Cálculos de potência Cap. 2 – Hart, Eletrônica de Potência
• Material auxiliar – Revisão de circuitos RL
Me Salva! RLC10 - Indutores: Introdução
https://www.youtube.com/watch?v=yaICEXBwTgg
Me Salva! RLC11 - Circuito RL - Condições iniciais e finais
https://www.youtube.com/watch?v=Y01d3EEHgWY
Me Salva! RLC12 - Circuito RL - Resposta Forçada
https://www.youtube.com/watch?v=Z7OBnDWUWgI
Me Salva! RLC13 - Circuito RL - Resposta Natural
https://www.youtube.com/watch?v=e08kNcUI0Kk
Me Salva! RLC14 - Circuito RL - Constante de Tempo
https://www.youtube.com/watch?v=KxGBDYAjEBA
Me Salva! RLC15 - Circuito RL - Fórmula Geral
https://www.youtube.com/watch?v=UsBMZg9sXfg
Absorvendo
potência
p(t)>0
Convenção passiva de sinal
Fornecendo
potência
p(t)<0
Cálculos de potência
Potência instantânea – watts (W)
Energia – joules (J)
Cálculos de potência
Potência média = Potência Real = Potência ativa
Potência média calculada a partir da energia em um periodo:
Potência média total absorvida = Potência média total fornecida
Carga Fonte
Cálculos de potência
Calcule:
a) Potência instantânea absorvidab) Energia absorvida em um periodoc) Potência média absovida
Dicas:
Potência instantânea (W)
Potência Média (W)
Energia (J)
Potência Média (W)
Cálculos de potência
Cálculo de Potência absorvida ou fornecida por uma fonte DC
Aplicações comuns:- Circuito de carregamento de bateria- Fontes
Fonte de tensão DC (Vdc) com corrente periodica i(t)
Corrente média
Tensão DC x Corrente média
Tensão constante Vdc Corrente variável no tempo i(t)
p(t) = v(t)i(t)
2.3 Indutores e capacitores
ExemploUm indutor recebe a correnteperiódica apresentada em (b).
Tensão instantânea no indutor
Tensão média no indutorVm = 0 V
Potência instantânea
Potência média = 0
𝑣1 = 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑣1 = 0.0054
0.001
𝑣1 = 20𝑉
𝑣1 =
𝑣2 =𝑣2 = 0.005−4
0.001𝑣2 = −20𝑉
2.3 Indutores e capacitores
• Se a corrente através de um indutor for periódica:• A energia armazenada no final do período será igual a do início do período.• A tensão média através do indutor será sempre zero.
Corrente periódica Energia armazenada no indutor
• A ausência de transferência líquida de energia indica:
• Potência média absorvida pelo indutor é zero para operação periódica em estado permanente
• Potência instantânea pode ser diferente de zero.
A energia é absorvida em metade do periodo e devolvidana outra metade do período
Tensão através do indutor
2.3 Indutores e capacitores
• Se a tensão através de um capacitor for periódica:• A energia armazenada no final do período será igual a do início do período.• Potência média absorvida pelo capacitor é zero.
• Corrente média no capacitor será zero:
2.4 Recuperação de energia
- Acionamento de carga indutiva com transitor- Circuito de proteção do transistor
Exemplo:- Bobina de um relé
AKI
2.3 Recuperação de energia
Carregamento do inductorTransistor ligado: 0 < t < t1
Corrente no indutor
Corrente na fonte
Analisando o ciclo de funcionamento do circuito:
Transistor desligado: t1 < t < T Descarregamento do indutor
• Corrente no source do transistor = 0• Corrente no indutor e no diodo Exponencial decrescente
Condição inicial:
Corrente no indutor:
Pré-requisitos- Circuitos I e II- Equações
diferenciais
Cálculo da Potência DC fornecida pela fonte do circuito
Cálculo da Potência DC absorvida pelos demais componentes
- Potência média absorvida pelo indutor- Potência média absorvida pelo diodo- Potência do resistor = Potência fornecida pela fonte
Corrente média
= 0= 0
Corrente na fonte
Corrente no indutor
Cálculo da corrente média
Recuperação de energia
Circuito que energiza o indutor e depois envia sua energia de volta para a fonte
Recuperação de energia
Os dois transistores ligam em t = 0e desligam em t = t1
Tensão no indutor VL
Corrente no indutor = corrente na fonte
Transistores LIGADOS0<t<t1
Corrente no indutor
Corrente na fonte
Recuperação de energia
Tensão no indutor VL
Corrente no indutor
Transistores DESLIGADOSt1< t < T
Corrente na fonte
Corrente no indutor
Corrente na fonte
Recuperação de energia
Mais eficiente Menos eficiente
- Teoricamente sem perdas
- Indutores, transistores e diodosreais apresentam resistênciasparasitas que provocam perdas.
2.5 Valores efetivos ou RMS (Root Mean Square)
T
2eff rms
0
1V V v (t)dt
T
Valor RMS = Raiz quadrada do valor médio da função ao quadrado.“Área entre a curva e o eixo”
- Tensões e correntes de sistemas de potência AC são normalmente dadas em RMS.
- Especificações de equipamentos (motores, transformadores, fontes, etc) tambémsão dados em RMS.Exemplo: Aparelhos de 220V (RMS) 311 V pico
mV 0 t DTv(t)
0 DT t T
Exemplos:
Valor eficaz de uma onda quadrada
(PWM – Modulação por largura de pulso)
Calcule:
mV 0 t DTv(t)
0 DT t T
T DT T
2 2 2 2rms m m m
0 0 DT
1 1 1V v t dt V dt 0 dt V DT V D
T T T
Exemplos:
Valor eficaz de uma onda quadrada
(PWM – Modulação por largura de pulso)
2
2 2 mrms m
0
V1V V sin ( t)d( t)
2 2
Exemplos: Onda Senoidal Completa
Note que o valor RMS na senoide não depende da frequência
Exemplos: Onda Senoidal Completa Retificada
2
2 2 mrms m
0
V1V V sin ( t)d( t)
2 2
- Resultado idêntico ao da senoide completa não retificada.- Valor RMS calcula a área entre a curva e o eixo independentemente de ser
positiva ou negativa
Exemplos: Meia Onda Senoidal Retificada
Zero para o resto
Multiplica-se o limite de integração por 2 e divide-se a função por 2
Atenção
2
2 2 mrms m
0
V1V V sin ( t)d( t)
2 2
- Período duas vezes menor- Ausência de intervalo com a onda em zero
- Período maior- Intervalo com a onda em zero
Valor eficaz da meia onda senoidal não é metade da senoidal completa
Corrente no neutro de um sistema trifásico não-linear
- Em um sistema linear as correntes de fase se anulam no neutro. - Em um sistema com distorção as correntes não se anulam. Dimensionar condutor
Valor RMS da corrente em cada fase:𝐼𝑟𝑚𝑠 = 20 𝐴
- A corrente no neutro é igual a soma das 3 curvas de correntes.
- Redução no período da corrente do neutro com relaçãoàs correntes de fase
𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠 = 3 . 20 = 34.6 A
corrente
Corrente no neutro de um sistema trifásico
- A corrente de neutro não é a corrente de fasemultiplicada por 3.
- Em um sistema trifásico onde as cargas sãoaltamente não-lineares, o condutor neutro precisa
suportar 3 vezes a corrente de uma fase.
Diferentemente de um sistema com cargas linearesonde a corrente de neutro é zero.
1 2v(t) v (t) v (t)
Valor RMS de somas de formas de ondas senoidais
Se as ondas v1 e v2 possuirem frequências diferentes, o produto v1.v2 é zero.
Duas ondas senoidais com frequências diferentes sãoortogonais entre si.
Cálculo do valor RMS de v(t):
Valor RMS de somas de formas de ondas senoidais
Se uma tensão for resultado da soma de varias ondas periódias, todas ortogonais,o valor RMS será:
De forma similar:
Potência Aparente (S) e Fator de Potência (pf)
rms rmsS V I
rms rms
P Ppf
S V I
Em circuitos AC (lineares e com fontes senoidais), a potência aparente éa magnitude da potência complexa.
Razão entre potência média e a potência aparente
*** Quando corrente e tensão são senoidais o fator de potência é calculado por:
𝑝𝑓 = cos 𝜃 =𝑃
𝑉𝑟𝑚𝑠 𝐼𝑟𝑚𝑠
Potência Aparente (S)
Fator de Potência (pf)
m
m
v(t) V cos( t )
i(t) I cos( t )
Circuitos Senoidais AC
m mrms rms
V IP cos V I cos
2
rms rmsQ V I sin
Potência ativa
Potência reativa
*P jQ ( )( ) rms rmsS V I
2 2rms rmsS P Q V I S
pf cos
Potência Complexa – combina potência ativa e reativa em circuitos AC
Conjugado:para as operações serem consistentescom a convenção de absorção de energiade capacitores e indutores.
Potência Aparente – magnitude da potência complexa em sistemas AC
Fator de potência
Circuitos Senoidais AC
(Forma vetorial)
m
m
v(t) V cos( t )
i(t) I cos( t )
0 n 0 n 0
n 1
f (t) a a cos(n t) b sin(n t)
Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função periódica f(t) pode ser expressa na forma trigonométricacomo:
Onde:
Séries de Fourier
0 n 0 n
n 1
f (t) a C cos n t
Senos e cossenos da mesma frequência podem ser combinados em uma única forma senoidal, gerando uma expressão alternativa da Série de Fourier:
Onde:
O termo a0 representa a componente DC (valor médio da função).O coeficiente C1 representa a amplitude da componente fundamental.Os coeficientes C2, C3, C4, … representam as amplitudes dos demais harmônicos.
Séries de Fourier
2
2 2 nrms n,rms 0
n 1 n 1
CF F a
2
Valor RMS de uma série de Fourier
0 n 0 n
n 1
f (t) a C cos n t
2
2 2 mrms m
0
V1V V sin ( t)d( t)
2 2
Valor RMS de onda senoidal:
Cada termo alternado da série de Fourier é senoidal, logo:
Séries de Fourier
Se um dispositivo apresentar uma tensão e uma corrente descritos por series de Fourier:
Sua potência média será calculada por:
A média dos produtos do termos DC é: V0.I0
A média dos produtos do termos senoidais de mesma frequência é dada por:
A média dos produtos do termos senoidais de frequência diferente é zero
Representação geral para qualquerformato de onda periódica
Séries de Fourier
Será:
Ou
A potência média total é a soma das potências de todas as frequências da série de Fourier
Logo, a potência média de formas de onda periodicas não senoidais de tensão e corrente
Séries de Fourier
Ou
Exemplo:
𝑣 𝑡 = 5 + 3 cos(𝜔1𝑡 + 𝜃1) + 7 cos(𝜔2𝑡 + 𝜃2) + 2 cos(𝜔3𝑡 + 𝜃3) + 4 cos(𝜔4𝑡 + 𝜃4)…
𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 3 cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2) + 5 cos(𝜔3𝑡 + 𝜙3) + 9 cos(𝜔4𝑡 + 𝜙4) + ⋯
Cálculo da potência media total:
𝑃 = 5.2 +3
2
8
2cos(𝜃1 − 𝜙1) +
7
2
3
2cos(𝜃2 − 𝜙2) +
2
2
5
2cos 𝜃3 − 𝜙3 +⋯
Cálculo de potência de fontes não-senoidais e uma carga linear
Princípio da superposição
Pode-se usar:
ou
*** Condição mais encontrada na prática
Fonte senoidal
Carga não-linear
(Representação por série de Fourier)
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Cálculo da potência média absorvida pela carga:
Único termo que não é zero estána frequência da tensão aplicada
𝑉𝑑𝑐 = 0𝑉1 componente fundamental Fonte senoidal – hamônicos = 0
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Ou
Exemplo:
𝑣 𝑡 = 311 cos(𝜔1𝑡 + 𝜃1)
𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 3 cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2) + 5 cos(𝜔3𝑡 + 𝜙3) + 9 cos(𝜔4𝑡 + 𝜙4) + ⋯
Cálculo da potência media total:
𝑃 = 0.2 +311
2
8
2cos(𝜃1 − 𝜙1) + 0
3
2cos(𝜃2 − 𝜙2) + 0
5
2cos 𝜃3 − 𝜙3 +⋯
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Fator de potência
Valor rms da corrente da carga não-linear (série de Fourier)
Fator de distorção (DF)
Fator de potência (pf) emcircuitos senoidais
**também conhecidocomo fator de potênciade deslocamento
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Fator de distorção Redução do fator de potência devido a propriedadenão-linear da corrente.
representa
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Exemplo:
𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 3 cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2) + 5 cos(𝜔3𝑡 + 𝜙3) + 9 cos(𝜔4𝑡 + 𝜙4) + ⋯
𝐷𝐹 =
8
2
2
22 +8
2
2
+3
2
2
+5
2
2
+9
2
2
+⋯
Outra forma de expressar o Fator de Potência (pf):
Distorção Harmônica Total (THD)
- Outra forma de quantificar a propriedade não-senoidal de uma onda.- Razão entre o valor RMS de todos os termos de frequência não fundamental e o
termo fundamental
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
THD
Exemplo:
𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 3 cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2) + 5 cos(𝜔3𝑡 + 𝜙3) + 9 cos(𝜔4𝑡 + 𝜙4) + ⋯
Cálculo do THD:
𝑇𝐻𝐷 =
22 +3
2
2
+5
2
2
+9
2
2
+⋯
8
2
2
O fator de Distorção Harmônica Total (THD) é muito aplicado em situações onde o termo DC é zero.Desta forma:
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Exemplo:
𝑖 𝑡 = 0 + 8 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 3 cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2) + 5 cos(𝜔3𝑡 + 𝜙3) + 9 cos(𝜔4𝑡 + 𝜙4) + ⋯
Termo DC(igual a zero)
𝑇𝐻𝐷 =
3
2
2
+5
2
2
+9
2
2
+⋯
8
2
2
Termofundamental (1)
Termo 2 Termo 3 Termo 4
Outra forma de expressar o Fator de Distorção (DF):
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Outros termos utilizados para correntes ou tensões não senoidais:
Fator de forma
Fator de crista
Exercícios
𝑣 𝑡 = 20 +20
1cos(1𝜋𝑡) +
20
2cos(2𝜋𝑡) +
20
3cos(3𝜋𝑡) +
20
4cos(4𝜋𝑡) + ⋯
𝑖 𝑡 = 5 +5
12cos(1𝜋𝑡) +
5
22cos(2𝜋𝑡) +
5
32cos(3𝜋𝑡) +
5
42cos(4𝜋𝑡) + ⋯
𝑉0 𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑉4
𝐼0 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4
Exercícios
𝑇𝐻𝐷 =𝐼𝑟𝑚𝑠2 − 𝐼1,𝑟𝑚𝑠
2
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
𝑇𝐻𝐷 =𝐼1,𝑟𝑚𝑠2 + 𝐼9,𝑟𝑚𝑠
2 − 𝐼1,𝑟𝑚𝑠2
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
=𝐼9,𝑟𝑚𝑠
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
𝐼9,𝑟𝑚𝑠 = 𝑇𝐻𝐷. 𝐼1,𝑟𝑚𝑠
𝐼9,𝑟𝑚𝑠 = 𝑇𝐻𝐷.10 2
2= 𝑇𝐻𝐷. 10