-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Capitolul 4
SOLICITAREA LA RSUCIRE A BARELOR DREPTE
O bar dreapt este solicitat la rsucire (torsiune) dac n seciunea
transversal torsorul de reducere a forelor interioare are o singur
component, un moment al crui vector este dirijat n lungul axei
barei, tM .
Piese tipice solicitate la rsucire sunt arborii mainilor,
arborii cutiilor de viteze, elementele elastice de tip bar de
torsiune din suspensiile automobilelor precum i barele structurilor
spaiale cu capetele ncastrate.
Studiul rsucirii este simplificat n cazul barelor cu seciune
circular sau inelar, la care este valabil ipoteza seciunii plane, i
la barele cu perei subiri, la care se consider c tensiunile
tangeniale sunt constante pe grosimea peretelui.
Unele aspecte calitative privind deformarea barelor solicitate
la torsiune pot fi evideniate prin experiene simple. Probele supuse
ncercrii se pot obine din tuburi cu perei subiri confecionate din
material plastic. Se constat c n cazul barei cu seciune nchis (Fig.
4.1) se respect ipoteza lui Bernoulli
Fig.4.1 Fig.4.2
Punctele unei seciuni deschise a unei bare (Fig.4.2) au deplasri
axiale diferite. Dac asupra acestor deplasri nu sunt impuse
restricii, solicitarea este numit rsucire liber (Fig. 4.2.b). Bara
din figura 4.2.c este supus la rsucire mpiedicat deoarece are un
capt ncastrat, la care nu se produc deplasri axiale. n condiii de
rsucire mpiedicat, n bare apar tensiuni suplimentare, normale i
tangeniale.
n cazul tuburilor cu seciune inelar nchis i al barelor
cilindrice masive rmne valabil ipoteza lui Bernoulli chiar dac o
seciune este ncastrat (fig. 4.1.c), deci i in cazul rsucirii
mpiedicate.
4.1. EforturiAtunci cnd asupra unei bare acioneaz mai multe
cupluri exterioare, avnd
vectorul dirijat n lungul axei barei, este necesar construcia
unei diagrame de momente de rsucire.
Momentul de torsiune ntr-o seciune oarecare se obine prin
nsumarea efectelor forelor i cuplurilor exterioare i de legtur
(reaciuni) care acioneaz la stnga sau la dreapta seciunii
considerate.
Pentru exemplificare se consider arborele din figura 4.3,a
pentru care s-a trasat diagrama de momente de torsiune din figura
4.3,b.
1
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
n ncastrare apare reaciunea M5, care se determin din condiia de
echilibru (ecuaia de momente fa de axa barei):( ) 0420 5000 =++=
MMMM:M x . Rezult 05 MM = .
Aplicnd principiul seciunii se determin eforturile- momentele de
rsucire pe fiecare poriune a barei.
De exemplu, pe intervalul 2-3, conform figurii 4.3,c, momentul
de torsiune este 000 24223 MMMM t == sau 005 223 MMMM t == .
a)
b)
c)
Fig.4.3
Dac un arbore transmite puterea P (kW) la turaia n (rot/min),
momentul de rsucire se calculeaz cu relaia
nPM t =
pi
30 . (4.1)
4.2. Rsucirea barelor drepte cu seciune circular sau inelar
4.2.1 Tensiuni Dac pe suprafaa unei bare cilindrice se traseaz
generatoare i cercuri paralele,
formnd o reea de ptrate curbilinii (Fig.4.1,a), dup solicitarea
barei la rsucire (Fig.4.1,b i c) ptratele devin romburi, lungimea
laturilor rmnnd neschimbat. De asemenea, aa cum s-a menionat mai
sus, seciunile transversale rmn plane. Se deduce c un element de
bar din vecintatea suprafeei laterale este solicitat numai de
tensiuni tangeniale, altfel tensiunile normale ar fi produs
alungirea laturilor. Se spune c elementul este solicitat la
forfecare pur .
n virtutea principiului dualitii, aceste tensiuni trebuie s aib
direcia tangentei la conturul seciunii, n vecintatea acestuia.
ntr-adevr, dac ntr-o seciune a unei evi, n apropierea conturului
exterior sau interior, ar exista tensiuni tangeniale pe direcie
radial, atunci ar trebui s acioneze tensiuni pereche de acelai
module re i ri pe suprafeele exterioar i interioar (Fig.4.4). Dar
aceste suprafee sunt suprafee libere de tensiuni (pe care nu sunt
aplicate sarcini), adic re = ri = 0.
2
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Ca urmare, se admite c ntr-un punct oarecare al unei seciuni,
situat la distana r de axa barei, tensiunea produs de momentul de
rsucire tM are direcia tangentei la cercul de raz r .
Fig.4.4
Se fac urmtoarele ipoteze:a. bara este dreapt i are seciune
constant pe toat lungimea;b. momentul de torsiune este constant pe
toat lungimea barei;c. seciune transversal iniial plan, rmne plan i
dup rsucirea barei (este valabil
ipoteza lui Bernoulli);d. seciunile sunt indeformabile i se
rotesc ca un rigid n jurul axei barei i, ca urmare, o
linie radial (raz ) trasat ntr-o seciune transversal rmne dreapt
n timpul rsucirii barei;
e. materialul barei este omogen, izotrop i liniar elastic (este
valabil legea lui Hooke)
G= . (4.2)Dou seciuni, aflate la distana dx una fa de alta, au o
rotire relativ
12 =d . Dintr-o bar ncastrat la un capt, solicitat la rsucire,
se decupeaz un
element central de raz r i lungime dx (Fig. 4.5). n urma
solicitrii, generatoarea CB ocup poziia CB', iar raza OB se rotete
n poziia OB'. Unghiul BCB' este unghiul de lunecare specific iar
unghiul BOB', d, este unghiul cu care se rotesc relativ cele dou
seciuni, situate la distana dx una fa de alta.
Fig. 4.5.
3
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Astfel, avnd n vedere c este un unghi foarte mic, se deduce
relaia aproximativ
( ) dxdxtandr , (4.3)care se scrie sub forma
== rxd
dr . (4.4)
S-a notat cu xdd = unghiul de rsucire specific : unghiul cu care
se rotesc una fa
de cealalt dou seciuni situate la o distan egal cu unitatea de
lungime.Substituind (4.4) n legea lui Hooke (4.2) se deduce
relaia
rG = , (4.5)
care arat c ntr-o seciune transversal a barei tensiunea variaz
liniar cu raza. Ca urmare, condiia de echivalen static ntre
eforturi i tensiuni se scrie sub
forma (Fig. 4.6)
= At dArM , (4.6)unde dA este fora interioar ce acioneaz pe
suprafaa elementar drdrdA = , pe direcia tangentei la cercul de raz
rdr,r + 50 .
nlocuind (4.5) n (4.6), se obine
pAt IGdArGM == 2 , (4.7)n care intervine o caracteristic
geometric a seciunii numit moment de inerie polar, care se
calculeaz cu formula
= Ap dArI 2 . (4.8)
Fig. 4.6.
Din (4.7) se obine expresia rsucirii specifice
p
tIG
M= , (4.9)
care are la numitor mrimea GIp numit modul de rigiditate la
rsucire.
4
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Din (4.5) i (4.9) se deduce formula pentru calculul
tensiunilor
rIM
p
t= , (4.10)
cu care se determin tensiunea maxim pentru maxrr =
p
tmax
p
tmax W
MrIM
== , (4.11)
ce depinde de cuplul tM i de modulul de rezisten polar al
seciunii barei
max
pp r
IW = . (4.12)
n cazul solicitrii la rsucire condiia de rezisten se scrie sub
forma :
ap
tmax W
M = (4.13)
Ca i n cazul solicitrii axiale, pe piesele solicitate la rsucire
pot s apar concentratori de tensiune (modificri de diametru,
degajri inelare, canale de pan, guri transversale etc.).
Dac n seciunea analizat se manifest un efect de concentrare a
tensiunilor a crui intensitate este evaluat prin valoarea
coeficientului Kt atunci condiia de rezisten se scrie sub forma
ap
ttmax W
MK = . (4.14)
Prin condiia de rigiditate se impune ca rsucirea specific maxim
s nu depeasc o valoare admis a : amax , (4.15)
3.2.2. Caracteristicile geometrice Ip i Wp
a) Seciunea circular plinn relaia (4.8) se nlocuiete aria
inelului circular de grosime dr (Fig.4.6) drrdA pi= 2 . Rezult:
==2
0
42
322
/dp
ddrrrI pipi ; (4.16)
162
323
4
dd
d
rI
Wmax
pp
pipi
=== . (4.17)
b) Seciunea inelarSe noteaz cu di=2Ri i de=2Re diametrul
interior i, respectiv, cel exterior al
seciunii transversale a barei (fig.4.7).
5
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Fig.4.7
Atunci: ( ) == 22
442
322
/d
/d
iep
e
i
dddrrrI pipi ; (4.18)
( ) ( ) ( )161
162
324344
44
kdd
ddd
dd
rI
W ee
iee
ie
max
pp
=
=
==
pipipi
(4.19)
S-a notat cu k factorul dimensional e
idd
k = .
4.2.3. Deformaii la rsucirePentru un element de bar de lungime
dx, din relaiile (4.5) i (4.10) se obine
unghiul de rsucire
dxGIMdxd
p
t== (4.20)
Pentru o bar cu lungimea l unghiul cu care se rotesc relativ
cele dou seciuni de la capete este:
==l
p
tl
dxGIM
d00
. (4.21)
Dac pe lungimea l a barei momentul de torsiune tM i rigiditatea
la rsucire
pGI sunt constante atunci:
p
t
GI
lM= . (4.22)
4.3. Energia de deformaie la rsucirePentru un element de bar de
lungime dx, lucrul mecanic efectuat de momentul
tM , a crui valoare crete liniar cu rotirea d, este
6
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
p
tp
tt
tGI
dxMGIdxM
MdM
L222
2
=
=
=
. (4.23)
Lucrul mecanic este nmagazinat de elementul de bar sub form de
energie potenial de deformaie
LdU = . (4.24)Atunci, energia de deformaie nmagazinat de toat
bara este
==l
p
tl
GIdxMdUU
0
2
0 2. (4.25)
Dac pe lungimea l momentul de torsiune i rigiditatea la rsucire
pGI sunt constante, atunci:
p
tGI
lMU2
2= (4.26)
3.4. Calculul arcurilor cilindrice elicoidale
Arcul cilindric elicoidal este o bar curb n spaiu (Fig.4.8).
S-au utilizat urmtoarele notaii:
R- raza de nfurare; d- diametrul seciunii spirei; 0- unghiul de
nclinare a spirei; H0- nlimea arcului.
Sub aciunea forei F (Fig.4.8,b) se modific unghiul de nclinare a
spirei i nlimea arcului cu f , numit sgeat.
Dac nclinarea spirelor este mare, atunci fora P, redus n centrul
de greutate al seciunii transversale(Fig. 4.8, c), produce toate
cele patru solicitri simple (ntindere, forfecare, ncovoiere i
rsucire), eforturile corespunztoare fiind proieciile pe axa spirei
i pe normala la aceasta a componentelor FR i MR (componentele
torsorului de reducere a forei F n centrul de greutate al
seciunii)
fora axial: sinFsinFN R == ; fora tietoare: cosFcosFT R ==
;momentul ncovoietor : sinFRsinMM Ri == ; momentul de torsiune:
cosFRcosMM Rt == .
Fig.4.8
7
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
La arcurile cu spire strnse, la care nclinarea elicei este
foarte mic (0b (Fig. 4.9) sunt :- momentul de inerie polar
echivalent
3bhI t = , (4.30)- modulul de rezisten polar echivalent
2bhWt = , (4.31)unde coeficienii i se iau din tabelul 4.1, sau
se calculeaz cu formulele aproximative
)(231
2
++ ;
+
8,131
, hb = (4.32)
8
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Fig. 4.9.
Rsucirea specific se calculeaz cu o relaie de forma (4.9)
t
tIG
M= , (4.33)
iar tensiunea tangenial maxim (la mijlocul laturii mari), cu
formula
t
tmax,zx W
M= . (4.34)
La mijlocul laturii mici apare tensiunea max,zxmax,yx = ,
(4.35)
n care se introduce coeficientul , luat din tabelul 4.1 sau
calculat cu formula
50121357
11 32 ,)( +
. (4.36)
Tabelul 4.1 : Valori ale coeficienilor , , h/b 1 1,2 1,5 1,75 2
2,5 3 4 10 1 0,833 0,666 0,571 0,5 0,4 0,333 0,25 0,1 0,141 0,166
0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,312 0,208 0,219 0,231 0,239
0,246 0,258 0,267 0,282 0,312 1 0,93 0,86 0,82 0,79 0,77 0,75 0,74
-
3.6. Rsucirea liber n cazul profilelor subiri deschise
n cazul barei cu seciune dreptunghiular ngust, numit i platband
(Fig. 4.10), avnd raportul hb /= foarte mic tensiunile yx au valori
neglijabile, iar zx variaz liniar pe grosimea profilului. n aceste
condiii, la aplicarea formulelor (4.33) i (4.34) se va ine seam c
din (4.30)-(4.32) rezult
31
= , 331 hbIt ,
231 hbWt = . (4.37)
Geometria seciunii unui profil subire (Fig. 4.11) se definete
prin forma i dimensiunile liniei mediane (care trece pe la mijlocul
grosimii, pe fiecare poriune, figurat cu linie-punct n desen).
9
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Fig. 4.10. Fig. 4.11.
Calculul unui profil deschis se bazeaz pe urmtoarele ipoteze
simplificatoare: seciunea transversal se deplaneaz datorit
deplasrilor axiale ale punctelor
sale, dar nu se modific proiecia liniei sale mediane pe un plan
normal pe axa barei; pe fiecare ramur se pot aplica formulele
(4.37).Seciunea din figura 4.11 este compus din n dreptunghiuri cu
lungimi mari fa
de grosimi si >> i (i = 1, 2, ... , n). Se noteaz cu tiM
momentul de rsucire preluat de ramura i a profilului i se scrie
condiia de echivalen
=
=
n
itti MM
1. (4.38)
unde tM este efortul de rsucire din seciunea analizat.n baza
primei ipoteze simplificatoare, rsucirile specifice pentru ntregul
profil i
pentru ramurile componente sunt considerate egale
n21 ... ==== . (4.39)Avnd n vedere (4.33) i (4.37), aceast
condiie se scrie sub forma
t
tn
iii
n
iti
nn
tnttIG
M
sG
M
sG
M...
sG
M
sG
M ======
=
=
1
3
133
22
2311
1
31
31
31
31
, (4.40)
n care intervine o caracteristic geometric a seciunii, momentul
de inerie polar echivalent (momentul de inerie convenional la
torsiune)
=
=
n
iiit sI
1
331 . (4.41)
Din (4.40) se deduce
t
tkkkt I
MsM 3
31 = .
Tensiunea maxim pe ramura k a profilului se calculeaz pe baza
relaiilor (4.34) i (4.37), astfel
kt
t
kk
tk
tk
tkkmax, I
M
s
MWM
===
231 . (4.42)
10
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Se constat c tensiunea maxim apare n zona de grosime maxim a
profilului. Ca urmare, condiia de rezisten la rsucire este
at
tmax
t
tmax W
MI
M == , (4.43)
unde modulul de rezisten convenional la torsiune pentru
profilele subiri deschise este
max
tt
IW
= . (4.44)
3.7. Rsucirea liber n cazul profilelor subiri nchise
n continuare va fi prezentat o soluie aproximativ a problemei
rsucirii libere n cazul barei tubulare cu perei subiri a crei
seciune (Fig. 4.12) are ca linie median o curb nchis .
Ca i la profilele deschise se accept ipoteza conform creia
proiecia liniei mediane a profilului pe un plan normal pe axa barei
nu se modific datorit solicitrii (se rotete ca o linie rigid). Se
accept, de asemenea i ipotezele lui Bredt:
tensiunile tangeniale au direcia tangentei locale la curba i se
consider constante pe segmente normale la linia median a
profilului;
fluxul de forfecare t, definit prin relaia t = , este constant
de-a lungul curbei , adic ... 11 == 22 .
Dup cum rezult din figura 4.12, tensiunile const = repartizate
pe suprafaa dsdA = se reduc n centrul de greutate al seciunii la o
for dAdF = i un cuplu
dArdM t = , (4.45)unde r este distana de la centrul de greutate
al seciunii la suportul forei dF.
Reducnd toate forele elementare care acioneaz n seciune n
centrul de greutate al acesteia se obine o rezultant nul i un
moment de rsucire egal cu efortul Mt din bar.
Integrnd (4.45) pe toat lungimea liniei mediane i avnd n vedere
c const = , se obine
== 2tdsrM t , (4.46)unde este aria nchis de curba .
S-a inut seam de faptul c produsul dsr este dublul suprafeei
triunghiului format n figura 4.12 (cu baza ds i nlimea r), ceea ce
conduce la concluzia c
= 2dsr .Din relaia de definire a fluxului de forfecare i din
(4.46) rezult
==
2tMt . (4.47)
De aceea, condiia de rezistena a tubului la rsucire se va scrie
sub forma
at
t
min
tmax W
MM
=
=
2 . (4.48)
n concluzie, modulul de rezisten convenional la torsiune pentru
profilele subiri nchise se calculeaz cu relaia :
mintW = 2 (4.49)
11
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Fig. 4.12
n continuare va fi stabilit formula pentru calculul rsucirii
specifice . Dac seciunea este constant de-a lungul barei, atunci
momentul de rsucire Mt (aplicat static), produce lucrul mecanic
lMML tt 21
21
== , (4.50)
unde l este lungimea barei, iar este rotirea relativ a capetelor
sale.Energia potenial U acumulat de profil prin torsionare se
calculeaz avnd n
vedere ipotezele lui Bredt i expresia volumului elementar
dxdsdxdAdV == . Rezult
( ) ==== dxdsGdVGdVUl
VV 0
22
21
22
===
ds
GlMds
Gldxds
Gt
l
2
222
0
22
8221
. (4.51)
n condiiile unei ncrcri lente nu se produc vibraii i se poate
considera c lucru mecanic efectuat de cuplul aplicat barei este
acumulat ca energie potenial de deformaie ( L=), rezultnd
t
tt
IGMds
GM
=
= 24 . (4.52)
A fost utilizat notaia
=
dsIt
24. (4.53)
Dac seciunea barei are n poriuni cu grosimi constante i (i=1,2,
... ,n) pe segmente de lungimi si ale liniei sale mediane, atunci
formula anterioar devine
=
=
=
= n
i i
isn
i i
t sds
Ii
1
2
01
2 4
1
4
. (4.54)
12
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Exemple de calcul
4.1. S se determine momentul de torsiune maxim ce s-ar putea
transmite printr-un ax cu geometria din figura 4.13,a, dac este
realizat din OLC 60, cu rezistena admisibil =a190 N/mm2 i modulul
de elasticitate transversal G = 8,1104 N/mm2. Se accept o rotire
relativ maxim de o5,0 ntre capetele axului ( o5,0=a ).
Modelul de calcul (fig. 4.13,b) conine poriunea dintre capetele
prevzute cu canale de pan ale axului. n intervalul 1-2 bara are
seciunea inelar cu diametrele: d=25 mm la interior i D=30 mm la
exterior. innd seam de raportul d/D=0,8333 cu au fost calculate
caracteristicile geometrice
=12pI 41172 mm4 i =12pW 2744,8 mm3.n zona central, cu seciune
circular de diametru D=30 mm, momentul de inerie
polar este =23pI 79521,5 mm4. Caracteristicile geometrice ale
seciunii (25) n zona 3-4 sunt =34pI 38349,5 mm4 i =34pW 3067,9 mm3
.
Fig. 4.13.
Tensiunea maxim pe intervalul 1-2 are expresia
tp
t MWM
== 4
1212max 10643,3 .
La dreapta seciunii 3 (pe poriunea 3-4) se evalueaz nivelul
solicitrii innd seam de efectul de concentrare a tensiunilor prin
coeficientul
++
++
+=
23
2 1)1(134,3
11tK,
n care rd2
= , rdD
2
= , ( r - raza de racordare).nlocuind valorile numerice d=25 mm,
D=30 mm i r = 2 mm au fost obinute
25,6= , = 1,25 i =tK 1,4 . Ca urmare t
p
tt MW
MK == 434
34max 10563,4 .
13
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Din condiia de rezisten
( ) atM == 434max12maxmax 10563,4,maxrezult 5
4
max 1016,4563,410
=
=a
tM
N mm .
Avnd n vedere formula (4.5) se calculeaz rotirea relativ a
capetelor barei
=
++==++=
= +
+
834,31
952,74,0
117,41
1043
1 1,
1,34231214 G
lMIG
lM ti iip
iit
tt MMGl 84 10839,610554,0 == ,
unde au fost considerate valorile numerice al lungimilor celor
trei tronsoane1003412 === lll mm i 404,023 == ll mm.
Rotirea relativ maxim admis a capetelor axului este
rad10726,8rad180
5,05,0 3o === pi a .
Din condiia de rigiditate atM = 814 10839,6 , se obine
55
max 10275,1839,610726,8
=
=tM N mm .
n consecin, soluia problemei este 5maxmaxmax 10275,1),(min ==
ttt MMM N mm .
4.2. S se compare un profil deschis (fig. 4.14, a) cu profilul
nchis care se obine din el prin sudare (fig. 4.14, b), din punct de
vedere al momentului maxim de torsiune ce se poate aplica i al
rigiditii. Se consider cunoscute caracteristicile materialului a ,
G i raportul hr / =10 . Tensiunea admisibil este aceeai n cordonul
de sudur i n materialul de baz al profilului.
n figura 4.14 sunt precizate dimensiunile liniei mediane i
grosimile pereilor profilului. Momentele de inerie convenionale la
torsiune sunt:
- pentru profilul deschis
[ ] 3333 611,4)6,1(225,1231 hrhrhrhrIt =++= pi
- pentru profilul nchis
hr
hr
hr
rIt3
42618,9
6,12)5,2()25,125,0(4
=
++
+=
pipi
.
Din condiia de rezisten pentru profilul deschis
at
t
t hhr
MI
M=
=
= 6,1611,4 3
maxmax
maxmax ,
rezult at hrM 2
max 88,2 = .
14
-
Cap. 4. Rsucirea barelor drepte
Fig. 4.14
Analog se determin momentul maxim de torsiune n cazul profilului
nchis. Din condiia
attt
hr
M
hr
MM
pi =
=
+
=
= 2max
2max
min
maxmax
14,8)25,125,0(22 ,
s-a obinut at hrM 2
max 14,8 = .
Rsucirile specifice se calculeaz pentru ambele profile cu relaii
de forma )/( tt IGM= .
Pentru comparaie se calculeaz rapoartele momentelor maxime i
rsucirilor specifice (calculate pentru acelai efort Mt ) innd seam
c s-a impus hr / =10 .
Rezultatele obinute
26288262 ,hr,
MM
maxt
maxt==
i
2080822
=
=
=
hr,
MIG
IGM
t
t
t
t
arat c profilul nchis este mult mai rezistent i mai rigid la
rsucire liber fa de un profil deschis cu seciune avnd aceeai form i
aceleai dimensiuni.
15
Fig. 4.14