibilit de reprendre certaines squences dapprentissage et de
proposer ses lves des exercices de consolidation (remdiation,
approfondissement) en puisant dans les ressources qui sont proposes
sur diffrents supports : fi chier dentrainement, cahier
Gomtrie-Longueurs, CD-Rom Cycle 2 ou 90 Activits mathmatiques au
CE1.
Une place plus importante pour la gomtrie et la mesureLa
progression propose accorde une place plus importante ces
apprentissages importants. De plus, le cahier Gomtrie-Longueurs
facilite les tracs proposs aux lves, souvent diffi ciles raliser
dans un fi chier plus pais.
Des progressions repenses partir des suggestions qui ont t
faites aux auteurs, les notions acqurir relatives la numration, au
calcul mental, la gomtrie et aux mesures ont t ramnages en vue dune
meilleure progressivit des apprentissages.
Un travail facilit pour les classes plusieurs cours ou pour les
enseignements partagsLa plus grande souplesse dans lorganisation
des apprentissages et laccroissement du travail individuel doivent
favoriser lorganisation du travail dans une classe cours multiples.
Dans une mme sance, rvision et nouvel apprentissage relvent du mme
grand domaine (numrique ou gomtrie-mesure), ce qui facilite la
rpartition des activits pour les classes dans lesquelles deux
enseignants interviennent.
Un apprentissage la rsolution de problmesRsoudre des problmes
suppose lutilisation de stratgies appropries la nature des problmes
proposs (problmes tapes, problmes pour chercher) et des outils de
formulation des solutions et des rponses. Dans cette nouvelle
dition de Cap Maths , des activits spcifi ques sont proposes dans
ce but.
La nouvelle ditionde Cap Maths CE1
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III
LE GUIDE DE LENSEIGNANT
Cap Maths
cycle
2
CE1N O U V E L L E D I T I O N
Guide de lenseignant
+ CD-Rom des ressources
imprimables
Roland Charnay
Georges Combier
Marie-Paule Dussuc
Dany Madier
Tableau de programmation par unit Les 10 units de travail :
description dtaille des situations dapprentissage et des activits
de rvision exercices du Fichier et du Cahier Gomtrie-Longueurs
comments avec visuels
Bilans de fi n dunit et de fi n de priode comments
LE CD-ROM DU GUIDEInclus dans le guide, il comprend le matriel
qui peut tre modifi par lenseignant :
Fiches diffrenciation valuations de fi n de priode (toutes les 3
ou 4 units) Relevs de comptences du Socle
LE MATRIEL PHOTOCOPIABLE
Cap Maths
N O U V E L L E D I T I O N
Matriel photocopiable
Roland Charnay
Georges Combier
Marie-Paule Dussuc
Dany Madier
cycle
2
CE1
LE MATRIEL COLLECTIF Posters dcouper plastifi s en 4 couleurs
afi n de gagner du temps dans la prparation du matriel collectif
agrandi : fi le numrique, formes gomtriques, cible avec des
nombres...
90 ACTIVITS MATHMATIQUES AU CE1 Activits et jeux regroups par
domaines qui peuvent tre utiliss en complment du Guide afi n
dentraner des connaissances travailles au cours de chaque unit.
LE SITE COMPAGNON Cap Maths Prsentation anime de la mthode Forum
de discussion Vidos pour la formation
Pour lenseignant
Le Guide est le pivot de la mthode, cest un outil
incontournable.
Lutilisation du matriel est indique dans le Guide.
Les supports de Cap Maths CE1
LE FICHIER DENTRAINEMENT
10 units de travail : calcul mental, exercices de rvision,
exercices dapplication suite aux phases dapprentissage
10 Bilans ( la fi n de chaque unit) Exercices de consolidation
10 pages Problmes Matriel individuel encart : monnaie, compteur,
horloges
LE DICO-MATHS
Rpertoire des mathmatiques
N O U V E L L E D I T I O N
cycle
2
CE1
Roland Charnay
Georges Combier
Marie-Paule Dussuc
Dany Madier
LE CAHIER GOMTRIE-LONGUEURS
Cap Maths
Roland Charnay
Georges Combier
Marie-Paule Dussuc
Dany Madier
cycle
2
CE1
Cahier de gomtrie - longueurs
N O U V E L L E D I T I O N
10 units de travail : exercices de rvision, exercices
dapplication suite aux phases dapprentissage
Exercices de consolidation Matriel individuel encart : fi gures
planes, units de longueur, rgles gradues, gabarits...
LE CD-ROM CYCLE 2
Activits interactives qui compltent et prolongent certaines
situations de Cap Maths et offrent un nouveau support au calcul
mental.
Pour llve
Lutilisation du Fichierest indique dans le Guide.
Ce fascicule indpendant est fourni avec le Fichier.Il sert
progressivement de rfrence aux lves.
Le lien entre le CD-Rom(CP-CE1) et les activits est indiqu dans
le Guide.
Lutilisation du Cahierest indique dans le Guide.Il est fourni
avec le Fichier.
Fiches de travail pour les activits de la classe
Fiches bilan : ces fi ches accompagnent le bilan de fi n dunit
pour les exercices de gomtrie et longueurs
Relevs de comptences pour chaque unit
valuations de fi n de priode
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IV
La dmarche de Cap Maths CE1
Les 7 piliers de la dmarche dapprentissage propose.
CHERCHER b Acqurir un nouveau savoir a du sens si ce savoir se
rvle tre un outil qui permet de rpondre des questions, de rsoudre
de nouveaux problmes.
Ce moment du travail de llve lui permet donc de sapproprier ces
questions et problmes, et de sengager dans une premire laboration
du savoir sous-jacent.
EXPLOITER b La confrontation avec les autres lves permet une
premire mutualisation des rponses et dmarches (ou procdures). Elle
donne galement lieu des changes darguments propos de la validit de
ces rponses et des erreurs identifi es.
METTRE b Les apports de lenseignant sont indispensables pour
complter, mettre en forme AU POINT et en mots, et offi cialiser ce
qui est retenir.
UNE NOUVELLE Le recours des crits de rfrence tablis par la
classe avec lenseignant ou fournis
CONNAISSANCE aux lves (Dico-maths de Cap Maths) contribue cette
reconnaissance du savoir matriser.
SENTRAINER b La stabilisation et le fait de rendre
oprationnelles des connaissances sappuient sur la mmorisation de
certains rsultats et la routinisation de certaines procdures.
Desmoments dentrainement sont donc indispensables. Les exercices ou
problmes traits peuvent tre corrigs individuellement si quelques
lves seulement nont pas russi, oucollectivement en cas de diffi
cults plus nombreuses dans la classe.
VALUER b Lvaluation est ncessaire pour piloter les
apprentissages des lves. En ce sens, elleadabord un rle formatif et
peut prendre des formes diverses :
au quotidien, en cours dapprentissage, les travaux des lves sont
une source essentielle dobservation et danalyse pour lenseignant,
sans quil soit besoin dexercices spcifi ques ;
rgulirement, au terme dun apprentissage, les diffi cults doivent
tre identifi es pourmettre en place des rponses pdagogiques adaptes
: remdiation, consolidation ;
au terme dune priode, un point doit tre fait pour savoir comment
les lves ontcapitalis leurs acquis et sont capables de les
mobiliser dans des situations diverses, decomplexit diffrente.
CONSOLIDER, b Lapprentissage est rarement linaire et sans
embches. Suite aux observations faitesREMDIER et analyses par
lenseignant, des moments personnaliss sont ncessaires, visant
remdier
une diffi cult, consolider un acquis fragile ou encore enrichir
une comprhension tropfaible.
RVISER b Un nouvel lment de savoir est rarement immdiatement
acquis. Des moments de reprise sont ncessaires. Cela peut tre fait
loccasion dun nouvel apprentissage qui mobilise cet lment de savoir
ou lors dactivits de rvision qui se situent au-del delapriode
dapprentissage.
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V
Les 7 piliers Dans le guide Les outils
CHERCHERseul ou en petite quipe
Explorer une situation.
laborer des lments de rponses.
Les enjeux.Les scnarios dactivits.Leur mise en uvre dtaille.Les
commentaires.
Matriel encart dans le fi chier et le cahier
Matriel photocopiable
Matriel collectif
EXPLOITERen collectif
changer sur les solutions.Organiser les solutions.Dbattre,
argumenter sur leur validit.
Les procdures possibles inventories.Les erreurs possibles
recenses.Leur exploitation dcrite.
Affi chage ou projectionpour prsenter des travaux dlves
METTRE AU POINT UNE NOUVELLE CONNAISSANCE
en collectif
Synthse organise de ce qui est retenir.Apports de
lenseignant.
Les lments de la synthse.Les renvois au dico-maths.Les traces
crites et les affi chages prvoir.
Dico-maths : rfrence des savoirs matriser
Matriel collectif (pour montrer des lments de savoir)
SENTRAINERen individuel
Stabiliser des connaissances et des procdures.
Mmoriser.
Les objectifs de chaque exercice ou problme.Des pistes
dexploitation.Toutes les rponses.
Fichier dentrainement
Cahier Gomtrie-Longueurs
CD-Rom cycle 2
VALUERen individuel
Bilans formatifs en fi n dunit.
valuation en fi n de priode pour certifi er les acquis.
Les objectifs de chaque exercice ou problme.Toutes les
rponses.Des pistes de remdiation.
Fichier dentrainement pour les bilans formatifs Fiches
photocopiables pour les bilans en gomtrie-longueurs CD-Rom du guide
pour les valuations priodiques
CONSOLIDER, REMDIERen individuel ou en quipes
Revenir sur des points faibles, des diffi cults de faon
diffrencie.
Les points essentiels retravailler.Des propositions
dactivits.Toutes les rponses.
Fichier dentrainement Cahier Gomtrie-LongueursCD-Rom du guide
(diffrenciation)90 Activits mathmatiquesCD-Rom cycle 2
RVISERen individuel ou en quipes
Ractiver, entretenir des connaissances au-del de la phase
dapprentissage.
Les objectifs.Des pistes dexploitation.Toutes les rponses.
Fichier dentrainement Cahier Gomtrie-LongueursCD-Rom du guide
(diffrenciation)90 Activits mathmatiquesCD-Rom cycle 2
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VI
RPARTITION DES APPRENTISSAGES SUR 10 UNITS
Le schma propos par Cap Maths prend en compte les horaires offi
ciels. Dautres organisations sont bien entendu possibles.
Lanne scolaire est organise sur 36 semaines. Les apprentissages
dans Cap Maths sont prvus sur 10 units (3 semaines chacune), soit
30 semaines, ce qui laisse donc une marge de temps disponible (de 5
6 semaines) pour dautres activits (pages Problmes, Activits
complmentaires).
Anne scolairehoraire offi ciel
Organisation propose par Cap Maths pour lanne
180 h pour les mathmatiques
10 units de 15 h chacune, soit 150 h. valuations priodiques,
pages problmes, complments : 30 h.
Unit de travail de 3 semaines
Organisation propose par Cap Maths pour chaque unit (3
semaines)
15 h pour les mathmatiques
9 sances pour le calcul mental, les rvisions et les nouveaux
apprentissages denviron 1 h 15 chacune.
1 sance de bilan denviron 1 h. 3 (ou 4) sances pour les
consolidations, la remdiation et les pages problmes du Fichier
denviron 1 h (ou 45 min) chacune.
Les sances Organisation propose par Cap Maths pour une sance
Calcul mental oral et rvision 30 minutes (9 sances par unit) Ces
2 blocs (calcul mental/rvision et nouvel apprentissage) sont prvus
comme deux moments dune mme journe.Nouveaux apprentissages 45
minutes (9 sances par unit)
Bilan 45 minutes (1 sance en fi n dunit)
Consolidation, remdiation, pages problmes 1 h (3 sances par
unit) ou 45 minutes (4 sances par unit)
DANS UNE CLASSE COURS MULTIPLES
Au CE1, les activits mathmatiques ncessitent souvent une prsence
importante de lenseignant, notamment dans les moments de travail
sur de nouveaux apprentissages. Trois choix ont t faits pour
faciliter lutilisation de Cap Maths dans une classe cours
multiples.
La rgularit de lorganisation des sances consacres de nouveaux
apprentissages permet de prvoir deux temps distincts dans la journe
(de 30 minutes et de 45 minutes), ces deux temps ntant pas
ncessairement conscutifs (voir ci-dessus).
Le temps de travail sur le Fichier dentrainement ou sur le
Cahier Gomtrie-Longueurs est renforc avec des activits de
consolidation et remdiation. Il doit progressivement devenir de
plus en plus un temps de travail autonome pour llve. De plus,
certaines activits du CD-Rom cycle 2 (activits dapprentissage,
calcul mental) peuvent se substituer des activits dcrites dans le
Guide et permettre ainsi davantage de travail en autonomie des
lves.
Certains moments dentrainement, de rvision ou de recherche
individuelle ou en quipes permettent lenseignant de se rendre
disponible pour travailler avec dautres niveaux.
Lorganisation du travail avec Cap Maths
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VII
DIFFRENCIATION ET AIDE AUX LVES
Tous les lves ne progressent pas au mme rythme et nempruntent
pas les mmes chemins de comprhension. Cap Maths propose plusieurs
moyens pour prendre en compte ce phnomne.
Diffrenciation par les modes de rsolution
Dans la plupart des situations-problmes proposes aux lves,
plusieurs modes de rsolution corrects sont possibles. Il est
important de faire comprendre et accepter par les lves quun problme
peut tre rsolu en laborant une solution personnelle et non en
essayant de deviner celle qui est suppose tre attendue par
lenseignant.
La possibilit donne llve de traiter une question, en utilisant
les ressources qui correspondent le mieux sa comprhension de la
situation et aux connaissances quil est capable de mobiliser,
constitue le moyen privilgi de la diffrenciation. Il permet llve de
sengager dans un travail sans la crainte de ne pas utiliser le seul
mode de rsolution attendu par lenseignant.
Il convient toutefois davoir le souci damener les lves faire
voluer leurs modes de rsolution vers des modes plus labors. Cap
Maths fournit des indications sur les moyens datteindre cet
objectif.
Diffrenciation et aide par lamnagement des situations
Le plus souvent, dans la phase de mise en place des notions, les
situations proposes le sont dans des conditions identiques pour
tous les lves. lissue de ce travail, il peut tre ncessaire de
reprendre, avec toute la classe ou avec quelques lves, certaines
activits, en adaptant des donnes ou en autorisant ou non le recours
tel ou tel matriel (fi le numrique, calculatrice).
Les Fiches diffrenciation reprennent des exercices du Fichier ou
du Cahier Gomtrie-Longueurs, avec la possibilit pour lenseignant de
choisir certaines donnes. Ces fi ches, disponibles sur le CD-Rom
fourni avec le Guide, permettent ainsi une adaptation des exercices
dans la perspective dune aide approprie aux besoins et aux
possibilits de chacun.
Diffrenciation et aide par le choix des tches proposes
dautres moments, il est ncessaire dapporter une aide particulire
un lve ou un groupe dlves pour remdier des diffi cults ou pour
consolider une connaissance particulirement importante pour la
suite des apprentissages.
Des pistes de travail sont fournies dans le Guide de lenseignant
la fi n de chaque unit :
lenseignant peut proposer des exercices et problmes de
remdiation et consolidation dans le Fichier ou le Cahier
Gomtrie-Longueurs ( Je consolide mes connaissances );
dans une double perspective daide et dapprofondissement, il est
galement possible de faire appel aux activits de louvrage 90
Activits mathmatiques au CE1 ou encore des problmes choisis dans
les pages Problmes du Fichier;
les activits du CD-Rom Cap Maths cycle 2 peuvent galement tre
utilises ces fi ns.
TRACES CRITES ET DICO-MATHS
Lidentifi cation des lments de connaissance importants et leur
mmorisation sont parfois diffi ciles pour de jeunes lves. La mthode
Cap Maths insiste sur les phases dlaboration (rsolution de
problmes), de mise en vidence par lenseignant (synthse) et
dexercices (entrainement, consolidation et rvision).
Il est galement ncessaire que les lves puissent se rfrer des
crits provisoires ou permanents, qui permettent dorganiser les
connaissances sur des supports crits qui leur sont accessibles, ce
que les enseignants appellent souvent les traces crites. Celles-ci
peuvent prendre plusieurs formes.
-
VIII
Le Fichier dentrainement et le Cahier Gomtrie-Longueurs ne
comportent pas dlments de cours. La mise en place des
apprentissages se fait essentiellement partir dactivits proposes
dans le guide de lenseignant en faisant ventuellement appel des fi
ches matriel. Cela nenlve rien la ncessit de garder des traces de
ce qui a t appris.
Des crits provisoires peuvent, au CE1, rester inscrits au
tableau ou sur une affi che quelques jours pour que les lves
puissent sy rfrer lors des sances qui suivent une phase consacre un
nouvel apprentissage. titre dexemple, nous proposons que, suite
lintroduction du symbolisme de la multiplication (signe ) en unit
3, des rsultats soient recenss dans un rpertoire au fur et mesure
de leur production. Plus tard, les rsultats seront organiss en
tables en unit 6 (tables de 2 5 au CE1). Ces crits provisoires
peuvent tre formuls avec les mots des lves dans la mesure o ceux-ci
ne contreviennent pas au sens mathmatique.
Dautres crits sont destins tre conservs de faon plus durable
pour tre consults par les lves. Ils peuvent alors donner lieu des
affi chages facilement accessibles. Il peut sagir, par exemple,
daider retrouver le nom dune fi gure, la rfrence dune unit de
longueur (cm ou m) Ces affi chages ne doivent cependant pas tre
trop nombreux pour viter que les lves ne sy perdent. Ils peuvent
tre complts par des traces crites individuelles consignes dans un
cahier.
Le Dico-maths vient en complment de ces diverses traces crites.
Il doit habituer llve se reporter une source de renseignements sre
chaque fois quil a oubli le sens dun mot ou quil veut retrouver une
mthode, un procd appris mais oubli (souvent partiellement). Au
dpart, et notamment avec de jeunes lves, il est dabord utilis avec
laide de lenseignant et sous son impulsion. Puis, progressivement,
les lves sont invits y avoir recours de manire plus autonome.
videmment, lenseignant reste libre den autoriser ou pas lusage en
fonction de lactivit propose ses lves.
VALUATION
propos dvaluation, on pense souvent uniquement des exercices
spcifi ques, codifi s et donnant lieu un inventaire de comptences
ou une apprciation. En ralit, lvaluation peut revtir diverses
formes.
Lvaluation intgre aux activits quotidiennes
Au quotidien, en observant et en analysant les productions
crites ou orales de ses lves, lenseignant peut obtenir des
informations utiles au pilotage de son enseignement. Cette
valuation intgre aux activits quotidiennes ne sappuie pas sur des
exercices spcifi ques, mais suffi t souvent apporter les
ajustements ncessaires pour la classe ou pour une partie des lves.
La description des procdures envisageables ou des erreurs possibles
fournie dans le Guide de lenseignant constitue pour cela une aide
prcieuse.
Les bilans de fi n dunit
Tout au long des apprentissages, il est ncessaire de savoir
comment les connaissances travailles rcemment ont t comprises afi n
de pouvoir ragir, si ncessaire, au plus vite. la fi n de chaque
unit, un bilan des nouveaux apprentissages est propos:
12 d
UNIT 1
Je prpare le bilan Je lis et je me souviens...
Il y a 21 perles. On les partage ?
Moi, pour trouver,
je fais un dessin.
Je vais essayer10 10 10 30
Trop grand
Trois paquets de dix et deux : trente-deux.
Dix, vingt, trente, trente-deux.
32
Dans xan-t , quel est le chiffre des dizaines ? 6 ou 7
Ont-ils raison?
Le carr est droite et en bas.
Le disque est en haut et gauche.
1
2
3
4
5
GUIDE ! BILAN PRPARATION BILANCalcul mental Exercice 1
Problmes de partage quitable 1 Exercice 2
Dizaines et units 2 Exercices 3 4
Nombres crits en lettres et en chiffres 3 Exercices 5 6
PRPARATION BILAN
Reprage dans lespace de la feuille 4 Exercice 7
Figures planes 5 Exercice 8 Dans un premier temps, il est prpar
avec lenseignant, laide des supports de la page du fi chier Je
prpare le bilan , les lves tant invits commenter chaque planche,
voquer lactivit correspondante et exprimer ce quil pense avoir
retenu du travail ralis. Cest aussi loccasion pour lenseignant de
reformuler lessentiel de ce quil fallait retenir.
-
IX
t 13
D a : la suite de ce bilan, les lves peuvent consolider leurs
connaissances avec les exercices page 14.
Je fais le bilan
Lisa partage 18 balles entre ces 3 chats.Chacun doit avoir le
mme nombre de balles.
Combien de balles chacun aura-t-il ?
Chaque chat aura balles.
Combien y a-t-il d'escargots ?
Il y a escargots.
Lisa a besoin de 36 perles. Entoure ce quelle doit prendre.10
perles 10 perles 10 perles 10 perles 10 perles
cris en chiffres.
soixante-huit :
quatre-vingt-douze :
cris en lettres.
70 : 83 :
1 1
3a b c d e f g h
2 4
3 5
4
CAHIERP. 7-8
5
5 6
66
et 8 Travail sur fiche Bilan n 1. 7
Je fa
is le
bila
n
Hatier 2014 - Reproduction autorise pour une classe
seulement.
Nom de llve : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Pour chaque message, barre ce qui est faux et corrige.
c pag, e en ha, gac.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c pag, a e d, en ha.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c pag, x e en ba gac.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Barre les phrases fausses. Entoure les phrases justes.
a est un polygone. b est un polygone.a a 6 cts. b est un
triangle.a a 5 sommets.
7
8
Fichier p.13
CapMaths CE11
Je fais le bilan - UNIT 1
ba
1
3
4
6
la suite de ce bilan, les lves peuvent consolider leurs
connaissances avec les exercices du cahier de gomtrie pages 7 et
8.
Dans un deuxime temps, les lves traitent les exercices de la
page Je fais le bilan. partir de leurs rponses, lenseignant peut
complter un relev de comptences pour chaque lve, en utilisant les
fi ches du matriel photocopiable. partir de l, il peut envisager
les consolidations mettre en place (voir ci-dessous).
Les valuations de fi n de priode
Il est galement important, toutes les 3 ou 4 units, de faire un
bilan exhaustif des acquis des lves, centr sur les apprentissages
essentiels inscrits dans le programme, et des diffi cults
persistantes. Cest ce qui est propos dans le CD-Rom fourni avec le
Guide avec 3 valuations de fi n de priode. partir de ces
valuations, lenseignant peut renseigner les documents demands par
linstitution et communiquer avec les parents sur la progression de
leur enfant.
CONSOLIDATION DES APPRENTISSAGES
Les diverses formes dvaluation permettent lenseignant de prvoir
et dorganiser les consolidations utiles aux lves (remdiation,
approfondissement).
Pour cela, plusieurs outils sont sa disposition : reprise
dactivits utilises pour la mise en place des apprentissages ;
exercices de consolidation fournis dans le Fichier ou dans le
Cahier Gomtrie-Longueurs ; fi ches diffrenciation reprenant des
exercices du Fichier ou du Cahier Gomtrie-Longueurs ; activits
fournies dans louvrage 90 Activits mathmatiques au CE1 ; activits
du CD-Rom cycle 2.
90 Activits mathmatiques au CE1
Dans la collection Cap Maths, cet ouvrage propose de nombreuses
activits (souvent sous forme de jeux) qui peuvent tre utilises en
complment de celles dcrites dans le guide de lenseignant. Regroupes
par domaines, elles sont destines entrainer ou approfondir des
connaissances travailles au cours de chaque unit. Elles peuvent tre
utilises dans le cadre dune action diffrencie en vue de consolider
des apprentissages (par exemple dans une optique de remdiation).
Elles peuvent tre aussi conduites en ateliers, dans un coin
mathmatiques ou collectivement.Ces activits complmentaires sont
indiques dans le guide de lenseignant, aprs chaque bilan dunit,
dans la rubrique Ressources pour consolidation et remdiation .
Le CD-Rom Cycle 2
Le CD-Rom Cap Maths pour le cycle 2 (CP et CE1) reprend
certaines situations en favorisant le travail autonome de llve et
en exploitant linteractivit permise par lordinateur.Les activits
proposes peuvent tre utilises plusieurs fi ns : se substituer des
moments dapprentissage proposs dans Cap Maths, notamment pour les
classes cours multiples ou pour les classes htrognes ; offrir des
modalits de soutien pour des lves en diffi cult ; favoriser
lentrainement individualis des lves ; permettre certains lves
dapprofondir leurs apprentissages.
-
Principaux apprentissages pour les 10 units
X
Progression en calcul mental : se rfrer au fi chier p.
4.Activits de rvision et de consolidation : se rfrer au fi chier p.
2-3 et au cahier Gomtrie-Longueurs p. 3.
Problmes Organisation de donnes
Nombres et numration Calcul
Espace et gomtrie
Grandeurs et mesure
Unit
1
Problme pour chercher (partage)
Banque de problmes La monnaie en euros
Nombres jusqu 99 Dizaines et units (valeur
positionnelle des chiffres) Lecture et criture
Addition soustraction
Rpertoire additif
Reprage dans lespace
Reprage dans lespace de la feuille
Figures planes Polygones
Longueur Mesure par report
de lunit
Unit
2
Banque de problmes La classe de Lisa
Nombres jusqu 99 Comparaison et rangement Ligne gradue
Addition soustraction
Calcul sur les dizaines
Multiplicationdivision
Doubles et moitis
Reprage dans un quadrillage
Codage de cases et de nuds
Longueur Le centimtre
Unit
3
Utiliser un tableau double entre
Banque de problmes On partage
Nombres jusqu 99 Dizaines et units (valeur
positionnelle des chiffres)
Addition soustraction
Calcul pos pour laddition (nombres infrieurs 100)
Multiplication division
Multiplication et addition itre
Proprits gomtriques
Points aligns
Figures planes Reproduction
avec la rgle
Temps Dates et dures
Unit
4
Relations entre donnes et questions
Banque de problmes Le marchand de ballons
Nombres jusqu 999 Le nombre 100 Centaines, dizaines
et units (valeur positionnelle des chiffres)
Lecture et criture
Addition soustraction
Passage par la dizaine suprieure
Multiplication division
Multiplication et addition itre
Figures planes Carr, rectangle
(longueur des cts) Reproduction de
polygones sur quadrillage
Unit
5
Banque de problmes Les autocars
Nombres jusqu 999 Le nombre 100 Suites de nombres
Addition soustraction
Calcul pos pour laddition (nombres infrieurs 1 000)
Calcul sur les centaines et les dizaines
Multiplication division
Calcul rfl chi de produits
Reprage danslespace
Points de vue
Proprits gomtriques
Angle droit
Figures planes Carr, rectangle
(angles et cts)
-
XI
Principaux apprentissages pour les 10 units
Problmes Organisation de donnes
Nombres et numration Calcul
Espace et gomtrie
Grandeurs et mesure
Unit
6
Chercher toutes les possibilits
Banque de problmes Reproduction la rgle
Nombres jusqu 999 Comparaison, rangement
Multiplication division
Rpertoire multiplicatif (tables de 2 5)
Multiplication par 10 et par 100
Figures planes Reproduction
de polygones sur quadrillage
Temps Lecture de lheure en
heures et demi-heure
Unit
7
Chercher la valeur dun complment
Problmes tapes Banque de problmes
La promenade en bateau
Nombres jusqu 999 Dcompositions avec 10
et 100
Addition soustraction
Soustraction dun petit ou dun grand nombre
Multiplication division
Calcul rfl chi de produits
Proprits gomtriques
Angle droit (trac) Axe de symtrie
Figures planes Carr, rectangle
(construction)
Unit
8
Problmes de groupements rguliers par 2 et par 5 (nombre de
groupements)
Banque de problmes la patisserie
Addition soustraction
Calcul pos pour la soustraction
Multiplication division
Multiplication du type 40 7, 300 3
Longueur Le mtre
Temps Horaires et dures
en heures et minutes
Unit
9
Problmes de partage quitable en 2 et en 5 (valeur de chaque
part)
Banque de problmes Autour du carr
Addition soustraction
Calcul pos pour laddition de plus de 2nombres
Multiplication division
Calcul pos pour la multiplication (multiplicateur < 10)
Division (approche de la division par 2 et par 5)
Solides Polydres, cubes, pavs
Contenance Comparaison
Unit
10
Problmes de groupements rguliers par 2 et par 5 (nombre de
groupements)
Banque de problmes Au jardin
Nombres jusqu 999 Ligne gradue
Longueur Le kilomtre
Masse Comparaison Kilogramme et gramme
-
XII
Dans les textes offi ciels en vigueur la rentre 2014 :
Programme pour le cycle 2Les lves apprennent la numration
dcimale infrieure 1 000. Ils dnombrent des collections, connaissent
la suite des nombres, comparent et rangent.
Socle commun : comptences attendues la fi n du CE1 Llve est
capable de : crire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers
naturels infrieurs 1 000 ; Rsoudre des problmes de dnombrement.
Repres fournis pour organiser la progressivit des apprentissages
(CE1)
Connaitre (savoir crire et nommer les nombres entiers naturels
infrieurs 1 000) ; Reprer et placer ces nombres sur une droite
gradue, les comparer, les ranger, les encadrer ; crire ou dire des
suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc.
CONNAISSANCES ET COMPTENCES FONDAMENTALES
Les principales connaissances et comptences relatives la
dsignation des nombres (criture des nombres en chiffres, et en
lettres, lecture) sont mises en place au CE1. Elles peuvent tre
rsumes par le schma suivant.
criture en chiffres
criture en lettresLecture
Reprsentation figure
Lexpression des nombres en lettres ou oralement comprend :
des irrgularits pour les nombres < 100 des rgularits pour les
nombres
de 100 999
Relations imparfaites entre ces 2 modes dvocation
Groupements et changes Valeur des chiffres en fonction de leur
rang Dcompositions en centaines, dizaines et units Dcompositions
avec 1, 10 et 100
La capacit de llve circuler entre les ples de ce schma permet de
caractriser un premier niveau de maitrise des systmes de dsignation
des nombres infrieurs 1 000.
Exemple avec le nombre 275
2 centaines + 7 dizaines + 5 units 200 + 70 + 5 (2 100) + (7 10)
+ 5
275
deux-cent-soixante-quinze1
Dans soixante-quinze, on ne retrouvepas directement le 7 et le
5
Dans deux-cent-...,on retrouve les 2 centaines
deux cent est visible directement soixante et quinze doivent tre
reconstitus
Nombres et Numration dcimale
1. Les nombres sont crits en tenant compte de lorthographe
recommande par lAcadmie franaise en 1990.
-
XIII
La maitrise des dsignations des nombres en chiffres joue un rle
essentiel dans la comprhension de nombreux apprentissages
numriques.
Suites de nombres de 1 en 1, de 10 en 10
Le passage de 139 140 sexplique par le fait que 10 units = 1
dizaine. Multiplication par 10 ou 100
13 10 peut tre vu comme 13 dizaines donc comme 10 dizaines et 3
dizaines, soit 1 centaine et 3 dizaines (donc 130).
Comparaison des nombresLa comparaison des nombres revient la
comparaison des chiffres de mme rang.
MesureLes conversions relatives aux longueurs, aux masses et aux
contenances sappuient sur les mmes quivalences que celles qui
concernent les centaines, dizaines et units.
Calcul mentalDe nombreuses procdures sappuient sur la
dcomposition des nombres lie leur criture chiffre.
Comprhension des critures en chiffres
Calcul posLa comprhension des tapes de calcul et des retenues
est lie celle des dcompositions en centaines, dizaines et units et
des quivalences entre dizaines et units et centaines et
dizaines.
RPONSES QUELQUES QUESTIONS
Faut-il utiliser un matriel de numration ?
Il est fondamental que les lves donnent du sens aux mots
centaines, dizaines et units et comprennent que 1 centaine = 10
dizaines et 1 dizaine = 10 units. Le recours un matriel de
numration est pour cela indispensable ce niveau de la scolarit (cf.
schma p. XII), chaque fois que ces relations doivent tre illustres
ou chaque fois quun lve semble avoir oubli la signifi cation de ces
mots ou quil a des diffi cults donner chaque chiffre sa valeur dans
lcriture chiffre dun nombre.b Cap Maths fournit un tel matriel.
Dautres matriels peuvent tre utiliss en complment.
Faut-il utiliser le tableau de numration ?
Le tableau de numration (voir dico-maths n 4) est une aide pour
la reconnaissance de la valeur des chiffres dans lcriture chiffre
dun nombre. Mais son usage ne doit pas tre systmatis. Au contraire,
il faut inciter les lves reprer la valeur dun chiffre directement
en analysant lcriture chiffre dun nombre. Le tableau nest utilis
quen cas de diffi cult et de faon provisoire.
Peut-on expliquer lalgorithme qui engendre la suite des nombres
?
Les suites des nombres de 1 en 1 ou de 10 en 10 obissent des
algorithmes qui peuvent tre illustrs par le fonctionnement dun
compteur. Mais lillustration nest pas une explication. Pour
comprendre le fonctionnement de ces algorithmes, il faut dabord
avoir compris quavancer de 1 en 1 (ou de 10 en 10) revient ajouter
1 (ou 10) au nombre prcdent. A partir de l, lexplication est
simple, comme le montre lexemple suivant (avec une suite de 1 en 1)
:
128 1 centaine + 2 dizaines + 8 units + 1 unit
129 1 centaine + 2 dizaines + 9 units + 1 unit 1 centaine + 2
dizaines + 10 units change de 10 units contre 1 dizaine
130 1 centaine + 3 dizaines
Une activit est consacre cet aspect de la numration dcimale en
units 3 et 5.
-
XIV
Quelles diffi cults les lves peuvent-ils rencontrer dans
lapprentissage du reprage sur une droite gradue ?
Au CP, les lves ont appris se reprer sur la fi le numrique et y
rsoudre des problmes lis des dplacements en avant ou en arrire. Le
reprage sur une ligne gradue de 1 en 1 nest pas trs loign de celui
tudi au CP, surtout si la fi le numrique choisie au CP est celle
propose par Cap Maths (nombres inscrits dans des cercles quune
ligne relie entre eux). La diffi cult saccroit lorsque le saut de
la graduation nest plus gal 1, mais prend dautres valeurs comme 10,
50 ou 100 ou si tous les repres ne sont pas tracs. Un apprentissage
spcifi que est alors ncessaire (voir units 2 et 10).
Pourquoi mettre en place une procdure particulire de comparaison
des nombres ?
La procdure souvent enseigne distingue deux cas, selon que les
nombres comparer sont crits ou pas avec le mme nombre de chiffres,
et elle constitue souvent un obstacle pour lapprentissage de la
comparaison de nombres dcimaux.
La procdure que nous proposons est beaucoup plus simple (voir
units 2 et 6). Elle est valable quelle que soit la taille des
nombres et stend facilement aux nombres dcimaux. Enfi n, elle peut
tre explique et comprise facilement partir des connaissances des
lves relatives la numration dcimale.
234 > 78 parce que 234 comporte des centaines et que 78 nen
comporte pas (et que 78 est plus petit que 1 centaine).
234 > 219 parce que les 2 nombres comportent le mme nombre de
centaines et que 234 comporte plus de dizaines que 219 (et que 9
est plus petit que 1 dizaine).
Dans tous les cas, il sagit de parcourir les critures chiffres
des 2 nombres partir de la gauche et de conclure ds quapparaissent
deux chiffres diffrents (78 pouvant tre considr comme 078).
TAPES DE LAPPRENTISSAGE DES NOMBRES ET DE LA NUMRATION PROPOSES
PAR CAP MATHS
Units 1 9 Nombres infrieurs 100 (rvision)Unit 1 Valeur des
chiffres en fonction de leur rang (dizaines et units).
Lecture des nombres et criture en lettres.
Unit 2 Comparaison et rangement des nombres.Ligne gradue.
Unit 3 quivalence entre dizaines et units.changes.
Units 4 7 Nombres infrieurs 1 000Unit 4 Valeur des chiffres en
fonction de leur rang (centaines, dizaines et units).
Lecture des nombres et criture en lettres.
Unit 5 quivalence entre centaines, dizaines et units.changes.
Suites de nombres.
Unit 6 Comparaison et rangement des nombres.
Unit 7 Ligne gradue.
Unit 10 Nombres infrieurs 1 000 et au-dessus de 1 000Ligne
gradue.Dcouverte des nombres plus grands que 1 000.
-
XV
Dans les textes offi ciels en vigueur la rentre 2014 :
Programme pour le cycle 2Les lves mmorisent et utilisent les
tables daddition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils
apprennent les techniques opratoires de laddition et de la
soustraction, celle de la multiplication et apprennent rsoudre des
problmes faisant intervenir ces oprations. Les problmes de
groupements et de partage permettent une premire approche de la
division pour des nombres infrieurs 100.
Lentrainement quotidien au calcul mental permet une connaissance
plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs
proprits.
Socle commun : comptences attendues la fi n du CE1 Llve est
capable de : Calculer : addition, soustraction, multiplication ;
Diviser par 2 et par 5 dans le cas o le quotient exact est entier ;
Restituer et utiliser les tables daddition et de multiplication par
2, 3, 4 et 5 ; Calculer mentalement en utilisant des additions, des
soustractions et des multiplications simples ; Rsoudre des problmes
relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication ;
Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.
Repres fournis pour organiser la progressivit des apprentissages
(CE1) Connaitre les doubles et moitis de nombres dusage courant ;
Mmoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; Connaitre
et utiliser des procdures de calcul mental pour calculer des
sommes, des diffrences et des produits ; Calculer en ligne des
suites doprations ; Connaitre et utiliser les techniques opratoires
de laddition et de la soustraction (sur les nombres infrieurs 1
000) ; Connaitre une technique opratoire de la multiplication et
lutiliser pour effectuer des multiplications par un nombre un
chiffre ; Diviser par 2 ou 5 des nombres infrieurs 100 (quotient
exact entier) ; Rsoudre des problmes relevant de laddition, de la
soustraction et de la multiplication ; Approcher la division de
deux nombres entiers partir dun problme de partage ou de
groupements ; Utiliser les fonctions de base de la
calculatrice.
Les principales connaissances et comptences relatives au calcul
travailles au CE1 sorganisent autour de deux grands ples :
I. LE CALCUL MENTAL
Parmi les diffrentes modalits de calculs (calcul mental, calcul
pos, calcul instrument), le calcul mental occupe une position
centrale.
II. LE SENS DES OPRATIONS
lcole primaire, lintrt du calcul rside principalement dans les
capacits des lves mobiliser les oprations connues pour rsoudre des
problmes, ce quon dsigne traditionnellement par sens des oprations
.
Calcul
-
XVI
I. CALCUL MENTAL
CONNAISSANCES ET COMPTENCES FONDAMENTALES
Le calcul mental est point par plusieurs tudes comme jouant un
rle dcisif dans la russite des lves en mathmatiques. Le schma
suivant, qui articule les diffrentes formes du calcul mental et ses
effets sur dautres apprentissages, permet den comprendre les
raisons.
Calcul mental
MMORISATIONRsultats mmoriss
Exemple : rpertoire additif.Procdures mmorises
Exemple : multiplication par 10 ou par 100.
RFLEXIONRsultats construits
Exemple : 17 + 9.Form
es d
u ca
lcul
men
tal
Calcul posCe calcul suppose des rsultats mmoriss.
Nouveaux apprentissagesExemple : approche de la multiplication
qui suppose laddition itre de petits nombres.
Rsolution de problmesExemple : se ramener des nombres plus
petits pour dterminer une procdure de rsolution.Im
pact
du
calc
ul m
enta
l
RPONSES QUELQUES QUESTIONS
Comment aider les lves mmoriser des rsultats ou des procdures
?
La mmorisation est le rsultat dun processus dont quelques
caractristiques peuvent tre prcises ainsi :
Certains rsultats sont mmoriss plus rapidement que dautres. Pour
laddition, on peut citer en exemple les ajouts de 1 ou 2, les
doubles Pour la multiplication, les rsultats des tables de 2 ou de
5 sont plus facilement mmoriss que ceux des autres tables.
Avant dtre mmoris, un rsultat est souvent dabord reconstruit.
Ainsi, avant dtre associ immdiatement 13, 7 + 6 est-il retrouv en
appui sur 6 + 6 ou partir de lajout successif 7 de 3 et de 3
(passage par 10) ou encore pens comme lajout de 5 + 2 et de 5 + 1.
La progression doit donc tre soigneusement pense.
Le fait prcdent incite mettre en place les points dappui qui
permettent llve de disposer de rsultats indispensables, en
particulier pour laddition : les doubles des nombres infrieurs 10
(souvent disponibles lentre au CE1), les complments 10 et le fait
que laddition est commutative (si 9 + 3 est connu, 3 + 9 lest
aussi, ce que beaucoup dlves ignorent ou nexploitent pas).
Lentrainement enfi n joue un rle essentiel et doit faire lobjet
dun travail quotidien.
Certains lves semblent ne pas avoir mmoris certains rsultats
additifs tout en tant capables de les donner rapidement. Que
faut-il en penser ?
Les chercheurs ont mis en vidence que le rpertoire additif (ce
quon appelle aussi les tables daddition) tait entirement mmoris par
certaines personnes qui associent alors de faon rfl exe 13 7 + 6
alors que dautres nen ont mmoris quune partie et recomposent trs
rapidement les autres rsultats partir de ceux qui sont mmoriss.
Cette seconde faon de procder nest pas un handicap dans la mesure o
les rsultats sont reconstruits de faon quasi instantane. Cela
montre limportance quil y a ne pas limiter cet apprentissage au
seul entrainement et prvoir des moments o sont explicits les moyens
de reconstruire des rsultats en prenant appui sur des rsultats
connus.
Il faut noter que, pour la multiplication, il convient de viser
une mmorisation complte du rpertoire dans la mesure o il est
beaucoup plus diffi cile de reconstruire trs rapidement les
rsultats non mmoriss.
-
XVII
La mmorisation des rsultats soustractifs dcoule-t-elle de celle
des rsultats additifs ?
Pour beaucoup dlves, il est diffi cile de passer de la
connaissance de 7 + 6 = 13 celle de 13 7 = 6 ou la rponse la
question Combien pour aller de 7 13 ? ou encore la production de la
dcomposition de 13 sous la forme 7 + 6. Or, une matrise complte du
rpertoire additif suppose la capacit donner trs rapidement les
sommes, les diffrences, les complments et les dcompositions qui
relvent de ce rpertoire. Un travail soutenu doit donc tre fait dans
ce sens, ncessaire pour pouvoir envisager par exemple une mise en
place du calcul pos pour la soustraction.
Pourquoi ne pas prsenter le rpertoire additif sous forme de
table de Pythagore ?
Cette prsentation sous forme de tableau double entre est en
effet synthtique et conomique, mais elle est source de diffi cults
de lecture pour beaucoup dlves au CE1. Cest la raison pour
laquelle, comme au CP, nous avons prfr une autre prsentation plus
facile daccs et mettant en vidence la fois les sommes et les
dcompositions. En voici un extrait :
4 5 6
1 + 32 + 23 + 1
1 + 42 + 33 + 24 + 1
1 + 52 + 43 + 34 + 25 + 1
Faut-il enseigner des procdures de calcul rfl chi ?
Pour chaque calcul ou type de calcul, il existe plusieurs
procdures possibles. Prenons trois exemples :
Exemple 1 : ajout de 9 un nombre infrieur 100
On peut tre tent denseigner aux lves quil faut alors ajouter 10
puis soustraire 1. Cette procdure est effi cace pour calculer 36 +
9. Elle lest moins pour calculer 30 + 9 (la rponse devrait tre
immdiate et dcouler du travail sur la numration dcimale) ou encore
pour 31 + 9 o il est plus pertinent de dcomposer 31 en 30 + 1 pour
faire apparatre 1 + 9 = 10. Et, mme pour 36 + 9, des lves peuvent
prfrer passer par 40 en dcomposant 9 en 4+5 et en ajoutant
successivement 4, puis 5
Il faut donc prendre en compte le fait quil nexiste pas, dans ce
domaine, de procdure unique pour un type de calcul et que, pour un
mme calcul, les lves peuvent, dans la classe, adopter des procdures
diffrentes. Cest en travaillant faire expliciter les procdures
mises en uvre par les lves ou suggres par lenseignant quon peut
leur permettre de sapproprier des procdures auxquelles ils nont pas
pens.
Exemple 2 : calcul de 72 3
Cette soustraction incite : soit reculer de 3 partir de 72 ;
soit soustraire successivement 2 et 1 ; soit dcomposer 72 en 60 +
12 et utiliser le rsultat connu 12 3.
Exemple 3 : calcul de 72 69
Cette soustraction incite plutt chercher ce quil faut ajouter 69
pour obtenir 72 (dans ce cas, le calcul soustractif est remplac par
un calcul additif (voir p. XXII pour un travail sur cette
quivalence).Mais il est galement possible de soustraire 60 puis 9,
ou plus tard de se ramener 12 9 en soustrayant 60 aux deux termes
de la diffrence.
Ces considrations peuvent tre rsumes par le schma suivant :
un calcul mental peut tre trait de plusieurs faons
Procdure 1
Procdure 2
Procdure 3
...
-
XVIII
Cela a deux consquences :
Tout dabord, il est important de ne pas se focaliser sur une
seule procdure, car le plus souvent plusieurs procdures sont deffi
cacit gale. Au contraire, il faut inciter chaque lve choisir une
procdure qui lui convient et en changer en fonction des calculs
proposs.
Dans la conduite des moments de calcul rfl chi, un temps suffi
sant doit tre laiss aux lves pour llaboration de leur procdure et
un autre temps doit tre consacr faire verbaliser les procdures
utilises et les illustrer par un crit ou laide dun matriel (voir
les questions suivantes).
Pour le calcul rfl chi, y a-t-il des passages obligs ?
Au pralable, il faut souligner que les procdures de calcul rfl
chi se droulent trs diffremment de celles en uvre pour le calcul
pos. Le calcul rfl chi porte essentiellement sur des mots alors que
le calcul pos porte sur des chiffres. Dautre part, trs souvent le
calcul rfl chi se droule de gauche droite alors que le calcul pos
se droule de droite gauche. Ainsi, pour calculer vingt-six plus
trente-quatre, va-t-on plutt calculer vingt plus trente gale
cinquante, puis six plus quatre gale dix et enfi n cinquante plus
dix gale soixante. Les lves en diffi cult en calcul mental sont
souvent des lves qui posent lopration dans leur tte. Do limportance
de ne pas mettre en place prmaturment des techniques de calcul pos
qui pourraient avoir un effet ngatif sur llaboration de procdures
de calcul mental.
Pour pouvoir mettre en uvre et comprendre les procdures de
calcul rfl chi, les lves doivent pouvoir sappuyer sur des rsultats
mmoriss solides et sur des stratgies effi caces.
Addition et soustraction
En dehors des rsultats du rpertoire additif progressivement
mmoriss au CE1, les lves doivent en mmoriser dautres qui seront
autant de points dappui supplmentaires, en particulier : trouver
rapidement le complment dun nombre sa dizaine suprieure,
additionner ou soustraire des dizaines entires puis des centaines
entires entre elles. Du point de vue stratgique, la plupart des
procdures effi caces sappuient sur une dcomposition (additive ou
soustractive) de lun ou des deux termes en jeu, le plus souvent en
rfrence la numration dcimale (voir les exemples donns dans le
dico-maths n 9 13).
Multiplication
Le calcul rfl chi est principalement li la construction
progressive des rsultats des tables tudies et prcde leur
mmorisation. Trois points dappui principaux peuvent tre cits :
la commutativit de la multiplication : si 3 fois 5 est connu, 5
fois 3 lest aussi ;
le fait quun des facteurs augmente de 1 : si 2 fois 5 est connu,
on peut en dduire 3 fois 5 qui vaut 5 de plus ;
le fait quun des facteurs est doubl : si 3 fois 5 est connu, on
peut en dduire 6 fois 5 qui vaut le double.
Ce dernier point est plus diffi cile mettre en place que le
prcdent. Soulignons que, pour lessentiel, cest dans les classes
suivantes que se dvelopperont les procdures de calcul rfl chi pour
la multiplication.
Est-il pertinent dutiliser des supports matriel pour le calcul
mental ?
La rponse concerne essentiellement les rsultats qui sont
construits par les lves par le biais dun raisonnement (calcul rfl
chi). Une remarque pralable concerne le vocabulaire utilis. Il peut
tre parfois prfrable de ne pas utiliser le vocabulaire
mathmatiquement correct pour expliciter certaines procdures. Ainsi
pour le calcul de 36 + 9 en passant par 40, lexpression 36 plus 4
cest 40, et encore 5 cest 45 peut tre mieux comprise quune
expression qui utilise les mots plus et gale . La solution peut
alors tre davoir recours plusieurs formulations quivalentes.
De mme, lexpression 3 fois 5 cest 2 fois 5 et encore 1 fois 5
sera certainement mieux comprise que lexpression 5 multipli par 3
gale 5 multipli par 2 plus 5 multipli par 1 .
-
XIX
Mais souvent, lexpression verbale des procdures gagne tre
accompagne par une illustration image qui peut faire rfrence soit
laspect cardinal des nombres (donc des quantits organises en
fonction de la numration dcimale), soit leur aspect ordinal (donc
des dplacements sur une ligne numrique).
Ainsi lexemple du calcul de 36 + 9 en passant par 40 peut tre
illustr par :
Une nouvelle dizaine est fabrique avec 6 de 36 et 4 de 9 .
36 40 45+ 9
+ 4 + 5
Aspect cardinal Aspect ordinal
Quel intrt y a-t-il proposer des petits problmes dans le cadre
des activits quotidiennes de calcul mental ?
La tradition de la rsolution de problmes est marque par la place
des noncs crits. Il ne sagit pas den nier limportance. Mais dautres
modes de prsentation des situations doivent tre utiliss : sous
forme exprimentale, avec laide dillustrations ou sous forme orale.
A cet gard, les moments de calcul mental jouent un rle particulier.
Cest ce qui nous a conduit renforcer le travail consacr ce type
dactivits (en gnral deux reprises pour chaque unit de travail).
Portant sur des nombres bien connus des lves, qui ne les effraient
pas, les problmes traiter mentalement mobilisent plus facilement
leur attention sur le raisonnement mettre en uvre et sur le sens
des oprations sollicites (voir p. XXII). Enfi n, leur prsentation
orale vite bon nombre de diffi cults que certains lves rencontrent
dans le dcodage dun texte et permet donc un accs plus rapide au
travail mathmatique.
quel moment faut-il introduire les symboles opratoires (+, et )
?
Les symboles opratoires sont un des lments langagiers qui
permettent dexprimer des relations entre nombres (par exemple, le
nombre 12 peut tre reli 5 et 7 par 7 + 5 = 12, 3 et 4 par 4 3 = 12,
3 et 15 par 15 3 = 12, etc.). Ils permettent galement de
mathmatiser des situations concrtes dans le cadre de la rsolution
de problmes (voir p. XXV). Le langage verbal est un autre mode
dexpression des oprations.
Il est donc faux de considrer que le travail sur une opration
commence avec lintroduction du signe qui sert lexprimer. Celle-ci
nen est quune tape trs importante.
Au CE1, un nouveau signe opratoire est introduit : le signe pour
la multiplication. Auparavant, les lves ont rsolu des problmes
multiplicatifs sans disposer de la multiplication : laddition itre
tait suffi sante. Par exemple lorsquon cherche combien de tours
identiques on peut raliser avec 30 cubes , une solution consiste
dcomposer 30 sous la forme 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5. Le mot fois est
alors utilis pour exprimer que, dans ce cas, on a ajout 6 fois le
nombre 5. Cest partir de l quest introduit le signe . la suite des
activits prcdentes, lcriture 5 6 est mise en relation avec des
groupements dobjets, avec laddition itre de 6 termes gaux 5 ou de 5
termes gaux 6 et avec des expressions comme 6 fois 5 ou 5 fois
6.
Faut-il distinguer 5 6 et 6 5 ?
La multiplication possde une proprit fondamentale (la
commutativit) et qui se traduit par 5 6 = 6 5. Comme cela a dj t
indiqu, cette proprit permet une conomie importante dans
lapprentissage des tables de multiplication puisque la connaissance
de 5 6 = 30 entrane celle de 6 5 = 30.
Notre choix est donc de travailler demble lgalit des critures 5
6 et 6 5, chacune delles pouvant tre interprte aussi bien comme 5
fois 6 que comme 6 fois 5 . En effet, pour un problme comme Combien
y a-t-il de billes dans 5 paquets de 6 billes ? , les deux calculs
6 5 = 30 et 5 6 = 30 sont corrects. La situation 5paquets de 6
billes incite considrer quon a 6 billes et encore 6 billes et
encore 6 billes, etc. (donc 5 fois 6billes), mais les lves doivent
savoir quils peuvent obtenir la rponse aussi bien en calculant 6 5
que 5 6.
-
XX
Quelle place faut-il donner lapprentissage du calcul pos ?
Aujourdhui, mme sil nest pas nul, lintrt pratique des techniques
de calcul pos est moindre de ce quil tait avant la vulgarisation de
lusage des calculatrices. Mais leur intrt pdagogique et culturel
demeure : leur matrise renforce chez les lves la connaissance des
nombres et de la numration dcimale, condition que leur
apprentissage vise la comprhension des mcanismes luvre dans leur
excution. Dans tous les cas, une bonne connaissance des rpertoires
(tables) est indispensable.
Addition pose en colonnes
Sa comprhension prend appui sur les connaissances acquises en
numration (en particulier sur la valeur positionnelle des chiffres
et la rfrence aux groupements par dix) qui permettent de justifi er
le principe de la retenue. Lillustration par le matriel utilis pour
le travail sur la numration est utile pour certains lves.
Soustraction pose en colonnes
La demande faite dans les programmes 2008 de mettre en place une
technique de calcul pos au CE1 constitue une modifi cation
importante diffi cile satisfaire compte tenu des connaissances des
lves (la soustraction pose en colonnes ntant prcdemment enseigne
quau CE2). Si on veut rpondre cette recommandation importante du
programme selon laquelle lacquisition des mcanismes en mathmatiques
est toujours associe une intelligence de leur signifi cation et
compte tenu des acquis des lves de CE1, la seule technique
envisageable au CE1 est celle souvent appele par cassage ou
dmontage de la centaine, de la dizaine . Pour la comprendre, il
suffi t en effet davoir assimil le principe de la numration dcimale
(groupements et changes en relation avec la valeur positionnelle
des chiffres). Le choix aurait pu tre fait de se limiter au CE1 des
soustractions sans retenue . Nous lavons rejet en raison des
obstacles connus quil gnre pour certains lves qui traitent alors
sparment les units et les dizaines dans un ordre alatoire (ce qui
fonctionne pour les soustractions sans retenue mais conduit des
erreurs dans les cas avec retenues ). Voir les commentaires sur la
technique choisie en unit 8, p. 234.
Multiplication pose (limite au cas o le multiplicateur est
infrieur 10)
On peut allger un peu la charge de travail des lves, en se
limitant aux cas o le multiplicateur ne dpasse pas 5, en esprant
que les rsultats de ces tables qui fi gurent actuellement au
programme du CE1 peuvent alors tre rapidement disponibles.
Les calculatrices peuvent-elles tre utilises ds le CE1 ?
Au CE1, il est diffi cile denvisager un travail sur des spcifi
cits des calculatrices au-del des touches qui correspondent aux
oprations usuelles. Cest la raison pour laquelle nous navons pas
prvu de sance spcifi quement rserve aux calculatrices. Elles sont
utilises comme auxiliaire de calcul dans certaines activits et
peuvent tre mises la libre disposition des lves pour rsoudre des
problmes lorsque lenseignant lestime ncessaire.
TAPES DE LAPPRENTISSAGE DES MTHODES DE CALCUL PROPOSES PAR CAP
MATHS
CALCUL MENTALCALCUL POSMmorisation de rsultats
et de procdures Procdures de calcul rfl chi
Unit
1
Addition, soustraction Rpertoire additif (rsultats jusqu 10).
Ajout, retrait de 1 un nombre < 100. Calculs lis la
numration
(20 + 7 ; 27 7).
Unit
2
Addition, soustraction Rpertoire additif (avec un nombre <
10
et un nombre < 5). Ajout, retrait de 2 ou de 10 un nombre
< 100. Addition, soustraction de dizaines entires.
Addition Addition itre dun nombre < 10. Somme de 3 nombres
infrieurs 10.
Doubles et moitis Nombres de 1 30.
-
XXI
Unit
3Addition, soustraction
Rpertoire additif (complet). Addition, soustraction de dizaines
entires.
Addition, soustraction Ajout, retrait de 6, de 7 de 8 ou de 9
un
nombre < 100 (sans passage la dizaine suprieure ou
infrieure).
Doubles et moitis Nombres de 1 30.
Addition Nombres < 100 (entraine dans les units
suivantes).
Unit
4
Addition, soustraction Rpertoire additif (complet). Addition,
soustraction de dizaines entires
entre elles.
Addition, soustraction Complment la dizaine suprieure. Addition,
soustraction de dizaines entires
un nombre < 100. Ajout, retrait dun nombre < 10 un
nombre < 100 (avec passage la dizaine suprieure ou
infrieure).
Unit
5
Addition, soustraction Ajout, retrait de 5 un nombre multiple
de
5 (infrieur 100). Addition, soustraction de dizaines et de
centaines entires entre elles.
Addition, soustraction Addition itre dun nombre infrieur 10.
Addition, soustraction de dizaines et
centaines entires un nombre < 100.
Multiplication Calcul de produits simples.
Addition Nombres < 1 000 (entraine dans les
units suivantes).
Unit
6
Addition, soustraction Complment 100 dun multiple de 10.
Multiplication Construction des tables jusqu celle de 5.
Multiplication par 10 et par 100.
Addition, soustraction Addition et soustraction de 2 nombres
<
100 (sans retenue). Complment la centaine suprieure dun
multiple de 10.
Multiplication Calcul de produits simples.
Unit
7
Multiplication Tables de multiplication de 2 et de 5.
Multiplication par 10 et par 100.
Addition, soustraction Ajout, retrait dun nombre infrieur 10
un nombre infrieur 100. Ajout, retrait dun petit ou dun
grand
nombre.
Multiplication Calcul de produits simples.
Unit
8
Multiplication Table de multiplication de 4.
Addition, soustraction Complment une dizaine suprieure Ajout,
retrait dun petit nombre.
Multiplication Produit dun multiple de 10 ou de 100 par
un nombre < 10.
soustraction(entraine dans les units suivantes)
Unit
9
Multiplication Table de multiplication de 3. Multiplication par
10 et par 100.
Addition, soustraction Ajout, retrait dun nombre proche de
20.
Doubles et moitis Nombres multiples de 5.
Division Par 2 et par 5 (cas simples).
Addition Plus de 2 nombres.
Multiplication Multiplicateur < 10
(entraine dans lunit suivante).
Unit
10 Multiplication
Tables de multiplication de 2 5. Multiplication par 10 et par
100.
Addition, soustraction Complment 100 dun multiple de 5. Addition
et soustraction de 2 nombres
-
XXII
II. SENS DES OPRATIONS
LES DIFFRENTS SENS DUNE OPRATION
Lexpression sens dune opration voque la capacit des lves
utiliser bon escient cette opration pour rsoudre un problme2. La
situation est plus complexe que ne pourrait le laisser supposer
cette expression. Comme lont montr de nombreux travaux (en
particulier en France, ceux de Grard Vergnaud3), une mme opration
peut tre sollicite pour rsoudre une grande varit de problmes. Il
serait donc plus juste de parler des diffrents sens dune opration.
Si, pour certains problmes, la reconnaissance de lopration ne pose
gure de diffi cults, pour dautres au contraire cette reconnaissance
est plus tardive et ncessite la mise en place dun enseignement
organis sur la base de situations appropries.
Pour rsumer cette problmatique, on peut se rfrer aux deux schmas
suivants :
une opration permet de rsoudre plusieurs types de problmes
Problme de type 1
Problme de type 2
Problme de type 3
...
un problme peut tre rsolu de plusieurs faons
Procdure 1
Procdure 2
Procdure 3
...
EXEMPLE : LA SOUSTRACTION
Au dbut, pour beaucoup dlves, cest lopration qui permet de
trouver ce qui reste la suite dune diminution. En quelque sorte,
soustraire, cest enlever. Ce sens de la soustraction est assez tt
accessible, mais il peut aussi constituer un obstacle pour laccs
dautres sens de cette opration.
En effet, la soustraction est galement utile pour trouver un
complment Combien de billes bleues dans un ensemble qui comporte 25
billes dont 18 rouges, sachant que toutes les autres sont bleues ?
. Dans cette situation, il est plus naturel de se demander ce quil
faut ajouter 18 pour obtenir 25, autrement dit de raisonner
davantage dun point de vue additif que dun point de vue
soustractif.
Un autre sens de la soustraction peut galement tre voqu, celui
qui correspond au calcul dun cart ou dune diffrence : Lo a 25
billes. Tom en a 18. Lo a plus de billes que Tom. Combien de plus ?
.
Dautres catgories de problmes qui peuvent tre rsolus en
utilisant la soustraction peuvent tre voques. Lessentiel ici est de
souligner cette pluralit de sens et le fait que, au-del de ce quon
pourrait appeler le sens naturel , leur matrise suppose un travail
didactique et ne peut pas tre seulement le fruit de problmes
rencontrs de faon plus ou moins hasardeuse.
Prenons lexemple de la recherche de la valeur dun complment :
Combien de billes bleues dans un ensemble qui comporte 25 billes
dont 18 rouges, sachant que toutes les autres sont bleues ?
Avec ces donnes, la rponse peut tre trouve par un dessin ou un
schma en dnombrant directement les billes bleues, en allant de 18
25, par addition trou (18 + = 25) ou en calculant 25 18. Le fait
que ces diffrentes modalits sont quivalentes et peuvent tre
remplaces lune par lautre est construire avec les lves.
partir de l, deux questions se posent :
2. Voir un autre aspect du travail sur la rsolution de problmes,
p. XXV.3. Voir par exemple
http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/fic/38/38n2.pdf pour
le cas des structures additives.
-
XXIII
Faut-il proposer des problmes relevant dun sens particulier
avant quil ait t enseign ? A quel moment tel sens particulier
peut-il tre enseign et comment ?
La rponse la premire question peut tre schmatise de la faon
suivante, pour la soustraction :
Soustraction
Calcul dun resteProblme : Alex a 75 images. Il donne 3 paquets
de 10 images Lisa. Combien lui reste-t-il dimages ?
Rsolution dite experteProblmes demble reconnus comme se rsolvant
par soustraction.
Calcul dun cartProblme : Un car orange a 65 places et un car
bleu a 80 places. Il y a plus de places dans le car bleu que dans
le car orange. Combien de plus ?
Dautres sens de la soustraction feront lobjet dun enseignement
au CE2 et au CM.
Rsolution dite personnelleProblmes rsolus par divers moyens
(sans que la soustraction soit vise).
Calcul dun complmentProblme : unit 7, sance 2.
Calcul dune valeur initiale avant quelle augmente
Problme : unit 10, sance 5.
Ces deux sens de la soustraction devront faire lobjet dun nouvel
enseignement au CE2 et, pour certains lves, au CM.
Passage dune rsolution dite personnelle une rsolution dite
experte
Problmes pour lesquels une rsolution par soustraction est
enseigne.
TAPES DE LAPPRENTISSAGE DU SENS DES OPRATIONS PROPOSES PAR CAP
MATHS
Sens connu Sens enseign au CE1
Addition Total (runion de quantits) Rsultat dune
augmentation.
Soustraction Rsultat dune diminution. Valeur dun complment (unit
7). Valeur avant une augmentation (unit 10).Note : Un travail est
conduit sur ces types de problmes que des lves peuvent dj
reconnatre comme relevant de la soustraction. Au CE2 et au CM1, des
activits seront nouveau proposes pour que les lves reconnaissent la
soustraction comme opration permettant de rsoudre ces 2types de
problmes.
Multiplication Total obtenu par la runion de plusieurs quantits
identiques (units 4 et 5, avecutilisation du signe ).
Nombre dlments organiss en lignes et colonnes rgulires (unit
10).
Division Nombre de groupements rguliers (en particulier par 2 et
par 5) partir dune quantit (units 8 et 10).
Valeur de chaque part dans le partage quitable dune quantit
(unit 9).Note : Un travail est conduit sur ces types de problmes,
mais ils ne sont le plus souvent pas reconnus comme relevant de la
division. Au CE2 et au CM1, des activits seront proposes pour que
les lves reconnaissent la division comme opration permettant de
rsoudre ces 2 types de problmes.
-
XXIV
PROBLMES RELATIFS AU SENS DES OPRATIONS PROPOSS PAR CAP
MATHS
En dehors des activits dapprentissage cibles, des problmes sont
proposs :
dans les activits de calcul mental, deux fois par unit :
problmes proposs oralement ;
dans les activits de rvision, au moins deux fois par unit :
problmes proposs sous forme dnoncs crits ;
dans les pages problmes.
Selon les cas, ces problmes peuvent tre rsolus :
soit en faisant appel un sens connu dune opration (travaill au
CP ou au CE1) ;
soit en mobilisant des procdures personnelles de rsolution, ce
qui permet aux lves de travailler sur la comprhension de situations
qui, plus tard, pourront servir de support lapprentissage dun
nouveau sens pour une opration donne.
Il faut souligner que, en fonction de la comprhension de la
situation voque et de la matrise des diffrents sens dune opration,
un mme problme peut tre rsolu par certains en faisant appel
directement cette opration et par dautres en mobilisant une
procdure personnelle.
Dans le tableau ci-dessous, la mention de lopration (addition,
soustraction, multiplication, division) nimplique pas que les lves
vont lutiliser pour rsoudre les problmes correspondants.
Calcul mental Rvision Pages Problmes Addition Valeur obtenue par
la runion de 2 ou plusieurs valeurs Units 1, 2, 5 Units 1, 2, 5, 6,
9 Units 1, 2, 4, 5, 8
Rsultat dune augmentation Unit 5
Valeur avant une diminution Unit 4
Position suite un dplacement en avant sur une ligne gradue Unit
4 Unit 4
Valeur trouver partir de la donne dun cart (comparaison) Unit 7
Unit 7
Soustraction Rsultat dune diminution Unit 6, 8, 9 Unit 5
Valeur dun complment Units 1, 2, 3, 5 Units 1, 2, 3, 5, 9 Units
5, 7, 10
Valeur avant une augmentation Unit 5
Position suite un dplacement en arrire sur une ligne gradue Unit
4
Valeur dun dplacement sur une ligne gradue Unit 4 Unit 4
Valeur dun cart ou dune diffrence (comparaison) Unit 7 Unit
7
Valeur trouver partir de la donne dun cart (comparaison) Unit 7
Units 1, 2, 5
Multiplication Valeur obtenue par la runion de plusieurs
valeurs
identiques Units 6, 8, 9 Units 6, 8, 9 Units 2, 7, 8, 10
Nombre dlments organiss en lignes et colonnes rgulires Unit
10
Division Nombre de groupements rguliers partir dune quantit
Units 3, 6, 8, 10 Units 8, 10 Units 2, 8, 10
Valeur de chaque part dans le partage quitable dune quantit Unit
1, 10 Unit 10 Units 1, 2
-
XXV
Dans les textes offi ciels en vigueur la rentre 2014 :
Programme pour le cycle 2Llve utilise progressivement des
reprsentations usuelles: tableaux, graphiques.
Socle commun : comptences attendues la fi n du CE1 Llve est
capable de : Utiliser un tableau, un graphique ;
Complter un tableau dans des situations concrtes simples ;
Organiser les informations dun nonc.
Repres fournis pour organiser la progressivit des apprentissages
(CE1) Utiliser un tableau, un graphique ; Organiser les
informations dun nonc.
CONNAISSANCES ET COMPTENCES FONDAMENTALES
La rsolution de problmes est lactivit mathmatique par
excellence. Cest sa capacit utiliser ce quil sait pour venir bout
dun problme quon reconnat vritablement quun lve maitrise ce quil a
appris. Or on constate, dans la plupart des valuations (nationales
ou internationales), des faiblesses chez trop dlves dans ce domaine
: angoisse face une situation indite, manque dinitiative, peur de
se tromper
Dans Cap Maths, la rsolution de problmes est travaille dans
trois directions :
partir dun problme pour apprendre une nouvelle connaissance :
cela permet llve de comprendre quoi elle sert, quel est lintrt de
la matriser ;
utiliser les connaissances acquises dans des problmes nouveaux :
cela permet den renforcer le sens et dtendre leur champ
dutilisation ;
dvelopper les capacits chercher : exploiter des informations,
explorer une piste et la remettre en cause, saider dun dessin ou
dun schma, faire de petites dductions, expliquer pourquoi une
rponse convient ou ne convient pas sont autant de comptences que
lenfant doit commencer dvelopper trs tt.
Cette approche du travail mathmatique sinscrit galement dans la
perspective de la comptence du programme relative lautonomie et
linitiative, visant dvelopper chez llve les capacits :
couter pour comprendre, interroger, rpter, raliser un travail ou
une activit ;
changer, questionner, justifi er un point de vue ;
travailler en groupe, sengager dans un projet ;
se reprsenter son environnement proche, sy reprer, sy dplacer de
faon adapte.
Dautres capacits spcifi ques de la rsolution de problmes sont
galement vises :
dvelopper une pense logique (chercher, abstraire, raisonner)
;
organiser les donnes dun problme en vue de sa rsolution ;
produire une solution originale dans un problme de recherche
;
formuler et communiquer sa dmarche ;
contrler et discuter la pertinence ou la vraisemblance dune
solution ;
identifi er des erreurs dans une solution en distinguant celles
qui sont relatives au choix dune procdure de celles qui
interviennent dans sa mise en uvre.
Enfi n, au CE1 commence se mettre en place la capacit exploiter
des donnes sur diffrents supports : tableaux ou graphiques
simples.
Problmes et Organisation de donnes
-
XXVI
En dehors des connaissances mathmatiques dveloppes dans les
activits de rsolution de problmes (voir les commentaires relatifs
aux diffrents domaines), dautres connaissances et comptences de
nature mthodologique font lobjet dun enseignement. Pour le CE1,
elles sont rsumes dans le schma suivant :
Connatre des stratgies grer des essais ; procder par inventaire
; dterminer des tapes ; raisonner, dduire...
Faire preuve dinitiative etdautonomie
affronter des problmes indits ; accepter quun mme problme puisse
tre rsolu de manires diffrentes.
Prsenter, comprendre unesolutionet en dbattre
procdures ; erreurs...
Prendre des informations sur diffrents supports
texte et illustration ; tableau et graphique
Rsolution de problmes
RPONSES QUELQUES QUESTIONS
Pourquoi faut-il proposer des problmes ouverts (ou problmes de
recherche) ?
Trois raisons principales peuvent tre avances :
1. Dvelopper un comportement de chercheur . En effet, sengager
dans la rsolution dun problme nest, souvent, pas une attitude
spontane des lves qui arrivent au CE1. Ils ont parfois tendance
attendre des indications sur la dmarche suivre avant de se lancer
dans un travail. Il est donc ncessaire, par laction, de leur faire
comprendre ce que lon attend deux en mathmatiques: prendre des
initiatives, accepter la responsabilit de la rsolution du problme,
accepter de ne pas trouver tout de suite, argumenter propos de la
validit dune solution...
2. Prendre conscience de la porte des connaissances dont on
dispose. Celles-ci ne permettent pas seulement de rsoudre des
problmes dits dapplication , mais (mme peu nombreuses) elles
peuvent tre mobilises pour traiter de nombreux autres problmes.
3. Prparer des apprentissages ultrieurs. Lappropriation dun
nouveau sens pour une opration suppose que llve mette cette
opration en rapport avec une nouvelle catgorie de problmes. Il le
fera plus facilement sil est dj familier de tels problmes quil a eu
loccasion de rsoudre par dautres mthodes. Ainsi des situations de
partage quitable ou de groupements rguliers ont-elles donn lieu des
problmes bien avant que llve ne soit capable de les rsoudre en
utilisant la division.
Faut-il donner des explications complmentaires ?
Dans certains cas, des explications complmentaires peuvent tre
labores collectivement :
sur la signifi cation des informations fournies et la
comprhension de la question ;
sur ce quil faut faire : utiliser le brouillon pour chercher,
expliquer ensuite comment on a trouv, rpondre la question pose
Progressivement, les lves doivent pouvoir travailler de faon
plus autonome.
-
XXVII
Faut-il fournir du matriel aux lves ?
Beaucoup de problmes sont proposs partir dun support crit qui
peut prendre des formes diffrentes : texte, illustration, tableau,
graphique. Pour aider la comprhension de la situation et de la
question, il peut tre utile de matrialiser la situation .
Par exemple, dans la page Problmes en fi n dunit 2, le problme
suivant est propos (on sait quil y a 26 lves dans la classe) : Dans
la classe, les lves sont installs par groupes de deux lves. Combien
de groupes de deux lves y a-t-il dans la classe de Lisa ? Pour des
lves qui ont du mal comprendre la situation, on peut montrer 26
objets, de prfrence des personnages, qui reprsentent les lves,
commencer les mettre par deux devant les lves (8 objets par
exemple), sarrter, remettre tous les objets dans une bote et
demander aux lves combien de groupes de deux peut-on raliser ?
.
Dans cette situation, le matriel est destin faire comprendre le
problme aux lves, mais nest pas mis leur disposition pour le
rsoudre. En effet, si les lves rpondent la question laide du
matriel, ils ne font pas de mathmatiques. Cest la ncessit davoir
construire la rponse, sans disposer du matriel, qui conduit
lactivit mathmatique. Aprs rsolution et dbat entre les lves, une
solution peut tre valide en faisant tous les groupes possibles avec
le matriel.
Quel droulement pour le travail sur un problme ouvert ?
Le plus souvent, un problme ouvert gagne tre rsolu en petites
quipes, aprs un temps dappropriation individuel.
Phase de rechercheElle est labore sur une feuille part ou sur le
cahier de brouillon. Cela permet aux lves de se sentir libre
dexplorer une piste, puis une autre, sans se soucier de faire juste
et propre du premier coup avant mme davoir commenc chercher.
Phase dexploitationLes productions des lves sont tout dabord une
source dinformation pour lenseignant, en observant quelles
connaissances et quelles stratgies les lves mobilisent pour chaque
problme. Pour ces problmes, une mise en commun est prfrable une
correction. Il sagit alors, avec les lves, dexaminer diffrentes
productions pour discuter la validit des procdures utilises, pour
identifi er les erreurs et pour mettre en relation des procdures de
rsolution diffrentes.
Ce travail sur les solutions des lves est un des moyens de les
faire progresser, en montrant quil y a rarement une seule faon de
rsoudre un problme et en leur permettant de sapproprier dautres
procdures que celles quils ont utilises.
Faut-il une synthse et une trace crite lissue du travail sur un
problme ouvert ?
1. Une synthse est toujours ncessaire. Elle peut, selon les
problmes, porter sur des points diffrents, par exemple :
sur les comportements attendus dans ce type dactivit : on peut
ne pas trouver tout de suite, au brouillon, on peut essayer,
barrer, recommencer ;
sur les modalits du travail en quipes : scouter, proposer,
suivre une piste, en dbattre, choisir une solution ;
sur les rsolutions valides et leur mise en relation ;
sur une stratgie particulire : faire un essai et en tenir compte
pour lessai suivant ; organiser un inventaire des possibilits ;
dterminer des tapes possibles ;
sur des erreurs caractristiques.
2. Dans certains cas, une trace crite peut tre juge utile.Elle
peut, dans ce cas, prendre diffrentes formes :
trace crite collective (avec diffrentes solutions valides) au
tableau, sur affi che, sous forme de document projetable (TNI, par
exemple) et pouvant tre utilise comme source dinformation par les
lves ;
document photocopi remis aux lves et contenant diffrentes
solutions valides ;
trace crite personnalise, chaque lve recopiant lune des
solutions quil pense avoir comprise et quil pense pouvoir utiliser
dans un problme voisin qui lui sera effectivement propos
prochainement.
-
XXVIII
COMMENT UTILISER LES PAGES PROBLMES
Pour chaque srie, les problmes sont varis : ils sont, le plus
souvent, situs dans un mme contexte, ce qui contribue maintenir
lintrt des lves et leur permet de se concentrer davantage sur les
questions poses ; ils ne relvent pas tous du mme domaine
mathmatique, de manire favoriser la rfl exion quant au choix des
procdures de rsolution ; les donnes sont fournies par des supports
divers : dessin, texte, schma.
Chaque lve ne traitera pas obligatoirement lensemble des
problmes. Le choix, lutilisation et la mise en uvre de ceux-ci sont
laisss linitiative de lenseignant. Certains problmes peuvent tre
proposs en rsolution individuelle. Dautres sont rsolus en quipes,
soit directement, soit aprs une phase de rsolution
individuelle.
La recherche se fait dabord au brouillon, sur une feuille part.
Ensuite, les lves peuvent consigner leurs rponses dans le fi
chier.
Lexploitation prend souvent la forme dune mise en commun au
cours de laquelle sont examines diffrentes productions pour
discuter la validit des procdures utilises, pour identifi er les
erreurs et pour mettre en relation des procdures de rsolution
diffrentes.Ce travail sur les solutions des lves est un des moyens
de les faire progresser, en montrant quil y a rarement une seule
faon de rsoudre un problme et en leur permettant de sapproprier
dautres procdures que celles quils ont utilises.
PRINCIPALES OCCASIONS DE TRAVAIL SUR LA RSOLUTION DE
PROBLMES
Le tableau suivant ne recense que les occasions de travailler
spcifi quement sur telle ou telle comptence mthodologique. Dune
part, celles-ci peuvent tre luvre dans beaucoup dautres situations.
Dautre part, un problme pouvant toujours tre rsolu de plusieurs
manires, il est possible que, dans un problme, des lves mobilisent
dautres comptences que celles qui sont nonces ci-dessous.
Activits dapprentissage Pages Problmes
Grer des essais Unit 1 Units 1, 2, 3, 7, 8, 10
Prendre de linformation sur diffrents supports
Unit 3 : tableauUnit 4 : texte, illustration
Unit 4 : tableauUnits 5 et 6 : texte et illustration
Procder par inventaire Unit 6 Units 8 et 9
Dterminer des tapes Unit 7 Units 4 et 7
-
XXIX
Dans les textes offi ciels en vigueur la rentre 2014 :
Programme pour le cycle 2Les lves enrichissent leurs
connaissances en matire dorientation et de reprage. Ils apprennent
reconnatre et dcrire des fi gures planes et des solides. Ils
utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou
tracer des fi gures planes. Ils utilisent un vocabulaire spcifi
que.
Socle commun : comptences attendues la fi n du CE1 Llve est
capable de : Situer un objet par rapport soi ou un autre objet,
donner sa position et dcrire son dplacement ; Reconnaitre, nommer
et dcrire les fi gures planes et les solides usuels ; Utiliser la
rgle et lquerre pour tracer avec soin et prcision un carr, un
rectangle, un triangle rectangle ; Percevoir et reconnaitre
quelques relations et proprits gomtriques : alignement, angle
droit, axe de symtrie, galit de longueurs ; Reprer des cases, des
nuds dun quadrillage ; Rsoudre un problme gomtrique.
Repres fournis pour organiser la progressivit des apprentissages
(CE1) Reprer des cases, des nuds dun quadrillage ; Dcrire,
reproduire, tracer un carr, un rectangle, un triangle rectangle ;
Utiliser des instruments pour raliser des tracs : rgle, querre ou
gabarit de langle droit ; Percevoir et reconnaitre quelques
relations et proprits gomtriques : alignement, angle droit, axe de
symtrie, galit de longueurs ; Connaitre et utiliser un vocabulaire
gomtrique lmentaire appropri ; Reconnaitre, dcrire, nommer quelques
solides droits : cube, pav...
Les principaux objectifs dapprentissage viss au CE1 sorganisent
au tour de deux grands axes :
le renforcement des comptences spatiales qui concerne plus
particulirement le reprage et lorientation.
la construction de connaissances et de comptences gomtriques :
cest au CE1 que sinitie le passage dune gomtrie de la perception, o
les formes sont reconnues vue et les actions sont contrles
perceptivement, une gomtrie instrumente, o les actions se font
laide des instruments et o la reconnaissance des fi gures et le
contrle des productions sont guids par les proprits.
CONNAISSANCES ET COMPTENCES FONDAMENTALES
I. LE RENFORCEMENT DES COMPTENCES SPATIALES
Les connaissances spatiales sont celles qui permettent lenfant
de contrler ses rapports usuels avec lespace : savoir prendre,
mmoriser, communiquer des informations spatiales pour se reprer, se
dplacer, pour localiser, mais aussi pour reconnatre ou construire
des objets. La plupart des comptences spatiales se construisent
spontanment, mais certains apprentissages spatiaux doivent tre pris
en charge par lcole.
Les comptences vises en fi n de cycle 2 sont dans la continuit
de celles attendues en fi n de cycle 1 :
matrise des indicateurs spatiaux du langage ;
capacit se dcentrer sur le point de vue dun autre
observateur.
Lorientation dans diffrents types despace doit tre travaille,
ces espaces se diffrenciant par : leur dimension ; les systmes de
repres qui peuvent y tre utiliss ; le vocabulaire qui permet de sy
reprer :
Espace et gomtrie
-
XXX
Lespace qui nous entoure Dans cet espace qui a trois dimensions,
un objet peut tre repr :
par rapport lobservateur (en haut, en bas, devant, derrire,
gauche, droite).
par rapport une autre personne ou objet orient (devant, derrire,
la gauche de, la droite de). Exemple : La plante est devant le
cheval et le seau est sa gauche.
par rapport un autre objet non orient (devant, derrire, gauche
de, droite de). Exemple : La plante est gauche du panier et le seau
est devant le panier.
Dire alors que le saut est devant le panier , ou que le panier
est derrire le seau , signifi e que le seau est dans un premier
plan.
Il va de soi que les apprentissages spatiaux lis lespace qui
nous entoure ne peuvent se raliser que dans cet espace.
Lespace de la feuille de papierCet espace, comme le plan
vertical du tableau, a une orientation conventionnelle et les mots
haut, bas, droite et gauche permettent de sy reprer. Le basculement
du plan du tableau celui de la feuille ne va pas de soi : le haut
de la feuille pour lobservateur correspond la partie de la feuille
qui est la plus loigne de lui.
Sur une ligne orienteCest un vocabulaire temporel qui permet le
reprage : dbut, fi n, avant, aprs. Exemple : Sur la bande numrique
le chiffre 5 est aprs le chiffre 4.
Dans un quadrillageOn va, pour reprer une case ou un nud,
utiliser des nombres :
Pour reprer un nud relativement un autre nud :Exemple : Le point
vert est 2carreaux droite et 3 carreaux en dessous du point
rouge.
Pour reprer une case, un systme de repre tant donn.Exemple :
Ltoile est dans la case (e, 3).
a b c d e f g
1
2
3 H4
II. LA CONSTRUCTION DES CONNAISSANCES GOMTRIQUES
Les connaissances gomtriques sont issues dun savoir organis en
une thorie labore au cours de lhistoire. Elles permettent de
rsoudre des problmes de lespace physique rencontrs dans le cadre de
pratiques professionnelles, sociales et culturelles. Cest au cours
du CE1 que les lves en font une premire approche.
Notions dalignement, dangle droit, daxe de symtrie La
comprhension de ces proprits gomtriques va de pair avec
lutilisation dinstruments : la rgle, le gabarit dangle droit.
tude de quelques fi gures planes et solidesLtude des fi gures
les plus usuelles permet une premire mise en vidence de
quelques-unes de leurs proprits.Depuis la Grande section, les lves
savent reconnaitre perceptivement certaines fi gures et les nommer
: triangles, carrs, rectangles. Pour ces fi gures et dautres, le
travail conduit au CP les a amens une conception plus analytique:
un carr et un rectangle ont 4 cts et 4 sommets, un triangle en a 3.
Ils ont