Campos Vectoriales

6. CAMPOS VECTORIALES

En este capıtulo consideraremos funciones vectoriales F : U ⊆ Rn → Rn. Enparticular, el dominio y el rango estan en un espacio de la misma dimension.

Ejemplo. Si f : Rn → R, ∇f es un campo vectorial.

Este objeto matematico se denomina un campo vectorial cuando es inter-pretado en el contexto en lo vamos a hacer ahora. En dinamica de fluıdos o gases,

el campo vectorial representa en cada punto la velocidad del lıquido o gas en esepunto -en este caso suponemos que tenemos un fluido que se mueve en el espacioU . El campo vectorial puede cambiar con el tiempo, pero en este caso necesitare-mos una funcion F(x,t). F tambien puede representar un campo de fuerzas, comoel campo gravitatorio, en cada punto x ∈U se ejerce la accion de una fuerza F(x)(con magnitud, direccion y sentido).

De hecho, ya hemos encontrado estas funciones en el contexto diferente de cam-bio de coordenadas y no las hemos llamado campos vectoriales. Es precisamenteen la interpretacion que daremos ahora cuando hablamos de campos vectoriales.

Podemos interpretar que en cada punto x ∈U , paramos el vector F(x), estoes, consideramos a F(x) basado en x. En dimension 2, o en dimension 3 con mayoresfuerzo, se puede visualizar esta interpretacion (ver figuras 0-1, 0-2 y 0-3).

El gradiente es un campo vectorial, pero no todos los campos vectoriales songradientes por supuesto. El campo

F(x, y) = −y i+x j

no puede ser un gradiente y tenemos la intuicion de esto graficamente.Ver figuras0-2 y 0-4.

6.1. Lıneas de flujo

Si interpretamos a F como un campo de velocidades, la partıcula en el puntox se mueve siguiendo una curva que respeta el campo de velocidades.Esta curvaes una lınea de flujo. Mas precisamente:

Definicion. Una curva x(t) es una lınea de flujo de F sii

x′(t) = F(x(t))

Esto es, en cada punto x(t) de la curva, la derivada de la curva es precisamenteel vector asignado por F en dicho punto.

Las figuras 0-5 y 0-6 muestran lıneas de flujo.

CAMPOS VECTORIALES 1

Figura 6-1 Campo gradiente.

Figura 6-2 Campo no gradiente.

6.1.1. Movimiento uniforme a velocidad constante

Sea F :Rn → Rn un campo vectorial constante, es decir, F(x) = v, v ∈Rn.Entonces las lineas de flujo son las rectas

x(t) = xc + tv2 CAMPOS VECTORIALES

Figura 6-3 Campo gravitatorio.

donde xc es un vector constante arbitrario que se llama condicion inicial (porquex(0) = xc). Para enfatizar la dependencia de la condicion inicial se suele escribir

x(t;xc) = xc + tv

Ponemos punto y coma porque xc no es una variable para la curva, sino unacondicion inicial.

Si ahora fijamos algun t, la funcion φt : Rn → Rn

φt(xc) = x(t;xc)

representa el movimiento de los puntos que hemos llamado condiciones inicialesen el instante t. Es por esto que la funcion φ : Rn × R → Rn definida por

φ(xc, t) = x(t;xc)

se llama el flujo del campo vectorial F.

Infelizmente, en la mayor parte de los ejemplos interesantes de campos vecto-riales, el flujo del campo no se obtiene ası de facil y es necesario recurrir al analisisnumerico. Este tema se llama resolucion numerica de Ecuaciones DiferencialesOrdinarias.

LINEAS DE FLUJO 3

Figura 6-4 Campo no gradiente.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

Figura 6-5 Lıneas de flujo de (−y, x).

6.1.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias

4 CAMPOS VECTORIALES

8085

9095

100105

110115

120125

130 20

25

30

35

40

45

50

553.5

4

4.5

5

Figura 6-6 Lıneas de flujo: simulacion de un remolino.

La ecuacionx′ = F(x)

es una ecuacion diferencial ordinaria (EDO). Lo que se busca son funciones deuna sola variable x(t) (aunque el rango de la funcion esta eventualmente en unespacio de dimension mayor) , que hemos llamado t por que en general se usanpara describir modelos que dependen del tiempo, y que satisfacen la igualdad queya hemos escrito

x′(t) = F(x(t))

Es una ecuacion diferencial porque en la ecuacion aparecen derivadas de la funcion

incognita. el orden de la mayor derivada que aparece es el orden de la EDO. Engeneral, una EDO de orden mayor se puede reducir a un sistema de orden 1mediante el procedimiento que ejemplificamos a continuacion. Consideremos la

EDO de orden 2:d2x

dt2+dx

dt− x = 0

Si escribimos dxdt = y, entonces la ecuacion diferencial es claramente equivalente al

sistema de orden 1

dx

dt= y

dy

dt= −y + x

No corresponde en un curso de Calculo Vectorial entrar de lleno en la teorıa deEcuaciones Diferenciales Ordinarias. Nos limitaremos a algunos ejemplos simplesde flujos.

6.1.3. Sistemas Lineales

LINEAS DE FLUJO 5

Si F(x) = Ax, donde A es una matriz n×n, el sistema x′ =Ax se llama lineal.Por ejemplo, el sistema que acabamos de escribir arriba que tiene claramentematriz

A =(

0 11 −1

)En un sistema lineal siempre se tiene A0 = 0 y la unica solucion que pasa por 0

es precisamente la curva constante x(t) = 0. En general, si F(x0) = 0, la unicasolucion que pasa por x0 es precisamente la curva constante x(t) = x0.

Definicion. Un punto x0 ∈ U donde F(x0) = 0 se llama punto de equilibriode F (el flujo no se mueve en x0).

En la vecindad de un punto de equilibrio x0 podemos (por Taylor) escribir elcampo en la forma

F(x) = (DF(x0)(x− x0) +R(x,x0)

De la misma forma que en puntos crıticos de funciones, es lıcito suponer que en

ciertas condiciones no degeneradas, el comportamiento del campo en la vecindadde x0 esta determinado por el comportamiento del campo lineal

x′ =DF(x0)(x− x0)

Los sistemas lineales son practicamente los unicos para los cuales existe una teorıa

descriptiva completa del flujo. Nos limitaremos al caso n = 2. Como es de esperar,

los cambios de coordenadas lineales juegan un rol importante para llevar el sis-tema a alguna forma normal mas facil de analizar y, otra vez, los autovalores sonimportantes. Un cambio de coordenadas lineal es de la forma

x =Py

donde P es una matriz no singular. Si y(t) es una curva en las coordenadas nuevas,consideramos la curva x(t)=Py(t). Derivando se obtiene

dxdt

(t)=Pdydt

(t)

y, si esta derivada tiene que ser igual a Ax(t), se obtiene

Pdydt

(t) =dxdt

(t) = Ax(t) = APy(t)

Como la matriz P es inversible, finalmente podemos escribir

dydt

(t) = P−1APy(t)

= By(t)

donde B = P−1AP y, hemos mostrado que se obtienen flujos equivalentes conestos cambios de coordenadas.

Ejemplo. Los autovalores de A λ1, λ2 son reales, distintos y ademas distintos decero.


Se puede efectuar un cambio de coordenadas lineal tal que el sistema, en lasnuevas coordenadas, se escribe

dy1dt

= λ1y1

dy2dt

= λ2y2

Este es un sistema donde las incognitas y1, y2 estan comletamente desacopladasy pueden resolverse independientemente por Calculo I (conocemos perfectamenteaquellas funciones que, salvo un factor, son su misma derivada!). En efecto, sabe-mos que las soluciones pueden escribirse

y1(t) = c1eλ1t

y2(t) = c2eλ2t

donde c1, c2 son dos constantes arbitrarias y (c1, c2) ∈ R2 es la condicion inicial.El flujo es entonces

φ(c1, c2, t) = (c1eλ1t, c2eλ2t)

Tres casos son posibles:

λ1, λ2 < 0 : las lıneas de flujo tienden asintoticamente al punto de equilibrioque es un atractor (sumidero).

λ1, λ2 > 0 : las lıneas de flujo se alejan del punto de equilibrio (fuente).

λ1 < 0 < λ2 : hay las lıneas de flujo que se alejan y otras que tiendenasintoticamente al punto de equilibrio. El diagrama de las lıneas de flujo essimilar al del gradiente en un punto de silla. �

Ahora, al estudiar los autovalores, hay una diferencia significativa: como las matri-ces no son necesariamente simetricas, hay autovalores que pueden ser complejos.Un polinomio, aunque sea real como los casos que tratamos, puede tener raıcescomplejas. Es facil ver que si un polinomio real tiene una raız compleja a + ib,

entonces el conjugado a− ib es tambien raız del polinomio.

Ejemplo. Oscilador armonico. Los autovalores de A son a+ ib, a− ib

En este caso siempre existe una transformacion lineal de coordenadas que llevael sistema a (

dy1dt

dy2dt

)=(a −bb a

)(y1y2

)=(ay1 − by2by1 + ay2

)Podemos verificar que(

y1(t)y2(t)

)= eat

(c1 cos(bt)− c2 sin(bt)c1 sin(bt) + c2 cos(bt)

)es la lınea de flujo con condiciones iniciales (c1, c2). En efecto,

dy1dt

(t) = aeat(c1 cos(bt)− c2 sin(bt)) + eat(−bc1 sin(bt)− bc2 cos(bt))

= a(eat(c1 cos(bt)− c2 sin(bt)))− b(eat(c1 sin(bt) + c2 cos(bt)))= ay1(t)− by2(t)

LINEAS DE FLUJO 7

El mismo calculo proporciona la otra igualdad

dy2dt

(t) = ay1(t) + by2(t)

La parte imaginaria b introduce una rotacion en el flujo alrededor del puntode equilibrio, mientras que el factor eat contrae o magnifica de acuerdo a su signo.Si a = 0, hay una rotacion pura y se obtiene el oscilador armonico, si a < 0, hayfriccion.

6.2. La divergencia de un campo vectorial

Hemos visto como pensar campos vectoriales en terminos de flujos. Explotare-mos esa interpretacion para arribar a la comprension de una medida de la com-presion o expansion local de un fluıdo. Esta medida se llama divergencia de uncampo vectorial. Por simplicidad, analizaremos la variacion de areas alrrededor de

los puntos de equilibrio de los dos campos vectoriales lineales anteriores.

Ejemplo. F(x, y) = (λ1x, λ2y) cuyo flujo es φ(x, y, t) = (eλ1tx, eλ2ty).

square Sea δ > 0 y Cδ un cuadrado de lado δ centrado en (0, 0) y area Aδ = δ2.Ahora movemos el cuadrado con el flujo: φt(Cδ) denota el conjunto imagen delcuadrado Cδ en el tiempo t. No es difıcil llegar a la conclusion que φt(Cδ) es unrectangulo centrado en el origen, que puede tener lados diferentes si λ1 6= λ2 perola longitud de los lados son eλ1tδ y eλ2tδ. Asi que el area de la imagen φt(Cδ) es

Aδ,t := eλ1tδ.eλ2tδ = e(λ1+λ2)tδ2

La tasa de cambio del area es

lımt→0

Aδ,t −Aδ,0

t=(

lımt→0

e(λ1+λ2)t − 1t

)δ2 = (λ1 + λ2)δ2

Ahora dividimos por el area de Cδ por que queremos una medida de la tasa decambio del volumen por unidad de area y se obtiene λ1 + λ2 que es precisamente

∂f1∂x

+∂f2∂y

blacksquare

Ejemplo. Se puede hacer los mismo para el campo vectorial (ax − by, bx + ay).En este caso, dada la naturaleza circular del flujo, es conveniente utilizar areas debolas centradas en el origen y coordenadas polares. Se obtiene

2a =∂f1∂x

+∂f2∂y

Esto sugiere que, en general, una medida de la tasa de cambio del volumen enun punto x es:


Definicion. Sea F =(f1, ..., fn) un campo vectorial. La divergencia de F es lafuncion

div(F)(x) :=∂f1∂x1

(x) + ...+∂fn

∂xn(x)

Notacion. Otra notacion para la divergencia de F que suele usarse en libros decalculo o ingenierıa y que tiene un contenido simbolico inmediato es ∇ · F.

6.2.1. Interpretacion de la divergencia

Repensemos lo hecho antes.Queremos obtener una medida de la tasa de cambio del volumen en el punto

x. Aquı, el problema es similar al de la derivada en Calculo I que mide la tasade variacion de una funcion en el punto. Con la misma idea que en la derivada,tomamos conjuntos pequenos Cx alrededor del punto x con volumen positivo yllamamos At(Cx) al volumen del conjunto φ(Cx, t), esto es, el conjunto Cx movidopor el flujo en el instante t. Para simplificar podemos suponer que los Cx soncuadrados, centrados en x o con un vertice en x.

La tasa de cambio por unidad de volumen es

T0(Cx) :=1

A0(Cx)lımt→0

At(Cx)−A0(Cx)t

Ahora, como nos interesa la tasa en el punto, debemos considerar el lımite paraconjunto Cx cada vez mas chicos tendiendo al punto x

lımCx→x

T0(Cx)

y esta medida es la divergencia div(F)(x).Consideremos el primer lımite (es decir, t → 0). Recordemos que la linea de

flujo φ(x, t) es una curva que satisface

φ(x, 0) = x;d

dtφ(x, 0) = F(x)

Entonces, la aproximacion de orden 1 del flujo es

φ(x, t) ' x+tF(x) = µ(x, t)

La diferencia entre los dos terminos es del orden de |t|2, por eso en el lımitepodemos reemplazar un termino por el otro. Con el mismo razonamiento (tomandoen cuenta el segundo lımite), en lugar de F podemos usar la aproximacion de orden1 en x:

F(x) ' F(x)+DF(x)(x−x)

Finalmente,φ(x, t) ' x+tF(x)+tDF(x)(x−x) = ψ(x, t)

Para t fijo, cada aplicacion ψ(x, t) es una lineal afın con matriz

I + tDF(x)

LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL 9

Para este tipo de aplicaciones el volumen de la imagen del cuadrado Cx es

det(I + tDF(x))A0(Cx)

Entonces

1A0(Cx)

lımt→0

At(Cx)−A0(Cx)t

= lımt→0

det(I + tDF(x))− 1t

La forma de la matriz I + tDF(x) es1 + t ∂f1

∂x1(x) t ∂f1

∂x2(x) · · · t ∂f1

∂xn(x)

t ∂f2∂x1

(x) 1 + t ∂f2∂x2

(x) · · · t ∂f2∂xn

(x)...

.... . .

...t∂fn

∂x1(x) t∂fn

∂x2(x) · · · 1 + t ∂fn

∂xn(x)

Si no tenemos otra idea mejor (para no entrar en teorıa de determinantes), calculardirectamente en dimension 2 o 3 nos convence que el determinante tiene la forma

det(I + tDF(x)) = 1 + t

(∂f1∂x1

(x) + ...+∂fn

∂xn(x))

+ t2(...)

Es decir, todos los terminos salvo los dos primeros tienen el factor t2.Esto implica que


=(∂f1∂x1

(x) + ...+∂fn

∂xn(x))

+ t(...)

y

lımt→0


= div(F)(x)

Faltarıa convencernos que el reemplazo de F(x) por F(x)+DF(x)(x−x) esvalido pero los argumentos son similares ya que Cx → x y

F(x) = F(x)+DF(x)(x−x) + (...)

donde (...) es orden |x−x|2. Lo suficiente para garantizar que el lımite el resultadoes el esperado.1

�

6.2.2. La divergencia y cambios en el volumen

En ciertos problemas fısicos la divergencia puede ser interpretada como la razonde cambio mediante la cual un lıquido es creado o destruido en el punto. En otrasinterpretaciones, imaginamos que el campo representa el movimiento de un gasque puede contraerse o expandirse.

1Una demostracion mas simple de la interpretacion de la divergencia puede ser proporcionadamediante la teorıa de la ecuacion diferencial de la primera varicacion de F , pero necesitariamosde la teorıa de ecuaciones diferenciales ordinarias (ver [M-T]).


Figura 6-7 Gradiente de f(x, y) = xe−x2−y2.

6.2.3. Fluıdos incompresibles

Un fluıdo es incompresible si no hay expansion o contraccion. El campo vecto-rial de velocidades v modela un fluıdo incompresible sii div(v) = 0.

Si div(v) 6= 0, entonces el flujo produce cambios de volumen. Esto puededeberse a dos causas. Si no hay sumideros o fuentes, es decir, la masa se conserva,entonces la expansion o contraccion produce cambios de densidad. Por otra parte,si la densidad es constante, entonces el aumento de volumen indica la presenciade una fuente que injecta materia adicional, etc.

Ejemplo. Consideraremos primero el campo gradiente de f(x, y) = xe−x2−y2.

Entonces el campo gradiente es

F(x, y) =(fx

fy

)=

((1− 2x2)e−x2−y2

−2xye−x2−y2

)

La figura 0-7 muestra el campo vectorial.La divergencia de F es fxx + fyy, asi que hay que calcular estas derivadas

segundas. Despues de este calculo, que asumimos hecho, resulta

div(F)(x, y) = 4x(x2 + y2 − 2)e−x2−y2

En el eje y en el cırculo x2 +y2 = 2, la divergencia es igual a cero. Estos conjuntosseparan al plano en cuatro regiones donde la divergencia cambia de signo. La figura0-8 el grafico de la divergencia.


−3−2

−10

12

3

−3

−2

−1

0

1

2

3−3

−2

−1

0

1

2

3

x

4 x (x2+y2−2) exp(−x2−y2)

y

Figura 6-8 Divergencia del Gradiente de f(x, y) = xe−x2−y2.

El campo gradiente de una funcion puede tener divergencia igual a cero cuandola funcion es armonica. Por ejemplo

f(x, y) =12(x2 − y2)

El campo vectorial gradiente es ∇f = (x,−y) y la divergencia es

div(∇f) = ∆f = 1− 1 = 0

Como en este caso tenemos a mano las formulas del flujo, es interesante ob-servar el movimiento de ciertos rectangulos para ver que, si bien el volumen seconserva, no se conserva necesariamente la relacion de aspecto del conjunto trans-formado.

En efecto, las soluciones de la ecuacion diferencial

dx

dt= x;

dy

dt= y

son, como anotamos arriba,

x(t) = x0et; y(t) = y0e

−t

donde (x0, y0) son las condiciones iniciales. Consideremos ahora el rectangulo, de

area igual a 2, formado por los puntos

P1 = (1, 1); P2 = (1,−1); P3 = (2,−1); P4 = (2, 1);


y traslado en el tiempo t = 1. El rectangulo se traslado por el flujo al rectangulodeterminado por los puntos

P 1 = (e, e−1); P 2 = (e,−e−1); P 3 = (2e,−e−1); P 4 = (2e, e−1);

El lado horizontal lx del nuevo rectangulo tiene longitud 2e−e = e mientras que

el lado vertical ly tiene longitud e−1− (−e−1) = 2e−1. El area es otra vez lxly =e2e−1 = 2, pero la altura y el largo del rectangulo cambiaron significativamente.

6.2.4. Propiedades del operador divergencia

Las propiedades de la derivacion parcial se reflejan en la divergencia.

Si F,G son campos vectoriales y α, β escalares, entonces

div(αF + βG) =αdiv(F)+βdiv(G)

Si F =(f1, ..., fn) es un campo vectorial y g una funcion escalar, entonces

div(gF) =∇g · F+g div(F)

En efecto,∂

∂xi(g fi) =

∂g

∂xifi + g

∂fi

∂xi

Sumando sobre i se obtiene el resultado.

�

Si f es una funcion escalar, entonces

div(∇f) = ∆f =∂2f

∂x21

+ ...+∂2f

∂x2n


Campos Vectoriales

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