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Integrales múltiples
Losgeologos estudian como se formaron las comineras
y hacen estimaciones del trabajo necesario para
levantarlas sobre el nivel del mar. En la sección 15.8
se le pide que use integrales triples para calcular el
trabajo realizado en la formación del monte Fuji, en
En este capítu lo ex tendem os la idea de integral definida a integrales dob les y triples de funciones de dos
y tres variables. Estas ideas se usarán para calcular volúmenes, m asas y centroides de regiones más
generales de lo que pudimos hacer en los capítulos 6 y 8. T am bién usam os integrales dobles para
calcular probabilidades c uando se involucran dos variables aleatorias.
V erem os que las coordenadas polares son útiles para líi obtención de integrales dobles sobre algún
tipo de regiones. De un m odo similar, in troduciremos dos nuevos sistemas de coordenadas en tres
coordenadas espaciales — cilindricas y esféricas— que simplifican notablemente el cálculo de integrales
triples sobre ciertas regiones sólidas comunes.
973
Integrales dobles sobre rectángulos
CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
FIGURA 1
C asi d e la m i s m a m a n e r a q u e e l in te n to d e r e so lv e r e l p r o b l e m a d e á rea n o s c o n d u jo a la
d e f in ic ió n d e la in te g ra l d e f in id a , a h o ra b u s c a m o s d e te r m in a r e l v o lu m e n d e un só l ido , y
en e l p r o c e s o l le g a m o s a la d e f in ic ió n d e in te g ra l d ob le .
Revis ión de la integra l definida
P r im e ro r e c o r d a r e m o s los h e c h o s b á s ic o s re la c io n a d o s c o n in te g ra le s d e f in id as d e u n a so la
v a r iab le . Si f ( x ) e s t á d e f in id a p a r a a ^ x ^ b, e m p e z a m o s p o r d iv id i r e l in te rv a lo [ci, b] en
n s u b in t e r v a lo s [av-i , x,] d e ig u a l a n c h o A * = (b — a ) /n y e l e g i m o s p u n to s m u e s t r a x ?
en e s to s su b in te rv a lo s . E n to n c e s f o r m a m o s la s u m a d e R ie m a n n
m 1 f i x f ) A.v
y t o m a m o s e l l ím i te de las s u m a s c o n f o rm e n —* co p a r a o b te n e r la in te g ra l d e f in id a d e / d e
a a b:
E n el c a s o e sp e c ia l d o n d e / ( * ) ^ 0 , la s u m a de R iem a n n se p u e d e in te rp re ta r c o m o la s u -
m a d e las á rea s d e los r e c tá n g u lo s de a p ro x im a c ió n e n la f ig u ra 1, y / * / ( * ) d x r e p re se n ta
e l á rea b a jo la c u r v a y = f ( x ) d e a a b.
rA*
/(-V
r \
-V¡- l
| Volúmenes e in teg ra le s dobles
D e u n a m a n e r a s im ila r c o n s id e r a m o s u n a fu n c ió n / d e d o s v a r ia b le s d e f in id as so b re un r e c -
t á n g u lo c e r r a d o
R = [a , b] X [c , d] = {(.r, y) G R 2 1 a ^ x b, c y d}
y s u p o n e m o s p r i m e r o q u e / ( ^ r , y ) 5= 0. L a g r á f i c a d e / e s u n a s u p e r f i c i e c o n e c u a c i ó n
i = f ( x ; y) . S e a S e l só l id o q u e a p a re c e a r r ib a d e R y d e b a jo d e la g rá f ica d e f e s dec ir ,
S = {(*, y, z) S IR5 [ 0 =s z « / ( .v , y), (x, y) G r }
(V é a s e la f igu ra 2 .) El o b je t iv o e s h a l l a r e l v o lu m e n d e S.
E l p r im e r p a s o es d iv id i r e l r e c tá n g u lo R e n su b rec tán g u lo s . E s to se h a ce d iv id i e n d o el
in te rv a lo \a, b] en m su b in te rv a lo s [av-i, x7] d e igual a n c h o A x = (b — o ) /m y d i v id i e n -
d o [c, d] en n sub in terva los [y ,- i , yj\ d e igual ancho A y = (d — c ) /n . A l d ib u ja r rectas p a -
ra le la s a los e je s c o o r d e n a d o s p o r los p u n to s e x t r e m o s d e e s to s su b in te rv a lo s c o m o en
SECCIÓN 15.1 I N T E G R A L E S D O B L E S S O B R E R E C T Á N G U L O S 9 7 5
la f igu ra 3, se fo rm an los s u b re c tá n g u lo s
R¡i = [v f- i , * , ] X y>] = {(.v, y) | i , - , s t =s xb y,_, « y « y,}
c a d a u n o c o n un á rea A A = A x Ay.
F IG U R A 3
División de R en subrectángulos
Si se e l ig e e l p u n to m u e s tr a ( x ¡ f , yjj¡ ) e n c a d a /?,>, e n to n c e s p o d e m o s a p r o x im a r la p a r te
d e S q u e e s t á a r r ib a d e c a d a Rv m e d ia n te u n a d e lg a d a c a j a r e c t a n g u la r (o “ c o l u m n a ” ) c o n
b a se Rij y a l tu ra /(*»*, y tf ) c o m o se m u e s t r a en la f igu ra 4. ( C o m p a r e c o n la f igu ra 1.) El
v o lu m e n d e e s t a c a j a e s la a l tu ra d e la c a j a m u lt ip l ic ad a p o r e l á rea d e la b a se d e l r e c t á n -
gulo:
f ( x f , y f ) A A
Si se s igue e s te p ro c e d im ie n to p a r a los re c tán g u lo s y se su m a n los v o lú m e n e s d e las c a ja s
c o r re s p o n d ie n te s , se o b t ie n e u n a a p ro x im a c ió n d e l v o lu m e n to ta l d e S :
0 V - 2 2 / (* ,? , y * ) A A<=i ;=i
( V é a s e la f i g u r a 5.) E s t a d o b l e s u m a s i g n i f i c a q u e p a r a c a d a s u b r e c t á n g u l o se e v a l ú a
/ en e l p u n t o e l e g i d o y se m u l t i p l i c a p o r el á r e a d e l s u b r e c t á n g u l o y l u e g o se s u m a n
lo s r e s u l t a d o s .
F I G U R A 4 F IG U R A 5
9 7 6 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
L a in tu ic ió n n o s in d ic a q u e la a p r o x im a c ió n d a d a en [3] e s m e j o r c u a n d o m y n c rec en
y , p o r tan to , se e sp e ra r í a q u e
El significado del doble límite en la ecuación 4
es que la doble suma se puede hacer tan m n
cercana como se desee al número V [para r— i y _ \ \ f / , .* a icualquier elección de (xf, y,*) en /?*] al tomar L ? J n u «• ¿ í ~ f\' ’
m y /i suficientemente grandes.
U s a m o s la e x p re s ió n d e la e c u a c ió n 4 p a r a de f in i r e l v o l u m e n d e l só l id o 5 q u e y a ce d e b a jo
d e la g rá f ica d e / y a r r ib a d e l r e c tá n g u lo R. (Se puede d e m o s t r a r q u e e s ta d e f in ic ió n e s c o n -
g ru e n te c o n la f ó rm u la p a r a e l v o lu m e n d e la sección 6 .2 .)
L o s l ím i te s d e l t ipo q u e a p a re c e en la e cu a c ió n 4 o c u r re n c o n f r e c u e n c ia no só lo p a ra
h a l l a r v o lú m e n e s , s ino ta m b ié n e n d iv e r s a s s i tu ac ion es , c o m o se v e rá en la secc ió n 15.5,
in c lu so c u a n d o / n o e s u n a fu n c ió n posi t iva . A s í que p l a n t e a m o s la s ig u ien te de f in ic ión .
Observe la similitud entre la defiiición 5
y la definición de una integral sinple en
la ecuación 2.
[~5~] Definición L a in te g ra l d o b le d e / s o b r e e l r e c tá n g u lo R es
m n
f f / (* > y) dA = lím 2 2 y»?) AA*'* m9 } _i m
si e l l ím ite ex is te .
Aun cuando hemos definido la integral doble al
dividir R en subrectángulos de igual tamaño,
podríamos haber empleado subrectángulos de
tamaño desigual. Pero entonces lubieramos
tenido que asegurar que todas sus dimensiones
se aproximaran a O en el proceso de establecer
límites.
E l s ig n i f ic a d o p re c iso de l l ím ite en la de f in ic ión 5 e s q u e p a r a t o d o n ú m e r o e > O hay
un e n te r o N ta l q u e
í í / ( v, y) d A - 2 2 y«*) ^ A¿=1.7=1
< e
p a r a to d o s los e n te r o s m y n m a y o r e s q u e N y para c u a lq u ie r e le c c ió n d e p u n to s m u e s t r a
(*i*, y * ) e n Rij.U n a fu n c ió n / s e d e n o m i n a i n t e g r a b l e si ex is te e l l ím i te e n la d e f in ic ió n 5. E n c u rso s
d e c á l c u lo a v a n z a d o se d e m u e s t r a q u e to d as las fu n c io n e s c o n t in u a s son in teg rab le s . De
h e c h o , la in te g ra l d o b l e d e / e x i s t e s i e m p r e q u e j “ n o s e a t a m b ié n d i s c o n t i n u a ” . E n p a r -
t icu la r , si / e s t á a c o t a d a [es to e s , e x is te u n a co n s tan te M tal q u e | f ( x , y) \ M p a r a to d a
(*, y) en RJ, y / e s c o n t in u a ah í , e x c e p to e n un n ú m e ro f inito de c u r v a s su a v e s , e n to n c e s /
e s in te g rab le so b re R.
Se p u e d e e le g i r q u e e l p u n to m u e s t r a (.t,y, y,*. s e a c u a lq u ie r p u n to en e l s u b r e c t á n g u -
io /?,,, p e ro si se e l ig e q u e sea la e s q u in a su p e r io r d e r e c h a de Rr [a sab e r , (x ,, y r), v éase la
f igu ra 3], e n to n c e s la e x p re s ió n p a r a la in te g ra l dob le p a re c e s im p li f ica rse :
0 f f /(■*■» y ) dA — l í m 2 2 / ( * y ? ) A 41 --1
A l c o m p a r a r las d e f in ic io n e s 4 y 5, v e m o s q u e un v o lu m e n p u e d e e x p re sa r se c o m o u n a
in te g ra l doble:
Si f ( x , y) 5= O, e n to n c e s e l v o lu m e n V d e l só l ido q u e e s t á a r r ib a d e l r e c t á n g u lo R y
d e b a jo d e la su p e rf ic ie r = / ( * , y) es
V = j j f ( x , y ) d A
*R
SECCIÓN 15.1 I N T E G R A L E S D O B L E S S O B R E R E C T Á N G U L O S 9 7 7
L a sum a en la defin ición 5,
y t ̂ (L 2)
(2 ,2 )
n h
* .2
(1, 1)
*2.
0 .V
2 2 /(**♦ y*) a a»=i j=i
se l la m a d o b l e s u m a d e R i e m a n n y se e m p le a c o m o u n a a p ro x im a c ió n d e l v a lo r d e la i n -
teg ra l d o b le . [ O b s e rv e la s im il i tu d c o n la su m a d e R ie m a n n en \T\ p a r a u n a fu n c ió n d e u n a
so la v a r ia b le . ] Si su c e d e q u e / e s u n a fu n c ió n positiva , e n to n c e s la d o b le s u m a de R ie m a n n
r e p re s e n ta l a s u m a d e v o lú m e n e s d e c o lu m n a s , c o m o e n la f igu ra 5, y e s u n a a p r o x im a c ió n
d e l v o lu m e n b a jo la g rá f ica d e /
Q E H M H E s t im e el v o lu m e n d e l sól ido q u e e s tá a r r ib a d e l c u a d r a d o R = [0 , 2] X
[0, 2] y d e b a jo d e l p a ra b o lo id e e l íp t ic o r = 16 — x1 — 2y2. D iv id a R en c u a t ro c u a d r a d o s
ig u a le s y e l i j a e l p u n to m u e s t r a c o m o la e s q u in a su p e r io r d e r e c h a de c a d a c u a d r a d o R,j.
B o sq u e je e l só l id o y las c a ja s r e c ta n g u la re s de a p ro x im a c ió n .
SOLUCIÓN L o s c u a d r a d o s se m u e s t r a n e n la figura 6. El p a ra b o lo id e es la g rá f ica de
f ( x , y) = 16 — x 1 — 2 y2 y e l á r e a d e c a d a c u a d r a d o e s A A = 1. A l a p r o x im a r el
v o lu m e n m e d ia n te la s u m a d e R ie m a n n c o n m = n = 2, se t iene
FIGURA 6
v** 2 2 /(*», y¿) a ai=l 7=1
= / ( ! , 1 ) A A + / ( 1 , 2 ) A A + / ( 2 , 1) A A + / ( 2 , 2 ) A A
= 13(1) + 7 (1 ) + 10(1) 4- 4 (1 ) = 34
É s te es e l v o lu m e n d e las c a ja s r e c tan g u la re s d e a p r o x im a c ió n m o s t r a d a s e n la f igura 7.
Se o b t ie n e n m e jo r e s a p r o x im a c io n e s p a ra e l v o lu m e n d e l e je m p lo 1 si se i n c r e m e n ta e l
n ú m e r o d e c u a d ra d o s . En la f igura 8 se m u e s t r a c ó m o las c o lu m n a s c o m ie n z a n a v e r s e m ás
c o m o só l id o s re a le s y las a p r o x im a c io n e s c o r re s p o n d ie n te s se v u e lv e n m á s e x a c ta s c u a n d o
se u san 16, 6 4 y 2 5 6 c u a d r a d o s . En la s igu ien te secc ió n se p o d r á d e m o s t r a r q u e e l v o l u -
m e n e x a c to e s 48.
FIGURA 8
Las aproximaciones de la suma de
Riemann al volumen debajo de se
16 — x~ — 2y 2 vuelven más exactas
cuando se ncrementan m y n. b) t)¡ = « = 8. l ' « 44.875 c)ni = n= 16, V 553 46.46875
□ E JEM P LO 2 Si R = {(.v, y) I - 1 « .v « 1 2}, e v a lú e la in teg ra l
J f V i - .v2 dA
'R
9 7 8 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
SOLUCIÓN S e r í a d i f íc i l e v a lu a r e s t a in te g ra l d e m a n e r a d i r e c ta a p a r t i r d e la d e f in ic ió n 5
p e ro , d e b id o a q u e 1 — A2 3= O, se p u e d e c a lcu la r la in te g ra l i n te r p r e t á n d o la c o m o un
v o lu m e n . Si z = yj 1 — A2 , e n to n c e s x 2 + z2 = 1 y z > O, a s í q u e la in te g ra l d o b le d a d a
re p re se n ta e l v o lu m e n d e l só l id o S q u e y a c e d e b a jo de l c i l in d ro c i r c u la r x 2 + z2 = 1 y
a r r ib a d e l r e c tá n g u lo R. (V é ase la f igura 9.) E l v o lu m e n d e S es e l á rea d e un se m ic í r c u lo
c o n r a d io 1 m u l t ip l i c a d a p o r la lo n g itu d d e l c il indro . P o r c o n s ig u ie n te ,
I[fvT .v2 dA = T 7 r( l)2 X 4 = 2 t t
Regla del punto medio
L o s m é to d o s q u e se e m p le a r o n p a ra a p r o x im a r in teg ra le s s im p le s ( re g la d e l p u n to m e d io ,
r e g la d e l t r ap e c io , r e g la d e S im p s o n ) t ienen c o n tra p a r te s p a r a in te g ra le s d o b le s . A q u í se
c o n s i d e r a só lo la re g la d e l p u n to m e d io p a r a in teg ra le s d o b le s . E s to s ig n i f ica q u e se u sa
u n a d o b le s u m a de R ie m a n n p a r a a p r o x im a r la in te g ra l d o b le , d o n d e e l p u n to m u e s t r a
(.Vi;, y,J) e n R,j se e l ig e c o m o e l c e n t r o (Á*, yj) d e /&,. E n o t ras p a la b ra s , Aí e s e l p u n to m e d io
d e [a*-i, Xí] y y, e s e l p u n to m e d io d e [y>-i, y¿|.
R e g la d e l p u n to m e d io p a r a in t e g r a le s d o b le s
í f / ( * * y) d A ** f Í / ( I „ y ; ) A A
r 1=1 >='
d o n d e A, e s e l p u n to m e d io de x¡\ y y¿ e s el p u n to m e d io d e [y ,- i , y ,] .
y i
o (2,2)
3 • #12 ♦ R222
• # . l ♦ R2l
-0 1 2 *
FIGURA 10
Q E H u H E H U se ía re g la d e l p u n to m e d io c o n m = n = 2 p a ra e s t im a r e l v a lo r d e la
in te g ra l f f R (x - 3 y 2 ) dA, d o n d e R = {(.v, y) | O A 2, 1 y 2}.
SOLUCIÓN A l u sa r la r e g la d e l p u n to m e d io c o n m = n = 2, se e v a l ú a f ( x , y) = x — 3y en
los c e n t ro s d e los c u a t ro su b re c tá n g u lo s m o s t r a d o s en la f igura 10. P o r tan to , Ai = y»
Á2 = 2 , yi = 4 y >’2 = 4. El á rea d e c a d a su b re c tá n g u lo es A A = y- A s í q u e
2 2
f í ( a - 3 y 2 ) í iA ^ ¿ ¿ / ( Á , - , y ; ) A A
* '= 1>=l
= / ( Á i , y ,) A A + f ( x u y2 ) A A + / ( Á 2, y i ) A A + / ( a 2, y 2) A A
= f ( \ , | ) A A + / ( I , \ ) A A + / ( | ) A A + f ( i i ) A A
= ( - S ) i + ( - « ) * + ( - ! » * + ( - « ) i
= - f = - 1 1 .875
P o r tan to , se t iene ff ( a - 3 y 2) d A « - 1 1 . 8 7 5
N O T A E n la s ig u ien te secc ió n se d e s a r r o l l a r á un m é t o d o e f icaz p a r a c a lc u la r i n te g r a -
les d o b le s , y lu e g o se v e r á q u e e l v a lo r e x a c to de la in te g ra l d o b le d e l e je m p lo 3 e s —12.
( R e c u e r d e q u e la in te rp re ta c ió n d e u n a in te g ra l d o b le c o m o un v o lu m e n e s v á l id a só lo
c u a n d o e l in teg ran d o / e s u n a función positiva. El in teg rando de l e je m p lo 3 no es u n a func ión
p o s i t iv a , a s í q u e su in te g ra l n o e s un v o lu m e n . E n los e j e m p lo s 2 y 3 d e la s e c -
c ió n 15.2, se e x p l i c a c ó m o in te rp re ta r las in teg ra le s d e fu n c io n e s q u e n o s i e m p re son p o s i -
t iva s en té rm in o s d e volúmenes.) Si se s igue d iv id ie n d o c a d a s u b r e c tá n g u lo d e la f igu ra 10
en c u a t r o su b re c tá n g u lo s m á s p e q u e ñ o s c o n fo rm a s im ila r , se o b t ie n e n las a p r o x im a c io n e s
SECCIÓN 15.1 I N T E G R A L E S D O B L E S S O B R E R E C T Á N G U L O S 9 7 9
Número de
subrectángulos
Aproximaciones de
la regla del punto
medio
1 -1 1 .5 0 0 0
4 -1 1 .8 7 5 0
16 - I 1.9687
64 -1 1 .9 9 2 2
256 - 11.9980
1024 - 1 1.9995
F IG U R A 11
d e la r e g la d e l p u n to m e d io m o s t r a d a s en la tab la de l m a rg e n . O b s e rv e c ó m o e s tas a p r o x i -
m a c io n e s t ie n d e n al v a lo r e x a c to d e la in teg ra l d o b le , — 12.
Valor promedio
R e c u e rd e d e la s e c c ió n 6 .5 q u e e l v a lo r p ro m e d io d e u n a fu n c ió n / d e u n a v a r iab le defin í
d a so b re un in te rv a lo [«, b] es
fp f 7 ( 0 d x— /7 *
D e u n a m a n e r a s im ila r se d e f in e e l v a l o r p r o m e d i o de u n a f u n c i ó n / d e d o s v a r ia b le s d e -
f in idas sobre un r e c tá n g u lo R c o m o
/pn»J»m
f ( x , y ) dA
d o n d e A(R) e s e l á r e a d e R.
Si f ( x , y) 2= 0 , la e cu a c ió n
i n d ic a q u e la c a j a c o n b a s e R y a l t u r a / pr»m t i e n e e l m i s m o v o l u m e n q u e e l s ó l i d o q u e
y a c e d e b a j o d e la g r á f i c a d e / [Si z = f ( x , y ) d e s c r i b e u n a r e g ió n m o n t a ñ o s a y se c o r -
tan las c im a s d e las m o n ta ñ a s a u n a altura/prom, e n to n c e s se p u e d e n u s a r p a r a l l e n a r los
v a l l e s d e m o d o q u e la r e g ió n se v u e l v a c o m p l e t a m e n t e p l a n a . V é a s e la f i g u r a 1 l.J
EJEM PLO 4 El m a p a d e c o n to r n o d e la figura 12 m u e s t r a la n iev e , en p u lg a d a s , q u e c a y ó
en e l e s t a d o d e C o lo r a d o e l 2 0 y 21 de d ic ie m b re d e 2 0 0 6 . (E l e s t a d o t iene la f o r m a de
un r e c tá n g u lo q u e m id e 3 8 8 m il l a s d e oes te a e s te y 2 7 6 m il la s d e su r a no r te ) . U se el
m a p a d e c o n to r n o p a r a e s t im a r la n iev e p ro m e d io p a ra C o lo ra d o e n e s o s d ías .
F IG U R A 12
SOLUCIÓN C o lo q u e e l o r ig en en la e s q u i n a su roes te d e l e s tad o . E n to n c e s O ^ - t ^ 388 ,
0 y =s 2 7 6 y f ( x , y) e s la n iev e , e n p u lg ad a s , en un lu g a r a x m i l la s al e s te y
CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
F IG U R A 13
y m i l la s al n o r te d e l o r igen . Si R e s e l r e c tá n g u lo q u e re p re se n ta a C o lo ra d o , e n to n c e s la
n iev e p r o m e d io p a r a e l e s t a d o e n t r e e l 2 0 y 21 d e d ic ie m b re fue
fp to m — f f /{•*■» }') d A
d o n d e A(R) = 3 8 8 • 276 . P a ra e s t im a r e l v a lo r de e s t a in te g ra l d o b le , se e m p le a r á la
r e g la d e l p u n to m e d io c o n m = /? = 4. En o t ras pa lab ras , se d iv id e R e n 16
s u b r e c tá n g u lo s d e ig u a l t a m a ñ o , c o m o e n la figura 13. E l á rea d e c a d a s u b r e c tá n g u lo es
AA = -¿<388)(276) = 6 6 9 3 m i2
A l u sa r e l m a p a d e c o n to r n o p a r a e s t im a r e l v a lo r de / e n e l c e n t r o d e c a d a
su b re c tá n g u lo , o b te n e m o s
f f f ( x , y) d A ~ ¿ ¿ f { x u yy) A Ai=l 7=1
^ A A [0 + 15 + 8 + 7 + 2 + 2 5 + 18.5 + 11
+ 4 .5 + 2 8 + 17 + 13.5 + 12 + 1 5 + 17.5 + 13]
= (6 6 9 3 ) (2 0 7 )
P o r tan to ,(6 6 9 3 ) (2 0 7 )
/pran (3 8 8 ) (2 7 6 )
E n tre e l 2 0 y 21 d e d i c i e m b r e d e 2 0 0 6 , C o lo r a d o r e c ib ió un p r o m e d io d e
a p r o x im a d a m e n te 13 p u lg a d a s d e n ieve.
SECCIÓN 15.1 I N T E G R A L E S D O B L E S S O B R E R E C T Á N G U L O S 9 8 1
Las integrales dobles se cjmportan de esta
manera debido a que las sumas dobles que las
originan se comportan de esa forma.
Prop iedades de la s in teg ra le s dobles
Se e n l i s ta n a q u í t re s p r o p ie d a d e s d e in teg ra le s d o b le s q u e se p u e d e n p ro b a r d e la m i s m a
m a n e r a q u e en la secc ió n 5.2. Se su p o n e q u e to d as las in te g ra le s e x is ten . L as p ro p ie d a d e s
7 y 8 se c o n o c e n c o m o l inea lidad d e la in tegral.
0 fí y ) + 9 ( x * y)]d A = ff /(*. y ) d A + ff s i * * y ) d A*R R 'Á
0 ff c f ( x , y) d A = c ff/( Xt y) d A d o n d e e e s u n a c o n s ta n te
Si f(Xy y) 3= g(Xy y) p a r a t o d a (x , y) e n R, en to n c es
0 ff f (X y y) d A > ff g(Xy y) d A
Ejercicios
1. a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la superficie
z = xy y arriba del rectángulo
R = {U , y) | O x ^ 6 ,0 ^ y 4}
Use una suma de Riemann con m = 3, n = 2 y tome el
punto muestra como la esquina superior derecha de cada
cuadrado.
b) Use la regla del punto medio para estimar el volumen del
sólido del inciso a).
2. Si R = LO, 4] X [—1, 2J, use una suma de Riemann con m = 4,
n = 2 para estimar el valor de 1 (1 — x y 2) dA. Tome los
puntos muestra que sean a) las esquinas derechas inferiores y
b) las esquinas izquierdas superiores de los rectángulos.
3. a) Use una suma de Riemann con m — n = 2 para estimar el
valor de jjR x e d A , donde R = [0, 2] X LO, 1J. Tome los
puntos muestra como las esquinas superiores derechas,
b) Use la regla del punto medio para estimar la integral del
inciso a).
4. a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la
superficie z = I + x2 + 3y y arriba del rectángulo
R = [ I , 2] X [0, 3]. Use una suma de Riemann con
m — n — 2 y elija como los puntos muestra a las esquinas
inferiores derechas,
b) Use la regla del punto medio para estimar el volumen del
inciso a).
5. Se da una tabla de valores para una función f ( x , y) definida en
R = LO, 4] X [ 2 ,4J.
a) Estime 11̂ f ( x , y) d A por medio de la regla del punto medio
con ni = n = 2.
15.1
b) Estime la integral doble con ni = n = 4 y elija los puntos
muestra más cercanos al origen.
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0 - 3 - 5 - 6 - 4 - 1
1 - 1 —2 - 3 - 1 1
2 1 0 - 1 1 4
3 2 2 1 3 7
4 3 4 2 5 9
6. Una alberca de 20 pies por 30 pies se llena con agua.
La profundidad se mide a intervalos de 5 pies, empezando
en una esquina de la alberca, y se registran los valores en una
tabla. Estime el volumen de agua en la alberca.
0 5 10 15 20 25 30
0 2 3 4 6 7 8 8
5 2 3 4 7 8 10 8
10 2 4 6 8 10 12 10
15 2 3 4 5 6 8 7
20 2 2 2 2 3 4 4
7. Sea V el volumen del sólido que yace debajo de la gráfica de
/(JE, y) = v'52 — X2 — y 2 y arriba del rectángulo dado por
2 < X ^ 4 , 2 ^ y ^ 6. Use las rectas x = 3 y y = 4 para
1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
9 8 2 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
dividir a R en subrectángulos. Sean L y U las sumas de
Riemann calculadas por medio de las esquinas inferiores
izquierdas y las esquinas superiores derechas, respectivamente.
Sin calcular los números V, L y U, dispóngalos en orden
creciente y explique su razonamiento.
8. En la figura se muestran las curvas de nivel de una fu n c ió n /e n
el cuadrado R = [0, 2J X [0, 2J. Use la regla del punto medio
con m = n = 2 para estimar jjR f { x , y) dA. ¿Cómo podría
mejorar su estimación?
9 . Se muestra un mapa de contorno para una fu n c ió n /so b re el
cuadrado R = [0, 4J X [0, 4J.
a) Use la regla del punto medio con m = n = 2 para est imar
el valor de jjR f ( x , y) dA.b) Estime el valor promedio d e / .
10 . En el mapa de contorno se muestra la temperatura, en grados
Fahrenheit, a las 16:00 del 26 de febrero de 2007, en
Colorado. (El estado mide 388 millas de este a oeste y 276
millas de norte a sur.) Use la regla del punto medio con
ni = n = 4 para est imar la temperatura promedio en Colorado
a esa hora.
11-13 Evalúe la integral doble identificándola primero com o el
volumen de un sólido.
11. JJr 3 d A R = {(.v, y) | - 2 sS .x í 2, 1 sS y ̂ 6}
12. (5 - x ) d A R = {(-x, y) | 0 sí .v 5, 0 y 3}
13. f f R ( 4 - 2y) d A , R = [0, 1] X [0, l]
14. La integral j f R y¡9 - y 2 dA, donde R = LO, 4] X [0, 2J,
representa el volumen de un sólido. Bosqueje el sólido.
15. Use una calculadora programable o computadora (o el
comando s u m e n un SAC) para est imar
(*(* / I + xe~y dA
'R
donde R = [0, 1J X [0, 1J. Use la regla del punto medio con
los siguientes números de cuadrados de igual tamaño: 1 ,4 , 16,
64, 256 y I 024.
16. Repita el ejercicio 15 para la integral |'|‘# sen(.v + v y ) dA-
17. S i / e s una función constante, f ( x , y) = k, y R = [«, b\ X Lc\ d],
demuestre que
|J k d A = k{b ~ a)(d - c )
*R
18. Utilice el resultado del ejercicio 17 para demostrar que
0 «S | (* sen 77 .veos t t y dA <
t
donde R - [0 , 7] X [ j , y]
Integrales iteradas
R e c u e rd e q u e u s u a lm e n te e s d i f íc i l e v a lu a r in teg ra le s s im p le s d i r e c ta m e n te d e la d e f in i -
c ió n d e u n a in teg ra l , p e ro e l t e o r e m a fu n d a m e n ta l d e l c á lc u lo p ro v e e un m é t o d o m u c h o
m á s fácil. L a e v a lu a c ió n d e in te g ra le s d o b le s a partir d e los p r im e ro s p r in c ip io s e s aún m á s
SECCIÓN 15.2 I N T E G R A L E S I T E R A D A S 9 8 3
d i f íc i l , p e r o e n e s t a s e c c ió n se v e c ó m o e x p r e s a r u n a in te g ra l d o b le c o m o u n a in te g ra l
i te rad a , q u e se p u e d e e v a lu a r c a l c u l a n d o d o s in te g ra le s s im ples .
S u p o n g a q u e / e s u n a fu n c ió n d e d o s v a r ia b le s q u e e s in te g rab le so b re e l r e c tá n g u lo
R = [a, b] X [c, d]. Se u s a la n o ta c ió n / / / ( * , y) d y p a ra i n d ic a r q u e x se m a n t ie n e fija y
f ( x , y) se in te g ra r e sp e c to a y a p a r t i r d e y = c h a s t a y = d. E s te p ro c e d im ie n to se l lam a
integración parcial respecto a y. (O b se rv e su simili tud con la d e r iv ac ió n parcial .) A h o r a
/ / / ( * * ^ d y e s un n ú m e r o q u e d e p e n d e d e l v a lo r d e x, a s í q u e d e f in e u n a fu n c ió n d e x.
A(.v) = \* f ( x 9 y) dyJe
Si a h o r a se i n te g ra la fu n c ió n A r e sp e c to a * a p a r t i r d e x = a h a s t a x = b, se ob t ien e
□ f A ( x ) d x - (*>A »ít
j V ( v, y) dy dx
L a in te g ra l d e l lad o d e r e c h o d e la e c u a c ió n l se l la m a i n t e g r a l i t e r a d a . P o r lo c o m ú n , se
o m ite n los c o rc h e te s . A s í ,
0 j ; PV(*. y» dydx = £ ̂ fV(̂ . y) dy j dx
i n d i c a q u e p r i m e r o se i n t e g r a r e s p e c t o a y a p a r t i r de c h a s t a d, y l u e g o r e s p e c t o a x
d e s d e a h a s t a b.
D e m a n e r a s im ila r , la in te g ra l i te rad a
/ ( .v , y ) d .v j dy
s ig n i f ic a q u e p r im e ro se i n te g ra r e sp e c to a x (m a n te n i e n d o fija y) d e s d e x = a a x = b y
d e s p u é s se i n te g ra la fu n c ió n r e su l ta n te d e y r e sp e c to a y d e y = c h a s t a y = d. O b s e rv e
q u e e n las e c u a c io n e s 2 y 3 se t r a b a ja d e dentro hacia fuera.
B H 5 I 3 I D E v a lú e las in te g ra le s i te radas.
a) f 3 f~.v2y d y d x b) í " f 3 x 2y d x d yJo J i Ji Jo
SOLUCIÓN
a) Si se c o n s i d e r a x c o m o u n a c o n s ta n te , se ob t ien e
]_ ̂ t) - <(t ) - ̂A sí , la fu n c ió n A en la e x p l i c a c ió n a n te r io r e s tá d a d a p o r A(.í) = -¡x2 e n e s te e je m p lo .
A h o r a in te g r a m o s e s t a fu n c ió n d e Arde 0 a 3
dx
= í5̂ = t T}o 2 J o
27
o
9 8 4 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
b ) A q u í se i n te g ra p r im e r o r e sp e c to a x.
f £ v2>’dx =f [£ dx] dy=£ [Ty\ j y= \j \ y d y = 9 —
O b s e r v e q u e e n e l e j e m p lo 1 se o b t ie n e la m is m a r e s p u e s t a si se i n te g ra p r im e r o r e s -
p e c to a y o x. E n g e n e ra l , r e su l ta (v é ase e l t e o r e m a 4 ) q u e las d o s in te g ra le s i te rad a s d e las
e c u a c io n e s 2 y 3 son s i e m p re igua les : e s d e c i r , no im p o r t a e l o rd en d e in teg rac ió n . (E sto
e s s im ila r al t e o r e m a d e C la i r a u t e n la ig u a ld a d d s las d e r iv a d a s p a rc ia le s m ix ta s ) .
E n e l s ig u ien te t e o r e m a se d a un m é lu d o p rác t ico p a r a e v a lu a r u n a in legi al d o b le e x p r e -
s á n d o la c o m o u n a in te g ra l i te r a d a (en c u a lq u ie r orden).
El nombre del teorema 4 es en honor al
matemático italiano Guido Fubini(1879-1943).
quien demostró una versión muygeneral de
este teorema en 1907. Pero casi un siglo antes,
el matemático francés Augustin-Louis Cauchy
tenía conocimiento de la versión para funciones
continuas.
[~4~] Teorema de Fubini S i / e s c o n t i n u a en e l rec tán g u lo
R = {(.v, y) | a ^ x ^ b, c ^ y =£ d } , e n to n c es
( j / ( * , y) dA = f* f df ( x , y) d y dx = [ * / ( * , y) d x dyJ J J a J e J e J a
R
E n té rm in o s g e n e ra le s , e s to e s c ie r to si se su p o n e q u e / e s t á a c o t a d a so b re R , f e s
d i s c o n t in u a só lo e n un n ú m e r o finito d e c u rv as s u a v e s y las in te g ra le s i te rad as
e x is ten .
L a d e m o s t r a c ió n d e l t e o r e m a d e Fu b in i e s m u y d i f íc i l p a r a in c lu i r la e n e s te l ib ro , pe ro
al m e n o s se p u e d e d a r u n a in d ic a c ió n in tu i t iv a de p o r q u é se c u m p le p a r a e l c a s o d o n d e /
(x , y ) ^ O. R e c u e rd e q u e si / e s p o s i t iv a , e n to n c es se p u e d e in te rp re ta r la in te g ra l d o b le
/ Í r / ( * ’ y) dA c o m o el v o lu m e n V d e l só l id o 5 que e s tá a r r ib a d e R y d e b a jo d e la s u p e r f i -
c ie r = f ( x , y) . P e ro se t iene o t ra f ó r m u la q u e se u só p a r a e l v o lu m e n e n e l c a p í tu lo 6, a
sab e r ,
A(x)dxJét
EE3 Visual 152 ilustra el teorema de Fubini
mostrando una animación de las figuras 1 y 2.
d o n d e A(a:) e s e l á rea d e u n a secc ió n t r a n sv e rsa l de S e n e l p la n o q u e p a sa p o r x y e s p e r -
p e n d ic u l a r al e je x. D e la f ig u ra 1 se p u e d e v e r que A ( a t ) e s e l á rea b a jo la c u r v a C c u y a
e c u a c ió n es z = f ( x , y ) , d o n d e x se m a n t ie n e co n s tan te y c y d. P o r tan to ,
y t e n e m o s
A(x)= \df ( x t y)dy
ff f ( x , y) dA = V = P A(.v) dx = P fV(.v, y) d y dx
U n a r g u m e n to s im ila r , c o n se c c io n e s t ran s v e r sa le s p e rp e n d ic u la re s al e je y c o m o en la
f ig u ra 2 , m u e s t r a q u e
J J / ( .v , y) dA = f* f V ( .v , y) d x dy
FIGURA 1
SECCIÓN 15.2 I N T E G R A L E S I T E R A D A S 9 8 5
Q | 2 ü i í l ü ¡ H E v a lú e la in te g ra l d o b le J j^ (.v — 3 y 2 )d A , d o n d e
R = { ( .v , y ) | O x 2 , 1 y 2}. (C o m p a re c o n e l e j e m p lo 3 d e la secc ió n 15.1).
Observe la respuesta negativa del ejemplo 2; no SOLUCIÓN 1 El t e o r e m a d e F u b in i d a hay nada malo con eso. La función/en ese
ejemplo no es una fundón positiva, así que su <v c2 C2 ■> f 2 í , i >=2integral no representa un volumen. De la figura 3 J J — 3 y ' ^ = J Q (x ~ ty ) dy dx = [ .v y — y J >=1 dxse ve que/ es siempre negativa en R, así que Rel volumen de la integral es el negativo del
volumen que yace arriba de la gráfica d e /y
debajo de R.í 2 (.v - 7 ) d x Jo H 'z Jo
12
FIGURA 3
Para una función/que tone valores positivos
y negativos. JJ, f ( x , y) dA es una diferencia
de volúmenes: V, - Vx, donde V, es el
volumen arriba de R y abajo de la gráfica d e /
y es el volumen debajo de R y arriba de la
gráfica. El hecho de que la integral del ejemplo
3 sea 0, significa que estos dos volúmenes
son iguales. (Véase la figura 4.)
SOLUCIÓN 2 A l a p l ic a r d e n u e v o e l t e o r e m a de F u b in i , p e ro e s t a vez in te g r a n d o p r im e ro
r e sp e c to a x , se ob t iene
ff (x - 3y2)dA = f‘ f" (x - 3 y 2)d x d yJv > i »o
= f ' (2 - óy2 ) rfy = 2y - 2 y 3]; = - 1 2 ■
Q E E S E U H E v a lú e j j Ry sen(.vy) d A , d o n d e R = [ 1 , 2 ] X [O, ir\.
SOLUCIÓN 1 Si se i n te g ra p r im e r o re sp e c to <xx, se ob t ien e
ff y s e n ( .v v ) ú M = J * J ‘ y s e n ( x y ) d x d y = J ' [ - c o s ( . n ) ] ” i d y
%K
= | X ( —e o s 2 y +• e o s y ) d y
| 14T
= — 2 sen 2 y + sen y j 0 = O
SOLUCIÓN 2 Si se in v ie r te e l o rd en d e in te g rac ió n , se ob t ien e
|*|* y s e n ( .r y ) d A = I f * y s e n ( .v y ) d y d x
K
P a ra e v a lu a r la in te g ra l in te r io r se e m p l e a la in te g rac ió n p o r p a r te s c o n
u = v
d u — d y
d v = sen ( x y ) d y
cos(.vy)
r - y c o s ( .w ) I 1 r*' , p o r tan to , y sen(.vy) d y = — ------------1— I + — | c o s ( x y ) d y
Jo x J y-0 x «o
t t c o s t t x I r w— -------------------- + — [sen ( vy)Jv.I— 1
c2 c~ y r sen '̂ ■■*■1Ji Jo y s e n \x y > d y d x ~ I — - — I
sen 2 7r
2+ sen 77 = O
| E H 5 B C E H E n c u e n t r e e l v o lu m e n d e l só l id o S a c o ta d o p o r e l p a ra b o lo id e e l íp t ico
x 2 + 2 y2 + z = 16, los p la n o s x = 2 y y = 2 y los t res p la n o s c o o rd e n a d o s .
SOLUCIÓN P r im e ro se o b s e r v a q u e S es e l só l id o q u e y a c e d e b a jo d e la su p e r f ic ie z = 1 6
— x2 — 2y 2 y a r r ib a d e l c u a d r a d o R = [O, 2] X [0 ,2 J . (V é a s e la f ig u ra 5.) E s te só l id o se
c o n s id e r ó e n e l e j e m p lo 1 de la secc ió n 15.1, p e rc a h o r a se e s tá e n p o s ic ió n d e e v a lu a r la
in te g ra l d o b le p o r m e d io d e l t e o r e m a d e Fub in i . Por tan to ,
V = f f (16 - .v2 - 2 y 2) d A = f 2 f 2 (16 - * 2 - 2 y 2) d x d yJJ Jo JoR
= fo2 [ l 6 . v - } . r 3 - 2 y2x \ ~ ^ d y
= f 2 ( t - V ) dy = [ f y - j y 3]ó = 4 8 � �V O
E n el c a s o e s p e c ia l d o n d e / ( a ; y ) se p u e d e fac to r iza r c o m o e l p r o d u c to d e u n a fu n c ión
d e x y u n a fu n c ió n d e y, la in te g ra l d o b le d e / se p u e d e e sc r ib i r e n u n a f o r m a p a r t i c u l a r -
m e n te s im ple . P a ra ser e s p e c í f ic o s , s u p o n g a q u e f ( x , y ) = g (x )h (y ) y R = [« , b] X [c, d].
E n to n c e s e l t e o r e m a d e Fu b in i d a
f f f ( x , y) d A = f rf f % ( . v ) / z í y ) d x dy = f * \ bg{x)h{y) dx dy*v J e Ja Je |^* 'a !
E n la in teg ra l in te r io r , y e s u n a co n s tan te , a s í q u e h (y ) es u n a c o n s ta n te y se p u e d e e sc r ib i r
f dy = f* j dy = ¡*9(x)dx j*h(y)dy
p u e s to q u e j* g{x) d x e s u n a c o n s ta n te . En c o n s e c u e n c ia , e n e s te c a s o , la in te g ra l d o b le de
/ s e p u e d e e sc r ib i r c o m o e l p ro d u c to d e d o s in te g ra le s s im ples :
|~5~| f f g{x)h{y) dA = f b g(x) dx f ¿ /l(y) d y d o n d e R = [a, b] X [c, d]
%R
SECCIÓN 15.2 I N T E G R A L E S I T E R A D A S 9 8 7
EJEM PLO 5
La función/ ( a , y) = sen x eos y en el
ejemplo 5 es positiva sobre R. así que la integral
representa el volumen del sólido que está arriba
de R y abajo de la gráfica rostrada
en la figura 6.
FIGURA 6
Si R = [O, i r / 2 ] X [O, 7 r / 2 ] , e n to n c es , m e d ia n te la e c u a c ió n 5,
f f sen x e o s y d A = f ̂ sen x d x f ̂ e o s y d y JJ Jo Jo •H
= [ — e o s [sen y ]o ^ = I * I = I
xjn
Ejercicios
1-2 Determine J05/ U y) d x y /„ ' / (* . y) dy.
1. / ( x , y) = 12x2y 3 2. / ( x , y ) = y + A**
3-14 Calcule la integral iterada.
3. f* £2 (6x2y - 2.x) d y d x 4. f j f 2 (4.x3 - 9.x2y 2) d y d x
6. f V2 f 5 eos y d x d y Jn/6 J—1
5. f 2 í * y 3e 2xd y d x Jo Jo
7. f I* (y + y 2 eos .x) d x d y 8. | f — — d y d xJ-3 Jo Ji Ji xy
9. f* f ( - + - ) d y d x 10. f ‘ V e x+* d x d yJ i J i \ y x ) Jo Jo
11. f f v(u + v2)* du dv 12. I f .xyv x2 + y 2 dy dxJo Jo Jo Jo
13. | í r s e n 2Qíi6dr Jo Jo
14. í ' f ' J s + t ds d tJa Ja
15-22 Calcule la integral doble.
15. | f sen(.v — y) dA, R = {(.v, y) | O «3 v <£ ” / 2 , O <S¡ y *£> ~ / 2 }
16. ff (y + .xy'2) dA, R = {(a, y) | O ^ .x ^ 2, 1 ^ y ^ 2}
17. f f —P-— dA , R = {(.x, y) | O ^ .x ^ I, - 3 í y $ 3} J* x + 1
18. f f 1 + \ dA, R = {(.x,y) | O ^ .x ^ 1 ,0 < y ^ 1}l + y
19. f f a sen (.v + y ) dA, R = [O , 7 r/b ] X [O, t t / 3 ]
20. f f - dA, R = [O, 1] X [O, l lJJ I + xy
21. f f ye~*>dA, R = [ 0 ,2 ] X [0 ,3 ]
dA , R = [ 1 ,3 ] X [1 ,2 ]22. f f '1 + .x + y
23-24 Bosqueje el sólido cuyo volumen está dado por la integral
iterada.
23. f f (4 - a - 2y) d x d y Jo Jo
24. ( ' f ' ( 2 - A-2 - y 2) d y d xJ a J a
25. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del
plano 4.v + 6y — 2: + 15 = 0 y arriba del rectángulo
R = {(a,y) | - 1 sí x «3 2, —i s = y s = l}.
26. Determine el volumen del sólido que está debajo del
paraboloide hiperbólico z = 3y2 — x 2 + 2 arriba
del rectángulo R = [ —1, 1J X LL 2].
m S e r e q u ie re c a lc u la d o ra g ra f ic a d o ra o c o m p u ta d o ra |SACjS e re q u ie re s is te m a a lg e b ra ic o c o m p u ta r iz a d o 1 . T a re a s s u g e r id a s d i s p o n ib le s e n s te w a r tc a lc u lu s .c o m
9 8 8 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
27. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del
paraboloide elíptico a t /4 + y 2/ 9 + z = I y arriba
del rectángulo R = [ —1, 1] X [ — 2, 2J.
28. Encuentre el volumen del sólido encerrado por la superficie
z = 1 + ex sen y y los planos x = ± I , y = 0, y = 77
y - = 0.
29. Determine el volumen del sólido encerrado por la superficie
z = x sec2y y los planos r = 0 , a = 0, x = 2, y = 0
y y = 7 7 / 4 .
30. Encuentre el volumen del sólido en el primer octante limitado
por el cil indro z — 16 — x2 y el plano y = 5.
31. Encuentre el volumen del sólido encerrado por el paraboloide
z = 2 + x2 + (y — 2)2 y los planos z — l , x = 1, x — — 1,
y = 0 y y = 4.
Kri 32. Grafique el sólido que se encuentra entre la superficie
r = 2 x y / (x 1 + 1) y el plano z = x + 2y y está acotado por
los planos x = 0, x = 2, y = 0 y y = 4. A continuación
encuentre su volumen.
|S¿r| 33. Use un sistema algebraico computarizado para hallare! valor
exacto de la integral jfR Xsy 3e*ydA , donde R = LO, 1J X [0, 1J.
Después use el SAC para dibujar
el sólido cuyo volumen está dado por la integral.
34. Grafique el sólido que yace entre las superficies
r = e~* c o s ( a 2 + y 2) y : = 2 - x 2 - y 2 para | A' | ^ 1,
| y | < 1. Use un sistema algebraico computarizado para
aproximar el volumen de este sólido a cuatro decimales.
35-36 Encuentre el valer promedio de / s o b r e el rectángulo dado.
35. f ( x , y) = x y , R tiene vértices ( —1,0 ), ( —1, 5), (1, 5), (1 ,0 )
36. f ( x , y) = e \ / 7 T 7 y , R = [0 ,4 ] X [0 , l]
37-38 Utilice la simetría para evaluar la integral doble.
37. f f A> A dA , R = { ( x , y) | - I s Sx s S 1 ,0 1}
R V
38. l( (l + a 2 sen y + y 2s e n x ) d A , K— [ — 77, 77] X [ —77, 77]
R
\ 39. Use un SAC para calcular las integrales iteradas
f i ' - "— '— d y d x y f P - ~— ^-7 d x d y Jo Jo (x + y)3 Jo Jo (X + y)3
¿Las respuestas contradicen al teorema de Fubini? Explique lo
que sucede.
40. a) ¿En qué forma los teoremas de Fubini y Clairaut son
similares?
b) Si f { x , y ) es continua en L«, b] X Le, d] y
g{.\, y) = f x P f ( s , t ) dtds•'« Je
para a < x < b , c < y < d, demuestre que gv = gyx = f ( x , y).
Integrales dobles sobre regiones generales
P a ra in te g ra le s s im p le s , la re g ió n so b re la q u e se i n te g ra e s s i e m p re un in te rva lo . Pe ro
p a r a in te g ra le s d o b le s , se d e s e a p o d e r in te g ra r una fu n c ió n / n o só lo so b re re c tán g u lo s ,
s in o tnm hién so b re r e g io n e s D d e fo rm a m á s genera l , c o m o la q u e se i lu s tra en la f igu ra I
S u p o n e m o s q u e D e s u n a re g ió n a co ta d a , lo q u e s ig n i f ic a q u e D p u e d e ser e n c e r r a d a en
u n a re g ió n re c ta n g u la r R c o m o e n la f ig u ra 2. E n to n c e s se d e f in e u n a n u e v a fu n c ió n F c o n
d o m in i o R m ed ia n te
m nsi (a ; y ) e s tá e n D
si ( a ; y ) e s tá e n R p e ro n o e n D
F I G U R A 1 F IG U R A 2
SECCIÓN 15.3 IN T EG R A .ES DOBLES SOBRE REGIONES GEN ERALES 989
Si F e s in te g rab le so b re R y e n to n c e s se d e f in e la i n t e g r a l d o b l e d e / s o b r e D m ed ia n te
FIGURA 3
FIGURA 4
0 ff /(.v, y) dA = [f F{xy y) d A d o n d e F e s t á d a d a p o r la e c u a c ió n 1
L a d e f in ic ió n 2 t iene s e n t id o p o rq u e R es un r e c tá n g u lo y , p o r tan to , f fR F(x9 y) dA h a
s id o d e f in id a p re v ia m e n te e n la secc ió n 15.1. E l p ro c e d im ie n to q u e se u só e s razo n a b le
p o rq u e los v a lo re s de F(x , y) son 0 c u a n d o (x, y) e s t á fu e ra d e D y , p o r c o n s ig u ie n t e , no
c o n t r ib u y e n a la in tegral . E s to s ig n i f ic a q u e n o im p o r t a q u é r e c tá n g u lo R se u se , s iem p re
y c u a n d o c o n te n g a a D.
E n el c a s o q u e f { x , y) > 0 , aún se p u e d e i n te rp re ta r a j jD f{ x , y) dA c o m o e l v o lu m e n
d e l só l id o q u e e s tá a r r ib a d e D y d e b a jo de la su p e r f ic ie z = / ( * , y) ( la g rá f ica d e / ) .
Se p u e d e v e r q u e e s to e s r a z o n a b le si se c o m p a ra n las g rá f ic a s de f y F en las f ig u ras 3
y 4 y se r e c u e r d a q u e JJ^ F(x, y) dA e s e l v o lu m e n d e b a jo d e la g rá f ic a d e F.
E n la f ig u ra 4 se m u e s t r a ta m b ié n q u e es p ro b a b le q u e F t e n g a d i s c o n t in u id a d e s en los
p u n to s l ím i te d e D. S in e m b a r g o , si f e s c o n t in u a so b re D y la c u r v a f ro n te ra d e D t iene un
“ b u e n c o m p o r t a m i e n t o ” (en un s e n t id o fuera d e l a lc an c e d e e s te l ib ro ) , e n to n c e s se p u e d e
d e m o s t r a r q u e JJ^ F ( .r , y) dA e x is te y , p o r tanto , j jD f ( x , y) d A ex is te . En p a r t icu la r , e s te es
e l c a s o p a r a los s ig u ien te s t ipos de reg io n es .
Se d ice q u e u n a re g ió n p la n a D e s t ip o I s. y a c e e n t r e las g rá f ic a s d e d o s fu n c io n e s c o n -
t in u a s d e x, e s dec ir ,
{(.v, y) | a x by gi(x) =s y ̂ 92Í.V)}d o n d e g\ y gi son c o n t in u a s so b re [« , bJ. A lg u n o s e je m p lo s d e r e g io n e s t ip o I se m u es tra n
en la f ig u ra 5.
FIGURA 5 Algunas regiones tipo I
A fin d e e v a lu a r j fD / ( .v , y) dA c u a n d o D es u n a re g ió n d e t ipo I, se e l ig e un r e c tá n g u lo
R = [a, b ] X [c, d] q u e c o n t ie n e a D , c o m o e n la f ig u ra 6, y sea F la fu n c ió n d a d a p o r la
e c u a c ió n 1: e s d e c i r , F c o n c u e r d a c o n / sobre D y F e s 0 fu e ra d e D. E n to n c e s , p o r e l t e o -
r e m a d e F u b in i ,
J J f { x , y) dA = J J F(x, y ) dA = f J ' F(x, y) d y d x
O b s e rv e q u e F (x , y) = 0 si y < gi(x) o y > gi{x) p o rq u e e n to n c e s (*, y) e s tá fu e ra d e D.
P o r tan to ,
i* Fix, y) d y = F{x, y) d y = y) d yJe Jg>U)
F IG U R A 6 p o rq u e F(x , y ) = f ( x , y) c u a n d o ^i(.r) y =s g2(x). A s í , se t ien e la s ig u ien te f ó r m u la q u e
p e rm i te e v a lu a r la in te g ra l d o b le c o m o u n a in teg ra l i te rada .
9 9 0 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
--
x = hx ( y ) x = h2(y)
F IG U R A 7
Algunas regiones tipo
|~3~| Si / e s c o n t i n u a so b re u n a re g ió n D t ipo I tal que
D = {(.v, y) | a x b, gi(x) ^ y ^ g2(.v)}
e n to n c e s ff /(*> y ) d A = f * \'""'f(x, y) dy dxJ J Ja Jg,(x)D
L a in te g ra l d e l la d o d e r e c h o d e [T| e s u n a in teg ra l i te rad a q u e es s im ila r a las c o n s i d e -
r a d a s en la s e c c ió n an te r io r , e x c e p to q u e e n la in teg ra l in te r io r se c o n s id e r a x c o m o u n a
c o n s ta n te n o só lo en f ( x , y ) , s ino ta m b ié n e n los l ím ites d e in te g rac ió n , <7i(x) y gi{x).
Se c o n s id e r a n ta m b ié n las r e g io n e s p lan a s t ip o I I , q u e se p u e d e n e x p r e s a r c o m o
0 D = {(*» y) | c y dy A,(y) .v ̂ /i2(y)}
d o n d e h\ y /?2 son c o n t in u a s . E n la f ig u ra 7 se i lus tran d o s r e g io n e s d e e s te t ipo.
Si se u s a n los m i s m o s m é t o d o s q u e se e m p l e a r o n p a r a e s t a b l e c e r [3] , se p u e d e
d e m o s t r a r q u e
0 ff f (x , y) dA = f r ’7(,, y) dx dyJ J Je Jft.(y)
d o n d e D e s u n a re g ió n t ipo II d a d a p o r la ecu a c ió n 4.
Q E f f l M l E v a lú e jjD (.v 4- 2y) dA, d o n d e D e s la re g ió n a c o t a d a p o r las p a rá b o la s
y = 2 a t y y = 1 4- x 1.
SOLUCIÓN L a s p a rá b o la s se c o r ta n c u a n d o 2 ; r = 1 4- j t , e s d e c i r , x 1 = 1: p o r tan to ,
x = ± 1. Se n o ta q u e la re g ió n D , b o s q u e j a d a en la f ig u ra 8, e s u n a re g ió n t ip o I, p e ro
n o u n a re g ió n t ip o II, y se p u e d e e sc r ib i r
D = { ( * » y) \ - 1 ^ x =5 1 , 2 x 2 =£ y 1 4- .v2}
P u e s to q u e la f r o n te ra in fe r io r e s y = y la f ro n te ra s u p e r io r e s y = 1: + nr, la
e c u a c ió n 3 d a
ff (.v 4 - 2 y ) d A = P Í‘+T (x + 2y) d y d xJJ J —1 Jlx2D
= [xy + y2]%̂dx
= P [.V( 1 4- X2) 4- (1 4- .v2)2 - x ( 2 x 2) - ( 2 x 2)2] d x» — I
= ( — 3.v4 - x 3 + 2:c2 + .v + 1) dx
X5 V4 X 3 X2 T= - 3 ----------- 4 - 2 -4- ------+ X \
5 4 3 2 J_32
15
SECCIÓN 15.3 I N T E G R A . E S D O B L E S S OBRE R E G I O N E S G E N E R A L E S 9 9 1
F IG U R A 9
D e s una re g ió n t ip o I
F IG U R A 10
D c o m o una re g ió n tipo 11
En la figura 11 se muestra el sólido cuyo
volumen se calcula en el ejemplo 2. Está
arriba del plano xy, debajo del paraboloide
z = jt2 + / y entre el plano y = 2 * y el
cilindro parabólico y = x2.
-A
N O T A C u a n d o se p la n te a u n a in te g ra l d c b le c o rn o en e l e je m p lo 1, e s e se n c ia l d ib u ja r
un d ia g ra m a . A m e n u d o e s ú t i l d ib u ja r u n a f lecha v e r t ic a l c o m o e n la f ig u ra 8. E n to n c e s
los l ím i te s de in te g rac ió n d e la in te g ra l interna se leen d e l d i a g r a m a c o m o sigue: la f lecha
c o m i e n z a e n e l l ím i te i n f e r io r y = gi(x), q u e d a e l l ím i te i n f e r io r e n la i n te g r a l , y la f l e -
c h a t e r m in a e n e l l ím ite s u p e r io r y = 02C*)» que d a e l l ím ite su p e r io r d e in teg rac ió n . Pa ra
u n a re g ió n t ipo I I , la f le c h a se t r az a h o r iz o n ta lm e n te d e l l ím ite i z q u ie rd o al d e rec h o .
E n c u e n t r e e l v o lu m e n d e l só l ido q u e y a ce d e b a jo d e l p a ra b o lo id e
z = x 1 + y 2 y a r r ib a d e la re g ió n D en e l p lano xy a c o ta d o p o r la r e c ta y = 2 x y la
p a r á b o la y = x1.
SOLUCIÓN 1 En la f ig u ra 9 se v e q u e D e s u n a re g ió n t ipo I y
D = {(.v, y) | O j 2 , .v2 2.v}
P o r tan to , e l v o lu m e n d e b a jo de : = x1 + y2 y a r r ib a d e D es
V = (\ (x2 + y2 )dA = f " [ x (x2 + y 2)dydxJO J x 2
D
.y7 .y5 7 t 4 T _ 2 1 6
i T - T + - J 0 - ! F -
SOLUCIÓN 2 D e la f ig u ra 10 se ve q u e D puede e sc r ib i r se ta m b ié n c o m o u n a re g ió n
t ipo I I :
D = {(.v, y) | O s y =s 4 , j y s * =s J y }
P o r tan to , o t ra e x p re s ió n p a r a V es
V = ( j ( x 2 + y 2)dA = £ f ' J ( x 2 + y 2) d x d y
b
EJEM PLO 2
F IG U R A 11 - i . v 5/2 , 2 7 / 2 _ 13 4j4 _ 216— 15 y + 7 y 96y jo — 35
9 9 2 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
Q EfflJEH E v a lú e j jD xy dA, d o n d e D e s la reg ión a c o ta d a p o r la r e c ta y = x — 1 y
la p a r á b o la y 2 = 2 x + 6.
SOLUCIÓN L a re g ió n D se m u e s t r a e n la f ig u ra 12. D e n u e v o D e s t ip o I y t ipo II, p e ro la
d e sc r ip c ió n d e D c o m o u n a re g ió n t ip o I e s m á s c o m p l i c a d a p o rq u e e l l ím i te in fe r io r
c o n s t a d e d o s par tes . P o r tan to , se p re f ie re e x p re sa r a D c o m o u n a re g ió n t ipo II:
F IG U R A 12
y j
.v + 2 y = 2
1 . (o y = 1 — x ¡ 2 )
/D > (1 .4 )
^ y = x / 2
0i r1 v
a) D como una región tipo I
E n to n c e s [T\ d a
b) D como una región tipo II
f f * » " = 1 1 [ t y L - ,
= í Í S b + O 2 - ( J y 2 - 3 ) 2] r fy
d y
c (
i[
+ 4 y 3 +
- + y 4 + 2 — 2 4 3
2y2 - 8y j
-36
Si se h u b ie r a e x p r e s a d o a D c o m o u n a re g ió n tipo I p o r m e d io de la f ig u ra 12a),
e n to n c e s se h a b r ía o b ten id o
j j xy dA = J - ‘ xy d y d x + £ j ^ x y d y d x*D
p e ro e s to h a b r ía re q u e r id o m á s t r ab a jo q u e e l o tro m é to d o .
EJEM PLO 4 E n c u e n t r e e l v o lu m e n d e l te t r a e d ro a co tad o p o r los p la n o s x + 2y + z = 2,
x = 2y, x = 0 y z = 0.
SOLUCIÓN E n u n a p r e g u n ta c o m o é s ta , e s a co n se jab le d ib u ja r d o s d ia g ra m a s : u n a de l
só l id o t r id im e n s io n a l y o t ra d e la re g ió n p l a n a D sobre la c u a l y ace . E n la f ig u ra 13 se
m u e s t r a e l te t r a e d ro T a c o ta d o p o r los p la n o s c o o r d e n a d o s x = 0 , z = 0 , e l p la n o ve r t ica l
x = 2 y y e l p la n o x + 2 y + z = 2. P u e s to q u e e l p lano x + 2y + z = 2 c o r t a al p la n o xy
( c u y a e c u a c ió n e s r = 0 ) en la r e c ta x + 2y = 2 , se ve q u e T e s tá a r r ib a d e la reg ión
t r ia n g u la r D en e l p la n o xy a c o ta d o p o r las re c ta s x = 2y, x + 2y = 2 y x = 0. (V é a s e la
f ig u ra 14).
E l p la n o x + 2 y 4* z = 2 se p u e d e e sc r ib i r c o m o z = 2 — x — 2y , a s í q u e e l v o lu m e n
re q u e r id o se lo c a l iz a d e b a jo d e la g rá f ic a d e la func ión z = 2 — x — 2 y y a r r ib a de
F IG U R A 14 {(.V , y) I 0 ss x «s 1, x/2 í y í l - x/2¡
SECCIÓN 15.3 I N T E G R A . E S D O B L E S S OBRE R E G I O N E S G E N E R A L E S 9 9 3
F IG U R A 15
D como una región tipo I
F IG U R A 16
D como una región tipo II
P o r c o n s ig u ie n te ,
V = f f (2 - x - 2y) dA
/•I f l-x / 2
f í , 2Jo Jx/2\y) d y dx
f l , ] ' 1( .V 2 - 2 x + 1) d x ---------- .V2 + x I - —
Jo 3 J() 3
dx
□ E J E M P L O 5 E v a lú e la in te g ra l i te r a d a /q J J sen ( y ~ )d y d :
SOLUCIÓN Si se in tenta ev a lu a r la integral c o m o ésta, se en fren ta la tarea d e eva luar pr im ero
J sen ( y 2) ¿/y. P e ro e s im p o s ib le h a c e r lo e n t é rm in o s f in i to s , p u e s to q u e J sen ( y 2) d y n o es
u n a fu n c ió n e le m en ta l . (V é a s e e l fin d e la secc ión 7 .5 .) A s í q u e se d e b e c a m b i a r e l o rden
d e in te g rac ió n . E s to se l le v a a c a b o al e x p re sa r p r im e r o la in te g ra l i te r a d a d a d a c o m o u n a
in te g ra l d o b le . Si se u s a [T] h a c i a a trás , se tiene
f f sen (y 2) d y d x = 11 sen ( y 2 ) dAD
d o n d e D = { ( .v , y) | 0 «s .r 1, x y l}
Se b o s q u e j a e s ta re g ió n D en la f ig u ra 15. D e sp u é s , d e la f ig u ra 16 se ve q u e u n a
d e sc r ip c ió n a l t e rn a t iv a de D es
D = { ( * , y ) | 0 ^ y «s 1 , O « * «s y }
E s to p e rm i te u sa r [5 ] p a r a e x p r e s a r la in teg ra l d o b le c o m o u n a in te g ra l i te rad a
en e l o rd e n inverso :
| f sen ( y 2) d y d x = | | sen ( y 2) JA
o
= C í Vs e n ( y 2) í / j c í / y = f [ j c s e n ( y 2) ] ^ dy+ i) » U u
= y s e n ( y 2) d y = — í c o s ( y 2)]ó = t { 1 - e o s l )
Prop iedades de la s in teg ra le s dobles
S u p o n e m o s q u e to d a s las s ig u ien te s in teg ra le s e x is ten . L as tres p r im e r a s p r o p ie d a d e s de
las in te g ra le s d o b le s so b re u n a re g ió n D se d e d u c e n d e in m e d ia to de la d e f in ic ió n 2 y las
p r o p ie d a d e s 7 , 8 y 9 en la s e c c ió n 15.1.
f f [ / ( * . y) + g(X, y)] dA = f f f ( x , y ) dA + f f g(\\ y ) dAD D D
f f c f { x , y ) dA = c f f / ( . v , y ) dA
9 9 4 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
Si /( .r , y) > g(x, y) p a r a t o d a (x , y ) e n D , e n to n c es
H ff /(*» y)dA > JJ 0U. y)
L a s ig u ien te p ro p ie d a d d e las in te g ra le s d o b les es s im ila r a la p ro p ied a d de las i n te g r a -
les s im p le s d a d a p o r la e c u a c ió n J *f(x) dx = J*f(x) dx + j*f(x) dx.Si D = Di U Dz, d o n d e D i y Dz no se t ra s lap an , e x c e p to q u iz á s e n sus l ím ite s (v é ase
la f ig u ra 17), e n to n c e s
0
L a p ro p ie d a d 9 se p u e d e u sa r p a ra e v a lu a r las in te g ra le s d o b le s e n las r e g io n e s D
q u e no son ni t ipo I ni II, p e ro p u e d e n e x p re sa r se c o m o u n a u n ió n d e r e g io n e s t ipo I o
t ipo II. En la f ig u ra 18 se i lu s t ra e s te p ro c ed im ie n to . (V é a n s e los e je rc ic io s 55 y 56.)
FIGURA 18 a) D no es tipo I ni tipo II b) D = Dx U D2, D x es tipo I, y D2 es tipo II.
L a s ig u ien te p ro p ie d a d d e las in te g ra le s e s tab lec e q u e si se in te g ra la fu n c ió n c o n s ta n te
f ( x , y) = 1 so b re u n a re g ió n D , se o b t ie n e e l á rea d e D:
0
FIGURA 19
Cilindro con base D y altura 1
E n la f ig u ra 19 se i lu s t ra p o r q u é e s c ie r ta la e cu a c ió n 10: un c i l in d ro só l id o c u y a b a se es
D y c u y a a l tu ra es 1 t iene un v o lu m e n A(D) • 1 = A(D), p e ro se sabe q u e su v o lu m e n se
p u e d e e sc r ib i r ta m b ié n c o m o 1 dA.P o r ú l t im o , se p u e d e n c o m b i n a r las p ro p ie d a d e s 7 , 8 y 10 p a r a p r o b a r la s ig u ien te p r o -
p ied ad . (V é ase e l e je r c ic io 61.)
[iT] Si m ^ f ( x , y) M p a ra t o d a (x , y) e n D, e n to n c e s
mA\D) =£ ff f ( x , y) dA MAiD)
SECCION 15.3 I N T E G R A . E S D O B L E S S O B R E R E G I O N E S G E N E R A L E S 9 9 5
EJEM PLO 6 U se la p ro p ie d a d 11 p a r a e s t im a r la in te g ra l e x * xCOSyd A , d o n d e D e s el
d i s c o c o n c e n t r o en e l o r ig en y r a d io 2.
SOLUCIÓN D a d o q u e — 1 ^ sen x ^ 1 y — 1 ^ c o s y 1, se t ien e — 1 =s sen x c o s y ^ 1
y , p o r tan to ,
- 1 .* 1 1 v C C K y . 1 .e <5 e y e = e
A s í , u s a n d o m = e ~ l = \ ¡ e , M = e y A \D ) = 7r(2)2 e n la p ro p ied a d 11, se ob t ien e
4 9T«S f f c xnicaiyd A < 4 w e
Ejercicios
1-6 Evalúe la integral iterada.
'• r . c > (> ! d i d >'
3. Jo' J ‘ ( l + 2y ) d y d x
5. f ' f f c o s ( r*) d t dsJ a J a
2- í l í {x~y)dydx4. f J f " x y d x d y
Ja Jy
6. I f d 1 + e v dw dvJ n J a
7-10 Evalúe la integral doble.
7. ff y 2 dA, D — {(.v, y ) | —1 < y < I, - y - 2 a- < y}
D
8. J J y + | dA, D = {(.v, y) | 0 < . v < l , 0 < y < -v2)
D
9. f f x d A , D « {(.v. y ) | O v í i r . O Í y <£ sen.v}
o
10. | f x 3 ¿/A, D ™ {(.v, y) | I í .v í e, O <5 v «S ln .v}
11. Esboce un ejemplo de una región que es
a) tipo 1 pero nc tipo II
b) tipo II pero no tipo I
12. Dibuje un ejemplo de una región que es
a) de tipo I y tipo II
b) ni tipo I ni tipo II
13-14 Exprese D como una región tipo I y también como
una región tipo II. Después evalúe en las dos maneras la integral
doble.
13. | f .í¿7A, D está encerrada por las rectas y = x, y = 0,
D
x = 1
14. f f x y d A , D está encerrada por las curvas y = x1, y = 3x
D
15-16 Plantee integrales iteradas para ambos órdenes de
integración. D esp jés evalúe la integral doble usando el orden
más fácil y explique p o rq u é es más fácil.
15. f f y dA , D está acotada por y = x — 2, x = y 2
*z>
16. f f y 2e*y dA . D está acotada por y = x, y = 4, x = 0
D
17-22 Evalúe la integral doble.
17. f f X cos y dA , D esta acotada por y = 0, y = x2, x = 1
D
18. f f (x 2 + 2>) dA, D está acotada por y = x, y = x 3, x O
D
19. f f > 2 rfA.
D
D es la región triangular con vértices (0, I), (1, 2) y (4, 1)
20. f f x y 1 dA, D está encerrada por x = 0 y .v = \ I — y 2
D
21. | J (2.1 - y) dA,*j>
D está acotada por la circunferencia con centro en el origen y
radio 2
22. f f 2*y dA, D es la región triangular con vértices (0, 0) , (1, 2)
y (0, 3)
(1 ,2 ) y (0 ,3)
S e r e q u ie re c a lc u la d o ra g ra f ic a d o ra o c o m p u ta d o ra |S£C| Se re q u ie re s is te m a a lg e b ra ic o c o m p u ta r iz a d o 1. T a re a s s u g e r id a s d i s p o n ib le s e n s te w a r tc a lc u lu s .c o m
9 9 6 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
23-32 Encuentre el volumen del sólido dado.
23. Bajo el plano x — 2y + z = 1 y arriba de la región acotada
por x + y — 1 y xr + y = 1
24. Bajo la superficie 2 = 1 + x*y2 y arriba de la región acotada
por x = y 2 y x = 4
25. Bajo de la superficie z = xy y arriba del triángulo con
vértices (1, 1), (4, 1) y (1, 2)
26. Encerrado por el paraboloide z = x2 + 3y2 y los planos
x = 0, y = 1, y = x , z = 0
27. Acotado por los plano; coordenados y el plano
3 a + 2 y + - = 6
28. Acotado por los plano; z = x , y = x , a + y = 2 y : = 0
29. Acotado por los cilindros z = x2, y == a 2 y los planos z = 0,
y = 4
30. Acotado por el cilindro y 2 + z2 = 4 y los planos a = 2y,
a = 0, - = 0 en el primer octante
31. Acotado por el cilindro x2 + y 2 = 1 y los planos y = z.
a = 0, - = 0 en el primer octante
32. Acotado por los cilindros a 2 + y 2 = r2 y y 2 + z2 = r2
Krl 3 3 . Use una calculadora graficadora o computadora para est imar
las coordenadas a de los puntos de intersección de las curvas
y — a4 y y = 3* — x 2. Si D es la región acotada por estas
curvas, estime 11̂ .v dA.
£ 3 3 4 . Encuentre el volumen aproximado del sólido en el primer
ociante que está acotado por los planos y = x, z = 0 y z = a
y el cilindro y = eos x (Use un dispositivo de graficación para
estimar los puntos de intersección.)
35-36 Encuentre el volumen del sólido restando dos volúmenes.
3 5 . El sólido encerrado por los cilindros parabólicos
y = 1 — x2, y = x2 — 1 y los planos x + y + r = 2,
2a + 2y - z + 10 = 0
3 6 . El sólido encerrado por el cil indro parabólico y = x2 y
los planos z = 3y , z = 2 + y
37-38 Trace un sólido cuyo volumen está dado por la integral
iterada.
37. f ' f *(1 — JC — y ) dy d x 38. f ' I*' * (1 — x ) d y d x Jo Jo Jo Jo
|SAC| 39-42 Use un sistema algebraico computarizado para hallar el
volumen exacto del sólido.
39. Bajo la superficie z = AJy4 + xy2 y arriba de la región
acotada por las curvas y = x 3 — x y y = x2 + x para x ^ 0.
4 0 . Entre los paraboloides z = 2a~ + y 2 y : = 8 — x2 — 2y 2 y
dentro del cilindro x2 + y 2 = 1
4 1 . Encerrado por z = l — x2 — y 2 y z = 0
4 2 . Encerrado por : = r + y 2 y : = 2y
43-48 Bosqueje la región de integración y cambie el orden de
integración.
43. | ' \ y f ( x , y) dx d y 44. | ‘ f { x , y) dy d xJo Jo Jo Jx*
fw/2 f e o * x f 2 f , A —>J
lo / ( .x ,y) d y d x 46. | f ' f í x , y) d x dy
47. f ‘ f 'm* f ( x , y ) d y d x 48. I ' f * 4 f ( x , y) d y d xJ I JO JO « a rc ta a x
49-54 Evalúe la integral inviniendo el orden de integración.
49. f í e x d x d y 50. I ( ' co s (x 2) dx d yJO Jjy Jo Jy V '
51. f í~ —p!------d y d x 52. I V e 1̂ d y d xJo ¡yfx y 3 + 1 jo J.t
53. f |*^ eos x y 11 + c o s 2a d x d y* 0 J a R a e n y
54. f8 \ ' _ e x* d x d y Jo J ;7
55-56 Exprese a D como una unión de regiones tipo I o tipo II y
evalúe la integral.
55. f | V ¿ A 56. f f y d A
%D í>
57-58 Use la propiedad 1 1 para estimar el valor de la integral.
57. e {j,J+y,v dA, Q es el cuarto de circunferencia con centro
Qen el origen y radio 3 en el primer cuadrante
58. f( sen*(.v + y) dA, T es el triángulo encerrado por las rectas
T
y = 0, y = 2 a y x = 1
SECCIÓN 15.4 I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S 997
59-60 Encuentre el valor promedio d e / s o b r e la región D.
59. f { x , y) = xy, L es el triángulo con vértices (O, 0), (1, 0)
y d , 3 )
60. f ( x , y ) = x sen y, D está encerrado por las curvas y = 0,
y = x 2 y x = I
61. Demuestre la propiedad 11.
62. Al evaluar una ir.tegral doble sobre una región D, se obtuvo
una suma de integrales iteradas como sigue:
ff / ( * , y) d A = £ y) d x d y + J* £ y f ( x , y) d x d y.DBosqueje la región D y exprese la integral doble como una
integral iterada con orden inverso de integración.
63-67 Utilice geometría o simetría, o ambas, para evaluar la
integral doble.
63. JT (.x + 2) dA , D = {(.x, y) | 0 ^ y < v '9 - .x2}
d
64. ff s /R 2 - x 2 - y 2 dA,D
D es el disco con centro el origen y radio R.
65. f f (2.x + 3y) dA..*i>
D es el rectángulo 0 < .x < a, 0 < y < b
66. ff (2 + .r2y 3 — y 2 sen .v) dA,
£ - { f r . y > | M + M * s i }
67. f f (a.x3 + by'J + y /a 2 - x 2 ) d A ,
D
D = [-<2, a] X \ - b , b ]
68. Dibuje el sólido acotado por el plano x + y + z = 1 y el
paraboloide z = 4 — x1 — y 2 y encuentre su volumen exacto.
(Use su SAC para construir la gráfica, hallar las ecuaciones
de las curvas límite de la región de integración y evaluar la
integral doble.)
Integrales dobles en coordenadas polares
S u p o n g a m o s q u e se d e s e a e v a lu a r u n a in teg ra l d o b le J f ( x , y) d A , d o n d e R e s u n a d e las
r e g io n e s m o s t r a d a s en la f ig u ra 1. E n c u a lq u ie r c a s o , la d e sc r ip c ió n d e R e n t é rm in o s de
c o o r d e n a d a s r e c tan g u la re s e s b a s tan te c o m p l ic a d a , pe ro R se d e sc r ib e fác i lm e n te p o r m e d io
d e c o o r d e n a d a s po lares .
FIGURA 1
?(/-, 0) =P{x,y)
R e c u e rd e d e la f ig u ra 2 q u e las c o o r d e n a d a s p o la re s ( r , 9) d e un p u n to se re la c io n a n c o n
las c o o r d e n a d a s r e c ta n g u la re s (x, y) m ed ia n te las e c u a c io n e s
r 2 = .v2 + y 2 .v = r e o s 0 y = r sen 6
(V é a s e la secc ió n 10.3.)
L as r e g io n e s d e la f ig u ra 1 son c a s o s e sp e c ia le s d e un r e c t á n g u l o p o l a r
F IG U R A 2 R = { ( / * , 0 ) | a r =£ b, a ̂ 6 « /8 }
9 9 8 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
q u e se m u e s t r a e n la f ig u ra 3. A fin d e c a lc u la r la in te g ra l d o b le /(.V, y) dA, d o n d e R es
un r e c t á n g u lo p o la r , se d iv id e e l i n te r v a lo [ í7, b] e n ni s u b in t e r v a lo s [ r< - i , r¿ ] d e ig u a l
a n c h o I r = [b — a ) /m y se d i v i d e e l i n t e r v a l o [cr, /3] e n n s u b i n t e r v a l o s [fy-1, fy]
d e ig u a l a n c h o A 0 = (¡3 — Ot)/n. E n to n c e s la s c . r c u n f e r e n c i a s r = /y y lo s r a y o s 6 = 9j
d iv iden al rectángu lo po lar R en los p eq u eñ o s rectángulos po lares R,j m os trados e n la figura 4.
FIGURA 3 Rectángulo polar FIGURA 4 División de R en subrectángulos
E l “ c e n t r o ” d e l su b re c tá n g u lo p o la r
Rij = {(r , 9) I r¡-i ^ r =s r f, fy-\ ^ 9 ^ fy]
t iene c o o r d e n a d a s p o la re s
r ? = jU ' i - i + t'í) 9 f = i 1 fy-1 + fy)
Se c a l c u l a e l á rea d e R# u s a n d o e l h e c h o d e q u e e l á r e a d e un s e c to r d e un c í r c u lo c o n rad io
r y á n g u lo c e n t r a l 6 es yr~9. A l re s ta r las á rea s de d o s sec to re s d e e s ta c la se , c a d a u n o de
los c u a le s t iene á n g u lo c e n t r a l 1 9 = 9j — 9j-\ , se e n c u e n t r a q u e e l á rea d e R,; es
A A = j r f A 9 - \ r ? - i A 9 = i ( r } - r j* - , )A 9
= í ( r , + - /•»_,) A 9 = r? I r A 6
A u n q u e se h a d e f in id o la in te g ra l d o b le JJR /( .y , y) dA en té rm in o s d e r e c tá n g u lo s o r d i -
n a r io s , se p u e d e d e m o s t r a r q u e , p a r a fu n c io n e s c o n t i n u a s / , se o b t ie n e s i e m p re la m i s m a
r e sp u e s ta p o r m e d io d e r e c tá n g u lo s po la re s . L as c o o rd e n a d a s re c ta n g u la re s d e l c e n t r o d e Rv
son {r* e o s 0* , r * sen 0* ) , de m o d o q u e u n a s u m a d e R ie m a n n r e p re s e n ta t iv a es
f/ i « r/i f i
□ 2 2 / ( '• * e o s 0 * . r * sen - 2 2 / W c o s #*> r f sen 0 ? )
Si se e sc r ib e g(r., 0) = / / ( r e o s 6, r sen 0), e n to n c es la s u m a de R iem a n n en la e cu a c ió n 1
se p u e d e e sc r ib i r c o m o
i ¿ g(r?, # / ) A r 1 6i= 1 ;=l
SECCIÓN 15.4 I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S 9 9 9
q u e e s u n a s u m a d e R ie m a n n p a r a la in te g ra l d o b le
f* i bg(r, 0) dr d 6J a Ja
P o r tan to , se t iene
A» "
11 f ( x> >’) ^ = lím 2 2 f (r * c o s 0? » r * sen o?) a a ,
m n % a %,
= lím 2 2 sto** 0 * ) A r A 0 = | f ’ «70% 0 ) d r d 0
= I í / V e o s 0 , r sen 0 ) r <ir dO. iV .
|~2~| Cam bio a co o rd e n ad a s p o la re s en una in teg ra l doble S i / e s c o n t in u a en un
r e c tá n g u lo p o la r /? d a d o p o r 0 ^ ¡3, d o n d e O f t — o í 2 7 T,
e n to n c e s
fí /(*» >') dA — | f / { r e o s 0 , r s e n 0) rd rd O
d 6 ^ X ' X.dA
J ' f^ rdO
K dr
O
F IG U R A 5
Aquí usamos la identidad trigonométrica
sen2 i9 = t ( 1 — cos 2 0)
Véase la sección 7.2 para sugerencias sobre
la integración trigonométrea.
L a f ó rm u la en [T| in d ic a q u e se c o n v ie r te de c o o r d e n a d a s re c ta n g u la re s a p o la re s en u n a
in te g ra l d o b le si se e s c r ib e x = r c o s 0 y y = r sen 0, u sa n d o los l ím i te s d e in te g rac ió n a p r o -
p iad o s p a ra r y 0, y r e m p la z a r ¿¿4 p o r rdrdO. T e n g a c u i d a d o de no olv id a r e l fac to r ad ic iona l
r e n e l lad o d e r e c h o d e la f ó r m u la 2. Un m é to d o c lá s ico p a r a r e c o r d a r e s to se m u e s t r a en la
f ig u ra 5, d o n d e e l r e c tá n g u lo p o la r “ in f in i te s im a l” se p u e d e c o n s id e r a r c o m o un re c tá n g u lo
o r d in a r io con d i m e n s io n e s rdO y d r y , p o r tanto , t iene “ á re a ” dA = r d r dd.
Q 3 5 B Í D E v a lú e (3.V + 4 y 2 1dA, d o n d e R e s la re g ió n en e l se m ip la n o su p e r io r
a c o ta d o p o r las c i r c u n f e r e n c ia s j r + y 1 = 1 y x 1 + y2 = 4.
SOLUCIÓN L a re g ió n R se p u e d e d e s c r ib i r c o m o
R = {(*> y) I y > o, i « *2 + y2 ̂4}E s la m itad d e a n il lo m o s t r a d a en la f ig u ra Ib), y e n c o o r d e n a d a s p o la re s e s tá d a d a p o r
1 =s r 2 , O ^ 77. P o r tan to , p o r la f ó rm u la 2 ,
f f {3.v + 4 y 2)d A = | | ( 3 r c o s 0 + 4 r 2 s e n 20 ) r d rd O
H
= | ( 3 r 2 c o s 0 + 4/*3 s e n 20) d r d9
= I f / ,3c o s 0 4- r 4 sen20]"™7 dO = | ( 7 c o s 0 + 1 5 s e n 20 ) ¿ /0 .'0 Jo
= | [7 COS 0 + -y ( l — e o s 2 0 ) ] do
1 5 0 15= 7 sen 0 H--------------------- sen 2 0
2 4
15^77
1 0 0 0 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
Q E U Z H I H E n c u e n tr e e l v o lu m e n d e l só l id o a co tad o p o r e l p la n o z = O y e l
p a r a b o lo id e z = 1 — x1 — yr.
SOLUCIÓN Si z = O en la e c u a c ió n d e l p a ra b o lo id e , se o b t ie n e xr + y2 = 1. E s to s ig n i f ic a
q u e e l p la n o c o r ta al p a ra b o lo id e en la c i r c u n fe re n c ia x1 + y2 = 1, a s í q u e e l só l ido
e s t á b a jo e l p a ra b o lo id e y a r r ib a d e l d i s c o c i r c u la r D d a d o p o r x 1 + y2 =s I [v é a n se las
f igu ras 6 y la ) ] . En c o o r d e n a d a s p o la re s D e s t á d a d a p o r 0 ^ 7 ’ ^ 1, 0 0 ^ 27r.
P u e s to q u e 1 — xr — y2 = 1 — r 2, e l v o lu m e n es
V = f f (1 - x~ - y2)d A = P ' I'1 (1 - r - ) r d r d dJJ Jo JoD
JO Jo [_ 2 4 J () 2
Si se h u b ie ra n e m p l e a d o c o o r d e n a d a s re c tan g u la re s , e n lu g a r d e c o o r d e n a d a s p o la re s ,
e n to n c e s se h a b r ía o b ten id o
V = ff (1 - .v2 - y2)dA = i* f N,J _ ( l - x2 - y2)d ydx JJ J - i J-v i-x2D
q u e n o e s fácil e v a lu a r p o r q u e se r e q u ie re h a l l a r la in te g ra l J’ fl — X2 )2̂ 2dx. ■
F IG U R A 7
D = {(;•, B) | a 6 ^ /3,/7,(Í)=s hz(6)}
L o q u e h e m o s h e c h o h a s ta a q u í se p u e d e e x te n d e r al t ipo d e re g ió n m á s c o m p l i c a d a de
la f ig u ra 7. E s s im ila r a las r e g io n e s r e c tan g u la re s t ipo II c o n s id e r a d a s en la s e c c ió n 15.3.
D e h e c h o , al c o m b i n a r la f ó r m u la 2 d e e s ta sección c o n la f ó r m u la 1 5 .3 .5 , se o b t ie n e la s i -
g u ie n te fó rm u la .
E Si / e s c o n t in u a so b re u n a re g ió n p o la r de la fo rm a
D = {(7% 0) | Oí =5 o =s /3, hi(O) =ss 7• =£ h2(0)}
e n to n c e s [ [ / ( .* , y ) dA = | f ^ / { r e o s 0, r s e n 6) r d r d dJJ va ./;,{-)}
E n p a r t icu la r , si se t o m a / ( * , y) = I, h\{B) = O y h2($) = h{Q) en e s ta fó rm u la , se ve
q u e e l á r e a de la re g ió n D a c o t a d a p o r 9 = oc, 6 = (3 y l' = h{ 9 1 es
•M í )A{D) = f f 1 dA = f f rdrdO
JJ J« JoD
y e s to c o n c u e r d a c o n la f ó r m u la 10.4.3.
Q Q E 5 Q H 1 U se la in te g ra l d o b le p a r a h a l l a r el á rea e n c e r r a d a p o r un p é ta lo d e la
r o s a d e c u a t r o h o j a s r = e o s 26.
SOLUCIÓN D e l b o s q u e jo d e la c u r v a e n la f ig u ra 8, se ve q u e e l p é ta lo e s t á d a d o p o r la
reg ión
D = {(7*, 9) [ - 7 t / 4 í N 7t /4, O í / ' 5 e o s 29}
SECCIÓN 15.4 I N T E G R A L E S D O B L E S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S 1 0 0 1
A s í q u e e l á r e a es
A(D) = f f dA = f ’ 4 r 2' r d r d 6JJ J - w i 4 JO
f® /4 f l vicos 2 # A 1 f » / 4 ->I j r - J o ¿ 0 = t c o s -
. — n 4 J — tt/42 OdO
= 5 | ^ (I + e o s 4 0 ) dO = ^ [0 + 5 sen 4 0 ] l{ ^ 4 =
E JEM P LO 4 E n c u e n tr e e l v o lu m e n d e l só l ido q u e y a c e d e b a jo d e l p a ra b o lo id enz = a 2 + y2, a r r ib a d e l p la n o Ay y d e n t r o d e l c i l in d ro a 2 + y 2 = 2a .
SOLUCION E l só l id o e s tá a r r ib a d e l d i s c o D c u y a c i r c u n f e r e n c i a f ro n te ra t ien e la e c u a c ió n
a 2 + y 2 = 2 a o b ie n , d e s p u é s d e c o m p l e ta r el c u a d ra d o .
( X - i ) 2 + y 2 = 1
(V é a n s e las f igu ras 9 y 10.)
( a - 1 ) + y — 1
(o r — 2 eos 0)
F IG U R A 9
E n c o o r d e n a d a s p o la re s se t ien e A 2 + y 2 = r y A = r e o s 0 , p o r tan to , la
c i r c u n f e r e n c i a f ro n te ra se c o n v ie r te en r 2 = 2 r e o s 0 o b ien r = 2 e o s 0. A s í , e l d i s c o D
e s t a d a d o p o r
D = { ( r , 6) | - 77-/2 « N 7 r /2 , O r =£ 2 e o s 0}
y , p o r la f ó r m u la 3, se t iene
r - p ^ - j a r ^ - Ü T r *= 4 £ , c o s « 0 < i 0 = 8 J / 2 c o s A6 d 0 = 8
= 2 [ l + 2 e os 2 9 + j ( l + e o s 4 0 )] d 9
F IG U R A 10
= 2 [ \ B + sen 26 + |s e n ~
1 0 0 2 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
Ejercicios
1-4 Se muestra una región R. Decida si emplea coordenadas
polares o rectangulares y exprese \fR f ( x , y) d A como una integral
iterada, donde / e s una función continua arbitraria sobre R.
5-6 Bosqueje la región cuya área está dada por la integral y evalúe
la integral.
5. f 3"1* f ' r d r d O 6. f \ 2an* r d r d 0J n - i J I J - / 2 Jo
7 -1 4 Evalúe la integral dada cambiando a coordenadas polares.
7 . ¡jDX2y dA, donde D es la mitad superior del disco con centro
en el origen y radio 5
8. ¡fR(2x — y) dA, donde R es la región en el primer cuadrante
encerrada por la circunferencia x2 + y 2 = 4 y las rectas x = 0
y y = x
9. jjR sen (.v2 -I- y 2) dA, donde R es la región en el primer
cuadrante entre las circunferencias con centro en el origen y
radios 1 y 3
y 2
10- ÍÍr y 2 . ,.2 d A ' d ° nde R es la región que está entre las X~ + y
circunferencias x2 + y 1 = a 2 y x 2 + y 2 = b 2 con 0 < a < b
i i . dA, donde D es la región acotada por la
semicircunferencia X = y 4 — >'2 y el eje y
12- J L eos y¡X2 + y 2 dA, donde D es el disco con centro en
el origen y radio 2
1 3 . jjR are tañí y/x) d Adonde R = {(.x, y) | 1 ^ je2 + y 2 ^ 4, 0 ^ y ^ .x}
15.4
»■ a » * dA, donde D es la región en el primer cuadrantelocalizada entre las circunferencias x2 + y 2 = 4 y xr + y 2 = 2x
15-18 Use una integral doble para hallar el área de la región.
15. Un pétalo de la rosa r = eos 39.
16. La región encerrada por las cardioides r = l + eos 9 y
r = 1 — eos 9
17. La región dentro de las circunferencias (.X — l ) 2 + y 2 = 1 y
.x2 + y 2 = I
18. La región dentro del cardioide r = 1 + eos 9 y fuera de la
circunferencia r = 3 eos 9
1 9 -2 7 Use coordenadas polares para hallar el volumen del sólido.
19 . Bajo el cono - = y /x2 + y 2 y arriba del disco .x2 + y 2 ^ 4
20. Bajo el paraboloide r = 18 — I x 2 — l y 2 y arriba del plano xy
21. Encerrada por el hiperboloide — x 2 — y 2 + : 2 = 1 y el plano
r = 2
22. Dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 16 y fuera del cilindroJ I J A
x r -I- y - = 4
23. Una esfera de radio o
24. Acotado por el paraboloide r = I + I x 2 + 2 y 2 y el plano
z = 7 en el primer octante
25. Arriba del cono z = \/.X2 + y 2 y bajo la esfera
x2 + y2 + z 2 = 126. Acotado por los paraboloides r = 3.x2 + 3 y 2 y
z = 4 - .x2 - y 2
27. Dentro del cilindro .X2 + y 2 = 4 y el elipsoide4.x- + 4 y - + z“ = 64
28. a) Se usa una broca cilindrica con radio r\ para hacer una
perforación por el centro de una esfera de radio n .
Encuentre el volumen del sólido en forma de anillo que
queda.
b) Exprese el volumen del inciso a) en términos de la altura
h del anillo. Observe que el volumen depende sólo de h,
no de r¡ o r2.
29-32 Evalúe la integral iterada convirtiendo a coordenadas
polares.
29. | I ' sen ( x 2 + y 2\ d y d x 30. ) | x 2y d x d yJ—3 J o - / - J0
31. f ( ' y (.x + y) dx d y 32. | f y /x 2 + y 2 d y dxJo Jy Jo Jo
1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
SECCIÓN 15.5 A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S 100 3
33-34 Exprese la doble integral en términos de una sola integral
respecto a r. Después utilice su calculadora para evaluar la integral
con una aproximación de cuatro decimales.
33. l \De (x‘+y’y dA , donde D es el disco con centro en el origen y
radio 1
JI\D x ) ' d 1 + v2 + y 2 dA, donde D es la porción del disco
4 + y 2 ^ 1 que está en el primer cuadrante
35. Una alberca es circular con un diámetro de 40 pies. La
profundidad es constante a lo largo de las líneas este-oeste y
se incrementa en forma lineal desde 2 pies en el extremo sur
hasta 7 pies en el extremo norte. Determine el volumen del a g u a e n l a a l b e r c a .
36. Un aspersor agrícola distribuye agua en un patrón circular
de radio 100 pies. Suministra agua a una profundidad de
e~r pies por hora a una distancia de r pies desde el aspersor.
a) Si 0 < R ^ :00, ¿cuál es la cantidad total de agua
suministrada por hora a la región dentro del círculo de
radio R centrado en el rociador?
b) Determine ur.a expresión para la cantidad promedio de
agua por hora por pie cuadrado suministrada a la región
dentro del círculo de radio R.
37. Encuentre el valor promedio de la función
f ( x , y) = 1 / \ / x 2 + y 2 sobre la región anular
a 2 .x2 + y 2 ^ b 2, donde 0 < a < b.
3 8 . Sea D el disco con centro en el origen y radio a. ¿Cuál es la
distancia promedio de los puntos en D al origen?
3 9 . Utilice coordenadas polares para combinar la suma
ih id*xy ay dx+/.v; r **dy dx+w ¿ydxdentro de una integral doble. Después evalúe la doble integral.
40. a) Se define la integral impropia (sobre todo el plano IR2)
/ = j j ' e - (*1+yl)d A = f ” f_" e - {xt+yi)d y d x
R*
™ lím f f ) dA
donde D a es el disco con radio a y centro en el origen.
Demuestre que
[ " f " e - ' ^ d A = w
b) Una definición equivalente de la integral impropia del
inciso a) es
, - ^ + y 1} ¿a = i , ' m f f dA
donde Sltes el cuadrado con vértices (±ci, ± a ) . Use esto
para demostrar que
f e ' d x f e y dy
c) Deduzca que
f e~x* d x = v 7rJ —co
d) Haciendo el cambio de variable t = V 2 -X, demuestre que
r e-**/2d x = y f l / i rJ—cm
(Este es un resultado fundamental para probabilidad y
estadística.)
41. Use el resultado del ejercicio 40 inciso c) para evaluar las
siguientes integrales
(*«« , 2 X 6 ~ x d x b) y f x e - * d x
Jn
Aplicaciones de las integrales dobles
Y a h e m o s v is to u n a ap licac ión d e las integrales dobles : c á lcu lo d e v o lú m en es . O tra ap licac ión
g e o m é t r i c a e s h a l l a r á rea s de su p e r f ic ie s y es to se h a r á e n la s ig u ien te secc ión . E n e s ta s e c -
c ió n se e x p lo ra n a p l i c a c io n e s f ís ica s c o m o c a lc u la r la m a s a , c a r g a e lé c t r ica , c e n t ro d e m a s a
y m o m e n to d e inercia . Se v e rá q u e e s ta s ideas son im p o r ta n te s tam b ién c u a n d o se ap lican a
f u n c io n e s d e d e n s id a d de p ro b a b i l id a d d e dos v a r ia b le s a lea to r ias .
Densidad y masa
E n la secc ió n 8 .3 fue p o s ib le u sa r las in teg ra le s s im p le s p a r a c a l c u l a r m o m e n t o s y e l c e n -
tro d e m a s a d e u n a d e lg a d a p l a c a o lá m in a con d e n s id a d co n s tan te . P e ro ah o ra , e q u ip a d o s
con la in tegral d o b le , p o d e m o s c o n s id e ra r u n a ' á m i n a c o n d en s id ad variable . S u p o n g a m o s q u e
la l á m in a o c u p a u n a re g ió n D d e l p la n o x y y su d en sid a d (en u n id a d e s d e m a s a p o r un id ad
d e área) en un punto (x, y ) en D e s tá d a d a po r p(x, y), d o n d e p es u n a func ión c o n t in u a sobre D.
E s to s ig n i f ic a q u e
p( V. y) = lím
1 0 0 4 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
•-1*
F IG U R A 2
d o n d e A m y A A son la m a s a y e l á r e a d e un r e c tán g u lo p e q u e ñ o q u e c o n t i e n e a (x , y) el
l ím ite se t o m a c u a n d o las d i m e n s io n e s d e l r e c tán g u lo se a p ro x im a n a O. (V é ase la f ig u ra 1.)
P a ra h a l l a r la m a s a to ta l m d e la lá m in a , se d iv id e un r e c tá n g u lo R q u e c o n t ie n e a D en
s u b r e c tá n g u lo s R¡j d e l m is m o t a m a ñ o ( c o m o e n la f ig u ra 2 ) y se c o n s id e r a q u e p(x , y) e s O
fu e ra d e D. Si se e l ig e un p u n to (xjf, y,J) e n Ry, e n to n c e s la m a s a d e la p a r te d e la lá m in a
q u e o c u p a Rij e s a p r o x im a d a m e n te p {x¡ , y,J) A A, d o n d e A A es e l á r e a d e R,j. Si se su m a n
to d as las m a s a s , se ob t ien e u n a a p ro x im a c ió n d e la m a s a total:
7. I
p ( . r } , y j f ) A A'= i ;= i
Si a h o ra se in c r e m e n ta e l n ú m e r o d e su b re c tá n g u lo s , se o b t ie n e la m a s a to ta l m d e la l ám in a
c o m o e l v a lo r l ím ite d e las a p ro x im a c io n e s :
□
L o s f ís icos c o n s id e r a n ta m b ié n o tros t ip o s d e d e n s id a d q u e se p u e d e n t ra ta r d e la m i s m a
m an e ra . P o r e j e m p lo , si se d i s t r ib u y e u n a c a r g a e lé c t r ica so b re u n a re g ió n D y la d e n s id a d
d e c a r g a (en u n id a d e s d e c a r g a p o r á re a u n i ta r ia ) e s tá d a d a p o r tr(x, y ) en un p u n to (x , y) en
D y e n to n c e s la c a r g a to ta l Q e s t á d a d a po r
F IG U R A 3
EJEM PLO 1 L a c a r g a e s tá d i s t r ib u id a so b re la reg ión t r ia n g u la r D e n la f ig u ra 3 d e
m o d o q u e la d e n s id a d d e c a r g a en (x, y) e s <r{Xy y) = xy , m e d i d a en c o u lo m b s p o r m e t ro
c u a d r a d o ( C / m 2). D e te r m in e la c a r g a total.
SOLUCIÓN D e la e c u a c ió n 2 y la f ig u ra 3 se t iene
Q = f f < rix ,y)dA = ( ' f ‘ xy d y dxvj *0 JI~I
íl--[ly-l
I X
I ( ' (2x2 Jo
x 3 ) dx2 £
3
- (1 - x)2]d.v
T - -L4 J„ 2 4
A s í , la c a r g a to ta l es 55 C.
Momentos y centros de masa
E n la s e c c ió n 8 .3 e n c o n t r a m o s e l c e n t r o d e m a s a d e u n a l á m in a c o n d e n s id a d c o n s tan te :
a q u í se c o n s id e r a u n a l á m in a c o n d e n s id a d va r iab le . S u p o n g a q u e la l á m in a o c u p a u n a r e -
g ión D y t iene la fu n c ió n de d e n s id a d p(xt y). R ecu e rd e d e l c a p í tu lo 8 q u e e l m o m e n t o de
u n a p a r t í c u la se d e f in e re sp e c to a un e je c o m o e l p r o d u c to de su m a s a y su d i s t a n c i a d i r i -
g id a d e s d e e l e je . Se d iv id e a D en r e c tá n g u lo s p e q u eñ o s c o m o e n la f ig u ra 2. E n to n c e s la
m a s a d e Rij es a p r o x im a d a m e n te p(.v$, y * ) A A, así q u e e l m o m e n t o d e Rij r e sp e c to al e je x
se p u e d e a p r o x im a r m e d ia n te
!>(*,?, y | ) á A ]y ?
Si a h o ra se su m a n e s ta s c a n t id a d e s y se t o m a el l ím ite c u a n d o e l n ú m e r o d e s u b re c tá n g u lo s
se v u e lv e
SECCIÓN 15.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 1005
g ra n d e , se o b t ie n e e l m o m e n t o d e t o d a la lám in a r e s p e c t o a l e je x:
m , = Km 2 2 y* p(av> y í ) ¿ A = ff yp(*> y ) d A
D e m a n e r a s im ila r , e l m o m e n t o r e s p e c t o a l e j e y es
|~4~| M y = lím 2 2 ví 3$) A/* = ff A7>(v> .v) d A
(0,2)
\ v = 2 - 2xV
U i ü ] 8 ’ 16
D
(1, 0 ) *
C o m o an tes , se d e f in e e l c e n t ro de m a s a (T, y ) d e m o d o q u e m x = M y y m y = M x. E l s ig -
n i f ic ad o f ís ico e s q u e la l á m in a se c o m p o r t a c o m o si t o d a su m a s a se c o n c e n t r a r a e n su c e n -
tro de m asa . A s í , la l á m in a se e q u i l i b r a h o r iz o n ta lm e n te c u a n d o se a p o y a en su c e n t r o de
m a s a (v é ase la f ig u ra 4).
|~5~| L as c o o r d e n a d a s ( .v, y ) d e l c e n t r o de m a s a d e u n a l á m in a q u e o c u p a la reg ión
D y q u e t ien e fu n c ió n d e d e n s id a d p(x, y) son
- My \ rr M xx = — = — v p l .v, y) dA y = —
m m JJ mD
= — \ \ yp (x ,y ) d A m «*’
D
d o n d e la m a s a m e s t á d a d a po r
m = f f p(x ,y)dA% J D
] E n c u e n t re la m a s a y e l c en t ro d e m a s a d e u n a l á m in a t r ia n g u la r con
v é r t ic e s (O, 0 ) , (1 , O) y (O, 2) si la fu n c ió n d e d e n s id a d es p(x, y) = 1 + 3x + y.
SOLUCIÓN E l t r iá n g u lo se m u e s t r a e n la f ig u ra 5. (N o te q u e la e c u a c ió n d e la c o ta
s u p e r io r e s y 2 — 2.v.) L a m a s a d e la lám in a es
p{x, y) dA = J ‘ r~ ~xJi
D
m = f f p( x, y) d A = f f‘ (1 + 3.v + y) d y dx»'»' JO JO
- í [”++ f VF IG U R A 5 4 f 1 (1 - x 2)dx
JO HlE n to n c e s las fó rm u la s e n | 3 ] dan
1 0 0 6 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
F IG U R A 6
Compare la ubicación del centro de masa del
ejemplo 3 con el ejemplo 4 de la sección 8.3,
donde se encontró que el centro de masa de
una lámina con la misma forma, jero
densidad uniforme se localiza en el punto
(0 ,4 a / (3 » ) ) .
y = — f f y p ( í , y ) d A = i [ “ ( y + 3 .ry + y 2) d y d x'D
= — f 1 \ — + 3x — + — ] d x = ¿ f * (7 - 9.v - 3.v2 + 5 x 3) d xS J o L 2 2 3 J y=o Jo
i r x 2 3 v4 ] 1 i i= — 7.v - 9 x 3 + 5 — = —
4 [_ 2 4 j 0 16
E l c e n t ro d e m a s a e s tá e n e l p u n to ( | , j¿).
Q E H J H J H L a d e n s id a d e n c u a lq u ie r p u n to sa b ré u n a lá m in a s e m ic i r c u la r es
p ro p o rc io n a l a la d i s t a n c i a d e sd e e l c e n t r o d e l c írcu lo . E n c u e n t r e e l c e n t r o d e m a s a
d e la lám ina.
SOLUCIÓN C o lo q u e la l á m in a c o m o la m ita d su p e r io r d e la c i r c u n f e r e n c i a xr + y2 = a2
(v é ase la f ig u ra 6). E n to n c e s la d i s t a n c i a d e un pun to (x, y) al c e n t ro d e la c i r c u n f e r e n c i a
(el o r ig en ) e s >/x2 4- y 2 . P o r tan to , la fu n c ió n d e d e n s id a d es
píx, y) = K \ fx'- + y 2
d o n d e K e s a lg u n a c o n s ta n te . T a n to la fu n c ió n d e d e n s id a d c o m o la f o r m a d e la lám in a
su g ie ren q u e se c o n v ie r ta a c o o r d e n a d a s po la re s . E n to n c e s >/.v2 + y 2 = r y la re g ió n D
e s t á d a d a p o r O í r í a , O í 9 7r. A s í , la m a s a d e la l á m in a es
m = f f p(x, y) dA = f f X \ / .v 2 + y 2 dA
D D
= f '' {* (Kr) r dr dO = K f wd d f ‘ r 2dr Jo Jo Jo Jo
= K , r L T
3 Jo
Kira
T a n t o la l á m i n a c o m o la fu n c ió n d e d e n s i d a d son s i m é t r i c a s r e s p e c t o a l e je y , a s í q u e
e l c e n t r o d e m a s a d e b e e s t a r so b re e l e je y, e s d e c i r , T = O. L a c o o r d e n a d a y e s t á d a d a
p o r
y = — f| yp(.v , y) dA = — 1— j f * f r sen 0 ( K i ) r d r d O m JJ K m r ¿o Jo '
WU Jo
3 2a
ira
f # s e n 0 ¿ / 0 f r 3d r = , [ —e o s a I t ) — 1Jo Jo w a 3 L L 4 J
3 a
2 ir
P o r tan to , e l c e n t ro d e m a s a se lo c a l iz a e n e l pu n to (O, 3 a / ( 2 w ) ) . ■ ■
Momento de ine rc ia
E l m o m e n t o d e i n e r c i a ( c o n o c i d o t a m b ié n c o m o s e g u n d o m o m e n t o ) d e u n a p a r t í c u l a
d e m a s a m r e sp e c to a un e je se d e f in e c o m o /wr2, d o n d e r e s la d i s t a n c i a d e sd e la p a r t í c u -
la al e je . A fin d e a m p l i a r e s t e c o n c e p t o a u n a l á m i n a q u e t ie n e fu n c ió n d e d e n s i d a d
P(x * y) y o c u p a u n a r e g ió n D se p r o c e d e c o m o se h i z o p a r a m o m e n t o s o r d in a r io s . Se d i -
v i d e a D e n r e c t á n g u l o s p e q u e ñ o s , se a p r o x i m a d m o m e n t o d e in e r c i a d e c a d a s u b r e c -
t á n g u lo r e s p e c to al e je x y se t o m a e l l ím i te d e la s u m a c o n f o r m e el n ú m e r o d e su b r e c t á n -
g u lo s se h a ce grande. E l resu ltad o e s e l m o m e n to d e in e r c ia d e la lám in a r e s p e c to a l
e je x
SECCION 15.5 A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S 1 0 0 7
E
D e m anera sim ilar, e l m o m e n to d e in e r c ia resp ecto a l e je y es
m
T am bién e s de interés considerar e l m o m en to d e in e rc ia r e sp e c to a l o r ig e n , c o n o c id o tam -
bién c o m o m o m e n to p o la r d e in erc ia :
N ote que 7o = Ix + 7V
Q E J J J U U J Encuentre lo s m o m en to s de inercia 7t , Iy e 70 de un d isc o h o m o g é n e o D
co n densidad p(x, y) = p , cen tro en e l origen y radio a.
SOLUCIÓN El lím ite de D e s la c ircu nferencia .V2 + y 2 = a 2 y en coord en adas po lares D
se describ e m ediante O í N 27T, O ^ r ^ fl. Prim ero se ca lcu lará 70:
70 = f f (.v2 + y 2) pd Á = p f ‘ * f * r 2r d r d 6 JJ Jo JoD
En lugar de ca lcu lar 7.t e Iy d e m anera directa, se usan lo s h ech o s de que Ix + Iy = 7o e
I* = Iy (de la sim etría d e l problem a). A s í,
I x = Iy70 i rpa4
2 4
En e l e jem p lo 4 observe que la m asa d e l d isco e s
m = densidad X área = p('ira)2
de m od o que e l m o m en to de inercia d e l d isco resp ecto al origen (co m o una rueda respecto
a su e je) se puede escrib ir c o m o
irpo. | i . ■> i 7o = — -— = i ( p i r a ) a = 2 ^na~
A sí, si se increm enta la m asa o e l radio d e l d isco , aum enta e l m om en to de inercia. En g e n e -
ral, e l m om en to de inercia ju eg a e l m ism o papel en e l m o v im ien to rotatorio que la m asa
1 0 0 8 CAPÍTULO 15 I N T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
ju e g a e n el m o v im ien to lineal. El m o m e n to d e inercia de u n a ru ed a es l o q u e hace d if íc il e m p e -
z a r o d e te n e r la ro tac ión d e la rueda , de l m is m o m o d o q u e la m a s a d e un au to m ó v i l d i f icu l ta
in ic ia r o d e te n e r e l m o v im ie n to d e un au tom óvi l .
El r a d i o d e g i r o d e u n a l á m i n a r e s p e c t o a u n e j e e s e l n ú m e r o R tal q u e
[ § ] mRr = I
d o n d e m es la m a s a d e la lám in a , e / e s e l m o m e n to de in e rc ia r e sp e c to al e je d ad o . L a
e c u a c ió n 9 d ic e q u e si la m a s a d e la lá m in a se c o n c e n t r a ra a u n a d i s t a n c i a R d e l e je , e n -
to n ce s e l m o m e n t o d e in e rc ia d e e s t a “ m a s a p u n tu a l” se r ía la m i s m a q u e e l m o m e n t o de
in e rc ia d e la lám ina .
E n p a r t icu la r , e l r a d io de g iro y r e sp e c to al eje x y e l r a d io d e g iro x r e sp e c to al e je y
e s tá n d a d o s p o r las e c u a c io n e s
[To | my2 = Ix m f 2 = Iy
A s í ( X ,y ) es e l p u n to en q u e la m a s a de la lám in a se p u e d e c o n c e n t r a r sin c a m b i a r los
m o m e n t o s d e in e rc ia r e sp e c to a los e je s c o o rd e n a d o s . (N o te la a n a lo g ía c o n e l c e n t ro de
m asa . )
E n c u e n t r e e l r a d io d e g i ro re sp ec :o al e je a ; d e l d i s c o d e l e j e m p lo 4.
SOLUCIÓN C o m o se o b se rv ó , la m a s a d e l d i s c o e s m = p ira2, a s í q u e de las e c u a c io n e s 10
se t iene
E JEM P LO 5
1 44 T ip a
p ira1
P o r tan to , e l r a d io d e g iro re sp e c to a Ares y = ^a, q u e es la m itad d e l r a d io d e l d isco .
Probabil idad
En la sección 8 .5 se c o n s id e ra m o s la función de densidad de probabilidad f de u n a va r iab le
c o n t i n u a a le a to r ia X. E s to s ig n i f ic a q u e f { x ) ^ 0 p a r a t o d a a; J T ^ / U ) dx = 1, y la p r o b a -
b i l id ad de q u e X e s t é e n t r e a y b se e n c u e n t r a al i n t e g r a r / d e a a b:
P(a *s X « b) = \ ”f ( x ) dx»a
A h o r a c o n s id e r a m o s un p a r d e v a r ia b le s a lea to r ias c o n t in u a s X y Y, ta le s c o m o los t i e m -
p o s d e v id a d e d o s c o m p o n e n t e s d e u n a m á q u i n a o la a l tu ra y p e so d e u n a m u je r a d u l ta e l e -
g id a al azar. L a f u n c i ó n d e d e n s i d a d c o n j u n t a de X y Y e s u n a f u n c i ó n / d e d o s v a r ia b le s
tal q u e la p ro b a b i l id a d d e q u e (X, Y) e s té e n u n a reg ión D es
P({X, Y) G D) = f j / ( . r , y) dA'D
E n p a r t icu la r , si la re g ió n e s un re c tá n g u lo , la p ro b a b i l id ad d e q u e X e s té en tre a y b y q u e
Y e s té en tre c y d es
P{a ^ X =s b, c Y d) = íV ( .v , y) d y dxJa Je
(V é a s e la f ig u ra 7 .)
SECCIÓN 15.5 A P L I C A C I O N E S DE L A S I N T E G R A L E S D O B L E S 1 0 0 9
F IG U R A 7
La probabilidad de que X esté entre
a y b, y que Y esté entre c y d
es el volumen localizado arriba
del rectángulo D = [a, b\ X [c, d]
y debajo de la función de
densidad conjunta.
D e b id o a q u e las p ro b a b i l id a d e s no son n e g a t iv a s y se m id e n en u n a e s c a l a de O a 1, la
fu n c ió n d e d e n s id a d c o n ju n t a t iene las s ig u ien te s p ro p ied a d es :
/ ( * , y) » O ff f ( x , y) dA = i
C o m o e n e l e je r c ic io 4 0 d e la s ecc ió n 1 5 .4, la in teg ra l d o b le so b re R 2 e s u n a in te g ra l i m p r o -
p ia d e f in id a c o m o el l ím ite d e in te g ra le s d o b le s sob re c í r c u lo s o c u a d r a d o s q u e se e x p a n -
d e n y se p u e d e e sc r ib i r
f f /(.*, y) dA = f " f " / ( * , y) dx dy = 1J J J —co J —co
\R:
U U H E O Si la fu n c ió n d e d e n s id a d c o n ju n ta p a r a X y Y e s tá , d a d a po r
/ ( v .
e n c u e n t r e e l v a lo r d e la c o n s ta n te C . D e sp u é s d e te r m in e P ( X 7 , Y ^ 2).
fc(.v + r'-v ) - \ o
2y ) si 0 * . v < 10, O <£ y 10
en o t ra par te
SOLUCIÓN Se e n c u e n t r a e l v a lo r de C al a s e g u ra r q u e la in te g ra l d o b le de / e s ig u a l a 1
D e b id o a q u e f ( x , y ) = 0 fu e ra d e l r e c tán g u lo [0 , 10] X [0, 10], se t iene
r P /(*» y) dy dx = f 10 f10 c (-v + 2y) dy dx = C f [xy + y2]jI¿VrJ - c o J - M JO JO JO 1
rio= C (10.V 4 1001 ¿í.v = 1 5 0 0 C
Jo
P o r tan to , 1 5 0 0 C = 1 y, e n c o n s e c u e n c ia , C = -j¿q.
A h o r a se p u e d e c a l c u l a r la p ro b a b i l id a d de q u e X s ea a lo s u m o 7 y Y s ea p o r lo
m e n o s 2:
P(X s 7, Y » 2) = f f ” /(.v, y) dy dx = f [ ‘"■¡¿¡(.v + 2y) dydxJ co J2 JO J 2
fo [xy 4 y 2]y li0á.v = T¿ó f j (8.v 4 96) dxiI5«)
0 . 5 7 8 7
1010 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
S u p on ga que X e s una variab le aleatoria con función de densidad de p ro b a b ilid a d /i(*) y
Y e s una variab le a leatoria co n fu n ción de densidad fi(y). E n ton ces X y y se llam an v a -
riab les a lea tor ia s in d ep en d ien tes si su función de densidad conjun ta e s e l producto de sus
fu n cio n es de densidad ind ividuales:
/U, y) = f M f 2(y)
En la secc ió n 8 .5 , se m odelaron tiem p o s de espera por m ed io de fu n cion es de densidad
ex p o n e n c ia le s
/ ( ' ) ÍO si / < O
si t > O
EJEMPLO 7
donde /x e s e l tiem po de espera prom edio. En e l ejem plo sigu iente se considera una situación
co n d o s tiem p o s de espera ind ep en d ien tes.
El adm inistrador de un c in e determ ina que e l tiem p o prom edio que los
a sisten tes esperan en la fila para com prar un b o leto para la p e lícu la d e e sta sem ana e s
10 m inutos y e l tiem p o prom edio que esperan para com prar palom itas e s 5 m inutos. Si
se su pon e que lo s tiem p o s de esp era son ind ep en d ien tes, encuentre la probabilidad de que
una persona espere un total de m en o s de 2 0 m inutos antes de tom ar su lugar.
SOLUCIÓN Si se supone que tanto e l tiem p o de espera X para la com pra d e l b o le to
c o m o e l tiem p o de espera Y en la fila para com prar g o lo sin a s se m odelan m ediante
fu n cion es de densidad de probabilidad e x p o n en c ia le s , se pueden escrib ir cada una de
las fu n cion es de densid ad c o m o
r ° si , v < o j oi _ l - ,/io n f Á y ) “ j i^ 1 0 ** S I A > 0
si y < 0
,-yf5
P uesto que X y Y son in d ep en d ien tes, la función de densidad conjun ta e s e l producto:
17. 11 |£ .V dV, donde E está acotada por el paraboloide
x = 4y 1 + 4z 2 y el plano x = 4
18. 11 |£ r dV, donde £ está acotada por el cilindro y 2 + : 2 = 9 y
los planos x = 0, y = 3 x y z = 0 en el prim er octante
19-22 Use una integral triple para h a lla re ! volum en del sólido
dado.
19. El tetraedro encerrado por los planos coordenados y el plano
2 x + y + z = 4
20. El sólido encerrado por los paraboloides_2 i 2 o 2y = x^ + z y y = 8 — j r2 2
21. El sólido encerrado por el cilindro y = x2 y los planos
- = 0 y y + ; = 1
22. El sólido encerrado por el cilindro x 2 + z 2 = 4 y los planos
y = — I y y + : = 4
23. a) Exprese el volum en de la cuña en el prim er octante que
es cortada por el cilindro y 2 + z 2 = 1 por los planos y = x
y x = I como una integral triple,
b) Use la tabla de integrales (en las páginas de referencia al
final del libro) o un sistem a algebraico com putarizado para
hallar el valor exacto de la integral triple del inciso a).
24. a) En la regla del p u n to m edio p a ra in te g ra le s t r ip le s se
usa una triple suma de R iem ann para aproxim ar una
integral triple sobre una caja B, donde f ( x , y , r ) se evalúa
en el centro (!x,-, y¿, 7*) de la caja £;*. Use la regla del punto
m edio para estim ar JJJ£ V .X2 + y 2 + z 2 dV, donde B es el
cubo definido por 0 í i í 4 , 0 í y í 4 , 0 í z í 4 .
D ivida a B en ocho cubos de igual tamaño,
b) Use un sistema algebraico com putarizado para aproxim ar
con cuatro decim ales la integral del inciso a). Com pare con
la respuesta del inciso a).
25-26 Use la regla del punto m edio para integrales triples
(ejercicio 24) para estim ar el valor de la integral. D ivida a £ en
ocho subcajas de igual tamaño.
25. f f ja tu s ( x y z ) dV, donde
B = {(.x, y, z) | 0 =£ .x < 1, 0 y 1, 0 ^ r ^ 1}
26. f¡¡£ y fx e xy: dV, donde
B = {(.x, y, z) I 0 ^ .x < 4, 0 ^ y ^ 1 ,0 < • < 2}
27-28 Bosqueje el sólido cuyo volum en está dado por la integral
iterada.
27. /■ rJo Jo Jo
dx 28. f 2 f 2 y i* y¡d x dz dy Jo Jo Jo
29-32 Exprese en seis form as d istin tas la integral j f fE f { X, y, z) dV
com o una integral iterada, donde £ es el sólido acotado por las
superficies dadas.
29. y = 4 - .x2 - 4 z \ y = 0
|SAC| Se requiere sistema algebraico com putarizado 1. T areas sugeridas d ispon ib les en stew artcalculus.com
1026 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
30. y 2 + r 2 = 9 , x = - 2 , a = 2
31. y = x \ z = O, y + 2z = 4
32. x = 2, y = 2, z = O, * + y - 2z - 2
33. La figura m uestra la región de integración para la integral
f f '_ T yf ( x , yy z) d z d y d x• 0 «O
R eescriba en los otros cinco órdenes esta integral com o una
integral iterada equivalente.
34. La figura m uestra la región de integración para la integral
f f * f ‘ * f{x , y, z) dy dz dx Jo Jo Jo
R eescriba en los otros cinco órdenes esta integral com o una
integral iterada equivalente.
38. Jffa (z 3 + sen y + 3) dV, donde B es la bola unitaria
x 2 + y 2 + z 2 ^ 1.
39-42 Encuentre la masa y el centro de m asa del sólido E con
la función de densidad p dada.
39. E es el sólido del ejercicio 13: p(x, y , z) = 2
4 0 . E está acotada por el cilindro parabólico z = 1 — y 2 y los
planos a + z = 1, x = 0 y z = 0: p{x, y , z) = 4
4 1 . E es el cubo dado por 0 ^ A ^ p (x , y , z) = a 2 + y2 + z 2
42. E es el tetraedro acotado por los planos a- — O, y — 0,
z = 0 , A + y + z = 1: p(x, y , z) = y
43-46 Suponga que el sólido tiene densidad constante k.
43. Encuentre los m omentos de inercia para un cubo con longitud
de lado L si un vértice está situado en el origen y tres aristas
están a lo largo de los ejes de coordenadas.
44. D eterm ine los m om entos de inercia para un ladrillo rectangular
con d im ensiones a , b y c y m asa M, si el centro del ladrillo está
situado en el origer. y las aristas son paralelas a los ejes de
coordenadas.
45. Halle el m om ento de inercia alrededor del eje z del
cilindro sólido A'2 + y 2 < a 2, 0 z ^ h.
46. Calcule el m omento de inercia alrededor del eje z del cono
sólido v”A2 + y 2 ^ z h.
47-48 Plantee, pero no evalúe, expresiones integrales para
a) la m asa, b) el centro de m asa y c) el m om ento de inercia
respecto al eje z.
47. El sólido del ejercicio 2 1 : pÍA, y, z) = n/ a 2 + y 2
48. El hem isferio A2 + y 2 + z2 ^ 1, z > 0:
p ÍA .y .z ) = t / a 2 + y 2 + z 2
35-36 E scriba o tras cinco integrales iteradas que son iguales a la
integral iterada dada.
36. f ' f ' f ( x , y , z ) d x d : d yJO J y • 0
37-38 Evalúe la triple integral usando sólo interpretación
geom étrica y simetría.
37. J / j c (4 + 5A2y z2) dV, donde C es la región cilindrica
x2 + y 2 ^ 4, - 2 ^ z ^ 2
49. Sea E el sólido en el prim er octante acotado por el cilindro
x2 + y 2 = 1 y los planos y = z, z = 0 y z = 0 con la función
de densidad p(x, y , z) = I + x + y + z. Use un sistema
algebraico com putarizado para hallar los valores exactos
de las siguientes cantidades para E.
a) L a m asa
b) El centro de masa
c) El m om ento de inercia respecto al eje z
[SAC] 50. Si E e s el sólido del ejercicio 18 con función de densidad
p (a, y , z) = x2 + y2, encuentre las siguientes cantidades, con
una aproxim ación de tres decim ales.
a) L a m asa
b) El centro de masa
c) El m om ento de inercia respecto al eje z
SECCIÓN 15.8 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS 1027
51. L a función de densidad conjunta para variables aleatorias X, Y
y Z e s f ( x , y, z) = Cxyz s i O ^ A < 2 , 0 ^ y « 2 , 0 « z « 2
y f ( x , y , z) = O en cualquier otro caso.
a) Encuentre el valor de la constante C.
b) D eterm ine P ( X ^ 1, F ^ 1, Z ^ I ) .
c) Calcule P{X + Y + Z == l).
52. Suponga que X, Y y Z son variables aleatorias con función de densidad conjunta / ( a , y, z) = C,̂ -<°-5jt+0-2>+0 s¡ x > o, y > 0,
z > 0 y f ( x , y , z) = 0 en cualquier otro caso.
a) Encuentre el valor de la constante C.
b) D eterm ine P ( X < 1, Y ^ 1).
c) O btenga P (X < 1, Y ^ 1, Z ^ l).
53-54 El v a lo r p rom ed io de una fu n c ió n /(x , y , z) sobre una región sólida E se define com o
= W ¡ J I f / t̂ ’ ■v' " ) <IV
donde V(E) es el volumen de E. Por ejem plo , si p es una función
densidad, entonces p fR,m es la densidad prom edio de E.
5 3 . Encuentre el valor prom edio de la función f ( x , y , z) = xyz
sobre el cubo con longitud lateral L que yace en el prim er
octante con un vértice en el origen y aristas paralelas a los
ejes coordenados.
5 4 . Encuentre el valor prom edio de la función
f ( x , y , z) = x~ + y 2z sobre la región encerrada
por el paraboloide z = 1 — x 1 — y 1 y el plano z = 0.
55 . a) Determine la región E para la cual la integral triple
J jJ 11 - ,v3 - 2 r - 3 z !) d V "£
es un máximo.
b) U tilice un sistem a algebraico com putarizado para calcular
el valor máxim o exacto de la integral triple del inciso a).
PROYECTO PARA UNDESCUBRI MI ENTO V O L Ú M E N E S D E H IP E R E S F E R A S
En este proyecto encontram os fórm ulas para el volumen encerrado por una hiperesfera en el
espacio /i-dim ensional.
1. Utilice una integral doble y sustitución trigonom étrica, jun to con la fórm ula 64 de la tabla de
integrales, para encontrar el área de un círculo con radio r.
2 . Use una integral triple y sustitución trigonom étrica para encontrar el volum en de una esfera
con radio r.
3 . Emplee una integral cuádruple para encontrar el hipervolum en encerrado por la hiperesfera
x2 + y 2 + z 2 + tir = r en IR4. (Utilice sólo sustitución trigonom étrica y las fórm ulas de
reducción | s e W x d x o | co snAúfA.)
4 . Utilice una /i-tuple integral para encontrar el volumen encerrado por una hiperesfera de radio
r e n el espacio /?-dimensional IR". [Sugerencia: las fórm ulas son diferentes para n par y n
impar.J
Integrales triples en coordenadas cilindricas
E n la g e o m e tr ía p la n a e l s is te m a d e c o o rd e n a d a s p o la re s e s u til iz a d o p a ra d a r u n a c o n v e -
n ien te d e sc r ip c ió n d e c ie r ta s c u rv a s y reg io n es . (V é ase la se c c ió n 10 .3 .) L a f ig u ra 1 nos
a y u d a a re c o rd a r la re la c ió n e n tre las c o o rd e n a d a s p o la re s y c a r te s ia n a s . S i e l p u n to P t ien e
c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s (at, y ) y c o o rd e n a d a s p o la re s ( r , 0), e n to n c e s , d e la f ig u ra ,
x = r e o s 0
x- + y
r sen 0
tan 0
E n tre s d im e n s io n e s h a y un s is te m a d e c o o rd e n a d a s lla m a d o c o o rd e n a d a s c i l i n d r i -
c a s , q u e e s s im ila r al d e las c o o rd e n a d a s p o la re s y d a u n a c o n v e n ie n te d e s c r ip c ió n d e
a lg u n a s su p e rf ic ie s y só lid o s c o m u n e s . C c m o v e re m o s , a lg u n a s in te g ra le s tr ip le s son
m u c h o m á s f á c i le s d e e v a lu a r e n c o o rd e n a d a s c il in d r ic a s .
1028 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
F IG U R A 2
C oordenadas cilindricas de un punto
] Coordenadas c i l ind ricas
En e l sistem a de coord en ad as c ilin d r ica s , un punto P en e l e sp a c io d e tres d im en sio n es está
representado por la terna (r, 0, z), d on d e r y 0 son coord en adas polares de la p ro yecc ión de
P sobre e l p lano xy y r e s la d istan cia d irig ida d e l p lano xy a P. (V éa se la figura 2 .)
Para convertir de coord en adas c ilin d ricas a rectangulares, u sa m o s las e cu a cio n es
m x = ;* c o s r sen 0
m ientras que para convertir d e rectangulares a c ilindricas, u sam os
F IG U R A 3
EJEMPLO 1
a) G rafique e l punto con coord en adas c ilin d ricas (2 , 2 /7t / 3, 1) y encuentre sus
coord en adas rectangulares.
b ) Encuentre las coord en adas c ilindricas d e l puir.o co n coord en adas rectangulares
(3 , - 3 , - 7 ) .
SOLUCIÓN
a) El punto con coord en adas c ilin d ricas (2 , 2 t t / 3, 1) se m uestra en la figura 3. D e las
ecu a c io n es 1, sus coord en adas rectangulares son
27r
3
2 7 7
A sí, e l punto e s ( —1, \ / 3 , l ) e n coord en adas rectangulares,
b) D e las ecu a c io n es 2 , ten em os
FIGURA 4
r = c, u n c ilin d ro
r = V 3 2 + ( — 3 )2 = 3 \ 2
tan 0 por ende 0l i r
4- 2nir
Por tanto, un con ju n to d e coord en adas c ilin d ricas e s (3 \¡2 , 7 7 t /4 , —7). Otro es
(3v/2~, — 7 t/4 , —7). C om o co n las coord en adas polares, hay un in fin ito d e e le cc io n e s .
Las coord en adas c ilin d r ica s son ú tiles en problem as que involucran sim etría resp ecto a
un e je , y e l e je z se e lig e de m anera que c o in c id a con e l eje de sim etría. Por e jem p lo , e l eje
d el c ilin d ro circular con coord en adas cartesianas x1 + y 2 = c2 e s e l eje z. En coord en adas
c ilin d r ica s e ste c ilin d ro tiene una ecu a c ió n m uy sim ple, r = c . (V éa se la figura 4 ). E sta es
la razón d e l nom bre coord en adas "c ilind ricas” .
SECCIÓN 15.8 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS 1029
F IG U R A 5
z — r , un cono
□ EJEMPLO 2 D escrib a la su perfic ie c u y a ecu ación e s coord en adas c ilin d ricas e s z
SOLUCIÓN L a ecu a ció n in d ica que e l valor z, o altura, de cad a punto sobre la su perfic ie
e s r , la d istan cia d e l punto al eje z. D ad o que 6 no aparece, puede variar. A s í que
cualquier traza horizontal en e l plano z = k (k > 0 ) e s una circunferencia de radio k. E stas
trazas sugieren que la su p erfic ie e s un co n o . E sta pred icción puede confirm arse
co n v irtien d o la ecu a ció n en coord en adas rectangulares. D e la prim era ecu a ció n en [2~|
ten em os
z 2 = i2 = ¿ + y 2
A la ecu a ció n z 2 = x 1 + y 1 se le reco n o ce (por com paración co n la tabla 1 de la secc ió n
12 .6) c o m o un c o n o circu lar c u y o eje e s z. (V éase la figura 5 .)
Evaluación de integrales triples con coordenadas c i l ind ricas
S u p on ga que E e s una región de tipo 1 c u y a p royección D sobre e l p lano xy e s c o n v e n ie n -
tem ente d escrita en coord en adas polares (véase la figura 6). En particular, su pon gam os que
f e s con tin u a y
E = { ( .v , y , z) | ( x , y ) E D , m ( x t y ) ^ z ^ u 2{ x , y)}
don de D e stá dada en coord en adas po lares por
D = {(r , 9) | a 0 «s 0, h x{ 0 ) r ^ h 2{$ )}
u2(xf y)
F IG U R A 6
Por la ecu a ció n 1 5 .7 .6 sab em os que
0 jjj f(x, y, z) dv = jj [jj;:;;;7(.v, y. *> &]E D L J
dA
Pero tam bién sab em os c ó m o evalu ar in tegrales d o b les en coord en adas polares. D e h ech o ,
co m b in an d o la ecu a ció n 3 con la ecu a ció n 15 .4 .3 , ob tenem os
H f f f f i x* y» -") dV = ( f I , U* / ( / e o s $. r sen B. z) r dz d r d$J J J % tt J i> m » A r sen <5)
1030 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
FIGURA 7
Elemento de volumen en coordenadas
cilindricas : dV — r dz dr dB
La ex p resió n en 4 es la fó r m u la p a r a la tr ip le in te g r a c ió n e n c o o r d e n a d a s c il in d r ic a s .
Indica que co n v ertim o s una integral triple de coordenadas rectangulares a cilin d r ica s e sc r i-
b ien d o x = r e o s 0, y = r sen 0 , dejando a z com o está , usando lo s lím ites de integración
apropiados para z, r y 0 , y rem plazando dV por rdzdrdO . (L a figura 7 m uestra c o m o recor-
dar e sto .) V ale la pena utilizar e sta fórm ula cuando E e s una región só lid a fác ilm en te d e s -
crita en coord en adas c ilin d ricas y e sp ec ia lm en te cuando la fun ción f(x> y , z) invo lucra la
ex p resió n a t 4- y 2.
Í I I 2 3 S H H 1 Un só lid o E se encuentra dentro de un cilindro a t 4- y 2 = 1, por debajo del
plano z = 4 , y por en c im a d e l paraboloide z = 1 - at — y 2. (V éa se la figura 8). La d e n s i-
dad en cualqu ier punto e s proporcional a la d istan cia d e l eje d e l c ilindro. Encuentre la
m asa de E.
SOLUCIÓN En coord en adas c ilin d r ica s , e l c ilin d ro r = 1 y e l paraboloide e s z = 1 — r , a s í que p o d em o s escrib ir
E = {(r , f t z ) | 0 « N 2 t r , l , l 4 }
D ad o que la densidad en ( a ; y , z) e s proporcional a la d istan cia d e l e je z , la función d e n -
sidad es
/( .v , y , z) = K y /x 2 + y 2 = Kr
d on d e K e s la constan te de proporcionalidad . Por tanto, de la fórm ula 15 .7 .13 , la m asa
de E e s
m = f f f K J x 2 + y 2 d V = P " f f 4 (Kr) r d z dr dOJJJ JO Jo Jl-T1
E
= P ' f ' K r2[4 - (1 - r 2) ] d r d d = K P '< ¿ 0 f (3 r 2 + r 4 )drJo Jo Jo Jo
J r 5 1' 127tK= 2irK\ r 3 + — = ------------- ■L 5 J0 5
EJEMPLO 4 E valúe f " _ _ _ _ _ _ _ f"_ _ _ (.v2 + y 2) d z d y d x .J—2 J-y/4=P Jjx2+y2
SOLUCIÓN E sta integral iterada e s una integral triple sobre la región só lid a
E = {(.v, y, z) | - 2 í x í 2 , - v"4 - .v2 =s y s/4 - r 2 , / v 2 + y 2 z =s 2}
y la p ro yecc ión de E sobre e l p lano xy e s e l d isco x2 + y2 4 . La su perfic ie in ferior de
E e s e l co n o z = y /x 2 + y 2 y la superficie superior e s e l plano z = 2. (V éase la figura 9.)
E sta región tiene una d escr ip ción m ucho m ás sim ple en coord en adas cilindricas:
E = {(r , 0, z) | O =s 9 27t, O r 2 , r =ss z ^ 2 }
Por tanto, ten em o s
f2 (x2 + y 2)dzdy!-2 J —v'4—.i1 Jv ’F+ p
dx = JJJ (ar + y £)dV *£
= P ' P C r r d z d r d eJo Jo Jr
= f ' d 0 f V ( 2 - r)dr Jo Jo
= 2 7 r [ V - y r 5 ] ó = x 7 i
SECCIÓN 15.8 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS 1031
Ejercicios
1-2 Grafique los puntos cuyas coordenadas c ilindricas están dadas.
D espués encuentre las coordenadas rectangulares del punto.
1. a) (4, t t /3 , - 2 )
2. a) ( n/T , 3 t t /4 , 2)
b) (2, —7t / 2, i)
b) (1, 1, 1)
18. Evalúe JT/£ r dV, donde E está encerrada por el paraboloide
z = x 2 + y 2 y el plano z = 4.
19. Evalúe j j f£ (x + ): + ~) dV, donde E es el sólido en el prim er
octante que está bajo el paraboloide z = A — x 2 — y 2.
3-4 C am bie de coordenadas rectangulares a cilindricas.
3. a) ( - 1 , 1, 1) b) ( - 2 , 2 v/T ,3 )
4. a) ( 2 y/3, 2, — i) b) (4, - 3 ,2 )
5-6 D escriba en palabras la superficie cuya ecuación está dada.
5 . $ = 7 r /4 6 . r = 5
7-8 Identifique la superficie cuya ecuación está dada.
7. z = 4 - r 2 8. 2 r 2 + r 2 = 1
9-10 Exprese la ecuación en coordenadas cilindricas.
9. a) x 2 - x + y 2 + z 2 = I b) z =
10. a) 3x 4 2y + z = 6 b) - x
x 2 - y 2
11-12 Trace el sólido descrito por las siguientes desigualdades.
11. 0 r < 2, - i r / 2 ^ 6 ^ t t /2 , 0 < z ^ 1
12. O í N i r / 2 , r 2
13. Un proyectil cilindrico tiene 20cm de longitud, con radio
interior de 6cm y radio exterior de 7cm . Escriba desigualdades
que describan al proyectil en un sistem a de coordenadas
apropiado. Explique cóm o tiene que posicionar el sistema
de coordenadas respecto al proyectil.
Utilice un dispositivo de graficación para d ib u ja re! sólido
encerrado por los paraboloides z = r + f y z = 5 — x2 — y 2.
15-16 Trace el sólido cuyo volum en está dado por la integral y
evalúela.
15. [*" \ ~ \ r rdzárdQ 16. \ r r dz d$drJ - n /2 Jo JO JO JO JO
17-28 Use coordenadas c ilindricas
20 . Evalúe fj j£ X dV, donde E está encerrada por los planos z = 0 y
z = x 4 y 4 5 y los cilindros x2 4 y 2 = 4 y x 2 4 y 2 = 9.
21 . Evalúe j j j £ X2dV, donde E es el sólido que está dentro del
cilindro x2 4 y2 = 1, por encim a del plano z = 0 y por debajo
del cono z2 = Ax2 4 4y2.
22 . Encuentre el volumen del sólido que está dentro del cilindro
x2 4 y 2 = 1 y la esfera x2 4 y 2 4 z2 = 4.
23 . Encuentre el volumen del sólido que está encerrado por el cono
z = J x 2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z2 = 2.
24 . Encuentre el volumen del sólido que está entre el paraboloide
z = x2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2.
25 . a) Encuentre el volum en de la región E acotada por los
paraboloides z = x2 + y 2 y z = 36 — 3x2 — 3 y 2,
b) Encuentre el centroide de E (el centro de m asa en el caso
donde la densidad es constante).
26 . a) Encuentre el volum en del sólido que el cilindro r = a cos 6
corta de k esfera de radio a centrada en el origen,
b) Ilustre el sólido del inciso a) graficando la esfera y el
cilindro en la m ism a pantalla.
27. Encuentre la masa y el centro de m asa del sólido S acotado por
el paraboloide z = 4.x2 + 4y2 y el plano z = a(a > 0) si S tiene
densidad constante K.
28 . Encuentre la masa de una pelota B dada por x2 + y 2 + z2 ^ a 2
si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia
con el eje z.
29-30 Evalúe la integral cam biando a coordenadas cilindricas.
29. f ‘ | ' > f ‘ x z d z d x d yJ - 2 J - v 4 - y ’ J v V + > -
17. Evalúe f j f £ y jx2 4 y 2 dV, donde E es la región que está en
el interior del cilindro x2 + y 2 = 16 y entre los planos
z 5 y z = 4.
30. f ’ f (J >J v'.x2 4 y 2 dz d y d x
Se requiere calcu ladora graficadora o com pu tado ra 1. T areas sugeridas d isp o n ib les en slew artcalculus.com
1032 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
31. Al estudiar form aciones de cadenas m ontañosas, los
geólogos estim an la ccntidad de trabajo necesario para
levantar una m ontaña desde el nivel del mar. C onsidere una
m ontaña que tiene esencialm ente form a de un cono c ircular
recto. Supongam os que la densidad de peso del m aterial en
la cercanía de un punto P e s g(P) y la altura es h(P).
a) Plantee una integral defin ida que represente el trabajo
total realizado para form ar la montaña.
b) Suponga que el monte Fuji de Japón tiene form a de un
cono c ircular recto con radio de 620 0 0 pies, altura de
12 400 pies y su densidad es una constante de 200 Ib /p ie 3.
¿C uánto trabajo se realizó para form ar el m onte Fuji si
el suelo estaba inicialm ente al nivel del mar?
PROYECTO DELABORATORIO IN T E R S E C C IÓ N D E T R E S C IL IN D R O S
En la figura se m uestra el sólido encerrado por tres cilindros circulares con el m ism o diám etro que
se cortan en ángulos rectos. En este proyecto se calcula el volum en y se determ ina cóm o cam bia
su form a si los cilindros tienen diám etros diferentes.
1. Bosqueje con cuidado el sólido encerrado por los tres cilindros x2 + y 1 = 1, x 2 + z 2 = 1
y y 2 + : 2 = 1. Indique las posiciones de los ejes coordenados y marque las caras con las
ecuaciones de los cilindros correspondientes.
2. Encuentre el volum en del sólido del problem a I.
j 3. Use un sistem a algebraico com putarizado para trazar las aristas del sólido.
4. ¿Qué sucede con el sólido del problem a 1 si el radio del prim er cilindro es diferente
de 1? Ilustre con una gráfica hecha a m ano o con una com putadora.
5. Si el prim er cilindro es x2 + y 2 = a 2, donde a < 1, plantee, pero no resuelva, una integral
doble para el volum en del sólido. ¿Q ué pasa si a > 1?
|SAC| Se requiere sistem a algebraico com putarizado
SECCIÓN 15.9 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS 1033
Integrales triples en coordenadas esféricas
FIGURA 1
Coordenadas esférices de un punto
Otro útil u so de lo s sistem as de coordenadas en tres d im en sio n es está en e l sistem a de
coord en adas esfér ica s . É ste s im p lif ic a la eva lu ación d e la triple integral sobre reg ion es
acotadas por esfera s o co n o s.
Coordenadas esfér icas
Las c o o r d e n a d a s e s fé r ic a s (p , G, <}>) de un punto P en e l e sp a c io se ilustran en la figura 1,
d on d e p = \ OP | e s la d istan cia d e l origen a P , 6 e s e l m ism o ángu lo en coord en adas c il in -
dricas, y <t> e s e l ángu lo entre e l eje r p o sitiv o y e l seg m en to de recta OP. N ó tese que
El sistem a de coord en adas esfér ica s e s esp ec ia lm en te útil en problem as don de hay sim etría
resp ecto a un punto, y e l origen se c o lo c a en este punto. Por e jem p lo , la esfera co n centro
en e l origen y radio c tiene la m uy sen c illa ecu ación p = c (véase la figura 2): é sta es la razón
d el nom bre de coord en adas “e sfér ica s”. L a gráfica de la ecu a c ió n 6 = c e s un plano verti-
ca l (v éa se la figura 3 ), y la ecu a ció n d> = c representa un se m ico n o con e l e je z en su eje
(v éa se la figura 4).
FIGURA 2 p = c , una esfera FIGURA 3 9 = C, un semiplano
0 < c < 7t/2
FIGURA 4 = c, un semicono
L a relación entre coord en adas rectangulares y esfér ica s se puede ver de la figura 5. D e
lo s triángulos OPQ y O PP' ten em os
z = p e o s <£, r = p sen <f)
Pero x = r eo s 6 y y = r sen 0, de m o d o que para convertir de coord en adas esfér ica s a rec -
tangu lares, u sam os las ecu a c io n es
x = p sen ó e o s G y = p sen ó sen G p eo s (f>
T am bién , la fórm ula d e d istan cia m uestra que
E■> ■> ■> ip - = x - + y ~ + z
U se esta ecu a ció n para convertir coordenadas de rectangulares a esfér icas.
1034 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
F IG U R A 6
[ § ] A D V E R T E N C IA No hay acuerdo
universal sob re la notación para coordenadas
esféricas. Casi todos los libros de física
invierten los significados d e 9 y ó y usan
r e n lugar de p.
U x f l E n M odule 15.8 s e m ueslran fam ilias de
superficies en coordenadas cilindricas y esféricas.
/ , ± 6 = Pí sen<f>k A#
FIGURA 7
Q E l p u n to (2 , 7 r /4 , 7t / 3) e s tá d a d o en c o o rd e n a d a s e s fé r ic a s . L o c a lic e el
p u n to y e n c u e n tre su s c o o rd e n a d a s re c ta n g u la re s .
SOLUCIÓN L o c a liz a m o s e l p u n to en la f ig u ra 6. De las e c u a c io n e s 1 te n e m o s
TT 7Tp sen A e o s 6 — 2 sen — e o s —
3 4
y = p sen <p s e n 0 = 2 sen
z = p e o s <p = 2 e o s = 2 ( j ) = 1
E nton ces e l punto (2 , 7r /4 , 7t / 3) e s (> /3 /2 , -v /3 /2 , l ) en coord en adas rectangulares.
Q U 2 J U E B I Eí punto (O, 2 —2) está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre
coord en adas e sfér ica s para este punto.
SOLUCIÓN D e la ecu a ció n 2 ten em os
p = y / x 2 + y 2 + z 2 = V 0 + 12 + 4 = 4
y en to n ces las ecu a c io n es 1 dan
c o s é = ± = Z l = _ 1 <¿>= —C° S p 4 2 3
e o s 9 TT
p sen <¡> 2
(O bserve que 0 ^ 2>t t / 2 porque y = 2 N/3 > O.) Por tanto, las coord en adas esfér icas
d el punto dado son (4 , 7 t /2 , 2 7 t/3 ).
H Evaluación de integrales tr ip les con coordenadas esfér icas
En e l sistem a de coord en adas e sfér ica s , la contraparte de una caja rectangular e s una cuña
esfér ica
E = { ( p , 9, <f>) | a p b , c * z ( f > ^ d }
don de a ^ O y / 3 — <2 ^ 2-77 y d — c ^ ir. A unque se defin en in tegrales trip les d iv id ien d o
só lid o s en cajas p equ eñ as, se puede dem ostrar que d iv id ir un só lid o en pequeñas cuñas
esfér ica s da siem pre e l m ism o resultado. A s í, d iv id im o s E en cuñas esfér ica s m ás p eq u e -
ñas E ijk por m ed io de esferas igu a lm en te espaciadas p = p„ sem ip lan os 6 = 9 j y se m ico -
nos ó = <f>t. En la figura 7 se m uestra que E ijk es aproxim adam ente una caja rectangular
con d im en sio n es A p , p , A <t> (arco de una circu nferencia con radio p„ ángu lo A <¡f>), y
p, sen <¡í>¿ A 9 (arco de una c ircu n feren cia con radio p, sen <f>t, ángu lo A 9 ) . A s í que una apro-
x im ación al v o lu m en de Eijk e stá dada por
&V<jk ** {A p )(p . A<f>)(p, sen <f> AB) = f¿ sen tp ApABA<f>
D e h ech o , se puede dem ostrar, co n la ayuda d e l teorem a d e l va lor m ed io (e jercic io 4 7 ) , que
e l v o lu m en de E,* e stá dado ex a ctam en te por
A Vijt = pr sen $ A pA O A tp
d o n d e ( p „ Bj, <f>k) e s a lg ú n p u n to en E ijk . Sean (*$*» y -$*) las c o o rd e n a d a s re c ta n g u la re s
d e e s te p u n to . E n to n c e s ,
etc 1 "III f{x , y, z) dV - lím 2 2 2 y,% 4) AV „,” *
/ n i n
= lím 2 2 2 f (p . sen e o s 0> p , sen sen 0.-, p , e o s # 0 sen A p A 0 A<£
P ero e s ta su m a e s u n a su m a d e R iem a n n p a ra la fu n c ió n
F(p. ft - / { p sen <jk e o s 0, p sen <¡& sen 0, p e o s 4>)p: sen <f>
F.n c o n se c u e n c ia , se h a l le g a d o a la s ig u ien te f ó r m u la p a r a la t r ip l e in te g r a c ió n e n c o o r -
d e n a d a s e s fé r ic a s .
SECCIÓN 15.9 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS 1035
|T j JJJ f(x,y, z) dV £
* f 7 ( p sen e o s 0. p sen ^ sen 0, p e o s <£) p: sen <p dpd$d<pa .
don de E e s una cuña e sfér ica dada por
E = {(p , 0, </>) | a p =s b, c ^ < f > ^ d }
L a fórm ula 3 in d ica que se con v ierte una integral triple de coord en adas rectangulares a
esfér ica s al escrib ir
x = p sen <f> e o s 6 y = p sen <¡f> sen 0 z = p e o s <f>
con lo s lím ites de in tegración apropiados y el reem plazo de d V por p 2 sen <f> dp dd d é . E sto
se ilustra en la figura 8.
F IG U R A 8
Elem ento de volumen en coordenadas
esféricas: dV = p 1 sen <f>dpdOd<b
E sta fórm ula se puede am pliar para incluir reg io n es esfér ica s m ás generales c o m o
E = {(p , 9, (f>\ \ a ^ 0 ^ ¡3, c ^ ^ d, gx{6, <¡» ^ p ^ g2(0, 4>)}
En e ste c a so la fórm u la e s la m ism a q u e en [J ], e x c e p to que lo s lím ite s de in tegración
para p son gi( 6, <f>) y gi( 6, </>)■Por lo c o m ú n , la s co o rd en a d a s e s fé r ic a s se usan en in teg ra les tr ip les cu a n d o su p e rfi-
c ie s c o m o c o n o s y esfera s form an e l lím ite de la región d e integración .
1036 CAPÍTULO 15 IN T E G R A L E S M Ú L T I P L E S
F IG U R A 9
La figura 10 m uestra otro a sp ec t) (es ta vez
trazado por M aple )del sólido del ejemplo 4.
□ EJEMPLO 3 E valúe J j \£ e (j’+y’+r2)*1 dV , donde B e s la b o la unitaria.
B = {(.v, y, : ) | x 2 + y 2 + z2 « l}
SOLUCIÓN P uesto que e l lim ite de B e s una esfera, se usan coord en adas esféricas:
B = {(p, 6, <f>) | O =£ p 1, O 2-7T, O =s (¡) =ss tt}
A d em á s, las coord en adas esfér ica s son apropiadas porque
�> , �> . •» !>
■* +y~ + z~= p~
A sí, [T| da
f f f e^x ** +; ^ ¿/V = | f ( é* f f sen <f* d p d B d t f t
a
= I sen <6 ció | d$ i ( f e * 'd oJo Jo Jo r r
- [ - e o s ¿ ] '( 2 * r ) [ j e * % = J7r(e - l )
NO TA H abría s id o extrem adam ente d if íc il evaluar la in tegral del e jem p lo 3 sin c o o rd e -
nadas esfér ica s . En coord en adas rectangulares la integral iterada habría sido
f , f vl f v ," J y e W + ^ ' d z d y d x J - i J -y r = p J -v r = p = p 7
Q | 2 H 5 H E n U se coord en adas esfér ica s para hallar e l v o lu m en d e l só lid o que yace
arriba d e l c o n o r = y /x2 + y 2 y d ebajo de la esfera j c + y2 + z2 = z. (V éa se la figura 9.)
SOLUCIÓN O bserve que la esfera pasa por e l origen y tien e cen tro (o , O, 7 ). Se escribe la
ecu a ció n de la esfera en coord en adas esfér ica s c cm o
p 2 = p e o s <t> o p = e o s (f)
L a ecu a ció n d e l c o n o se puede escrib ir c o m o
p e o s = y pr s e n c o s : 0 + p- sen 2<¿> sen 20 = p s e n
E sto d a sen d> = e o s ó , o (f) = 7 t / 4 . Por tanto, la d escr ip ción d e l só lid o E en
coord en adas esfér ica s es
FIG U RA 10E = {(p, 6, <f>) | O ^ 6 27T , O (f) 5= t t / 4 , O p e o s (f)}
SECCIÓN 15.9 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS 1037
U U En Visual 15.8 s e m uestra una
anim ación de la figura 11.
E n la f ig u ra 11 se m u e s tra c ó m o E e s b a r rid a si se in te g ra p r im e ro re sp e c to a p , lu eg o
y d e sp u é s 9. E l v o lu m e n de E e s
V( E ) = fJJ d V = £ " /4 J ” * p - sen t d p d t d 8
[2 “I n—C(Xi *
y j d é
2 t t r —} 4 , 2 t t f c o s 4é T ^= sen <f> e o s d) a ó = I I =
3 *'° 3 L 4 Jo
FIGURA 11
p varía de O a eos <t>, mientras que <f> y 6 son constantes.
<6 varía de O a 7t/4, mientras que
6 es constante.
Ejercicios
1-2 Localice el punto cuyas coordenadas esféricas se dan. A
continuación encuentre las coordenadas rectangulares del punto.
1 .a ) (6, 7t / 3 , t t / ó .i
2. a) (2, t t / 2 , t t / 2 )
b) (3 , t t / 2 , 3 t t /4 )
b) ( 4 , - 7 t / 4 , 7t/3)
3-4 Cam bie de coordenadas rectangulares a esféricas.
3. a) (O ,- 2 ,0 ) b) ( - 1 , 1 , - v 'T )
4 . a ) ( 1 ,0 , , / ? ) b) (N/ T , - 1 , 2 V T )
5-6 D escriba verbalmente la superficie cuya ecuación se da.
5. <£> = 7r/3 6. p = 3
7-8 Identifique la superficie cuya ecuación se da.
7. p = sen B sen <f> 8. p 2(sen2 ó sen2 6 + eos2 <f> = 9
9-10 E scriba la ecuación en coordenadas esféricas.
9. a) z 2 = .x2 + y 2 b) .x2 + - 2 = 9
10. a) .x2 — 2.x +■ y 2 + r 2 = 0 b) .x + 2y + 3z = 1
11-14 Trace el sólido descrito por las desigualdades dadas.
11. 2 ^ p ^ 4 , 0 ^ ^ t t /3 , O ^ S ^ t t
12. I < p ^ 2, 0 < 4> ^ t t /2, t t /2 ^ 6 < 3 t t /2
13. p =5 1, 3 t t /4 ^ ^ t t
14. p ^ 2, p ^ esc
15. Un sólido se encuentra sobre el cono r = y fx 2 + y 2 y bajo la
esfera x 1 + y2 + z 2 = z. E scriba una descripción del sólido en
términos de desigualdades que involucren coordenadas esféricas.
16. a) Encuentre desigualdades que describan una esfera hueca
con diám etro de 3 0 cm y grosor de 0 .5 cm. Explique en qué
form a ha posicionado el sistem a de coordenadas que ha
seleccionado.
Se requiere calculadora graficadora o computadora |SAC | Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
1038 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
b) Suponga que la bola se corta a la m itad. Escriba
desigualdades que describan una de las m itades.
17-18 Bosqueje el sólido cuyo volum en está dado por la integral y
evalúela.
17. T ' I a 2 sen A d p d O d ólo Jo Jo r
18. | W (**" | p : sen dpdtfr ¡6» 0 J 2 » I
19-20 Plantee la integral triple de una función continua arbitraria
f ( x , y , z) en coordenadas cilindricas o esféricas sobre el sólido mostrado.
32. Sea H un hemisferio sólido de radio a cuya densidad en
cualquier punto es proporcional a su d istancia desde el centro
de la base.
a) Encuentre la masa de H.
b) Calcule el centro de m asa de H.
c) Halle el momento de inercia de H respecto a su eje.
33. a) Encuentre el centroide de un hem isferio sólido hom ogéneo
sólido de radio a.
b) D eterm ine el momento de inercia del sólido del inciso a)
respecto a un diám etro de su base.
34. Determ ine la m asa y el centro de m asa de un hem isferio sólido
de radio a si la densidad en cualquier punto es proporcional a
su d istancia desde la base.
21-34 Use coordenadas esféricas.
21. Evalúe |f j£ (* 2 + >'2 + z2)2dV, donde B e s la bola con centro
en el origen y radio 5.
22. Evalúe jjjB (9 — .X2 — y 2)dV, donde H e s la sem iesfera sólida
.x2 + y 2 + z 2 < 9 ,z Z 0.
2 3 . Evalúe IÍJ£ (* 2 + >’2) dV, donde E está entre las esferas
x2 + y 2 + z2 = 4 y x 2 + y 2 + z2 = 9.
2 4 . Evalúe \ \jEy 2dV, donde E es el hem isferio sólido
j r + y 2 ’-i- z2 ^ 9 , y 2* 0.
2 5 . Evalúe ¡jfExe* +> +r dV’ donde E es la porción de la esfera
unitaria x2 + y 2 + z2 ^ 1 que está en el prim er octante.
2 6 . Evalúe 11\£ x y z d V . donde E está entre las esferas p = 2 y
p = 4 y arriba del cono (f> = 7t/3.
2 7 . Encuentre el volum en de la parte de la esfera p ^ a que está
entre los conos £ = 7 r/ó y <f> = 7t/3.
2 8 . Encuentre la distancia prom edio de un punto en una esfera de
radio a a su centro.
2 9 . a) Calcule el volumen del sólido que se encuentra arriba del
cono <f> = t t ¡ 3 y cebajo de la esfera p = 4 cos <f>.
b) Encuentre el centroide del sólido del inciso a).
30. Halle el volum en del sólido que está dentro de la esfera
x 2 + y 2 + z 2 = 4. por encim a del plano xy y por abajo del
cono z — v-X2 + y 2.
3 1 . a) Encuentre el centroide del sólido del ejem plo 4.
b) D eterm ine el momento de inercia respecto al eje z para este
sólido.
35-38 Use coordenadas c ilindricas o esféricas, lo que parezca m ás
apropiado.
35. Encuentre el volumen y el centroide del sólido E que está
arriba del cono r = y¡X2 + y 2 y debajo de la esfera.2 i 2 i ix- + y- + z¿ = 1.
36. Encuentre la cuña más pequeña cortada de una esfera de radio
a por dos planos que se cortan a lo largo de un diám etro a un
ángulo de 77/ 6 .
|SAC| 37. Evalúe |JJ£ - dV, dcnde E se localiza arriba del paraboloide
z = x 2 + y 2 y debajo del plano r = 2y. Use la tabla de
integrales (en las páginas de referencias 6 - 10) o un sistema
algebraico com puterizado para evaluar la integral.
|s¿C| 38. a) Encuentre el volumen encerrado por el toro p = sen ó .
b) Use una com putadora para d ibujar el toro.
39-41 Evalúe la integral cam biando a coordenadas esféricas.
39. f \ ' ^ y t y d z d y d x Jo Jo J vCF+7 J J
dz d x d y
41 í 2 r * 2 l f 2* '4- ^ ’ ( . , 2 + y 2 + z 2)3/2 dz d y d x J -2 J -v 4 ^ F j2- vW - y 7 7
42. Un modelo para la densidad ó de la atm ósfera terrestre cerca de
la superficie es
8 = 619.09 - 0 .000097p
donde p (la distancia del centro de la T ierra) es m edida en
m etros y 6 e s medida en kilogram os por m etro cúbico. Si
tom am os la superficie de la T ierra com o una esfera con radio
6 370 km , entonces este modelo es razonable para
6.370 X 106 < p < 6.375 X 106. Use este m odelo para
estim ar la m asa de la atm ósfera entre el suelo y una altitud
de 5 km.
ffij 43. Use un dispositivo de graficación para d ibujar un silo
form ado por un cilindro con radio 3 y altura 10 rem atado por
un hemisferio.
PROYECTO DE APLICACIÓN CARRERA DE OBJETOS CIRCULARES 1039
4 4 . L a latitud y longitud de un punto P del hem isferio norte
están relacionadas a los coordenadas esféricas p, 9, <f>,
com o sigue. T om am os el origen con el centro de la
T ierra y el eje positivo de la r que pase por el polo norte.
El eje x positivo pasa por el punto donde el m eridiano primo
(el meridiano que pasa por G reenw ich, Inglaterra) corta
el ecuador. Entonces la latitud de P es a = 90° — d>° y
la longitud es /3 = 360° — 9o. Encuentre la distancia de la
gran circunferencia de Los A ngeles (lat. 34.06° N, long.
1 18.25° O) a M ontreal (lat. 45 .50° N , long. 73.60° O). Tome
el radio de la T ierra com o de 3960 millas. (Una gran
circunferencia es la circunferencia de intersección de una
esfera y un plano que pasa por el centro de la esfera.)
4 5 . Las superficies p = 1 + j s e n m d sen n<f> se han em pleado
com o modelos para tum ores. Se m uestra la “esfera
d ispareja” con m = 6 y n = 5. Use un sistem a algebraico
com putarizado para hallar el volum en que encierra.
4 6 . D em uestre que
( " ( " ( ” J x 2 + >•- + _-2 e - ^ ’̂ d x d y dz = 2 t t
(La integral triple im propia se define com o el lim ite de una
integral triple sobre una esfera sólida a m edida que el radio
de la esferc se increm enta de m anera indefinida.)
4 7 . a) Use coordenadas cilindricas para dem ostrar que
el volumen del sólido acotado por arriba por la esfera
r2 + z 2 = a 2 y que está debajo del cono z = r cot >̂(,
(o <{> = <f>o), donde 0 < <f>0 < 7 t/2 , es
l i r a J(1
b) Deduzca el volum en de la cuña esférica dado por
p i ^ p < p i , 0i < 0 < d i. <f>i ^ (f> ^ es
AVPi
(eos <f>\ K)
c ) Use el teorema del valor m edio para dem ostrar que el
volumen del inciso b) se puede escrib ir com o
AV ™ p 2 sen Ap Afl A ó
donde p se localiza entre p\ y pi. <f>eslá entre é i y >̂i y
A p = p 2 - P i, A 0 = 02 “ 0i y A £ = ¿>2 - <t>i-
t m m ■ * i t u v ■ w w i f c y
PROYECTO DE APLICACIÓN CA RRERA DE O BJETO S C IRCULARES
Suponga que una bola sólida (una canica), una bola hueca (una pelota de squash), un cilindro
sólido (una barra de acero) y un cilindro hueco (un tubo de plom o) ruedan por una pendiente.
¿Cuál de estos objetos llega prim ero al fondo? (Haga una inferencia antes de proceder.)
Para contestar esta pregunta se considera una bola o cilindro con m asa m, radio r y m omento de ineicia I (ie:*peclo al eje de lolaciún). Si la caída veilical es h, entonces la eneig ía potencial en
la parte superior es mgh. Suponga que el objeto llega al fondo con velocidad V y velocidad angular a>,
de m odo que v = wr. La energía cinética en el fondo consiste en dos partes: \ m v 2 de la traslación
(al bajar la pendiente) y j l o r de la rotación. Si se supone que la pérdida de energía de la fricción de
rodam iento es insignificante, entonces la conservación de energía da
mgh
1 . D em uestre que
2 gh 1
1 2 I * T 1-_mv + 7 / a r
1 + I-d o n d e I* =
2 . Si y(f) es la d istancia vertical recorrida en el tiem po /, entonces con el mismo razonam iento
usado en el problem a I se m uestra que v2 = 2gy/(l + /* ) en cualquier tiem po t. Use este
resultado para dem ostrar que y satisface la ecuación diferencial
- / 2g iA l ------------l s<\ 1 + / * 1
a)vy
donde a es el ángulo de inclinación del plar.o.
1040 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
3. Resuelva la ecuación diferencial del problem a 2 y dem uestre que el tiem po de viaje total es
= 12/i(l + /*)
y g sen2**
Esto dem uestra que el objeto con el valor m as pequeño de /* gana la carrera.
4. Dem uestre que I* = 4 para un cilindro sólido e I* = I para un cilindro hueco.
5. Calcule /* para una bola parcialm ente hueca con radio interno a y radio externo r. Exprese
su respuesta en térm inos de b = a / r . ¿Qué sucede cuando a —* 0 y a m edida que a —■* r?
6. D em uestre que /* = f para una bola sólida e I* = j para una bola hueca. A sí, los
ob jetos term inan en el siguiente orden: bola sólida, cilindro sólido, bola hueca y
cilindro hueco.
Cambio de variables en integrales múltiples
E n c á lc u lo d e u n a d im e n s ió n se e m p le a c o n fre c u e n c ia un c a m b io d e v a r ia b le (u n a su s ti-
tu c ió n ) p a ra s im p lif ic a r u n a in te g ra l. Si se in v ie rten lo s p a p e le s d e x y w, se p u e d e e sc r ib ir
la re g la d e su s titu c ió n (5 .5 .6 ) c o m o
IT] fbf ( x ) d x = \df {g{u ) )g ’(u) du Ja Je
d o n d e x = g(u) y a = g (c ), b = g(d). O tra fo rm a de e sc r ib ir la fó rm u la 1 e s c o m o sigue:
i— i Cb Cd d x[ 2 ] [ f ( x ) dx = f ( X M ) 1 — du
Un c a m b io d e v a r ia b le s p u e d e se r ú til tam b ién en las in te g ra le s d o b le s . Y a se h a v is to
un e je m p lo d e e sto : c o n v e rs ió n a c o o rd e n a d a s p o lares . L as n u e v a s v a r ia b le s r y 9 se r e la -
c io n a n c o n las v a r ia b le s im p a re s x y y m e d ia n te las e c u a c io n e s
.v = r c o s 6 y = r sen 6
y la fó rm u la de c a m b io d e v a r ia b le s (1 5 .4 .2 ) se p u ed e e s c r ib i r c o m o
f f /(-*'» v ) d A = | f / ( r e o s 6, r sen 6) r d r dO
k s
d o n d e S e s la re g ió n en e l p la n o rG q u e c o rre sp o n d e a la re g ió n R en e l p la n o xy.
D e m a n e ra m ás g e n e ra l, se c o n s id e ra un c a m b io d e v a r ia b le s q u e e s tá d a d o p o r u n a
t r a n s f o r m a c i ó n T d e l p la n o uv a l p la n o xy:
T (u , v) = (x, y )
d o n d e x y y se re la c io n a n con u y v m e d ia n te las e c u a c io n e s
|~3~1 * = g ( u , y) y = l i (u , u)
o , c o m o a lg u n a s v e c e s se e sc r ib e ,
* = x ( u , v) y = y(M, y)
P o r lo c o m ú n , se su p o n e q u e T e s u n a t r a n s f o r m a c ió n C 1, lo q u e s ig n if ic a q u e g y /?
tien en d e r iv a d a s p a rc ia le s c o n tin u a s d e p r im e r o rden .
SECCIÓN 15.10 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES 1041
U na transform ación T e s en realidad una función c u y o d o m in io y rango son su bcon-
jun tos de IR2. S i T(u\y v\) = (jq, y i) , en ton ces e l punto (jci. y i) se llam a im a g e n del
punto (wi, i>i). Si no hay d o s puntos que tengan la m ism a im a g en , T se llam a u n o a
u n o . En la figura 1 se m uestra e l e fe c to de una transform ación T en una región S en el
plano uv. T transform a a S en una región R en e l p lano xy llam ada im a g e n d e S , que
co n siste en las im á g en es de lo s puntos en S.
(0,1)
*4
S, (1,0) U
Si T e s una transform ación uno a uno, en ton ces tiene una tr a n s fo r m a c ió n in v e rsa
T ~ l d e l p lano xy al p lano uv y sería p o sib le resolver las e cu a c io n e s 3 para u y v en térm i-
nos d e x y y:
u = G(x, y) v = H(x, y)
□ EJEMPLO 1 U na transform ación se define por las e cu a cio n es
x = u2 — v2 y = 2 uv
Encuentre la im agen d e l cuadrado S = {(u, v) | 0 u 1, O v =s 1}.
SOLUCIÓN L a tra n sfo rm a ció n h a ce corresp o n d er e l lím ite d e S co n e l lím ite d e la
im a g en . A s í que se c o m ie n z a por hallar las im ágen es de lo s lados de S. E l prim er lado,
Si, e stá d ad o por v = 0 (0 w =£ 1). (V é a se la figura 2 .) D e las e cu a c io n e s dadas se
tien e x = u2,
y = 0 y , por tanto, O v =s 1. A s í, Si se hace correspon der con e l seg m en to de recta de
(O, 0 ) a (1 , 0 ) en e l p lano xy. El segu n d o ladc, S 2, e s u = 1 (0 v 1) y , si 1/ = 1 en las
ecu a c io n es dadas, se obtiene
A l e lim inar v se obtiene
m
2v
O X 1
que e s la parte d e una parábola. D e m anera sim ilar, S 3 e stá dada por v = 1 (0 u ^ 1),
c u y a im agen e s e l arco parabólico
Por ú ltim o, S4 e stá dado por u = 0 ( 0 =s v ^ 1) c u y a im agen e s A '= — y2, y = 0 , es
decir , — 1 x ^ 0 . (O bserve que cuand o se v a alrededor d e l cuadrado h a cia la
izquierda, tam bién se recorre la región parabólica en d irección contraria a las m an ecilla s
d el reloj). L a im agen d e S e s la reg ión R (m ostrada en la figura 2 ) acotada por e l e je x
y las parábolas dadas por las e cu a c io n e s 4 y 5.
1042 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
A hora se verá c ó m o un ca m b io de variab les afecta a la integral dob le . S e e m p iez a con
un rectángu lo p equ eñ o S en e l p lano uv c u y a esqu in a inferior izquierda e s e l punto (no, yo)
y cu y a s d im e n sio n es son A u y Ay. (V éa se la figura 3 .)
r iC U R A 3
Au/
(h 0, u 0) A h
La im agen de S e s una región R en e l plano xy, uno de cuyos lím ites e s (a&, yo) = T(uo, yo).
El vector
r (u, y) = giu, v) i 4- h{u, v) j
e s e l v ecto r de p o s ic ió n de la im agen d e l punto ( u, v). L a e cu a c ió n d e l lado in ferior de
S e s y = yo, c u y a cu rva im agen está dada por la función vector ia l r(w, y0). E l vector tan-
gente en (Ao, yo) a e sta curva im agen es
r <m„,i>„ + Au)
F IG U R A 4
FIGURA 5
dx dyr„ = g¿U(), y0 ) i + hv{Uo, y0) j = i + — j
du du
D e m anera sim ilar, e l v ector tangente en (xq, yo) a la curva im agen d e l lado izq u ierdo de S
(a saber, u = h 0) es
dx dyrv = qj.uo, yo)i + h„{Uo, yo j = — i + — j
dv dv
Se puede aproxim ar la región im agen R = T(S ) por e l paralelogram o determ inado por lo s
v ecto res secantes
a = r(uo + A u, yo) - r(Uo, yo) b = r {Uo, vo + A y) - r(Wo, yo)
m ostrados en la figura 4. Pero
r(w0 + A «, to) “ r(n0, yo)r„ — lím
A»—o A í
y , por tanto,
D e m anera sim ilar,
r(Mo + Am, y0 ) — rÍMo, y0) A u r„
r{Ui), vo + Ay i - r(w(:, y0 ) » A y r „
E sto s ig n ifica que se puede aproxim ar R m ediante un paralelogram o determ inado por
lo s v ecto res A u r„y Ay r„. (V éa se la figura 5.) Per tanto, se puede aproxim ar e l área d e R
m ediante e l área de este paralelogram o, e l cu a l, de la secc ió n 12.4 , e s
| (Aw i>) X (Ay r j | = | r* X ru | Aw Ay
SECCIÓN 15.10 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES 1043
A l c a lc u la r e l p ro d u c to c ru z , se o b tien e
i j k
a.v dy_0
dx_ ay a.v a.vdu du du du v —
d u dv
a.v ay0
dx ay K —dy_ ay
dv dv dv dv du 0y
E l d e te rm in a n te q u e su rg e en e s te c á lc u lo se l la m a j a c o b i a n o d e la tra n s fo rm a c ió n y se le
d a u n a n o ta c ió n e sp e c ia l.
Recibe el nombre de jaco tiano en honor al
m atem ático alem án Cari Gustav Jaco b Jacob i
(1804-1851). Aunque el m atem ático
francés Cauchy fue el primero q ue usó
e s to s de te rm inan tes especiales relacionados
con derivadas parciales, Jacobi desarrolló con
ellos un método para ev a lja r integrales
múltiples.
[Y ] Definición E l j a c o b ia n o de la tran s fo rm a c ió n T d a d o p o r x = g(u , v ) y
y = /i(m, y) es
a.v a.va(.v, y) aw 0y d x d y a.v aya(w, y) ay ay d u dv dv d u
d u dv
C o n e s ta n o ta c ió n se p u e d e u sa r la e cu a c ió n 6 p a ra d a r u n a a p ro x im a c ió n d e l á re a AA
d e R.
Be(x, y)d(w, i»)
A m Ay
d o n d e e l ja c o b ia n o se e v a lú a en (mo, yo).
A c o n tin u a c ió n se d iv id e u n a reg ió n S en el p lan o u v en re c tán g u lo s S g y a las im á g e n es
en e l p la n o x y se les lla m a Rij. (V é ase la f ig u ra 6 .)
FIGURA 6
Ay i
- M i
y(«,»Vj)
A l a p lic a r la a p ro x im a c ió n [8] a c a d a Rij, a p ro x im a m o s la in te g ra l d o b le d e / s o b r e R
c o m o sigue:
f f /( .v , y) d A ¿ ¿ /(*» '. %) A A »=i ;= i
2 2 f ( g ( U ü h(Ui, Vj)) 1=1 7=1
0U y)d(u , y)
Aw Ay
1044 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
d o n d e e l ja c o b ia n o se e v a lú a en (w„ V j) . O bserve que e s ta d o b le su m a e s una su m a de
R iem ann para la integral
f f f (g {u , v), h (u ,v ))Hx, y )
Hu, v)du dv
El argum ento anterior hace pensar que e l sigu ien te teorem a e s c ierto . (En lib ros de
c á lc u lo avanzado se da una d em ostración com pleta .)
|~9~| C a m b io d e v a r i a b l e s e n u n a i n t e g r a l d o b le Suponga que T e s una transform ación
C o c u y o jaco b ia n o e s no nu lo y que relacion a una región S en e l p lano uv co n una
región R en e l p lano xy. S u p on ga que f e s con tinua sobre R, y que R y S son
reg iones planas tipo I o tipo II. Supon ga también que T e s uno a uno, ex cep to qu izás
en e l lím ite de S. E nton ces
f í / ( , y ) dA = f f f ( x (u , v), y u , y ))d(x, y)
diu, v)du dv
El teorem a 9 señala que se ca m b ia de una integral en x y y a una integral en « y ti al
expresar a x y y en térm inos de u y v y escrib ir
90=P
r= a S r —b
e=a
0 r
F IG U R A 7
La transform ación de coordenadas
polares
dAd(x, y )
diu, v)du dv
O b serv e la sim ilitu d entre e l teorem a 9 y la fórm u la u n id im en sio n a l en la e cu a c ió n 2 .
En lugar de la d er iv a d a d x / d u , se tien e e l va lor a b so lu to d e l ja c o b ia n o , e s d ec ir ,
| d(x, y)/d(u, v ) |.
C o m o una prim era ilustración d e l teorem a 9, se m uestra que la fórm ula para in tegra-
c ión en coord en adas po lares e s só lo un ca so esp ecia l. A q u í la transform ación T d e l plano
r 0 al p lano xy e stá dada por
x = g(r, 0) = r c o s 0 y = h(r, 0 ) = r sen 0
y la representación g eo m étr ica de la transform ación se m uestra en la figura 7 . T esta b lece
una co rresp on d en cia entre un rectángu lo ordinaria en e l p lano rO y e l rectángu lo polar en
e l p lano xy. El jaco b ia n o de T es
¿(y . y )
5(/-. (?)
a.v a.v
dr d$ c o s 0 —r sen 0
a.v dy sen 0 r e o s 0
dr d$
= / c o s 20 + r sen20 = /• > O
A sí, e l teorem a 9 da
f { x , y ) d x dy = f f / { r e o s 0, r sen 0)3(.v, y )
d(r, $)
= | * f / ( r e o s 0L /• s e n 0) r d r d 0
dr d $
que e s lo m ism o que la fórm ula 15.4.2.
SECCIÓN 15.10 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES 1045
U se e l ca m b io d e variab les v = u 2 — v2, y = 2uv para evaluar la integral
JJ^ y dA, donde R e s la región acotada por e l eje x y las parábolas y 2 = 4 — 4.V
y y 2 = 4 + 4.v, y 5= 0.
SOLUCIÓN La región R se ilustra en la figura 2 (página 1041). En e l e jem p lo 1 se
descu b rió que T(S ) = R , d on d e S e s e l cuadrado [0 , 1J X [0 , 1J. D e h ech o , la razón
para hacer e l ca m b io de variab les para evaluar la integral e s que S e s una región
m ucho m ás sim ple que R. Prim ero se n ecesita eva lu ar e l jacobiano:
E JE M P L O 2
dx dx
d(xt y) du dv 2 u —2v
d(u , v) dy_ ay 2v 2 u
du dv
Por tanto, por e l teorem a 9.
f f y dA = f f 2 uvd(x, y)
3(m, v )dA f ' f ' (2uv)4{if + y 2) d u d v
Jo Jo
f j f ' ( i f v + u v 3) d u d v = 8 f(> [ \ u 4v + dv
í ' (2o + 4 y J l dv [v2 + y4](‘
NO TA El e jem p lo 2 no fue un problem a m uy d if íc il de reso lver porque se ten ía un
ca m b io de variab les adecuado. Si no se tuviera una transform ación , en to n ces e l prim er
p aso es considerar un ca m b io d e variab les apropiado. S i / ( * , y ) e s d if íc il de integrar, en to n -
c e s la form a de f ( x , y ) puede hacer pensar en una transform ación. Si la reg ión de in tegra-
c ión R es d if íc il, en to n ces la transform ación debe ser e le g id a d e m od o q u e la región
correspon d ien te en 5 en e l p lano uv tenga una d escr ip ción con v en ien te .
E valúe la integral JJ/?£ <T+>) <A y)d A don de R e s la región trapezoidal con
v értices ( 1 ,0 ) , (2 , O), (O, - 2 ) y (O, - 1 ) .
SOLUCIÓN P uesto que no e s fác il integrar e^x^ {x~y\ se hace un ca m b io de variab les
su gerido por la form a d e e sta función:
E JE M P L O 3
1101 u = x + y v = x — y
E sta s e c u a c io n e s d e fin en una transform ación T ~ l d e l p lan o xy al p la n o uv. El
teo rem a 9 hab la acerca de una transform ación T d e l p lano uv al p lano xy. S e obtiene
al despejar x y y d e las ecu a c io n es 10:
[T i l -v = í ( w + ») y = í ( « - v)
El ja co b ia n o d e T es
dx dx
d(xt y) du dv 1 i2 2 l
d(u , v) ay dy1 12 2 2
du dv
1046 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
Vi
( -2 , 2) 0 = 2 (2,2)
a II 1
> , ^
f
/ u = v
(-U 1) (i,i)0 = 1
0 u
F IG U R A 8
Para hallar la región S en e l p lano uv correspondien te a R , se nota que lo s lados de R
están sobre las rectas
y = O x - y = 2 x = O x - y = 1
y , de las e cu a c io n e s 1 0 u 1 1 , las rectas im agen en e l p lano uv son
u = v v = 2 u = - v v = 1
A sí, la región S e s la región trapezoidal co n vértices (1 , 1), (2 , 2 ) , ( — 2 , 2 ) y ( — 1, 1)
m ostrada en la figura 8 . Puesto que
S = {(w, v) | 1 ss v ^ 2, - v u ^ y}
El teorem a 9 da
f f e v/°d(x , y)
du dv0(w, v )
f í ' e"'’^ ) d u d v = i f ; dvJ i J — v JI
7 (* (e — e~l )vdv = \{e — e~l )
Integrales triples
H ay una fórm ula sim ilar de ca m b io d e variab les para in tegrales trip les. S ea T una trans-
form ación que m apea una región S en e l e sp a c io uvw sobre una región R en e l e sp a c io xy:
por m ed io de las ecu a c io n es
.v = g(u , v, w) y = hiu, v, u») r = k(u, y, w)
El ja co b ia n o de T e s e l sigu ien te determ inante de 3 X 3:
12af.v, y, z)
d(u , y, w i
dx dx dx
du dv dtv
dy_ dy_ dy
du dv dw
dz dz dz
du dv dtv
B ajo h ip ó tesis sim ilares a las d e l teorem a 9 , se tiene la sigu ien te fórm ula para in tegra les
triples:
[ ñ ] ( f f /( .v , y , . ) d V = f f f f ( x (u , y, h>), y(w, y, w \ z(u , y, w))l— l J J J J J J
d(x, y, z)
clíw, y, o»)du dv dw
R S
Q Q H ü Q I i D U se la fórm ula 13 para deducir la fórm ula para triple in tegración en
coord en adas esfér icas.
SOLUCIÓN A q u í e l ca m b io de variab les e stá d ad o por
.v “ p sen eos 0 y - p sen sen 6 z ™ p eos
SE C C IÓ N 1 5 .1 0 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES 1 0 4 7
S e c a lc u la e l ja c o b ia n o c o m o sigue:
3 ( .v , y , r )
30». & <f>)
sen <p e o s 6 - p sen </> sen 9 p CDS <p e o s 0
sen ^ sen $ p sen <f> e o s $ p eos <p sen $
e o s tp O — psen<¿>
— p sen <p sen 9 p e o s <p eo s 0 sen <p e o s 0 —p sen sen 0
p sen <p eo s $ p e o s tp sen 0— p sen <p
sen <p sen 0 p sen (p e o s 0
= e o s ip ( —p 2 sen tp e o s $ sen20 — p 2 sen <p e o s tp c o s20)
— p s e n tp ( p sen“< £cos20 + p sen2̂ > sen20 )
= —p2 sen e o s 2<p — p2 sen <p sen2<p = —fir sen <p
P u e s to q u e O =s <p ir, te n e m o s q u e sen <p 2= 0. P o r tan to ,
3 (.v , y , .-)
3 (P . a t )
y la fó rm u la 13 d a
I í f / {• *» y» r ) ^ “ I I I / ( p sen <p e o s 0 , p sen ip sen 0 , p e o s 4 ) p 2 sen ^ d p d B d tp
r s
q u e e s e q u iv a le n te a la fó rm u la 1 5 .8 .3 .
Ejercicios
1-6 Encuentre el jacobiano de la transform ación.
1. X = 51/ — y, y = U + 3y
2 . .v = t t y , y = u / v
3. x = e~r sen 9, y = erc o s 0
4. .v = e*1*, y = eT*
5. X = u / v , y = v f i v , z = w / u
6 . .v = v + w 2, y = i v + t t 2, z = u + v 2
7-10 Encuentre la imagen del conjunto S bajo la transform ación
dada.
7. S = {(tt, v) | 0 < tt ^ 3, 0 ^ v < 2}:
x = 2;t + 3y, y = tt - v
8. 5 es el cuadrado acotado por las rectas tt = 0, tt = 1, v = O,
v — 1: x — v, y = tt( 1 + y 2)
9. 5 e s la región triangular con vértices (O, 0), (1, 1), (0, 1):
x = u2, }' = y
1 0 . S e s el disco dado por t t2 + v2 ^ 1: .v = au, y = bv
11-14 Una región R en el plano xy está dada. Encuentre ecuaciones
para un transform ación T que m apea una región rectangular 5 en el
plano tty sobre R, donde los lados de S son paralelos a los ejes u y v.
11. R esta acotada por y = 2x — 1, y = 2x + 1, y = 1 — X,
y = 3 - .x
12. R es el paralelogram o con vértices (0 ,0 ) , ( 4 , 3), (2, 4), ( — 2, l)
13. R está entre les circunferencias x 2 + y 2 = l y x 2 + y 2 = 2 en el
prim er cuadrante
14. R esta acotada por las hipérbolas y = 1 / x , y = 4/.X y las rectas
y = x, y = 4a en el prim er cuadrante
15-20 Utilice las transform aciones dadas para evaluar la integral.
15. Ilflí-X — 3y) dA, donde R es la región triangular con vértices
(0 ,0 ) , (2, 1) y (1, 2): x = 2tt + y, y = tt + 2y
16. ||j,(4 .x + S y ) dA, donde R es el paralelogram o con vértices
( - 1 , 3 ) , (1, - 3 ) , (3, - 1 ) y (1 ,5 ):
.X = |( t í + y), y = j(y - 3it)
17. f l^ .x ^ A , donde R es la región acotada por la elipse
9a'2 + 4 y 2 = 36: .x = 2tt, y = 3y
Iffi Se requiere calcu ladora graficadora o com pu tado ra 1 . T areas sugeridas d ispon ib les en slew artcalculus.com
1048 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
18. f j > 2 — x y + y 2) dA. donde R es la región acotada por
la elipse x 2 — xy + y 2 = 2:
X = y / l l t - y f l j l v , y = y j l u + J l J T V
19- JJ* .xy dA, donde R es la región en el prim er cuadrante acotada
por las rectas y = x y y = 3.x y las hipérbolas .xy = 1, .xy = 3:
.x = u /v , y = v
20. JJ*y2¿A, donde R e s la región acotada por las curvas
.xy = 1, .xy = 2, .xy2 = I, .xy2 = 2 : u = .xy, v = .xy2.
Ilustre m ediante una calculadora o com putadora para trazar R.
2 1 . a) Evalúe j j¡£ dV, donde E es el sólido encerrado por el
elipsoide x 2/ a 2 + y 2/ b 2 + z 2/ c 2 = 1. Use la transform ación x = u n , y = b v , r = cw.
b) L a T ierra no es una esfera perfecta: la rotación ha dado
com o resultado un aplastam iento de los polos. Así, la
form a se puede aproxim ar m ediante un elipsoide con
a = b = 6378 km y c = 6 356 km. Use el inciso a) para
estim ar el volumen de la Tierra.
c) Si el sólido del inciso a) tiene densidad constante k,
encuentre su momento de inercia respecto al eje r.
2 2 . Un importante problem a en term odinám ica es encontrar el
trabajo realizado por un m otor ideal de Carnot. Un ciclo
consiste en expansiones y com presiones alternativas de un gas
en un pistón. El trabajo realizado por el m o to re s igual al área
de la región R encerrada por dos curvas isotérm icas x y = a,
x y = b y dos curvas adiabáticas .xy14 = C, .xy14 = d , donde
0 < ¿Z < b y 0 < C < d . Calcule el trabajo realizado
determ inando el área de R.
23-27 Evalúe la integral m ediante un cam bio de variables
apropiado.
2 3 . II —------- '—dA, donde R es el paralelogram o encerrado** 3.x - yR
por las rectas x — 2>' = 0 , .x — 2y = 4 , 3.x — y = 1 y
3.x - y = 8
^ JJ ̂ (.X + y)e* v dA, donde R es el rectángulo encerrado por
las rectas x - y = 0 , .x — y = 2, .x + y = 0 y .x + y = 3
2 5 . J J eos f e ) dA, donde R es la región trapezoidal
con vértices (1, 0), (2 ,0 ) , (0, 2) y (0, 1)
2 6 . l’J^ sen(9.v2 + 4 y 2)i/A, donde R es la región en el prim er
cuadrante acotada por la elipse 9a t + 4y2 = 1
2 7 . ))R e*+ydA, donde R está dada por la desigualdad
Ul + | y | i
28. S e a /c o n tin u a sobre LO» U y sea R la región triangular con
vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). D em uestre que
ff / * + y) d A = f j u f{u ) du'R
CAPÍTULO 15 REPASO 1049
Repaso
Verificación de conceptos
1. Suponga que f e s una función continua defin ida sobre un
rectángulo R = [r/, b\ X [c,d],
a) E scriba una expresión para una doble suma de Riem ann
de f ( x , y) > 0: ¿qué representa la suma?
b) E scriba la definición de f { x y y) d A com o un límite.
c) ¿Cuál e s la interpretación geom étrica de jj^ f ( x , >!) d A si
f { x , y ) > 0? ¿Qué pasa s i / to m a valores positivos y
negativos?
d) ¿C óm o evalúa Jj^ / ( * , y) dA?
e) ¿Qué indica la regla del punto m edio para integrales dobles?
f) E scriba una expresión para el valor prom edio d e /.
2. a) ¿C óm o define a 1 / ( . V , y) d A si D es una región acotada
que no es un rectángulo?
b) ¿Qué es una región tipo I? ¿C óm o evalúa | f { x , y) d A
si D es una región tipo 1?
c) ¿Qué es una región tipo II? ¿C óm o evalúa \\D f { x , y) dA
si D es una región tipo II?
d) ¿Qué propiedades tienen las integrales dobles?
3. ¿C óm o cam bia de coordenadas rectangulares a coordenadas
polares en una integral doble? ¿Por qué querría hacer eso?
4. Si una lám ina ocupa una región plana D y tiene una
función de densidad p(x, y ) , escriba expresiones para
cada uno de los siguientes incisos en térm inos de
integrales dobles.
a) L a m asa
b) Los m om entos respecto a los ejes
c) El centro de masa
d) Los m om entos de inercia respecto a los ejes y el origen
5. S e a / una función de densidad conjunta de un par de variables
aleatorias continuas X y Y.
a) E scriba una integral doble para la probabilidad de que
X esté entre c y b, y Y esté entre c y d.
h) ¿Q ué propiedades p o se e /?
c) ¿C uáles son los valores esperados de X y Y ?
6. E scriba una expresión para el área de una superficie con
ecuación r = f { x , y), (.x, y) E D.
7. a) Escriba la definición de la integral triple de / sobre una caja
rectangular B.
b) ¿C óm o evalúa >’, z) dV?
c) ¿C óm o define j j j £ f ( x , y, z) d V si E es una región sólida
acotada que no es una caja?d) ¿Q ué es una región sólida tipo 1? ¿C óm o evalúa
j j jE f ( x , y, z) d V si E e s una región de este tipo?
e) ¿Q ué es una región sólida tipo 2? ¿C óm o evalúa
j j jE f ( x , y, z) d V si E e s una región de este tipo?
0 ¿Q ué es una región sólida tipo 3? ¿C óm o evalúa
j j jE f ( x , y, i ) d V si E e s una región de este tipo?
8. Suponga que un objeto sólido ocupa la región E y tiene función
de densidad p{x, y , z). Escriba expresiones para cada uno de los
siguientes incisos.
a) La m asa
b) Los m om entos respecto a los planos coordenados
c) Las coordenadas del centro de m asa
d) Los m om entos de inercia respecto a los ejes
9. a) ¿C óm o cam bia de coordenadas rectangulares a coordenadas
cilindricas en una integral triple?
b) En una integral triple, ¿cóm o cam bia de coordenadas
rectangulares a coordenadas esféricas?
c) ¿En qué situaciones cam biaría a coordenadas cilindricas o
esféricas?
10. a) Si una transform ación T está dada por .V = g(u, t>),
y = h(uy t), ¿cuál es el jacobiano de T?
b ) ¿ C ó m o c a m b ia la s v a r i a b le s e n u n a in t e g r a l d o b le ?c) ¿C óm o cam bia las variables en una integral triple?
Examen rápido Verdadero-Falso
Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por
qué. Si es falso explique por qué o de un ejemplo que desapruebe el enunciado.
1 . f j" A '2 sen ( a — y ) d x dy = f j* a -2 sen ( a — y) d y d x
2 . f f v A + y 2 d y d x — | | v -v + V 2 d x d y Jo Jo Jo Jo
4. í f ex +y sen y d x d y = 0 j - i Jo
5. S i / e s continua sobre LO, 1], entonces
f T f ( x ) f ( y ) d y d x = f f ( x ) d xJO •’() Jo
6 . f í ( a - 2 + \ / y ) s e n ( .v 2y 2 ) í / A ¿ /y < 9 J i Jo
7. Si D e s el disco dado por X 2 + y 2 < 4, entonces
ff y/4 — X2 — y 2 dA = "y7T
8. La integral j ¡ £ k r i dz dr d $ representa el m om ento de inercia
respecto al eje r de un sólido E con densidad constante k.
9. La integral
r r10 JO Jr
representa el volumen encerrado por el cono r = -JX- + y 2
y el plano z = 2.
1050 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES
Ejercicios
1. Se m uestra un m apa de contorno para una fu n c ió n /so b re el
cuadrado R = [0, 3] X LO. 3]. Use una suma de R iem ann con
nueve térm inos para estim ar el valor de | |s / ( . í , y) dA. Tome
los puntos de m uestra com o las esquinas superiores derechas
de los cuadrados.
_ -
w /
\ 6 Ó \
w
3 -v
2 . Use la regla del punto m edio para estim ar la integral del
ejercicio 1.
3-8 Calcule la integral iterada.
3 . r f 2 (y + 2 x e y) d x d v J | Jo
5 . f f co s ( x 2) d y d x
4 . | f ye** dx dy Jo Jo
6. f f 3x y 1 dy dxJO J x
7 | «• i*i p 1" ^ sen x d _ (¡ d x 8 [ 1 p j*1 6xyz dz d x dyJ o J o J o J o J o J *
9-10 E scriba 1 / ( . V, y) dA com o una integral iterada, donde R es
la región m ostrada y / e s una función continua arbitraria sobre R.
11 . D escriba la región cuya área está dada por la integral
l'*'2 r ' 2,r d , d 0
12. D escriba el sólido cuyo volum en está dado por la integral
í . P2sen¿ d? d*
y evalúe la integral.
13-14 Calcule la integral iterada invirtiendo prim ero el orden de
integración.
1 3 . I*' f 1 c o s (y 2)¿ fy d x 14 . f f ' - r - d x d yJo Jx Jo J j j x
15-28 Calcule el valor de la integral múltiple.
1 5 . l ^ y e ^ d A , donde R = {(*,y) | 0 ^ .v ^ 2, 0 ^ y ^ 3}
1 6 . ¡ ¡ ^ x y d A , donde D = {(.x,y) | 0 < y ^ 1, y 2 ^ x ^ y + 2}
” ■ íí 7TF"-d
donde D está acotada por y = -Jx, y = 0 , x = 1
118 . — dA y donde D es la región triangular con
JJ I + .VD
vértices (0, 0), (1, 1) y (0, 1)
1 9 . J j^y dA, donde D es la región en el prim er cuadrante acotado
por las parábolas x = y 2 y x = 8 — y 2
2 0 . IJ^y d A , donde D es la región en el prim er cuadrante que yace
arriba de la hipérbcla xy = 1 y la recta y = x y debajo de la
recta y = 2
21. J J p í* 2 + y 2)3/2dA, donde D e s la región en el prim er
cuadrante acotada por las rectas y = 0 y y = y¿3x y la
circunferencia x 2 + y 2 = 9
2 2 . IJ^A dA, donde D donde D es la región en el prim er cuadrante
que está entre las c .rcunferencias x2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 = 2.
2 3 . j j f £ xydVy donde
E = {(Xy y , z ) | 0 =$ x ^ 3, 0 < y ^ x, 0 < z ^ x + y}
2 4 . | | / r x y dV, donde T es el tetraedro sólido con vértices
52. El teo re m a de l v a lo r m edio p a ra in te g ra le s d o b les establece
que si f e s una función continua en una región plana D que es
tipo 1 o II. entonces existe un punto (x¡o, yo) en D tal que
f f f ( x , y) d A = f ( x o, y0) A (D )
D
Use el teorema del valor extrem o (14.7.8) y la propiedad
15.3.11 de las integrales para dem ostrar este teorema. (Use la
dem ostración de la versión de una sola variable de la sección
6.5 com o guía.)
53. Suponga que / es continua en un disco que contiene el punto
(a, b). Sea Dr el disco cerrado con centro (a, b) y radio r. Use
el teorem a del valor nedio para integrales dobles (véase el
ejercicio 52) para dem ostrar que
lím —i- r f f /{.v, y) dA — f ( a , b)r —0 f lv * J J
54. a) Evalúe | f — ;---- ;——dA, donde n es un entero y D es(* -i- y )
la región acotada por las circunferencias con centro en el
origen y radios r y R y 0 < r < R.
b) ¿Para qué valores de n la integral del inciso a) tiene límite
cuando r —* 0 +?
c) Encuentre f f f — ; n , dV, donde E e s la región«WJ [x + y + z r
acotada por las esferas con centro en el origen y rad ios r
y R, 0 < T < R.
d) Para qué valores de n la integral del inciso c) tiene un
lím ite a m edida que r —* 0 +?
Problemas adicionales1. Si l * | denota el m ayor entero en x., evalúe k integral
f f l ' + >1 dAR
donde R = {(*, y) | 1 ^ ^ 3 , 2 < y < 5}.
2 . Evalúe la integral
i ' I*1 e dy d x Jo Jo
donde m áx{*2, y 2} representa el m ayor de los núm eros de a2 y y 2.
3. Encuentre el valor prom edio de la función f ( x ) = JJ eo s{t2) d t sobre el intervalo [0, 1J.
4. Si a . b . y c son vectores constantes, r es el vector de posición X i + y j + : k y E está dada por las desigualdades O ^ a ’ r ^ a , 0 < b ' r < / 3 , O ^ c ' r ^ Y , dem uestre que
f íf (a * r)(b • r)(c • r) d V ^
E8 |a • (b X c) |
5. L a integral doble f í ----------- d x d y es una integral im propia y se podría defin ir com o elJo Jo l — x y
lím ite de integrales dobles sobre el rectángulo [0, t\ X [0, /J conform e r —» l - . Pero si se
expande el integrando com o una serie geom étrica, se puede expresar la integral com o la suma
de una serie infinita. D em uestre que
/•i e\ 1 ^ 1I f dx dy = 2 —Jo Jo I - x y n
6. Leonhard E uler pudo hallar la suma exacta de la serie del problem a 5. En 1736 dem ostró que
y 1 i r
¿ I n 2 ~ 6
En este problem a, se pide dem ostrar este hecho evaluando la integral doble en el problem a 5.
Em piece por hacer el cam bio de variables
u - v a + v
X ~ y/2 y ~ y/2
Esto da una rotación respecto al origen por el ángulo 7r/4 . Será necesario bosquejar la región
correspondiente en el plano Uv.
[Sugerencia: si, al evaluar la integral, encuentra cualquiera de las expresiones
(1 — sen 0 ) /co s B o (eos B)/( 1 + sen 0), e s posible que desee usar la identidad
eos B = sen((7r/2) — é?) y la identidad correspondiente para sen B],
7 . a) D em uestre que
f' ¿ J j jJo Jo Jo 1 - x y z n-1
(Nadie ha sido capaz de hallar el valor exacto de la suma de esta serie.)
b) D em uestre que
Jo Jo Jo i + x y z „_i n
Use esta ecuación para evaluar la integral triple correcta hasta dos decim ales.
1053
8. D e m u e s tr e q u e
arctan t t X — arctan J. irdx = — ln 7r
Jo x 2
evaluando prim ero la integral com o una integral iterada.
9 . a) D em uestre que cuando la ecuación de Laplace
dhi dht dht 7 H r + — T = 0dx2 dy~ dz2
se escribe en coordenadas cilindricas, se convierte en
dhi 1 du l d2:/ dht r H------------- 1----- i— 7r + — ~ = 0dr2 r dr r 2 00- d r2
b) D em uestre que cuando la ecuación de Laplace se escribe en coordenadas esféricas, se
convierte en
d2u 2 du cot ó du 1 d2u 1 0 2i/ r "I + ----- ;----------- b —;------ r H----- ;------;-------- - = 0dp~ p dp P~ d<b p~ d<f>~ p~ sen~<f> d&'
10 . a) Una lám ina tiene densidad constante p y toma la form a de un disco con centro en el
origen y radio R. Use la ley de N ewton de la gravitación (véase la sección 13.4) para
dem ostrar que la m agnitud de la fuerza de atracción que ejerce la lám ina sobre un
cuerpo con m asa m localizada en el punto (0 ,0 , d ) sobre el eje positivo r es
2 T i G m p d ( ^ - ^ j = )
[Sugerencia: d ivida el disco com o en la figura 4 de la sección 15.4 y calcule primero
la com ponente vertical de la fuerza ejercida por el subrectángulo polar /?,y.]
b) D em uestre que la m agnitud de la fuerza de atracción de una lám ina con densidad
p que ocupa un plano com pleto sobre un objeto con m asa m localizado a una distancia
d del plano es
F = 27~Gn:p
Observe que esta expresión no depende de d.
11 . Si / es continua, dem uestre que
í ; í : c /<'» d>d- = í í ; u - a 2m dt
12 . Evalúe l ím / i -2 2 2 — =•'—* i - l ; - l V " 2 + ,lÍ + J
13 . El plano
corta al elipsoide
— + -r + — = l <2 > o, b > o, c > 0 a b e
x 2 y 2 2l— + < 1 a~ b~ c ‘
en dos piezas. Encuentre el volum en de la pieza más pequeña.