1. PLCI PLANE N COORDONATE CARTEZIENE. ECUAII GENERALE1.1.
CONSIDERAII INTRODUCTIVE I IPOTEZEPlaca plan este un element
structuralbidimensional, mrginit de dou suprafee S1i S2 (fig.1.1).
Ea se caracterizeaz prin planul median i grosime. Locul geometric
al punctelor egal deprtatedeceledousuprafeeS1i S2se numeteplanul
median alplcii. Grosimeaplcii este distana dintre feele S1i S2,
msurat pe normala la planul mediani senoteazcuh(se mai folosesc
notaiile , t, g).Plcile plane fac parte din clasa corpurilor
sauelementelor structurale la care dimensiunile din planul median
sunt preponderente n raport cu grosimea. Trebuie menionat ns c
teoriile de calculale acestorelemente structurale difer
semnificativfuncie de direcia deFig. 1.1. Elemente de identificare
ale unei plci planeaplicareaaciunilor n raportcu planulmedian.
Astfel,dac planulforelor (aciuni i reaciuni) coincide cu planul
median al elementului structural, atunci acestaseaflnstareplande
tensiuneipoart denumirispecifice:perete structural, grind perete,
diafragm, aib, element planar etc. Analiza strii de tensiune i de
deformaie din astfel de elemente structurale s-a fcut la Teoria
elasticitii, i nu face obiectul prezentei lucrri.n continuare se
analizeaz elementele structurale de tip plac, la care aciunile sunt
perpendiculare pe planul median. Prin urmare, n prezenta lucrare,
ca i n literatura de specialitate a domeniului, cu neles mai
restrns se folosete denumirea de plac pentru elementele plane
solicitate la ncovoiere.Formele de plci cele mai frecvent ntlniten
practic sunt: dreptunghiulare, circulare, inelare (fig. 1.2a, b,
c), oblice (sub form de paralelogram), poligonale, triunghiulare
etc.n funcie de raportul dintre dimensiuneaminim din plan (lmin=
min(a,b)) i grosimeah, plcile plane se clasific pentru calculn dou
mari clase:11- plci plane subiri, la care min5lh> ;- plci plane
groase, la care min5lh< .Teoria de calcul are particulariti
specifice pentru fiecare clas menionat, dar n prezenta lucrare se
trateaz numai teoria plcilor subiri.a) b)c)Fig. 1.2. Forme frecvent
ntlnite de plci planenconstrucii plcileplanesentlnesc la planee,
acoperiuri plane, radiere, perei, cheuri, ecluze, rezervoare,
decantoare, baraje etc.Sistemulde referin se alege astfel
nctaxelexiys fie n planul median i s formeze un sistem drept. La
plcile aezate n poziie orizontal axa z are direcia aciunilor
gravitaionale (fig. 1.3 a).a) b)Fig. 1.3. a) Sistemul de referin;
b) Semne convenionale pentru rezemarea laturilor12Modul de rezemare
al plcilor poate fi:- continuu, pe tot conturul sau pe o parte a
acestuia;- pe toat suprafaa, pe un mediu elastic;- discret, pe
stlpi, piloi, coloane etc.n figura 1.3 b se arat semnele
convenionale pentru marginea ncastrat, simplu rezemat i
liber.Teoria de calcul a plcilor plane subiri este cunoscut sub
denumirea de teoria clasic a plcilor plane (Classical Plate Theory
CPT), i bazele ei au fost puse nc de la nceputul secolului al
19-lea de Lagrange (1811) i Germain (1821). Ea utilizeaz conceptul
de ncovoiere pur a plcilor la dezvoltarea ecuaiilor, n care
normalele la suprafaa median dinainte de deformare rmn drepte i
normale la suprafaa median deformat[Qatu 2004].CPTeste oteorie
simplificat a plcilor plane, ncare sefolosesc urmtoarele ipoteze:-
materialul constitutiv este continuu, omogen i izotrop;- pentru
ncrcrimoderate (cum sunt cele de serviciu ale exploatrii normale)
placa se comport elastic i este valabil legea lui Hooke;-
materialul are acelai modul de elasticitate la ntindere i
compresiune;-se admite c deformaiile sunt mici, decipot fi
neglijate n raportcu unitatea;- se consider c deplasrile sunt mici
n raport cu grosimea (raportul dintre deplasarea maxim normal pe
planul median i grosime este mai mic dect 1/5) i echilibrul se
poate scrie pe forma nedeformat; aceast ipotez nu se folosete n
calculul de ordinul doi i de stabilitate, pentru care echilibrul se
scrie pe forma deformat;- la deformarea plcii, nu se produc
deformaii liniare i de lunecare n planul median: (x)z=0 = 0, (y)z=0
= 0, (xy)z=0 = 0, adic un element diferenial din planul medianal
plcii nedeformateseregsete caformi dimensiuni pe suprafaa median a
plcii deformate.- ipoteza segmentului normal: un segment de dreapt
normal pe planul median al plcii nedeformate, rmne rectiliniu,
inextensibil i normal la suprafaa median deformat. Aceast ipotez
aparine lui Kirchhoff i constituie o generalizare a ipotezei lui
Bernoulli, admis la ncovoierea barelor [Precupanu 1982].
Consecinele admiterii ipotezei segmentului normal sunt c
deformaiile specifice n direcia grosimii,z, i lunecrile din planele
transversale xz, yz se pot neglija i prin urmare z = 0, xz = zx =
0, yz = zy = 0.Ultima ipotez acceptatconduce la unele contradicii
care vor fi menionate la locul cuvenit.131.2. ASPECTUL GEOMETRIC AL
DEFORMRII PLCILORSub aciunea ncrcrilor normale pe planul median, o
plac se deformeaz i punctele sale se deplaseaz n spaiu. Conform
ipotezei segmentului normal inextensibil rezult:0zwz (1.1)Urmeazc
suprafaa mediandeformat a plciinu depinde dezi deci:w = w(x,y)
(1.2)Aceasta nseamn c punctele unei plci de pe un segment normalpe
planul median vor avea aceleai deplasri w. De asemenea, condiiile
xz = zx = 0 i yz = zy = 0 (consecine ale ipotezei segmentului
normal) se scriu:0u wz x + ,0v wz y + (1.3)sauu wz x ,v wz y
(1.4)Prin integrarea acestora n raport cu z se obine:12( , )( , )wu
z f xyxwv z f xyy + +(1.5)ntruct n suprafaa median deformaiile
specifice liniare i lunecrile sunt nule, deci:( ) ( )( )0000000,
0,0x yzzzzxyzzu vx yu vy x _ _ , , _ + ,(1.6)urmeaz c f1(x,y) i
f2(x,y) sunt constante, adic pentru z = 0, u = u0, v = v0 i f1 =
u0, f2 = v0, iar u i v au forma:0wu z ux +,0wv z vy +(1.7)n
particular, dac punctele din planul median se deplaseaz normal pe
acesta u0 = 0 i v0 = 0, iar deplasrile u i v au expresiile:14wu zx
,wv zy (1.8)Rezultatul obinut arat cdeplasrileuivdinplanul plcii
sunt determinate de deplasrile w, normale pe acest plan. n
continuare se pot obine imediat deformaiile specifice din planul
plcii:22xu wzx x (a)22yv wzy y (b) (1.9)22xyu v wzy x xy +
(c)Aceste deformaii au o variaie liniar pe grosime, fiind nule n
suprafaa median i maxime pe suprafeele S1 i S2.Relaiile (1.8) pot
fi deduse i direct, din considerente geometrice, rezultate ca
urmare a ipotezelor admise.Printr-o plac, solicitat de fore normale
pe planul median, se face o seciunenormal, paralel cuplanul
xOz(fig.1.4a). nfig. 1.4bsearat seciunea nainte i dup deformarea
plcii.Fig. 1.4. Seciune normal printr-o plac plan cu indicarea
deplasrii u la cota zUn punct, situat la distana z de planul
median, se va deplasa n sensul negativ al axei x cu cantitatea u, i
din figura 1.4 rezult:tanxwu z zx (1.10)Printr-un raionament
similar se obine:15tanywv z zy (1.11)Aceste relaii (1.10 i 1.11)
sunt o consecin direct a ipotezei segmentului normal i sunt
identice cu (1.8).Deformaiile specifice x, y i xy, exprimate prin
relaiile (1.9) reprezint aspectul geometric al deformrii plcilor
plane subiri, artnd c, ntr-o prim aproximaie,aceste deformaiivariaz
liniar pe grosimea plcii, iar suprafaa median este strat
neutru.Deplasrilefiindmici, ntr-unpunct al suprafeei
medianecurburile plcii deformate n direciile axelor de coordonate
pot fi exprimate aproximativ dup cum urmeaz:221xxwx ,221yywy
(1.12)n care ,x y sunt razele de curbur ale suprafeei mediane
deformate. S-a luat semnul minus, centrele de curbur fiind n sensul
negativ al axeiz. De asemenea expresia:21xyxywxy (1.13)se numete
torsiunea suprafeei deformate n punctul considerat.Deformaiile
specifice (1.9), innd cont de (1.12) i (1.13) se pot scrie:x xz ,y
yz ,2xy xyz (1.14)1.3. TENSIUNI N PLCILE PLANEinnd cont de
ipotezele fcute i neglijnd presiunile dintre straturi ca
fiindnesemnificative(0z , consecinalui0z ), legea lui Hookese
scrie:1( )x x yE ,1( )y y xE ,2(1 )xy xyE +(1.15)Exprimnd
tensiunile n raport cu deformaiile specifice rezult:162( )1x x yE
+,2( )1y y xE +,2(1 )xy xyE +(1.16)Deformaiile specifice din (1.9)
se introduc n (1.16), obinndu-se urmtoarele expresii pentru
tensiunile , , :x y xy 2 22 2 21xEz w wx y _ + ,(a)2 22 2 21yEz w
wy x _ + ,(b)(1.17)21xyEz wxy + (c)Dac n ecuaiile (1.16) se
nlocuiesc deformaiile specifice , ,x y xy n
funciedecurburileitorsiunea suprafeeimediane deformate din
(1.14),se obine:( )21x x yEz +( )21y y xEz +(1.18)1xy xyEz +Din
expresiile (1.17), respectiv (1.18), rezult c tensiunile normale x,
yi tensiunile tangenialexy, se distribuie liniarpe grosime,fiind
nule n suprafaa median i avnd valori maxime pe suprafeele S1 i S2
ale plcii (fig. 1.6).17Fig. 1.6. Distribuiile tensiunilor normale i
tangeniale pe grosimea plciiDac se examineaz ecuaiile difereniale
de echilibru din teoria elasticitii, se constat c pentru a fi
satisfcute trebuie luate n considerare i tensiunilexz zx ,yz zy iz,
care n raionamentele precedente au fost neglijate. Aceste tensiuni
pot fi determinate din ecuaiile difereniale de echilibru, dar
prezena lor este n contradicie cu ipotezele geometrice admise
iniial. Din aceast cauz teoria clasic a plcilor plane apare ca
fiind contradictorie. Totui, la plcile plane subiri, erorile care
se fac, pot fi neglijate din punct de vedere practic.ntruct axa
zeste n direcia acceleraiei gravitaionale, componentele X i Y ale
intensitii forelor masice se pot considera nule i, din primele dou
ecuaii difereniale de echilibru,0, 0yx xy y zyx zxx y z x y z + + +
+ (1.19)innd cont i de (1.17), rezult:3 32 3 23 32 2 311yxzx xzy xy
yEz w wz x y x xyEz w wz x y x y y _ + , _ + ,(1.20)Integrnd n
raport cu z se obin , ,zx zy 182 3 312 3 22 3 322 2 3( , )2(1 )( ,
)2(1 )xz zxyz zyEz w wt xyx xyEz w wt xyx y y _ + + , _ + +
,(1.21)Funciile 1( , ) t xy i 2( , ) t xy se determin scriind c pe
suprafeele S1 i S2, deci pentru/ 2 z h t , tensiunile 0xz yz , din
care se obin:2 3 312 3 22 3 322 2 3( , )8(1 )( , )8(1 )Eh w wt xyx
xyEh w wt xyx y y _ + , _ + ,(1.22)nlocuind 1( , ) t xy i 2( , ) t
xyn (1.21) rezult expresiile (1.23):2 2 2 22 2 22 2 2 22(1 ) 4 2(1
) 4xzE h w w E hz z wx x y x _ _ _ + , , ,2 2 2 22 2 22 2 2 22(1 )
4 2(1 ) 4yzE h w w E hz z wy x y y _ _ _ + , , ,Relaiile (1.23)
arat cpegrosimea plcii tensiunilexziyzse distribuie
dupolegeparabolic (fig.1.6) (analogcudistribuia tensiunilor
tangeniale lagrinzile cu seciune dreptunghiular solicitate la
ncovoiere cu forfecare).n cazulunor aciunidistribuite pe
plac,presiunile dintre straturinu sunt nule, cum s-a admis, putnd
fi determinate din a treia ecuaie diferenial de echilibru,fr
considerarea forei masice, dar la plcile subiri valorile lor sunt n
general neglijabile.Not: O teorie exact a plcilor plane se poate
dezvolta, fr simplificrile admise, plecnd de la ecuaiile teoriei
elasticitii, dar calea este prea complex pentru a putea fi folosit
n practic.1.4. EFORTURI N PLCILE PLANESe consider o seciune normal
la axax, pe care apar tensiunile , ,x xy xz i o seciune normal la
axa y, pe care apar tensiunile , ,y yx yz (fig. 191.7).Fig. 1.7.
Seciuni ortogonale normale prin plac i ilustrarea tensiunilor pe un
element de arieEfectele globale ale acestor tensiuni pe unitatea de
lungime din seciune i petoat grosimea plcii, redusela centrul
degreutate al seciunii1h , formeaz un torsor de reducere (o
rezultant for i un moment rezultant), ale cror componente se numesc
eforturi.Sumnd tensiunile x pe unitatea de lungime i pe toat
grosimea plcii se obine componenta xN:2 2/ 2 / 22 2 2/ 2 / 21h hx
xh hE w wN dz zdzx y _ + , (1.24)Datorit distribuiei antisimetrice
a tensiunilorxfa de axay, rezultantaacestora este nul (xN=
0).Acestfapteste confirmatde anularea integralei reprezentnd
momentul static al suprafeei 1h fa de o ax central.Momentul forei
elementarexdzfadeaxayeste(xdz)zi prin sumarea pe suprafaa 1h se
obine momentul de ncovoiere xM,2 2/ 2 / 222 2 2/ 2 / 21h hx xh hE w
wM zdz zdzx y _ + , (1.25)Integrala are valoareah3/12, reprezentnd
momentul de inerie al suprafeei 1h fa de axa y.20Se face
notaia:3212(1 )EhD(1.26)caresenumeterigiditateaplcii
lancovoieresaurigiditatea cilindrica plcii.Cu notaia precedent,
momentul ncovoietor xM are expresia:2 22 2xw wM Dx y _ +
,(1.27)Sumnd tensiunile tangeniale xy pe suprafaa 1h rezult:2/ 2 /
2/ 2 / 21h hxy xyh hE wN dz zdzxy + (1.28)Evident, fora de lunecare
este nul (0xyN ).Momentul forei elementarexydz fa de axaxeste (xydz
)z, iar momentul xyM al tuturor forelor elementare se obine prin
integrare:2/ 2 / 22/ 2 / 23 2 21(1 )12(1 )h hxy xyh hE wM zdz
zdzxyEh w wDxy xy + + (1.29)xyM este moment de torsiune pentru
seciunea cu baza unu i nlimea h.Prin sumarea tensiunilor tangeniale
xz se obine fora tietoare Vx,2/ 2 / 22 2 22/ 2 / 22(1 ) 4h hx xzh
hE hV dz w z dz D wx x _ , (1.30)Analog se determin Ny = 0, My, Nyx
= 0, Myx, Vy. Dualitatea tensiunilor tangeniale conduce la
egalitatea Mxy = Myx = Mt (notat cu T n Eurocoduri). De notat c n
literatura de specialitate mai veche, pentru forele tietoare,
notate cu Vx, Vy dup Eurocoduri, se mai ntlnesc notaiile Tx, Ty sau
Qx, Qy.nconsecin, eforturilecareapar nplcileplanencrcatecufore
normale pe planulmedian sunt: momentele ncovoietoareMx,My,
momentele de torsiune Mxy = Myx = Mt, forele tietoare Vx, Vy, i se
determin cu relaiile:212 22 2xw wM Dx y _ + ,(a)2 22 2yw wM Dy x _
+ ,(b)2(1 )twM Dxy (c)(1.31)xV D wx (d)yV D wy (e)unde s-a folosit
notaia 2 222 2x y + (operatorul lui Laplace).Momentele, fiind
definite pe unitatea de lungime din seciune, au aceleai uniti de
msur ca i forele: N(Nm/m), kN, MN; forele tietoare se msoar n uniti
de for pe unitate de lungime: N/m, kN/m, daN/cm etc.1.5. EXPRIMAREA
TENSIUNILOR CU AJUTORUL EFORTURILORComparndrelaiile(1.17ai b),
caredautensiunilexiy, cu relaiile (1.31 a i b), care dau momentele
ncovoietoare Mx i My rezult:331212x xxy yyM Mz zh IM Mz zh I
(1.32)n care 31 / 12 I h este momentul de inerie al suprafeei 1h,
fa de axa n jurul creia se produce ncovoierea.Aceste expresii sunt
similare cu cele corespunztoare grinzilor ncovoiate de seciune
dreptunghiular (Navier).Valorile maxime,n modul,ale
tensiunilorxiyse obin pentru / 2 z h tmax max2 266); )y yx xx yM MM
Ma bh W h W 22(1.33)n care,W = 1h2/6 este modulul de rezisten al
suprafeei1h , fa de axa n jurul creia se produce ncovoierea.Din
relaiile (1.17c) i (1.31c) se obine expresia tensiunilorxy,
generate de momentul de torsiune tM312txyMzh (1.34)Tensiunile xy
maxime n valoare absolut rezult pentru/ 2 z h tmax26txyMh
(1.35)Expresiile tensiunilorxziyznraport cuforele tietoareVxi
respectiv Vy se obin comparnd relaiile (1.23) i (1.31d,
e):2232236464xxzyyzV hzhVhzh _ , _ ,(1.36)Aceste expresii sunt
similare cucele obinute folosindformula lui Juravski lagrinzi
cuseciunedreptunghiular. Pentruz=0rezultvalorile maxime ale
tensiunilor xz, yz:maxmax3232xxzyyzVhVh (1.37)Existena tensiunilor
tangeniale n suprafaa median i deci a deformaiilor unghiulare
nucorespunde cuipotezele iniiale, dar la plcile subiri efectele lor
sunt neglijabile.1.6. RELAII DIFERENIALE DINTRE EFORTURI I NCRCRI.
ECUAIA DIFERENIAL A SUPRAFEEI MEDIANE DEFORMATE23Pentru a determina
relaiile difereniale dintre eforturii ncrcri,se detaeaz din plac un
element diferenial, avnd dimensiunile dx, dy n planul median al
plcii i grosimea h.Pe feele laterale ale acestui element se
introduc eforturile de conexiune cu placa din care s-a extras,
anume: pe feele obinute prin secionare cu planele x= constant i y=
constant se introduc eforturile din punctul (x,y) al planului
median, iar pe feele x+dx = constant i y+dy = constant, eforturile
din punctul (x,y) corectate cu creterile corespunztoare aproximate
prin difereniale (fig.1.8).Fig. 1.8. Element diferenial de plac i
eforturi pe feele saleFolosindregulaurubului se stabilesc sensurile
vectorilormomentde ncovoiere i de torsiune.Sarcina distribuitp(x,y)
este normal pe planul median al plcii nedeformate, avnd direcia
axeiz. Pentru poziia orizontal a plcii, n p(x,y) se poate include i
greutatea proprie.Forele i cuplurile, ce acioneaz elementul
diferenial de plac, formeaz un sistem n echilibru. Forele sunt
paralele cu axa z, iar cuplurile au 24vectorii corespunztori n
planul Oxy (fig. 1.8d) i deci, din cele ase ecuaii de echilibru rmn
semnificative numai trei: ecuaia de proiecie a forelor pe axa z i
ecuaiile de momente n raport cu axele x i y.Ecuaia de proiecie a
forelor pe axa z se scrie:( , ) 0yxx x y yVVV dy V dx dy V dx V dy
dx pxydxdyx y _ _ + + + + + , ,(1.38)Dup reducerea termenilor
asemeneai deoarecedxdyeste factor comun diferit de zero se obine:(
, ) 0yxVVpxyx y+ + (1.39)Ecuaia de momente n raport cu o dreapt
paralel cu axa y, care trece prin centrul elementului infinitezimal
de plac are expresia:02 2yxxx x yx yxxx xMMMdy M dx dy Mdx M dy dxx
yV dx dxV dy V dx dyx _ _ + + + + , , _ + ,(1.40)Reducnd termenii
asemeneai neglijnd infiniii mici de ordin superior, se
obine:0yxxxMMVx y+ (1.41)Analog, fcnd momentul fa de o dreapt
paralel cu axa x, care trece prin centrul elementului infinitezimal
de plac rezult:0xy yyM MVx y + (1.42)Se deriveaz ecuaia (1.41) n
raport la x i ecuaia (1.42) n raport la y,2220yxx xMM Vx xy x +
(a)2 220xy y yM M Vxy y y + (b)25(1.43)Se adun (1.43a) i (1.43b) i
innd cont de (1.39) se nlocuiete yxVVx y _ + , cu p(x,y),
obinndu-se:22 22 22 ( , ) 0yx tMM Mpxyx xy y + + +
(1.44)EforturileMx,My,Mtse nlocuiesc cu expresiile lordin (1.31a,b,
c), exprimate n raport cu derivatele de ordinul doi ale funciei
deplasrilor w(x,y)2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 (1 )( , ) 0w w wD Dx x
y xy xyw wD pxyy y x 1 _1 + 11 , ] ] 1 _ + + 1 , ](1.45)sau2 2 2 2
2 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 222 ( , )w w wD D Dx x xy xy y yw w wD D
D pxyx y xy xy y x _ _ _ + + + , , , 1 _ _ _ + + 1 , , , ](1.46)S-a
obinut astfel ecuaia diferenial a suprafeei mediane deformate a
plcilor plane.Dac rigiditatea plcii D este constant, paranteza
dreapt se anuleaz i ecuaia (1.46) devine:4 4 44 2 2 4( , )2w w w
pxyx x y y D + + (1.47)care reprezint ecuaia diferenial a
suprafeeimediane deformate a plcilor plane de grosime constant,
fiind cunoscut i sub denumirea de ecuaia
Sophie-Germain-Lagrange.Folosindoperatorul de cmpalui Laplace(2
)ecuaia (1.47)se poate scrie i sub una din urmtoarele forme
compacte:262 2( , )( , )( , )( , )pxywxyDpxywxyD (1.48)Ecuaia
diferenial cu derivate pariale (1.47), respectiv (1.48), poate fi
exprimat echivalentprintr-un sistem de dou ecuaiidifereniale cu
derivate pariale de ordinul II. Astfel, adunnd Mx cu My din (1.31a
i b) se obine:2 22 2(1 )x yw wM M Dx y _ + + + ,(1.49)Se face
notaia:1x yM MM++(1.50)i ecuaia (1.49) devine:2Mw wD (1.51)nlocuind
2w din (1.48) cu M/D rezult o a doua ecuaie:2M M p (1.52)n unele
cazuri se pot obine mai uor soluiile, folosind formele (1.51) i
(1.52), numite i ecuaiile dedublate ale plcii.1.7. EFORTURI N
SECIUNI NCLINATE FA DE PLANELE PARALELE CU AXELE DE
COORDONATEntr-un punct de pe suprafaa median a plcii se consider
cunoscute eforturile, , , , ,x xy x y yx yM M V M M Vpe seciuni
paralele cu planele de coordonate.Momentele ncovoietoare i de
torsiune de pe aceste seciuni formeaz un tensor simetric de ordinul
doi:x yx x tMxy y t yM M M MTM M M M _ _ , ,27(1.53)Momentele
ncovoietoare nM i de torsiune nsM dintr-un punct, situat pe o
seciune nclinat fa de planele de coordonate, se pot exprima n
funcie de elementele tensorului MT, iar fora tietoare nV n raport
cu forele tietoare xV, yV. n acest sens, n vecintatea punctului se
detaeaz o prism elementar cu dou fee laterale paralele la planele
de coordonate, avnd lungimile dx, dy i o fa nclinat cu unghiul
respectiv / 2, + fa de axa y (fig.1.9). nlimea prismei este egal cu
grosimea plcii h.Elementul diferenial de plac, ncrcat cu forele
interioare i exterioare corespunztoare, se afl n echilibru.
Condiiile de echilibru exprimate prin ecuaiile de momente n raport
cu direcia seciunii nclinate i cu normala la aceast seciune conduc
la urmtoarele relaii:2 2cos sin 2 sin cosn x y xyM M M M + +2 2( )
sin cos (cos sin )ns x y xyM M M M (1.54)2 2sin cos 2 sin coss x y
xyM M M M + sn nsM M 28Fig. 1.9. Element diferenial de plac (prism
elementar) cu eforturi pe feeProiectnd forele tietoare pe direcia
normal la suprafaa median i neglijndinfiniii mici deordinsuperior
(forelemasicei desuprafa) se obine:cos sinsin cosn x yn x yV V VV V
V + +(1.55)Se constat c eforturile pe seciuni nclinate se pot
determina n mod univoccunoscnd eforturile pedou seciuni ortogonale
(duseprinacelai punct al planului median).Se remarc o asemnare cu
starea plan de tensiune din jurul unui punct al unui corp
solicitat.Momentele ncovoietoare principale ntr-un punct al
planului median , apar pe dou seciuni ortogonale, normale la planul
median, pe care momentele de torsiune sunt nule, i au valori
extreme.Unghiurile1i2,care determin seciunile principale rezultdin
relaiile:1,22tan 2xyx yMM M (a);1,21,2tanxxyM MM(b)(1.56)Momentele
ncovoietoare principale se calculeaz cu expresiile:2 21,21( ) 42 2x
yx y xyM MM M M M+ t +(1.57)Peseciuni nclinate la / 4
fadeceleprincipale, momentele de torsiune au valori extreme,
anume:2 21 2maxmin1( ) 42 2ns x y xyM MM M M M t + t(1.58)iar
momentele ncovoietoare sunt egale cu semisuma momentelor
principale. Se remarc faptul c n s x yM M M M + + este un
invariant.1.8. CONDIII PE CONTUR LA PLCILE PLANESoluia reprezentnd
suprafaa median deformat a uneiplci plane, poatefi
precizat(individualizat) numai dacsunt satisfcutecondiiilede
29rezemare i, eventual, alte constrngeri de natur fizic.Fie o
margine rectilinie de direciesi normaln. Aceast margine
poateficonsideratncastrat, simplurezematsauliber. nparticular pot
exista rezemri elastice sau de alt natur (vscoelastice, cu deformri
plastice limitate, elastoplastice etc.). Pe contur pot exista
ncrcri (fore i cupluri).Margine ncastrat. Pe zona ncastrat a
conturului (fig. 1.10) deplasrile(sgeile) i rotirile n direcia
normal la margine sunt zero (w = 0,/ 0 w n ).nlungul laturii
ncastrate momentele de torsiune sunt nule.Fig. 1.10. Latur
(margine) ncastratntruct rotirea / 0 w n , deci nu depinde des,
urmeaz c / ( / ) 0 s w n i implicit momentul de torsiune este nul.
n concluzie, condiiile de contur pe o latur ncastrat se scriu:( ) (
)0 ; 0ww a bn (1.59)Omargine ncastrat poate avea o tasarew0uniform
sau liniar 0w w as + (a fiind o constant ce poate fi interpretat ca
o rotire).Margine simplu rezemat. Pe marginea simplu rezemat
deplasarea w i momentul ncovoietor Mn sunt nule (fig. 1.11).( ) (
)0 ; 0nw a M b (1.60)Condiia de moment ncovoietor nul conduce la:2
22 20w wn s + (1.61)ntruct dup deformarea plcii marginea simplu
rezemat rmne rectilinie, are deci curbur nulFig. 1.11. Latur simplu
rezemati (2 2/ 0 w s ), condiia de mai sus devine 2 2/ 0 w n
.30Curburile nule simultan, fac ca pe marginea simplu rezemat s se
poat scrie condiiile:( ) ( ) ( )2220 ; 0 0ww a b sau w w cn
(1.62)Momentul detorsiuneMnsestengeneral nenul. Dacseadmitec Mns=0
urmeaz c/ w n nu depinde de s, adic / ( / ) 0 s w n , ceea ce n
general nu se realizeaz.O margine simplu rezemat poate avea o
tasare uniform w0 sau liniar (w0+as).n cazul unei margini simplu
rezemate pe care acioneaz un moment distribuit m(s), condiiile pe
contur devin:( )( )( )220 ;msww a bn D (1.63)Margineliber.
Pemarginea liber(nerezemat i nencrcatfig. 1.12), condiiile pe
contur sunt:( ) ( ) ( )0 ; 0 ; 0n ns nM a M b V c (1.64)Relaiile
(1.64) sunt n exces, consecin a ipotezelor simplifica- toare
adoptate.Dac pe marginea liber existncrcri, condiiile pe contur
devin:Fig. 1.12.Margine liber (nerezemat i nencrcat)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ); ;n n ns ns n nM M s a M M s b V V s c (1.65)nbaza
principiului lui Saint-Venant, ultimele dou condiii sepot
nlocuiechivalentcu una singur. Momentulde torsiune,de
intensitatensM, sumat pe o distan infinitezimalds,are valoarea( )nM
s dsi se poate consideracaun cupluformat din dou fore
paralele,egale iopuse,avnd mrimeansMi braulds(fig. 1.13).Trecnd de
la coordonataslas+dsse modific intensitatea momentului:31( ) (
)nsns nsMM s ds M s dss+ +(1.66)Fig. 1.13. Ilustrarea transformrii
condiiilor (1.65 b, c) n for tietoare generalizatRezultanta
momentului pe urmtorul element diferenial ds va fi:( )nsnsMM s ds
dss _+ ,(1.67)care se poate interpreta, de asemenea, ca un cuplu,
fora fiind:( )nsnsMM s dss+(1.68)Sumnd forele ce formeaz cuplurile
pe distana infinitezimalds rezult:ns nsns nsM MM M ds dss s + +
(1.69)Intensitatea acestei fore este nsMs care se sumeaz cu nV i se
obine*nsn nMV Vs +(1.70)La extremitile laturiirmn dou fore
concentrate de valoarensM. 32MrimeansMssemainumetefora adiionala
lui Kirchhoff.ncazula dou margini simplu rezemate ce se ntlnesc n
unghi drept, reaciunea concentrat din col are valoarea nsM i creaz
tendina de ridicare a acestuia (confirmat experimental).innd cont
de relaiile (1.31), se obine pentru *nVexpresia:2* 22 3 322 3 2(1
)(1 ) (2 )nwV D wn s nsw w wD w Dn s n ns 1 _ + 1 , ] 11 + + 11 ]
](1.71)Dac latura liber este nencrcat, condiiile pe contur devin:(
) ( )0 ; 0n nM a V b (1.72)sau( ) ( )2 2 3 31 12 2 3 20 ; (2 ) 0w w
w wa bn s n ns + + (1.73)n colul unei plci format de dou laturi
adiacente ncastrate, momentul de torsiune fiind nul, nu apar
reaciuni concentrate.Lao placcu doulaturiadiacente,ortogonale
libereinencrcate, reaciunea din col este nul, deci 0nsM i
20.nsMnsncazul plcilor dreptunghiulare direciilenisdevinxiy. Ca
exemplu se consider o plac dreptunghiular,avnd o latur ncastrat,una
liber i dou laturiparalele simplu rezemate,pe una dintre ele
acionnd un moment uniform distribuit de intensitate m0(fig.
1.14).Condiiile de contur se exprim dup cum urmeaz:- latura
ncastrat (x = 0)0, 0wwx - latura liber (x = a)332 22 23 33 20 00 (2
) 0xnw wMx yw wVx xy + ' + - laturile simplu rezemate (y = 0 i y =
b)Fig. 1.14. Exemplificare condiii pe contur- latura y = 020
020,yww M m D my - latura y = b220, 0 0yww My .34