Capítulo 2 - Modelação Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Revisão: Outubro de 2011 Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores CONTROLO 1º semestre – 2011/2012
CONTROLO 1º semestre – 2011/2012. Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos. Transparências de apoio às aulas teóricas. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Revis ão: Outubro de 2011. Todos os direitos reservados - PowerPoint PPT Presentation
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Capítulo 2 - Modelação
Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Revisão: Outubro de 2011
Transparências de apoio às aulas teóricas
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
CONTROLO1º semestre – 2011/2012
Capítulo 2 - Modelação
Objectivos
• Definir o que é um modelo e discutir o seu uso para responder a perguntas sobre sistemas físicos
• Introduzir os conceitos de entrada, saída e dinâmica• Dar exemplos de modelos de sistemas físicos em
domínios diversos• Linearização
Referênciaso Cap.2 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)o Cap.2 - do texto de Karl Astrom, Richard Murray, disponível na
Web.
Capítulo 2 - Modelação
Revisão sobre Introdução ao Controlo
Controlo = = Sensoriamento +
Computação + Actuação
Sensoriamento / Percepção
Computação
ActuaçãoSistema
físico
Sistemas de controlo por retroaçcão ocorrem em muitos domínios
Objectivos do controlo• Modificar o comportamento de sistemas
com as seguintes restrições:
Estabilidade em cadeia fechada Robustez face a incertezas de modelização Atenuação de perturbações
Capítulo 2 - Modelação
Modelos
• Modelo = representação matemática de um sistema físico, biológico, mecânico, de informação, ...
• Um modelo fornece uma predição de como é o comportamento do sistema
• O projecto de controladores para sistemas físicos faz-se a partir de um modelo desse sistema. Os modelos não têm que ser exactos.
– Modelos que descrevam muito detalhadamente um sistema podem ser complexos– Desconhecem-se todos os fenómenos físicos que regulam o comportamento do sistema– Na modelação fazem-se, muitas vezes, hipóteses simplificativas
• A retroacção garante robustez a incertezas (em determinados limites) no modelo
• Os modelos usados para controlo relacionam entradas com saídas e (eventualmente) com variáveis internas do sistema
Capítulo 2 - Modelação
Modelos
• O modelo que se deriva depende da pergunta a que se pretende responder sobre o sistema físico.– Perguntas diferentes modelos diferentes– Perguntas iguais mas hipóteses simplificativas diferentes modelos diferentes
• Ao mesmo sistema físico podem corresponder modelos diferentes
• Devem ser escolhidas escalas de tempo e de espaço adaptadas às questões a que se pretende responder
Capítulo 2 - Modelação
Modelo
• De entrada-saída – relaciona directamente a entrada com a saída• Equação diferencial
• Linear ou não linear• Variante ou invariante no tempo
• Função de Transferência• Só para sistemas lineares invariantes no tempo
• De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema
Entrada Saída
r(t) y(t)Sistema
Capítulo 2 - Modelação
Modelação: Exemplos
Alguns exemplos de sistemas físicos– Sistemas mecânicos– Circuitos eléctricos– Sistemas electromecânicos– Sistemas térmicos– Sistemas hidráulicos– Dinâmica de populações– ......
Capítulo 2 - Modelação
Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)
• Objectivo do sistema de controlo– Manter constante a velocidade do veículo
• Modelo do sistema físico– Entrada: força f(t) gerada pelo motor– Saída: velocidade v(t) do automóvel
f(t)Sensor de velocidade
MotorControladorv(t)vref(t) +
_f(t)
v(t)f(t)
• Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) ?
• Fazendo hipóteses simplificativas obtem-se um modelo.
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
Lei de Newton (séc. XVII)
F = soma das forças aplicadas ao corpo (N) v = vector velocidade do corpo (m/s) M = massa do corpo (Kg) mv= momento linear Kgm/s
F= d(mv)/dt
A força total aplicada a um corpo rígido é igual à derivada em ordem ao tempo do seu momento linear
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
• Massa
• Mola
X
2
2
dt
)t(xdm)t(f
Massa - Armazena energia cinética
m f(t)
X
K
)t(x K)t(fs
Mola - Armazena energia potencial
K=constante da mola
fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0).
K )t(x K
)t(fs
Elementos Básicos
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
• Atrito
Elementos Básicos
dt
)t(xd )t(fd
Atrito - Elemento dissipador de energia
b=coeficiente de atrito viscoso
X
b
b
Xx(t)
dt
)t(xd
)t(fd
A força de atrito, fd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade• simplificação da realidade
• é usualmente uma função não linear da velocidade
Capítulo 2 - Modelação
Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)
v(t)f(t)Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) assumindo as hipóteses simplificativas ?
Hipóteses simplificativas:• Inércia rotacional das rodas
é desprezável• O atrito que se opõe ao
movimento é proporcional à velocidade (atrito viscoso)
• O automóvel move-se no plano horizontal
b
m f(t)
Força externa aplicada
f(t) dt
)t(xd (t)v
Sistema
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 1ª Ordem
b
m f(t) Força externa aplicada
f(t) dt
)t(xd (t)v
Sistema
A força de atrito opõe-se ao movimento
dt
)t(dvm
dt
)t(xdmaplicadas forças
2
2
dt
)t(dvm)t(v)t(f)t(f)t(f d
Força externa
Força do atrito
Lei de Newton
)t(f)t(vdt
)t(dvm
• Representação de entrada-saídao no domínio do tempo
o entrada: f(t)o saída: v(t)
o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 1ª ordem
o Sistema de 1ª ordem
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 2ª Ordem
b
m f(t) Força externa aplicada
f(t) x(t)Sistema
A força de atrito opõe-se ao movimento
2
2
dt
x(t)dmaplicadas forças
2
2
d dt
x(t)dm
dt
dx(t)βf(t)(t)ff(t)
Força externa
Força do atrito
Lei de Newton
f(t)dt
dx(t)β
dt
x(t)dm
2
2
• Representação de entrada-saídao no domínio do tempo
o entrada: f(t)o saída: x(t)
o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 2ª ordem
o Sistema de 2ª ordem
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Translação
Exemplo de 2ª Ordem
m f(t)Força externa aplicada
f(t) (t)xSistema
2
2
dt
)t(xdmaplicadas forças
2
2
dt
)t(xdm)t(Kx
dt
)t(dx)t(f
b
K
dt
)t(xd
)t(Kx
)t(f)t(Kxdt
)t(dx
dt
)t(xdm
2
2
Capítulo 2 - Modelação
Função de Transferência
)t(f)t(vdt
)t(dvm
EQUAÇÃO DIFERENCIAL - Representação matemática do sistema no domínio do tempo
• para uma dada entrada• a saída pode obter-se por resolução da equação
diferencial
Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas
)s(F)s(V)s(msV
0
s de)(x)s(X
)]t(f[TL)s(F
)]t(v[TL)s(V
Transformada de Laplace unilateral
ms
1)s(F)s(V FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA - Representação matemática
do sistema no domínio da variável complexa s
Capítulo 2 - Modelação
Função de Transferência
SLITr(t) y(t)
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
0.i.c)s(R
)s(Y)s(G
G(s)R(s) Y(s)
Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y
• A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída
• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o sistema do ponto de vista de entrada-saída
Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais
Capítulo 2 - Modelação
Função de Transferência
SLITr(t) y(t)
0.i.c)s(R
)s(Y)s(G
G(s)R(s) Y(s)r(t) y(t)
R(s) Y(s)
TL TL-1
Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída
)s(R).s(G)s(Y
Se as condições iniciais forem nulas
A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída
Resolução da eq.diferencial
Capítulo 2 - Modelação
Função de Transferência e Diagrama de Blocos
v(t)f(t)
)t(f)t(vdt
)t(dvm
ms
1)s(F)s(V
βms
1
V(s)F(s)
x(t)f(t)
βms
1
V(s)F(s) X(s)
s
1
β)s(ms
1
X(s)F(s)
f(t)(t)xβ(t)xm
O mesmo sistema físico Modelos diferentes
Capítulo 2 - Modelação
Cruise Control (em plano horizontal)
v(t)f(t)
βms
1
V(s)F(s)
Sistema físico
K
modelo do sistema físico
Sistema controlado com controlador proporcional
Vref(s)+
_
?(s)V
V(s)
ref controlador
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Rotação
rotação em torno de um eixo
• Lei de Newton-Euler
A soma dos binários que actuam num corpo é igual ao produto do momento de inércia desse corpo pela sua aceleração angular.
2
2
dt
θ(t)dJT(t)
2
2
dt
θ(t)d
T = soma dos binários aplicados ao sistema (N-m)
= vector aceleração angular a que o corpo está sujeito (rad/s2)
J = momento de inércia (Kg-m2) (suposto constante)
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Rotação
• Inércia
• Mola Rotacional
Elementos Básicos
dt
dJ
dt
θ(t)dJT(t)
2
2
Armazena energia cinética rotacional
- Velocidade angular
θ(t)K (t)Ts
Mola armazena energia potencial rotacional
K = constante da mola
Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio.
é o binário que é necessário exercer para efectuar a rotação.
θ(t)K
w
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas Mecânicos de Rotação
• Atrito Rotacional
Elementos Básicos
Atrito - Elemento dissipador de energia
b - coeficiente de atrito viscoso
O binário de atrito Td(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade angular
• simplificação da realidade
• é usualmente uma função não linear da velocidade
ω(t) β(t)Td
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas mecânicos de rotação
2
1
2
1
1
2
NN
rr
A velocidade linear é igual no ponto de contacto das duas rodas
Engrenagem (caixa de desmultiplicação)
2211 rr
Roda dentada 1 – entrada
Raio -
# dentes - 1N1r
Roda dentada 2 – saída
Raio -
# dentes - 2N2r
a desmultiplicação angular é inversamente proporcional ao quociente do número de dentes.
Capítulo 2 - Modelação
Sistemas mecânicos de rotação
Engrenagem (caixa de desmultiplicação)
Roda dentada 1 – entrada
Raio -
# dentes - 1N1r
Roda dentada 2 – saída
Raio -
# dentes - 2N2r
1
2
2
1
1
2
NN
TT
Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia
2211 TT a “multiplicação” de binário é directamente
proporcional ao quociente do número de dentes das rodas.
Resumo
q2q1 T1T2
1
2
NN
2
1
NN
Energia rotacional
Capítulo 2 - Modelação
Exemplo: Pêndulo
m
L
mg
θ
PênduloMassa toda concentrada na extremidadeBraço de comprimento L [m]Binário aplicado Tc(t) [N.m]
Pergunta: Como varia o ângulo q(t) como função de Tc(t)?
Momento de inércia em torno do ponto de rotação = J = mL2
aplicados binários(t)θJ
sin L mg-(t)T(t)θmL c2
2c
mL
(t)Tsinθ
L
g(t)θ
mg
θ
θ
mgcos q
mgsin q
• Eq. Diferencial não linear• Não se pode obter directamente a