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Versin mayo de 2015 Apuntes de Mecnica I
Ing. Jos A. Aguilera Muoz
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Capitulo 6 Fuerzas internas en vigas
Viga es un elemento estructural, que soporta principalmente
cargas con direccin perpendicular a su eje longitudinal.
El objetivo de determinar las fuerzas internas en vigas, es
identificar las secciones crticas de la viga, desde el punto de
vista de los esfuerzos que soportan, para posteriormente disearlas
de modo de proveerlas de la resistencia adecuada.
En este captulo analizaremos los fuerzas internas en vigas,
limitados al caso de estructuras planas con cargas en su plano.
En la viga de la figura que se muestra a continuacin VNM ,, son
el momento flextor y las fuerzas internas en la seccin A-A .
=N Fuerza Normal =V Fuerza de corte =M Momento flextor
N
M
V
A
A
A
A
N V
C
TM
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=V Fuerza de corte =N Fuerza normal =M Momento flextor
Usaremos la siguiente nomenclatura para las fuerzas internas VNM
,, positivos o negativos:
(Traccin) (Compresin)
Fuerza normal N Fuerza de corte V Momentos flextores M
Las fuerzas internas se calculan utilizando el equilibrio de un
tramo de viga como cuerpo libre, con las que se pueden generar
grficos que entregan una informacin visual de los esfuerzos
internos en cada seccin de la viga. El principio utilizado para
plantear las ecuaciones es que si toda la estructura se encuentra
en equilibrio, parte de ella tambin se encuentra en equilibrio.
Veamos esto con ejemplos:
M
V
V
N N M
A
A
( )+ ( )+ V
V
( ) V ( )
V
( )+
( )+
N N
( )
M
N
( )
N
M
M M
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Ejemplo N 1 Obtener los grficos de VNM ,, de la viga cargada
como se muestra a
continuacin. Datos: = 60,, aP
Solucin:
a) Equilibrio del cuerpo libre para el clculo de las reacciones
en los apoyos: Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Ecuaciones de
equilibrio:
0= xF 0cos2 =+ xBP = 60cos2PBx PBx =
03220 =+= aBasenPaPM yA ( )+= 604
31 senPPBy PBy = 488,1
0= yF 02 =+ senPPBA yy senPPBA yy ++= 2 PAy = 244,1 b) Clculo de
las fuerzas internas .
En este caso existen tres tramos de anlisis: Tramo 1: el tramo
comprendido entre el apoyo A y la carga P . Tramo 2: el tramo
comprendido entre la carga P y la carga P2 . Tramo 3: el tramo
comprendido entre la carga P2 y el apoyo B.
A
a a a
P P2
B
xB
a a a
P P2 B A
yA yB
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b.1. Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de las
fuerzas internas en la viga para el tramo 1, o sea para ax 0
Ecuaciones de equilibrio :
00 == xx NF 0=xN (1) 00 == xyy VAF PVx = 244,1 (2)
00 =+= xyo MxAM xPM x = 244,1 (3) b.2. Ecuaciones de equilibrio
para la determinacin de las fuerzas internas en la viga para el
tramo 2, o sea para axa 2 Ecuaciones de equilibrio :
00 == xx NF 0=xN (4) 00 == xyy VPAF PVx = 244,0 (5) ( ) 00 =++=
xyo MaxPxAM
( ) aPxPxPaxPxAM yx +== 244,1 ( ) PaxM x += 244,0 (6)
x A
yA xV
xM
xN O
a A
yA
xV
xM xN O
P
x
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b.3. Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de las
fuerzas internas en la viga para el tramo 3, o sea para axa 32
Ecuaciones de equilibrio :
0cos20 =+= xx NPF PNx = (7) 020 == xyy VsenPPAF PVx = 488,1 (8)
( ) ( ) 0220 =+++= xyo MaxsenPaxPxAM ( ) ( )axsenPaxPxAM yx 22
=
( ) PxaM x = 488,1464,4 (9) Observacin: Para la determinacin de
las fuerzas internas del tercer tramo, resulta ms fcil el anlisis
del equilibrio del trozo derecho del tramo. Veamos como se hace:
Tramo 3, o sea para ax 0 con ( x ) : Ecuaciones de equilibrio:
xxxxx BNBNF ==+= 00 PNx = (7) yxyxy BVBVF ==+= 00 PVx 488,1=
(8)
xBMxBMM yxyxo ==+= 00 xPM x = 488,1 (9)
A
yA xV
xM xN O
P
x
P2
a a
xB
x
B
yB
xV
xN
xM
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Grficos. Los grficos de de fuerzas internas correspondientes a
los distintos tramos, se obtienen con las ecuaciones (1); (2) y (3)
para el tramo 1; ecuaciones (4), (5) y (6) para el tramo 2 y
ecuaciones (7), (8) y (9) para el tramo 3. O sea:
Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 0=xN 0=xN PNx =
PVx = 244,1 PVx = 244,0 PVx = 488,1 xPM x = 244,1 ( ) PaxM x +=
244,0 ( ) PxaM x = 488,1464,4
xB
a a a
P P2 B
yA yB
Tramo 3
xN
x ( ) PxV
( )+ P244,1 ( )+ P244,0 ( )
P488,1
x
xM
( )+ Pa244,1
( )+ Pa488,1
( )+ x
A
Tramo 1 Tramo 2
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Relacin entre cargas y fuerzas internas
Supongamos que tenemos una viga cargada con una sobrecarga
cualquiera. Analizaremos el equilibrio de un trozo diferencial de
dicha viga. Entonces:
=)(xn sobrecarga horizontal en funcin a la variable x . =)(xq
sobrecarga vertical en funcin a la variable x .
Ecuaciones de equilibrio:
( ) ( ) 00 =+++= xxxx dNNdxxnNF ( )xndxdNx = ( ) ( ) 00 =+= xxxy
dVVdxxqVF ( )xqdxdVx =
( ) ( ) 02
0 =+++= xxxxo dMMdxdxxqdxVMM Si consideramos que: ( ) 02 dx
Entonces: 0=+ xx dMdxV xx Vdx
dM =
Si el anlisis de los esfuerzos internos de la viga se realiza
considerando el equilibrio del tramo derecho, o sea con x ()
variando de izquierda a derecha, entonces:
xx V
dxdM =
dx
( )xx dNN + O
( )xx dVV + ( )xx dMM + 2dx
dxxqdQ = )(
xN
)(xn
xV xM
)(xq
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El clculo de las ecuaciones de xxx MVN ,, , tambin puede
realizarse para vigas o barras inclinadas o curvas. En este ltimo
caso es mas conveniente el anlisis con coordenadas polares,
considerando un diferencial de longitud drds = en lugar del de
longitud dx . x
x VdxdM = Vds
dM = VdrdM = O sea :
d
dMr
V = 1 Ejemplo N 2: Determinar y dibujar los diagramas de VNM ,,
para la viga cargada como se indica en la siguiente figura. Datos :
l,q
Solucin: Clculo de las reacciones en los apoyos: Ecuaciones de
equilibrio:
00 == xx AF 0=xA
128121
01611
8110
l
lll
qB
BqM
y
yA
=
=+= lqBy = 945,0
C B
q
A
l 83l
C B
q 811 lqQ =
A
l 83l
xA
yA yB
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lll
l
qqqBA
qBAF
yy
yyy
==+=
=+=
43,0128
558
11
08
110 lqAy = 43,0
Calculo de los esfuerzos internos de la viga.
En este caso existen dos tramos de anlisis: Tramo 1: el tramo
comprendido entre el apoyo A y el apoyo B. Tramo 2: el tramo
comprendido entre el apoyo B y el voladizo en C
Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de los esfuerzos
internos de la viga en el tramo 1 l x0 :
Las ecuaciones que se plantean para este tramo son vlidas para l
x0
Ecuaciones de equilibrio :
0:__;00 ==+= xxxx APeroNAF 0=xN (1) xqAVVxqAF yxxyy === 00 xqqVx
= l43,0 (2)
02
0 =++= xyo MxxqxAM 243.02xqxqM x
= l (3) Ecuaciones de equilibrio para la determinacin de las
fuerzas internas de la viga, en el
tramo 2, vlida para 830 l x con (C):
C
x
xN
yA
O
xV
xM 2x
AxA
xqQ =
x
xN O
xV
xM 2x
xqQ =
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Las ecuaciones que se plantean para este tramo son vlidas para
830 l x ( x )
Ecuaciones de equilibrio : 00 == xx NF 0=xN (4)
xqVxqVF xxy === 00 xqVx = (5) 0
20 == xo MxxqM 2
2xqM x= (6)
Grficos. Los grficos de esfuerzos internos correspondientes a
los distintos tramos, se realizan con las ecuaciones (1); (2) y (3)
para el tramo 1 y ecuaciones (4), (5) y (6) para el tramo 2.
O sea: Tramo 1 Tramo 2
0=xN (1) 0=xN (4) xqqVx = l43,0 (2) xqVx = (5)
243.0
2xqxqM x= l (3)
2
2xqM x= (6)
En consideracin a que la ecuacin de xM para el primer tramo
corresponde a la ecuacin de una parbola, es necesario determinar el
punto del cambio de curvatura para facilitar la confeccin del
grfico correspondiente. Esto es :
243.0
2xqxqM x= l (3) 043,0 == qxq
dxdM x l
l43,0=x Reemplazando en la ecuacin (3), tenemos:
( ) 2243,0 09245,02
43,043.043,0 lllll qqqM x ===
243,0 09245,0 ll qMM mxx ===
209245,0 lqMmx =
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Grficos:
Tramo 1 ( ) __0 lx Tramo 2 ( ) __830 lx
0=xN 0=xN xqqVx = l43,0 xqVx =
243.0
2xqxqM x= l
2
2xqM x=
C B
q A
xN
83l
xA
lqAy = 43,0 lqBy = 945,0 l
x
xV
x
xM
207,0 lq
0 0
( ) lq43,0
lq57,0
lq375,0
l43,0
209245,0 lq
x
( )+
( )+
( )+
( ) ( )
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Ejemplo N 3 Para la viga cargada como se muestra en la figura,
se pide:
a) Calcular las reacciones en los apoyos A, C y D b) Determinar
las ecuaciones y confeccionar los grficos de momentos flextores M
y
fuerzas cortantes V . c) Calcular el momento flextor mximo mxM
(positivo o negativo) Datos:
( )( )ma
mtonq11
==
Solucin: a) Clculo de las reacciones: Equilibrio del cuerpo
libre:
Ecuaciones de equilibrio:
0= xF 0=xA 0= yF 083 =++ qaqaDCA yyy
0= DM 0285,7349 =++ aqaaqaaCaA yy 0= BM 05,133 =+ aqaaAy
2
3qaAy = ( )tonAy 5,1=
4
25qaCy = ( )tonCy 25,6=
C D
q q2
a4 a2 a3
B A
C D
q q2
a4 a2 a3
B A
yD yC yA
xA
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Reemplazando en la 2 ecuacin:
0114
252
3 =++ qaDqaqa y 413qaDy = ( )tonDy 25,3=
b) Ecuaciones y grficos de M y V : Tramo AB: ax 30 ( )
0= yF 0= xy VxqA xVx = 5,1 0= oM 02
2
=++ xy MxqxA
2
2xqxAM yx= 25,05,1 xxM x =
Momento mximo en el tramo AB:
05,1 == xdxdM x ( )mxt 5,1= ( )
( ) ( )25,15,05,15,1 =tramoABmxM ( ) ( )mtonM tramoABmx =
125,1
Momento en la articulacin B :
Para ( )mx 3= ( )235,035,1 =BM ( )mtonMB = 0
Tramo BC: axa 53 ( )
q xM
x
O A xN
xV yA
q xM
x
O A xN
xV yA a3
B
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0= yF 03 = xy VqaA
qaAV yx 3= 5,1=xV 0= oM ( ) 05,13 =++ xy MaxqaxA ( )axqaxAM yx
5,13 = 5,45,1 += xM x
Tramo DC: ax 40 ( )
0= yF 02 =+ xy VxqD
yx DxqV = 2 25,32 = xVx 0= oM 02
2 2 = xy MxqxD 2xqxDM yx = 225,3 xxM x = Momento mximo en el
tramo DC:
0225,3 == xdxdM x ( )mxt 625,1= ( ) ( ) ( )2625,1625,125,3
=tramoDCmxM ( ) ( )mtonM tramoDCmx = 64,2 Momento en el apoyo
C:
Para ( )mx 4= ( )24425,3 =CM ( )mtonMC = 3
q2 xM
x
O D xN
yD
xV
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Grficos: Tramo AB ( ) Tramo BC ( ) Tramo DC ( )
xVx = 5,1 5,1=xV 25,32 = xVx 25,05,1 xxM x = 5,45,1 += xM x
225,3 xxM x =
Momento flextor mximo: ( )mtonMM Cmx == 3
C D
q q2
a4 a2 a3
B
-3,25
A
4,75
-1,5 -1,5
1,625
2,64
-3
1,125
1,5
1,5
x
x
xM
xV
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(-)(-)
-
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Ejemplo 4 Para la estructura en forma de cuarto de
circunferencia, cargada como se muestra en la siguiente figura, se
pide calcular las reacciones en los apoyos, determinar las
ecuaciones de esfuerzos internos y dibujar los respectivos
diagramas. Datos : aP, Solucin:
a) Equilibrio del cuerpo libre:
Ecuaciones de equilibrio: 00 =++= PBAF xxx (1)
00 =+= yyy BAF (2) 00 == aPaAM yB PAy = (3) 00 =+= aAaAM xyC PAA
yx == (4) Reemplazando (3) en (2) : PBy =
a
A B
C P
a
a
yB
A B
C P
a
xA
yA
xB
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Reemplazando (4) en (1) : 0=xB Para el anlisis de los esfuerzos
internos debemos considerar dos tramos; el anlisis de los tramos AC
y CB. Sin embargo, como en este caso el tramo CB es una biela con
un esfuerzo de compresin conocida, ya que est determinada por la
reaccin PBy = , slo determinaremos los esfuerzos internos del tramo
AC. Ecuaciones de esfuerzos internos del tramo AC: xA yA
a) Ecuacin de momento flextor para 2
0 : 00 =++ = MvAuAM xyo vAuAM xy =
Pero: ( ) cos1cos == aaau ( )cos1= au senav = senav = Luego:
( ) senaPaPM += cos1 ( )1cos += senPaM (5) b) Ecuacin de
esfuerzo de corte para
20 :
Recordemos que: d
dMr
V = 1 (6) Entonces, derivando la ecuacin (5) y reemplazando en
(6), tenemos:
a
O
B
a
V
a
u
v
N M
A
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( ) senPaaV = cos1
( ) senPV = cos (7) c) Ecuacin de esfuerzo normal para
20 :
0= F 0cos =++ senAAN xy ( ) cos+= senPN (8) Grficos:
Ecuaciones vlidas para 2
0 ( ) cos+= senPN ( ) senPV = cos ( )1cos += senPaM
1) Grfico de N : ( ) cos+= senPN
PN
PN
====
2
0
PN
PN
==
==
366,13
366,16
PN == 414,1
4
A B
C P414,1
P
PP366,1
P366,1
(+)
(+) (+)
P
P
(+)
(-)
-
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2) Grfico de V : ( ) senPV = cos
PV
PV
====
2
0
PV
PV
==
==
366,03
366,06
0
4== V
(-) P (+) P 3) Grfico de M : ( )1cos += senPaM
0
2
00
====
M
M
PaM
PaM
==
==
366,03
366,06
PaM == 414,0
4
(+)
A B
C
P 366,0 P366,0 0
A B
C Pa366,0
Pa366,0 Pa414,0
(+)
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Ejemplo N 5 Para la estructura triarticulada cargada como se
muestra en la siguiente figura, se pide calcular las reacciones en
los apoyos, determinar las ecuaciones de esfuerzos internos y
dibujar los grficos correspondientes. Datos: aq, Solucin. a) Clculo
de las reacciones. Ecuaciones de equilibrio:
00 =+= xxx BAF 0420 =+= qaqaBAF yyy ( ) ( ) 01494
38320 =+
+= aBaqaaaqaM yA
E
A B
C D
a4
a4
a4 a3 a3
q
E
yB
A B
qaQ 42 =
D
xA
yA
xB
a4
a4
a4 a3 a3
q C
38a
3
4a
qaQ 21 =
a2
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03
42470 =++ = aqaaAaAM xyD
qaAqaB
y
y
==
62,2
38,3
qaBqaA
x
x
==
92,392,3
Ecuaciones de esfuerzos internos: Debemos determinar las
ecuaciones de esfuerzos internos en los tramos AC, CD, DE, y EB.
Tramo AC: ( ) __50 ax
De la geometra de la estructura, se deduce que : 53cos = y
54=sen
Adems: =u proyeccin horizontal de x cos= xu xu = 6,0 =v
proyeccin vertical de x senxv = xv = 8,0
Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:
06,062,28,092,3
00
=+=+=
x
xyxo
MxqaxqaMuAvAM
xqaM x = 564,1 (1) Esfuerzo de corte:
qadxdMV xx == 564,1 qaVx = 564,1 (2)
Esfuerzo normal: 0cos0 =++= senAANF yxxx qaNx = 448,4 (3)
A xA
yA
O
xV
xM xN
x
AOx =
u
v
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Tramo CD: ( ) __40 ax Donde :
axqqx 4=
axqQ
8
2= Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:
( ) 03
340 =+++= xyxo MxQxaAaAM
axqxqaqaM x 24
62,282,73
2 += (4) Esfuerzo de corte:
axqqa
dxdMV xx 8
62,22==
axqqaVx 8
62,22= (5)
Esfuerzo normal: 00 =+= xxx ANF qaNx = 92,3 (6)
A xA
yA
x
a3
xq xqxQ = 2
1
a4 xV
xM
xN C O
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23
Tramo BE: ( ) __50 ax
Sabemos que : 53cos = y
54=sen
Luego: =u proyeccin horizontal de x cos= xu xu = 6,0 =v
proyeccin vertical de x senxv = xv = 8,0
Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:
xqaxqaMMuBvBM
x
xyxo
6,038,38,092,3
00
+==+=
xqaM x = 108,1 (7) Esfuerzo de corte:
qadxdMV xx == 108,1 qaVx = 108,1 (8)
Esfuerzo normal: 0cos0 =+= senBBNF yxxx qaNx = 056,5 (9)
xB
yB BOx =
B
O
xV
xM xN
x
u v
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Tramo ED: ( ) __40 ax
Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:
( ) 02
340 =++= xyxo MxQxaBaBM
2
38,354,52
2 xqxqaqaM x+= (10)
Esfuerzo de corte:
xqqadxdMV xx +== 38,3 xqqaVx += 38,3 (11)
Esfuerzo normal: 00 =+= xxx BNF qaNx = 92,3 (12)
Resumen: Tramo AC ( ) __50 ax Tramo CD ( ) __40 ax
qaNx = 448,4 qaNx = 92,3 qaVx = 564,1 a
xqqaVx 862,2
2=
xqaM x = 564,1 axqxqaqaM x 24
62,282,73
2 += Tramo BE ( ) __50 ax Tramo ED ( ) __40 ax
qaNx = 056,5 qaNx = 92,3 qaVx = 108,1 xqqaVx += 38,3
B
yB
x
a3
xqQ =
a4
xV xM q
E
xB
O
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Versin mayo de 2015 Apuntes de Mecnica I
Ing. Jos A. Aguilera Muoz
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xqaM x = 108,1 238,354,52
2 xqxqaqaM x+=
Grfico de esfuerzos normales: Grfico de esfuerzos cortantes:
Grfico de momentos flextores:
2172,0 qa ( )
B
( ) ( )
282,7 qa
( )+
A
C D E
254,5 qa
( ) a38,3
qa056,5
( ) ( ) ( )
( )
qa448,4
qa92,3
E
A B
C D
qa38,3 ( )
B
( ) ( )+
qa564,1
qa62,2
( )+
A
C
D
E
qa62,0
-
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Ejemplo N 6 La estructura cargada como se muestra en la figura,
est apoyada sobre articulaciones fijas en A y B. El tramo CE tiene
uniones rgidas en C y E y una articulacin D en el centro del tramo.
Se pide, calcular las reacciones que se producen en los apoyos A y
B y determinar las ecuaciones de VN , y M para el tramo CE . Datos:
aq, Solucin:
a) Clculo de las reacciones que se producen en los apoyos A y B
Equilibrio del cuerpo libre:
0= xF 0=+ xx BA 0= yF 03 =+ qaBA yy 0= AM 0539 = aqaaBy 3
5qaBy =
a4
E
D C
B A
q
a3 a3 a3
a4
E
D C
B A
q
a3 a3 a3 yB
xB
yA
xA
-
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En 0= yF 0335 =+ qaqaAy 3
4qaAy = 0= DM 0232
143 =+ aqqaaBaB xy
16
17qaBx =
En 0= xF 01617 = qaAx 16
17qaAx =
b) Ecuaciones de fuerzas internas para el tramo EC ( x ):
0= xF 0=+ xx BN
1617qaNx =
0= oM 04
362=++ aBxBx
axqxM xyx
4
17363
5 23 qaaxqxqaMx =
==
axqqa
dxdMV xx 123
5 2
axqqaVx 123
5 2+=
a4
E
B
xV
yB
xB
xN
xM xq
O
x
-
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Ejemplo N7 La estructura cargada como se muestra en la figura,
est empotrada en A y en voladizo en B y D. La unin C es rgida. Se
pide determinar las ecuaciones de fuerzas internas y grficos de (
)xxx MVN ,, para el tramo AC. Datos: aq, , qaP 3= Solucin:
a) Equilibrio del cuerpo libre:
b) Clculo de las reacciones en el empotramiento A : Ecuaciones
de equilibrio:
0= xF 03 =+ qaAx qaAx 3= 0= yF 08 = qaAy qaAy 8= 0= AM 0853 =+
aqaaqaM A
27qaMA =
a8
D
a3 a5
a5
C B
A
P
q
a8
D
a3 a5
a5
C B
A
AM
a4
qa3
yA
xA
qa8
q
-
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c) Ecuaciones de fuerzas internas: TRAMO 1, para ax 50 :
0= xF 0=+ xx VA qaVx 3= 0= yF 0=+ xy NA qaNx 8=
0= oM 0=++ xAMM xAx 037 2 =+ xqaqaMx
273 qaxqaMx =
TRAMO 2, para axa 85 :
0= xF 03 =++ xx VqaA 0=xV 0= yF 0=+ xy NA qaNx 8=
0= oM ( ) 053 =+++ axqaxAMM xAx 0157 22 =+ qaqaMx
28qaMx =
A
AM
yA
x o
xM xN
xV
xA
A
AM yA
x
o
xM xN
xV
xA a5
qa3
-
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Grficos:
a5
27qa
qa3 (-)
qa8
qa8 28qa
28qa
qa3
xN xM xV
(+)
(+)