Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave I I II II III III 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 Corona di statore A I I I II II III III 11 23 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 26 39 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 25 38 Corona di rotore B D C
25
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Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave• Un campo rotante genera nell’avvolgimento di una fase una fem indotta sinusoidale nel tempo di pulsazione ω = p ω c • Le fem
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Nelle cave sono alloggiati “lati attivi dei rispettivi avvolgimenti, le
matasse sono costituite da n conduttori percorsi dalla corrente i; i
lati attivi sono collegati tra di loro a costituire le fasi
dell’avvolgimento stesso, mediante collegamenti che giacciono
sulle testate della macchina
Ipotesi di campo
Campo rotante: il calcolo del campo al traferro richiederebbe la soluzione
delle equazioni di Maxwell in una geometria complicata e in presenza di mezzi
non lineari; per semplificare il problema si introducono le seguenti
ipotesi di campo:
1. la permeabilità del ferro si suppone infinita;
2. la distribuzione del campo magnetico si ritiene identica in tutti i piani
perpendicolari all’asse della macchina;perpendicolari all’asse della macchina;
3. l’andamento delle linee del campo magnetico al traferro si suppone radiale
Campo generato dalle
matasse di una cava
Campo magnetico prodotto da una fase
Essendo il traferro di piccolo spessore (qualche millimetro), è possibile
trascurare la curvatura delle superfici ad esso affacciate e quindi studiare il
campo in coordinate lineari invece che angolari
1° polo 3° polo 2° polo 4° polo
δ A
x
0
x
Hal traferro
τ
2τ 0
3τ
A′ B C D
l1 l2 l3 l4
0B
Hferro
ferroferro =
µ=
Campo magnetico prodotto da una fase
H H H HA A A A⋅ − ⋅ = ⇒ =δ δ' '0
=⋅−⋅
=⋅−⋅
=⋅−⋅
niδHδH
0δHδH
niδHδH
DA
CA
BA
Circuitazione magnetica in corrispondenza delle linee passanti per A, B, C, D
(1)
DA
Solenoidalità di B in corrispondenza della superficie cilindrica S
( )( ) ( )( )[ ] 0HH0lτHµlτHµ2 BAB0A0 =+⇒=+
H Hni
H Hni
A C
B D
= =
= = −
2
2
δ
δ
Dalle (1) e (2) si ottiene:
(2)Rotore
Statore
S
δ
Campo magnetico prodotto da una fase
( )H x
n ise x e x
n ise x
=
+ < < < <
− < <
20
2
3
22
2 2
3
2
δ
τ ττ
δ
τ τ
,
,
Scegliendo l’origine delle coordinate nel centro di un polo il campo H(x),
nell’intervallo [0, 2τ], ha la seguente espressione:
2 2 2δ
Il campo risulta periodico, di periodo 2τ, e simmetrico rispetto all’origine.
Lo sviluppo del campo in armoniche, mediante la Serie di Fourier fornisce la
espressione della prima armonica del campo:
( )
=
τ
πxHxH M cos)1( δπ 2
4 niH M =
Campo magnetico prodotto da una fase
H
x
τ/2−τ/2 3τ/2
H
x
Onda stazionaria
( )
=
τ
π
πδ
xnixH cos
2)1(
( ) ( )txnI
txH M ωτ
π
πδcoscos
2,
=
δπ
nIHM
22=
( ) ( )
=
τ
πω
xtHtxH M coscos,
Campo magnetico prodotto da una fase
la espressione dell’onda stazionaria può essere riscritta come segue:
( ) ( )txHtxH M ω
τ
πcoscos,
=
( ) ( ) ( ) ( )βαβαβα −++= cos2
1cos
2
1coscos
Tenendo conto della relazione trigonometrica:
la espressione dell’onda stazionaria può essere riscritta come segue:
( )
++
−= tω
τ
πcos
2
1tω
τ
πcos
2
1tx,
xH
xHH MM
( )
++
−=
v
xtH
v
xtHtxH MM ωω cos
2
1cos
2
1,
Raccogliendo ω e ponendo v =ωτ
π
Campo magnetico prodotto da una fase
Un’onda stazionaria si può decomporre in due onde traslanti, una progressiva
(velocità v diretta secondo x) e una regressiva (velocità v diretta secondo −x).
Nel caso in esame tali onde sono indicate come campi rotanti (diretto ed
inverso). Essi sono campi di ampiezza costante rotanti al traferro con velocità
angolare costante ωc
v =ωτ
Essendo e valendo la relazione: Rπ2pτ2 =
ωωτ
π
ωc
v
R R p= = =
v =ωτ
πEssendo e valendo la relazione: Rπ2pτ2 =
Il numero di giri al minuto si ottiene considerando che:
60
n2πω c
c =p
f60nc = per f = 50 Hz,
p = 2giri/min5001nc =
Campo magnetico prodotto da una fase
Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave
Per un avvolgimento distribuito
l’andamento spaziale del campo
è più simile ad una sinusoide,
per via della sovrapposizione
dei campi generati dalle
matasse delle diverse cave
+ + + + + ++ + + + + +
2° polo 3° polo1° polo 4° polo
( ) π x
x
H
τ
2τ0
3τ
( )
=
=
⋅⋅=
τ
π
τ
π
xH
xHqkxH
M
Mat
cos
cos1)1(,
( )
=
τ
π xHxH M cos1)1(
δπ
nqIkH aM
22=
Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Si suppone che:
1. Gli avvolgimenti siano tutti uguali ed equispaziati, cioè che ogni fase sia
spazialmente sfasata dalle fasi vicine di (2τ/m);
2. Il sistema di tensioni polifase sia simmetrico con pulsazione ω.
Essendo il circuito magnetico della macchina dotato di simmetria assiale, le
correnti assorbite dalle m fasi dell’avvolgimento, soggette al sistema delle m
tensioni simmetriche, costituiscono un sistema di m correnti equilibrato:tensioni simmetriche, costituiscono un sistema di m correnti equilibrato:
( ) ( )
( )
( ) ( )
i t I t
i t I tm
i t I t mm
M
M
m M
1
2
2
12
=
= −
= − −
cos
cos
...
cos
ω
ωπ
ωπ
( ) ( )
( )
( )
−=
−=
=
3
4πωtcosIti
3
2πωtcosIti
ωtcosIti
M3
M2
M1Per m = 3
Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Correnti di avvolgimento in uno statore trifase:
Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Nel caso trifase si ha:
( ) ( )
( )
−++
−=
−
−=
++
−=
=
2πx1πx144πx
π3
4ωt
τ
πxcos
2
1ωt
τ
πxcos
2
1π
3
2ωtcosπ
3
2
τ
πxcostx,
ωtτ
πxcos
2
1ωt
τ
πxcos
2
1ωtcos
τ
πxcostx,
2
1
MMM
MMM
HHHH
HHHH
Il campo generato da ogni fase può essere scomposto nel campo
rotante diretto ed inverso; sommando i tre campi, i campi diretti si
sommano, mentre quelli inversi si elidono
( )
−++
−=
−
−= π
3
2ωt
τ
πxcos
2
1ωt
τ
πxcos
2
1π
3
4ωtcosπ
3
4
τ
πxcostx,3 MMM HHHH
( ) ( ) ( ) ( )
−=
−=++= ωt
τ
πxcosωt
τ
πxcos
2
3tx,tx,tx,tx, ,321 TMM HHHHHH
Campo prodotto da un avvolgimento trifase
Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Nel caso bifase, l’avvolgimento è costituito da due avvolgimenti uguali sfasati
spazialmente lungo il traferro di 90°. Gli avvolgimenti vengono alimentati con
due tensioni sinusoidali con pulsazione ω sfasate nel tempo di π/2. Trascurando
tutti i fenomeni di non linearità del sistema, le correnti che circolano nei due
avvolgimenti risultano anch’esse sinusoidali con pulsazione ω e sfasate nel
tempo di π/2. Risulta quindi, con riferimento sempre alla sola prima armonica
spaziale del campospaziale del campo
( )
+++
−=
+
+=
++
−=
=
πτ
πω
τ
πω
π
τ
ππω
τ
πω
τ
πω
τ
πω
xtH
xtH
xtHtxH
xtH
xtH
xtHtxH
MMMMMMa
MMMMMMp
cos2
1cos
2
1
2cos
2cos),(
cos2
1cos
2
1coscos),(
Campo prodotto da un avvolgimento bifase
Fem indotta dal campo in una fase statorica
B
x
O
vc
BM
( )
−= ωt
τ
πxcosBtx,B M
O
Poiché il campo si muove rispetto agli avvolgimenti di statore, il
flusso concatenato con questi varia nel tempo, determinando in essi
l’insorgere di una fem indotta
( )e td
dt= −
ϕ
Fem indotta dal campo in una fase statorica
B
x
O
vc
BM
Il flusso varia con legge sinusoidale e pulsazione
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tpωcosπ
τlH2µpωtpωsin
π
τlH2µ
dt
dte
tpωsinπ
τlH2µvt
τ
πsinπ
τH2µldxvtx
τ
πcosHµt
cM0ccM0
cM0M0
τ
0
M0
−=
−=
=
=
−= ∫ϕ
cpωω =
Fem indotta dal campo in una fase statorica
Il valore efficace Φ del flusso concatenato con la spira vale:
π
lτHµ2 M0=Φ
Considerando i numeri complessi rappresentativi (trasformata di Steinmetz) del
flusso concatenato con una spira, Φ, e della fem in tale spira, Es, si ha:
ΦjωE −=s
Se l’avvolgimento è costituito da Ns spire (corrispondenti a 2N conduttori attivi),
si può dimostrare che il fasore della f.e.m. indotta in esso dal campo rotante è:
ka è il fattore di avvolgimento ed è minore di 1; il flusso è quello che si
concatena con la spira al centro della fase
Φ2
jΦjEN
kNk asa ωω −=−= Φ= NkE a22
ω
Fem indotta dal campo in una fase statorica
B
vc
BM
x
O
Fem indotta dal campo in tre fasi statoriche
B
x
vc
BM
1 2 3
O
Un campo rotante induce nelle tre fasi di un avvolgimento distanziate tra loro di
120 º tre fem sfasate nel tempo di un terzo del periodo
Campo rotante
• Un avvolgimento di fase percorso da corrente sinusoidale genera al traferro
un’onda stazionaria, scomponibile in due onde controrotanti
• Tre avvolgimenti sfasati spazialmente di 120° (se la macchina è a due poli, p=1,
in generale di 120°/p) e percorsi da tre correnti sfasate nel tempo di un terzo di
periodo, generano al traferro un campo rotante
• Due avvolgimenti sfasati spazialmente di 90° (se la macchina è a due poli, in
generale di 90°/p) e percorsi da due correnti sfasate nel tempo di un quarto di generale di 90°/p) e percorsi da due correnti sfasate nel tempo di un quarto di
periodo, generano al traferro un campo rotante
• In entrambi i casi il campo rotante ruota al traferro con velocità angolare
ωc = ω /p
• Un campo rotante genera nell’avvolgimento di una fase una fem indotta
sinusoidale nel tempo di pulsazione ω = p ωc
• Le fem indotte negli avvolgimenti di tre fasi equispaziate disposte a 120° l’una