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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAUNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERIAFacultad de IngenierFacultad de Ingeniera Civila
Civil
ESFUERZO EN UNA MASA DE SUELO
Dr. ZENON AGUILAR BARDALES
CENTRO PERUANO JAPONCENTRO PERUANO JAPONS DE INVESTIGACIONESS DE
INVESTIGACIONESSSSMICAS Y MITIGACISMICAS Y MITIGACIN DE DESASTRES N
DE DESASTRES -- CISMIDCISMID
-
Problemas de Deformaciones Planas TProblemas de Deformaciones
Planas Tpicos.picos.
Muro de Contencin
Terrapln
Cimentacin Corrida
zY
X
zY
Xz
Y
X
-
Esfuerzo
Deformacin(a)
F
Esfuerzo
Deformacin(c)
Esfuerzo
Deformacin(e)
Esfuerzo
Deformacin(b)
Esfuerzo
Deformacin(d)
F FR
F = Significa en la FallaR = Significa Valor Residual
Relaciones esfuerzoRelaciones esfuerzo--deformacideformacin de
materiales ideales a) eln de materiales ideales a) elstico, b)
stico, b) plplstico rstico rgido, c) gido, c)
elastoplelastoplsticostico, d) , d) elastoplelastoplsticostico con
ablandamiento, con ablandamiento, e) relacie) relacin esfuerzon
esfuerzo--deformacideformacin tn tpica con un material real.pica
con un material real.
-
Elemento A(a)
(b)
( c)
Superficie del terreno
Th
Tu
Nu
Nh
Diagramas para ilustrar la definiciDiagramas para ilustrar la
definicin de esfuerzo. a) Perfil del n de esfuerzo. a) Perfil del
terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.terreno. b) y c)
Fuerzas sobre el elemento A.
-
Nivel fretico Nivel del terreno
X X
Z
Area A
Nivel fretico
Nivel del terreno
X X
Z
Z
Area A
W
W
-
Z Z
Z
Z
Z
y
y
yy
y
XX
XX
X
X
X
a)y
X
Z
b)
1
2
3
a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) a)
Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) esfuerzos
principalesesfuerzos principales
-
Ny
X
Ty
TxHuecos (poros)
Selecciones de las partculas
Punto de contacto entrepartculas situadas por encima y debajo
del plano de la seccion.
a
a
DefiniciDefinicin de los esfuerzos en un sistema de partn de los
esfuerzos en un sistema de partculasculas
-
Concepto de Esfuerzos EfectivosConcepto de Esfuerzos
Efectivos
HA
Area de CorteArea de CorteTransversal = Transversal =
a
a
Agua de PoroAgua de Poro
PartPartcula Scula Slidalida
H
ConsideraciConsideracin del esfuerzo efectivo para una columna n
del esfuerzo efectivo para una columna de suelo saturado sin
infiltracide suelo saturado sin infiltracinn
-
Area de CorteArea de CorteTransversal = Transversal =
a1 a2 a3a4
P1 P2P3
P4
Concepto de Esfuerzos EfectivosConcepto de Esfuerzos
Efectivos
Fuerzas que actFuerzas que actan en los puntos de contacto de
las an en los puntos de contacto de las partpartculas de suelo en
el nivel del punto A.culas de suelo en el nivel del punto A.
-
DistribuciDistribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelon de
Esfuerzos en una Masa de Suelo
Entrada
Vlvula (abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * zH2
h
Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en
un tanque con infiltracin hacia arriban hacia arriba
-
DistribuciDistribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelon de
Esfuerzos en una Masa de Suelo
ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad
ProfundidadProfundidad
Esfuerzo Total, Presin de Poros Esfuerzo Efectivo
H1 W
H1 W + z sat
H1 W
(H1 +z + iz)w z( iz w)
H1 W + H2 sat (H1 + H2 + h) w H2 - h w
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)
VariaciVariacin del (a) esfuerzo total; (b) presin del (a)
esfuerzo total; (b) presin de poro y (c) esfuerzo n de poro y (c)
esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con
infiltracefectivo con la profundidad en un estrato de suelo con
infiltraciin hacia n hacia arriba.arriba.
-
DistribuciDistribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelon de
Esfuerzos en una Masa de Suelo
Salida
Vlvula (abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * zH2
h
Entrada Q
Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en
un tanque con infiltracin hacia abajon hacia abajo
-
DistribuciDistribucin de Esfuerzos en una masa de suelon de
Esfuerzos en una masa de suelo
Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en
un tanque con infiltracin hacia abajo; variacin hacia abajo;
variacin del n del (a) esfuerzo total; (b) presi(a) esfuerzo total;
(b) presin de poros y (d) esfuerzo efectivo con la n de poros y (d)
esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con
infiltraciprofundidad en un estrato de suelo con infiltracin hacia
abajo.n hacia abajo.
ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad
ProfundidadProfundidad
Esfuerzo Total, Presin de Poro Esfuerzo Efectivo
H1 W
H1 W + z sat
H1 W
(H1 +z - zi)w z( + i w)
H1 W + H2 sat (H1 + H2 - h) w H2 + h w
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)
-
Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Elstico Causados
por una stico Causados por una Carga Puntual.Carga Puntual.
ZZ
yy
LL
XX
rr
ZZ
XX
PP
yy
zz
xx
yy
AA
-
Esfuerzos causados por un Carga PuntualEsfuerzos causados por un
Carga PuntualBoussinesq (1883) resolviBoussinesq (1883) resolvi el
problema de los el problema de los esfuerzos esfuerzos producidos
en cualquier punto de un producidos en cualquier punto de un medio
homogmedio homogneo, elneo, elstico e isstico e istropo como tropo
como resultado de una carga puntual aplicada sobre la resultado de
una carga puntual aplicada sobre la superficie de un semiespacio
infinitamente grande. La superficie de un semiespacio infinitamente
grande. La solucisolucin de Boussinesq para los esfuerzos normales
n de Boussinesq para los esfuerzos normales en un punto A causado
por la carga puntual P esen un punto A causado por la carga puntual
P es
++= 23
2
2
22
5
2
)()21(3
2 rLzy
zLLryx
LzxP
x
-
Esfuerzos Normales en A causados por Esfuerzos Normales en A
causados por una Carga Puntualuna Carga Puntual
++= 23
2
2
22
5
2
)()21(3
2 rLzx
zLLrxy
LzyP
y
yy
2/522
3
5
3
)(23
23
zrPz
LPz
z +==
donde:donde:
22222
22
zrzyxL
yxr
+=++=+=
= relaci= relacin de poissonn de poisson
-
Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Elstico Causados
por una Carga stico Causados por una Carga Lineal Vertical de
Longitud InfinitaLineal Vertical de Longitud Infinita
zz
XX
NN
QQ porpor metrometro
xz
-
Esfuerzos Causados por unaEsfuerzos Causados por una Carga Carga
Lineal Vertical de Longitud InfinitaLineal Vertical de Longitud
Infinita
Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicaciLos
incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicacin de una n de una
carga lineal Q por metro, soncarga lineal Q por metro, son
222
2
222
2
222
3
)(2
)(2
)(2
zxxzQzxzxQzx
zQ
xz
x
z
+=+=+=
-
Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Elstico Causados
por una stico Causados por una Carga de Franja (ancho finito y
longitud infinita)Carga de Franja (ancho finito y longitud
infinita)
q = carga por reaunitaria
BB
XX
X X -- rr
zz
AA
drdrrr
xx
zz
-
Carga Uniformemente Distribuida Sobre Carga Uniformemente
Distribuida Sobre una Franja Infinitauna Franja Infinita
Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una
Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una
presipresin uniforme n uniforme qq que actque acta sobre un franja
flexible infinitamente a sobre un franja flexible infinitamente
larga de ancho larga de ancho BB, son los siguientes:, son los
siguientes:
[ ][ ]
)2(
)2cos(
)2cos(
+=
+=
++=
sensenq
senq
senq
xz
x
z
-
IsIsbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de
Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de FranjaBajo una
Carga Flexible de Franja
q
B 2B 2.5B
B
2B
3B
4B
5B
0.7
0.5
0.3
0.2
0.06
0.08
0.1
0 B 2B
q = 0.9
q =Carga de Carga de
Franja flexibleFranja flexibleaa aa
PlantaPlanta
-
IsIsbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de
Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de FranjaBajo una
Carga Flexible de Franja
B
2B
3B
4B
5B
6B
=0.1qV
0.2q
0.3q
0.4q
0.5q
0.6q0.8q
0.9q
Bajo el centroV
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q q
a) b)
Franja infinita con caFranja infinita con carrga uniformemente
distribuida: a) lga uniformemente distribuida: a) lneas de igual
incremento de neas de igual incremento de esfuerzo vertical total,
b) incremento del esfuerzo vertical totesfuerzo vertical total, b)
incremento del esfuerzo vertical total bajo el centroal bajo el
centro
-
Carga con DistribuciCarga con Distribucin Triangular n
Triangular sobre una Franja Infinitasobre una Franja Infinita
Z
N
X
XV
q
B
R1R2
-
Carga con DistribuciCarga con Distribucin Triangular n
Triangular sobre una Franja Infinitasobre una Franja Infinita
Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a
travCuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travs
del s del ancho de la franja, lo cual conduce a una distribuciancho
de la franja, lo cual conduce a una distribucin triangular, n
triangular, los incrementos de esfuerzo en el punto N estlos
incrementos de esfuerzo en el punto N estn dados por:n dados
por:
+=
+=
=
xBzq
senRRn
Bz
Bxq
senBxq
xz
x
v
22cos12
2211
221
22
21
-
Carga uniformemente distribuida sobre Carga uniformemente
distribuida sobre una una rea circularrea circular
El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad El
incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad zz bajo el
bajo el centro de una centro de una rea circular flexible de radio
rea circular flexible de radio R R cargada con una cargada con una
presipresin uniforme n uniforme qq esta dado poresta dado por
+=
2/3
2)/(111
zRqv
Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el Sin
embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de
carga, las soluciones tienen una forma extremadamente centro de
carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada
(Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma complicada
(Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma grgrfica
(Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962)fica
(Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). . En
el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo En el
punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical
total comovertical total como
qIv =
-
Factor influencia Factor influencia ll
r
V
V
Carga uniforme q
= q/
0.0020.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8
rR
=109
8
7
6
5
4
3
2.52 1.5
1.25
0
0.5
rR
rR
=0.75
=1
R
1
zzRR
Valores del factor de influencia / para calcular el incremento
de esfuerzo vertical total v bajo un rea circular uniformemente
cargada. (Segn Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorizacin
del transportation Research board).
-
PZ
Z
=I.PZ
a b
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
00.01 2 4 6 6 68 8 80 0 021 1012 4 4
b/z=
Infl
uen c
e V
alue
I
a/z
b/z=0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
b/z =1.0
b/z =0.5
1.21.4
1.61.9
2.03.0
Factores de Factores de InfluenceInfluence para Esfuerzos
Verticales Generados para Esfuerzos Verticales Generados por una
Carga de Terraplpor una Carga de Terrapln (Obsterberg, 1957).n
(Obsterberg, 1957).
-
IsIsbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de
Presiones Verticales Bajo un Bajo un rea Cuadrada con Carga
Uniformerea Cuadrada con Carga Uniforme
B BCarga uniforme q
=0.5qV
0.2q
0.1q
0.3q
0.4q
0.6q0.8q
0.9q
Bajo el centro
V
0.5B0.5B
BB
1.5B1.5B
2B2B
2.5B2.5B
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0a) b)
a) la) lneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b)
incremenneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b)
incremento to del esfuerzo vertical total bajo el centro de la
zapata. del esfuerzo vertical total bajo el centro de la
zapata.
-
Incremento de Presiones Verticales Bajo Incremento de Presiones
Verticales Bajo un un rea Rectangular con Carga Uniformerea
Rectangular con Carga Uniforme
El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina El
incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina de unde un rea
rectangular cargada uniformemente viene dado por:
qIv =Donde Donde II es funcies funcin de m y n, parn de m y n,
parmetros definidos metros definidos comocomo:
zLn
zBm
=
=
-
Valores del factor de influencia IValores del factor de
influencia I para calcular el incremento de esfuerzo para calcular
el incremento de esfuerzo vertical total vertical total vv bajo la
esquina de una bajo la esquina de una rea rectangular uniformemente
rea rectangular uniformemente cargada (Segcargada (Segn Fadum,
1948)n Fadum, 1948)
0.18 0.180.190.20
0.210.220.230.24
0.25
0.17
0.160.15
0.140.13
0.12
0.11
0.100.090.080.070.06
0.05
0.04
0.030.02
0.01
0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 100.2 0.3 0.40.02 0.04 0.06 0.6
0.80.00
m=0.0
m=0.1
m=0.2
m=0.3
m=0.4
m=0.5
m=0.6
m=0.7
m=0.8
m=1.0
m=1.8m=2.
m=2.4m=3.0 m=
m=1.2m=1.4m=1.6
m=0.9
Presion uniforme q
B
LV
V =qlN
Nota m n: y son intercambiablesFa
ctor
de
influ
enci
aI
Z
n
-
CClculo aproximado del incremento de lculo aproximado del
incremento de esfuerzo verticalesfuerzo vertical
Para Para reas circulares o rectangulares uniformemente
cargadas, reas circulares o rectangulares uniformemente cargadas,
puede hacerse un cpuede hacerse un clculo aproximado del incremento
de esfuerzo lculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical
total suponiendo que la carga aplicada se distribuye devertical
total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro ntro de
un cono truncado o una pirde un cono truncado o una pirmide
truncada formados por lados mide truncada formados por lados con
pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemcon
pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo,
plo, si el si el rea cargada es un rectrea cargada es un rectngulo
de longitud ngulo de longitud LL y ancho y ancho BB, el , el
incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una incremento
promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z
estarprofundidad z estar dado aproximadamente pordado
aproximadamente por
))(( zBzLqLB
v ++=
-
Cualquier Cualquier rea cargada puede considerarse como un nrea
cargada puede considerarse como un nmero discreto mero discreto de
subde subreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la
reas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la
superficie del terrenosuperficie del terreno
1 12 2
L x B
(L+z) x (B+z)
Z
q
MMtodo aproximado para calcular el incremento promedio de
esfuerzotodo aproximado para calcular el incremento promedio de
esfuerzovertical total bajo un vertical total bajo un rea
uniformemente cargada. rea uniformemente cargada.
-
EjercicioEjercicioUna cimentaciUna cimentacin superficial
cuadrada de 2m de lado , n superficial cuadrada de 2m de lado ,
perfectamente flexible, transmite a un depperfectamente flexible,
transmite a un depsito de suelo sito de suelo homoghomogneo e
isotrneo e isotrpico una carga uniforme pico una carga uniforme qq
= 200 KN/m= 200 KN/m22. . Comparar la distribuciComparar la
distribucin de los incrementos de esfuerzo vertical, n de los
incrementos de esfuerzo vertical, ((vv) bajo el ) bajo el
centrocentro de la de la zapata considerando una carga zapata
considerando una carga distribuida y una carga puntualdistribuida y
una carga puntual equivalenteequivalente. Estimar a partir de .
Estimar a partir de que que profundidadprofundidad los errores
entre estas distribuciones son los errores entre estas
distribuciones son inferiores a 0.1inferiores a 0.1qq. .
a) Carga uniformemente distribuidaa) Carga uniformemente
distribuida
C
q =200 kn/m2
B BA A
D
DC
2m
4 veces
1m
-
Utilizando el Utilizando el baco de Fadum baco de Fadum Esquina
Centro
Z(m) (m,n) (KN/m )2 (KN/m )2
O
0.25
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
- -
4
2
1
0.67
0.50
0.40
0.33
0.29
0.25
0,247
0,233
0,177
0.125
0,086
0,062
0,046
0,037
0,027
200 200
49,4
46,6
35,4
25,0
17,2
12,49,2
7,4
5,4
197,6
186,4
141,6
100,0
68,8
49,6
36,8
29,6
21,6
,
-
Carga puntualCarga puntualExpresiExpresin de n de
BoussinesqBoussinesq
===
kxxPzP
v
8002002223
3
Z(m)V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2
23,9
0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
-
ComparaciComparacin entre las dos distribuciones de n entre las
dos distribuciones de vvA partir de Z>2,20m A partir de
Z>2,20m error absoluto (error absoluto (``vv--) /Dq < 0.1)
/Dq < 0.1
4
3
2,22
1
0 50 100 150 200V
V
V
(kN/m )2
CARGA DISTRIBUIDA
CARGA PUNTUAL
z(m)
-
ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELOESTADO DE ESFUERZOS EN
UNA MASA DE SUELOCCRCULO DE MOHRRCULO DE MOHR
Z
X XX
ZZ
Tzx
TzxTzx
TxzTxz
Txz0
A
Bc
T Resultantes de esfuerzos sobre ab
a) b)
-
BA
C
1
3
T
Direccin de 1
Dir
ecci
n d
e 3
(a)
2
2
1
1
3
3
-
+
2
A ( Coordenados , )T
T
Circulo de Mohr
(b)
a)a) estado de esfuerzos en estado de esfuerzos en un punto. un
punto.
b)b) Diagrama de Diagrama de MohrMohr para para el estado de
esfuerzos el estado de esfuerzos en un punto.en un punto.
REPRESENTACIN DE ESFUERZOS MEDIANTE EL
CRCULO DE MOHR
-
RepresentaciRepresentacin de los esfuerzos mediante el n de los
esfuerzos mediante el ccrculo de Mohr. rculo de Mohr.
22
cos)(
2cos22
cos
3131
313123
21
sensen
sen
==
++=+=
El esfuerzo tangencial mEl esfuerzo tangencial mximo en un
punto, ximo en un punto, maxmax es es siempre igual a (siempre
igual a (11--3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial 3)/2; es decir,
el esfuerzo tangencial mmximo equivale al radio del cximo equivale
al radio del crculo de Mohr. Este esfuerzo rculo de Mohr. Este
esfuerzo tangencial mtangencial mximo se produce en planos que
forman ximo se produce en planos que forman 4545con la direccicon
la direccin del esfuerzo principal mayor.n del esfuerzo principal
mayor.
-
EjemploEjemplo
300
4kg/cm2 4kg/cm2
2kg/cm2
2kg/cm2
B
B
Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano BSe pide calcular
los esfuerzos sobre el plano B--B. B.
-
1.1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).Se representa los
puntos (4,0) y (2,0).2.2. Se dibuja el cSe dibuja el crculo,
utilizando estos puntos para definir el dirculo, utilizando estos
puntos para definir el dimetro.metro.3.3. Se traza la lSe traza la
lnea nea AAAA por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual
por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual
actacta el esfuerzo (2,0).a el esfuerzo (2,0).4.4. La
intersecciLa interseccin de n de AAAA con el ccon el crculo Mohr en
el punto (4,0) es el polo.rculo Mohr en el punto (4,0) es el
polo.5.5. Se traza la lSe traza la lnea nea BBBB por Opor Opp,
paralela a , paralela a BB.BB.6.6. Se leen las coordenadas del
punto X donde Se leen las coordenadas del punto X donde BBBB corta
al ccorta al crculo de rculo de
Mohr.Mohr.
1
0
-11 2 3 4
C
AA
X
B
B
Op
C
A
432
OpB
B
-
RespuestaRespuesta2.5 kg/cm2
2 kg/cm2
4 kg/cm2
0.87
Sobre BBSobre BB = 2.5 = 2.5 kgkg/cm/cm22 = = --0.87 kg/cm0.87
kg/cm22
-
Otra soluciOtra solucinn. Los pasos 1 y 2 igual que antes.. Los
pasos 1 y 2 igual que antes.3. Traza3. Trazapor el punto (4.0) la
lpor el punto (4.0) la lnea nea CCCC paralela al plano sobre
paralela al plano sobre el que actel que acta el esfuerzo (4.0). a
el esfuerzo (4.0). CCCC es vertical.es vertical.4.4. CCCC corta al
ccorta al crculo de Mohr solamente en (4.0) de forma rculo de Mohr
solamente en (4.0) de forma que este punto es el polo Oque este
punto es el polo Opp. Los pasos 5 y 6 an. Los pasos 5 y 6 anlogos
al caso logos al caso anterior.anterior.
SoluciSolucin por medio de las ecuacionesn por medio de las
ecuaciones
2
2
23
21
/866.060240224
/5.260cos3240cos224
224
120/2/4
cmkgsensen
cmkg
cmkgcmkg
===
==++====
((preguntas para el alumnopreguntas para el alumno. . Por quPor
qu es es =120=120? ? El resultado El resultado habria sido
diferente si habria sido diferente si = 300= 300?)?)
-
DIAGRAMAS pDIAGRAMAS p--qqEn muchos problemas conviene
representar, sobre un En muchos problemas conviene representar,
sobre un diagrama diagrama nico, muchos estados de esfuerzos para
una nico, muchos estados de esfuerzos para una determinada muestra
del suelo. En otros problemas se determinada muestra del suelo. En
otros problemas se representa en un diagrama de este tipo el estado
de representa en un diagrama de este tipo el estado de esfuerzos de
muchas muestras diferentes. En tales casos esfuerzos de muchas
muestras diferentes. En tales casos resulta muy pesado trazar los
cresulta muy pesado trazar los crculos de Mohr, e rculos de Mohr, e
incluso mas difincluso mas difcil ver lo que se ha representado en
el cil ver lo que se ha representado en el diagrama despudiagrama
despus de dibujar todos los cs de dibujar todos los crculos .rculos
.
Otro mOtro mtodo para dibujar el estado de esfuerzos puede todo
para dibujar el estado de esfuerzos puede ser adoptar un punto
representativo de los esfuerzos ser adoptar un punto representativo
de los esfuerzos cuyas coordenadas soncuyas coordenadas son
-
231 +=p
++ si si 11 forma un forma un ngulo igual o ngulo igual o menor
de menor de 4545 con la verticalcon la vertical
-- si si 11 forma un forma un ngulo menor de ngulo menor de 4545
con la horizontal2
31 =qcon la horizontal
En la mayorEn la mayora de los casos en los que se utiliza la a
de los casos en los que se utiliza la representacirepresentacin
puntual, los esfuerzos principales actn puntual, los esfuerzos
principales actan an sobre planos verticales y horizontales. En
este caso, la sobre planos verticales y horizontales. En este caso,
la ecuaciecuacin se reduce an se reduce a
2,
2hh qp =+=
-
Este mEste mtodo equivale a representar un punto todo equivale a
representar un punto nico de nico de un circulo de Mohr: el punto
mas alto si un circulo de Mohr: el punto mas alto si qq es positivo
o es positivo o el mas bajo si el mas bajo si qq es negativo. Numes
negativo. Numricamente, ricamente, qq equivale equivale a la mitad
del esfuerzo desviador.a la mitad del esfuerzo desviador.
Conociendo los valores deConociendo los valores de pp y y qq
para un cierto estado de para un cierto estado de esfuerzos, se
posee toda la informaciesfuerzos, se posee toda la informacin
necesaria para n necesaria para dibujar el cdibujar el crculo de
Mohr correspondiente. Sin rculo de Mohr correspondiente. Sin
embargo, el empleo de un diagrama embargo, el empleo de un diagrama
pp--qq no exime de no exime de utilizar el cutilizar el crculo de
Mohr para determinar la magnitud rculo de Mohr para determinar la
magnitud de los esfuerzos principales a partir de un determinado de
los esfuerzos principales a partir de un determinado estado de
esfuerzos.estado de esfuerzos.
Esfuerzos causados por un Carga PuntualEsfuerzos Causados por
una Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaCarga Uniformemente
Distribuida Sobre una Franja InfinitaCarga con Distribucin
Triangular sobre una Franja InfinitaCarga uniformemente distribuida
sobre una rea circularClculo aproximado del incremento de esfuerzo
vertical