Cap 5 - Integrales - Pag 354-413

5/13/2018 Cap 5 - Integrales - Pag 354-413

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~-I' - - - - - ' II N T E G R A L E S

I, - - " - ~ ~ " " ~ . ~ ~ " " "_ JP a ra c alc ula r u n a re a a p ro xim e u na r eg io n m e dia nte u na g ra n c an tid ad d e r ac ta n qu lo s.E I are a e xa cta e s e llfm ite d e la s s um a s d e la s a re as d e lo s rs cta nq ulo s.

En el capitulo 2 utilize los problemas de la tangente y de Ia velocidad para introducirla derivada, 1acual constituye la idea central del calculo diferencial. De manera muysemejante, en este capftulo se empieza con los problemas del area y de la distancia y seutilizan para formular la idea de integral definida, la cual representa el concepto basicodel calculo integral. En los capftulos 6 y 8 vera como usar la integral para resolver pro-blemas referentes a vohimenes, longitudes de eurvas, predicciones sobre poblacion,gasto cardiaco, fuerzas sobre la cortina de una presa, trabajo, superavit del consumidory beisbol, entre muchos otros.Existe una conexion entre el calculo integral y el calculo diferencial. EI teorema funda-

mental del calculo relaciona la integral con la derivada y, en este capitulo, vera que sim-plifica en gran parte la solucion de muchos problemas.

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~~:~~~~~~~a~REA SY D ISTA NC IA S5j A hora es un buen momenta para leer(0 valver a leer) P re se nta ci6 n p re lim in ar d elc a / c u l o Iv ea se la p a9 ina 2 ). que an al iz a laside as u nifica do ras de l ca lcu lo y Ie ay uda asitua rse e n la p erspe ctiv a d e do nde e sta y haciad 6n de v a.

F IG U R A 1S={(x,y) l a ~x~ b, O~y ~f(x)}

F IG UR A 2

y

x

F IG U R A 3

En esta seccion se descubre que a] intentar hallar el area debajo de una curva 0 la distcia recorrida por un autom6vil, se finaliza con el mismo tipo especial de lfrnite.EL PROBLEMA DEL AREAEmpiece por intentar resolver el problema del area: hallar el area de la regi6n S que edebajo de la curva y =(x), desde a hasta b. Esto significa que S (figura 1) esta limda por la grafica de una funcion continua [[donde [(x) ;;;.0] , las rectas verticales x =x =b, y el eje x.

y

x

AI intentar resolver el problema del area, debe preguntarse: i,cual es el significadola palabra dreat Esta cuesti6n es facil de responder para regiones con lados rectos. Pun rectangulo, se define como el producto del largo y el ancho. EI area de un triangulola mitad de la base multiplicada por la altura. EI area de un polfgono se encuentra aIvidirlo en tria ngulos (figura 2) y sumar las areas de esos triangulos,

w

A =/w A=tbh

Sin embargo, no es facil hallar el area de una regi6n con lados curvos. Todos tieneidea intuitiva de 10 que es el area de una regi6n. Pero parte del problema del area es haque esta idea sea precisa dando una definici6n exacta de area.

Recuerde que al definir una tangente, primero se obtuvo una aproxirnacion de la pdiente de la recta tangente por las pendientes de rectas secantes y , a continuaci6n toel limite de estas aproxirnaciones. Siga una idea similar para las areas. En primer luobtenga una aproximacion de la region S por medio de rectangulos y despues tome elmite de las areas de estos rectangulos, como el incremento del mirnero de rectangulEn el ejemplo siguiente se ilustra el procedimiento.~ E jEMPLO I Use rectangulos para estimar el area debajo de la parabola y =2 , desdo hasta 1 (Ia region parabolica S se ilustra en la figura 3).WlUO{m En primer lugar, el area de S debe encontrarse en alguna parte entre 0 y1, porque S esta contenida en un cuadrado cuya longitud del lade es 1 pero, enverdad, puede lograr alga mejor que eso. Suponga que divide S en cuatro franjasS 1, S 2, S3 Y S 4 , a l tra za r las rectas verticales x = L x =~x = ~como en 1a figu-ra 4(a).


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356 1 1 1 1 CAPiTULO 5 INTEGRALES

yu . n

Y=X2

S 4s,

0 1. ! 1 x4 " 2 4F I G U R A 4 (a)

F IG U R A 5

y(1,1)

!" 4 !" 2 x(b)

Puede obtener una aproxirnacion de cada franja por medio de un rectangulo cuyasea la misma que Ia de la franja y cuya altura sea Ia misma que la dellado derecho dpropia franja [vease la figura 4(b)]. En otras palabras, las alturas de estos rectangulson los valores de la funci6n j(x) = x2 en los puntos extremos de la derecha de losbintervalos [ 0 , H [L u [L~] y [t 1 ] .

Cada rectangulo tiene un ancho de 1 y las alturas son U)2, 0 ) 2 , W 2 y 1 2, Si denotcon R4 la suma de las areas de estos rectangulos de aproximacion, obtiene

A partir de la figura 4(b) se ve que el area A de S es menor que R4, de modo que

En Iugar de usar los rectangulos de la figura 4(b), es posible optar por los mas pequede la figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos extremos de la izquierdalos subintervalos, (El rectangulo de la extrema izquierda se ha aplastado, debido a quealtura es 0.) La suma de las areas de estos rectangulos de aproximacion es

y(1,11

A < 0.46875

I 02 ! ( ! ) 2 ! (! ) 2 ! ( 3 ) 2 7L4=:j" +4";) +4' 2 +4' 4 =}2=0.21875

xEl area de S es mayor que L4, de modo que se Helle estimaciones superior e inferpara A:14!" 4 .! .2

0,21875


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II L" R "10 0.2850000 0.335000020 0.3087500 0358750030 0.3168519 0.350185250 0.3234000 (HBWOOlOll 0.3283500 0.3383500

1(100 O.331g~r~5 0.3338335

y

o \ .1

! 11 .1)

/

F I G U R A 7

En este caso se calcula ellfm ite de las u c e s i o n {R,,}. E n P r e sen ta c i6 n p r el im i n a rd e l c a l c u lo S8 a na liz aro n la s su ce sio nes y e n e lc ap itu lo 1 1 sa e stu dia n c on d eta lle , S us Ifm ite sS8 c a lc u Ia n d e la m isma m an er a q u e losIfm ite s e n el infinite (se cc i6 n 2 .6 ). Enp ar tic ul ar . s ab e q ue

lim _ ! _ = 0, , - - ' o X - 11

x

SECCION 5. I AREAS Y DISTANCIAS 1 I I 1

Al calcular la suma de las areas de los rectangulos mas pequefios (Ls) y la suma dlas areas de los rectangulos mas grandes (Rs), obtiene mejores estimaciones inferiorsuperior para A:

0.2734375


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o o o

358 IIII CAPiTULO 5 INTEGRALESSe puede demostrar que las sumas inferiores de aproximacion tambien tienden a}

decir,lim LII =~11-:0-0::

Con base en las figuras 8 y 9 parece que conforme Il crece, tanto L" como R " se vuecada vez mejores aproximaciones para el area de S. Por tanto, se define el area A comlimite de las sumas de las areas de los rectangulos de aproximacion; esto es,IiiE E n V isu al 5 .1 p ue de c re ar fig ura s co mo

la 8 y 9 para otros valores de n . A = lim RII = Ifm L a = tII-GC It-:r -::,t; -

11 = 10 RI O = 0.385y y

11 =30 R o o" " 0 .3 5 02 n "" 50 R ,o =0.3434

o oo xF IG UR A 8

y ) ' AIt= 10 Lw "" 0.285 /J =30 L30"'" 0.3169 n = 50 L~ o = 0.3234

.r

F I G U R A 9El area es aquel numero que es menorque todas las sumas superiores ymayor que todas las sumas inferiores

Aplique la idea de los ejemplos 1 y 2 a la region mas general S de la figura IEmpiece por subdividir 5 en n franjas 51 ,52 , ,5" de anchos iguales, como enfigura 10.

F IG U R A 1 0

y " I ' - Y=fl./-~/ '\SI S2 S" Si S"

0 a XI x : : : x) .. . Xj-l x, ... Xn- ] b x


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o a x,(a) II =2

F IGU RA 1 2

SECCION 5.1 AREASY DISTANCIAS 1 1 1 1

El ancho del intervalo [a, b ] es b - a, de modo que el ancho de cada una de las n fjas es

b-aD.x=-- nEstas franjas dividen el intervalo [a, b] en n subintervalos

donde Xu =a y x, =b. Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos sonX, =a + D.x,X2 =a + 2 D.X,X3 =a + 3 D.x,

Obtenga una aproximacion de la i-esima franja, Si , con un rectangulo con ancho Daltura f ( X i ) , que es el valor de fen el punto extrema de la derecha (vease la figuraDespues, el area del i-esimo rectangulo es f{x;) D.x. Lo que concebio de manera intuva como el area de S que se aproxima con la suma de las areas de estos rectangulos,cual es:

y

F I G U R A 1 1x

En la figura 12 se muestra esta aproxirnacion para n =2,4, 8 Y 12. Advierta queaproximacion parece mejorarse a medida que se incrementa la cantidad de franjas;decir, cuando II-7co , Par consiguiente, se define el area A de la region S de la maneraguiente:

y y A

(b) II =4 (d) =12e) 11 = 8


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360 llll CAPiTULO 5 INTEGRALES

1'.'\0 indrca < 1 " < :tcrnunc (on i = H,1'.,[0 ind ica quehay que ,UIIl;!f.

n- . 2 : fix;) ~ xi=ctnE,lo IllJk" que hay __j

que L'n1pr~!jr con I ;;:::;m.

S i n ece sita p ra ctic ar la n ota clo n sig ma v ealo s e jem plo s e in te nte re so lv er a lg uno s d e lo se jem plo s de l a ps nd ice E .

r n DEFINICION EI area A de la region S que se encuentra debajo de l a g ra f ic a de lfuncion continua f es ellfmite de la suma de las areas de los rectangulos deaproximacion:

A =im R" =im [/(x\) Llx + I(X2) Llx + ... + I{x,,) Llx]JI-~% n-)o~

Se puede probar que el limite de la definicion 2 siempre existe, porque se suponef es continua. Tambien es posible demostrar que se obtiene el mismo valor con los puextremos de la izquierda:

r n A =fm LII =im [f(xo) Llx + I(xj) Llx + ... + I(x,,-I) Llx]II-~;I:; ,,~~~

De hecho, en lugar de usaf los puntos extremos de 1a izquierda 0 los de la derecha,drfa tomar la altura del z-esimo rectangulo como el valor de f en cualquier mirneren el i-esimo subintervalo [XH, x;]. A estos rnimeros X ~ " , x~', ... x;)' se les Haman pumuestras. En la figura 13 se presentan los rectangulos de aproxirnacion cuando se epuntos muestras diferentes de los puntos extremos. De suerte que una expresion mas gral para el area de S es

A =im [f(x;",) 6.x + I(x;}') Llx + . . . + I(x::') Llx JIj-~r.

y

0 a t x, Xc 1 x) Xi-! 1 x, X/-] 1 b xx ~ r .tl~~ x~ x t x ; ;F IGURA 13

A menu do se usa la notacion sigma para escribir de manera mas compacta las sucon muchos terrninos. POI' ejemplo

"1../(x,) Llx =(xI) Llx + I(X2) Sx + ... + I(x,,) 6.xr=l

Con 10cual las expresiones para el area, que se dan en las ecuaciones 2, 3 y 4, se puescribir como:

nA =im 2 : I(Xi) Sx

I l. - - - - - - ! '~ i-I"A =Ifm 1../(XH) Llx

IJ-"rz, i=1

"A =im 1.. I(xn Llx1I-~~ ;=!


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y

F I G U R A 1 4

SECCION 5.1 A RE AS Y D IS TA NC IA S !IIITambien podrfa volver a escribir la formula 1 de esta rnanera: i = n{n + 1)(2n + 1)

i_I 6EjEMPlO 3 Sea A el area de la region que esta debajo de la grafica de f(x) = e-" , enx =0 y x =.(a) Con los puntos extremes de la derecha, encuentre una expresion para A como unmite. No evalue ese lfrnite.(b) Estirne el area al tomar los puntos muestras como los puntos medios y con cuatro suintervalos; luego con diez subintervalos.S O l U C I O N(a) Como a = y b =, el ancho de un subintervalo es

2 - 0 2fl.x=--=- n nPor 10tanto, XI = 2/n, X2 =/n, X3 = 6/n, Xi =2i/n y Xu =2n/n. La suma de lasareas de los rectangulos de aproximaci6n es

De acuerdo con la definici6n 2, el area es?A =im RIl = 1m"=' (e-2/1 l + e-4/1l + e-6(1l + ... + e-2n;U )

11""""'';1; n-""'h 1 1

Si se usa la notaci6n sigma, se podria eseribir2 IlA =im - 2 : e-2i/u

J/~'l.; n i=iEs diffcil evaluar este limite directamente a mano, no asf con la ayuda de un sistema algebraico para eomputadora (vease el ejercicio 24). En la seccion 5.3 halla A con mafacilidad, aplicando un metodo diferente.(b) Conn =, los subintervalos de anello igual, fl.x=.5, son [0, 0.5J, [0.5, IJ, [I, 1Y[1.5, 2]. Los puntos medios de estos subintervalos son ).~l'=.25, x r - =.75, x~' =1.2x 1 ' =1.75, Yla suma de las areas de los cuatro rectangulos de aproximacion ( vease lagura 14) es

4M 4 =L 1(xn fl.x

i=l

=(0.25) fl.x + 1(0.75) Ax + 1(1.25) fl.x + 1(1.75) fl.x=-o.2'{0.5) + e-075(0.5) + e-1.25(0.5) + e-1.75(0.5)= he -O .25 + e-O .75 + e-J.25 + e-1.75) =0.8557

.r De este modo, una estimacion para el area esA = 0.8557


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y

F IG U R A 1 5

Con n =10, los subintervalos son [0, 0.2], [0.2, 0.4], ... , [1.8, 2] y los puntos medioson x[ = 0.1, x; r = 0.3, xf =0.5, ... , x: ~ =1.9. Por consiguiente,

A = M IO = f(O.I) L l . x + f(0.3) L l . x + f(0.5) L l .X + ... + f(1.9) L l . x=0.2(e-o . 1 + e -O .3 + e -O .5 + ... + e-1 .9) = 0.8632

Con base en la figura IS , parece que esta estimaci6n es mejor que Ia que se hizo con n =

EL PROBLEMA DE LA DISTANCIAConsidere ahora el problema de la distancia: hallar la distancia recorrida por unto durante cierto periodo, si se conoce la velocidad del objeto en todos los momentos.cierto sentido, este es el problema inverso del que se analiz6 en la secci6n 2 .1 .) S i la v edad permanece constante, entonces el problema de la distancia es facil de resolvermedia de la f6rmula:

distancia =elocidad X tiempo

Pero si la velocidad varia, no es facil hallar la distancia recorrida. Investigue el problen el ejemplo siguiente.~ EjEMPlO 4 Suponga que el od6met:ro del autornovil esta averiado y que desea estimla distancia que ha recorrido en 30 segundos. Las lecturas del velocfmetro cada cincsegundos estan registradas en 1atabla siguiente:

Tiernpo (s) 0 5 to 1 5 20 25 30Ve!ocidad (rni/h) 17 21 24 29 32 31 28

Para tener el tiempo y la velocidad en unidades coherentes, convierta las lecturas dvelocidad a pies por segundo (1 mi/h =5280/3600 pies/s): .

Tiernpo (5) 0 5 10 1 5 20 25 30Velocidnd (pics/s) 25 31 35 43 47 46 4J

Durante los primeros cinco segundos, la velocidad no cambia mucho, de modo quepuede estimar la distancia recorrida durante ese tiempo a l suponer que la velocidadconstante. Si 1aconsidera igual a la velocidad inicial (25 pies/s), par 10 tanto obtiendistancia aproximada recorrida durante los primeros cinco segundos:

25 pies/s X 5 s = 125 piesDe manera analoga, durante el segundo intervalo, la velacid ad es aproximadamenteconstante y se toma como Ia velocidad correspondiente at =5 s. De modo queestimaci6n para Ia distancia recorrida desde t =5 shasta t =10 s es

31 pies/s X 5 s =155 piesSi suma las estimaciones semejantes para los otros intervalos de tiempo, obtiene unestimaei6n para la distancia total recorrida:(25 X 5) + (31 X 5) + (35 X 5) + (43 X 5) + (47 X 5) + (46 X 5) =1135 p


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F IGURA 16

SECCION 5.1 AREASY DISTANCIAS 1 1 1 1

Con igual propiedad podrfa haber usado la velocidad correspondiente alfinal de caperiodo, en lugar de la velocidad al principio de los mismos, como la supuesta velocidconstante. En tal caso las estimaciones quedarian

(31 X 5) + (35 X 5) + (43 X 5) + (47 X 5) + (46 X 5) + (41 X 5) = 1215 piSi buscara una estimaci6n mas exacta, habna tornado las lecturas de la velocidad cadados segundos 0cada segundo.

Tal vez los calculos del ejempIo 4 le recuerden las sumas usadas al principio paramar las areas. La semejanza se expIica cuando dibuja una grafica de Ia funci6n de veldad del autom6vil de Ia figura 16 y dibuja ractangulos cuyas alturas son las veIocidiniciales de cada intervalo. EI area del primer rectangulo es 25 X 5 =125,10 que tames su estirnacion de la distancia recorrida en los primeros cinco segundos. De hechoarea de cada rectangulo se puede interpretar como una distancia, porque la altura repreta velocidad y el ancho al tiempo. La suma de las areas de los rectangulos de la figuraes L6 = 135,10 cual es la estimaci6n inicial de la distancia total recorrida.En general, suponga que un objeto se mueve con velocidad v = f(t), en do

a :;:; t:;:; by f(t) ;30 (de modo que el objeto siempre se mueve en la direcci6n positiTome las lecturas de la velocidad en los instantes to (= a) , tJ , (2, ... , tIl (= b) , de formaIa velocidad sea aproximadamente constante en cada subintervalo. Si estos instantes eigualmente espaciados, despues el tiempo entre lecturas consecutivas es Il t =b - aDurante el primer intervale, la velocidad es mas 0 rnenos f(to) y , por consiguiente, Iatancia recorrida es alrededor de I(to) Ist, De manera analoga, la distancia recorrida durel segundo intervalo es alrededor de f(tl) Il t y Ia distancia total recorrida durante el invalo [a , bJ es poco mas 0menos

/II(to) f1 t + f(tl ) At + . . . + f(t,,-I) Ilt =L f(t;-I) Ati~l

Si usa la velocidad en los puntos extremos de la derecha, en lugar de los puntos extremde la izquierda, su estirnacion para la distancia total se convierte en

"f(tl ) At + f(t2 ) At + ... + f(t,,) A t =L f(t;) IIIi~ lEntre mayor sea la frecuencia con que se mide la velocidad, mas exactas se vuelven lastimaciones, de modo que parece plausible que Ia distancia exacta d recorrida sea el l ide esas expresiones:

" nd =frn Lf(ti-1 ) Il t = im LI(ti) Atu . . . . . . , . o c i~i " . . . . . , . , 0 0 j " ; t ; : : : . ]En la seccion 5,4 vera que, en efecto, esto es verdadero.En virtud de que la ecuaci6n 5 tiene la misma forma que las expresiones para el area,

das en las ecuaciones 2 y 3, se concluye que la distancia recorrida es igual al area debajola grafica de la funci6n de velocidad. En los capftulos 6 y 8 vera que otras cantidades deteres en las ciencias naturales y sociales como el trabajo realizado por una fuerza variael gasto cardiaco tambien pueden interpretarse como el area debajo de la curva. De mque cuando calcule areas en este capftulo, tenga presente que pueden interpretarse de disas maneras practicas,


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puntos extremes de la derecha, Enseguida mejore su estimacion usando seis rectangulos, Dibuje la curva y Losretangulos de aproximacion,

(b) Repita el inciso (a) usando los puntos extremes de Inizquierda,

(c) Repita el inciso (a) usando los puntos medios.(d) Con base en sus dibujos de los incisos (a) a (c), i,cual parce ser la mejor estimacion?

J 5 .1 1 ~.~c~IC~'~O~S~ ~~ __. _I. (a) Lea los valores a partir de la grafica dada de j. use cinco rec-

tangulos para hallar una estirnacion inferior y una superiorpara el area debajo de e sa g ra fi ca dada de [, desde x =hasta x =10. En cada caso, dibuje los rectangulos que use.

(b) Encuentre nuevas estimaciones usando diez rectangulos encada caso.

yI - - "

LV5 V y- [(x)VVV

0 5 [0 x.[b ] (a) Use seis rectangulos para encontrar estimaciones de cada

tipo para el area debajo de la grafica de j desde x = hastax =12.(i) Lr. (los puntos muestras son los puntos extremos

de la izquierda)(ii) R6 (los puntos muestras son los puntos extremos

de Ia derecha)(iii) Mr. (los puntos muestras son los puntos medios)

(b) (,L6 sobreestima 0 subestima el area verdadera?(c) i,Rb sobreestirna 0 subestirna el area verdadera?(d) LCuaI de los rnimeros L6, Rr. 0M6 da la mejor estimacion?

Explique la respuesta.y

r - - -8 I'- r-,y =f(_,) r - ,1 " -4 1\

li\0 4 8 12 x

3. (a) Estime el area debajo de Lagrafica de j(x) = cosx desdex = 0 hasta x = n12. usando cuatro rectangulos de aproxirna-cion y Lospuntos extremos de la derecha, Dibuje la curva ylos rectangulos de aproximacion, l,SU estimacion es una su-bestimacion 0una sobrestirnacion?

(b) Repita el inciso (a), con los puntos extremos de Inizquierda.4. (a) Estime el area debajo de Lagrafica de f(.-c) =X desde x

= hasta x = usando cuatro rectangulos de aproxirna-cion y puntos extremes de la derecha. Trace la grtifica y losrectangulos. l,SU estimacion es una sobrestimacion 0 unasubestimacion?

(b) Repita el inciso (a) con los puntos extremes de Iaizquierda,[II (a) Estime el area debajo de la grafica de fix) = + x2 de x= - I husta x = con tres recuingulos de aproximacidn y

E E l 6. (a) Trace la grafica de la funcion f(x) = e'?', -2 ;;;; . 1: ; ;; ; 2.(b) Estime el area debajo de la grafica de j con cuatro rec

gulos de aproximaclon y considerando que los puntos mutras son (i) los puntos extremos de la derecha y (ii) lospuntos medics. En cada caso, trace la curvay los rectangulos.

(c) Mejore sus estimados del inciso (b) utilizando 8 rectringulos .

7-8 Con una calculadora prograrnable (0 una computadora) es poble evaluar las expresiones para las sumas de las areas de los rectangulos de aproximacion, incluso pam v a lo re s g ra n de s de n, con el ude lazos, (En una TI, use el comando Is> 0u n riz o For-Em/For. enuna Casio, use Isz, en una HP 0en BASIC, use un lazo FOR-NEXTCalcule la suma de las areas de los rectangulos de aproxirnacion;use subintervalos iguales y los puntos extremos de la derecha, pan =10,30,50 Y 100. L ue go , in fie ra e l valor del area exacta,7, La regi6n debajo de y = sen x desde 0 hasta 1 .8. La region debajo de y = cosx desde I hasta r./2.

9. Algunos sistemas algebraicos para computadora tienen comados que dibujan los rectangulos de aproximacion y evahiansumas de sus areas, por 1 0 menos si X : I ' esun punto extremo de Inizquierda 0de la derecha, (Por ejem-plo, en Maple. use leftbox, rightbox, leftsum, yrightsum.)(a) Si f(x) =1I(x2 + 1), 0 ;;;;x ;;;; 1, encuentre las sumas i

quierda y derecha para 1 1 = 10. 30 y 50.(b) Ilustre mediante el trazado de las graficas de los

rectangulos del inciso (a).(c) Demuestre que el area exacta debajo de j se encuentra e

tre 0.780 y 0.791CIS 10. (a) Si fex) = In x, 0.791 ;;;;x ;;;;4, use los cornandos que s

aualizaron en el ejercicio 9 con el fin de hallar las sumasquierda y derecha, para II= 10, 30 y 50.

(b) Ilustre trazando las graficas de los rectangulos del incis(a).(c) Demuestre que el area exacta debajo de t se encuentra etre 2.50 y 2.59.

[Q La rapidez de una competidora aumento de mancra consrantedurante los tres primeros segundos de una carrera, En la tablada su rapidez a intervalos de medio segundo. Encuentre las etimacioues inferior y superior para la distancia que recorrio drante estos tres segundos.

.i.o.0} 0:' I~ :;.0 2 .5h. 2 11).:) 14.') 19.48.1


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1 2 . En la tabla se proporcionan las lecturas del velocfrnetro de unarnotocicleta a intervalos de 12 segundos.(a) Estime la distancia recorrida por la motocicleta durante este

periodo usando las velocidades al principio de los interva-[as .(b) D e otra estirnacion usando [as velocidaddes al final de los

periodos.(c) i,SUSestimaciones de los incisos (a) y (b) son estimaciones

superiores e inferiores? Explique su respuesta.Ii~J 0 I~ 2 .+ 36 48 60v (pies/q 3D 28 2 5 22 2,1 27

13. Se fugo aceite de un tunque en una cantidad de r(t) litros porhora. La proporci6n disrninuyo conforme transcurrio el tiempoy los valores de Ia cantidad en intervalos de dos horas se mues-tran en la tabla. Halle estimaciones inferiores y superiores parala cantidad total de aceite que se fugo,

r i h . J 0 2 -+ 6 R 10rl!l(i/hl 8. 7 7.6 6.~ (,.2 5.7 5 < ~

1 4 . Cuando estima distancias a partir de datos de la velocidad, aveces es necesario usar instantes to, fl, 12, 1)... , que no estanigualmente espaciados. Aiin asi, puede estimar las distanciasusando los periodos !ifi = t, - fi-I.Por ejemplo, el 7 de mayode 1992, el trasbordador espacial Endeavour fue lanzado en lamisi6n STS-49, cuya finalidad era instalar un nuevo motor deimpulso en el perigeo en un satelite Intelsat de comunicacio-nes. En la tabla, proporcionada par la NASA, se dan los datosde la velocidad del trasbordador entre el despegue y el des-prendimiento de los cohetes auxiliares de combustible solido,

Lanzamientolnicio de ln m aniob ra de giroFill de lu maniobra de giroV


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~--"'.

S : f(x) dx =,~~~ f(xn Llx

366 IIII CAPiTULO 5 INTEGRALES

[ill] 25. Encuentre el area exacta debajo de la curva y = cos x, desdex =0 hasta x =, en donde 0 .,-;;b .,-;;If/2. (Use un sistemaalgebraico para computadora para evaluar la suma y calcular ellfrnite.) En particular, l,cmil es el area sl b =If/2?

11 triangulos congruentes can angulo central 2'If/n, demtre que

I , (2'If)All =' nr- sen --;; .26. (a) Sea All el area de un polfgono con n lados iguales, inscrito

en un circulo con radio r. AI dividir el poHgono en(b) Demuestre que Ifmll~~A" =/Tr2. [SlIgerencia: use la e

cion 2 de la secci6n 3.4.]

~~~~~~~~~@ LA INTEGRAL DEFINIDAEn la seccion 5.1 vio que surge un limite de la forma

/IO J lim L f(xn Llx =im [f(xt) L lx + f(x i,') S x + ... + f(x;n Llx]n""";'oX- /=) JI_CC

cuando se ca1cula un area. Tambien vio que aparece cuando intenta hallar la distanrecorrida por un objeto. Resulta que este tipo de limite se presenta en una arnplia vadad de situaciones, incluso cuando f no es necesariamente una funcion positiva. Encapitulos 6 y 8 vera que tambien surgen limites de la forma (1) al hallar longitudescurvas, vohirnenes de solidos, centros de masa, la fuerza debida a la presion del agel trabajo, asf como otras cantidades. De modo que tienen un nombre y una notacespeciales.

r n D E F I N I C I O N D E I N TE G R A L D E F I N I D A Si f es una funcion continua definida pa-ra a ,,; :;x .: .;b, divida el intervalo [a , b] en n subintervalos de igual anchoLlx = (b - a)/n. Raga que Xo (= a), x!, X2 , ... , X II (= b ) sean los puntosextremos de estos subintervalos y elija x jl', x ~~ ,... , x ;i' como los puntos muestrasen estos subinterval os, de modo que xi~ se encuentre en el i-esimosubintervalo [XH, x.], Entonces Ia integral definida de f,desde a hasta b, es

siempre que exista este limite, si existe, f es integrable en [a , b J .EI significado exacto del limite que define a las integrales como sigue:

Para cualquier rnimero s > 0 existe un entero N tal que

I r b f(x) dx - ~ j(xi") / l X I < eJ . , j=)para cualquier entero n > Ny para cualquier seleccion de xt en [Xi - ] , x;),IN O T A II Leibniz introdujo el sirnbolo r y se llama signo de integral. Es una S alarg

y se eligio debido a que una integral es un limite de sumas. En la notaci6n I 'b f(x) dx,se llama integrando, yay b se conocen como los lfrnites de integracion';"a es el lfrinferior y b es ellimite superior. EI simbolo d x no tiene significado en 5 1 ; todo r bj(x),(Jes un sfmbolo. La dx indica simplemente que la variable independiente es x. EI procmien to para calcular una integral se llama lntegracion.


14/60

B ern ha rd R ie ma nn re cib i6 s u d oc to ra do e nF il os of fa b a jo l a d ir ec ci on d e ll eg en da ri oG a us s, e n la U niv ers id ad d e G o ttin ge n, y per-m an ec i6 a ll i p ara e nse iia r. G au ss, q uie n n ote nia e l h ab ito d e e lo gia r a o tro s m ate ma tico s.h ab lo d e "la m en te c re ativ a, a ctiv a, e n v erd admatemat ica y ls g lo ri os am e nt e f er ti l o rig in al i-d ad" de R ie mann, La definic ion (2 ) de integrals e d eb e a R ie ma nn . Ia mb ie n h iz o c ola bo ra cio ne simportantes a la teoria de funciones de unav aria ble c om ple ja , a la fisic om ate ma tic a, ala te orfa d e m lm ero s y a los fundam entos d e tageometr ia. E I a mp lio c on ce pto d e R ie ma nn d elespacio y d e la g eo me tria re su ltd s ar, 5 0 s fin sm as tarde, el a poy o co rre cto para la teorfag en era l d e la re la tiv id ad d e E in ste in . L a sa lu dde R ie mann fue m ala durante toda su v id a ym urio d e tub erculosis a los 3 9 anos,

ys=ivi

F I G U R A 3lj(xt) .6.., es una aproximaci6nal area netay

F IG U R A 4'IIt j(x) dx es el area neta

SECCION 5.2 LA INTEGRALDEFINIDA 1 1 1 1

I N O T A :2 i La integral definida J : f(x) dx, es un mimero; que no depende de x. De h e cpodria utilizar cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral:

j ' b J ' b [I 'tt f(x) dx = "f et) dt = J " fer) drLa suma

n2:f(xt) Llxi-I

que se presenta en la definici6n 2 se llama suma de Riemann, en honor del matertico aleman Bernhard Riemann (1826-1866). De tal manera que la definici6n 2 mencique la integral definida de una funcion integrable pueda aproximarse dentro de cualqgrado de exactitud mediante la suma de Riemann.Sabe que S I f es positiva, luego la suma de Riemann puede interpretarse como una

rna de areas de los rectangulos de aproximacion (vease la figura 1). AI comparar Ia dnici6n 2 con la definici6n de area de la secci6n 5.1, tiene que la integral definida r " f(x)

.ase puede interpretar como el area debajo de Ia curva y =(x), desde a hasta b (veasefigura 2).

y y

o o b xF IG U R A 1Si f(,t)"", 0, la suma de Riemann 2 : j(xt").6.xes la suma de las areas de los rectangulos

F IG U R A 2[bSi f(,t)"", 0, la integral .a j(x) dx es el area

debajo de la curva y = f(xl desde a hasta b

Si f toma valores tanto positivos como negativos, como en la figura 3, despues la sude Riemann es la suma de las areas de los rectangulos que se encuentran arriba del ey las negativas de las areas de los rectangulos que estan debajo del eje x (Ias areas derectangulos en oro m e n o s las areas de los rectangulos en azul). Cuando toma el limiteesas sumas de Riemann, obtiene la situacion que se ilustra en la figura 4. Una integdefinida puede interpretarse como un area neta, es decir, una diferencia de areas:

r f(x) dx = A ! - A2donde AI es el area de la region arriba del eje x y debajo de la grafica de f y A2 correspde a Ia region debajo del eje x y arriba de la grafica de f.

Aunque ha definido J : fex) dx dividiendo [a, b] en subintervalos del mismocho, hay situaciones en las que resulta ventajoso trabajar con intervalos de ancho desiguPor ejernplo, en el ejercicio 14 de Ia seccion 5.1, la NASA proporciono datos de velociden tiempos que no estaban igualmente espaciados, pero aun as! fue capaz de estimardistancia recorrida. Y existen metodos para la integraci6n numerica que aprovechan losbintervalos desiguales,


15/60


Si los anchos del subintervalo son L .l X I , L .l X 2, . . . , L .l X II, debe asegurarse de que todostos anchos tiendan a 0 en el proceso de detrerminaci6n de Ifrnites. Esto sucede si eJ anmas grande, max L . l X i tiende a O . De manera que en este caso la definici6n de una intedefinida se convierte en

~ l IIJ ) f ( x ) dx = .im 2 : f ( x ; " ) L .l X ;a ITI.lX J..l,"j-"O i=1[ i l l l m 51 Ha definido la integral definida para una funci6n integrable, pero no todasfunciones SOnntegrables (vease ejercicios 67-68). EI teorema que sigue muestra qu

mayor parte de las funciones que usualmente acontecen en realidad son integrables.se comprueba en cursos mas avanzados.

r n TEOREMA Si f es continua en [a , b ], 0 si f tiene tinicamente un mimero finitode saltos discontinuos, en tal caso f es integrable en [a, b]; es decir, la integral

f'bdefinida f ( x ) dx existe ..

Si f es integrable en [a , b], despues el lfmite en la definici6n 2 existe y pro-porciona el mismo valor, no importa c6mo seleccione el punta muestra x i ' < . Parasimplificar [as calculos de la integral con frecuencia tomamos los puntos muestralos extremos de la derecha. Par 10 tanto x i' =i Y la definicion de una integral sesimplifica como sigue.

L 1 J TEOREMA Si f es integrable en [a , b ], por 10 tanto. f o b U1 . f { x ) dx =,!~~~ f ( X i ) L . l x

b-a.6.x=--IIdonde y x,=a+i.6.x

EjHIlPlO I ExpreseII

lim 2 : ( x 7 + X i sen X i) L .l xn .......c i=1como una integral en el intervale [0. T i lS O L U C I O N Al comparar el lfrnite dado can el l f r n i t e en el teorema 4, sera identico sielige f ( x ) =3 + x sen x. Puesto que a =0 y b =st. Por consiguiente, medianteteorema 4

Ifm (x t + X i sen Xj) L . l x = " ( x 3 + x sen x ) dxn-~~ ;=1 J oMas adelante, cuando aplique la integral definida a situaciones ffsicas, sera import

reconocer los lfmites de sumas como integrales, como en el ejemplo 1. Cuando Leibnizgi6 la notaci6n para una integral, escogi6 los ingredientes para recordar el proceso de tael limite. En general, cuando escribe

reemplaza lim Leon . 1 ' , x : ~ can x y L . l X can dx.


16/60

w L as fo rm ula s 8 a 11 se pru eb an e scrib ie nd oca da un o d e lo s m ie mb ros en fo rm a de sarro tla -d a. E lla da iz qu ia rdc de la ecu ac ion ga s

ca 1 + ca 2 + . . . + ca"EI lad o de re ch a es

c(al+a2+"'+a,,)P ar la p ro pie da d d is trib utiv a, e sta s s on ig ua le s.la s o tra s form ula s s e an aliz an e n e l a pe nd lca E .

SECCION 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA IIII 3EVALUACION DE INTEGRALESCuando aplica la definici6n para evaluar una integral definida, necesita saber c6mo trabajcon sumas. Las tres ecuaciones siguientes dan las f6rmulas para las sumas de potenciasenteros positives. Es posible que conozca la ecuaci6n S desde un curso de algebra, Las ecuciones 6 y 7 se analizaron en la seccion S .I y se prueban en el apendice E.

i= n(n + 1 )i_I 2 i =lI(n + 1) (2n + I)i~1 6

Las formulas restantes son reglas sencillas para trabajar can la notaci6n sigma:/I

2 : C =Hei=n J/2: ca, =c 2 : a,i=1 i=i

ti n 112: (a ; + hi) =L a, + 2 : bi

j=i 1=1

II 1 1 nL (ai - b i) =2 : a, - 2 : b .i-I i=1 i=1

EJE t1PL O 2(a) Evalue la suma de Riemann para I(x) =3 - 6x, tomando los puntas muestras delos puntos extremos de la derecha y a =0, b =3Yn =6.(b) Evahie C (x3 - 6x) dx.

Q

S O L U C I O U(a) Con n = el ancho del intervalo es

b-a 3-0 1Ax=--=--=-n 6 2Ylos puntas extremos de la derecha son Xl =O.S, Xl = LO, X3 =1.S, X4 =2.0, Xs = 2.5X6 =3.0.De modo que la suma de Riemann es

6R6 =2:1(Xi) Ax

i-I=f(0.5) L lX + 1 (1 .0) A x +1(1.5)Ax +1(2.0)L lX + 1(2.5)Ax + 1(3.0)Sx=(-2.875 - 5 - 5.625 - 4 + 0.625 + 9)=-3.9375


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)' Advierta que f no es una funcion positiva, por 1 0 que la suma de Riemann no represeuna suma de areas de rectangulos. Pero sf representa la surna de las areas de los recgulos de color oro (que estrin arriba del eje x) menos la suma de las areas de los rectring

y =.1:3 - 6.1: de color azul (que estan abajo del eje x) de la figura 5.(b) Con 1l subintervalos, tiene

370 III! CAPITULO 5 INTEGRALES

o 3 x b - a 36.x=--=-n 1 1

5

F IG U R A 5 Por consiguiente, X a = 0, XI = 3/1l, X 2 =/11, X 3 =/1 l, y , en general, X i =3iln. Dque usa los puntos extremos de la derecha, puede utilizar el teorema 4:II " ( 3 i ) 33 ( X 3 - 6x)dx= lim 2 : f ( X i ) 6.x=im 2 : f - -J o n-)o'Xl i=1 II---+X i=l 11 1l

I!i En la s um a. n e s u na c on st an te I di fe re nt ede fl , por eso puede m ov er 3 / n e nfr en te d elsigna k.

, 3 " [ ( 3 i ) 3 ( 3 i ) ]hm- 2 : - - 6 -,,~'" n i-I 11 n (La ecuacion 9 con (' = 3 / H ), 3" [ 2 7 ' 3 18.]=im - 2 : - I --[, , ~ X 11 i_I 113 Il

[81" 54 II ]= lim -4L i3- -, L in~"~ 11 ;=1 n: i=l (Ecuac iones u Y I))

5 y=x3 - 6x

= i m { 8 ~ [ n ( n + 1 ) ] 2 _ 5 ~ n ( 1 1 + I ) }, , - : 0 ' " n 2 11- 2 lEcuaciones 7 y 5)

o=f r n [ ~ ( 1 + l ) 2 - 2 7 ( 1 + l ) ],,~'" 4 n 11

3 x 81 2 7=4-7 =-4 -6.75F I G U R A 6"J o (x3 - 6x) dx =A1 - A2 =-6.75

Esta integral no se puede interpretar como un area porque t toma tanto valores positcomo negativos; pero puede interpretarse como la diferencia de areas AI - A2 , don dy A2 se muestran en la figura 6.En la figura 7 se ilustra el calculo al mostrar los terrninos positivos y negativos

la suma de Riemann R " de la derecha, para n =40. Los valores que aparecen en la thacen ver que las sumas de Riemann tienden al valor exacto de la integral, -6.75, cdo rt ---? 00.y

o 3 x

II /? "40 -6.3998100 -6.613050 0 -6.72291000 -6.73655000 -6.7473

5 y=.1:3- 6x

F IG U R A 7R ~o = -6.3998


18/60

a Como I(x} =" e s p ositiv e, la in te gra l d elejemplo 3 re pre se nta e l a re a Q ue S8 muestrae n la fig ura B .

y

x3F IG U R A 8

Iii U n s is te ma a lg e bra ie o p or c om pu ta do ra e se ap az d e h alla r u na e xp re si6 n e xp lfc ita p arae sta s um a p orq ue e s u na s er ie q eo rn atr ic a.E l l lrn ite p od ria e nco ntra rs e u sa nd o la re g l ade l 'Hosp i te l .

y

oy=,h -x

xF I G U R A 9

SECC16N 5.2 LA INTEGRALDEFINIDA IIIIAhora un metoda mucho mas sencillo para evaluar la integral del ejemplo 2.

EJEM PLO 3(a) Plantee una expresion para J I 3 e' d x como un limite de sumas.(b) Use un sistema algebraico por computadora para evaluar la expresi6n.S O l U ( I O t l(a) En este caso, tiene f(x) = e", a = 1 , b = 3 , Y

b - a 26x=--=-n 11De modo que Xo =1, XI =1 + 2 /n , X2 = + 4 /n , X) = + 6/11, y

2iX i =1 +-11

A partir del teorema 4, obtiene

f3 "eX d x = lfrn Lf ( X i ) L'l.x1 I!_OO i=1

" ( 2 i ) 2frn Lf 1 + - -n~OO i=L 17 fl

2 "=fm - L el+2 1 1 "JI-":C n Je= l

(b) Si le pide a un sistema algebraico para computadora que evaltie la suma y simplifique, obtiene

Ahora le pide al sistema algebraico por computadora que evahie ellfmite:

En Ia siguiente secci6n se estudia un metodo mas sencillo para la evolucion deintegrales.~ EJEMPLO 4 Evahie las integrales siguientes interpretando cada una en terrninos de are(a) fol ~ d x (b) f : (x - 1) d x~ O L U C 1 0 t l(a) Dado que f(x) =)1 - x2 ~ 0,puede interpretar esta integral como el area debajde la curva y = .)1 - x2 desde 0 hasta 1 . Pero, como y2 = 1 - Xl, obtiene x2 + y2 =10 cual muestra que la grafica de f es el cuarto de cfrculo, con radio de I, que aparecen la figura 9. Por 10 tanto,

S r i rr==: I (l )? 7T'o f I - x- dx =7T 1 - =-044(En Ia secci6n 7,3 usted sera capaz de demostrar que el area de un cfrculo con radioes 7 T r 2 . )


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(b) La grafica de y =-I es 1 a recta con pendiente 1 que se presenta en la figuraCalcule la integral como la diferencia de las areas de los dos triangulos:

372 1 1 1 1 CAPiTULO 5 tNTEGRALES

FIGURA 10

Ii]'][3 En Modul e 5.2/7.7 se m ue stra co mola re gia de l pu nta m ed ia m ejo ra c ua nd o JJ S8incrementa.

y

oF IGURA 11

J)'" -

2

J '3o (x - l)dx=AI -A2=h2'2) - ~(l'I) =1.5y 13 , 2 )

3 x-1

LA REGLA DEL PUNTO MEDIOA menudo se elige el punta muestra xt como el extrema de la derecha del i-esimovalo como el punto muestra porque resulta conveniente para calcular el lfmite, Perfinalidad es hallar una aproximacion para una integral, conviene escoger x~~copunta medio del intervalo, el cual se denota con X i. Cualquier suma de Riemannaproximacion a una integral, pero si usa los puntos medios, obtiene la aproxirnsiguiente:

REGlA DEL PUNTO MEDIO

[b/(x)dx = /(X;)LlX =Llx[J(xl) +"+ j(xlI)]..(J [=1

donde b-aLlx=-- ny X i = ~(Xi-I + x;) =punto media de [ X i - I , X i ]

~ EjEMPLO :; Use la regia del punto medio con I!= 5 para hallar una aproximaciode J 2 _ ! _ dx.

I XSOLUCIONos puntos extremes de los cinco subintervalos son 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0modo que los puntos medias son 1.1, 1.3, 1.5, 1.7 Y 1.9. EI ancho de los subintervalLlx=(2 - 1)/5 =L de suerte que la regia del punto media da

r " 1--dx =Llx[J(l.l) + /(1.3) + /(1.5) + /(1.7) + /(1.9)].1 x 1 ( 1 I I 1 1 )- -+-+-+-+-5 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9= 0.691908

x Puesto que /(x) =/x > 0, para I ~ x : : o s ; 2, la integral representa un area y la aprmacion dada par la regia del punto media es la suma de las areas de los rectanguloque se muestran en la figura II.


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ill E n V isu al 5 .2 p ue de co mp srsr la sa pr ox im a ci an es , iz q ule rd a, d er ec ha y d el p un tam edia para la integral del ejemplo 2 parad ife re nte s v alo re s d e 11.

F I G U R A J 2M4D ee -6.7563

y

F IG U R A 1 3I 'h.0 cdx = ctb - a)

SECCION 5.2 LA INTEGRALDEFINIDA IIIIHasta el momenta no sabe que tan exacta es la aproxirnacion del ejernplo 5; pero en

seccion 7.7 aprendera un metodo para estimar el error relacionado con eI uso de Ia redel punto media. En ese momento, se exponen otros rnetodos para hallar aproximacionde integrales definidas.

Si aplica la regIa del punto medio a la integral del ejemplo 2, obtiene la imagen qaparece en la figura 12. La aproximacion M40 = -6.7563 esta mucho mas cerca dellor verdadero de -6.75 que la aproximacion con el punto extremo de la derechR40 = -6.3998, que se muestra en Ia figura 7.

y

y=_r3- 6 . b. Advierta que si invierte a y b, en tal caso Llx cambia de (b - aa (a - b)/n. En consecuencia

j '" I I >(x) dx =- f(x) dxb "Si a =, luego L lx =0 y asf

r f(x) dx =0"Ahora aparecen algunas propiedades basicas de las integrales que le ayudaran a e

luarlas can mayor facilidad. Suponga que [ y 9 son funciones continuas.

PR OPIEDA DES DE LA INTEG RA L

I. [b C dx =ib - a), donde c es cualquier constante)"2. r [[(x) + g(x)] dx = : 'f(x) dx + r g(x) dx3. [II cf(x) dx =C [h f(x) dx, donde c es cualquier constanteJ u J o4. r [[(x) - g{x)] dx =r f(x) dx - r g(x) dx

xEn la propiedad 1 se expresa que la integral de una funcion constante [(x) =c es

constante multiplicada por la longitud del intervalo. Si c > 0 Y a < b, esto es de esperse porque c(b - a) es el area del rectangulo de la figura 13.


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F IG U R A 1 4

J 'ba [j(x) + g(x)] dx ='b '/1 j(x) dx +L g(x) dx

SI L a p ro pie da d 3 p ars ce in tu it iv am e nte r aw -nab le porque si se m ultip liea una funci6 n poru n n ur ne ro p os it iv e c . su g ra tic a se a la rg ao contrae en el sentido v ertica l un factor dec . D e m od o q ue a la rg a 0 co ntra e c ad a re c-tangulo de aproxim aei6 n un factor de c t. po rc on se cu en cia . tie ns 8 1 e le cto d e m ult ip lic are l area por c .

y

F IG U R A 1 5

En 1apropiedad 2 se afirma que 1aintegral de una suma es la suma de las integra1era funciones positivas, esto quiere decir que e1 area debajo de f + 9 es el area debajomas el area debajo de g. La figura 14 ayuda a comprender por que esto es cierto: ende la manera en que funciona la adicion grafica, los segmentos rectilfneos vertic alrrespondientes tienen alturas igua1es.En general, la propiedad 2 se deduce del teorema 4 y del hecho de que el lfrnite d

suma es la suma de los lfrnites:

J ~b "" [f (x ) + g(x)] d x =,~~~f(x;) + g (x ;) ] t !.x=,~~~f(X i) t!.x + ;~g (x ;} t !. x J

n 'I=im 2 : f(x;) t!.x + lim 2 : g (x ;) t!.xn~"/., i=) /1_0 i= ]

= r f(x) dx + f : g(x) dxLa propiedad 3 se puede probar de manera semejante y en ella se expresa que Iagral de una con stante multiplicada por una funcion es la constante mu1tiplicada par

tegral de la funcion. En otras pa1abras, una constante (pero solo una constante) sellevar hacia afuera de un signa de integral. La propiedad 4 se prueba al escribir f -f + (-g) y ap1icar las propiedades 2 y 3 con c =-1.EjEt'iPLO 6 Use las propiedades de las integra1es para evaluar f o l (4 + 3 x2 ) dx.S O l U t i O N Si se ap1ican las propiedades 2 y 3 de las integra1es, se tiene

fl , f l I '? [ ' [L ,Jo (4 + 3 r) dx =o 4dx + Jo 3x- dx = Jo 4 dx + 3 Jo r dxPor la propiedad 1, sabe que

f o ' 4 d x =4(1 - 0) =4j 'Ly, en el ejemplo 2 de 1a seccion 5.1 encuentra que a x2 dx =~De igual manera,I4 + 3 x2 ) dx = f o L 4 dx + 3 f o l x2 dx

=4+3t=5En la propiedad que sigue se dice como cornbinar las integrales de la misma fu

sobre intervalos adyacentes:

~5. t_f(_~_dx_+_i_:f_(X_)dx__ =_r_f(_X)_dx

xEsto no es facil de probar en general pero, para el caso donde f(x) ~ 0 y a < c a g(x) dx.

8. Si rn ,;_:;;(x) ~ M para a ~ x ~ b, entoncesm(b - a) ~ J:f(X)dX';_:;; M(b - a)

Si f(x) ;;. 0, luego i' b f(x) dx represent a el area debajo de la grafica de f, de man.nque la interpretacion geometries de la propiedad 6 es simplemente que las areas sonsitivas. Pero se puede demostrar la propiedad a partir de la definicion de una integ(ejercicio 64). La propiedad 7 expresa que una funcion mas grande tiene una integral mgrande. Se infiere de las propiedades 6 y 4 porque f- g ~ O.La propiedad 8 se ilustra mediante la figura 16 para el caso en que f(x) ~ O.Si f es conua podria considerar m yM como los valores minima y maximo absolutos de f sabre

intervalo [a , bJ. En este caso, la propiedad 8 expresa que el area debajo de la graficaf es mayor que el area del rectangulo can altura 1 1 1 y menor que el area del rectanguloaltura M.D E M O S T R A C I 6 N D E lA P R O P I E D A D 8 Puesto que m ~ f(x) ,;_:;;M, la propiedad 7 plante

f b f b f i >m dx ,;_:;; f(x) dx ,;_:;; M dxa a aSi aplica la propiedad 1 para evaluar las integrales en el primero y el segundo miembobtiene

m(b - a) ~ J:f(X)dX ~ M(b - a)

La propiedad 8 es titil si 10 que quiere se reduce a una estimaci6n general del tarnade una integral sin las dificultades que representa el uso de la regla del punta media.

J 'I 2E j E M P I . O 8 Use la propiedad 8 para estimar 0 e-x dx .S O L U C J O N Debido a que f(x) =e-x' es una funcion decreciente sabre [ 0 , I], su valormaximo absoluto es M =(O ) = I y su valor minima absoluto es In = 1(1) =-I.


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376 1 1 1 1 CAPITULO 5 INTEGRALES

y=1De esta manera, por In propiedad 8,

o

Como e-I = 0.3679, puede escribir0.367 ~ 1 " 1 e-x ' dx ~ 1

.0x

F IG U R A 1 7EI resultado del ejemplo 8 se ilustra en la figura 17. La integral es mayor que el are

rectangulo inferior y menor que el area del cuadrado.

~ERCICIOS1. Evahie la suma de Riemann para f(x) = 3 - T X , Z "'" x " '" 4,can seis subintervalos; tome los puntos extrernos de laizquierda como los puntos muestra. Con ayuda de un diagramaexplique, que representa la suma de Riemann.

2. Si f(x) = x2 - 2x,O " '" x " '" 3, valore la suma de Riemanncon 1 1 = tome los puntas extremos de la derecha como lospuntos muestra, de su respuesta correcta hasta seis cifras deci-males. i,Que representa la suma de Riemann? Ilustre la respues-ta con un diagrama,

3. Si f(x) = . e : - 2, 0 "'"x "'"2, encuentre la suma deRiemann can n = correcta hasta seis cifras decimales,considerando los puntos medios como los puntas muestra.i,Que representa la suma de Riemann? Ilustre can undiagrama.

4. (a) Encuentre la suma de Riemann para f(x) =en x,o " '" x "'" 37T/2 , can seis terrninos, considerando los puntosmuestra como los puntas extremos de la derecha (Desu respuesta correcta hasta seis cifras decimales.)Explique, can ayuda de un diagrarna. que representala suma de Riemann.

(b) Repita el inciso (a) con los puntos medios como los puntasmuestra.

II] Se da la graflca de una funci6n. Estime . G f(x) dx usandocuatro subintervalos can (a) los puntos extremos de la derecha,(b) los puntas extremes de la izquierda y (c) los puntos medios.

yV \ - f

I \ l / '\ /0 I \ Ix\/

6. Se muestra la grafica de g. Estime r 3 g(x) dx con seis sub-intervalos usando (a) los puntos extremos de la derecha, (b)puntas extremos de la izquierda y (c) los puntos medics.

y' " ( 1 /- , 1 I\ 1 /\ /-. 0 1 / .t-, 1/- . /~ ./

7 . Se muestra una tabla de valores de uno funci6n creciente fUtilfcela para hallar estimaciones inferiores y superioresJ ; 5 f(x) dx.

.v 0 5 10 15 20 25!Cd -42 -37 -25 -6 15 36

8. En la tabla se dan los valores de una funci6n obtenida a partun experirnento. Can ellos estime J ; ~(x) d x usando tres sutervalos iguales con (a) los puntos extremos de la derecha,(b) los puntos extremos de la izquierda y (c) los puntos mdios. Si se sabe que la funci6n es decreciente, i,Puede desi sus estimaciones son menores 0mayores que el valorexacto de la integral?

x 3 4 5 6 7 8fix) -3.4 -2.1 -0.6 0.3 0.9 1.4 U


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9-12 Use la regia del punta media, can el valor dado de n, para ha-liar una aproximacion de cada integral. Redondee cada respuestahasta cuatro cifras decimales.

1'10I 2 J ,2 JX3 + I dx, /! = 10 . l ' r r / 2 cos" X dx, n =,0

1'111 . senix") dx, II=,0

13 . Si tiene un CAS que evahie las aproximaciones can los puntosmedios y trace 105 rectangulos correspondientes (en Maple, uselos comandos demiddlesum ymiddlebox), compruebe larespuesta para el ejercicio 11 e ilustre can una grafica, Enseguida,repita can n = 10 y n = 20.

14 . Con una calculadora programable 0una computadora (vea lasinstrucciones para el ejercicio 7 de la seccion 5.1), calcule lassumas de Riemann izquierda y derecha para la funci6nf(x) = sentx ') sabre el intervalo [0, IJ, con Il= 100. Expliquepar que estas estimaciones demuestran que

1'1

0.306 < sentx") dx < 0.315.0Deduzca que Ia aproximaci6n can el usa de la regia del puntode en media, can n =, del ejercicio II es exacta hasta dos ci-fras decimales,

15 . Use una calculadora 0 una computadora para hacer una tablade valores de sumas de la derecha de Riemann R " parala integral J ~ "en ., dx con n =, 10, 50 y 100. i.,Aque valor pa-recen tender estos ruimeros?

16 . Use una calculadora 0una sumadora para hacer una tabla devalores de las sumas de la izquierda y de Ia derecha deRiemann L" y R", para Ia integral.r; e-x' dx con II= 5, 10,50 y100. i,Entre que valores tiene que encontrarse el valor de la in-tegral? i,Puede hacer un enunciado similar para la integral, 1 " : Ie-.,' dx? Explique su respuesta.

17-20 Exprese ellfmite como una integral definida sobre el inter-valo dado.

J)

1 7 . lim L x ; In(1 + xD~x, [2,6]J) cosx18 . lfrn 2 : _ _ I l . X , [ r . ,217 ]

il~,'~ .i=1 XI

"~ lim L J 2 x : ~ + (xr)2 11x, [1,8]1[-):>:; i=1

"2 Q . lfrn 2 : [4 - 3 (X /)2 + 6(xn5] 11x, [0, 2]1'J:_:.t: ,'=121-25 Use la forma de la definicion de integral que se dio en elteorema 4 para evaluar la integral.

1'52 1 . , _I (J + 3x) dx

~ : t J 1 '2 (2 - x2) dx.01'422 . (x2 + 2x - 5) dx,I

SECCI6N 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA IIII26 . (a) Halle una aproximacion a la integral . I ; ( . , ~ - 3x) dx usa

do una suma de In derecha de Riemann con puntos extremos de la derecha y It =8.

(b) Dibuje un diagrama como el de la figura 3 para ilustraraproximacion del in cis o (a ).

(c) Aplique el teorema 4 para evaluar . I ; (x2 - 3x) dx.(d) Interprete la integral del inciso (c) como una diferencia de

areas e ilustre con un diagrama como el de la figura 4.'b b2 - a227 . Demuestre que I x dx = ---

~1 2r b , bJ - aJ28 . Demuestre que J ,. X" dx = 3

29-30 Exprese la integral como un Ifmite de sumas deRiemann. No e va liie e l lirnite.

1'1030. (x - 4 In x) dx.l

iI~Ij1 -32 Exprese la integral como un lfrnite de sumas. Enseguida evhie utilizando un sistema algebraico para computadora para encotrar tanto Ia suma como ellfmite.31. J : sen 5x dx f lO32 . 2 x" dx

---------.-----~ Se muestra la grafica de f.Evahie cada integral interpretando

en terminos de areas.(a) L 2 f(x) dx (b) J : f(x) dx

(d) , '9 f(x) dx,0

'7(c) 5 f(x) dx

2V V 1\ Y""i(x)\0 2 4 1\6 8 .\

\/;/34 . La grafica de g consta de dos rectas y un semicirculo, Usela p

evaluar cada integral.(a) 1 '2 g(x) d x

.0'6(b) J 2 g(x) dx J '7(c) 0 g(.,) dx

y I4 I\2 \ ),-g(x)1 \ I\ I I L0 4 7 .\-, I VI


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378 Ill! CAPiTULO 5 INTEGRALES35-40 Evalue cada integral interprcuindola en terminos de areas.35, r U . , - I) dx

.036. f 2 J4 - . , 1 dx

1 '338. (3 - 2x) dx -v l

3 9 . [ I x l dx 40 . f'\t - 5 1 dx. n41. Valorar I n senc ,. cos4x dx .

.IT

'! --42. Dado que! 3XJX2 + 4 d x =/5 - 8, {,cuanto es,0'0 --I 3 l1Ju" + 4 du ?.143. En el ejemplo 2 de la seccion 5.1, demostro que . i~x2 dx =~

Aplique este heche y las propiedades de las integrales paraevaluar J~(5 - 6x2 ) dx.

44. Aplique las propiedades de las integrates y el resultado delejemplo 3 para evaluar .L 3 (2e' - I) dx.

45. Utilice el resultado del ejemplo 3 para evaluar .L 3 eH2 dx.46. A partir de los resultados del ejercicio 27 y del hecho de que. 1 : / 2 cos x dx =1 (segun e 1 ejercicio 25 de la secci6n 5.1), junto

con las propiedades de las integrales, evahie. 1 : / 2 (2 cos x - 5x) dx.l 1 L l Escriba como una sola integral en la forma f:f(x) dx:

t f(.>:) dx + j~(x ) dx - [!(x ) dx48. S i J ; f(x) dx =12 Y . I; f(x) dx =.6, encuentre J : f(x) dx.! i 2 . J Si J~f(x) dx =7 y . I; g(x) dx =16, encuentreJ ~ [2f(x) + 3g(x)] dx.50 . Halle J ;f(x) d x si

f(x) =e para x '!52. 1 ./ 1 + x' dx "" I .v I + x dx,0 .0I'!~ 2";; .~! JI + x+ dx ""2.,fi

.,fi 1 r 1 ' " / 4 . j 3 1 r54. -- ,,;; cos x dx ,,;;--24 rrlG 2 4

55-60 Aplique la propiedad 8 para estimar el valor de la inte

"

455. )Xdx,!

"

"' /357 . tan x dx "(4 58. 1 '2 (x> - 3x + 3) d x.060 . C " (x - 2 sen x) dx

6Y-62 Mediante las propiedades de las integrales.junro canejercicios 27 y 28 , demuestre la desigualdad,

'1 2661. J ' J?'+l dx ;;;:-! 3'

~1f/2 tr62. x sen x dx "" -.0 8

63. Dernuestre In propiedad 3 de las integrales.64. Demuestre la propiedad 6 de las integrales.65. Si f es continua en [a , b ], demuestre queIf f(x) dxi ,,;;r 1 f(x) 1 dx

{Sugerellcia; -I f(x) I,,;;(x) ,,;; If(x) I ]66. Utilice el resultado del ejercicio 65 para demostrar que

\ 1 ' 1 "f(x) sen 2x dxi ,,;; ( 2 " I f(x) I dx1 . 0 ,067. Sea f(x) = 0 si x es cualquier numero racional y f(x) =

x es cualquier mimero irracional. Demuestre que f no esgrable en [0, 1].

68. Sea frO) = 0 y f(x) = I si 0 < x ,,;; 1. Demuestre quees integrable en [0, 1]. [Sugerencia: demuestre que el primterrnino en la suma de Riemann, f(xnllx puede hacersemanera arbitraria muy grande.]

69-70 Exprese el limite como una integral definida.~+ i 469. lim 2 : 5" [Sugerellcia: considere f(x) = X 4 . ]

n-~"-;' i=1 n1 tI70. lim - 2 : - - . .. ., - - - ,. -,,~~ II ;~l I+ (i/n)2

71. Determine J ! 2 x~z dx. Sugerencia: elija x't como la mediametrica de X;-I Y x, [es decir, x~~= J X;-! Xi ) Yuse la ide

----=-----mim + 1 ) III m + 1


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SECCION 5.3 El TEOREMA fUNDAMENTAL DEL CAlCUlO 1 1 1 1

FUNCIONES DE AREAI. (a) Trace la recta y =t + I y aplique la geometria para hallar el area debajo de esta recta,

arriba del eje t y entre las rectas verticales t = 1 Y t = 3 .(b) Si x > 1 , sea A (x ) e I area de Ia regi6n que se encuentra debaj0de Ja recta

y = 2 t + I, entre ( = 1 y t = x. Dibuje un esquema de esta region y use Iageometrla con el fin de hallar una expresi6n para A (x).(c) Derive la funcion de areaA(x).l,Que advierte?

2. (a) Si x ~ -1, sea

A(x) representa el area de una regi6n. Grafique la regi6n.(b) A partir de los resultados del ejercicio 28 de la secci6n 5.2 encuentre una expresion para A(x(c) Determine A'(x). l,Que se puede observar?(d) Si x ;;. -1 Yh es un mimero positivo pequefio, por [0 tanto A(x + h) - A(x) representa

area de una region. Describa y gra fique la regi6n.(e) Dibuje un rectangulo que sea una aproximacion de la region del inciso (d). Mediante [a

comparaci6n de areas de estas dos regiones demuestre que_ A , . : _ C t _ + _ ' . . : . . z } _ - _ A . . ; ; , C . . : . . . t ) = I + x2h

(f) Mediante el inciso (e) ofrezca una explicacion intuitiva del resultado del inciso (c).~ 3 . (a) D ibu je la gra fic a de la funci6n f(x) =os (.0) el rentangulo de visualizacion [0, 2] porI1.25, 1.25].

(b) Si define una nueva funcion g por medio deg(x) = r ' cosfr ') dt.0

en tal caso g ( x) es el area debajo de la grrifica de f, desde hasta x [hasta que f(x) sevuelve negativa, en cuyo punto g(x) se convierte en una diferencia de areas]. Use el resultado del inciso (a) para determinar el valor de x en el cual g(x) empieza a decrecer. [A dferencia de la integral del problema 2, es irnposible evaluar la integral que define g paraobtener una expresi6n explfcita para g(x).]

(c) Utilice el comando de integraci6n de su calculadora 0computadora para estimar g(O.2) ,g(O .4 ), g (O .6 ), ... , g( 1.8), g(2). En seguida, con estos valores dibuje una grafica de g.

( d) Use l a g ra f ic a de g del inciso (c) para d ib uja r I n g ra fi ca de g'; use la interpretacion de g' (x )como l a pend ien te de una recta ta ngente, ~Que relacion existe entre l a g ra fi ca de g' y la de f?

4. Suponga que f es una funci6n continua en el intervalo [a , b] Y se define una nueva funci6n 9por I a ecua c ion

g(x) = L'f(t) dtTomando como base sus resultados en los problemas 1-3deduzca una expresion para g' (x)

~~~~~~~~~~ EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULOEI teorema fundamental del calculo recibe de manera apropiada este nombre porque esblece una conexion entre las dos ramas del calculo: el calculo diferencial y el calculo integEl primero surgi6 del problema de la tangente, el calculo integral 10hizo de un problemaapariencia no relacionado, el problema del area. El profesor de Newton en Cambridge, IsBarrow (1630-1677), descubrio que estos dos problemas en realidad estaban fntimamerelacionados. De hecho, se dio cuenta que la derivacion y la integracion son procesos inv


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sos. EI teorema fundamental del calculo da la correspondencia inversa inequivoca ela derivada y la integral. Newton y Leibniz explotaron esta correspondencia y lacaron para desarrollar el calculo en un metodo maternatico sistematico. En particuellos advirtieron que el teorema fundamental les perrnitia calcular con gran facilareas e integrales, sin tener que calcularlas como lfmites de sumas como en las seccio5.1 y 5.2.La primera parte del teorema fundamental trata funciones definidas por una ecua

de la forma


y

area = (j(xiy=j(t)

o a x bF IG U R A 1

y2I / \ y=ljlll/ \0 I 2 4{ I,\\ )

F I G U R A '2

? /IV0 J /gOI = I

F IG U R A 3

2I /V0 1 ? IT

g(2) =3

g(x ) ="f(t) d t"donde f es una funcion continua sobre [a , bJ y x varia entre a y b. Observe que 9 deps610 de x, que aparece como el limite superior variable en la integral. Si x es un mimfijo, por 10tanto la integral 1 '" J (t) d t es un mimero definido. Si despues hace variar x, emero t 'J (t) d t tambien varfa y define una funci6n de x que se denota mediante g(x).

Si f es una funcion positive, despues g(x ) puede interpretarse como el area debajla grafica de f de a a x, donde x puede cambiar de a a b. (Considere a 9 como la fun"area tan lejana"; vease la figura I.)

~ EJEfljPLO ! Si f es la funcion cuya grafica se ilustra en la figura 2 y g(x ) =J~ '(t )encuentre los valores de 9(0), g ( 1 ) , g ( 2), g ( 3), g( 4) Y g ( 5). Luego trace una graficaaproximada de g .

S O L U C I O I ! En primer lugar observe que g(O) =g J(t) dt = . A partir de la figura 3 se vque g ( 1) es el area de un triangulo:

Para hallar g(2) le agrega a g( 1) el area de un rectangulo:

g(2) ='2 Jet) dt = '1 J(t) dt + J '2 J(t) dt = + (l .2) =o .0 IEstime que el area debajo de f de 2 a 3 es alrededor de 1.3, de rnanera que

J '3g(3) =(2 ) + 2 Je t) d t =3 + 1.3 =4.3y

[-2 / \i l \0 1 T f I

y: f 1- + \\0 I 2 4 /i\ -i

: f + \\0 I 2 1 \ t / I\1/(3 ) =4.3

g(4) =3 g15) = L7


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3

)'

4

2

g

o 2 4F I G U R A 4g (x ) "" f f(t) dt

s

3 5 x

j(xj

o (1 !\ bx x+hF IG U R A 5

E I n om bre d e e ste te ore ma S8 abreviacom o T FC l : e xpre sa q ue la d eriv ad a de un a iru s-gra l de fin ida can resp ecto a su lim ite s up erior e sel integrando evaluado sabre ellim ite superior. '

SECCI6N 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO 1 1 1 1

Para t > 3, f(t) es negativa y par tanto empiece a restar areas:g(4) =(3 ) + rf(t) dt =4.3 + (-1.3) =3.0g(5) = g(4) + f " f(t) dt = 3 + (-1.3) =1.7.4

Use estos valores para trazar la grafica de g en la figura 4. Advierta que,debido a que f ( t ) es positiva para t < 3, se sigue sumando area para t < 3 ypar 10 tanto 9 es creciente hasta x =3, donde alcanza un valor maximo. Para x> 3,9 decrece porque f ( t) es negativa.

Si hace f(1) = y a =0, despues, aprovechando el ejercicio 27 de la secciontiene

f .X2g(x) = x t dt =-

.0 2Observe que g'(x) = x, es decir, g' =. En otras palabras, si 9 se define como la intede f mediante la ecuacion 1, por 10 tanto 9 resulta ser, cuando menos en este caso,antiderivada de f.Y si traza la grafica de la derivada de la funcion 9 que se ilustra efigura 4 al estimar las pendientes de las tangentes, obtiene una grafica como la dela figura 2. Par eso, sospeche que en el ejemplo 1 tambien r / =f.Con objeto de observar por que esto puede ser verdadero en general considere cualq

funcion continua f con f(x} 30. Pues g(x) =; ' f(t) d t puede interpretarse como eldebajo de la grafica de f de a a x, como en la figura 1.

Con el fin de calcular g'(x) a partir de la definicion de derivada, en primer lugarserve que, para h > 0, g(x + h) - g (x ) se obtiene restando areas, par 1 0 tanto es eldebajo de la grafica de f de x a x + h (el area sombreada de la figura 5) . Para II pefias, a partir de la figura puede vel' que esta area es aproximadamente igual al area deltangulo con altura f(x) y ancho h:

por eso

g (x + h) - g (x ) = hf (x)g(x + h) - g(x ) ( )-"-------- '--""--" '-f xh

En consecuencia, por intuicion, espere que' ( ) I ' g(x + 1 1 ) - g(x) f()9 x =irn = x"-0 II

El hecho de que esto sea verdadero, aun cuando f no sea necesariamente positiva, es lamera parte del teorema fundamental del calculo.TEOREMA FUNDAMENTAL DEL cALCUlO, PARTE I. Si f es continua en [a , b], luegola funcion 9 definida pOl'

g(x) = r f(t) dtes continua en [a, b ] y derivable en (a, b ), y g ' (x) =(x).


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D E M O S T R A C I O N Si x Yx + h estrin en (a, b ), por 10 tanto382 IIII CAPiTULO 5 INTEGRALES

)'

Y""i(x)

IIIM

oF IG UR A 6

x u ['=x+1I x

Ii:I!3 En Module 53 se p ropor ci ona ev idenc iav i sua I pa ra TFC l,

g( x + h ) - g(x) =r(t) d t - fX f(t) d t" a

= r I ( f ) dt + J:+!if(t) d t) - rf(f) dt (poria propicdud S)I"()f t dt a+ y x -';> : , esto tamse cumple cuando x = a y x =b .Si hace x =a en la formula para g(x), obtiene

S ag(a) = f(t) dt =0"Entonces, al aplicar la ecuacion 6 con x =b Yx = a, llega a

F{b) -- F (a) =9(b) + C] -- [g(a) + C]= g(h) -- g(a) = (b )

. C ' f(t) d t


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m C ompa re e l c alc ulo e n e l e je mp lo 5 c ane lm u ch o mas d iffc il d el e je mp lo 3 d e laseccl en 5 .2 .

A I a pl lc ar e l te or ema fu nd ament al s e u sauna an tider ivada part icu la r F de f. No esnecessr io u sar l a ant id e rl vada mas gene ra l.

SECCI6N 5.3 ELTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO I I I 1

La parte 2 del teorema fundamental establece que si conoce una antiderivadaI, en tal caso puede evaluar J : ; I(x) dx simplemente calculando la diferencia de lolores de F en los extremos del intervale [a , b] . Sorprende mucho que r { ) f(x) dx, quedefinida mediante un procedimiento complicado que requiere todos lo~ valores depara a ,;:,; ';:'; b, se pueda determinar conociendo los valores de F(x) en 5610dos pua y b.

EI teorema sorprende a primera vista, esto es posible cuando se le interpreta enminos ffsicos. Si vet) es la velocidad de un objeto y s(t) es su posicion en el tiempo t10tanto v C t ) ='(r), Ys es una antiderivada de v . En la secci6n 5.1 se estudia un objetosiempre se mueve en la direcci6n positiva y plantea una conjetura de que el area bacurva de la velocidad es igual a la distancia recorrida, Si 10expresa mediante sirnbolo10 siguiente:

f . b vet) dt =(b) - sea)"Eso es exactamente 10que el TFC2 establece en este contexto.

~ E jEM P lO 5 Evahie la integral f 3 e' d x .IS O l U ( I O U La funci6n f(x) =X es continua en todas sus partes y sabe que una antiderives F(x) =e,de modo que la parte 2 del teorema fundamental da

J '3I e+dx = F(3 ) - F(1 ) = e3 - eObserve que el TFC2 establece que puede utilizar cualquier antiderivada F de

De este modo podrfa usar la mas sencilla, a saber F(x) = e ', en Iugar de e X + 7 0e' + C.A menudo se recurre a la notaci6n

]hF(x) a =F(b) - F(a)

Tarnbien la ecuaci6n del TFC2 se puede expresar comor f(x) dx =F(x)]: donde F'=IOtras notaciones comunes son F(x) I: ; y [F(x)J::.

~ E jEM PLO 6 Determinar el area bajo la parabola y =2desde 0 hasta 1.

S O l U ( ! O N Una antiderivada de f(x) =2 es F(x) = ~X3. EI area requerida A se calculaaplicando la parte 2 del teorema fundamental:

Si compara el calculo del ejernplo 6 con el del ejemplo 2 de la seccion 5.1, vera qteorema fundamental proporciona un metodo mucho mas corto.


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}'=cos '"./ .o

area =1

F IG UR A 9

'6 d xEJH1PlO 1Evahie J =.3 XS O L U C I O N La integra l dada es una forma abreviada de

f 6 I-dx3 xU na antiderivada de f(x) =/ x es F(x) =n I x I y , como 3 ~ x ~ 6, pu ed e escribirF(x) =n x. D e ta l m anera ,

f 6 1 ] 6- dx=n x 3 = In 6 - In 33 X6= In - =n 23

EjENPLO8 Calcule el a rea ba jo la curva coseno des de 0 hasta b, donde 0 ~ b ~ 7T/2.)OLU(ION Puesto que una antiderivada de f(x) = co s x es F(x) =en x

J 'b d ] " b= 0 co s x x =en x a =en b - sen 0 =enEn pa rt ic ul a r, al hacer b =7T /2, ha comprobado que el a rea ba jo la curva coseno

desde 0 hasta 7 T/ 2 e s s en (7 T/2 ) =1. Vease figura 9.

Cuando el matematico frances G illes de Roberva l ca leuI6 por vez primera el a realas curva s sene y coseno en 163 5, era una empresa que requerfa aplica r todo el ingenioque fuera uno capaz, S i no tuviera la venta ja del teorema fundamenta l tendrfa que ca lcu n diffcil lfrn ite d e su ma s m ed ia nte id entid ad es trig on orne trica s a bstru sa s, 0bien, un sma algebraico cornputacional como en el ejercicio 25 de la secci6n 5.1 . Fue muehodificil p ara R obe rva l puesto que el a rtificio de los lfrnites no se habra inventado ati1635. Pero y a despues de los afios de 1660 y 1670, cuando Barrow descubrio e l t eo rfundam enta l y N ewton y L eibniz 10 explota ron, este problema se volvi6 m uy facil, c10 puede ver por el ejemplo 8 .EjEt,1PLO 1} I,Q ue es 10 err6neo en e l c al cu lo siguiente?

r 3 1 X - I J 3-dx=- -r l x2 -1

-]

1= _-_3

41=--3

S O L U ( I O N Para empezar, observe que este c a l c u l o es err6neo porque la respuesta es negv a, p ero f(x) =I/ x2 ~ y la propiedad 6 de las integra les establecen queJ ~ '(x) dx ~ 0 cuando f ~ 0. EI teorema fundamenta l del calculo se aplica en las fuciones continuas, En este caso no se puede aplica r porque f(x) = / x 2 no es continen [ -1, 3 ]. E n efecto, f tiene una discontinuidad in fin ita en x =0, de modo que

'3 1j -, dx-r l x- n o e xi ste .


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SECCION 5.3 ELTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO 1 1 1 1 3

LA DERIVACION Y LA INTEGRACION COMO PROCESOS INVERSOSEsta seccion finaliza conjuntando las dos partes del teorema fundamental.

T EO R H1A F UN DA M EN TA L DELC A L C U L O Suponga que / es continua sabre [a , b].I. Si g{x) =f{t) dt, par 10 tanto g'{x) =(x).2 . J:;J(x) dx = (b) - F (a), donde F es cualquier antiderivada de f, es decir,

F' =/La parte 1 se puede volver a escribir como

d J . t. f(t) dt =(x)dx "en la cual se afirma que si integra f y , a continuacion, deriva el resultado, regresa afuncion original f. Como F'(x) =(x), la parte 2 puede reescribirse as f

r b F'(x) dx = F(b) - F(a)J "En esta version se afirma que si toma una funcion F, la deriva y luego integra el resultadvuelve a la funci6n original F, pero en la forma F( b) - F( a). Tomadas juntas, las dos pates del teorema fundamental del calculo expresan que la derivacion y la integracion sprocesos inversos. Cada una deshace 10 que hace Ia otra.

Sin duda, el teorema fundamental del calculo es el teorema mas importante en escampo y , de hecho, alcanza el nivel de uno de los mas gran des logros de Ia mente humna. Antes de sel' descubierto, desde los tiempos de Eudoxo y Arquimedes, hasta la epode Galileo y Fermat, los problemas de hallar areas, vohirnenes y longitudes de curvas ertan diffciles que solo un genio podia afrontar el reto. Pero ahora, armadas can el metodsistematico que Newton y Leibniz desarrollaron como el teorema fundamental, en lproximos capitulos vera que estos estirnulantes problemas son accesibles para todos.

jERCICIOS1 . Explique con exactitud que se quiere decir con la proposici6nde que "la derivaci6n y la integraci6n son procesos inversos".

(a) Evaliie g(x) para x = 0, 1,2,3,4,5 Y 6.(b) Estime g(7).(e) (,D6nde tiene un valor maximo g? (,D6nde tiene un valor

mfnimo?(d) Trace una grafica aproximada de g.

2. Sea g(x) =~'f(t) dt, donde f es la funci6n euya grafica semuestra.

y

1/ \1/ \f-l I'" /0 1 " ' - ,/ 4 6 I~ Sea g(x) =gf(t) dt, donde f es la funei6n cuya grafica se

muestra.(a) Evahie g (O ), g (1 ), g (2 ), g (3 ) y g(6) .(b) iEn que intervale es creciente g7


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388 IIII CAPiTULO 5 INTEGRALES(c) &D6nde tiene un valor maximo g?(d) Trace una grafica aproximada de g?

y

/il \I-- I _ ' i f . .0 I ' " 5 ! r


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50 Mediante una grafica de una estimaclon del area de la regionque se localiza abajo de la curva dada. Despues calcule el area exacta4 7 . y =IX , 0" , , ; x ",,;2 74 9. y = sen x, a " , , ;x ",,;1 T

51-52 Evahie la integral e interpretela como una diferencia deareas. !lustre mediante un croqnis,

J '5-r52. .. - sen x dx- . /453-56 Determine la derivada de la funcion,

1 '3 ., 1 12 - I@ g(x) =b x II 2 + 1 du[ Sugerencia: t'f(lI) du = J : o ,. f(lI) du +reu ) du ]

.. I54. g(x) = J . " . ,f2+?+ dttan , . 2 + t:55 . y =t, f i sen [ c it56 . y = ' 5 . , eosCu2 ) du

JC(lS_[

I ' , fr'~it.o. Si F(x) = . f(t) c i t , donde fCt) = du,~.I I Uhalle F"(2).

53 . Encuentre el intervalo sobre el eual la c urv ay =r 1 + : + [2 e ll

es concava hacia arriba.59. Si f( 1) = 12, f' es continua y J : f'(x) dx =17, i,cmil es el va-

lor de f(4)?60. La funcidn error

O ( ) 2 j ' " aert x = r= e -r dtv 7T 0se usa en probabilidad, estadfstica e ingenieria.(a) Demuestre que.l: e" c it =~[erf(b) - erf(a)J.(b) Demuestre que la funcion y =X'erf(x) satisface la ecua-

cion diferencial y ' =xy + 2/~.61 . La funcion de Fresnel S se defini6 en el ejemplo 3 y en las fi-

gums 7 y 8 se trazaron sus graficas,(a) i,Sobre que valores de x t iene valores maximos locales es-

ta funci6n?(b) i,Sobre que valores esta funci6n es concava hacia arriba?(c) Utilice una grafica para resolver Ia ecuacion siguiente co-

rrecta hasta dos cifras decimales,t sene 1 T t 2 /2) c it = 0.2

SECCION 5.3 ELTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO IIII 3

!ill]~ La funcion integral sinusoidalS C ) f' sen [1 X = --d,0 t

es importante en la ingenierfn electrica, [EI integrandof(t) = (sen t)lt no esta definido cuando t =, pero sabeque su lfmite es 1 c ua ndo t -'> O . De modo que definaf(O) = y esto ccnvierte a f en una funci6n continua en todapartes.](a) Dibuje la grafica de Si.(b) i,En que valores de x tiene esta funci6n valores maximos

locales?(c) Encuentre las coordenadas del primer punto de inflexion

la derecha del origen,(d) i,Esta funci6n tiene asfntotas horizontales?(e) Resuelva la ecuacion siguiente carrecta hasta una cifra de

cimal.

i e' sen t--dt=Io t63-64 Sea g(x) = J;f(t) dt, donde f es la funci6n cuya grafica semuestra.(a) i,En que valores de x se presentan los valores maximos y min

mos locales de g?(b) i,D6nde alcanza 9 su valor maximo absolute?(c) i,En que intervalos 9 es c6ncava bacia abajo?(d) Trace la grafica de g.

-]-2

6 4 . y0.40.2

0-0.2

65-66 Evahie el l imite reconociendo primero la suma como unasuma de Riemann para una funcion definida en [0, 1].

- I( f ; f; f; ~l)2. lim - - + - + - + ... + -,,-,~ 11 11 11!J 1 1


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390 III! CAPiTULO 5 INTEGRALES67 . Justifique ( 3 ) para el caso 1 1 < O .68. S i f es continua y 9 Y II son funciones derivables, determine

una formula parad , ' " 1 x , f(t)dtd x .yl.,J

69. (a) Dernuestre que 1 :;; .)1 + x3 :;; I + .>:3 para x "" O .(b) Demuestre que 1 :;; J~'~ dx ~ 1.25.

70. (a) Demuestre que coslx') "" cos x para 0 ~ x ~ I.1'';/6 , 1(b) Deduce que .0 cos(r) dx "" T

71 . Demostrar

cornparando el integrando a una funci6n de 10 mas simple.

r u Sea10xf(x) = .2-. 2

y(a) Encuentre una expresion para g(x) similar a la correspon-

diente a f(x).(b) Traee las graficas de f y g.(c) i,En d6nde es derivable f? i,D6nde es derivable 9?

! Z ! J Halle una funci6n f y un numero a tal quer x f(t) r:6 + I. -0- dt = 2..; xe a t:

para toda x > O.~I area B es tres veces el area A. Exprese b en terminos de a.

yA yy=e'

Bb

7 5 . Una empresa de fabricacion tiene una pieza importante dequipo que se deprecia a la tasa (continua) f = f(t), dondeel tiempo medido en rneses desde que se le sometio a su mreciente reparacion. Como cada vez que la rnaquina se soa una reparacidn mayor se incurre en un costo fijo, la cornfila desea determinar el tiempo 6ptimo T (en meses) entrereparaciones mayores,(a) Explique par que J~ (s) d s representa la perdida en vade la maquina a 10 largo del tiempo t a partir de la ult im

reparaci6n mayor.(b) Haga que C = rt) este dada por

Crt) = _ ! _ [ A + f ' f(s) dS]t .0l,Que representa C y par que desearfa la empresa minzar C?

(c) Demues tre que C tie ne un valor mfnimo sabre los mimt = T donde CrT ) = f(T).

7 6 . Una cornpafifa de alta tecnologfa compra un sistema de c6mnuevo cuyo valor inicial es V. EI sistema se depreciara canrapidez f =(t) y acumulara costos de mantenimiento en uproporci6n g =et), donde t es el tiempo medido en meses.compafiia desea determinar el tiempo 6ptimo para reernplazasistema.(a) Sea

1 I"(l) =- [j(s) + g(s)] dst .0Demuestre que los numeros crfticos de C se presentanlos numeros t donde cr t) = fell + get).

(b) Suponga que r V(t) = ~5 - 450 t si 0< i 3 0SI t> 30Vt2y get) =12900 t > 0

x

Determine la duracion del tiempo T para que la depreciatotal D(t) =~ f(s) d s equivalga al valor inicial V.

(c) Determine el valor minima absoluto de C sabre (0, T].(d) Trace las graficas de C y f + g en el mismo sistema de

coordenadas y cornpruebe el resultado del inciso (a) encaso,


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SECCION 5.4 INTEGRALES INDEFINIDAS Y ELTEOREMA DEL CAMBIO TOTAL 1 1 1 1

~=~~~~~~~d~ INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO TOTALYa vio en la seeei6n 5.3 que mediante la segunda parte del teorema fundamental del calcuse obtiene un metoda muy efieaz para evaluar la integral definida de una funci6n, S 1pone que puede encontrar una antiderivada de la funcion. En esta secci6n se presenuna notacion para Ia antiderivada, se repasan las f6rmulas de las antiderivadas y se uspara evaluar integrales definidas. Asimismo, replantea el FTC2, de una manera que facilmas aplicarlo a problemas relacionados con las ciencias y Ia ingenieria.

f f(x) d x =F{x ) significa F'(x) ={x )

JNTEGRALES INDEFINIDASAmbas partes del teorema fundamental establecen relaciones entre antiderivadas e integles definidas. La parte I establece que si f es continua, por 10tanto r " f(t) dt es una antidrivada de f.La parte 2 plantea que [ b f(x) d x se puede determinar e~~Iuando F{b) - F (.(1donde F es una antiderivada de f.

Necesita una notaci6n conveniente para las antiderivadas que facilite trabajar con ellDebido a Ia relacion dada por el teorema fundamental entre las antiderivadas y las integles, por tradicion se usa la notacion J f(x) dx para una antiderivada de f y se l1ama integrindefinida. Por esto,

Por ejemplo, puede escribir

f X3x2dx ="3 + C porqueDe este modo, considere una integral indefinida como la representante de unafamil iatera de funeiones, (es decir, una antiderivada para cada valor de la constante C).

~ Distinga con cuidado entre las integrales definidas y las indefinidas. Una integral denida . c ~(x) dx es un numero, en tanto que una integral indefinida Jf(x) dx es unafimci61(0 una familia de funciones). La relaei6n entre eIlas la proporeiona la parte 2 del teoremfundamental. Si f es continua sobre [a , b J , entonees

Jbr f(x) d x = f f(x) dx a

La eficacia del teorema fundamental depende de que se cuente con un suministro detiderivadas de funciones. Por 1 0 tanto, se presenta de nuevo la tabla de formulas de antidrivaei6n de la secci6n 4.9, mas otras cuantas, en la notaci6n de las integrales indefinidaCualquiera de las formulas se puede comprobar al derivar Ia funci6n del Iado derechoobtener el integrando, Por ejernplo,

J se c 2xd x =an x + C porque d ).- (tan x + C =ectdx


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jij En la figura 1 se tiene la grafica de lainte g ra l ind efinida d el ejem plo 1 p ara v arie sv alo re s d e C . E I v alo r d e C e s la in te rs ec ci6 ncon el e i e y .

F I G U R A 1

O J T A B L A D E I N T E G R A l E S I N D E F IN ID A SS cf(x) dx = f f(x) d xJ k dx =x + C J [f(x) + g(x)] d x = f(x) d x + J g(x) dx. . . x n+1J x" dx =_"-- + C (Il = F -1)n + 1 , 1J x dx =n I x I + CJ e' dx'= e' + C cr tf ai dx =-- + CIn aJ cos x dx =en x + CJ csc2x dx = - cot x + Cf esc x cot x dx =csc x + CJ sen x dx =cos x + CJ sec2xdx =an x + CJ sec x tan x dx =sec x + C, I

J ' dx =an-)x + Cx- + I J' I

. 0 dx =sentx + C~J senh x dx =cosh x + C J coshxdx =enhx + CDe acuerdo can el teorema 4.9.1, la antiderivada mas general en un intervalo dado s

tiene par la adicion de una constante a una antiderivada particular. Adopte la convende que cuando se proporciona una formula para una integral indefinida generavalida s610 en un intervale. Asi, escriba

j' I I,dx= --+ Cx- xcon el entendimiento de que es valida en el intervalo (0, (0) 0en el intervalo (-oo, 0). Escumple a pesnr del hecho de que la antiderivada general de la funci6n f{x) =/x2 , X = F

{- . . ! . _ + CI si x < 0xF(x) = I .-- + CZ SI x> 0x

EjEt1PlO I Encuentre la integral indefinida general

WLUC!ONi usa la convenci6n y la tabla 1, tiene

x5=105-tan x + C = 2x5 - 2 tan xDebe comprobar esta respuesta derivandola.


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La figura 2 es la grafica d el integra nd o de lejemplo 4 . S ab e par la secci6 n 5.2 que el valord e l a in te gra l S8 puede in terpretar como lasuma de las areas marcadas con un signamas menos el area marcada con un signamenos.

) ' A

3+ + . .0 2 x

F IG U R A 2

SECCI6N 5.4 INTEGRALESINDEFINIDAS Y ELTEOREMA DEL CAMBia TOTAL 1 1 1 1

"

cos e~ EjH1PlO 1 Evahie --,-de. sen-eS O L U C ! O N Esta integral indefinida no es evidente de inmediato en la tabla 1, por 1 0 que sapliean las identidades trigonometricas para reescribir la funci6n antes de integrar:

J ~ : ~ 2 :e = C e ~e) ( ~ : I : ) ae=J esc e cot e d e =esc e + C

j '3EjEi'1PLO 3 Calcule 0 (x3 - 6x) dx.S O l U C I O N AI aplicar el TFC2 y la tabla 1, tiene

"

3 3 X 4 x 2 ] 3(x - 6x)dx =- - 6-).0 4 _ ()=U 3* - 3 . 32) - U . 04 - 3 . 02)=~- 27 - 0 + 0 =-6.75

Compare este calculo con el del ejemplo 2(b) de la secci6n 5.2.

j '2 ( 3 )~ EjEMPLO 4 Determine 2x3 - 6x +) dx e interprete el resultado en funco x- + Ide areas.W L U O O f 1 EI teorema fundamental da

j ' 2 ( 2 X 3 _ 6x + ) 3 ) dx =2 X4 _ 6 x2 + 3 tan-l x J 2o r+l 4 2 0=X4 - 3x 2 + 3 tan-Ix]~=~(24) - 3 ( 2 2 ) + 3 tan " 2 - 0=-4 + 3 ta n " 2

Este es el valor exacto de Ia integral. Si desea una aproximaci6n decimal, utilice una calladora para obtener un valor aproximado de tan " 2. AI hacerlo tiene

j '2 ( 3 )2x3 - 6x + 0 dx = -0.67855.0 r+ Ij '9 2t2 + t2Ji - 1EJH1PlO 5 Evalue 0 dt.1 t:

S O L U C I O H En primer lugar, necesita escribir el integrando en una forma mas sencilla, alllevar a cabo la divisi6n:

t3 1 Z r ' ] 9 I J 92t + - - -- =2t + ~t3(2 +-3 1 3 t: ; : - 1 1= [ 2 . 9 + ~9)3/2 + ~1 - ( 2 1 + ~. 1 3 ( 2 + f )=18 + 18 + ~- 2 - ~ - ] =32 ij


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394 IIII CAPiTULO 5 lNTEGRALES

APLICACIONESLa parte 2 del teorema fundamental establece que si f es continua en [a , b ], por 10r f(x) dx =F(b) - F(a)donde F es cualquier antiderivada de f. Esto significa que F' =, de forma que sevolver a escribir Ia ecuaci6n como

J 'bF'(x) dx =F(b) - F(a)aSabe que F'(x) representa la relacion de cambia de y =F( x) can respecto a x y- F(a) es el cambio en y cuando x cambia de a hacia b. [Advierta que y podna, parpia, incrementarse y luego decrecer de nuevo. Si bien y podrfa cambiar en ambas direnes, F(b) - F(a) representa el cambia total en y .] De manera que puede volver atear verbalmente FTC2 en los terminos siguientes:

T E O R E M A D E L C A M I 3 I O T O T A L La integral de una relacion de cambia es el cambia tot

I ' bF'(x) dx =F(b) - F(a). "Este principio se puede aplicar a todas las relaciones de cambia en las ciencias na

les y sociales que se analizaron en Ia seccion 3.7. Enseguida se dan unos cuantos ejemde esta idea:

" Si Vet) es el volumen de agua en un deposito, en el instante t, entonces suderivada V'et) es la proporcion a la cual fluye el agua hacia el deposito en einstante t. POl' eso,

J '" V'et) dt =V(t2) - V(t1 )"es el cambia en la cantidad de agua en el dep6sito entre los instantes tJ y ti.

" Si [C](t) es la concentraci6n del producto de una reacci6n qufrnica en el instate t, entonces Ia velocidad de reaccion es Ia derivada d[C]/dt. De tal rnanera,

es el cambia en la concentraci6n de C, desde el instante t, hasta el t2.til Si la rnasa de una varilla, medida desde el extrema Izquierdo hasta un punto x

es m(x ) , entonces la densidad lineal es p(x) =m'(x) . Par consiguiente,'b

J p (x ) d x =m (b) - mea)"es la masa del segmento de la varilla entre x = a y x =." Si Ia rapidez de crecimiento de una poblaci6n es dn/ dt, entonces

i " dn. - dt = n(td - n(t1)/, dtes el cambia total en la poblaci6n durante el periodo desde t, hasta h.(La poblacion aumenta cuando ocurren nacimientos y disminuye cuando sesuscitan muertes. EI cambio total toma en cuenta tanto nacimientos comodecesos.)


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F IGURA 3

SECCION 5.4 INTEGRALES INDEFINIDAS Y ELTEOREMA DEL CAMBIO TOTAL 1 1 1 1.. Si C( X ) es el costo de producir x unidades de un articulo, entonees el costa

margi nal es la derivada C' (x ). De esa manerat'C'(x) dx =C (xz) - C (XI)es el incremento en el costo cuando la producci6n aumenta de XI unidades haX2 unidades.

.. Si un objeto se mueve a 10 largo de una linea recta can funci6n de posicions e t ) , entonees su velocidad es v e t ) =' ( t ) , de modo que

es el cambia de la posici6n, a desplazamiento, de la partfeula durante el periodesde tL hasta bEn la secci6n 5.1 se infiri6 que esto era verdadero para eI caen que el objeto se mueve en la direcci6n positiva, pero ahara ha probado quesiempre es verdadero.

.. Si quiere caleular la distaneia recorrida durante el intervalo, tiene que consderar los intervalos cuando v(t) ;?; a (Ia partfcula se mueve hacia la derechay tarnbien los intervalos cuando v e t ) , : = ; _ ; 0 (Ia partfcula se mueve hacia la iz-quierda). En ambos casas la distancia se calcula al integrar I v ( t ) l , la rnagnitde la rapidez. Por consiguiente

[ 1 ' 1 vet) I d t = distancia total recorridaJ r ,En la figura 3 se muestra como interpretar el desplazamiento y la distancia recorrida en terminos de las areas debajo de una curva de velocidad.

v(t} desplazamiento "" J ' r , u(t) dt "" AI - A2 + Ar,

i'istancia = . I [ ' t t l I dt =AI + A z + A3,o

Ii! La aceleraci6n del objeto es a(t) = 'Ct), por esof " aCt) dt = V ( t 2 ) - v(tr)0/,

es el cambia en la velocidad, desde el instante tL hasta el f2 .i . : ! a EJEMPLO 6 Una partfcula se mueve a 10largo de una recta de modo que su velocen el instante t es vet) = (2 - t - 6 (medida en metros par segundo).(a) Encuentre el desplazamiento de la particula durante el periodo 1 , : = ; _ ; t , : = ; _ ; 4.(b) Halle Ia distancia recorrida durante este periodo.S O l U C I O N(a) PorIa ecuaci6n 2, el desplazamiento es

s(4) - s(1) =r vet) dt =r (t2 - t - 6) dt[t3 ( 2 J 4

= 3-:2 - 6t I 92Esto significa que la partfcula se desplaza 4.5 m hacia la izquierda.


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396 IH I CAPiTULO 5 INTEGRALES

P ara in te gra r e l v alo r a bs olu to d e v(t),use Is propi edsd 5 de las integrates de laseccion 5 .2 pa ra div id ir la in te gra l en do sp ar te s, u na d on de v(t) "" 0 y o tr a d on deu (1 ) ; ;. . O .

F IG U R A 4

(b) Advierta que vet) = t? - t - 6 = (t - 3 )(t + 2) y, por eso, v(t) ~ 0 en el interv[1, 3J y vet) ~ 0 en [3,4]. Por esto, a partir de la ecuacion 3 la distancia recorrida es

1 ' 4 1 ve t) 1 dt ='3 [ -vet)] dt + J '4 vet) d t, I I 3f 3 '4= {_(2 + t + 6) dt + j (t2 - t - 6) dtI 3[

t3 (2 J 3 [ t3 t2 ] 4-- + - + 6t + - -?-r3 2 I 3 - 361=-=1017m6 .

EJEMPLO 7 En la figura 4 se muestra el consumo de energfa electrica (potencia) enciudad de San Francisco un dia del mes de septiembre (P se mide en megawatts y thoras, a partir de la medianoche). Estime la energfa que se utilize ese dfa.

p80 0 _"I . . . . . . .1/ 1 " \!/ f " - ,600 II

"'\."-. V400200

0 3 6 9 12 15 18 21 IPac if ic Gas & Electric

S O l U C J O N La potencia es la relacion de cambio de la energfa: pet) = '(t), De modo qpar el teorema del cambio neto,

j '"4 ('40 " P{ t ) c i t = : E'(r) c i t =E(2 4 ) - (0)es la cantidad total de energfa que se uso ese dfa, Haga una aproximacion de la integcan la regia del punto de en Media can 12 subintervalos y tlf = 2:

1 ' 2 4 pet) c i t = [ P (1 ) + P(3) + P(5) + .. , + P ( 2 1 ) + P(23)J tll.0

= (440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 + 850+ 840 + 810 + 690 + 670 + 550)(2)

=15840La energia usada fue de unos IS 840 rnegawatt-horas.Le6mo sabe que unidades usar para la energfa en el ejernplo 7? La integral J ~ 2 4P

se define como el lfrnite de las sumas de terminos de la forma P (tt} tl t. Ahora bien, p(rnide en megawatts y tlt en horas, de modo que su producto se mide en megawatt-hoLa mismo es verdadero para el Ifmite. En general, la unidad de medida para I 'b f(x) dx.I'producto de la unidad para f ( x) y la unidad para x.


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GjERCICIOSSECCI6N S.4 INTEGRALESINDEFINIDAS Y ELTEOREMA DEL CAMBIO TOTAL

1-4 Compruebe mediante derivacion que la formula es correctn,1. j' ~ dx =jx 2 + ] + Cx2 + I

r n J x cos x dx = x sen x + cos x + C3. J eOS'\dx =enx - +sen3x + C

. x 24. 1 ..j d x =3b ' (bx - 2a).ja + bx + C a + bx5-]8 Determine una integral indefinida general.

7. J (x 4 - + ~+ ~'X - 2) d x~J (I - t)(2 + [2) ell1,.\3 - 2 1 X11 . dx x

13 . J (sen x + senh x) dx15 . J (0 - esc Oeo t 0 ) dO17 . J (1 + Iml'a) da

6. J (#+{j?)dx8. J ( / + l.8i - 2 . 4 y ) ely10. J v(v" + 2 ) 2dv12. I ' ( X l + I + _0_1 _ ) dx x' + I14. J (csc'r - 2 e') d t16. J sec t(see [ + tan t) dt

I sen 2x18.--dx senxttl 19-20 Determine la integral indefinida general. Ilustre mediante

una grafica varies miernbros de la familia en la misrna pantalla,

I , I19 . (cos .r + 2 ' x ) dx21-44 Evalue la integral.21, r (6x2 - 4x + 5) dx,025. f 2 (3u + If du27. r4.J(1 + t) e ll 129 . 1 ' - 1 ( 4 y3 + 2 1 ) e ly

-1 Y'

20 . J (e' - 2 x 2) dx

22 . 1" (l + 2x - 4x3) dx.1

24 . f2 (u; - 1/ 3 + 1/2) du

26 r (2 v + 5)(3 v - 1) dv 028 . 1 : f irdl30. 1 " v + 5y 7. d v I y3 .

Cap 5 - Integrales - Pag 354-413

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area y

s3 y s

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tangente y

derivada y

curva y

y sumar

parabola y