Cap 1 Vectores-ejercicios Resueltos-resnick Halliday

VE CT ORES •

CAPITUL O 2 IOR O.L E MAS

1, Sr ~ ...... n 00'> veetore!; .. y b. OeInO~lr.r q_ l . on.lgnitu,J d~ l .• :e -

Sull'"le nt ~~ se r -.yor que .. . b n i ~nor que J

cM Lu bar ,-:> . ·/1!r«i c. ll!~ Ind i c.n e l ". lo r absol u t o.

'-'el'lOO) que : .... ¡; .. e

l. ~ni tud 1. ¡ • ¡; eJ, \ _ ... b'¡ 6 le¡ l, ~itud de .. I!~ \;1 6 •

L • .agn l t\H1 da ¡ •• lb] 6 b

.. - b ( \_ + b'1 ( .. ... b

t ( ..... b

:11 < e ... b

b ( e ... ..

b, I!f> " .......

•

1) l. '" bj " ;11 ... b es cierto, ngún l. re lación de l tr i Sngu l Q

e e ..... lo

2} .. - b " \¡- ... b! es cierto , ya qua: .. < e + b

.. - b (' e

entonces se CUMPle,

• - b < ,; + b'¡ (' .. + b

h,) .. + b .. e '1 a ... b - e,

(b) ..... b - .. - b,

(c) .. + b e '1 .t + b' .. C; l

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- 2-•

• ) .... ¡; .. e y .... ti .. ,

Cu~ los vectores [ 'enen l •• i~ orlent.c l6n son p, r. le los.

~, ;.~ .. . -It

t-t40.1 .,.~tor ¡; .s 1 .... 1 • cero (-.6dul o , .

d •• i. c , ,1'+,,1 .. ,1' t..- las wec:tores .. , i f _ un ' "gu l a reuo (jO.)

• • • J . eo.."41resc dos • • p l.:z_i_tos . _ tle _gnl t ud J l1li. 'f o t r o de

~ltlt4 .... Imllor ~ puedeR ~In.rse eHos vector •• d. de!.

pl.~I .. t o ~r. obtener un 4«spl.t" ' ento reSu l l ~nte de m.gnl tud

t.) 7 • . • ,.) l •. , (e) S •.

Wscié; s.an los ~tor .. ¡, i le ..,.1 , ... , • 'f 111; I.s ~bln.clones .~

,lo. ., • ¡

• • • ... 111 .. 7 .. .

• lOo • ., .. • •

ki· • b - ... I • .

" .l3



-3- •

,- " 1 es r . (ncontrll" (,, ) h It c;ompol'll!ntes de r sobre

k y de lu y; (b) l. _gnltud de r; y (e) el ángu lo

con el eje de I.s A.

y

o, • ).'

o

y

, ,

el eje de lu

que fa,.",. r

_p "'-___ .... 1..'''-_ ,

.1 Del grlf lco obtene.os;

r ... + ¡- .. . (1)

doftcf. :

• • • r. • r • y

•• ... T • • r y

Ulculo de , .. c.o.pon ... te' escll la,.e, d. los voctoreS : • y ¡;

• • <o • JO" 10CcoI )0· ) • '.66 } • (.) ... • • • " . lO' lobCII JO·) .. S . OO

y



-4-

b 13S· 10 13S· 1 b <O> '"' ),07 L , '. 07 J b b ". IJS " • 10 ~e" 1)S· ,

r""'ap l. z: .ndo (.) , (b) ,. (1)

, . (', ó • • TI • (b I • b T> , • y

, . (. • b )T .. (. • b'l' )J , • y

r ... (8.6& ;. 0111 " (S + l .01)}

r" I.s9T .. n .;)1 T

' . I .S'

r n .07 y

b) l . -.gn l tud de r ser';

el 0.1 grif ico :

... a

ng o.

, . 1 , 1 .. " • y

, , 12: . 2

12 . 01 .. ----n9

7.61

u c: . caV{J · &1)

a .. 81. S·

". (bl

S. D.dos dos .,actore5 ..... , - J j '1' b .. 61 .. Sj. e ncon tr a r l. di ree·

ci~ '1' "SIIlt ud de 1, de b, de a .. b. de b - 1, r de .. - b .

Soluc..i6n:

O.do : .. .. liT b .. 67 + 8)



-s-

• · -•

Di reccJ 6n dfl' " ,

t1Ig a f e .. are. lag ( ~o.75 ·)

o 323.1)° ángulo con e l eje ")t"

b) "agn i tud d;! b;

, 10

Oireccd6n de b:

,., • • •

y

el ""gn;tud de a + b: · , ,

8 ¡;

.. ~c. t ::tg (8) .-5) ' li"gulo

lor . Sr

con el e joe

,

,

.... "

32) Ir

s¡-



1-

,; . b¡ ... 11. 11

tat 8 - ~O

4' ...... t ud da ;- - b:

.. "- ¡.. ti - 111 1- - b) /( - 2)1 + ( - 11 )·

, . .. bI 1Ií . 121

l. - bl .. 11. 18

.'rec.c.f6n ., .. - b:

- 11 tat 0.... :-¡-

e) .".,itud de ti - . :

¡; - ..... 21. IIJ

lb - al .. 11 . 11

•

,. Generalizar el -'todo ~l f t l~o de desoo.posic i6n V súma al ,aso

~ tres o '¡S ~ctor.s .



->-•

' ,' ' .. 'J' ' oo , • • • ,., COIJIPone.nle:s de cad .. uno serl" ;

~

" ' ,. o • ' " r

" 'lo T • '" r

'. ' o. T +.. T ., -

" "ce l o r r e s uf t _ te " , . " • " • " • oo . • , •

T • ~

donde : , . , , J • , , ' .. • 'h • , • oo. • • • ]. • • ,

'" • , • ' ], • oo. • • , " ., l a Ngn l t...d de , se t ' ,

, .. I,.i • " • ,

" ¡ " gulo que: '0_ , <M .1 eje "x" en sen tido con t r.r jo , , .. aguju del re loj ser':

, ~ , • ,

B .. a rcug I~) , •

7. Un auto-óYll recorre hacia el e ste un. dlsta"ci. de SO km . • de ' -

~, ~c i . e l norte, )0 k.. Y luego en di recc ión ]0· ., el te de l

~te . 2S ~. Tr.z.r el di.9r~ de YCetorel y determ ina r , 1 des

~ 1.,~.ieAto total del a u t oaó"I' ~dldo desde su punt o de ~.rtid • .



Su ;, b y Z los 6esplu_ltlnt Olo

,e. l lz.dos por .1 .uto.6vi 1, don

." • . SO ;

¡; • 'O I , - 25 .,. 10'r + 25 COI

-8-

N •

6 j ~-===t-'----

1 •

r .. Iso + 25 sen )0· )1 + (lO + 25 cos 10'1] r· fo1.5 r+ 51. 65 T Cil cul0 del módu lo :

, -,

1'2. 51 + 51. 651

81.08 U .

($I,u 10 de l . direcci6n:

ug ...

• •

5' . 65 62.5'

51.65 .rc . t.g(~)

39.S7°

E

8 . Un. vez que l1eg •• 1 cés ped , un jugador de golf nece~¡t. dar tres

901pe$ , ~u bol. par. meter la. [1 primer go l pe mueve 1. bol. ).66

.. . (12 pies) " . none , e l segundo l ........ "e 1.8] .... (6 . 0 pies ' .1

\ureHe y el tercero, 0.9 1 lO. (} .O pi e s) al suroeste . ¿Que de\p l,!

l~¡ en to s e hubiera neces itado par. meter la bol. al hOtO en e l

pri_. golpe?

Sed a, ti y e los f!I( .... ¡"'ientos que real iza l . bo la :



p'" dato d,l

L 66 " • ¡¡ • 1. Bl ''0 .,. > ;

, 0 . 9 1 '" ~5 ·

. 'o.;;,~---c.---;-.~,C,-,-,

, l.e~ (~.

, • ¡; + ~

1. 8] '"' 1\" J T - 0 . 91 ~ "' I\ 4S'

t~l lc ... lo Ó ... la direc ción:

t"-9 6 •

, ,

"

4 S~

( 1 . 72) a r <:. t ' g o:6S

69 · ) -

•

E (este )

9. Un. pa r ticul. expr.rimenta tre~ de sp lal~m¡enlOS consecu t i vo§ e n un

pl.no, c.omo s igue : 11 . 0 m ... 1 suroeste. 5.0 .. . ,, 1 eu e, 6 .0 m. e n

un. direcci6n a 60· .:ti norle del eue. Esc0ger el eje de las y a~

puntando.ll n(lrte y el de las ... dirigidO.Jl eHI: pa r a obtener {al



- 10-

1_ co.ponentes de c~. dc,pl.z_ient o , (b ) 1.5 c~onentC:5 del

~Sp'az .. i Cftto re~ll~t., (e) ' a ~gnitud, d ireccíón y senti do

de' de~p ' .z_i e.lo re~ullante, y (d) el de$p l azamiento que se re

.-erfrr. pera regres.r l. ,.rtíeu la .1 punt o de pa rtide .

.,1 I r"ieo ;

•

•

•

T •• ~ • •• , • ,

• -. ~ .,. • • , .. • • • , • • O , < < • < • • <

, ,

• -.,. 1 +

o .

; • ~ .-

• , r

• < , , ,.-6.- •

, . , •

2.8) o .

2 .@) o .

lo.

S. lO o .

T • r , ~ ,

b

S

, - (-l .8J+S+J)T + 1-2.81*O+S. 2);

r - S. 11 T + l . J7 J el "'culo de l ... gnl t ud :

, A . 17J • 2 . )1J

r S." • .

d} (ilcul o de l. dirección :



la9 O

-11-

2.31 5. ' 7

•

10 U!.e una escilla de 2 /!l. po r centímetro y SUI.., grSficaonenu. l o !.

de!.p laz_ i enl os de l Probo 9. [keterllline de ~u gr.ifica la K"o<I \I ' '¡ -

lud. dirección y sentido de la resultante .

El g rifleo es auy s iGilar .1 ~str.do anterlor-ente por lo tan

lO, dej....as al lector a reil l lZilrlo mlis det~nld_nle ; donlle se

oblendrjn:

, , ~. b 2. 5 elll .

, • J elll .

, 2 .85 , .. • " . 6)-

1' . Gene ralice el Gétodo ilnalftleo de deseQlllPOner y s~r dos v,e t ~

res .1 eilso d, t r e s d l .. nsione s .

Soi"Ú6t1 :

guiente ,nillleelllOs

" 6onde :

',. a , ,,ene

'" a, senO

'" "', (;OSe

a" ' r aJ , ...

, "

' .. T. ' "

~ • • J

w., sen.

, "

" ..

K

cons;

•



".

•

- 12-

• Dich.s eKpresione s se ob tienen de l 9 r ¡ r icu ~Jjunt o .

, " • " 'l • • •

" • • • ¡ , , • ,

, ! , , •

" .06<:1 ... 10 scr~ :

, rr;-: ,1 • " • , , ,.) Un;:. r>ersOl~ ud .. po'

" puerta pri ' 'I\;ip,l' " ~u c. \ .t , :;. .... .,. ¡ ....

)0\ . 9 • . ( 1 ,000 p;cs ) t>cc : .. " .t U e . 60';1.; m. U, OOO lI ; es ) ~ci.

" roorte , , de!p<.>é~ ,- 0"" _ ",(Id " " bo l sil lo 1 1. deJ .. t !

" en un ac,nti l .do d. IS2 lo • ¡seo plu) de ,lt "":II, Esub le(e r

un ¡iste~ de coorden~d .. s y escribIr un. ",_p re s ión par •• 1 des "

pl u_l ento de l a moneda, elllphu ndn ... cetores "ml u , jos . (b ) l ¡¡

pe ' son. re~res. en sequl d ... 1. pver t. de su ca s., sigu ie ndo un

c~ino d i fe re nt e en el vllje de re torno . ¿~ujl e ~ su despl aza

.ien t o resul t.n te p.r. el vl.je c~le t o de id. y vue lt .l

Consi cSerancio e l si st -.a de tr e s dimens ione s ; con J. s i guien te di ~

, .. ¡ • b te • ¡; , ,

,

) O/¡ . ' ....

609 . 7 T 152 . '" I

3011 . 9T • /)0" .91

1)97 . "

609. 1T

• 609 .71

" .

,

y

• IS2. lok

• l S2 . /¡ 1

, l a INgnitud de l desplO1liilllllent o d~ ",U("lt <ll s erá lo ",i~1I\O Que a la

de ida, pero en sen t ido contrario .



-1)-

Por lo t a nto, e l desp l az amiento o.: ompl e¡o ~ e''¡ ,qva l ·011 desplu!!.

mie ntO de ida má j el despl az am i e n t o de vue l la , d~ndo como re~ u l

ta do cero.

1). Encontrar l a \ vm,J de lo s vec t o r e de de s p l a zam i ent o c y d cu ya s

componentes "l> k i lÓllletrcs según tres d ir ecciones p'''''pendicul,¡¡ -

re s son:

S04 « 611:

Sea : ~ • ~ • , , , , , , ,

• y , , , ; • , j • , , • y ,

r e empl a z ando va l or e s :

e * Sr ik"

d " 3i . 4) + 6k

/~+16+16

b km.

\4. Ur. veuor d tiene una magnitud de 2.S m. f a punt.; hJc iJ ,,1 nl;"

te. Oi<;a (Cuáles 50n la s m,)gnitude~ y direcc iones de los "~dO •

res.

(a ) + d . (b) d l2 .0 , (e) - 2.5 d y (d ! ~.O d.

Ve"tor Magnilud O; re~c ión

- , 2'



- 14-

"i1Z 1.2S • 2. " 6 . 2S • , •• 10 •

IS . l a s d i-ens iones ~ un cu~r to son 10 p ies x 12 p i e s x I ~ pies . u

" iJ -ose. ~ sa le de un~ esqu i" a l1e9~ a I ~ esquina d i a9ona l ~n

t e opueSla . (a) ¿Cuil e s l iJ -.gnit ud de su de s p laza", ientol (b)

¿Podría se' la longitud de s u t rayector ia ~nor que est a dis t a n

ci a? ¿Podr ía scer ...,or1 ¿Podda u r ' gua ll (e) Escoge r un , .;ue

.. de coorden~s ~cu.do y calcu la r l as compone nt e s de l ve c tor

de desp l a~a.iento en e s e ~rco de refe re nc i , .

, -I r 2 •

,

Según los d.atos de l pro blema :

r .. 10T .. 12)" I~k

16 . En el probl_ IS. si l . IIIOsca no vo lar a s i no que cami nar iJ . LCuál

serfa la long itud ~ la t rayectoria más corta que pudiera s eguifl

,.



- 15-

" IS . fi20 S • . •

'c · 11 0 1 • lO' . h96 • 11 . 2041 _ ,

l .. long; t ude~ ", .. s cortils ser'n :

10 • " 28 . " ) 9 ' o . .. • " 29 .6105 o .

" • Oc ' 9·20'7 o .

Por lu Id" l n I_} ,,,,,yecto"¡ • .,¡ , t ort. sc r. ;

r .. 28 . 11], ••.

17. Un 3"' .. d ..• ~uc lil de W .. shi .. g l on " ~,.¡ l • . !)escribi , e ; ve(;l or .: ....

plaz.-i .. -HO. ltu,U e s S<J -..gn it ud s; l. lat i t ud \" h, 10119; ' ,;10 .1e

In do~ t ;ud;!de ~ 'loon 3'· H, l r O y IS· !l. ¡U · El

SolUCiNn:

[1 veelO' corri miento e s el

"cetor Al! . De 1" figun (1)

ye-os Que :

". y que

A "¡ .¡",i. i'.¡"

.. Illonce s:

(0l<I0 ~e ve en la (;gur. (2) .

(i"' - ¡') ,u U" "ce l o r '" eL pl an ... ecualur al, y (8-' - A")

N

s



-16-

(8' - A') $e ulcu lar. por l a ley

de los cosenos. Si e ndo :

A' " 6 . " 00 cOS )9- . y 8 ' .. 6. ~ oo cos 15 ·

(6, " 00 u e l rad io de l. t je rra ). ~~.l pl~

a' ec;w.toria l

Se tendr . :

ji ' A'I! " ( ... , ) I + (, , ) 1 _ Z ( "") ( 8 ' )eo~ 162 ·

6 . ~OO (eos' )9"+eo$ 2 1 5 " - 2eos 15 · co$ 39 · cos 1 62 " ) ' .. (2 )

PO f o tro 1a40 8" y A" son vecto r es eo linea 1u . si e ndo :

de donde :

Reemp l illando (2) y (J) en ( 1) obtenenoos la m" gni t ud del vec tor

AB. r --;--

1 As i /í 6~OO) 1 (cos 1 ]9" . COS 1 , 5- 2eos 15· cos )9"cos 162" f

11,100 km.

IA 81- 11.200 km .

18 . Dos ~ec to(es de longi tudes a y b formoln un angula u cuando se

co loc an a parti r del mismo o rigen. Tomando componentes según 2

eje~ pe rpendlcularn . delllOHrar Que l a lon9itud del vector (e

su1t""te '"'s :

r _ la1 + b 1 • 2.Jb cos i¡



-1"1-

~ e 9,jo ,, : oJ. ;' f jco e es ,, ' f!len o r

i ngu l u uve ~acen lo s ve c t o res

¡; v F.

t " '" t r , a r' J'Jlo ACO :

AC "" ¡fOl . . . O )

;,0 .. Aa .. ::lO

i f,,;¡1 • • •• :; 0 :' , I ' j

¡r .. "1 h Sen , AC - A

~r ·.' ''' '' t a l " "' >:" (~ ) ., ( 1) :

" {a+b (OS e ) '

" a 1+b i coste

• lb

• ,.b

•

e

,

• B

"" ,j' .., , • . ,

b'sen 6

" a 1+b1 h en 1e • ( os 1 8) + l ab ( OS , " .' · b' • '" eo. e

la 2 • b' . , • 7a b cos , 19 . Pa r a un vec : o r (.u"' Qu 'e r .;o il demo Sl r ar Que a a _ a ' yque a x

" .. O.

a l Sdb~mos po r la p rop;ed"d re fle x i va , que roda rec t a es p il r a l ~

1 .. a s i ",;smo (i 11 al

• • • •



-, ... •

tll De ;!fU0I' ..,ciQ que e l caso anterior.

20. Uti lícese el $i$t~ OIcoslu.br.dO (derecho) de ejes de ,oorden&

d,., ~. Dado ~I ~ector .. en l. 4irecci6n pOsitiv~ del eje de

1.s z. el wector b en l. direccl6n positiva del e j e de las y , y

1. c~ljdad esc.l.r d : (., ¿CuJl e s l. direcci6n y senlido de a

Il 1:11 (b) Ltull es l. direccl6ft , sent i do de b " .1 (e.) LCu.1il es

l. dlr~j6n y sentido de bI d} (.) LeuSI es l . m.gn itud de ... b1

Del grifIOD deducl-os:

¡jI .. II ¡; unclri l. dlrecd6n

del ej"" "lOO. s en! ido pOsl t i yo.

1:11 D .... tendrJ l. direccioo

del eje "lOO sentido neg.ll

tivo .

¡; e l ¡ tendr¡ 1 .. d irecci6n del

eje " ,", y sus sentidos se

r~:

Si el > O; senti do posi t ivo de: 'T'

Si el < O; sen tido negat ivo de "y"

d) 'h que : ..

z

a

t./d ti }--""'-+---y

21 . Un vect o€ .. de diez unidades de ~¡tud y ot r o vec t o r b de se i s

un¡d~s de -.gnitud .punt.n en direcciones que formen un ¡ ngul a

de 60-, [ ncontr,., (.) el p~o6ucto e~c.I .~ de los dos ve ' t o res y

(b) el .~oducto vecto~i.1 de los .Is-os.



a 10 uni dade~

b .. 6 unidadf:S

-19- •

a) 3 . b .. ab cos &0· ]0 unidades :. cuadrado (es un escalar).

b) , • b ~ ab sen &0· - 51. 9& unidades a l cuadra do per pend i cu lar

al pl a no fo r..ado por a y ¡; (e '! un vec tor).

22 . { n el s isteRa de coor denadas de la (i9. 2-6b demost ra r que :

k .k .. 1 , ¡ . j j . k k . i o

$abe<Jlos que: los vec t o r es un i ur los T T y r t i enen por .... gní t ud

l . un i dad .

a ) De l a fi gura obt enemos :

T T .. cos O· .. I

j T · J J <o. O'

r • O' , • · • <o. .

T T • j . j . k . r . b) T T · j <"' OO' . O k

T r · j • < • • oo' • O ,. r T ..,' O

¡ j · • <o.

; j . j . k . r T . O x



-20-

2) (1'1 e l .. ,st~ der echo de coor de n .. d . .. de 1 .. fig. 2;6~ delllOu r .. , q '

x j X j

x j k ; k X j; j X k

De ~.ner. 5i~ j l a .. 4ue . 1 problema an t erior :

.) ; X ~'!n O' O

jx j j j .~ " , . , .- X r k k s, .. ~.

¡xi .. Txj .. (xi( O

b ) T X j j '" '0· • " Xk j J k '" ,,' • ,

XI , k '" ,,'

2~ (.) Hemos vis t o que l . l e y c~tali v. no se a plica. los p rodu~

tes vectoriales , e sto e ~ ... X b 00 es '9u. 1 • b X ,l . O~ .. t r .rQ·

l. iey coomuta t iv Ol sr pued .. a.p li carse • los productos eHa la res,

c HO es, Que a . b " b . Ot, (t.) Oenoour .r Que 1. l e l jiHribut '

~a se a pl ica tanto a 105 prQduct<,s e sc ala res ")f,1O • lo~ v.c t ed a

les, e st o es,

.. (b. c) " • . b + a .e y que .. X lb . ,) .. " X b • • X t.

(e ) LSe puede apli t .r l. ley nocial;". iI los prod ... cto~ .... etorl.

les , esto es, ;1 X (b X el es igual a la X DI )( c? !Tiene ,) 'gún

se ntido habl . .. de una ley . .. oc ;. t; ". para product~s 1I:5,.lares1

Gel gr áfico obtenemos:

al ;- . b" ab cos O ... (1)



b)

- 21-

b a .. a b cos El . .. (2 )

CQlN) ab " ha ; ; gl.la la ndo (1) (2)

b I } !k:most r a reaos que : a. {i; .. C)

Del grU i co :

a. (b"+c) .. e(b"cl cos ~ .. a (OR) . .. ( 1)

b.1)

a.h " ab co s 9 .. a (OP") (2 ) .. , ac cos B .. a(PíO

OP+ P1i"

l'Iul t i p l i ca ndo pOr " . "

a foiO .. a (O'P .. m •

de (1) (2) y ('n

De "'<lnera s ¡ mi 1 a r ,,. l .

OelT"(.l ~tr . f en>OS : • , tb";:)

(J)

p.-.rte

• , h. I}

;; • • , ,

• , (b+C) .. ;(b+c) ~en ~ a (Oif) (1)

• , b • , b .. , , , (OP) I (2) , , < . , < " , , • (Pi. )

d, (2)

• • • ¡; • • , . aa¡p • 'PR"¡ .. a (OP) . . .

( 1) (J)

• , {b+cl • , b • , <

el No. no

•

(J)

2S. El produ<; t o e~~.L <lr e n f>o t .a<;i ón de L ve c t o r uni t ario . Rep re~en le-



- 12-•

-os lotos vect o r e s en (unel&' de sus coor de nada s u f :

• . l. • j . • k • • , , ,

• - ¡ b • •• • k b • J , , De-ost ,.ar ana l l ti~nte que :

~~dos I~~ vec tor es :

T al+ •• • . ••• • , , b . b Y + • .,:r • • • • , ,.

"-strOl rt:lllO S :

;.1) .. (a i +aJ1ali].(bT+bJ+ b f) ..• (1) ~ y l • Y l

T.T .. J.T" k.k- 1

I.T .. T.r .. T.¡" O

,\p I fcando (2) en (1)

1 (2)

a . b .. (T.TI a b + {T.na b + (T.k} a b f ~ ~ Il Y • 1

1. (T.ila b + (r.)) a b + (j.k} a b .. y. yy yl

(k.TI a b f (Ir. . j) a" f {k.k} a b .lo .. Z y 1. 1

a . b-ab + a b la" JI"" " I.l

2& . Apl ¡cando la def in ic i6n de producto esca lar a . b" ab CO$ ~ y

el hecho de que a . b _ a b t a b • a b (véase e l probo 25), .. ~ ,y II



- 23-

o btene r e l 'ngulo entre lo s d05 ve c:: t o r es daodo s por, ;1 .. J i + ]j .

]11 Y b - 2 1 + j + ]11 .

Sc!u.ci6" : G.lodo : 11 .. )T t ]T - j i(

b .. 2T t T + ]k

;1 ) iI .b .. ] x 2 t ] x 1 + (. ] x ] )

'i". h -6 + ] 9

¡.h O

•

c:: ) Dete,~in;lc::i6n del ingul o que fo , .. o :

; .b .. IIb c:: os ~

C::0ffI0 a. b - O

.. c::o s ~ O

• OO·

27. [ 1 p r oduc::to vec::tor i al en not ac;: l6n ~~ I vec::to r un i ( ;lrio. Oemos t r.

IIlICI l i t ic::amenteque;lltb- i l.b 'II~J + j(lIb ·;lb) + y 1: t y I X X l

11 (. b -;1 b). (Sugerenc::ill el Probo 2 j) . x y y X

Solu.WII :

Dados los vec::tores :

~streremos que :

. , ,

'i""b - Tia b -a b )+T(a b -a b ) +k(. b -a b ) y l Z y I " XI lI y yx



- 24-

SilbemoS :

T;w:. j l· • (11

k · i

;;w:.b - (1, T + .. r + .. k) K (b T + b r ~ bk} lo; Y 1 K '1 1

,llo; b .. (¡xna b • (Tx})" b • (Txk) a b • • • ., . , (TKT).. b • (¡-X)) . b • (Jxk) . b • , . , , , ' (kKT) ,l b • (kxj). b • Ckxk). b , . , , , ,

ut i I i lando (1) . obt e nemos :

"xb .. k. b -T. b -ka b +T. b +r. b +Ta b -Ta b x y x z )' x )'Z Z l I X Iy

axb .. T(. b - a b 1+) (. b -. b )+k( . b - a b ) y z l y ZXX Z x y )' x

28 . Oemos t r .r que l. Magnitud de un produc t o ve c tor i a l d" numé r i e. -

,...,n te . 1 S~.;O d. 1 p .. ~ .. lelogr....., for .... do por lo~ du~ vectores cOI!

ponen t n como lados (véase l . F ig . 2- 15). LSug iere esto la i de a

de cómo rep re sentar medi a nte un vec t o r un elemen t o de j rea o rien

lado e n e l espaciol

• ;iol.uc.i6n :

Sabernos que el j( ea de un p"ra l e l~

gramo, en el <jJr j( ico est j

ah. donde:

h -bsen $

alo;b . .. bsen40- ah

d.dO"'''L_ ; / b :t.sen,;.

~' :.,



• 2 ~. Demostrar que el ¡¡'ea del triángulo conten ido en tre los vec t or e :

lor es abso lutos i vt; .. se l . Fi g. 2-15).

SotucWJl:

DelllOsl rar<!'llOS o.,,.:

Sabemos que al área de un tri ángu lo fo r~ado po r a y b es l a mi

Iilld de la de un paril.le t og r aoKl (ve r 9ráf ¡ ,o de l p ro b l ema 26 )

oh A .-

" 2

1 (a x b ) 2

oh 2 ,

30 . Demostrar que a. (b x el es numéricamen t e i gua l a l volumen del

paralelepípedo formado sob re 105 tres vecto re s a, b y c.

De l gráf ico obtenemos:

b x e .. be sen e • á rea del pa r a le logramo (OPQR)

Se .. : d . b , < perpendicu1.11r .1 y

pl .. " o rorlRado po' b , <. S

;¡ - T ,

• , . . d(a .) , • <0'

j donde :

a<:o$41 . h ", paralelogramo

(O RST) . O 5 p ,

¡. (b"C) .. a-.d- d. ; - d{acost ) , d{acos 4l) .. (Ar ea deIO.oPQR)n

que e~ el volumen del paralelepípedo de aristas b, e y a .



Cap 1 Vectores-ejercicios Resueltos-resnick Halliday

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